Bernoulli
1)Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9
¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la maestra
los seleccionará con los ojos cerrados, ¿Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.937
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento
de sacar alguno de ellos ¿qué probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número
342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se
trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá
0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos
resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple
todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5 ° La probabilidad de no obtener
cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
Binomial1)Supongamos que se lanza un dado
50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso
tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
2) La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un
grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la
novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2.¿Y cómo máximo 2?
3) Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas
actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones
viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
4) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que
cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
5) La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es
la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que
acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
Poisson1)Si ya se conoce que solo el 3%
de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular
la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes
• n= 100
• P=0.03
• =100*0.03=3
• x=5
2)La producción de televisores en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de
85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.
• n=85
• P=0.02
• P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
• X=4
• =1.7
3) El número de mensajes recibidos por el tablero
computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes
por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una
hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que
se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una
hora?P(X=3)= e-8*
P(X=3)= 3.354626279x10-4 *
P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667
P(X=3)= 0.09160366
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5
horas?P(X=10)= e-12*
P(X=10)= 6.144212353x10-6 * P(X=10)= 6.144212353x10-6 *
17062.76571P(X=10)= 0.104837255
4) Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso
• n=20
• P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
• X=3
• =3
5) La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y
posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son
retiradas. Determine.
a) P(X=5)b) P(X 2)≤c) μXd) σx
a) P(X=5)= e-6 * P(X=5)= 2.478752177x10-3 *
P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8
P(X=5)= 0.160623141
b) P(X 2)≤P(X=0)= e-6 *
P(X=1)= e-6 * P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6
P(X=0)= 2.478752177x10-3
P(X=1)= 0.014872513
P(X=2)= e-6 * P(X 2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)≤P(X=2)= 2.478752177x10-3 *
P(X 2)= 2.478752177+0.014872513+≤0.044617539
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18
P(X=2)= 0.044617539 P(X 2)= 0.061968804≤
c) μXμX= 6
d) σxσx=
σx= 2.449489743
Normal1)Determine el área bajo la curva
normal
a)Ala derecha de z= -0.85.
b)Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c)Entre z =0.30 y z = 0.90.
d)Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los
problemas
A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404
2) Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen
normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90.
a)¿Cuál es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b)¿Cuál es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
c)Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se
encuentra?
d)¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre
420 y 520?
µ = 480 = 90σ
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186
3) La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa)
desviación estándar de 1.4 Gpa.
a)¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación
tenga resistencia mayor a 12 GPa?
b)Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 = 1.4σ
A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =
0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.
4) La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un
caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La
concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración
excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo
el día.
a)¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se
distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que
proporción de días se suspenderá el proceso?
b)El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de
azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá
efectos con menos días de producción perdida?
RESULTADOS
A)(6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336
B)Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
5) El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de 12.05
onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media
para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el
99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
RESULTADOS
A)(12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475
B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas
C)– 2.33 = (12-12.05)/ despejando σ σ = 0.0215 onzas
Gamma1)El número de pacientes que
llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora
hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que
transcurre hasta la llegada del segundo paciente”
sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)a :
Escala
60000
p : Forma
20000
Punto X
10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que
llegue el segundo paciente es 0,98.
2) Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes
que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un
hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81,
calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es
menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429Media 9,6420
Varianza 11,9037Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
T- Student1.Sea T ~ t(4,0.5)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
P(T
= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
=0.000175
d) Determinar P(T
P(T
= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344
2)Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-
3) En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribucion de Weibull con parámetros
a)Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000
horas
b)Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000
horas
P(T<2000)= P(T
c)La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el
riesgo en T=2000 horas?
h(t) =
4) La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema
computacional tiene una distribución de Weibull con
a)¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10
000 horas?
P(T>10 000 ) =1 –(1-=0.3679
b)¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de
5000 horas?
P(t<5000) =P(T
5) Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T el
momento en el que el sistema falla.
Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y
X2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con
2
a) Determine P(
P(
b) Determine P(T 5)
P(T =0.8647
c)T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son
sus parametros?
Si, T~ Weibull (2,
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