14

Unitatearen aurkezpena

•Aurrekoikasturteetan,ikasleekzenbakieietahaienerabilereietaezaugarrieiburuzkohainbatezagueraikasidituzte:kontzeptuak,prozedurak,trebetasunak…Bestalde,ikasleekohikoakatsakegi-tendituzte;halaber,frustrazioaeta,beharbada,asperduraeresentitukodituzte,betigauzaberaegiteaznekatuta.Unitateho-nenhelburuaezaguerahorietakobatzukindartzeaetasakontzeada,baitaedukiguztienizaerapraktikoalantzeaere.Horrezgain,posiblebalitz,irakasleakkonfiantzaetasegurtasunatransmititubeharkolizkiekeikasleei.

•Zatikiaketahaienesanahiaetaerabileraedukiezagunakdiraikas-leentzat.Halaere,zatikiekineragiketakegitekoorduan,ikasleekjariotasun-faltahandiaizatendute,etahutsetaakatsugariegitendituzte.Halaere,hasteko,zatikiarenkontzeptuaberrikusikodugu;gero,hortikabiatuz,zenbakiarrazionalazerdenlandukodugu.

•Zatikiakeragilegisaduenerabileragogoratukodugu.Ikasleekerraztasunhandizkalkulatzendutekantitatebatenzatikia,bainaarazoak izatendituztealderantzizkoprozesuarekin:kantitateosoakalkulatzea,zatibatezagututasoilik.

•Halaber,zatikibaliokideeietahaienpropietateeidagozkieneza-guerakberrikusikoditugu,etaziurtatukoduguikasleakgaidirelaizendatzailekomunera laburtzeko.Gaihorridagokionez,ho-nakoairadokitzendugu:kasuerrazetanburuzkokalkuluaetakalkuluidatziatartekatzea,zenbakihandiakageridirenean.

•Zatikitikhamartarrerapasatzea,etaalderantziz,berezikihamartarperiodikotikzatikirapasatzea,ikasturtehonetakoohikoedukiada.4.unitatean(progresioak)berrirolandukodugu.

•Teoriarenatalaosatzeko,honakohaueklandukoditugu:zenbakiarrazionalak(zatikigisa,hamartargisa),etazenbakiirrazionalak.

•Osogarrantzitsuadaburuzkokalkulua lantzeaeta indartzea,zenbakihamartarrekinetazatikiarrekin.Horriesker,ikasleekbiz-kortasunmentalaetakonfiantzagaratzekoaukeraizangodute.

•Ikaslerikgehienekkalkulagailuaerabilikozutenaurrekomailetan.Halaere,unehonetatikaurrera,sakonagoerabiltzenikasibe-harkodute.Oinarrizkoerabileretatikhasita,kalkulagailuakzati-kiaketazenbakimistoaklantzekoduenpotentzialhandiaba-lioestenikasikoduteikasleek.

1 Zatikiak

14

Unitatearen eskema

ZENBAKI ARRAZIONALAK

ZenbakiosoekinBATUKETAKKENKETAKBIDERKETAK

eginez,bestezenbakiosobatlortukodugu.

ZenbakiarrazionalekinBATUKETAKKENKETAKBIDERKETAK

ZATIKETAK(0rekinizanezik)eginez,bestezenbaki

arrazionalbatlortukodugu.

zenbakiosoenosagarriizateko,

zenbakiarrazionalenmultzoaosatuz.

izandaitezke:

izandaitezke:

baliodute:

baliodute:

baitaere:

betierehonakohauekbadira:

eragiketetanerabiltzen

dira

honelaadierazdaitezke:

hamartarzehatzakedo

hamartarperiodikoak

OSOAK

ARRUNTAK

ZATIKIARRAK

OSOAKNEGATIBOAK

ZENBATZEKOZENBAKITZEKO

Zenbakiarruntenosagarridira.

unitatearenzatiakadierazteko

Zatikigisa Zenbakihamartargisa

eragiketetanerabiltzen

dira

15

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Zatikiakerabiltzenjakitea:eragiketakegitea.

•Zatikietatikhamartarretarapasatzea.Zenbakihamartarrenmotakbereiztea.

•Hamartarzehatzazatikieranadieraztea.

•Problemaaritmetikoakebaztea,honakohauekerabiliz:zatikiakeragilegisa,etaeragiketazatikidunak.

•Kalkulagailuaganorazerabiltzenjakitea(modueraginkorrean).

Osagarrigarrantzitsuak

•Zenbakizatikiarrakzuzenbateanadieraztea.

•Zenbakihamartarperiodikobatzatikibihurtzekoteknika.

•Zenbakiez-arrazionalakantzematea.

Lanakaurreratu

•Zenbakiekineragiketakegitekolehentasunaketaparentesienerabileragogoratzea.

•Adierazpenosoerrazakkonparatzea,parentesienposizioaalda-tuz.

•Hainbatkalkulagailumotaerakustea.

•Zatigarritasunarilotutakokontzeptuaketaoinarrizkoprozedurakgo-goratzea.

•Buruzkokalkuluarenoinarrizkozenbaitteknikaberrikustea.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

14.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*) 18.or.Garapenteorikoa.(*) 12.or.1.ariketa.(*)

21.or.orrialdekoariketak.(*) 18.or.1.ariketa.(*)

19.or.Garapenteorikoa.(*)

19.or.4.ariketa.(*)

20.or.Ariketaebatziak.(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

11.or.PDhonetaniradoki-takoariketa.

10.or.PDhonetanira-dokitakoariketa.

10.or.PDhonetaniradokitakoari-keta

Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

24.or.«Joinformaziobila»ariketa.

18.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 11.or.Ebatzi.(*) 15.or.Pentsatuetapraktikatu.(*)

19.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 18.or.2.ariketa.(*) 22.or.Ebatziproblemak.(*)

23.or.Eginteoriariburuzkogo-goeta.(*) 23.or.Problemakorapilatsuagoak.

24.or.«Irakurri,hausnartuetaate-raondorioak»ariketa. 25.or.Trebatuproblemakebatziz.(*)

Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekime-naetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatuditugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditu-gu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

16

1110

1 Zatikiak

Ebatzi

1. Adierazi 73 antzinako Egiptoko eskribek bezala.

2. Adierazi era hamartarrean ondoren ageri den zenbakia; zenbaki hori xv. mendeko italiar matematikari batek idatzi zuen:

3;8,29,44Zenbaki esangarria al da hori matematikan? Zer zenbaki da?

3. Nola idatziko zenituzke goiko taulan 780, 3/5 eta 1,6 zenbakiak?

4. Zer zenbaki ikusten dituzu honako taulatxo honetan?

Babiloniarren sistema hirurogeitarra

Antzinako Mesopotamian zenbakiak buztinezko taulatxoetan nola idazten zituzten ulertzeko, erreparatu unitate hirurogeitarrak nola adierazten zituzten erakusten duten honako taula honetako adibideei:

602 60 1 1/60 1/602

→ 3 600 · 1 + 60 · 16 + 24 = 4 584

→ ,6024

52 0 4= =

→ 1 + 6024 = 1,4

→ …? = 1,4125

Sistema horrek bi zeinu bakarrik erabiltzen zituen ( = 10 eta = 1). Zeinu horien bidez, 1etik 59ra arteko zenbakiak idazten zituzten. Eta zenbaki horien balioa 1ekin, 60rekin, 602-rekin… edo 1/60-rekin edo 1/602-rekin… biderkatzen zen (posizioaren araberako sistema).

Zatiki hirurogeitarretatik forma hamartarrera pasatzea

Idazkera hirurogeitarrean adierazitako zenbakia era hamartarrera pasatzeko, nahikoa da dakigun eran eragitea. Hartu kontuan:N = 1;24,45 (forma hirurogeitarra)

N = 16024

6045 1 5

2801

2+ + = + + = 1 + 2 : 5 + 1: 80 = 1,4125 (forma hamartarra)

Zatiki hirurogeitarrak erabiltzeaAntzinako Mesopotamian, zenbakiak sistema hirurogeitarrean idazten zituzten. Eta zatiki hirurogeitarrak erabiltzen zituzten unitatearen zatiak adie-razteko ere: izendatzailea berrekizuna 60 zuen berreturaren parekoa izanik.

Orduan, 25 adierazteko, 24

60 idazten zuten eta 80

1 adierazteko 3 600

45 .

Mendebaldean, zenbaki osoetarako zenbaki-sistema hamartarra viii. men-detik aurrera erabiltzen zen arren, unitatearen zatiak adierazteko, zatiki hirurogeitarrak erabiltzen ziren. Esaterako, 1,4125 idazteko, 1;24,45 jar-

tzen zuten eta 1 + 6024 +

6045

2 zen horren esanahia.

Zatiki unitarioak erabiltzeaEgiptoarrek (xvii. mendea K.a.) zatiki unitarioak erabiltzen zituzten, hau

da zenbakitzailea unitatea dutenak. Adibidez, 25 adierazteko, 1

31

15+

idazten zuten.

xiii. mendean ere, Fibonaccik (Pisa, gaurko Italia), zatiki arruntak ezagutu eta menderatu arren, unitarioak erabiltzen jarraitu zuen.

Zatiki arruntak erabiltzeaZatikiak, gaur egun erabiltzen ditugun eran, ez ziren xvii. mendearen amaierara arte edo xviii. mendearen hasierara arte orokortu.

Astarteren atearen erreprodukzioa; antzinako Babiloniako sarreretakoa zen.

Luxorko obeliskoan (Tebas, Egipto), egiptoar zenbakiak adierazita ageri dira.

Mesopotamiako kontula-ritzako oholtxoa; K.a. 2630 urtea aldera egin zen.

Unitatea hasteko• Interesgarriaizandaitekeikasleekezagutzeazenbakizatikiarreketaha-martarrekantzinakozibilizazioetanizandituztenerabilerak;halaber,ohi-tureketatradizioakgarapenaeragoztekoedozailtzekodutenindarrariburuzerehausnardezakegu.Zenbakihamartarrenerabilerahorrenadibideda;izanere,gauregunezinbestekoakbadiraere,xvi.mendea-renamaieraraarteezzirenerabili.

• Irakasleaksistemahirurogeitarrareniraunaldianabarmendudezake.Sistemahorrekangeluaketadenboraneurtzekobaliodu,etababiloniarzibilizazioarengandikjarauntsigenuen,duela3000urtebainogehiago.

Aurrejakintzak identifikatzeko ideiak• 11.orrialdeanproposatutakoariketekin,honakohaulortunahida:ikas-leakzatikiekinjolastea,egiptoarrek,babiloniarrekedoErdiArokomate-matikaribatekegingoluketenbezala.Horrela,garaihorietanmotaho-rretakoeragiketakegiteazeinzailazenikusikodute,etagauregunditugunbaliabideaketaprozedurakbalioetsikodituzte.

IKTak Honakoariketahauiradokitzendugu:

Ikasleeieskatukodiegu,bakarka,orrialdehonetanlandutakoinformazioa(zatikiengarapenhistorikoa)garatzeko,datuetaxehetasungehiagobila-tuz.Gerotaldehandianeztabaidatukodugu,etabilatutakoinformazioaegiaztatukoetaosatukodugu.

Ekimena Honakoariketahauproposatzendugu:

Ikasleekzatikiunitarioekhistorianzeharizandituztenerabilereiburuzkoin-formazioabilatukoetasakondukodute.Halaber,zatikiarruntakzatikiuni-tariobihurtukodituzte,etaalderantziz.

Diziplinartekotasuna

Honakoariketahauiradokitzendugu:

a)Idatziegunerokotasunekohiruegoera,zeinetanzatikiakerabilgarriakdi-ren.

b)Idatzibesteikasgaibatzuetako(geografiako,historiako,fisikako…)hiruegoera,zeinetanzatikiakerabiltzendiren.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 Erantzunirekia.

Adibidez:

73

41

71

281

31

121

841= + + = + +

2 3,14159...πzenbakiada.

3 602 60 1 1/60 1/602

4 1.errenkada:4395.

2.errenkada:5,5.

3.errenkada:1,005

17

1312

Zenbaki osoak

Ondo dakizunez, 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, … zenbaki arruntak dira. Infinitu dira. Horien guztien multzoari N esaten zaio.

N = {0, 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, …}Zenbaki arruntek multzo bateko elementuak zenbatzeko balio dute. Elementuok ordenan jartzeko ere erabiltzen dira: 1., 2., 3., …Zenbaki osoak arruntak eta arrunten oposatuak dira (oso negatiboak). Zenbaki osoen multzoari Z esaten zaio.

Z = {…, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Zatikiak eta zenbaki zatikiarrak

Zenbaki osoek elementuak zenbatzeko balio dute, baina ez dira oso egokiak neu-rriak adierazteko. Neurtzeko, unitatea zatikatu egin behar izaten da: erdia, lau heren, zazpi milaren… Neurri horiek zatikien bidez adierazten dira: 1/2, 4/3, 7/1 000.Zatikia bi zenbaki osoren arteko zatidura adierazia da. Zatidura hori osoa

,26 3

312 4– –= =d n edo zatikiarra ,

217 8

21

513 2

53– – –= + =d n izan daiteke.

Zenbakitzailea izendatzailearen multiplo izanez gero, zatikiak zenbaki osoa adie-razten du eta izendatzailearen multiplo izan ezik, zenbaki zatikiarra.

Zenbaki oso guztien eta zenbaki zatikiar guztien multzoari zenbaki arrazio-nalen multzo esaten zaio eta Q zeinua erabiltzen da multzo hori izendatzeko. Zenbaki arrazionalak zatiki eran ipin daitezkeenak dira.

Zenbaki arrazionalak zuzenean adieraz daitezke.

–5 –4 –3 –2 –1 0

1–— 2

5–— 2

23 3— = 4 + — 5 5

10 3— = 1 + — 7 7

1 2 3 4 5 6

Zenbaki arrazionalak (osoak eta zatikiarrak) zuzenean biltzen dira eta horietako biren artean infinitu zenbaki arrazional daude.

Zatikiak sinplifikatzea

Zatikiaren zenbakitzailea eta izendatzailea (1 edo –1 ez den) zenbaki berarekin zatigarri izanez gero, bi horiek zenbaki berarekin zatitzen baldin baditugu, zatikia sinplifikatu edo laburtu egin dugula esaten da.

Adibidez: ; ;1525

35

128

64

32

45003000

32

– ––= = = =

Zatikia gehiago laburtu ezin baldin bada eta izendatzailea positibo izanez gero, laburtezina dela esango dugu.

Zatiki baliokideak

Zenbaki arrazional bakoitza zatiki askoren (infinituren) bidez adieraz daiteke: 3/5 = 6/10 = 9/15 = … Hortik sortzen da bi zenbakik zenbaki arrazional bera noiz adierazten duten jakiteko irizpidea ezarri beharra.

Bi zatiki baliokide direla esaten da, zatikiok sinplifikatuz gero, zatiki labur-tezin bera lortzen baldin bada; zatiki hori dagokion zenbaki arrazionalaren ohiko adierazpen gisa hartzen da.

3018 eta 35

21 baliokideak dira, zeren ::

53018

30 618 6 3== eta :

:5

2135 721 7

53

3 = = .

Zatikiak konparatzea

Zenbakitzaileei erreparatuz, erraz konpara daitezke izendatzaile bera duten bi zatiki. Izendatzaile desberdina duten bi zatiki konparatzeko, «izendatzaile komu-nera laburtuko ditugu», hau da, hurrenez hurren horien baliokide diren eta izen-datzaile bera duten bi zatikiren bila joko dugu.

1 Zenbaki arrazionalak

1. Egia ala gezurra?a) 3 zenbakia arrunta, osoa eta arrazionala da.b) –12 zenbakia osoa da, baina ez da arrunta. Arrazio-

nala ere bada.c)

57 zenbakia arrazionala da, baina ez da osoa.

d) 3

18–

arrazionala da, baina ez da osoa.

2. Idatzi koadernoan honako hau bezalako zuzena eta kokatu bertan, gutxi gorabehera, honako zenbaki hauek:

, , , , ,,17411

520

32

716

521

27

3– – –

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Pentsatu eta egin3. Egia ala gezurra?

a) 52 > – 7

4 lehenengoa positibo delako eta biga-rrena, negatibo.

b) 73

> 52 lehenengoa 1 baino handiago delako eta

bigarrena, 1 baino txikiago.

c) – 38 > – 7

4 lehenengoa –2 baino handiago delako eta bigarrena, –2 baino txikiago.

4. Konparatu buruz zenbaki bikote bakoitza:

a) 43 eta

34 b)

86 eta 7

8c)

53 eta

106 d) 3 eta

211

5. Ordenatu honako zatiki hauek txikitik handira:

127

64

95

43

1813

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

127 ,

85 eta

169 konparatzea. Izendatzaile komun mkt hartuko dugu: (12, 8, 16) = 48.

48 : 12 = 4 → ··7

12 47 4

12 4828= =

48 : 8 = 6 → 6 488

585 6 30

··= =

48 : 16 = 3 → 1 1 4869

6 39 3 27

··= =

Bistan denez:

484827

4828 30< <

Ondorioz:

8169

127 5< <

Zenbaki zatikiarrekin neurtzea

Neurtzea mota bereko bi magnitude erlazionatzea da.Ilargiaren bolumena Lurraren bolu-menaren 1/50 dela esaten dugunean, hartzen dugun unitatea Lurraren bolumena da. Eta grabitatea 1/6 g dela esanez gero, 1 g hartzen dugu unitate; hau da, Lurreko gainazaleko grabitatea.

Buruzko kalkulua

Sinplifikatu:

42

62

105

1510

3020

4030

4530

6040–

––

–

Buruzko kalkulua

Argi dago 32 <

47 dela, honengatik:

32 < 1

47 > 1

Konparatu:

a) 97 eta

211 b)

32 eta –

54

c) 4

17 eta 7

20 d) 235

eta 3

e) 2 eta 118 f ) 2 eta

36

Zergatik izen horiek…

Zergatik erabiltzen dugu Z zenbaki osoen multzoa adierazteko?Alemanez, zenbakia zahl idazten da.Zergatik erabiltzen dugu Q zenbaki arrazionalen multzoa izendatzeko?Ingelesez, quotient «zatidura» da: zenbaki arrazionalak bi zenbaki oso-ren arteko zatidura dira.

• Zenbaki osoak erabiliz egin beharreko eragiketak berrikusteko ariketak.

• Zenbaki osoak erabiliz egin beharreko eragiketak indartzeko ariketak.

Webgunean Zatikiak nola sinplifikatzen diren berrikusteko ariketak.

Webgunean

Iradokizunak• Hasteko,zenbakiarruntaketaosoakberrikusikoditugu.Halaber,zenbaki-eremuakhistorianzeharizandituenhedapenaetaizendapenagogora-tukoditugu.Horrezgain,etenpuntuaketazenbakizkozuzenakzenbakimultzohoriekadieraztekobaliodutelaaipatukodugu.

• Zatikiabizenbakiosorenzatidura(zenbakiosoaedozatikiarra)delakon-tuanizangodugu,etaneurrijakinbatadieraztekoosoerabilgarriadelagogoratukodugu,unitateazatikatzeabeharrezkoadenean.

• Zatikipositiboeketanegatiboek,baitazatikigisaadierazitakozenbakiosoekere,zenbakiarrazionalenmultzoragaramatzate:Qmultzora,ale-gia.Horrekin,zenbaki-eremuarenhandiagotzeariheldukodiogubestebehinere.

• Interesgarriaizandaitekeikasleekzenbakizatikiarrakzuzenbateanadie-razitaikustea,gutxigorabeherabadaere.Gogoetaegindezakete,eraberean,bizenbakirenartean(batabestetikosohurbilekoakizanikere)bestezenbakizatikiarbatzukbilatzekoaukerariburuz.

• Zatikienbaliokidetasunaegiaztatzerakoan,zatikiaklaburtezinbihurtzekoetaberdintzeaegiaztatzekoprozeduraerabilikodugu.Horrela,ikasleekemaitzazatikilaburtezingisaematekoohiturahartukodute,eskatzenezzaieneanere.

• Zatikiakkonparatzeko,izendatzailekomuneralaburtukodugu;izanere,hainbataplikaziotanosometodoerabilgarriada.

• Gaihauetanguztietan(baliokidetasuna,sinplifikazioa,konparazioa)buruzkokalkuluarenerabilerabultzatukodugu.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:

Indartzeko:3.orrialdeko1etik3rakoariketak.6.eta7.orrialdeetako1etik7rakoariketak.8.orrialdeko1etik5erakoariketak.

Sakontzeko:4.eta5.orrialdeetako1etik10erakoariketak.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Sakontzeko:Afitxako«Praktika»ataleko1.ariketa.Bfitxako«Praktika»ataleko1.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)E b)E c)E d)G

2

–5 –4 –3 –2 –1 0

–7—2

2—3

16—7

20—5

17—3

–21—5

–11—4

–3,5 0,67 2,29 4 5,67–4,2 –2,75

1 2 3 4 5 6

3 a)E b)E c)G

4 a)43

34

< b)86

87< c)

53

106

= d)3211<

5 95

127

64

1813

43

< < < <

OHARRAK

18

1514

Zatikiak batzea eta kentzea

Izendatzaile bera duten zatikien arteko batuketak (edo kenketak) egiteko, horien zenbakitzaileak batu (edo kendu) eta izendatzaile bera uzten da.

Izendatzaile desberdina duten zatikien arteko batuketak (edo kenketak) egiteko, lehenengo, eraldatu egiten dira izendatzaile bera izango duten baliokideak lortzeko.

Adibidez: 125 2

6042

6025

60120

6042 25 120

60137

107 – – –+ = + = + =

Zatikiak biderkatzea

Bi zatiki biderkatuz gero, beste zatiki bat lortzen da, eta horren zenbakitzailea zenbakitzaileen arteko biderkadura izango da, eta izendatzailea, izendatzaileen arteko biderkadura:

···

ba

dc

b da c=

Adibidez: ···

038

107

3 108 7

356

1528= = =

Zatikiak zatitzea

ba zatikiaren alderantzizkoa

ab da, honengatik ·

ba

ab =

··

b aa b = 1.

Esaterako, 75 -en alderantzikoa

57 da eta 3ren alderantzizkoa,

31 . 0ak ez du alde-

rantzikorik.

Bi zatikiren arteko zatidura lehenengoa bigarrenaren alderantzizkoarekin biderkatzearen emaitza da:

:ba

dc

ba

cd

b ca d·

··= =

Adibidez: : ·549

7 49

57

2063= = ; : ·3

116

116

31

336

112= = =

Zatikia eragile (kantitate baten zatia)

Kantitate baten, 1 200 euroren kasurako, 53 zenbat den kalkulatzeko, kantitate

hori 5ekin zatitzen da (horrela, badakigu bostena zenbat den) eta emaitza 3rekin

biderkatzen da. Hau da, kantitatea 53 -ekin biderkatzen da:

53 · 1 200 € = 720 €

K kantitate baten ba zatia zenbat den kalkulatzeko,

ba · K egiten da.

Adibideak

•Postariak 4 004 gutunen 3/28 banatu behar du. Zenbat gutun banatu behar ditu?328

· 4 004 = 3 · 28

4 004 = 3,143 = 429 gutun banatu behar ditu.

•Berta enpresa baten 7/20-en jabe da. Aurten, 37 800 € hartu ditu etekinen banaketan. Zenbat irabazi du enpresak guztira?

207 -en irabazia 37 800 € izanez gero,

201 -ena

737 800 = 5 400 € izango da.

Beraz, guztizko irabazia, 2020d n, honako hau izango da: 20 · 5 400 = 108 000 €.

Emaitza hori Bertari dagokion zatia (37 800 €) enpresan duen partearen alde-

rantzizkoarekin, 720 , biderkatuz ere lor zitekeen.

37 800 · 720 =

737800 · 20 = 5 400 · 20 = 108 000 €

Osotasunaren parteek (zatikiek) 1 egiten dute.

K kantitatearen dc -ren

ba zenbat den kalkulatzeko,

ba

dc K· · egiten da.

Adibidea

Albertok 104 000 euroko jaraunspenaren 3/8 hartu du; Bertak, 5/12 eta Klaudiak, gainerakoa. Klaudiak bere zatiaren 2/5 zorrak kitatzeko erabili du. Zenbat diru gelditzen zaio?

1 – 83 –

125 =

2424 9 10– – =

245 da Klaudiaren zatia.

Dagokion kantitatearen 52 gastatu duenez,

53 gelditzen zaio:

53 ·

245 · 104 000 =

81 · 104 000 = 13 000 € gelditzen zaizkio.

2 Eragiketak zatikiekin

Buruzko kalkulua

a) 32

35

34–+ b) 1 –

32

c) 21

41+ d)

57 – 1

e) 517 – 3 f )

317 – 5

Buruzko kalkulua

Kalkulatu totaletik zer zati dagokion zatiki bakoitzari:

a) 520 000 euroren 21 .

b) 1 000 000 pertsonaren 53 .

c) 500 eraikinen 710

.

Buruzko kalkulua

Kasu bakoitzean, adierazi zenbat den kantitate totala:

a) 350 totalaren 21 da.

b) 400 totalaren 32 da.

c) 350 totalaren 107 da.

Buruzko kalkulua

Kasu bakoitzean, adierazi zer zati falta den unitatea osatzeko:

a) ,??

21

41 eta b) ,

??

32

61 eta

c) ,??

41

61 eta d) , ,

??

21

41

81 etaBuruzko kalkulua

a) :55

6 3 b) 56 : 6

c) :56

21 d) :

31

61

Buruzko kalkulua

a) 3 · 97 b) ·

54

815

c) ·21

1312 d) · ·

521

32 3

Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu emaitzak:

1. a) 97 +

1211 b) 6 –

411 c) 3 ·

54

d) 6 : 54 e)

54 : 6 f )

54 :

61

2. a) :43

67

87

1225–+d n b) ·

1513

257

229

3313– –+d dn n

3. a)

43 1

21

43 1– –

+

d n b)

( )

( )

234

56

353

31

– · –

– · –d

d

n

n

4. a) ·

·153

6254

21

43

34 15

2–

–

–

+ d

d

n

n b)

·

·34 1

3

127

65

32

95

4 65– –

– +d

d d

n

n n

Pentsatu eta egin

5. Txirrindulari baten gaurko etapako 216 kilometroen 5/9 egin du. Zenbat kilometro egin ditu?

6. Bankutik, 3 900 € atera ditut; hau da, nire aurrezkien 3/11. Zenbat diru aurreztu dut guztira?

7. 5 250 litro ur duen putzutik, 4/15 Brauliorena da; 2/5, Endikarena, eta gainerakoa, Erramunena. Erramunek bere zatiaren 3/10 tomateak ureztatzeko erabili du eta gainerakoa, fruta-arbolak ureztatzeko. Zenbat ur era-bili du Erramunek fruta-arbolak ureztatzeko?

Pentsatu eta egin

• Zatikien arteko batuketak eta kenketak berrikusteko ariketak.

• Zatikien arteko batuketak eta kenketak indartzeko ariketak.

Webgunean

Zatikiekin egin beharreko eragiketa konbinatuak indartzeko ariketak.Webgunean

Zatikiak eragile eran berrikusteko ariketak.

Webgunean

Iradokizunak• Sarritan,zatikiekineragiketakegitekoorduan,ikasleekakatsakeginohidituzte,berezikizatikiakkonplexuakdireneanetaeragiketakegitekole-hentasunaetaparentesiarenerabileraaplikatubehardirenean.

• Batuketekinetakenketekin,izendatzailekomunetakotxikienaerabiltze-koesangodieguikasleei.

• Biderkaduranetazatiduran,honakohauproposatzendugu:izendatzai-leanetazenbakitzaileaneginbeharrekobiderketakadieraztea,etabi-derkaduraeginbainolehenfaktorekomunaksinplifikatzensaiatzea.

• Zatikibatidagokionzatiakalkulatzea,kantitateosoaizendatzailearekinzatituzetazenbakitzailearekinbiderkatuz,alderantzizkoproblemarekinosatzenda(kantitateosoakalkulatzea,zatikibatidagokionzatiaezagu-tzendenean).Halaber,zatikibatenzatikiarenkontzeptuaereaurkeztukodugu,hots,kantitateosoarieragitendionbizatikienzatidura.

• Kontzeptuhoriek,etazatiakbatzea1delakoideiak,zailtasun-mailaas-kotakoproblemakebaztekoaukeraemangodieteikasleei.

Indartu eta sakonduHonakoakgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:

Indartzeko:9.orrialdeko1etik5erakoariketak.12.orrialdeko1etik5erakoariketak.

Sakontzeko:9.eta10.orrialdeetako6tik11rakoariketak.13.orrialdeko6tik10erakoariketak.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktika»ataleko2,4eta5ariketak.

Sakontzeko:Afitxako«Praktika»ataleko6,7eta8ariketak.Bfitxako«Praktika»ataleko4.ariketa.

Lankidetzan ikasi

Orrialdehauetarako,etaeragiketakegitekotrebeziaindartzerabideratu-takobesteguztietarako,metodologiahonijarraitzeairadokitzendugu:

• Ikasleaktaldetxikitanbanatukodira(bikoedohirukotaldeak).

• Ikasleekadierazpenmultzobatebatzikodute,bakarka.Gero,soluzioaketaprozedurakegiaztatukodituzte.

• Ezadostasunakegonezgero,akatsakazaleratukodituzte.

Zalantzakargitzekogaiezbadira,edoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehartukodu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)61/36 b)13/4

c)12/5 d)15/2

e)2/15 f) 24/5

2 a)1/2

b)2/225

3 a)3/7

b)3

4 a)865/1788

b)–1/72

5 120kmeginditu.

6 14300€aurreztuditutguztira.

7 Erramunek1225litroerabiliditufruta-arbolakureztatzeko.

19

1716

Zenbaki hamartarrak, beste gauza batzuen artean, neurriak adierazteko balio dute, zenbaki hamartarrak erabiliz, bi zenbaki osoren arteko edozein balio adieraz daitekeenez gero.Zenbaki hamartarrak zenbakien zuzenean adierazten dira, horien bidez zuzeneko edozein puntutara asko (nahi dugun adina) hurbiltzeko eran:

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

3,43,33,23,13 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4

3,843,833,823,813,8 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,9

Prozesu horri jarraiki, puntu gorria zenbaki hamartar baten bidez adieraz dezakegu, nahi zango dugun adina hurbilduz (3,857…).

Zenbakien adierazpen hamartarraren bidez, zenbakiok balioztatu, konparatu eta era erosoan eta eraginkorrean joka dezakegu.

Zenbaki hamartarren motak

Zer motatako zenbaki hamartarrak dauden ikusiko dugu:• Hamartar zehatza zifra hamartarren kopuru mugatua duena da. Esaterako: 5,4; 0,97; 8; –0,0725• Hamartar periodikoa aldizka errepikatzen diren infinitu zifra hamartar

dituena da.

7,81818181… = ,7 81#

periodoa

0,735735735… = ,0 735&

Horiei periodiko puru esaten zaie, horietan periodoa berehala hasten delako komaren atzean.

, … ,, … ,

18 352222 18 3520 0454545 0 045

==

4!#

Periodiko nahasiak dira, periodoaren aurrean beste zifra hamartar batzuk dituztenez gero.

• Zehatzak ez periodikoak ez diren hamartarrak. Aldizka errepikatzen ez diren infinitu zifra dituzten zenbaki hamartarrak dira.

Adibidez: 2 = 1,4142135… π = 3,14159265…

Zatikitik hamartarrera

Zatiki baten adierazpen hamartarra lortzeko, zenbakitzailea izendatzailearekin zatitzen da. Zatidura izan daiteke:• Zenbaki osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiplo izanez gero.

Adibidez: 972 = 8;

15240– = –16

• Hamartar zehatza, zatiki sinplifikatuaren izendatzaileak 2 eta 5 faktore lehe-nak (edo horietako bat) bakarrik baditu.

Adibidez: 83 = 0,375;

40123 = 3,075;

2542 = 1,68

Hartu kontuan zergatik den horrela:

· ·

· · ,2 5123

2 5123 5

10123 25

10003075 3 075

40123

3 3 32

3= = = = =

2 eta 5 faktoreak bakarrik egonez gero, beti osa dezakegu oinarria 10 izango duen berretura izendatzailean.

• Hamartar periodikoa, zatiki sinplifikatuko izendatzaileak 2 eta 5 ez den faktore lehenen bat izanez gero.

Adibidez: 113

= ,3 6!

; 1186 = ,7 81

#;

6687 =

2229 = ,31 18

#

Zatidura zehatza baldin ez bada, zergatik da, ziur, periodikoa? Adibide baten bidez azalduko dugu: 3 : 7; zatiketa hori bazterrean dago eginda. 7rekin zatituz gero, hondarra 1, 2, 3, 4, 5 edo 6 bakarrik izan daitekeenez, uneren batean errepikatuko da eta, hortik aurrera, sekuentzia osoa errepikatuko da.

Zatiki laburtezin guztiek zenbaki hamartarrerako bidea ematen dute:•Hamartar zehatza, izendatzaileak 2 eta 5 faktoreak bakarrik izanez gero.•Hamartar periodikoa, izendatzaileak 2 eta 5 ez diren faktoreak izanez gero.Ondorioz, bata zein bestea zenbaki arrazionalak dira. Hala ere, infinitu zifra ez-periodiko dituzten hamartarrak ez dira arrazionalak.

3 Zenbaki hamartarrak

Gogoratu

Zenbaki arrazionalak zatiki eran jar daitezkeenak dira.

Gogoratu

Kalkulagailuetan, koma hamartarra-ren ordez, puntua jartzen da.

1 427,54 → {∫∫‘¢“|…∞¢}

Gogoratu

Pantaila deskriptiboa duen kalku-lagailuan, hamartarrekin eragi-nez soluzioa zatiki eran lortuz gero, hamartar bihur dezakezu Ë tekla sakatuz.

Gogoratu

Zenbakian, behin eta berriz erre-pikatzen den zifra hamartarren mul-tzoari periodo esaten zaio. Perio-doari dagozkion zifren gainean arkua jarriz adierazten da:

, ,7 18 35281# !

Adibidea

3,0 720 0,428571

60 40 50 10 3er

repi

katu

egi

ten

da

Hortik aurrera, zatidurak eta hon-darrak errepikatu egiten dira.

1. Adierazi zer motatako zenbaki hamartarra den honako hauetako bakoitza:3,52 ,2 8

! ,1 54

# 3 = 1,7320508…

2,7 3,5222… π – 2 = 1,1415926…

2. Ordenatu txikirik handira honako zenbaki hauek:,2 5!

2,5 ,2 35!

2,505005…

3. Idatzi 2,5 eta ,2 5!

zenbakien arteko hiru zenbaki.

Pentsatu eta egin

4. Egia ala gezurra?

a) 31 = 0,333… = ,0 3

!

33 = 3 · 0,333… = 0,999… = ,0 9

!

33 = 1, denez, ,0 9

! = 1 da.

b) ,45!

= ,5 44#

c) ,3 72#

= 3,7272727… = 3,727#

d) ,0 3!

+ ,0 6!

= 1

5. Zatiketa egin gabe, eta zatiki sinplifikatuko izen-datzailea bakarrik kontuan hartuta, adierazi honako zatiki hauetatik zatiki zehatzak ala hamartar perio-dikoak aterako diren:

a) 15044 b)

15042 c)

1024101 d)

5001001

6. Kalkulatu koadernoan:a) ,7 45#

– ,3 454#

b) 6 – ,3 9!

c) ,3 5!

+ ,2 3!

+ ,1 1!

Pentsatu eta egin

Iradokizunak• Hasteko,zenbakihamartarrakzuzenbateangrafikokinolaadierazibehardirengogoratukodugu.Halaber,zenbakihamartarbatenbitartezho-nakoaazaldukodugu:nolahurbildupuntubateranahidugunadina.Horilortzeko,geroetatartetxikiagoakhartukoditugu;tartehoriek,hamarzatiberdinekinhandituzetazatituz,zifrahamartarberriaadieraztendute.

• Eraberean,hamartarmotadesberdinakgogoratukoditugu,baitahoriekadieraztekoerabiltzendennotazioaere.

• Kalkulagailuaikerketa-tresnaerabilgarriaizandaitekezatikitikhamarta-rrerapasatzeko.Ikasleekkasubatzuenerregulartasunaikusikodute,kalkulagailuarenteklahauekerabiliz:zatiketa,faktorekonstanteazatike-taketazatikiakhamartarbihurtzea.Horietanguztietan,kalkulagailuaknolabiribiltzenduenizanbehardugukontuan,periodoariburuzkoza-lantzakekiditeko.

Honahemenzenbaitadibide:

– Ikasleeieskatulehenhamarzenbakiarruntak3rekinzatitzeko,a/3motako edozein zatikiren periodoa zein den jakin dezaten.Horretarako,a-k3renmultiploekinduenerlazioakontuanhartube-harkodute.

– 1/9zatiduralortzea,eta,hortikaurrera,adenedozeina/9hamartaradierazpenaidaztea.

Modubereanlaneginez,ikasleekhonakoideiahauekondorioztatube-hardituzte:zerzatikiklortzendituztenhamartarzehatzakedoperio-dikoak,etahorietakoedozeinzenbakiarrazionaladela.

• Orrialdebakoitzarenamaierakoariketakosolaguntzaonadiraikasitakokontzeptuaketaprozedurakfinkatzeko.

Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizenekokoadernotik:

Indartzeko:14.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:6rekinzatitzeanlortzendirenbalizkoperiodoakikertzea.adenedozeina/6-rakoorokortu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 3,52 Hamartarzehatza.

,2 8! Hamartarperiodikopurua.

,1 54$

Hamartarperiodikopurua.

3 =1,7320508… Hamartarez-zehatzaetaez-periodikoa.

2,7 Hamartarzehatza.

3,5222… Hamartarperiodikonahasia.

π–2=1,1415926… Hamartarez-zehatzaetaez-periodikoa.

2 , , , … ,2 35 52 5 2 505005 2< < <! !

3 Erantzunirekia.

4 a)E b)E c)E d)E

5 a)Periodikoa. b)Zehatza. c)Zehatza. d)Zehatza.

6 a)4 b)2 c)7

OHARRAK

20

1918

Ikusi dugunez, zatiki bateko zenbakitzailea izendatzailearekin zatituz gero, emaitza zenbaki hamartar zehatza edo periodikoa (purua edo nahasia) da. Orain, alderantzizko problema planteatuko dugu: zer zatiki dagokio zenbaki hamartar bati?

Hamartar zehatzetik zatikira

Oso erraza da zenbaki hamartar zehatza zatiki eran adieraztea, izendatzailea berrekizuna 10 duen berreketa denez gero.

Adibidez: 2,5 = 1025 =

25 ; 3,41 =

100341 ; 0,004 =

10004 = 1

250

Hamartar periodiko purutik zatikira

Bi adibiderekin, gauzatu beharko litzatekeen prozesua ikusiko dugu.

• Zifra bakar bateko periodoa: N = ,5 4!

= 5,4444…

,, …

NN

10 54 4445 44410

…==

4 Kenketa eginda, atal hamartarra desagertu egiten da:

10N – N = 54 – 5 → 9N = 49 → N = 9

49

Egiaztatzea: 49 / 9 = {∞…¢¢¢¢¢¢¢¢¢}

• Hainbat zifra dituen periodoa: N = ,6 207&

= 6,207207207…

,, …

NN

1000 6 207 2072076 2072071000

…==

3 Kenketa eginda, atal hamartarra desagertu egiten da:

1 000N – N = 6 207 – 6 → 999N = 6 201 → N = 999

6 201

Egiaztatzea: 6 201 / 999 = {\…“≠|“≠|“≠|}

Zenbaki periodiko purua, N, zatiki eran idazteko:•N berrekizuna 10 duen berreketa batekin biderkatuko dugu atal hamartar

bera duen beste zenbaki bat aurkitzeko.•Bi zenbakien arteko kenketa eginez gero, zenbaki osoa lortuko dugu.•N bakanduta, aurkitu nahi izan dugun zatikia lortuko dugu.

Hamartar periodiko nahasitik zatikira

• Zatiki eran adieraziko dugu N = ,52 63#

:

N = 2,5636363… 10ekin biderkatuko dugu hamartar periodiko purua lortzeko.

10N = 25,636363… Orain, 100ekin biderkatuko dugu atal hamartar bera duen beste bat lortzeko.

1 000N = 2 563,636363… Azken hori besteari kenduz gero, atal hamartarra desagertu egiten da. Hau da, zenbaki osoa lortzen da.

1 000N – 10N = 2 563 – 25 → 990N = 2 538 → N = 990

2538

Egiaztatzea: 2 538 / 990 = {“…∞\«\«\«\«\}• Beste adibide bat: N = ,0 07324

& = 0,07324324324…

100N = 7,324324… Periodiko purua lortzen da. 100 000N = 7 324,324324… Beste bat, zati hamartar berarekin.

100 000N – 100N = 7 324 – 7 → 99 900N = 7 317 → N = 999007 317

Egiaztatzea: 7 317 / 99 900 = {≠…≠|«“¢«“¢«“¢}

Zenbaki periodiko nahasi bat, N, zatiki eran idazteko:•N bi aldiz biderkatuko dugu berrekizuna 10 duten berreketen bidez, periodo

bereko bi zenbaki hamartar periodiko puru lortzeko.•Horien arteko kenketa eginez, zenbaki osoa lortzen da.•N bakanduta, nahi genuen zatikia lortzen da.

Hamartar ez-periodikoak

Periodiko ez diren infinitu zifra hamartar dituzten zenbaki hamartarrak ezin dai-tezke zatiki eran jarri. Beraz, ez dira arrazionalak. Adibidez:•0,121221222122221… Erregulartasuna egon arren, ez dago periodikotasunik.

•π = 3,141592653589…• 2 = 1,414213562373…

π-ren ondoz ondoko zifra hamartarrek ez dute erregulartasunik. Gauza bera gertatzen zaie 2-ri eta gainerako erro zehaztugabeei ere.

4 Hamartarretik zatikira

Hartu kontuan

N bider 10 eginez gero, atal hamartar bera izango duen beste zenbaki bat lortuko da.

Hartu kontuan

N bider 1 000 eginez gero, atal hamartar bera izango duen beste zenbaki bat lortuko da.

1. Adierazi zatiki eran:

a) 6,2 b) 0,63 c) 1,0004

d) ,53!

e) ,0 1!

f ) ,2 7!

g) ,0 23#

h) ,41 041&

i) ,40 028&

j) ,5 9!

k) ,7 009&

l) ,0 99#

2. Hartu kontuan: , , ,0 208 0 791 0 999 1+ = =& & &

.Egiazta ezazu, batugai bakoitza zatiki eran adieraziz eta zatikiak batuz.

3. Egin aurreko orrialdeko 6. ariketako b) eta c) atalak, aurretiaz hamartarrak zatiki bihurtuz eta zatikiokin eraginez.

Pentsatu eta egin

4. Kasu bakoitzean, osatu zenbakiak zatiki eran adierazteko prozesua:

a) ,, …

, …, …

NNN

6 217 1001000

6 21777621 777776 217 7777

===

*!

b) ,,

,,

NNN

1000100000

0 031620 031626231 6262623162 626262

……

…

===

*#

5. Adierazi zatiki eran honako hamartar hauek:a) ,6 25

! b) ,0 001

! c) ,05 18

#

6. Honako zenbaki hauetako zein dira arrazionalak? Adieraz itzazu zatiki eran:a) 3,51 b) 5,202002000… c) ,5 03

#d) 0,3212121… e) π = 3,141592… f ) ,7 4331

&

7. Dagozkien zatikiak lortuz, egiaztatu ,5 48#

= ,5 484#

dela.

Pentsatu eta eginArrazoibiderako laguntza: hamartar periodiko purutik zatikira pasatzea.

Webgunean

Arrazoibiderako laguntza: hamartar periodiko nahasitik zatikira pasatzea.

Webgunean

Zenbaki hamartarrak zatiki eran adierazteko adibideak.

Webgunean

Iradokizunak

• Ikasleekbadakitezenbakiarrazionalakzatikieranjardaitezkeela,etaza-tikihoriekinzenbakiosoedohamartarzehatzedoperiodikoaklordai-tezkeela.Orrialdehauetan,ordea,alderantzizkoarazoariheldukodiogu:zenbakihamartarzehatzedoperiodikobatidagokionzatikiabilatzea,alegia.

• Zenbakihamartarzehatzeidagokienez,zatikibaliokidebatbilatube-harkodugu,izendatzaileaberrekizuna10duenberreketaduena.Gero,sinplifikatukodugu.Prozesuaosoerrazada.Hamartarperiodikoekin,or-dea,ezdagauzaberagertatzen;horidelaeta,hainbatazalpenargigarribilduditugu,ikasleekprozesuaulerdezaten.Hainbataldizaplikatuzge-ro,ikasleekprozedurabarneratukodute.

• Prozeduraikastekohainbatariketaplanteatudaitezke.Adibidez:

– 1tik 9rakodigituak 9rekin zatitzea, etaperiodoari erreparatzea.Horrela,honakoaikusdezakegu:

, , , ,0 898

5 8 598

953

etahorrenbestez= = + =! !

– 10etik100rakozenbakiak99rekinzatitzea,etabizifrarenperiodoarierreparatzea.Horrela,ondoriohauaterakodugu:

, ,5 17 175 0 59917

99512

= + = + =$ $

– Hamartarperiodikonahasietarakoantzekoteknikaerabildezakegu:

8,,

,2 13710

21 3721 37 21

9937

992 116

= = + =$ $ $

,/

2 13710

2 116 999902 116

= =$

• Ideiahaunabarmendukodugu:prozesuhauhamartarfinituedoperio-dikoetarabakarrikaplikadaiteke.Halaber,infinituzifraez-periodikodituz-tenhamartarrakezindirazatikieraneman.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.Koadernotik:

Indartzeko:14.eta15.orrialdeetako4tik8rakoariketak.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktika»ataleko3.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktika»ataleko2.eta3.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)31/5 b)63/100 c)10004/10000 d)32/9

e)1/9 f) 25/9 g)23/99 h)41000/999

i) 39988/999 j) 54/9 k)7002/999 l) 99/99=1

2 999208

999791

999999+ = =1

3 b)2 c)7

4 a)5526/900=1399/225 b)3131/99000

5 a)563/90 b)1/900 c)4968/990=276/55

6 a)351/100 b)Ezdaarrazionala. c)498/99=166/33

d)318/990=53/165 e)Ezdaarrazionala. f) 74257/9990

7 8 8

8 8

,

,, ,

N N N

M M M

5 48 100 54399543

5 484 1000 10 5 4309905 430

99543

5 48 5 484–

–

= =

= = ==

_

`

a

bbb

bb

$$

$ $

21

Ariketak eta problemak

21

Ariketa eta problema ebatziak

20

Egin

Zatikiak eta hamartarrak

1. Sinplifikatu honako zatiki hauek:

6024

72114

6851

3926

50125

400225

2. Taldekatu zatiki baliokideak.

4921

3624

54

2114

1510

3515

73

3. Atal bakoitzean, laburtu izendatzaile komunera eta ordenatu txikitik handira:

a) 65 ,

53 ,

32 ,

107 ,

158

b) – 21 , – 5

8, –

127 , –

43

c) 2411 , –

47 ,

83 , –

61 , 5

12, – 5

3

4. Adierazi zenbaki osoaren eta zatikiaren arteko batuketa eran, adibidean bezala:

• 38 =

36 2+ =

36 +

32 = 2 +

32

a) 58 b) 15

8 c)

716 d) –

23 e) –

37

5. Adierazi zenbaki hamartar eran honako zatiki hauek:

13259

913

623

20017

75

990233

22

6. Zatiketa egin gabe, adierazi zein diren hamartar zehatzak eta zein diren hamartar periodikoak.

23

54

913

··

3 57 11

2 ·2 5

192

·· ·5 7

3 7 232

7. Sailkatu honako zenbaki arrazional hauek zatiki zehatz edo periodikotan (saiatu zatiketa egin baino lehen erantzuten):

34

52

501

1113

6017

25081

8. Idatzi hamartar bikote bakoitzaren arteko hiru zenbaki:a) 1,6 eta 1,8 b) 0,98 eta 1 c) 0,28 eta 0,29d) 0,345 eta 0,346 e) ,2 3

! eta 2,4 f ) – 4,5 eta – 4,4

9. Ordenatu txikitik handira atal bakoitzean:a) 3,56; ,53 6

!; ,3 5!

; ,3 56#

b) –1,32; – ,31 2!

; – ,1 32#

; – ,1 3!

10. Adierazi zatiki eran.a) 3,7 b) 0,002 c) –1,03d) ,52!

e) ,0 21#

f ) ,14 3!

11. Adierazi zatiki eran.a) ,30 2

! b) ,01 3

! c) ,00 12

#d) – ,3 15

# e) , 55 34

! f ) ,09 9

!

Eragiketak zatikiekin

12. Kalkulatu eta sinplifikatu buruz honako adieraz-pen hauek:

a) 2 + 31 b)

21 +

41 c)

21 –

51

d) 2 · 54

e) 32 : 2 f )

53 ·

31

g) 32 ·

49 h)

712 : 3 i)

37 · 21

13. Kalkulatu buruz zenbat den:

a) 60ren 32 b) 100en

43 c) 500en

5003

d) 32 -en erdia.

e) 712 -en herena.

f ) – 6ren bostenaren erdia.

14. Kalkulatu buruz zer zenbaki eskatzen den bakoi-tzean:a) Zenbaki baten bi heren 22 da. Zer zenbaki da

hori?b) Zenbaki baten bost laurden 35 da. Zer zenbaki da

hori?c) Kantitate baten zazpi hamarren 210 da. Zer kanti-

tate da hori?

15. Laburtu zatiki batera.

a) 3 +

72321

– b)

–

65

127

41

32

– c)

·

51

21

87

53

–

1. Eragiketak zatikiekin

Kalkulatzea eta sinplifikatzea.

21 2

34 1

2

23 4

35

37

2

– – –

– –

d

d

dn

n

n

Eragiketak pausoz pauso egingo ditugu, kontuan hartuz parentesiak eta eragiketen arteko lehentasuna. Pauso bakoitzean, emaitza partzialak sinplifikatuko ditugu.

–

23

34

23 4

3

2

23

1

67

1

6734

65

61

5–

–

– ––=

+= =

+d

d

n

n

2. Hamartar periodikoak

, 94 12!

eta 4,13 zenbakiak zatiki beraren bidez adierazten direla egiaztatzea.

Zeuk egin. Zer hamartar zeha-tzekin identifika ditzakegu ,5 9

!;

,8 39!

eta , 90 00!

zenbakiak?

, 94 12!

zatiki eran adieraziko dugu:

N = , 94 12!

→ , …, …

NN

1000 4129 999100 412 999

==

* Atalez atal kenduko dugu:

1 000N – 100N = 4 129,999… – 412,999… → 900N = 4 129 – 412 = 3 717

N bakanduko dugu → N = 900

3717 = 100413 = 4,13

3. Zatikiekin banatzea

Hiru neska-lagunek, saria ira-bazi eta gero, honela banatu dute: Mireni totalaren 2/5 dagokio; Monikari, Mirenek hartu duenaren 2/3 eta Pau-leri, gainerakoa. Bakoitzak elkarte bati eman dio seirena. Monikak, bere zatia eman eta gero 36 € lortu ditu. Totalaren zer zati hartu du bakoitzak? Zer kantitate hartu du bakoi-tzak?

Mirenek sariaren 2/5 hartu du.

Monikak, ·32

52

154= , eta Paulek, gainerakoa, hau da: 1 5

2154

31– + =c m

1/6 eman eta gero, bakoitzak dagokionaren 5/6 hartuko du.

Monikak 36 € hartu ditu; hau da, totalaren · 15 92

65 4

9020= = ; ondorioz,

banatuko den saria da:

36 · 29 = 162 €

Mirenek hartuko duen zatia totalaren ·52

31

65 = da; Monikarena, 9

2 ; eta Pau-lerena, 3

165

185· = .

Mireni 162 · 31 = 54 € emango dizkiote; Monikari, 36 €, eta Pauleri,

162 · 185 = 45 €.

4. Txorrotak eta zatikiak

A txorrotak 2 orduan betetzen du depositua eta B txorrotak, 3 orduan. Deposituaren hus-tubideak 6 orduan husten du, txorrotak itxita daudela. Bi txorrotak eta hustubidea irekiz gero, zenbat denbora beharko da depositua betetzeko?

A txorrotak depositua 2 orduan betez gero, ordubetean horren 1/2 beteko du.B txorrotak, ordubetean, deposituaren 1/3 betetzen du.Hustubideak ordubetean deposituaren 1/6 husten du.Hirurak batera irekiz gero, ordubetean beteko da:

1/2 + 1/3 – 1/6 = deposituaren 2/3

Beraz, denbora hau beharko da: 1 : 32 = 2

3 h = 1,5 h = 1 h 30 min.

Iradokizunak• «Ariketaetaproblemaebatziak»izenekoorrialdean,ikasleekhainbates-trategia,iradokizun,jarraibideetapistaaurkitukodituzte;horiekguztiakosoerabilgarriakizangozaizkieunitatearenamaierakoorrialdeotakopro-blemakebazteko.

• Atalarenhelburuahonakohauda:ikasleek,egoeraproblematikobate-kintopoegitendutenean,problemakebaztekoprozedurakerabiltzekogaiizatea.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

2 6;8,4eta0,01hamartarzehatzekinidentifikaditzakegu,hurrenezhurren.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 ; ; ; ; ;6024

52

72114

1219

6851

43

3926

32

50125

25

400225

169= = = = = =

2 4921

3515

73

= = 3624

2114

1510

= = 54

3 a) 8, , , ,3025

3018

3020

3021

3016

158

53

32

107

65

< < < <

b) 8, , ,2412

2415

2414

2418

43

85

127

21– – – – – – ––< < <

c) 8, , , , ,2411

2442

249

244

2410

2440

47

35

61

83

125

2411– – –

– – –< < < < <

4 a)153

+ b) 187+ c) 2

72+ d) 1

21– – e) 2

31– –

5 , ; , ; , ; ,259 0 36

913

1 4 3623

3 820017 0 085= = = =

! !

, ; , ; ,75

0 714285 35 590990233

0 22213

0= = => ?;;;; > ?;;$

6 Hamartarzehatzak→ , ,·

,·

· ·23

54

2 519

5 73 7 23

2

2

Hamartarperiodikoak→ ,··

913

3 57 11

2

7 Hamartarzehatzak→ , ,505

2 125081

Hamartarperiodikoak→ , ,6017

34

1113

8 Erantzunirekia.

9 a) , , , ,3 5 56 63 56 3 3 5< < <! $ !

b) , , , ,1 3 32 21 1 3 1 32– – – –< < <! $ !

10 a)1037

b)10002

5001= c)–

100103

d)923

e)9921

337= f)

9129

343

=

11 a)9029 b)

9093

3031

= c)1652

99012 =

d)33104

99312

= e)9004 811

f)90819

12 a)7/3 b) 3/4 c) 3/10 d) 5/2 e) 1/3

f) 1/5 g)3/2 h)4/7 i) 49

13 a)40 b)75 c)3 d)1/3 e)4/7 f) –3/5

14 a)33 b)28 c)300

15 a)7/11 b)–5/3 c)–7/4

22

22 23

Ariketak eta problemak16. Egin ariketak eta, faktoretan deskonposatuz, sin-

plifikatu adibidean bezala:

• 2115

257

21 2515 7

3 7 5 53 5 7

51·

··

· · ·· ·= = =

a) ·53

2120 b)

256

185· c)

712

3635·

d) 169

2720· e) 13

12 6584· f )

3590

3614·

17. Laburtu honako adierazpen hauek zatiki bakar batera:

a) ·1 1 121

4 8 16– –

b) 53

41 2

43

52 1– – –+ +d dn n

c) ·131 1 1 1

43

2 3 4– –+ +d d dn n n

d) 331 1

43

21

32

203

5– – – –+ +d dn n> H

18. Kalkulatu pausoz pauso eta, gero, kalkulagailuan zatikiaren eta parentesiaren teklak erabiliz, egiaztatu emaitzak.

a) · :31

21

32

34

21

43– –+ +d n

b) ( )3 141 2

32

83– – –

2+d n

c) · :65

31

35

25 2

41 2

21– –+ +d dn n> H

19. Kalkulatu eta egiaztatu kalkulagailuarekin.

a) : :542 1 3

21

41– –+d dn n

b) 32

41 132 6

165

3– ––

2 2d dn n

c) 83 3

53

2017 1

31 3– – – – · –d dn n> H

d) :3 3

2 1291 13

32– ––

2+d d dn n n> H

20. Kalkulatu, aurretiaz zatiki bihurtuz.a) 3,5 + ,2 3

! b) ,10 2

! – 0,2

c) ,1 6!

– ,01 2!

d) ,3 42#

+ ,7 6!

e) ,2 3!

+ ,4 6!

f ) ,6 17#

+ ,3 82#

Erabili ikasi duzuna21. 288 orrialdeko liburuaren 3/8 irakurri dut.

Zenbat orrialde falta dira liburua amaitzeko?

22. Jonek 1,60 m-ko altuera du, aitaren altueraren 5/6. Zer altuera du Jonen aitak?

23. Ikasgela bateko 28 ikasleetatik, 4/7-ek dena gain-ditu dute; azken horietatik, 1/8-ek bikain atera dute batez beste. Zenbat ikaslek atera dute bikain? Zenba-tek ez dute gainditu gairen bat?

24. Julenek bere diruaren 1/3 liburutan eralgi du eta 2/5, diskotan. 36 € ditu sobera. Zenbat diru zuen?

25. 600 g zerealen nahastean, 7/15 garia da; 9/25, oloa eta gainerakoa, arroza.a) Zer zati dagokio arrozari?b) Zereal bakoitzaren zer kantitate dago?

26. Liburutegi bateko 300 liburuetatik, 1/6 olerki-liburuak dira; 180, eleberriak eta gainerakoak, histo-riari buruzkoak. Zer zati dira historiari buruzkoak?

27. Bidoi bat oliotik, lehenengo, erdia atera da eta, gero, gelditzen zenaren bostena. Hiru litro gelditzen dira bidoian oraindik. Zer edukiera du bidoi horrek?

28. Fruta-denda batean, eguneko salmenten 5/6 frutei dagokie eta gainerakoa, barazkiei. Fru-tak salduz sartu den diruaren 3/8 laranjei dago-kie eta egun horretan 90 € sartu dira. Zenbat diru bildu da guztira? Zer zati dagokie barazkiei?

Ebatzi problemak 29. Bankuko kontutik, lehenengo, 3/8 atera dugu

eta, gero, geratzen zenaren 7/10. Orain, 1 893 euroko balantza dago. Zenbat diru zegoen hasieran?

30. Olio-depositu baten erdia hustu da; gero, geldi-tzen zenaren erdia; gero, gainerakoaren 11/15. Orain, 26 l daude. Zenbat litro zeuden hasieran?

31. Epeka, 540 euroko bizikleta erosiko dut. Lehe-nengo hilean, 2/9 ordaindu dut; bigarrenean, ordaintzeko gelditu denaren 7/15 eta, gero, 124 €.a) Zenbat ordaindu dut bakoitzean?b) Prezioaren zer zati gelditzen zait ordaintzeko?

32. 10 kg aran erosi dira marmelada egiteko. Hezu-rrak kenduta, pisua 1/5 txikiagotu da. Gelditzen dena azukre kantitate berarekin egosi da eta, egoske-ran, pisuaren 1/4 galdu da. Zenbat kilo marmelada lortu dira?

33. 120 m luze den zelai angeluzuzen baten metro karratua 50 euroan jarri da salgai, bi sail bereizita. Lehenengo saila zelaiaren 7/12 da eta 140 000 euroan saldu nahi da. Zer zabalera du zelai horrek?

34. Bi nekazarik, aita-semeak dira, bi orduan egin dute lan lursail bat goldatzeko. Aitak, bakarrik lan eginez gero, 6 ordu beharko ditu. Zenbat denbora beharko du semeak berak bakarrik lan hori egiteko?

35. Iturri batek 9 orduan betetzen du depositu bat. Txorrota ez ezik hustubidea ere irekiz gero, 36 ordu beharko dira. Zenbat denbora beharko du hustubi-deak depositua husteko, txorrota itxita egonez gero?

Problema korapilatsuagoak 36. Lagun talde batekoak pizzeriara joan dira bazkal-

tzera eta hiru motatako pizzak eskatu dituzte: A, B eta C. Bakoitzak A pizzaren 1/2, B pizzaren 1/3 eta C pizzaren 1/4 hartu du; guztira, 17 pizza eskatu dituzte eta, normala denez, ez da pizza osorik sobera gelditu.a) Pizza bat baino gehiago ala gutxiago hartu du

bakoitzak? Zenbat lagun dira?b) Mota bakoitzeko zenbat pizza eskatu dituzte? Egon

al da zatirik sobera?c) Erantzun galdera berei, 20 eskatu dituztela jota.

37. Honako hau irakur daiteke piku-marmelada egi-teko errezeta batean: «gehitu 400 g azukre eta, piku-kilo bakoitzeko, 100 g ur». Merkatuan postua duten A, B eta C lagunek honako kantitate hauek prestatu dituzte:A → 5/8 kg-ko 2 ontzi eta 9/25 kg-ko 4 ontzi.B → 1/5 kg-ko 3 ontzi eta 5/8 kg-ko 3 ontzi.C → 9/25 kg-ko 5 ontzi eta 1/5 kg-ko 2 ontzi.a) Hiruretako zeinek prestatu du kantitaterik han-

diena?b) Pertsona batek 3/4 kg eskatuz gero, zein da kanti-

taterik hurbilena emateko modua?c) Egostean, ura lurrundu egiten da; zer azukre-

proportzio du marmeladak?

Egin teoriari buruzko gogoeta 38. Honako zenbaki hauetako zein ez dira arraziona-

lak? Idatzi zenbakiok zatiki eran, posible izanez gero:a) 0,018 b) 2 c) 1,212112111…d) 2π e) 7,03232… f ) ,0 23

#

39. a) Adierazi hamartar eran honako hauen balioa:

…107

1007

10007+ + +

b) Idatzi emaitza zatiki eran.

40. Bilatu 1/3 eta 1/2 zatikien arteko lau zenbaki zatikiar. Zenbat daude?

41. Zatitu 3rekin 10etik beherako hainbat zenbaki eta erreparatu emaitzei. Zer gerta daiteke 3rekin zatitzen dugunean?Aurresan ditzakezu 30 : 3; 31 : 3 eta 32 : 3 zatiketen zatidurako zifra hamartarrak?a : 3 zatiketaren zatidurako atal hamartarra 6666… da. Zenbat izan daiteke (a + 1) : 3-ren eta (a + 2) : 3-ren atal hamartarra?

42. Egia ala gezurra? Azaldu eta eman adibideak.a) Arrazionalak ez diren zenbaki hamartarrak daude.b) Bi zenbaki hamartar zehatzen zatidura beti da

hamartar zehatza.c) Bi zenbaki hamartar periodiko puru batuz gero,

hamartar periodiko purua lortzen da beti.d) Zenbaki oso guztiak adieraz daitezke zatiki eran.

43. Honako zatiki hauetako zein da a /b -ren balio-kide ?

ba

11

++

ba

32

bab

2 ba

22

44. Jakinik a > b > c > 0 dela, konparatu honako zatiki bikote hauek eta adierazi zein den txikiena kasu bakoitzean:

a) ba

caeta b) c

acbeta c) a

bcbeta

45. Zatitu 11rekin 1etik 10erako zenbakiak eta idatzi emaitzak.a) Zenbat hamartar desberdin atera daitezke?b) Ba al du erlaziorik horrek 11rekin zatitzearekin?c) Aurresan dezakezu zenbat den 23 : 11 eta 40 : 11

zatiketen emaitza?

35 12hbeharkoditu.

36 a)13/12pizza,pizzabatbainogehiago.15lagundira.

b)Amotako8,Bmotako5,etaCmotako4.Apizzaren1/2egondasobera,etaCpizzaren1/4.

c)Bakoitzakpizzaren13/12hartudu,pizzabatbainogehiago.18la-gundira.

37 a)Alaguna.b)1/5ekopotobateta9/25ekobat.c)2/7→%28,6

38 a)18/1000 b)Ezdaarrazionala. c)Ezdaarrazionala.

d)Ezdaarrazionala. e)6962/990 f) 23/99

39 a)0,777...=0,7! b)7/9

40 Erantzunirekia.Infinitudaude.

41 3rekinzatitzendugunean,3koedo6koperiodoaduenzenbakihamar-tarperiodikopurubatedozenbakizehatzbatlordezakegu.

30:3→Ezdaukazifrahamartarrik.

31:3→3koperiodoaduenperiodikopurua.

32:3→6koperiodoaduenperiodikopurua.

(a+1):3→Ezdaukazatihamartarrik.

(a+2):3→3koperiodoaduenperiodikopurua.

42 a)E b)G c)E d)E

43 .:bab

ba

ba

eta honako honenbaliokideak dira2 2

2

44 a)ba

ca

< b) cb

ca

< c) ab

cb

<

45 a)10hamartardesberdinateradaitezke.

b)Bai. c) , ; ,1123

2 091140

3 63= =$ $

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

16 a)4/7 b)1/15 c)5/3 d)5/12 e)7/5 f) 1

17 a)13/32 b)1 c)59/48 d)–1/3

18 a)–1 b)15/8 c)11/4

19 a)–26/3 b)0 c)–3/4 d)–3

20 a)35/6 b)–13/165 c)29/45 d)122/11 e)7 f) 10

21 180orrialdefaltadiraliburuaamaitzeko.

22 Jonenaitak1,92metrokoaltueradu.

23 Bikain:2ikaslek.12kezdutegairenbatgainditu.

24 135eurozituen.

25 a)13/75b)280ggari,216goloeta104garroz.

26 7/30dirahistoriariburuzkoliburuak.

27 Bidoiak7,5litrokoedukieradu.

28 288eurobildudiraguztira,eta48eurodagozkiebarazkiei.

29 Hasieran10096eurozeuden.

30 Hasieran540litrozeuden.

31 a)120€,196€eta124€. b)Prezioaren5/27

32 12kgmarmeladalortudira.

33 Zelaihorrek400metrokozabaleradu.

34 Semeak3hbeharkoditu.

23

24 25

Matematika-lantegia

Jo informazio bilaGauss izeneko mutikoa

Duela bi mende luze, bere ikasgelan bakea eta trankiltasuna lortu nahi zuen Alemaniako maisu batek 1etik 100era arteko zenbakien batura kalku-latzeko eskatu zien.Carl Friedrich Gauss-i honako hau bururatu zitzaion:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101Argi zegoenez, batura 50 · 101 = 5 050 zen.Maisu gaixoari gutxi iraun zion bakeak.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Newton eta Arkimedesekin batera, matematikaren historiako hirukoterik gorena osatzen du. Gaussen lanak era-gin iraunkorra izan du matematikaren garapenean.

24

Matematika-lantegia

1. Egin eragiketa eta sinplifikatu emaitza.

:21 3 5

2 1 95 4 3

2 2– – – –c cm m> H2. Kalkulatu zenbat den honako batuketa honen

emaitza, aurretiaz hamartar bakoitza zatiki bihurtuz:

, , ,1 89 028 0 720– + +! # #

3. Kasu bakoitzean, idatzi ageri diren bi zenbakien arteko hiru zenbaki:

a) 203 eta 25

4 b) , ,2 7 2 8eta! !

4. Zatiketa egin gabe, adierazi hamartar zehatzak ala periodikoak diren honako zenbaki hauek.

5089

12113

3223

718

5. Bi kaxa sagar salgai jarri dira 2,50 euroan kiloa.

Lehenengoa totalaren 5/12 da eta 50 euroan saldu da.

Zenbat kilo sagar zeuden kaxa bakoitzean?

6. Kiroldegi bateko erabiltzaileen artean, bostena 60 urtetik gorakoa da eta hirutik bi 25 eta 60 urte bitar-tekoak dira.

a) Erabiltzaileen zer zati da 25 urtekoa edo gaztea-goa?

b) Erabiltzaileak 525 dira. Adin talde bakoitzeko zenbat daude?

7. Gustatzen zaidan bizikleta erosiz gero, hiru epe-tan ordaindu beharko dut. Lehenengoan, totalaren 3/10 ordaindu beharko dut; bigarrenean, ordain-tzeko geldituko denaren 4/5, eta hirugarrenean, 21 euro bakarrik. Zenbat balio du bizikletak?

8. Egia ala gezurra?

a) Zatiki guztiak zenbaki arrazionalak dira.

b) Zenbaki arrazional guztiak zatikiarrak dira.

c) Zenbaki osoak zatiki eran adieraz daitezke.

d) Zatikia beti da zenbaki hamartar periodiko baten baliokide.

e) Zenbaki hamartar periodikoa zenbaki arrazionala da.

Autoebaluazioa

Jokatu zuhurKoma-kontuaToki egokian koma idatziz gero, honako adierazpen hau egia izango da:

«bost bider lau hogei gehi bat, hogeita bi»Argitu al dezakezu?

Trebatu problemak ebatziz •Bitxi-saltzaile batek 140 euroko deskontua lortu zuen

16 paparreko orratz erostean; bitxi bakoitzaren prezioa, katalogoaren arabera, 87,5 eurokoa zen.Zer preziotan saldu beharko du paparreko bakoitza, guztira 500 euroko irabazia lortu nahi izanez gero?

•Martak hiru opil erosi ditu eta Batirtzek, bi. Askal-tzekotan zeudela, haien adiskidea, Beronika, batu zaie eta ez du opilik ekarri. Gastuak partekatzeko orduan, Beronikak 5 € ipini behar ditu.

Nola banatuko dituzte 5 euro horiek Martak eta Batirtzek?

•Lagun talde bat kafetegian sartu da. Denek eskatu dute kafea eta bostenak, gainera, opila. Kafearen prezioa 0,85 € da eta opilarena, 1,10 €.Ordaintzeko, 11 € eman dizkiote mutilari.Utzi al dute eskupekorik? Erantzuna baiezkoa izanez gero, zenbatekoa izan da?

•Gizon batek zerbitzaria hartu zuen lanerako eta, urtean, urrezko hamaika txanpon eta zaldi batekin ordainduko ziola agindu zion. Lau hilabete igarota, zerbitzariak lana utzi eta zaldia eta txanpon bat hartu zuen.

Zenbat balio zuen zaldiak?

Irakurri, hausnartu eta atera ondorioakNahastea beste batuketa batekinMatematika logika hutsa eta zehatza da beti. Hala ere, batzuetan, kontraesanak ageri direla dirudi. Esate baterako, erreparatu infinitu batugaiko honako batuketa honi:

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …Bi eratan interpreta daiteke:

( ) ( ) ( )( ) ( )

SS

1 1 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 0 1

– – – … …– – … …

= + + + = + + + == + + + + + = + + + =

4 hau ustekabea!

Eta nahastea txikia dela iritziz gero, nahaste handiagoa sortu daiteke:1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = S

Hau da 1 – S = S. Beraz, S = 21 ustekabe itzela!

•Non dago trikimailua? Infinitu batugai hartuz gero, logikaren bidea galtzen al da? Zer uste duzu?

Ariketa hauek ebaztea.Webgunean

eta ikasiizan ekimena

Jo informazio bila

Gauss izeneko mutikoa

• AtalhonetanGaussenbatuketarenpasadizoariburuzkotestulaburbatirakurrikodugu.Horrekaukeraemangodiguikasleeieskatzekohistoriakomatematikaririkgarrantzitsuenetakobatiburuzkoinformazioabilatzeko.

• Biografietan,historia-liburuetanetaentziklopedietan,pasadizohorriburuzko100bertsiotikgoradago.Kontatzekomoduabatetikbesteraaldatzenbadaere,denekdutejatorribera:W.Sartoriusek,Götingen-ekounibertaitatekoirakaslebatek,Gausshilondorengourteanargitaratutakobiografiabat.Izanere,Gaussekunibertsitatehorretangaratuzuenberejardunmatematikoa.

Irakurri, hausnartu eta atera ondorioak

Nahastea beste batuketa batekin

• Infinitubatugaienartekobatuketakerronkalogikobatplanteatzendu:S = 1 – 1 + 1 –1+…HorriGrandirenserieadeitzenzaio,etahonakohauegiaztatzeangertatzenda:seriearekinegitenditugunaldaketekba-tuketazeindenesatenezdigutenean.Parentesiaklekuzaldatutasoilik,aurkakobiondorioaterakoditugu.Horrekargiadieraztenduserieinfini-tuetanedozergertadaitekeela.

• Egokiadelapentsatuzgero,irakasleakikasleeieskatukodiebatuketapartzialakkalkulatzeko(bilehengaienartekobatuketa,lehenhirugaienartekobatuketa,etab.).Gero,ikasleekbegiratukodutebatuketapartzialhoriekzenbakifinkobateranzkojoeradutenalaez(zenbakifinkohoriserieosoarenbatuketaizangolitzateke).Kontrakokasuan,serieakezdubatuketarik.

Jokatu zuhur

Koma-kontua

Soluzioak

• 5×4,20+1=22

Trebatu problemak ebatziz Soluzioak

• Paparrekobakoitza110€-ansaldubeharkodu.

• 4€Martarentzateta1€Batirtzerentzat.

• 30zentimokoeskupekoautzidute.

• Zaldiak4txanponbaliozuen.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 26/45

2 –1,14!

3 Erantzunirekia.

4 Zehatzak:89/50eta23/32.Periodikoa:113/12eta18/7

5 Lehenkaxan20kgzeuden,etabigarrenean,28kg.

6 a)2/15

b)60urtetikgorakoak:105.25eta60urteartean:350.25urtetikbehe-rakoak:70.

7 Bizikletak150eurobalioditu.

8 a)E b)G c) E d)G e) E

OHARRAK