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MATEMÁTICA
EGB Y BGU
GUÍA DIDÁCTICA DE IMPLEMENTACIÓN CURRICULAR PARA EGB Y BGU. MATEMÁTICA
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ADVERTENCIAUn objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español es posible «referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical masculino», y (b) es preferible aplicar «la ley lingüística de la economía expresiva» para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente elegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.
© Ministerio de Educación del Ecuador, 2016Av. Amazonas N34-451 y Atahualpa
Quito, Ecuadorwww.educacion.gob.ec
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1. INTRODUCCIÓN 5
2. CÓMO LLEVAR EL CURRÍCULO AL AULA 6
2.1. Planificación Curricular Institucional (PCI) 7
2.1.1. Enfoque pedagógico 8
2.1.2. Contenidos de aprendizaje 9
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA EL SUBNIVEL ELEMENTAL 12
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA EL SUBNIVEL MEDIO 32
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA EL SUBNIVEL SUPERIOR 46
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA EL NIVEL DE BACHILLERATO 63
2.1.3. Metodología 90
2.1.4. Evaluación 94
2.1.5. Acompañamiento pedagógico 95
2.1.6. Acción tutorial 97
2.1.7. Planificación curricular 97
2.1.8. Proyectos escolares 99
2.1.9. Adaptaciones curriculares 101
2.2. Planificación curricular anual (PCA) 101
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN CURRICULAR ANUAL EN EL SUBNIVEL ELEMENTAL 101
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN CURRICULAR ANUAL EN EL SUBNIVEL MEDIO 126
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN CURRICULAR ANUAL EN EL SUBNIVEL SUPERIOR 136
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN CURRICULAR ANUAL EN EL NIVEL DE BACHILLERATO 148
2.3. Planificación microcurricular 158
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN DE UNIDAD DIDÁCTICA EN EL SUBNIVEL ELEMENTAL 158
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN DE UNIDAD DIDÁCTICA EN EL SUBNIVEL MEDIO 171
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN DE UNIDAD DIDÁCTICA EN EL SUBNIVEL SUPERIOR 180
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN DE UNIDAD DIDÁCTICA EN EL NIVEL DE BACHILLERATO 191
Contenido
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3. ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 198
3.1. Orientaciones para la Educación General básica 198
3.1.1. Orientaciones para el subnivel Elemental 198
3.1.2. Orientaciones para el subnivel Medio 212
3.1.3. Orientaciones para el subnivel Superior 228
3.1.4. Orientaciones el Bachillerato General Unificado. 239
4. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN 252
4.1. Orientaciones para la evaluación en la Educación General Básica 253
4.1.1. Orientaciones para la evaluación en el subnivel Elemental 253
4.1.2. Orientaciones para la evaluación en el subnivel Medio 258
4.1.3. Orientaciones para la evaluación en el subnivel Superior 261
4.1.4. Orientaciones para la evaluación en el nivel de Bachillerato 266
5. BANCO DE RECURSOS 270
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Introducción1El currículo para la Educación General Básica y el Bachillerato General Unificado se encuentra estructurado por subniveles y son sus principales características la flexibilidad y la apertura; si bien, este planteamiento permite mayor autonomía a las instituciones educativas, también implica mayor compromiso por parte de sus au-toridades y docentes puesto que se deposita en sus manos el desarrollo del meso currículo, tarea que permite proponer un currículo institucional adaptado a las rea-lidades de las diferentes instituciones educativas.
Como es de conocimiento de autoridades y docentes, toda institución educativa construye su Proyecto Educativo Institucional (PEI) y sobre la base de este, se plan-tean acciones que dirigen su quehacer en diferentes ámbitos, entre ellos el pedagó-gico; que es el objeto del desarrollo de esta guía.
ProyectoEducativo
Institucional
Planificación Curricular
Institucional
En el área de Matemática producto del ajuste curricular es el planteamiento de tres bloques curriculares, únicos tanto para la Educación General Básica (EGB) como para el Bachillerato General Unificado (BGU); cambio que a la par de la propuesta por subnivel, lleva a un nuevo planteamiento en la forma de planificar en los niveles meso y micro curricular. Con este antecedente, se propone esta guía, para orientar a autoridades y docentes en el desarrollo de las planificaciones meso y micro curri-culares en esta área.
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2.Cómo llevar llevar el currículo al aulaLa transposición didáctica es el proceso por el cual se modifica un contenido de saber para adaptarlo a su enseñanza; en el primer nivel de concreción curricular, la autoridad educativa nacional, a través de expertos de la disciplina y expertos pe-dagogos, realizan esta transposición y plantean un macro currículo; que requiere de la construcción de planificaciones curriculares en el segundo y tercer nivel de concreción para ser llevado al aula.
Así como es de responsabilidad de las autoridades nacionales proponer el macro currículo en función del contexto ecuatoriano; es de responsabilidad de autorida-des y docentes proponer el meso y micro currículo acorde al contexto de las insti-tuciones educativas, acción que se plasma en las Planificación Curricular Institucio-nal, Planificación Curricular Anual y la Planificación de Unidad Didáctica.
1er Nivel 2do Nivel 3er NivelMacro
Ministerio de EducaciónMeso
Instituciones educativasMicro
Docentes
Currículo Nacional Obligatorio
Currículo Institucional Currículo de aula
Planificación Curricular
Institucional
Planificación Curricular
Anual
Planificación de Unidad Didáctica
Prescriptivo Flexible Flexible
Cabe recalcar que sobre la base del currículo nacional y los insumos del PEI, que estén relacionados al aprendizaje de los estudiantes, se inicia el proceso de planifi-cación en los niveles meso y micro curricular.
Construcción de la PUD
Construcción de la PCA
Construcción de la PCI
Currículo Nacional
Obligatorio
Proyecto Educativo
Institucional
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La implementación del nuevo currículo, para aquellas instituciones que ya tienen definido su PEI, en algunos casos implicará un ajuste a las acciones determinadas para la gestión del aprendizaje, por ello, previo al planteamiento del currículo insti-tucional es importante que autoridades y docentes de cada institución educativa, realicen las siguientes actividades:
1. Analizar el nuevo currículo nacional obligatorio.
2. Analizar los objetivos de aprendizaje del área alcanzados por la institución edu-cativa en 1.º, 4.º, 7.º y 10.º grados de EGB y el 3.º curso del nivel de BGU; es decir al finalizar cada uno de los subniveles de EGB y el nivel de BGU.
3. Establecer la relación entre los objetivos alcanzados en el último grado/curso de cada subnivel con los criterios de evaluación planteados en el currículo nacional.
4. Identificar aprendizajes básicos imprescindibles que no hayan sido alcanzados al finalizar cada uno de los subniveles de EGB y el nivel de BGU.
Con la información obtenida en estas cuatro actividades, con el aporte de los do-centes de los diferentes grados/cursos y en el marco de lo establecido en el Pro-yecto Educativo Institucional (PEI), tal como menciona el artículo 6, numeral 1 del acuerdo Nro. MINEDUC-ME-2016-00060-A, la Junta Académica de cada institu-ción educativa desarrollará la Planificación Curricular Institucional (PCI)
2.1. Planificación Curricular Institucional (PCI)
Esta planificación se construye con la información pedagógica generada en el diag-nóstico institucional y con la participación de las autoridades y los docentes de la institución educativa. Su lógica de construcción responde a tres momentos, el pri-mero, el análisis del currículo nacional, en donde es indispensable una lectura minu-ciosa y crítica de los documentos proporcionados por el nivel central; esta lectura tiene como objetivo identificar contenidos que requerirán de una adaptación para contextualizar el currículo de acuerdo a la realidad institucional o en su defecto de-terminar la necesidad de incluir otros contenidos, expresados como destrezas con criterios de desempeño, que sean propios de la institución.
En un segundo momento se analizan los problemas pedagógicos identificados en el PEI y los factores internos y externos que influyen en las situaciones problémicas así como las posibles alternativas de solución; con la información obtenida en estos dos momentos; en el tercer momento se establecen los lineamientos que dirigirán la gestión pedagógica de la institución educativa; los elementos que desde la auto-ridad central se han propuesto se señalan en el gráfico de la parte inferior, sin em-bargo es posible que cada institución educativa requiera de uno o más elementos según su contexto.
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ADAPTACIONES CURRICULARES
EVALUACIÓN
PLANES DE MEJORA
ACOMPAÑA-MIENTO
PEDAGÓGICO
ENFOQUE PEDAGÓGICO
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE
METODOLOGÍA
ACCIÓN TUTORIAL
PLANIFICACIÓN CURRICULAR
PROYECTOS ESCOLARES
PCI
Con la finalidad de visualizar cómo llevar a la institución educativa y al aula, el currículo nacional, se plantea en esta guía un PCI de la institución educativa N/N, en donde se señalarán aportes del área de Matemática para la elaboración de los lineamientos de los diferentes elementos y un ejemplo de la organización de los contenidos de aprendizaje del área de Matemática.
2.1.1. Enfoque pedagógico
Este elemento contiene la descripción del tipo de estudiante que la institución aportará a la sociedad; por lo tanto sobre esta base, se fundamentarán todos los elementos que estructuran el PCI.
Por ejemplo, en la institución educativa N/N los estudiantes construyen procedi-mientos para dar solución a problemas de distinta índole, los procesos de ense-ñanza aprendizaje son dinámicos y participativos, siendo los estudiantes los prin-cipales protagonistas en estos procesos. La comunidad educativa está científica y tecnológicamente actualizada, las innovaciones que se generan en esta institución responden a las necesidades del mundo globalizado; lo que conlleva a formar es-tudiantes capaces de resolver problemas de distinta índole y por lo tanto exitosos en sus proyectos de vida.
La institución propone una formación integral, que promueve valores como la jus-ticia, la innovación y la solidaridad en concordancia con el perfil de salida del ba-
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chillerato y destaca de estos elementos la valoración de la identidad nacional, la responsabilidad en el cuidado del medio ambiente y la consciencia social.
Para aportar en la formación integral de los estudiantes de esta institución, desde el área de Matemática se garantiza el desarrollo del pensamiento lógico, crítico y analítico para interpretar y resolver problemas mediante la elaboración de modelos matemáticos y el uso razonado de la tecnología.
2.1.2. Contenidos de aprendizaje
En este elemento del PCI se organizan los contenidos de aprendizajes de los niveles educativos que la institución educativa posea. Es importante que esta organización parta del análisis de los objetivos de aprendizaje alcanzados al finalizar cada uno de los subniveles/nivel, pues ello, permite establecer el punto de partida y la secuencia y progresión de lo que se trabajará en los grados y cursos de los subniveles de EGB y el nivel de BGU de las diferentes áreas.
Un paso importante para la organización de los contenidos de aprendizaje es la definición de la carga horaria que se aplicará tanto en EGB como en BGU, según los niveles que existan en la institución educativa. Para esta definición deben tener en cuenta la flexibilidad que desde la autoridad nacional se ha propuesto en las cargas horarias de los planes de estudio determinados tanto para la EGB como para el BGU.
El planteamiento de los contenidos de aprendizaje por grados y cursos, si bien, se concreta en el PCA, en este acápite debe quedar sentado a manera general y con coherencia dichos contenidos puesto que este elemento del PCI es el que dinamiza el proceso de enseñanza aprendizaje en las diferentes áreas.
Cada institución educativa tiene la facultad de determinar cómo plantear los conte-nidos de aprendizaje de las áreas, para el ejemplo de la institución educativa N/N, se propone la elaboración de matrices en las cuales se distribuyen las Destrezas con criterios de Desempeño.
En la institución educativa N/N, se prevé fortalecer el área de Matemática, en es-pecial en la Educación General Básica; para ello se ha analizado la normativa sobre la flexibilidad en el plan de estudios de este nivel, información que se propone en el artículo 3 del acuerdo ministerial N.º MINEDUC-ME-2016-00020-A. La normativa menciona que cada institución educativa podrá aumentar o disminuir la carga ho-raria de las áreas instrumentales (Lengua y Literatura, Matemática y Lengua Extran-jera) en función de las necesidades que presenten los estudiantes.
Por lo mencionado anteriormente, para el fortalecimiento del área de Matemática se realiza un ajuste a las horas pedagógicas semanales de los subniveles de Ele-mental, Media y Superior, ajuste que consiste en incrementar horas a Matemática y disminuir horas en Lengua y Literatura y Lengua Extranjera; para ello se ha conside-rado las fortalezas de la institución en estas dos áreas; quedando la siguiente carga horaria para las diferentes asignaturas de la EGB:
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Áreas/Proyectos Asignaturas
Subniveles de Educación General Básica
Elemental Media Superior
Lengua y Literatura Lengua y Literatura 8 6 6
Matemática Matemática 10 9 7
Ciencias Sociales Estudios Sociales 2 3 4
Ciencias Naturales Ciencias Naturales 3 5 4
Educación Cultural y Artística Educación Cultural y Artística 2 2 2
Educación Física Educación Física 5 5 5
Lengua Extrajera Inglés 3 3 4
Proyectos Escolares 2 2 3
Horas pedagógicas totales 35 35 35
Áreas/Módulo Asignaturas
Bachillerato General Unificado
Cursos1.º 2.º 3.º
Lengua y Literatura Lengua y Literatura 5 5 5
Matemática Matemática 5 5 5
Ciencias Sociales
Historia 3 3 3
Filosofía 2 3
Educación para la Ciudadanía 2 3
Ciencias Naturales
Física 4 3 4
Química 3 3 3
Biología 3 3 4
Educación Cultural y Artística Educación Cultural y Artística 3 3
Educación Física Educación Física 2 2 2
Lengua Extrajera Inglés 5 5 4
Módulo Interdisciplinar
Emprendimiento y Gestión 3 2 2
Optativa 1 4
Optativa 2 4
Horas pedagógicas totales 40 40 40
Tabla 2: Ejemplo de asignación de carga horaria para EGB
Tabla 3: ejemplo de asignación de carga horaria para BGU
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Tomando en cuenta esta asignación de horas, se realizará la distribución de conte-nidos de aprendizaje tanto para el área de Matemática como para el resto de áreas.
Para el caso del bachillerato en nuestro ejemplo se han distribuido las cinco horas a discreción de cada uno de los cursos, para fortalecer las áreas de Matemática, Len-gua y literatura, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Educación Cultural y Artística y el módulo de Emprendimiento y Gestión; para el tercer curso de bachillerato siete de las quince horas de optativas se han utilizado para fortalecer las áreas de Cien-cias Naturales, Ciencias Sociales y Lengua Extranjera, considerándose únicamente 8 horas para el tratamiento de dos asignaturas optativas (Matemática Superior e Investigación)
Con la mirada a alcanzar el perfil de salida del bachillerato ecuatoriano, los Obje-tivos Integradores por cada subnivel propuestos en el currículo nacional, serán nuestros escalones para este propósito, además nos permitirán proponer proyectos interdisciplinarios.
Los Objetivos Generales del Área propuestos en el currículo nacional será la guía para el trabajo en los diferentes subniveles, sin embargo, los Objetivos de área por subnivel nos orientarán en la construcción de los objetivos de grado y objetivos de cada unidad.
En el currículo nacional se utilizan códigos para referirse a varios de los elementos curriculares, estos nos serán útiles en nuestras tareas de planificación.
A continuación, tenemos los códigos que se utilizarán para identificar los objetivos:
Tal como se menciona en el instructivo de planificaciones, la construcción del PCI, lo realiza la Junta Académica con el aporte de los docentes; este aporte se hace evidente en dos momentos.
Primer momento: los docentes reunidos por subnivel y por área han determinado los objetivos y han distribuido las Destrezas con Criterios de Desempeño (DCD) para cada uno de los grados en la EGB.
Esta actividad la realizan sobre la base de los objetivos de aprendizaje del área al-canzados por la institución educativa en 1. º, 4. º, 7. º y 10.º grados de EGB; el análisis de los Criterios de evaluación propuestos en el currículo nacional y los aprendizajes básicos imprescindibles que no fueron desarrollados en los diferentes subniveles.
La inicial de objetivo (O)
Número de subnivel/nivel
Número de objetivo
La codifica-ción del área
de Matemática
O. M. 2. 1.
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Contenidos de Aprendizaje para el Subnivel Elemental
SEGUNDO GRADO TERCER GRADO CUARTO GRADO
Explicar patrones de fi-guras y numéricos rela-cionándolos con la suma y la resta para desarro-llar el pensamiento ló-gico-matemático. (Ref. O.M.2.1.)
O.M.2.1. Explicar y cons-truir patrones de figuras y numéricos relacionán-dolos con la suma, la res-ta y la multiplicación, para desarrollar el pensamiento lógico-matemático.
O.M.2.1. Explicar y cons-truir patrones de figuras y numéricos relacionán-dolos con la suma, la res-ta y la multiplicación, para desarrollar el pensamiento lógico-matemático.
O.M.2.2. Utilizar objetos del entorno para formar conjuntos, establecer gráfica-mente la correspondencia entre sus elementos y desarrollar la comprensión de modelos matemáticos.
Integrar concretamente el concepto de número, y reconocer situaciones del entorno en las que se presenten problemas que requieran la formu-lación de expresiones matemáticas sencillas, para resolverlas, de for-ma individual o grupal, utilizando los algoritmos de adición y sustracción. (Ref. O.M.2.3.)
Integrar concretamente el concepto de número, y reconocer situaciones del entorno en las que se pre-senten problemas que re-quieran la formulación de expresiones matemáticas sencillas, para resolverlas, de forma individual o gru-pal, utilizando los algorit-mos de adición, sustrac-ción y multiplicación. (Ref. O.M.2.3.)
O.M.2.3. Integrar concreta-mente el concepto de nú-mero, y reconocer situacio-nes del entorno en las que se presenten problemas que requieran la formula-ción de expresiones ma-temáticas sencillas, para resolverlas, de forma indi-vidual o grupal, utilizando los algoritmos de adición, sustracción, multiplicación y división exacta.
Aplicar estrategias de conteo, procedimientos de cálculos de suma y resta del 0 al 999, para resolver de forma cola-borativa problemas co-tidianos de su entorno. (Ref. O.M.2.4. )
Aplicar estrategias de conteo, procedimientos de cálculos de suma, res-ta y multiplicación del 0 al 9 999, para resolver de forma colaborativa pro-blemas cotidianos de su entorno. (Ref. O.M.2.4. )
Aplicar estrategias de conteo, procedimientos de cálculos de suma, resta, multiplicación y divisiones del 0 al 10 000, para resol-ver de forma colaborativa problemas cotidianos de su entorno. (Ref. O.M.2.4. )
O.M.2.5. Comprender el espacio que lo rodea, valorar lugares históricos, turísticos y bienes naturales, identificando como conceptos matemáticos los elementos y propiedades de cuerpos y figuras geométricas en objetos del entorno.
EJEMPLO DE PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS DE MATEMÁTICA PARA LOS GRADOS DEL SUBNIVEL ELEMENTAL
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O.M.2.6. Resolver situaciones cotidianas que impliquen la medición, estimación y el cálculo de longitudes, capacidades y masas, con unidades convencionales y no convencionales de objetos de su entorno, para una mejor comprensión del espa-cio que le rodea, la valoración de su tiempo y el de los otros, y el fomento de la honestidad e integridad en sus actos.
Participar en proyectos de análisis de informa-ción del entorno inme-diato, mediante la reco-lección y representación de datos estadísticos en pictogramas y expresar conclusiones sencillas. (Ref. O.M.2.7.)
O.M.2.7. Participar en pro-yectos de análisis de in-formación del entorno inmediato, mediante la re-colección y representación de datos estadísticos en pictogramas y diagramas de barras; potenciando, así, el pensamiento lógico-matemático y creativo, al interpretar la información y expresar conclusiones asumiendo compromisos.
O.M.2.7. Participar en pro-yectos de análisis de in-formación del entorno inmediato, mediante la re-colección y representación de datos estadísticos en pictogramas y diagramas de barras; potenciando, así, el pensamiento lógico-matemático y creativo, al interpretar la información y expresar conclusiones asumiendo compromisos.
Una vez desagregados y/o seleccionados para cada uno de los grados, los objeti-vos del área del subnivel, se procedió a organizar los criterios de evaluación y sus correspondientes Destrezas con Criterios de Desempeño (DCD).Al igual que para los objetivos, para las destrezas con criterios de desempeño y los criterios de evaluación, en el currículo se utilizan códigos; en Matemática son los siguientes:
Código para las destrezas con criterios de desempeño:
Código para los criterios de evaluación:
M. 2. 1. 1.
La codificación del área
Número de bloque curricular
Número de destreza
Número de subnivel o nivel
CE. M. 2. 1.
Iniciales de criterio de evaluación
Número de subnivel o nivel
Número de criterio
Codificación del área
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EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN DE DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO DE MATEMÁTICA PARA LOS GRADOS DEL SUBNIVEL ELEMENTAL
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CE.M.2.1. Descubre regularidades matemáticas del entorno inmediato utilizando los conocimientos de conjuntos y las operaciones básicas con números natura-les, para explicar verbalmente, en forma ordenada, clara y razonada, situaciones cotidianas y procedimientos para construir otras regularidades.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
M.2.1.1. Representar grá-ficamente conjuntos y subconjuntos, discrimi-nando las propiedades o atributos de los objetos.
M.2.1.1. M.2.1.1.
M.2.1.2. Describir y repro-ducir patrones de obje-tos y figuras basándose en sus atributos.
M.2.1.2.
M.2.1.3. Describir y repro-ducir patrones numéricos basados en sumas y res-tas, contando hacia ade-lante y hacia atrás.
M.2.1.3. M.2.1.3.
M.2.1.4. Describir y repro-ducir patrones numéricos crecientes con la suma y la multiplicación.
M.2.1.4.
M.2.1.5. Construir patrones de figuras basándose en sus atributos y patrones numéricos a partir de la suma, resta y multiplica-ción.
M.2.1.5.
M.2.1.6. Relacionar los ele-mentos del conjunto de salida con los elementos del conjunto de llegada, a partir de la correspon-dencia entre elementos.
M.2.1.6.
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MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.2.1.7. Representar, en diagramas, tablas y una cuadrícula, las parejas or-denadas de una relación específica entre los ele-mentos del conjunto de salida y los elementos del conjunto de llegada.
M.2.1.7.
M.2.1.8. Identificar los ele-mentos relacionados de un conjunto de salida y un conjunto de llegada como pares ordenados del producto cartesiano AxB.
M.2.1.9.Representar por extensión y gráficamen-te los pares ordenados del producto cartesiano AxB.
Desarrollo del pensamiento matemático
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CE.M.2.2. Aplica estrategias de conteo, el concepto de número, expresiones matemáticas sencillas, propiedades de la suma y la multiplicación, procedimien-tos de cálculos de suma, resta, multiplicación sin reagrupación y división exacta (divisor de una cifra) con números naturales hasta 9 999, para formular y resol-ver problemas de la vida cotidiana del entorno y explicar de forma razonada los resultados obtenidos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
M.2.1.12. Representar, es-cribir y leer los números naturales del 0 al 9 999 en forma concreta, gráfi-ca (en la semirrecta nu-mérica) y simbólica.
M.2.1.12.M.2.1.12. (Se incluirá el co-nocimiento de la decena de mil)
16 M
M.2.1.13. Contar cantida-des del 0 al 9 999 para verificar estimaciones (en grupos de dos, tres, cinco y diez).
M.2.1.13.M.2.1.13. (Se incluirá el co-nocimiento de la decena de mil)
M.2.1.14. Reconocer el va-lor posicional de números naturales de hasta cuatro cifras, basándose en la composición y descom-posición de unidades, decenas, centenas y uni-dades de mil, mediante el uso de material concre-to y con representación simbólica.
M.2.1.14.M.2.1.14. (Se incluirá el co-nocimiento de la decena de mil)
M.2.1.15. Establecer rela-ciones de secuencia y de orden en un conjunto de números naturales de hasta cuatro cifras, utili-zando material concreto y simbología matemática (=, <, >,).
M.2.1.15.M.2.1.15. (Se incluirá el co-nocimiento de la decena de mil)
M.2.1.16. Reconocer núme-ros ordinales del primero al vigésimo para organi-zar objetos o elementos.
M.2.1.16. M.2.1.16.
M.2.1.17. Reconocer y dife-renciar los números pares e impares por agrupación y de manera numérica.
M.2.1.17. M.2.1.17.
M.2.1.18. Reconocer mita-des y dobles en unidades de objetos.
M.2.1.18. M.2.1.18.
M.2.1.19. Relacionar la no-ción de adición con la de agregar objetos a un conjunto.
M.2.1.20. Vincular la no-ción de sustracción con la noción de quitar obje-tos de un conjunto y la de establecer la diferencia entre dos cantidades.
M.2.1.20.
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MATEMÁTICA
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M.2.1.21. Realizar adicio-nes y sustracciones con los números hasta 9 999, con material concreto, mentalmente, gráfica-mente y de manera nu-mérica.
M.2.1.21. M.2.1.21.
M.2.1.22. Aplicar estrate-gias de descomposición en decenas, centenas y miles en cálculos de suma y resta.
M.2.1.23. Aplicar las propie-dades conmutativa y aso-ciativa de la adición en es-trategias de cálculo mental.
M.2.1.23.
M.2.1.24. Resolver y plan-tear, de forma individual o grupal, problemas que requieran el uso de su-mas y restas con núme-ros hasta de cuatro cifras, e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
M.2.1.24. M.2.1.24.
M.2.1.25. Relacionar la no-ción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”.
M.2.1.25.
M.2.1.26. Realizar multipli-caciones en función del modelo grupal, geométrico y lineal.
M.2.1.26.
M.2.1.27. Memorizar pau-latinamente las combi-naciones multiplicativas (tablas de multiplicar) con la manipulación y vi-sualización de material concreto.
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M.2.1.28. Aplicar las reglas de multiplicación por 10, 100 y 1 000 en números de hasta dos cifras.
M.2.1.29. Aplicar las pro-piedades conmutativa y asociativa de la multipli-cación en el cálculo escri-to y mental, y en la reso-lución de problemas.
M.2.1.30. Relacionar la no-ción de división con pa-trones de resta iguales o reparto de cantidades en tantos iguales.
M.2.1.31. Reconocer la re-lación entre división y multiplicación como ope-raciones inversas.
M.2.1.32. Calcular mental-mente productos y co-cientes exactos utilizan-do varias estrategias.
M.2.1.33. Resolver proble-mas relacionados con la multiplicación y la división utilizando varias estrate-gias, e interpretar la solu-ción dentro del contexto del problema.
M.2.1.33.
Desarrollo del pensamiento matemático
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MATEMÁTICA
EGB Y BGU
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CE.M.2.3. Emplea elementos básicos de geometría, las propiedades de cuerpos y figuras geométricas, la medición, estimación y cálculos de perímetros, para en-frentar situaciones cotidianas de carácter geométrico.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
M.2.2.1. Reconocer y di-ferenciar los elementos y propiedades de cilindros, esferas, conos, cubos, pi-rámides de base cuadra-da y prismas rectangula-res en objetos del entorno y/o modelos geométricos.
M.2.2.1. M.2.2.1.
M.2.2.2. Clasificar objetos, cuerpos geométricos y figuras geométricas se-gún sus propiedades.
M.2.2.2. M.2.2.2.
M.2.2.3. Identificar formas cuadradas, triangulares, rectangulares y circulares en cuerpos geométricos del entorno y/o modelos geométricos.
M.2.2.3. M.2.2.3.
M.2.2.4. Construir figuras geométricas como cua-drados, triángulos, rec-tángulos y círculos.
M.2.2.4. M.2.2.4.
M.2.2.5. Distinguir lados, frontera interior y exte-rior, vértices y ángulos en figuras geométricas: cua-drados, triángulos, rec-tángulos y círculos.
M.2.2.5.
M.2.2.6. Reconocer y dife-renciar cuadrados y rectán-gulos a partir del análisis de sus características, y deter-minar el perímetro de cua-drados y rectángulos por estimación y/o medición.
M.2.2.6.
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CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CE.M.2.4. Resuelve problemas cotidianos sencillos que requieran el uso de ins-trumentos de medida y la conversión de unidades, para determinar la longitud, masa, capacidad y costo de objetos del entorno, y explicar actividades cotidia-nas en función del tiempo.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
M.2.2.10. Medir, estimar y comparar longitudes de objetos del entorno, con-trastándolas con patro-nes de medidas no con-vencionales.
M.2.2.10.
M.2.2.11. Utilizar las unida-des de medida de longi-tud: el metro y sus sub-múltiplos (dm, cm, mm) en la estimación y medi-ción de longitudes de ob-jetos del entorno.
M.2.2.11. M.2.2.11.
M.2.2.12. Realizar conver-siones simples de medi-das de longitud del metro a sus submúltiplos.
M.2.2.7. Reconocer líneas, rectas y curvas en figuras planas y cuerpos.
M.2.2.8. Representar de forma gráfica la semirrec-ta, el segmento y el ángulo.
M.2.2.8.
M.2.2.9. Reconocer y cla-sificar ángulos según su amplitud (rectos, agudos y obtusos), en objetos, cuerpos y figuras geomé-tricas.
Desarrollo del pensamiento matemático
21
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.2.2.13. Representar cantidades monetarias con el uso de monedas y billetes de 1, 5, 10, 20, 50 y 100 (didácticos).
M.2.2.13.
M.2.2.14. Realizar conversio-nes monetarias simples en situaciones significativas.
M.2.2.14.
M.2.2.15. Utilizar la unidad monetaria en actividades lúdicas y en transaccio-nes cotidianas simples, destacando la importan-cia de la integridad y la honestidad.
M.2.2.15. M.2.2.15.
M.2.2.16. Reconocer día, noche, mañana, tarde, hoy, ayer, días de la se-mana y los meses del año para valorar el tiempo propio y el de los demás, y ordenar situaciones temporales secuenciales asociándolas con even-tos significativos.
M.2.2.16.
M.2.2.17. Realizar con-versiones usuales entre años, meses, semanas, días, horas, minutos y segundos en situaciones significativas.
M.2.2.19. Medir, estimar y comparar masas contras-tándolas con patrones de medidas no convencio-nales.
M.2.2.19.
M.2.2.20. Utilizar las unida-des de medida de masa: el gramo y el kilogramo, en la estimación y medición de objetos del entorno.
M.2.2.20.
M.2.2.21. Realizar conver-siones simples de medi-das de masa
22 M
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CE.M.2.5. Examina datos cuantificables del entorno cercano utilizando algunos recursos sencillos de recolección y representación gráfica (pictogramas y dia-gramas de barras), para interpretar y comunicar, oralmente y por escrito, infor-mación y conclusiones, asumiendo compromisos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
M.2.3.1. Organizar y repre-sentar datos estadísticos relativos a su entorno en tablas de frecuencias, pictogramas y diagramas de barras, en función de explicar e interpretar conclusiones y asumir compromisos.
M.2.3.1. M.2.3.1.
M.2.3.2. Realizar combi-naciones simples y solu-cionar situaciones coti-dianas.
M.2.3.2. M.2.3.2.
M.2.3.3. Reconocer expe-riencias aleatorias en si-tuaciones cotidianas.
M.2.3.3. M.2.3.3.
M.2.2.22. Identificar la li-bra como unidad de me-dida de masa.
M.2.2.23. Medir, estimar y comparar capacida-des contrastándolas con patrones de medidas no convencionales.
M.2.2.23.
M.2.2.24 Utilizar las unida-des de medida de capa-cidad: el litro y sus sub-múltiplos (dl, cl, ml) en la estimación y medición de objetos del entorno.
M.2.2.24
M.2.2.25. Realizar conver-siones simples de medi-das de capacidad del litro a sus submúltiplos.
23
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
En este ejemplo no se han considerado las destrezas con criterios de desempeño deseables, relacionadas al producto cartesiano y la lectura del reloj analógico pues son aprendizajes que se pueden desarrollar en el siguiente subnivel; sin embargo, se ha señalado la necesidad de incluir destrezas con criterios de desempeño que se enfoquen en el desarrollo del pensamiento matemático; estas DCD serán plan-teadas por los docentes de cada grado en relación a los criterios de los bloques de Álgebra y funciones y al de Geometría y medida.
La agrupación de destrezas con criterios de desempeño bajo un criterio de evalua-ción permite, por una parte, tener una visión de lo que queremos alcanzar con los estudiantes en un momento determinado y por otra nos facilita la tarea al momen-to de plantear los proyectos interdisciplinares que la institución requiere para forta-lecer los tres aspectos importantes que se señalaron en el enfoque, como ejemplo: la valoración de la identidad nacional, la responsabilidad con el medio ambiente y la conciencia social.
Segundo momento: los docentes reunidos por subnivel y área han desagregado las DCD para cada uno de los grados; esta actividad la realizan en función del cuadro de desagregación de objetivos y el de distribución de DCD. Estos cuadros de desagre-gación de DCD son la base para la construcción de la planificación curricular anual.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.2.1. Descubre regularidades matemáticas del entorno inmediato utilizando los conocimientos de conjuntos y las operaciones básicas con números naturales, para explicar verbalmente, en forma ordenada, clara y razonada, situaciones coti-dianas y procedimientos para construir otras regularidades.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
Representar gráficamen-te conjuntos discriminan-do las propiedades o atri-butos de los objetos. (Ref. M.2.1.1.)
Representar gráficamen-te conjuntos discriminan-do las propiedades o atri-butos de los objetos. (Ref. M.2.1.1.)
M.2.1.1. Representar gráfi-camente conjuntos y sub-conjuntos, discriminando las propiedades o atribu-tos de los objetos.
M.2.1.2. Describir y repro-ducir patrones de objetos y figuras basándose en sus atributos.
M.2.1.2. Describir y repro-ducir patrones de objetos y figuras basándose en sus atributos.
M.2.1.3. Describir y repro-ducir patrones numéricos basados en sumas y restas, contando hacia adelante y hacia atrás. (Con números entre el 0 y el 100)
Describir y reproducir patrones numéricos (con números entre el 0 y el 1 000) basados en sumas y restas, contando hacia adelante y hacia atrás. (Ref. M.2.1.3.)
M.2.1.3. Describir y repro-ducir patrones numéricos (con números entre el 0 y el 10 000) basados en sumas y restas, contan-do hacia adelante y hacia atrás.
24 M
Describir y reproducir pa-trones numéricos crecien-tes con la suma y la mul-tiplicación (secuencias multiplicativas sencillas). (Ref. M.2.1.4.)
M.2.1.4. Describir y repro-ducir patrones numéricos crecientes con la suma y la multiplicación.
Construir patrones de figuras basándose en sus atributos y patro-nes numéricos a partir de la suma, resta y mul-tiplicación (secuencias multiplicativas sencillas). (Ref.M.2.1.5.)
M.2.1.5.Construir patrones de figuras basándose en sus atributos y patrones numéricos a partir de la suma, resta y multiplica-ción.
M.2.1.6. Relacionar los ele-mentos del conjunto de salida con los elementos del conjunto de llegada, a partir de la correspon-dencia entre elementos.
M.2.1.6. Relacionar los ele-mentos del conjunto de salida con los elementos del conjunto de llegada, a partir de la correspon-dencia entre elementos.
Representar, en diagra-mas las parejas ordena-das de una relación espe-cífica entre los elementos del conjunto de salida y los elementos del conjun-to de llegada. (Ref. M.2.1.7)
M.2.1.7. Representar, en diagramas, tablas y una cuadrícula, las parejas or-denadas de una relación específica entre los ele-mentos del conjunto de salida y los elementos del conjunto de llegada.
M.2.1.8. Identificar los ele-mentos relacionados de un conjunto de salida y un conjunto de llegada como pares ordenados del pro-ducto cartesiano AxB.
M.2.1.9 Representar por extensión y gráficamente los pares ordenados del producto cartesiano AxB.
25
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.2.2. Aplica estrategias de conteo, el concepto de número, expresiones matemá-ticas sencillas, propiedades de la suma y la multiplicación, procedimientos de cálcu-los de suma, resta, multiplicación sin reagrupación y división exacta (divisor de una cifra) con números naturales hasta 9 999, para formular y resolver problemas de la vida cotidiana del entorno y explicar de forma razonada los resultados obtenidos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
Representar, escribir y leer los números natura-les del 0 al 100 en forma concreta, gráfica (en la semirrecta numérica) y simbólica. (Ref. M.2.1.12.)
Representar, escribir y leer los números natura-les del 0 al 1 000 en for-ma concreta, gráfica (en la semirrecta numérica) y simbólica. (Ref. M.2.1.12.)
Representar, escribir y leer los números natura-les del 0 al 10 000 en for-ma concreta, gráfica (en la semirrecta numérica) y simbólica. (Ref. M.2.1.12.)
Contar cantidades del 0 al 100 para verificar esti-maciones (en grupos de dos, tres, cinco y diez). (Ref. M.2.1.13.)
Contar cantidades del 0 al 1 000 para verificar es-timaciones (en grupos de dos, tres, cinco y diez). (Ref. M.2.1.13.)
Contar cantidades del 0 al 10 000 para verificar estimaciones (en grupos de diez, cien y mil). (Ref. M.2.1.13.)
Reconocer el valor posi-cional de números natu-rales de hasta tres cifras, basándose en la compo-sición y descomposición de unidades, decenas y una centena mediante el uso de material concreto y con representación sim-bólica. (Ref. M.2.1.14.)
Reconocer el valor posi-cional de números natura-les de hasta cuatro cifras, basándose en la composi-ción y descomposición de unidades, decenas, cente-nas y una unidad de mil, mediante el uso de mate-rial concreto y con repre-sentación simbólica. (Ref. M.2.1.14.)
Reconocer el valor posi-cional de números natu-rales de hasta cinco cifras, basándose en la composi-ción y descomposición de unidades, decenas, cente-nas, unidades de mil y una decena de mil mediante el uso de material concreto y con representación sim-bólica. (Ref. M.2.1.14.)
Establecer relaciones de secuencia y de orden en un conjunto de números naturales de hasta tres (hasta el 100) cifras, uti-lizando material concreto y simbología matemática (=, <, >,). (Ref. M.2.1.15.)
Establecer relaciones de secuencia y de orden en un conjunto de números naturales de hasta cuatro cifras (hasta el 1 000), uti-lizando material concreto y simbología matemática (=, <, >,). (Ref. M.2.1.15.)
Establecer relaciones de secuencia y de orden en un conjunto de números naturales de hasta cinco ci-fras, (hasta el 10 000) uti-lizando material concreto y simbología matemática (=, <, >,). (Ref. M.2.1.15.)
Reconocer números ordi-nales del primero al déci-mo para organizar objetos o elementos. (Ref. M.2.1.16.)
M.2.1.16. Reconocer núme-ros ordinales del primero al vigésimo para organi-zar objetos o elementos.
26 M
Reconocer y diferenciar los números pares e im-pares por agrupación de elementos. (Ref.M.2.1.17.)
Reconocer y diferenciar los números pares e im-pares por agrupación de elementos. (Ref. M.2.1.17)
Reconocer y diferenciar los números pares e im-pares de manera numéri-ca. (Ref. M.2.1.17.)
Reconocer mitades en unidades de objetos (Ref. M.2.1.18.).
M.2.1.18. Reconocer mita-des y dobles en unidades de objetos.
M.2.1.18. Reconocer mita-des y dobles en unidades de objetos.
M.2.1.19. Relacionar la no-ción de adición con la de agregar objetos a un con-junto.
Vincular la noción de sus-tracción con la noción de quitar objetos de un con-junto. (Ref. M.2.1.20. )
M.2.1.20. Vincular la no-ción de sustracción con la noción de quitar objetos de un conjunto y la de es-tablecer la diferencia en-tre dos cantidades.
Realizar adiciones y sus-tracciones con los nú-meros hasta el 100, con material concreto, men-talmente, gráficamente y de manera numérica. (Ref. M.2.1.21. )
Realizar adiciones y sus-tracciones con los nú-meros hasta 1 000, con material concreto, men-talmente, gráficamente y de manera numérica. (Ref. M.2.1.21. )
Realizar adiciones y sus-tracciones con los nú-meros hasta 10 000, con material concreto, men-talmente, gráficamente y de manera numérica. (Ref. M.2.1.21. )
M.2.1.22. Aplicar estrategias de descomposición en de-cenas, centenas y miles en cálculos de suma y resta.
Aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la adición como es-trategia para sumar. (Ref. M.2.1.23. )
M.2.1.23. Aplicar las pro-piedades conmutativa y asociativa de la adición en estrategias de cálculo mental.
Resolver de forma indivi-dual o grupal, problemas que requieran el uso de sumas y restas con nú-meros hasta de dos cifras, e interpretar la solución dentro del contexto del problema. (Ref. M.2.1.24.)
Resolver y plantear, de forma individual o grupal, problemas que requieran el uso de sumas y restas con números hasta de tres cifras, e interpretar la solución dentro del con-texto del problema. (Ref. M.2.1.24.)
M.2.1.24. Resolver y plan-tear, de forma individual o grupal, problemas que re-quieran el uso de sumas y restas con números hasta de cuatro cifras, e interpre-tar la solución dentro del contexto del problema.
27
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.2.1.25.Relacionar la no-ción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”.
M.2.1.25.Relacionar la no-ción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”.
Realizar multiplicaciones en función del modelo grupal y geométrico (Ref. M.2.1.26 )
M.2.1.26. Realizar multipli-caciones en función del modelo grupal, geométri-co y lineal.
M.2.1.27. Memorizar pau-latinamente las combina-ciones multiplicativas (ta-blas de multiplicar) con la manipulación y visualiza-ción de material concreto.
M.2.1.28. Aplicar las reglas de multiplicación por 10, 100 y 1 000 en números de hasta dos cifras.
M.2.1.29. Aplicar las pro-piedades conmutativa y asociativa de la multipli-cación en el cálculo escri-to y mental, y en la resolu-ción de problemas
M.2.1.30. Relacionar la no-ción de división con pa-trones de resta iguales o reparto de cantidades en tantos iguales.
M.2.1.31. Reconocer la rela-ción entre división y mul-tiplicación como opera-ciones inversas.
M.2.1.32. Calcular mental-mente productos y co-cientes exactos utilizando varias estrategias.
Resolver problemas rela-cionados con la multipli-cación utilizando varias estrategias, e interpre-tar la solución dentro del contexto del problema. (Ref. M.2.1.33.)
M.2.1.33. Resolver proble-mas relacionados con la multiplicación y la divi-sión utilizando varias es-trategias, e interpretar la solución dentro del con-texto del problema.
28 M
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.2.3. Emplea elementos básicos de geometría, las propiedades de cuerpos y figuras geométricas, la medición, estimación y cálculos de perímetros, para en-frentar situaciones cotidianas de carácter geométrico.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
Reconocer propiedades de cilindros, esferas, co-nos, cubos, pirámides de base cuadrada y prismas rectangulares en objetos del entorno. (Ref. M.2.2.1.)
M.2.2.1. Reconocer y di-ferenciar los elementos y propiedades de cilindros, esferas, conos, cubos, pi-rámides de base cuadra-da y prismas rectangula-res en objetos del entorno y/o modelos geométricos.
M.2.2.1. Reconocer y di-ferenciar los elementos y propiedades de cilindros, esferas, conos, cubos, pi-rámides de base cuadrada y prismas rectangulares en objetos del entorno y/o modelos geométricos.
Clasificar objetos, según sus propiedades. (Ref. M.2.2.2.)
Identificar cuerpos geo-métricos y figuras geo-métricas según sus pro-piedades. (Ref. M.2.2.2.)
M.2.2.2. Clasificar cuer-pos geométricos y figuras geométricas según sus propiedades.
Identificar formas cua-dradas, triangulares, rec-tangulares y circulares en cuerpos geométricos del entorno. (Ref. M.2.2.3.)
M.2.2.3. Identificar formas cuadradas, triangulares, rectangulares y circulares en cuerpos geométricos del entorno y/o modelos geométricos.
M.2.2.3. Identificar formas cuadradas, triangulares, rectangulares y circulares en cuerpos geométricos del entorno y/o modelos geométricos.
Construir (sin el uso de material geométrico) fi-guras geométricas como cuadrados, triángulos, rectángulos y círculos. (Ref. M.2.2. )
Construir (sin el uso de material geométrico) fi-guras geométricas como cuadrados, triángulos, rectángulos y círculos. (Ref. M.2.2. )
M.2.2.4. Construir figuras geométricas como cua-drados, triángulos, rectán-gulos y círculos.
Distinguir lados, frontera interior y exterior y vérti-ces en figuras geométri-cas: cuadrados, triángu-los, rectángulos y círculos. (Ref. M.2.2.5.)
M.2.2.5. Distinguir lados, frontera interior y exte-rior, vértices y ángulos en figuras geométricas: cua-drados, triángulos, rec-tángulos y círculos.
Reconocer cuadrados y rectángulos a partir del análisis de sus caracte-rísticas, y determinar el perímetro de cuadrados y rectángulos por estima-ción y/o medición. (Ref. M.2.2.6.)
M.2.2.6. Reconocer y dife-renciar cuadrados y rec-tángulos a partir del aná-lisis de sus características, y determinar el perímetro de cuadrados y rectán-gulos por estimación y/o medición.
29
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.2.2.7. Reconocer líneas, rectas y curvas en figuras planas y cuerpos.
M.2.2.8. Representar de forma gráfica la semirrec-ta, el segmento y el ángulo.
M.2.2.8. Representar de forma gráfica la semirrec-ta, el segmento y el ángulo.
M.2.2.9. Reconocer y cla-sificar ángulos según su amplitud (rectos, agudos y obtusos) en objetos, cuer-pos y figuras geométricas
Desarrollo del pensamiento matemático
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.2.4. Resuelve problemas cotidianos sencillos que requieran el uso de ins-trumentos de medida y la conversión de unidades, para determinar la longitud, masa, capacidad y costo de objetos del entorno, y explicar actividades cotidia-nas en función del tiempo.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
M.2.2.10. Medir, estimar y comparar longitudes de objetos del entorno, con-trastándolas con patro-nes de medidas no con-vencionales.
M.2.2.10. Medir, estimar y comparar longitudes de objetos del entorno, con-trastándolas con patro-nes de medidas no con-vencionales.
Utilizar las unidades de medida de longitud (el metro y el centímetro) en la estimación y medición de longitudes de objetos del entorno. (Ref. M.2.2.11)
Utilizar las unidades de medida de longitud: el metro y sus submúltiplos (dm, cm, mm) en la es-timación y medición de longitudes de objetos del entorno. (Ref. M.2.2.11)
M.2.2.11. Utilizar las unida-des de medida de longi-tud: el metro y sus sub-múltiplos (dm, cm, mm) en la estimación y medi-ción de longitudes de ob-jetos del entorno.
M.2.2.12. Realizar conver-siones simples de medi-das de longitud del metro a sus submúltiplos.
M.2.2.13. Representar can-tidades monetarias con el uso de monedas y billetes de 1, 5, 10, 20, 50 y 100 (didácticos).
M.2.2.13. Representar can-tidades monetarias con el uso de monedas y billetes de 1, 5, 10, 20, 50 y 100 (didácticos).
30 M
M.2.2.14. Realizar conver-siones monetarias sim-ples en situaciones signi-ficativas.
M.2.2.14. Realizar conver-siones monetarias simples en situaciones significati-vas.
M.2.2.15. Utilizar la unidad monetaria en actividades lúdicas y en transacciones cotidianas simples, desta-cando la importancia de la integridad y la honestidad.
M.2.2.15.Utilizar la unidad monetaria en actividades lúdicas y en transacciones cotidianas simples, desta-cando la importancia de la integridad y la honestidad.
M.2.2.15. Utilizar la unidad monetaria en actividades lúdicas y en transacciones cotidianas simples, desta-cando la importancia de la integridad y la honestidad.
M.2.2.16. Reconocer día, noche, mañana, tarde, hoy, ayer, días de la se-mana y los meses del año para valorar el tiempo propio y el de los demás, y ordenar situaciones temporales secuenciales asociándolas con eventos significativos.
M.2.2.16. Reconocer día, noche, mañana, tarde, hoy, ayer, días de la se-mana y los meses del año para valorar el tiempo propio y el de los demás, y ordenar situaciones temporales secuenciales asociándolas con eventos significativos.
M.2.2.17. Realizar conver-siones usuales entre años, meses, semanas, días, ho-ras, minutos y segundos en situaciones significativas.
M.2.2.19. Medir, estimar y comparar masas contras-tándolas con patrones de medidas no convencio-nales.
M.2.2.19. Medir, estimar y comparar masas contras-tándolas con patrones de medidas no convencio-nales.
M.2.2.20. Utilizar las uni-dades de medida de masa: el gramo y el kilo-gramo, en la estimación y medición de objetos del entorno.
M.2.2.20. Utilizar las unida-des de medida de masa: el gramo y el kilogramo, en la estimación y medición de objetos del entorno.
M.2.2.21. Realizar conver-siones simples de medi-das de masa
M.2.2.22. Identificar la libra como unidad de medida de masa.
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MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.2.2.23. Medir, estimar y comparar capacida-des contrastándolas con patrones de medidas no convencionales.
M.2.2.23. Medir, estimar y comparar capacida-des contrastándolas con patrones de medidas no convencionales.
M.2.2.24. Utilizar las uni-dades de medida de ca-pacidad: el litro y sus sub-múltiplos (dl, cl, ml) en la estimación y medición de objetos del entorno.
M.2.2.24. Utilizar las uni-dades de medida de ca-pacidad: el litro y sus sub-múltiplos (dl, cl, ml) en la estimación y medición de objetos del entorno.
M.2.2.25. Realizar conver-siones simples de medi-das de capacidad del litro a sus submúltiplos.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.2.5. Examina datos cuantificables del entorno cercano utilizando algunos recursos sencillos de recolección y representación gráfica (pictogramas y diagra-mas de barras), para interpretar y comunicar, oralmente y por escrito, información y conclusiones, asumiendo compromisos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
SEGUNDO TERCERO CUARTO
Organizar y representar datos estadísticos relati-vos a su entorno en tablas de frecuencias y pictogra-mas en función de expli-car conclusiones y asu-mir compromisos. (Ref. M.2.3.1.)
Organizar y representar datos estadísticos relati-vos a su entorno en tablas de frecuencias y pictogra-mas en función de expli-car conclusiones y asu-mir compromisos. (Ref. M.2.3.1.)
M.2.3.1. Organizar y repre-sentar datos estadísticos relativos a su entorno en tablas de frecuencias, pic-togramas y diagramas de barras, en función de ex-plicar e interpretar con-clusiones y asumir com-promisos.
Realizar combinaciones simples de dos por dos y solucionar situaciones co-tidianas. (Ref.M.2.3.2.)
Realizar combinaciones simples de tres por tres y solucionar situaciones co-tidianas. (Ref.M.2.3.2.)
M.2.3.2. Realizar combina-ciones simples y solucio-nar situaciones cotidianas.
M.2.3.3. Reconocer expe-riencias aleatorias en si-tuaciones cotidianas.
M.2.3.3. Reconocer expe-riencias aleatorias en si-tuaciones cotidianas.
M.2.3.3. Reconocer expe-riencias aleatorias en si-tuaciones cotidianas.
32 M
En cada institución educativa pueden optar por distribuir las destrezas con criterios de desempeño sin hacer una desagregación para que este segundo paso sea uno previo a la elaboración de la PCA, sin embargo, también es posible plantear en la PCI ya los contenidos desagregados, como ya se ha dicho reiteradas veces, la forma de plantear los contenidos de aprendizaje es decisión de cada institución y lo importante siempre es la coherencia y la utilidad que esta información dará a los equipos docentes.
A continuación para la institución N/N, para los subniveles Medio y Superior de la EGB y el nivel de Bachillerato, se han propuesto los contenidos de aprendizaje ya desagregados:
Contenidos de Aprendizaje para el Subnivel Medio
EJEMPLO DE PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS DE MATEMÁTICA PARA LOS GRADOS DEL SUBNIVEL MEDIO
QUINTO GRADO SEXTO GRADO SÉPTIMO GRADO
Utilizar el sistema de coor-denadas cartesianas y la generación de sucesiones con sumas, restas, multi-plicaciones como estrate-gias para solucionar pro-blemas del entorno. (Ref. O.M.3.1.)
Utilizar el sistema de coor-denadas cartesianas y la generación de sucesiones con sumas, restas, multipli-caciones y divisiones, como estrategias para solucio-nar problemas del entorno. (Ref. O.M.3.1.)
O.M.3.1. Utilizar el sistema de coordenadas cartesia-nas y la generación de su-cesiones con sumas, restas, multiplicaciones y divisio-nes, como estrategias para solucionar problemas del entorno, justificar resulta-dos, comprender modelos matemáticos y desarrollar el pensamiento lógico-ma-temático.
Participar en equipos de trabajo, en la solución de problemas de la vida co-tidiana, empleando como estrategias los algoritmos de las operaciones con números naturales, deci-males y fracciones, la tec-nología. (Ref. O.M.3.2.)
O.M.3.2. Participar en equipos de trabajo, en la solución de problemas de la vida cotidiana, empleando como es-trategias los algoritmos de las operaciones con números naturales, decimales y fracciones, la tecnología y los con-ceptos de proporcionalidad.
O.M.3.3. Resolver problemas cotidianos que requieran del cálculo de perímetros y áreas de polígonos regulares; la estimación y medición de longitudes, áreas, volú-menes y masas de objetos; la conversión de unidades; y el uso de la tecnología, para comprender el espacio donde se desenvuelve.
O.M.3.4. Descubrir patrones geométricos en diversos juegos infantiles, en edificacio-nes, en objetos culturales, entre otros, para apreciar la Matemática y fomentar la per-severancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones cotidianas.
O.M.3.5. Analizar, interpretar y representar información estadística mediante el em-pleo de TIC, y calcular medidas de tendencia central con el uso de información de datos publicados en medios de comunicación, para así fomentar y fortalecer la vincu-lación con la realidad ecuatoriana.
33
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
EJEMPLO DE DESAGREGACIÓN DE DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO EN EL SUBNIVEL MEDIO
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.1. Emplea de forma razonada la tecnología, estrategias de cálculo y los algoritmos de la adición, sustracción, multiplicación y división de números natu-rales, en el planteamiento y solución de problemas, la generación de sucesiones numéricas, la revisión de procesos y la comprobación de resultados; explica con claridad los procesos utilizados.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
Reproducir sucesiones con sumas, restas y mul-tiplicaciones, con núme-ros naturales, a partir de ejercicios numéricos. (Ref. M.3.1.1.)
Reproducir sucesiones con sumas, restas y mul-tiplicaciones y divisiones con números naturales, a partir de ejercicios numé-ricos. (Ref. M.3.1.1.)
M.3.1.1. Generar sucesiones con sumas, restas, multipli-caciones y divisiones, con números naturales, a partir de ejercicios numéricos o problemas sencillos.
M.3.1.4. Leer y escribir nú-meros naturales en cual-quier contexto.
M.3.1.4. Leer y escribir nú-meros naturales en cual-quier contexto.
M.3.1.4. Leer y escribir nú-meros naturales en cual-quier contexto.
M.3.1.7. Reconocer térmi-nos de la adición y sus-tracción, y calcular la suma o la diferencia de números naturales.
M.3.1.9. Reconocer térmi-nos y realizar multiplicacio-nes entre números natura-les, aplicando el algoritmo de la multiplicación y con el uso de la tecnología.
Reconocer términos y realizar divisiones entre números naturales (con cinco cifras en el dividen-do y dos en el divisor) con residuo, aplicando el algoritmo correspondien-te y con el uso de la tec-nología. (Ref. M.3.1.11.)
Realizar divisiones entre números naturales (con seis cifras en el dividendo y tres en el divisor) con residuo, con el dividen-do mayor que el divisor, aplicando el algoritmo correspondiente y con el uso de la tecnología. (Ref. M.3.1.11.)
M.3.1.11. Realizar divisiones entre números naturales con residuo, con el divi-dendo mayor que el divi-sor, aplicando el algoritmo correspondiente y con el uso de la tecnología.
34 M
M.3.1.12. Calcular produc-tos y cocientes de núme-ros naturales por 10, 100 y 1 000.
M.3.1.12. Calcular produc-tos y cocientes de núme-ros naturales por 10, 100 y 1 000
M.3.1.13. Resolver proble-mas que requieran el uso de operaciones combina-das con números natura-les e interpretar la solu-ción dentro del contexto del problema.
M.3.1.13. Resolver proble-mas que requieran el uso de operaciones combina-das con números natura-les e interpretar la solu-ción dentro del contexto del problema.
M.3.1.13. Resolver proble-mas que requieran el uso de operaciones combina-das con números natura-les e interpretar la solu-ción dentro del contexto del problema.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.2. Aprecia la utilidad de las relaciones de secuencia y orden entre diferen-tes conjuntos numéricos, así como el uso de la simbología matemática, cuando enfrenta, interpreta y analiza la veracidad de la información numérica que se pre-senta en el entorno.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
Reconocer el valor posi-cional de números natu-rales de hasta seis cifras, basándose en su compo-sición y descomposición, con el uso de material concreto y con represen-tación simbólica. (Ref. M.3.1.5.)
Reconocer el valor posi-cional de números natu-rales de hasta ocho cifras, basándose en su compo-sición y descomposición, con el uso de material concreto y con represen-tación simbólica. (Ref. M.3.1.5.)
M.3.1.5. Reconocer el va-lor posicional de números naturales de hasta nueve cifras, basándose en su composición y descom-posición, con el uso de material concreto y con representación simbólica.
Establecer relaciones de secuencia y orden en un conjunto de nú-meros naturales de hasta seis cifras, uti-lizando material con-creto, la semirrecta numérica y simbología matemática (=, <, >). (Ref. M.3.1.6.)
Establecer relaciones de secuencia y orden en un conjunto de números naturales de hasta ocho cifras, utilizando la semi-rrecta numérica y simbo-logía matemática (=, <, >). (Ref. M.3.1.6.)
Establecer relaciones de secuencia y orden en un conjunto de números na-turales de hasta nueve cifras, utilizando la semi-rrecta numérica y simbo-logía matemática (=, <, >). (Ref. M.3.1.6.)
35
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.3.1.27. Establecer re-laciones de secuencia y orden en un conjunto de números decimales, utili-zando material concreto, la semirrecta numérica graduada y simbología matemática (=, <, >).
M.3.1.27. Establecer re-laciones de secuencia y orden en un conjunto de números decimales, utili-zando material concreto, la semirrecta numérica graduada y simbología matemática (=, <, >).
Establecer relaciones de orden entre fraccio-nes utilizando material concreto y simbología matemática (=, <, >). (Ref. M.3.1.37.)
Establecer relaciones de orden entre fraccio-nes, utilizando la semi-rrecta numérica y sim-bología matemática (=, <, >). (Ref. M.3.1.37.)
M.3.1.38. Establecer re-laciones de secuencia y orden entre números naturales, fracciones y decimales, utilizando material concreto, la semirrecta numérica y simbología matemáti-ca (=, <, >).
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.3. Aplica la descomposición en factores primos, el cálculo de MCM, MCD, potencias y raíces con números naturales, y el conocimiento de medidas de super-ficie y volumen, para resolver problemas numéricos, reconociendo críticamente el valor de la utilidad de la tecnología en los cálculos y la verificación de resultados; valora los argumentos de otros al expresar la lógica de los procesos realizados.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
M.3.1.14. Identificar múl-tiplos y divisores de un conjunto de números na-turales.
M.3.1.14. Identificar múl-tiplos y divisores de un conjunto de números na-turales.
36 M
Utilizar criterios de divisi-bilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10 en la descomposición de números naturales en factores primos. (Ref. M.3.1.15.)
M.3.1.15. Utilizar criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10 en la des-composición de números naturales en factores pri-mos y en la resolución de problemas.
M.3.1.16. Identificar nú-meros primos y números compuestos por su defi-nición, aplicando criterios de divisibilidad.
M.3.1.16. Identificar nú-meros primos y números compuestos por su defi-nición, aplicando criterios de divisibilidad.
M.3.1.17. Encontrar el máxi-mo común divisor y el mí-nimo común múltiplo de un conjunto de números naturales.
M.3.1.17. Encontrar el máxi-mo común divisor y el mí-nimo común múltiplo de un conjunto de números naturales.
M.3.1.18. Resolver pro-blemas que impliquen el cálculo del MCM y el MCD.
M.3.1.19. Identificar la po-tenciación como una ope-ración multiplicativa en los números naturales.
M.3.1.20. Asociar las po-tencias con exponentes 2 (cuadrados) y 3 (cubos) con representaciones en dos y tres dimensiones o con áreas y volúmenes.
M.3.1.21. Reconocer la radi-cación como la operación inversa a la potenciación.
M.3.1.22. Resolver y plan-tear problemas de poten-ciación y radicación, utili-zando varias estrategias, e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
M.3.1.23. Calcular y recono-cer cuadrados y cubos de números inferiores a 20.
37
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.3.1.24. Calcular raíces cuadradas y cúbicas uti-lizando la estimación, la descomposición en facto-res primos y la tecnología.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.4. Utiliza un determinado conjunto de números para expresar situaciones reales, establecer equivalencias entre diferentes sistemas numéricos y juzgar la validez de la información presentada en diferentes medios.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
M.3.1.25. Leer y escribir cantidades expresadas en números romanos hasta 1 000.
M.3.1.26. Reconocer, leer y escribir los números deci-males utilizados en la vida cotidiana.
M.3.1.26. Reconocer, leer y escribir los números deci-males utilizados en la vida cotidiana.
M.3.1.33. Leer y escribir fracciones a partir de un objeto, un conjunto de objetos fraccionables o una unidad de medida.
M.3.1.34. Representar frac-ciones en la semirrecta numérica y gráficamente, para expresar y resolver situaciones cotidianas.
M.3.1.34. Representar frac-ciones en la semirrecta numérica y gráficamente, para expresar y resolver situaciones cotidianas.
M.3.1.35. Reconocer los números decimales: dé-cimos, centésimos y milé-simos, como la expresión decimal de fracciones por medio de la división.
M.3.1.36. Transformar nú-meros decimales a frac-ciones con denominador 10, 100 y 1 000.
38 M
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.5. Plantea problemas numéricos en los que intervienen números naturales, decimales o fraccionarios, asociados a situaciones del entorno; para el plantea-miento emplea estrategias de cálculo mental, y para su solución, los algoritmos de las operaciones y propiedades. Justifica procesos y emplea de forma crítica la tecnología, como medio de verificación de resultados.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
Identificar las propieda-des de la adición en el cálculo de ejercicios. (Ref. M.3.1.8.)
Aplicar las propiedades de la adición como es-trategia en la solución de problemas. (Ref. M.3.1.8.)
M.3.1.8. Aplicar las propie-dades de la adición como estrategia de cálculo men-tal y la solución de proble-mas.
Identificar las propieda-des de la multiplicación en el cálculo escrito de ejercicios. (Ref. M.3.1.10.)
M.3.1.10. Aplicar las pro-piedades de la multiplica-ción en el cálculo escrito y mental, y la resolución de ejercicios y problemas.
M.3.1.28. Calcular, aplican-do algoritmos y la tecno-logía, sumas, restas, mul-tiplicaciones y divisiones con números decimales.
M.3.1.28. Calcular, aplican-do algoritmos y la tecno-logía, sumas, restas, mul-tiplicaciones y divisiones con números decimales.
M.3.1.29. Aplicar las reglas del redondeo en la resolu-ción de problemas.
M.3.1.29. Aplicar las reglas del redondeo en la resolu-ción de problemas.
Deduce las reglas para multiplicar o dividir núme-ros decimales por 10,100 o 1 000. (Ref. M.3.1.30.)
M.3.1.30. Utilizar el cálculo de productos o cocientes por 10,100 o 1 000 con nú-meros decimales, como es-trategia de cálculo mental y solución de problemas.
M.3.1.31. Resolver y plan-tear problemas con su-mas, restas, multiplica-ciones y divisiones con números decimales, utili-zando varias estrategias, e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
39
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.3.1.32. Resolver y plan-tear problemas con ope-raciones combinadas con números decimales, utili-zando varias estrategias, e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
M.3.1.39. Calcular sumas y restas con fracciones ob-teniendo el denominador común.
Emplear los algoritmos de multiplicaciones y di-visiones entre fracciones. (Ref. M.3.1.40. )
M.3.1.40. Realizar multipli-caciones y divisiones en-tre fracciones, empleando como estrategia la simpli-ficación.
M.3.1.41. Realizar cálculos combinados de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones.
Resolver y plantear pro-blemas de sumas, restas, con fracciones, e interpre-tar la solución dentro del contexto del problema. (Ref. M.3.1.42.)
M.3.1.42. Resolver y plan-tear problemas de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones, e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
M.3.1.43. Resolver y plan-tear problemas que con-tienen combinaciones de sumas, restas, multi-plicaciones y divisiones con números naturales, fracciones y decimales, e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
40 M
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.6. Formula y resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa; emplea, como estrategias de solución, el planteamiento de razones y proporcio-nes provenientes de tablas, diagramas y gráficas cartesianas; y explica de forma razonada los procesos empleados y la importancia del manejo honesto y respon-sable de documentos comerciales.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
Leer y ubicar pares orde-nados en el sistema de coordenadas rectangula-res, con números natura-les, (Ref. M.3.1.2.)
Leer y ubicar pares orde-nados en el sistema de coordenadas rectangu-lares, con números na-turales, decimales. (Ref. M.3.1.2.)
M.3.1.2. Leer y ubicar pares ordenados en el sistema de coordenadas rectan-gulares, con números na-turales, decimales y frac-ciones.
M.3.1.3. Utilizar el sistema de coordenadas para re-presentar.
M.3.1.3. Utilizar el sistema de coordenadas para re-presentar
M.3.1.44. Reconocer las magnitudes directa o in-versamente proporcio-nales en situaciones coti-dianas; elaborar tablas y plantear proporciones.
M.3.1.45. Expresar porcen-tajes como fracciones y decimales, o fracciones y decimales como porcen-tajes. (Ref. M.3.1.44.)
M.3.1.45. Expresar porcen-tajes como fracciones y decimales, o fracciones y decimales como porcen-tajes, en función de expli-car situaciones cotidianas.
M.3.1.46. Representar por-centajes en diagramas circulares como una es-trategia para comunicar información de distinta índole.
Calcular porcentajes en aplicaciones cotidianas como las facturas. (Ref. M.3.1.47.)
M.3.1.47. Calcular porcen-tajes en aplicaciones co-tidianas: facturas, notas de venta, rebajas, cuentas de ahorro, interés simple y otros.
41
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.3.1.48. Resolver y plantear problemas con la aplicación de la proporcionalidad di-recta o inversa, e interpre-tar la solución dentro del contexto del problema.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.7. Explica las características y propiedades de figuras planas y cuerpos geométricos, al construirlas en un plano; utiliza como justificación de los proce-sos de construcción los conocimientos sobre posición relativa de dos rectas y la clasificación de ángulos; resuelve problemas que implican el uso de elementos de figuras o cuerpos geométricos y el empleo de la fórmula de Euler.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
M.3.2.1. Reconocer rectas paralelas, secantes y se-cantes perpendiculares en figuras geométricas planas.
M.3.2.2. Determinar la po-sición relativa de dos rec-tas en gráficos (paralelas, secantes y secantes per-pendiculares).
M.3.2.3. Identificar paralelo-gramos y trapecios a partir del análisis de sus caracte-rísticas y propiedades.
Identificar triángulos, por sus lados (equiláteros, isósceles y escalenos) y por sus ángulos (rectán-gulos, acutángulos y ob-tusángulos). (Ref. M.3.2.5.)
M.3.2.5. Clasificar triángu-los, por sus lados (en equi-láteros, isósceles y escale-nos) y por sus ángulos (en rectángulos, acutángulos y obtusángulos).
M.3.2.7. Construir, con el uso de una regla y un compás, triángulos, pa-ralelogramos y trapecios, fijando medidas de lados y/o ángulos.
42 M
Identificar polígonos re-gulares e irregulares se-gún sus lados y ángulos. (Ref. M.3.2.5.)
M.3.2.8. Clasificar polígo-nos regulares e irregulares según sus lados y ángulos.
M.3.2.12. Clasificar polie-dros y cuerpos de revolu-ción de acuerdo a sus ca-racterísticas y elementos.
M.3.2.12. Clasificar polie-dros y cuerpos de revolu-ción de acuerdo a sus ca-racterísticas y elementos.
M.3.2.13. Aplicar la fórmula de Euler en la resolución de problemas.
Medir ángulos rectos, agudos y obtusos, con el uso de planillas para des-cribir objetos del entorno. (Ref. M.3.2.20.)
Medir ángulos rectos, agudos y obtusos, con el graduador para dar solu-ción a situaciones coti-dianas. (Ref. M.3.2.20.)
M.3.2.20. Medir ángulos rec-tos, agudos y obtusos, con el graduador u otras estra-tegias, para dar solución a situaciones cotidianas.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.3.8. Resuelve problemas cotidianos que impliquen el cálculo del perímetro y el área de figuras planas; deduce estrategias de solución con el empleo de fór-mulas; explica de manera razonada los procesos utilizados; verifica resultados y juzga su validez.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
Calcular el perímetro de paralelogramos y trape-cios en la resolución de problemas. (Ref. M.3.2.4.)
M.3.2.4. Deducir y calcular el área de paralelogramos y trapecios en la resolu-ción de problemas.
Calcular el perímetro de triángulos; deducir la fórmula para calcular el área de triángulos. (Ref. M.3.2.6.)
Calcular el área de trián-gulos en la resolución de problemas. (Ref. M.3.2.6.)
Calcular el perímetro y el área de triángulos en la resolución de pro-blemas. (Ref.M.3.2.6.)
Calcular el perímetro de polígonos regula-res, aplicando la fór-mula correspondiente. (Ref. M.3.2.9.)
Calcular el perímetro y área de polígonos regu-lares, aplicando la fórmu-la correspondiente. (Ref. M.3.2.9.)
M.3.2.9. Calcular, en la re-solución de problemas, el perímetro y área de polí-gonos regulares, aplican-do la fórmula correspon-diente.
43
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.3.2.10. Resolver pro-blemas que impliquen el cálculo del perímetro de polígonos irregulares.
M.3.2.10. Resolver pro-blemas que impliquen el cálculo del perímetro de polígonos irregulares.
Reconocer los elementos de un círculo en represen-taciones gráficas y calcu-lar la longitud (perímetro) de la circunferencia. (Ref. M.3.2.11.)
Calcular la longitud (perí-metro) de la circunferen-cia y el área de un círculo en la resolución de proble-mas. (Ref. M.3.2.11.)
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.3.9. Emplea, como estrategia para la solución de problemas geométricos, los procesos de conversión de unidades; justifica la necesidad de expresar unidades en múltiplos o submúltiplos para optimizar procesos e interpretar datos y comu-nicar información.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
M.3.2.14. Realizar conver-siones simples de medi-das de longitud del metro a los múltiplos en la reso-lución de problemas. (Ref. M.3.2.14.)
M.3.2.14. Realizar conver-siones simples de medi-das de longitud del metro, múltiplos y submúltiplos en la resolución de pro-blemas.
Reconocer el metro cua-drado como unidad de medida de superficie, los submúltiplos y múltiplos, y realizar conversiones. (Ref.M.3.2.15.)
M.3.2.15. Reconocer el metro cuadrado como unidad de medida de su-perficie, los submúltiplos y múltiplos, y realizar con-versiones en la resolución de problemas.
M.3.2.16. Relacionar las medidas de superficie con las medidas agrarias más usuales (hectárea, área, centiárea) en la resolución de problemas.
44 M
Reconocer el metro cú-bico como unidad de medida de volumen, los submúltiplos y múltiplos y realizar conversiones en la resolución de proble-mas. (Ref. M.3.2.17.)
Relacionar medidas de volumen y capacidad; y realizar conversiones en la resolución de problemas. (Ref. M.3.2.17.)
Comparar el kilogramo, y la libra con las medidas de masa de la localidad en situaciones cotidianas. (Ref. M.3.2.18.)
M.3.2.18. Comparar el kilo-gramo, el gramo y la libra con las medidas de masa de la localidad, a partir de experiencias concretas y del uso de instrumentos de medida.
M.3.2.19. Realizar con-versiones simples entre el kilogramo, el gramo y la libra en la solución de problemas cotidianos.
M.3.2.19. Realizar conver-siones simples entre el kilogramo, el gramo y la libra en la solución de pro-blemas cotidianos.
M.3.2.21. Reconocer los ángulos como parte del sistema sexagesimal en la conversión de grados a minutos.
M.3.2.22. Convertir medi-das decimales de ángu-los a grados y minutos, en función de explicar situa-ciones cotidianas.
M.3.2.23. Utilizar siglo, década y lustro para in-terpretar información del entorno.
M.3.2.23. Utilizar siglo, dé-cada y lustro para inter-pretar información del en-torno.
45
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.3.10. Emplea programas informáticos para realizar estudios estadísticos sen-cillos; formular conclusiones de información estadística del entorno presentada en gráficos y tablas; y utilizar parámetros estadísticos, como la media, mediana, moda y rango, en la explicación de conclusiones.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
Analizar y representar, en tablas de frecuencias, dia-gramas de barra, datos dis-cretos recolectados en el entorno e información pu-blicada en medios de co-municación. (Ref. M.3.3.1.)
Analizar y representar, en diagramas poligonales, datos discretos recolec-tados en el entorno e in-formación publicada en medios de comunicación. (Ref. M.3.3.1.)
Analizar y representar, en diagramas circulares datos discretos recolectados en el entorno e información publicada en medios de co-municación. (Ref. M.3.3.1.)
Calcular medidas de ten-dencia central (media y moda) de un conjunto de datos estadísticos discre-tos tomados del entorno. (Ref. M.3.3.2.)
Calcular medidas de ten-dencia central (media, mediana y moda) de un conjunto de datos es-tadísticos discretos to-mados del entorno y de medios de comunicación. (Ref. M.3.3.2.)
M.3.3.2. Analizar e inter-pretar el significado de calcular medidas de ten-dencia central (media, mediana y moda) y medi-das de dispersión (el ran-go), de un conjunto de da-tos estadísticos discretos tomados del entorno y de medios de comunicación.
M.3.3.3. Emplear progra-mas informáticos para ta-bular y representar datos discretos estadísticos ob-tenidos del entorno.
M.3.3.3. Emplear progra-mas informáticos para ta-bular y representar datos discretos estadísticos ob-tenidos del entorno.
M.3.3.3. Emplear progra-mas informáticos para ta-bular y representar datos discretos estadísticos ob-tenidos del entorno.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.3.11. Emplea combinaciones simples y el cálculo de probabilidades como es-trategia para resolver situaciones cotidianas; explica y justifica de forma crítica y razonada los procesos y resultados obtenidos en el contexto del problema.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
QUITO SEXTO SÉPTIMO
M.3.3.4. Realizar combi-naciones simples de hasta tres por cuatro elementos para explicar situaciones cotidianas.
46 M
Identificar sucesos alea-torios a través del análi-sis de situaciones experi-mentales. (Ref. M.3.3.5.)
Describir las experiencias y sucesos aleatorios a tra-vés del análisis de sus re-presentaciones gráficas. (Ref. M.3.3.5.)
M.3.3.5. Describir las expe-riencias y sucesos aleato-rios a través del análisis de sus representaciones grá-ficas y el uso de la termi-nología adecuada.
M.3.3.6. Calcular la proba-bilidad de que un evento ocurra, gráficamente y con el uso de fracciones, en función de resolver problemas asociados a probabilidades de situa-ciones significativas.
Contenidos de Aprendizaje para el Subnivel SuperiorEJEMPLO DE PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS DE MATEMÁTICA PARA LOS GRADOS DEL SUBNIVEL SUPERIOR
OCTAVO GRADO NOVENO GRADO DÉCIMO GRADO
Reconocer las relaciones existentes entre los con-juntos de números ente-ros, racionales, ordenar estos números y operar con ellos para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos; y fomentar el pensamien-to lógico y creativo. (Ref. O.M.4.1.)
Reconocer las relaciones existentes entre el conjun-to de números irraciona-les; ordenar estos números y operar con ellos para lo-grar una mejor compren-sión de procesos alge-braicos y de las funciones (discretas y continuas); y fomentar el pensamien-to lógico y creativo. (Ref. O.M.4.1.)
O.M.4.1. Reconocer las re-laciones existentes entre los conjuntos de números enteros, racionales, irra-cionales y reales; ordenar estos números y operar con ellos para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos y de las funciones (discretas y continuas); y fomentar el pensamiento lógico y creativo.
Reconocer y aplicar las propiedades conmuta-tiva, asociativa y distri-butiva; las cuatro ope-raciones básicas; y la potenciación y radica-ción. (Ref. O.M.4.2.)
Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva; las cuatro operaciones bá-sicas; y la potenciación y radicación para la simpli-ficación de polinomios, a través de la resolución de problemas. (Ref. O.M.4.2.)
O.M.4.2. Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva; las cuatro operaciones básicas; y la potenciación y radicación para la simplificación de polinomios, a través de la resolución de problemas.
47
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
Representar y resolver de manera gráfica (utili-zando las TIC) y analíti-ca ecuaciones e inecua-ciones con una variable para aplicarlos en la solu-ción de situaciones con-cretas. (Ref. O.M.4.3.)
Representar y resolver de manera gráfica (utilizando las TIC) y analítica ecua-ciones e inecuaciones con una variable; ecuaciones de segundo grado con una variable; y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, para apli-carlos en la solución de si-tuaciones concretas. (Ref. O.M.4.3.)
O.M.4.3. Representar y re-solver de manera gráfica (utilizando las TIC) y ana-lítica ecuaciones e inecua-ciones con una variable; ecuaciones de segundo grado con una variable; y sistemas de dos ecuacio-nes lineales con dos in-cógnitas, para aplicarlos en la solución de situacio-nes concretas.
Aplicar las operaciones básicas, la radicación y la potenciación en la re-solución de problemas con números enteros, ra-cionales para desarrollar el pensamiento lógico y crítico. (Ref. O.M.4.4.)
O.M.4.4. Aplicar las opera-ciones básicas, la radica-ción y la potenciación en la resolución de proble-mas con números enteros, racionales, irracionales y reales, para desarrollar el pensamiento lógico y críti-co. (Ref. O.M.4.4.)
O.M.4.4. Aplicar las opera-ciones básicas, la radica-ción y la potenciación en la resolución de proble-mas con números enteros, racionales, irracionales y reales, para desarrollar el pensamiento lógico y crí-tico.
Argumentar con lógica los procesos empleados para alcanzar un me-jor entendimiento del entorno cultural, social y natural; y fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes patrimoniales del país. (Ref. O.M.4.5.)
Aplicar el teorema de Pi-tágoras para deducir y entender las relaciones trigonométricas (utilizan-do las TIC) y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros, áreas, volúme-nes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas, con el propósito de resolver problemas. Argumentar con lógica los procesos empleados para alcanzar un mejor entendimiento del entorno cultural, so-cial y natural; y fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes pa-trimoniales del país. (Ref. O.M.4.5.)
O.M.4.5. Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las relaciones trigonométricas (utilizan-do las TIC) y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros, áreas, volúme-nes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas, con el propósito de resolver problemas. Argumentar con lógica los procesos empleados para alcanzar un mejor entendimiento del entorno cultural, so-cial y natural; y fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes pa-trimoniales del país.
48 M
Aplicar las conversiones de unidades de medi-da del SI y de otros sis-temas en la resolución de problemas que invo-lucren perímetro y área de figuras planas, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, así como diferentes situaciones cotidianas que impli-quen medición, compa-ración, cálculo y equi-valencia entre unidades. (Ref.O.M.4.6.)
O.M.4.6. Aplicar las conver-siones de unidades de me-dida del SI y de otros sis-temas en la resolución de problemas que involucren perímetro y área de figuras planas, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, así como diferentes si-tuaciones cotidianas que impliquen medición, com-paración, cálculo y equi-valencia entre unidades. (Ref.O.M.4.6.)
O.M.4.6. Aplicar las conver-siones de unidades de me-dida del SI y de otros sis-temas en la resolución de problemas que involucren perímetro y área de figuras planas, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, así como diferentes si-tuaciones cotidianas que impliquen medición, com-paración, cálculo y equiva-lencia entre unidades.
Representar, analizar e interpretar datos estadís-ticos y situaciones proba-bilísticas con el uso de las TIC, para conocer y com-prender mejor el entorno social y económico, con pensamiento crítico y re-flexivo. (Ref.O.M.4.7.)
Representar, analizar e in-terpretar datos estadísti-cos y situaciones proba-bilísticas con el uso de las TIC, para conocer y com-prender mejor el entorno social y económico, con pensamiento crítico y re-flexivo. (Ref.O.M.4.7.)
O.M.4.7. Representar, ana-lizar e interpretar datos estadísticos y situaciones probabilísticas con el uso de las TIC, para conocer y comprender mejor el en-torno social y económico, con pensamiento crítico y reflexivo.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.4.1. Emplea las relaciones de orden, las propiedades algebraicas (adición y multiplicación), las operaciones con distintos tipos de números (Z, Q, I) y expre-siones algebraicas, para afrontar inecuaciones y ecuaciones con soluciones de di-ferentes campos numéricos, y resolver problemas de la vida real, seleccionando la forma de cálculo apropiada e interpretando y juzgando las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema; analiza la necesidad del uso de la tecnología.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
OCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.1.1. Reconocer los ele-mentos del conjunto de números enteros Z, ejem-plificando situaciones reales en las que se utili-zan los números enteros negativos.
EJEMPLO DE DESAGREGACIÓN DE DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPE-ÑO EN EL SUBNIVEL SUPERIOR
49
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.1.2. Establecer relacio-nes de orden en un con-junto de números enteros, utilizando la recta numé-rica y la simbología mate-mática (=, <, ≤, >, ≥).
M.4.1.3. Operar en Z (adi-ción, sustracción, multipli-cación) de forma numéri-ca, aplicando el orden de operación.
M.4.1.4. Deducir y aplicar las propiedades algebrai-cas (adición y multipli-cación) de los números enteros en operaciones numéricas.
M.4.1.5. Calcular la poten-cia de números enteros con exponentes naturales.
M.4.1.5. Calcular la poten-cia de números enteros con exponentes naturales.
M.4.1.6. Calcular raíces de números enteros no ne-gativos que intervienen en expresiones matemáticas.
M.4.1.7. Realizar operacio-nes combinadas en Z apli-cando el orden de opera-ción, y verificar resultados utilizando la tecnología.
M.4.1.8. Expresar enuncia-dos simples en lenguaje matemático (algebraico) para resolver problemas.
M.4.1.9. Aplicar las propie-dades algebraicas (adi-ción y multiplicación) de los números enteros en la suma de monomios ho-mogéneos y la multipli-cación de términos alge-braicos.
M.4.1.10. Resolver ecuacio-nes de primer grado con una incógnita en Z en la solución de problemas.
50 M
M.4.1.11. Resolver inecua-ciones de primer grado con una incógnita en Z, de manera analítica, en la solución de ejercicios nu-méricos y problemas.
M.4.1.12. Resolver y plan-tear problemas de aplica-ción con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con una incógnita en Z, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.4.1.12. Resolver y plan-tear problemas de aplica-ción con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con una incógnita en Z, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.4.1.13. Reconocer el conjunto de los números racionales Q e identificar sus elementos.
M.4.1.14. Representar y re-conocer los números ra-cionales como un núme-ro decimal y/o como una fracción.
M.4.1.15. Establecer rela-ciones de orden en un conjunto de números ra-cionales utilizando la recta numérica y la simbología matemática (=,<,≤,> ,≥).
M.4.1.16. Operar en Q (adi-ción y multiplicación) re-solviendo ejercicios nu-méricos.
M.4.1.17. Aplicar las propie-dades algebraicas para la suma y la multiplicación de números racionales en la solución de ejercicios numéricos.
M.4.1.18. Calcular potencias de números racionales con exponentes enteros.
51
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.1.19. Calcular raíces de números racionales no negativos en la solución de ejercicios numéricos (con operaciones com-binadas) y algebraicos, atendiendo la jerarquía de la operación.
M.4.1.20. Resolver ecua-ciones de primer grado con una incógnita en Q en la solución de problemas sencillos.
M.4.1.21. Resolver inecua-ciones de primer grado con una incógnita en Q de manera algebraica.
M.4.1.22. Resolver y plan-tear problemas de aplica-ción con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.4.1.22. Resolver y plan-tear problemas de aplica-ción con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
Plantear problemas de aplicación con enuncia-dos que involucren ecua-ciones o inecuaciones de primer grado con una in-cógnita en Q, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas den-tro del contexto del pro-blema. (Ref. M.4.1.22. )
M.4.1.26. Reconocer el conjunto de los números irracionales e identificar sus elementos.
M.4.1.27. Simplificar ex-presiones numéricas apli-cando las reglas de los ra-dicales.
52 M
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.4.2. Emplea las relaciones de orden, las propiedades algebraicas de las ope-raciones en R y expresiones algebraicas, para afrontar inecuaciones, ecuaciones y sistemas de inecuaciones con soluciones de diferentes campos numéricos, y resolver problemas de la vida real, seleccionando la notación y la forma de cálculo apropiada e interpretando y juzgando las soluciones obtenidas dentro del contex-to del problema; analiza la necesidad del uso de la tecnología.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
OCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.1.23. Definir y recono-cer polinomios de grados 1 y 2.
M.4.1.24. Operar con po-linomios de grado ≤2 (adición y producto por escalar) en ejercicios nu-méricos y algebraicos.
M.4.1.25. Reescribir poli-nomios de grado 2 con la multiplicación de polino-mios de grado 1.
M.4.1.28. Reconocer el conjunto de los números reales R e identificar sus elementos.
M.4.1.29. Aproximar nú-meros reales a números decimales para resolver problemas.
M.4.1.30. Establecer re-laciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta numérica y la simbología matemática (=, <, ≤, >, ≥).
M.4.1.31. Calcular adicio-nes y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos apli-cando propiedades en R (propiedad distributiva de la suma con respecto al producto).
53
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.1.32. Calcular expre-siones numéricas y alge-braicas usando las ope-raciones básicas y las propiedades algebraicas en R.
M.4.1.33. Reconocer y cal-cular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.
M.4.1.34. Aplicar las po-tencias de números reales con exponentes enteros para la notación científica.
M.4.1.36. Reescribir expre-siones numéricas o alge-braicas con raíces en el denominador utilizando propiedades en R (racio-nalización).
M.4.1.37. Identificar las raí-ces como potencias con exponentes racionales para calcular potencias de números reales no ne-gativos con exponentes racionales en R.
M.4.1.38. Resolver ecua-ciones de primer grado con una incógnita en R para resolver problemas sencillos.
M.4.1.38. Resolver ecua-ciones de primer grado con una incógnita en R para resolver problemas sencillos.
M.4.1.39. Representar un intervalo en R de manera algebraica y gráfica, y re-conocer el intervalo como la solución de una inecua-ción de primer grado con una incógnita en R.
M.4.1.39. Representar un intervalo en R de manera algebraica y gráfica, y re-conocer el intervalo como la solución de una inecua-ción de primer grado con una incógnita en R.
M.4.1.40. Resolver de ma-nera geométrica una ine-cuación lineal con dos incógnitas en el plano cartesiano sombreando la solución.
M.4.1.40. Resolver de ma-nera geométrica una ine-cuación lineal con dos incógnitas en el plano car-tesiano sombreando la so-lución.
54 M
M.4.1.41. Resolver un siste-ma de inecuaciones linea-les con dos incógnitas de manera gráfica (en el pla-no) y reconocer la zona común sombreada como solución del sistema.
M.4.1.41. Resolver un siste-ma de inecuaciones linea-les con dos incógnitas de manera gráfica (en el pla-no) y reconocer la zona común sombreada como solución del sistema.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.4.3. Define funciones elementales (función real, función cuadrática), reconoce sus representaciones, propiedades y fórmulas algebraicas, analiza la importancia de ejes, unidades, dominio y escalas, y resuelve problemas que pueden ser modelados a través de funciones elementales; propone y resuelve problemas que requieran el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y ecuaciones de segundo grado; juzga la necesidad del uso de la tecnología.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
OCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.1.42. Calcular el pro-ducto cartesiano entre dos conjuntos para definir re-laciones binarias (subcon-juntos), representándolas con pares ordenados.
M.4.1.42. Calcular el pro-ducto cartesiano entre dos conjuntos para definir re-laciones binarias (subcon-juntos), representándolas con pares ordenados.
M.4.1.42. Calcular el pro-ducto cartesiano entre dos conjuntos para definir re-laciones binarias (subcon-juntos), representándolas con pares ordenados.
M.4.1.43. Identificar rela-ciones reflexivas, simé-tricas, transitivas y de equivalencia sobre un subconjunto del producto cartesiano.
M.4.1.43. Identificar rela-ciones reflexivas, simé-tricas, transitivas y de equivalencia sobre un subconjunto del producto cartesiano.
M.4.1.43. Identificar rela-ciones reflexivas, simé-tricas, transitivas y de equivalencia sobre un subconjunto del producto cartesiano.
M.4.1.44. Definir y recono-cer funciones de manera algebraica y de manera gráfica, con diagramas de Venn, determinando su dominio y recorrido en Z.
M.4.1.44. Definir y recono-cer funciones de manera algebraica y de manera gráfica, con diagramas de Venn, determinando su dominio y recorrido en Z.
M.4.1.44. Definir y recono-cer funciones de manera algebraica y de manera gráfica, con diagramas de Venn, determinando su dominio y recorrido en Z.
M.4.1.45. Representar fun-ciones de forma gráfica, con barras, bastones y dia-gramas circulares, y anali-zar sus características.
M.4.1.46. Elaborar mode-los matemáticos sencillos como funciones en la so-lución de problemas.
55
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.1.47. Definir y recono-cer funciones lineales en Z, con base en tablas de valores, de formulación algebraica y/o represen-tación gráfica, con o sin el uso de la tecnología.
M.4.1.47. Definir y recono-cer funciones lineales en Z, con base en tablas de valores, de formulación algebraica y/o represen-tación gráfica, con o sin el uso de la tecnología.
M.4.1.47. Definir y recono-cer funciones lineales en Z, con base en tablas de valores, de formulación algebraica y/o represen-tación gráfica, con o sin el uso de la tecnología.
M.4.1.48. Reconocer fun-ciones crecientes y de-crecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores.
M.4.1.48. Reconocer fun-ciones crecientes y de-crecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores.
M.4.1.48. Reconocer fun-ciones crecientes y de-crecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores.
M.4.1.49. Definir y recono-cer una función real identi-ficando sus características: dominio, recorrido, mono-tonía, cortes con los ejes.
M.4.1.49. Definir y recono-cer una función real identi-ficando sus características: dominio, recorrido, mono-tonía, cortes con los ejes.
M.4.1.50. Definir y reco-nocer una función lineal de manera algebraica y gráfica (con o sin el em-pleo de la tecnología), e identificar su monotonía a partir de la gráfica o su pendiente.
M.4.1.50. Definir y recono-cer una función lineal de manera algebraica y gráfi-ca (con o sin el empleo de la tecnología), e identificar su monotonía a partir de la gráfica o su pendiente.
M.4.1.51. Definir y reco-nocer funciones potencia con n=1, 2, 3, representar-las de manera gráfica e identificar su monotonía.
M.4.1.52. Representar e interpreta r modelos ma-temáticos con funciones lineales, y resolver proble-mas.
M.4.1.53. Reconocer la rec-ta como la solución gráfi-ca de una ecuación lineal con dos incógnitas en R.
M.4.1.54. Reconocer la in-tersección de dos rectas como la solución gráfi-ca de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
56 M
M.4.1.55. Resolver un sis-tema de dos ecuaciones lineales con dos incógni-tas de manera algebraica, utilizando los métodos de determinante (Cramer), de igualación, y de elimi-nación gaussiana.
M.4.1.56. Resolver y plan-tear problemas de texto con enunciados que invo-lucren funciones lineales y sistemas de dos ecuacio-nes lineales con dos incóg-nitas; e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.4.1.57. Definir y reconocer una función cuadrática de manera algebraica y gráfi-ca, determinando sus ca-racterísticas: dominio, reco-rrido, monotonía, máximos, mínimos y paridad.
M.4.1.58. Reconocer los ce-ros de la función cuadráti-ca como la solución de la ecuación de segundo gra-do con una incógnita.
M.4.1.59. Resolver la ecua-ción de segundo grado con una incógnita de mane-ra analítica (por factoreo, completación de cuadra-dos, fórmula binomial) en la solución de problemas.
M.4.1.60. Aplicar las pro-piedades de las raíces de la ecuación de segundo grado con una incógnita para resolver problemas.
57
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.1.61. Resolver (con apo-yo de las TIC) y plantear problemas con enuncia-dos que involucren mode-los con funciones cuadráti-cas, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.4.4. Valora la importancia de la teoría de conjuntos para definir conceptos e interpretar propiedades; aplica las leyes de la lógica proposicional en la solución de problemas y la elaboración de argumentos lógicos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
OCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.2.1. Definir y recono-cer proposiciones simples a las que se puede asignar un valor de verdad para relacionarlas entre sí con conectivos lógicos: ne-gación, disyunción, con-junción, condicionante y bicondicionante; y formar proposiciones compues-tas (que tienen un valor de verdad que puede ser determinado).
M.4.2.2. Definir y recono-cer una tautología para la construcción de tablas de verdad.
M.4.2.2. Definir y recono-cer una tautología para la construcción de tablas de verdad.
M.4.2.3. Conocer y aplicar las leyes de la lógica pro-posicional en la solución de problemas.
M.4.2.3. Conocer y aplicar las leyes de la lógica pro-posicional en la solución de problemas.
M.4.2.3. Conocer y aplicar las leyes de la lógica pro-posicional en la solución de problemas.
M.4.2.4. Definir y reconocer conjuntos y sus caracterís-ticas para operar con ellos (unión, intersección, dife-rencia, complemento) de forma gráfica y algebraica.
M.4.2.4. Definir y reconocer conjuntos y sus caracterís-ticas para operar con ellos (unión, intersección, dife-rencia, complemento) de forma gráfica y algebraica.
M.4.2.4. Definir y reconocer conjuntos y sus caracterís-ticas para operar con ellos (unión, intersección, dife-rencia, complemento) de forma gráfica y algebraica.
58 M
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.4.5. Emplea la congruencia, semejanza, simetría y las características sobre las rectas y puntos notables, en la construcción de figuras; aplica los conceptos de semejanza para solucionar problemas de perímetros y áreas de figuras, conside-rando como paso previo el cálculo de longitudes. Explica los procesos de solución de problemas utilizando como argumento criterios de semejanza, congruencia y las propiedades y elementos de triángulos. Expresa con claridad los procesos seguidos y los razonamientos empleados.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
OCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.2.5. Definir e identifi-car figuras geométricas semejantes, de acuerdo a las medidas de los án-gulos y a la relación entre las medidas de los lados, determinando el factor de escala entre las figuras (teorema de Thales).
M.4.2.5. Definir e identifi-car figuras geométricas semejantes, de acuerdo a las medidas de los án-gulos y a la relación entre las medidas de los lados, determinando el factor de escala entre las figuras (teorema de Thales).
M.4.2.6. Aplicar la seme-janza en la construcción de figuras semejantes, el cálculo de longitudes y la solución de problemas geométricos.
M.4.2.6. Aplicar la seme-janza en la construcción de figuras semejantes, el cálculo de longitudes y la solución de problemas geométricos.
M.4.2.7. Reconocer y tra-zar líneas de simetría en figuras geométricas para completarlas o resolverlas.
M.4.2.8. Clasificar y cons-truir triángulos, utilizando regla y compás, bajo con-diciones de ciertas medi-das de lados y/o ángulos.
M.4.2.8. Clasificar y cons-truir triángulos, utilizando regla y compás, bajo con-diciones de ciertas medi-das de lados y/o ángulos.
M.4.2.9. Definir e identifi-car la congruencia de dos triángulos de acuerdo a criterios que consideran las medidas de sus lados y/o sus ángulos.
59
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.2.10. Aplicar criterios de semejanza para reco-nocer triángulos rectán-gulos semejantes y resol-ver problemas.
M.4.2.10. Aplicar criterios de semejanza para reco-nocer triángulos rectán-gulos semejantes y resol-ver problemas.
M.4.2.11. Calcular el perí-metro y el área de trián-gulos en la resolución de problemas.
M.4.2.11. Calcular el perí-metro y el área de trián-gulos en la resolución de problemas.
M.4.2.12. Definir y dibujar medianas y baricentro, mediatrices y circuncen-tro, alturas y ortocentro, bisectrices e incentro en un triángulo
M.4.2.13. Plantear y resol-ver problemas que impli-quen la identificación de las características de las rectas y puntos notables de un triángulo.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.4.6. Utiliza estrategias de descomposición en triángulos en el cálculo de áreas de figuras compuestas, y en el cálculo de cuerpos compuestos; aplica el teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas para el cálculo de longi-tudes desconocidas de elementos de polígonos o cuerpos geométricos, como requerimiento previo a calcular áreas de polígonos regulares, y áreas y volúmenes de cuerpos, en contextos geométricos o en situaciones reales. Valora el trabajo en equipo con una actitud flexible, abierta y crítica.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOS
OCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.2.14. Demostrar el teorema de Pitágoras uti-lizando áreas de regiones rectangulares.
M.4.2.15. Aplicar el teo-rema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos
M.4.2.15. Aplicar el teore-ma de Pitágoras en la re-solución de triángulos rec-tángulos.
60 M
M.4.2.16. Definir e identi-ficar las relaciones trigo-nométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver numéricamente triángulos rectángulos.
M.4.2.17. Resolver y plan-tear problemas que invo-lucren triángulos rectán-gulos en contextos reales, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.4.2.18. Calcular el área de polígonos regulares por descomposición en triángulos.
M.4.2.18. Calcular el área de polígonos regulares por descomposición en triángulos.
M.4.2.18. Calcular el área de polígonos regulares por descomposición en triángulos.
M.4.2.19. Aplicar la des-composición en triángu-los en el cálculo de áreas de figuras geométricas compuestas.
M.4.2.19. Aplicar la des-composición en triángu-los en el cálculo de áreas de figuras geométricas compuestas.
M.4.2.19. Aplicar la des-composición en triángulos en el cálculo de áreas de figuras geométricas com-puestas.
M.4.2.20. Construir pirá-mides, prismas, conos y cilindros a partir de patro-nes en dos dimensiones (redes), para calcular el área lateral y total de es-tos cuerpos geométricos
M.4.2.20. Construir pirá-mides, prismas, conos y cilindros a partir de patro-nes en dos dimensiones (redes), para calcular el área lateral y total de es-tos cuerpos geométricos.
M.4.2.21. Calcular el volu-men de pirámides, pris-mas, conos y cilindros aplicando las fórmulas respectivas
M.4.2.22. Resolver pro-blemas que impliquen el cálculo de volúmenes de cuerpos compuestos (usando la descomposi-ción de cuerpos).
61
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.4.7. Representa gráficamente información estadística, mediante tablas de distribución de frecuencias y con el uso de la tecnología. Interpreta y codifica información a través de gráficas. Valora la claridad, el orden y la honestidad en el tratamiento y presentación de datos. Promueve el trabajo colaborativo en el aná-lisis crítico de la información recibida de los medios de comunicación.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOSOCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.3.1. Organizar datos procesados en tablas de frecuencias para definir la función asociada, y repre-sentarlos gráficamente con ayuda de las TIC.
M.4.3.2. Organizar datos no agrupados (máximo 20) y datos agrupados (máximo 50) en tablas de distribución de frecuen-cias: absoluta, relativa, relativa acumulada y acu-mulada, para analizar el significado de los datos.
M.4.3.2. Organizar datos no agrupados (máximo 20) y datos agrupados (máximo 50) en tablas de distribución de frecuen-cias: absoluta, relativa, relativa acumulada y acu-mulada, para analizar el significado de los datos.
M.4.3.2. Organizar datos no agrupados (máximo 20) y datos agrupados (máximo 50) en tablas de distribución de frecuen-cias: absoluta, relativa, relativa acumulada y acu-mulada, para analizar el significado de los datos.
M.4.3.3. Representar de manera gráfica, con el uso de la tecnología, las frecuencias: histograma o gráfico con barras (po-lígono de frecuencias), gráfico de frecuencias acumuladas (ojiva), dia-grama circular, en función de analizar datos.
M.4.3.3. Representar de manera gráfica, con el uso de la tecnología, las frecuencias: histograma o gráfico con barras (po-lígono de frecuencias), gráfico de frecuencias acumuladas (ojiva), dia-grama circular, en función de analizar datos
M.4.3.3. Representar de manera gráfica, con el uso de la tecnología, las frecuencias: histograma o gráfico con barras (po-lígono de frecuencias), gráfico de frecuencias acumuladas (ojiva), dia-grama circular, en función de analizar datos.
62 M
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.4.8. Analiza y representa un grupo de datos utilizando los elementos de la estadística descriptiva (variables, niveles de medición, medidas de tendencia central, de dispersión y de posición). Razona sobre los posibles resultados de un experimento aleatorio sencillo. Calcula probabilidades aplicando como estrategia técnicas de conteo, el cálculo del factorial de un número y el coeficiente bino-mial, operaciones con conjuntos y las leyes de De Morgan. Valora la importancia de realizar estudios estadísticos para comprender el medio y plantear soluciones a problemas de la vida diaria. Emplea medios tecnológicos, con creatividad y autonomía, en el desarrollo de procesos estadísticos. Respeta las ideas ajenas y argumenta procesos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
GRADOSOCTAVO NOVENO DÉCIMO
M.4.3.4. Definir y aplicar la metodología para realizar un estudio estadístico: es-tadística descriptiva.
M.4.3.4. Definir y aplicar la metodología para realizar un estudio estadístico: es-tadística descriptiva.
M.4.3.5. Definir y utilizar variables cualitativas y cuantitativas
M.4.3.5. Definir y utilizar variables cualitativas y cuantitativas
.
M.4.3.6. Definir y aplicar niveles de medición: no-minal, ordinal, intervalo y razón.
M.4.3.7. Calcular e inter-pretar las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y medi-das de dispersión (ran-go, varianza y desviación estándar) de un conjunto de datos en la solución de problemas.
M.4.3.7. Calcular e inter-pretar las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y medi-das de dispersión (ran-go, varianza y desviación estándar) de un conjunto de datos en la solución de problemas.
M.4.3.8. Determinar las medidas de posición: cuar-tiles, deciles, percentiles, para resolver problemas.
M.4.3.9. Definir la probabili-dad (empírica) y el azar de un evento o experimento estadístico para determi-nar eventos o experimen-tos independientes.
63
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.4.3.10. Aplicar métodos de conteo (combinacio-nes y permutaciones) en el cálculo de probabilida-des
M.4.3.11. Calcular el facto-rial de un número natural y el coeficiente binomial en el cálculo de probabi-lidades.
M.4.3.12. Operar con even-tos (unión, intersección, diferencia y complemen-to) y aplicar las leyes de De Morgan para calcular probabilidades en la reso-lución de problemas.
Contenidos de Aprendizaje para el Nivel Bachillerato
EJEMPLO DE PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS DE MATEMÁTICA PARA LOS CURSOS DEL NIVEL DE BACHILLERATO
PRIMER CURSO SEGUNDO CURSO TERCER CURSO
Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial me-diante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes con-juntos numéricos, juzgar con responsabilidad la validez de procedimien-tos y los resultados en un contexto. (Ref.O.M.5.1.)
Proponer soluciones crea-tivas a situaciones concre-tas de la realidad nacio-nal y mundial mediante la aplicación y el uso de modelos funcionales, es-trategias y métodos for-males y no formales de razonamiento matemáti-co, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto. (Ref.O.M.5.1.)
OG.M.1. Proponer solucio-nes creativas a situacio-nes concretas de la rea-lidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjun-tos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos for-males y no formales de razonamiento matemáti-co, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.
64 M
Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, ver-bal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, median-te la aplicación de cono-cimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos.
Producir, comunicar y ge-neralizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tec-nológica, mediante la apli-cación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así com-prender otras disciplinas. (Ref.O.M.5.2.)
OG.M.2. Producir, comuni-car y generalizar informa-ción, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conoci-mientos matemáticos y el manejo organizado, res-ponsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disci-plinas, entender las nece-sidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsa-bilidad social.
Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado. (Ref.O.M.5.3.)
Desarrollar estrategias in-dividuales y grupales que permitan el cálculo exac-to o estimado; y la capa-cidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio. (Ref.O.M.5.3.)
O.M.5.3. Desarrollar es-trategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la ca-pacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.
Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera ra-zonada y crítica, proble-mas de la realidad nacio-nal. (Ref.O.M.5.4).
Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razo-nada y crítica, problemas de la realidad nacional, ar-gumentando la pertinen-cia de los métodos utiliza-dos. (Ref.O.M.5.4).
O.M.5.4. Valorar el em-pleo de las TIC para reali-zar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los méto-dos utilizados y juzgando la validez de los resultados.
Valorar, sobre la base de un pensamiento crí-tico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los sa-beres ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la rea-lidad y contribuir al de-sarrollo del entorno so-cial, natural y cultural. (Ref.O.M.5.5.)
Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógi-co, la vinculación de los conocimientos matemáti-cos con los de otras dis-ciplinas científicas, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural. (Ref.O.M.5.5.)
O.M.5.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos mate-máticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural.
65
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
Desarrollar la curiosi-dad y la creatividad a través del uso de herra-mientas matemáticas. (Ref.O.M.5.6.)
O.M.5.6. Desarrollar la cu-riosidad y la creatividad a través del uso de he-rramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional. (Ref.O.M.5.6.)
O.M.5.6. Desarrollar la cu-riosidad y la creatividad a través del uso de herra-mientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demos-trando actitudes de orden, perseverancia y capacida-des de investigación.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.5.1. Emplea conceptos básicos de las propiedades algebraicas de los núme-ros reales para optimizar procesos, realizar simplificaciones y resolver ejercicios de ecuaciones e inecuaciones, aplicados en contextos reales e hipotéticos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.1.1. Aplicar las propie-dades algebraicas de los números reales en la reso-lución de productos nota-bles y en la factorización de expresiones algebraicas.
M.5.1.2. Deducir propieda-des algebraicas de la po-tenciación y radicación de números reales en la sim-plificación de expresiones numéricas y algebraicas.
M.5.1.3. Transformar raíces n-ésimas de un número real en potencias con ex-ponentes racionales para simplificar expresiones nu-méricas y algebraicas.
M.5.1.4. Aplicar las propie-dades algebraicas de los números reales para resol-ver fórmulas (física, quími-ca, biología) y ecuaciones que se deriven de dichas fórmulas.
Resolver fórmulas (física, química, biología) y ecua-ciones que se deriven de dichas fórmulas. (Ref. M.5.1.4.)
66 M
M.5.1.5. Identificar la inter-sección gráfica de dos rec-tas como solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
M.5.1.6. Resolver analíti-camente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando dife-rentes métodos (igualación, sustitución, eliminación)
M.5.1.7. Aplicar las propie-dades de orden de los nú-meros reales para realizar operaciones con intervalos (unión, intersección, dife-rencia y complemento) de manera gráfica (en la rec-ta numérica) y de manera analítica.
Aplicar las propiedades de orden de los números reales para resolver ecua-ciones e inecuaciones de primer grado con una in-cógnita. (Ref. M.5.1.8.)
M.5.1.8. Aplicar las propie-dades de orden de los nú-meros reales para resolver ecuaciones e inecuacio-nes de primer grado con una incógnita y con valor absoluto.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.5.2. Emplea sistemas de ecuaciones 3x3 aplicando diferentes métodos, in-cluida la eliminación gaussiana; opera con matrices cuadradas y de orden mxn.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
Resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones) uti-lizando los métodos de sustitución (Ref. M.5.1.9.).
M.5.1.9. Resolver siste-mas de tres ecuaciones lineales con dos incóg-nitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones) utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.
67
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.10. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas (infinitas soluciones) utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.
Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones) de manera analítica utilizan-do los métodos de susti-tución. (Ref. M.5.1.11.)
M.5.1.11. Resolver sistemas de dos ecuaciones linea-les con tres incógnitas (ninguna solución, solu-ción única, infinitas solu-ciones) de manera analíti-ca utilizando los métodos de sustitución o elimina-ción gaussiana.
M.5.1.12. Descomponer funciones racionales en fracciones parciales re-solviendo los sistemas de ecuaciones correspon-dientes.
Resolver problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas) e interpretar las solucio-nes obtenidas dentro del contexto del problema. (Ref. M.5.1.13.)
M.5.1.13. Resolver y plan-tear problemas de aplica-ción de sistemas de ecua-ciones lineales (hasta tres ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas) in-terpretar y juzgar la va-lidez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.5.1.14. Reconocer el con-junto de matrices M 2×2 [R] y sus elementos, así como las matrices espe-ciales: nula e identidad.
M.5.1.15. Realizar las ope-raciones de adición y producto entre matrices M2×2 [R], producto de es-calares por matrices M2×2 [R], potencias de matri-ces M2×2 [R] aplicando las propiedades de núme-ros reales.
68 M
M.5.1.16. Calcular el pro-ducto de una matriz de M2×2 [R] por un vector en el plano y analizar su resul-tado (vector y no matriz).
M.5.1.17. Reconocer matrices reales de m×n e identificar las operaciones que son posibles realizar entre ellas según sus dimensiones.
Calcular determinantes de matrices reales cuadradas de orden 2 para resolver sistemas de ecuaciones. (Ref. M.5.1.18.)
M.5.1.18. Calcular determi-nantes de matrices reales cuadradas de orden 2 y 3 para resolver sistemas de ecuaciones.
Calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada A cuyo determinante sea di-ferente a 0 por el método de Gauss (matriz amplia-da). (Ref. M.5.1.19.)
M.5.1.19. Calcular la ma-triz inversa de una ma-triz cuadrada A cuyo de-terminante sea diferente a 0 por el método de Gauss (matriz ampliada) para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.5.3. Opera y emplea funciones reales, lineales, cuadráticas, polinomiales, ex-ponenciales, logarítmicas y trigonométricas para plantear situaciones hipotéticas y cotidianas que puedan resolverse mediante modelos matemáticos; comenta la validez y limitaciones de los procedimientos empleados y verifica sus resultados mediante el uso de las TIC.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.1.20. Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extre-mos y paridad de las di-ferentes funciones reales (función afín a trozos, fun-ción potencia entera nega-tiva con n= -1, -2, función raíz cuadrada, función va-lor absoluto de la función afín) utilizando TIC.
69
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.21. Realizar la compo-sición de funciones reales analizando las caracterís-ticas de la función resul-tante (dominio, recorrido, monotonía, máximos, mí-nimos, paridad).
M.5.1.22. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones reales o hipotéticas con el empleo de la modeli-zación con funciones rea-les (función afín a trozos, función potencia entera negativa con n= -1, -2, fun-ción raíz cuadrada, función valor absoluto de la fun-ción afín), identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la perti-nencia y validez de los re-sultados obtenidos.
M.5.1.23. Reconocer fun-ciones inyectivas, sobre-yectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas) comprobando con la com-posición de funciones.
M.5.1.24. Resolver y plan-tear aplicaciones de la composición de funciones reales en problemas reales o hipotéticos.
M.5.1.25. Realizar las ope-raciones de adición y pro-ducto entre funciones reales, y el producto de nú-meros reales por funciones reales aplicando propieda-des de los números reales.
70 M
M.5.1.26. Aplicar las propie-dades de las raíces de la ecuación de segundo gra-do en la factorización de una función cuadrática.
M.5.1.27. Resolver ecuacio-nes que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
M.5.1.28. Identificar la inter-sección gráfica de una rec-ta y una parábola como so-lución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra lineal.
M.5.1.29. Identificar la inter-sección gráfica de dos pa-rábolas como solución de un sistema de dos ecua-ciones de segundo grado con dos incógnitas.
M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, una de primer grado y una de segundo grado y sistemas de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas de forma analítica.
M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con funciones cuadráticas identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y va-lidez de los resultados ob-tenidos.
Reconocer de manera intuitiva el límite cuan-do h 0 de una función. (M.5.1.32.)
M.5.1.32. Calcular de manera intuitiva el lími-te cuando h 0 de una función cuadrática con el uso de calculadora como una distancia en-tre dos número reales.
71
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.33. Calcular de ma-nera intuitiva la derivada de funciones cuadráti-cas a partir del cociente incremental.
M.5.1.34. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secan-te) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones cuadráticas con apoyo de las TIC.
M.5.1.35. Interpretar de manera geométrica y fí-sica la primera derivada (pendiente de la tangen-te, velocidad instantá-nea) de funciones cua-dráticas con apoyo de las TIC.
M.5.1.36. Interpretar de manera física la segun-da derivada (acelera-ción media, aceleración instantánea) de una función cuadrática con apoyo de las TIC (calcu-ladora gráfica, software, applets).
M.5.1.37. Resolver y plan-tear problemas reales o hipotéticos que pueden ser modelizados con derivadas de funciones cuadráticas identifican-do las variables signifi-cativas presentes y las relaciones entre ellas, juzgando la pertinencia y validez de los resulta-dos obtenidos.
72 M
M.5.1.38. Reconocer fun-ciones polinomiales de grado n (entero posi-tivo) con coeficientes reales en diversos ejem-plos.
M.5.1.39. Realizar opera-ciones de suma, multi-plicación y división entre funciones polinomiales y multiplicación de núme-ros reales por polinomios en ejercicios algebraicos de simplificación.
M.5.1.40. Aplicar las operaciones entre po-linomios de grados ≤4, esquema de Hörner, teorema del residuo y sus respectivas propie-dades para factorizar polinomios de grados ≤4 y reescribir los poli-nomios.
M.5.1.41. Resolver aplica-ciones de los polinomios de grados ≤4 en la in-formática (sistemas de numeración, conversión de sistema de numera-ción binario a decimal y viceversa) en la solución de problemas
M.5.1.42. Resolver pro-blemas o situaciones que pueden ser mode-lizados con funciones polinomiales identifi-cando las variables sig-nificativas presentes y las relaciones entre ellas y juzgar la validez y per-tinencia de los resulta-dos obtenidos.
73
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.43. Graficar fun-ciones racionales con cocientes de polinomios de grado ≤3 en diversos ejemplos y determinar las ecuaciones de las asíntotas si las tuviera con ayuda de la TIC.
M.5.1.44. Determinar el dominio, rango, ceros, paridad, monotonía, ex-tremos y asíntotas de funciones racionales con cocientes de poli-nomios de grado ≤3 con apoyo de las TIC.
M.5.1.45. Realizar opera-ciones de suma y mul-tiplicación entre fun-ciones racionales y de multiplicación de núme-ros reales por funciones racionales en ejercicios algebraicos para simpli-ficar las funciones.
M.5.1.46. Resolver apli-caciones, problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones racionales identificando las varia-bles significativas pre-sentes y las relaciones entre ellas y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos con apoyo de las TIC.
M.5.1.70. Definir las funcio-nes seno, coseno y tan-gente a partir de las rela-ciones trigonométricas en el círculo trigonométrico (unidad) e identificar sus respectivas gráficas a par-tir del análisis de sus ca-racterísticas particulares.
74 M
M.5.1.71. Reconocer y gra-ficar funciones periódicas determinando el período y amplitud de las mismas, su dominio y recorrido, mo-notonía, paridad.
M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, secante, cosecante y co-tangente), sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).
M.5.1.73. Reconocer y re-solver (con apoyo de las TIC) aplicaciones, proble-mas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con fun-ciones trigonométricas identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas y juzgar la validez y per-tinencia de los resultados obtenidos.
M.5.1.75. Reconocer a la función logarítmica como la función inversa de la función exponen-cial para calcular el lo-garitmo de un número y graficarla analizando esta relación para de-terminar sus caracterís-ticas.
M.5.1.76. Reconocer su-cesiones numéricas rea-les que convergen para determinar su límite.
75
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.74. Reconocer y graficar funciones expo-nenciales analizando sus características: monoto-nía, concavidad y com-portamiento al infinito.
M.5.1.77. Aplicar las pro-piedades de los expo-nentes y los logaritmos para resolver ecuacio-nes e inecuaciones con funciones exponencia-les y logarítmicas con ayuda de las TIC.
M.5.1.78. Reconocer y resolver aplicaciones, problemas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modeliza-dos con funciones expo-nenciales o logarítmicas identificando las varia-bles significativas pre-sentes y las relaciones entre ellas y juzgar la va-lidez y pertinencia de los resultados obtenidos.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.5.4. Reconoce patrones presentes en sucesiones numéricas reales, monó-tonas y definidas por recurrencia; identifica las progresiones aritméticas y geo-métricas; y, mediante sus propiedades y fórmulas, resuelve problemas reales de matemática financiera e hipotética
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.1.53. Identificar suce-siones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a partir de las fórmulas que las definen.
76 M
M.5.1.54. Reconocer y cal-cular uno o varios pará-metros de una progresión (aritmética o geométrica) conocidos otros paráme-tros.
Aplicar los conocimien-tos sobre progresiones aritméticas, progresio-nes geométricas y sumas parciales finitas de suce-siones numéricas. (Ref. M.5.1.55.)
M.5.1.55. Aplicar los co-nocimientos sobre pro-gresiones aritméticas, progresiones geomé-tricas y sumas parcia-les finitas de sucesiones numéricas para resolver aplicaciones en general y de manera especial en el ámbito financiero de las sucesiones numéricas reales.
Resolver ejercicios numé-ricos con la aplicación de las progresiones aritméti-cas, geométricas y sumas parciales finitas de suce-siones numéricas. (Ref. M.5.1.56.)
M.5.1.56. Resolver ejerci-cios numéricos y proble-mas con la aplicación de las progresiones aritmé-ticas, geométricas y su-mas parciales finitas de sucesiones numéricas.
M.5.1.57. Reconocer las aplicaciones de las suce-siones numéricas reales en el ámbito financiero y resolver problemas, juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
M.5.1.58. Emplear progre-siones aritméticas, geo-métricas y sumas parcia-les fintas de sucesiones numéricas en el plantea-miento y resolución de problemas de diferentes ámbitos.
77
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.59. Realizar las ope-raciones de suma y mul-tiplicación entre sucesio-nes numéricas reales y la multiplicación de escala-res por sucesiones numé-ricas reales aplicando las propiedades de los núme-ros reales.
Identificar sucesiones con-vergentes (Ref. M.5.1.60.)
M.5.1.60. Identificar su-cesiones convergentes y calcular el límite de la sucesión.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.5.5. Aplica el álgebra de límites como base para el cálculo diferencial e inte-gral, interpreta las derivadas de forma geométrica y física, y resuelve ejercicios de áreas y problemas de optimización.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.1.47. Calcular de ma-nera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de grado ≤4 a partir del cociente incremental.
M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica (pen-diente de la secante) y física el cociente incre-mental (velocidad media) de funciones polinomiales de grado ≤4 con apoyo de las TIC.
M.5.1.49. Interpretar de manera geométrica y fí-sica la primera derivada (pendiente de la tangen-te, velocidad instantánea) de funciones polinomiales de grado ≤4 con apoyo de las TIC.
78 M
M.5.1.50. Interpretar de manera física la segun-da derivada (aceleración media, aceleración instan-tánea) de una función po-linomial de grado ≤4 para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas fun-ciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calcu-ladora gráfica, software, applets).
M.5.1.51. Calcular de ma-nera intuitiva la derivada de funciones racionales cuyos numeradores y de-nominadores sean poli-nomios de grado ≤2 para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas fun-ciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calcu-ladora gráfica, software, applets).
M.5.1.52. Resolver apli-caciones reales o hipo-téticas con ayuda de las derivadas de funciones polinomiales de grado ≤4 y de funciones racionales cuyos numeradores y de-nominadores sean polino-mios de grado ≤2 y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.
M.5.1.62. Reconocer y graficar las funciones es-calonadas para calcular el área encerrada entre la curva y el eje X.
79
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.1.63. Realizar las ope-raciones de suma y mul-tiplicación de funciones escalonadas y de mul-tiplicación de números reales por funciones es-calonadas aplicando las propiedades de los nú-meros reales.
M.5.1.64. Calcular la inte-gral definida de una fun-ción escalonada, iden-tificar sus propiedades cuando los límites de in-tegración son iguales y cuando se intercambian los límites de integración.
M.5.1.65. Aplicar la inter-pretación geométrica de la integral de una función escalonada no negativa como la superficie limita-da por la curva y el eje x.
M.5.1.66. Calcular la inte-gral definida de una fun-ción polinomial de grado ≤4 aproximando el cálcu-lo como una sucesión de funciones escalonadas.
M.5.1.67. Reconocer la de-rivación y la integración como procesos inversos.
M.5.1.68. Aplicar el segun-do teorema del cálculo diferencial e integral para el cálculo de la integral definida de una función polinomial de grado ≤4 (primitiva).
M.5.1.69. Resolver y plan-tear aplicaciones geomé-tricas (cálculo de áreas) y físicas (velocidad media, espacio recorrido) de la in-tegral definida e interpre-tar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas.
80 M
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.5.6. Emplea vectores geométricos en el plano y operaciones en R2, con apli-caciones en física y en la ecuación de la recta; utiliza métodos gráficos, analíticos y tecnológicos.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.2.1. Graficar vectores en el plano (coordenadas) identificando sus caracte-rísticas: dirección, sentido y longitud o norma.
M.5.2.2. Calcular la longi-tud o norma (aplicando el Teorema de Pitágoras) para establecer la igualdad entre dos vectores.
M.5.2.3. Sumar, restar vec-tores y multiplicar un esca-lar por un vector de forma geométrica y de forma ana-lítica aplicando propieda-des de los números reales y de los vectores en el plano.
M.5.2.4 Resolver y plantear problemas de aplicaciones geométricas y físicas (po-sición, velocidad, acelera-ción, fuerza, entre otras) de los vectores en el pla-no e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
M.5.2.5 Realizar las ope-raciones de adición en-tre elementos de R2 y de producto por un número escalar de manera geomé-trica y analítica aplicando propiedades de los núme-ros reales.
M.5.2.6 Reconocer a los vectores como elementos geométricos de R2.
81
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.2.7 Calcular el produc-to escalar entre dos vecto-res y la norma de un vector para determinar distancia entre dos puntos A y B en R2 como la norma del vec-tor AB.
M.5.2.8 Reconocer que dos vectores son ortogo-nales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométri-cas con operaciones y elementos de R2 apoyán-dose en el uso de las TIC (software como Geoge-bra, calculadora gráfica, applets en internet).
M.5.2.9. Escribir y recono-cer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección o a partir de dos puntos de la recta.
M.5.2.10. Identificar la pen-diente de una recta a par-tir de la ecuación vectorial de la recta para escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta.
M.5.2.11. Determinar la posición relativa de dos rectas en R^2 (rectas pa-ralelas, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determinar si se in-terceptan).
82 M
M.5.2.12. Calcular la distan-cia de un punto P a una recta (como la longitud del vector formado por el pun-to P y la proyección per-pendicular del punto en la recta P´, utilizando la con-dición de ortogonalidad del vector dirección de la recta y el vector (PP´) en la resolución de problemas (distancia entre dos rectas paralelas).
M.5.2.13. Determinar la ecuación de la recta bi-sectriz de un ángulo como aplicación de la distancia de un punto a una recta.
M.5.2.14. Resolver y plan-tear aplicaciones de la ecuación vectorial, para-métrica y cartesiana de la recta con apoyo de las TIC.
Identificar el producto es-calar entre dos vectores, la norma de un vector, la dis-tancia entre dos puntos, el ángulo entre dos vectores y la proyección ortogonal de un vector sobre otro para resolver problemas geométricos, reales o hipo-téticos en R^2. 8 (M.5.2.15.)
M.5.2.15. Aplicar el produc-to escalar entre dos vecto-res, la norma de un vector, la distancia entre dos pun-tos, el ángulo entre dos vectores y la proyección ortogonal de un vector sobre otro para resolver problemas geométricos, reales o hipotéticos en R^2.
M.5.2.16. Describir la cir-cunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola como lugares geométri-cos en el plano.
83
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.5.7. Efectúa operaciones en el espacio (tres dimensiones) con vectores, rectas y planos; identifica si son paralelos o perpendiculares, y halla sus intersecciones.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.2.18. Realizar las opera-ciones de adición entre ele-mentos de R3 y de producto por un número escalar de manera geométrica y analíti-ca aplicando propiedades de los números reales y recono-cer a los vectores como ele-mentos geométricos de R3.
M.5.2.19. Calcular el produc-to escalar entre dos vecto-res y la norma de un vector para determinar distancia entre dos puntos A y B en R3 como la norma del vector (AB).
M.5.2.20. Escribir y recono-cer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la rec-ta y un vector dirección o a partir de dos puntos de la recta y graficarlas en R3
M.5.2.17. Escribir y reco-nocer las ecuaciones car-tesianas de la circunfe-rencia, de la parábola, la elipse y la hipérbola con centro en el origen y con centro fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo en física: órbitas planeta-rias, tiro parabólico, etc.) identificando la validez y pertinencia de los resulta-dos obtenidos.
84 M
M.5.2.21. Determinar la ecua-ción vectorial de un plano a partir de un punto del pla-no y dos vectores dirección; a partir de tres puntos del plano; a partir de una recta contenida en el plano y un punto.
M.5.2.22. Determinar la ecuación de la recta forma-da como intersección de dos planos como solución del sistema de ecuaciones planteado por las ecuacio-nes de los planos.
M.5.2.23. Determinar si dos planos son paralelos (cuan-do no hay solución) o per-pendiculares (si los vectores normales a los planos son perpendiculares) para resol-ver aplicaciones geométri-cas en R3.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.5.8. Aplica los sistemas de inecuaciones lineales y el conjunto de soluciones factibles para hallar los puntos extremos y la solución óptima en problemas de pro-gramación lineal.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.2.24. Aplicar la divisibi-lidad de números enteros, el cálculo del máximo co-mún divisor y del mínimo común múltiplo de un con-junto de números enteros y la resolución de ecua-ciones lineales con dos in-cógnitas (con soluciones enteras no negativas) en la solución de problemas.
85
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.2.25. Reconocer un subconjunto convexo en R^2 y determinar el con-junto de soluciones fac-tibles de forma gráfica y analítica para resolver pro-blemas de programación lineal simple (minimización en un conjunto de solucio-nes factibles de un funcio-nal lineal definido en R^2).
M.5.2.26. Realizar un pro-ceso de solución gráfica y analítica del problema de programación lineal gra-ficando las inecuaciones lineales, determinando los puntos extremos del con-junto de soluciones fac-tibles y encontrar la solu-ción óptima.
M.5.2.27. Resolver y plantear aplicaciones (un modelo simple de línea de produc-ción, un modelo en la indus-tria química, un problema de transporte simplificado), interpretando y juzgando la validez de las soluciones obtenidas dentro del con-texto del problema.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
CE.M.5.9. Emplea la estadística descriptiva para resumir, organizar, graficar e inter-pretar datos agrupados y no agrupados.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.3.1. Calcular e inter-pretar la media, mediana, moda, rango, varianza y desviación estándar para datos no agrupados y agru-pados con apoyo de las TIC.
86 M
M.5.3.2. Resolver y plantear problemas de aplicación de las medidas de tenden-cia central y de dispersión para datos agrupados con apoyo de las TIC.
M.5.3.3. Juzgar la validez de las soluciones obteni-das en los problemas de aplicación de las medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados dentro del con-texto del problema, con apoyo de las TIC.
M.5.3.4. Calcular e inter-pretar el coeficiente de variación de un conjunto de datos (agrupados y no agrupados).
M.5.3.5. Determinar los cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles) para datos no agrupados y para datos agrupados.
M.5.3.6. Representar en diagramas de caja los cuartiles, mediana, valor máximo y valor mínimo de un conjunto de datos.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.5.10. Emplea técnicas de conteo y teoría de probabilidades para calcular la posibilidad de que un determinado evento ocurra; identifica variables aleatorias; resuelve problemas con o sin TIC; contrasta los procesos, y discute sus resultados.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.3.7. Reconocer los experimentos y eventos en un problema de texto y aplicar el concepto de probabilidad y los axio-mas de probabilidad en la resolución de problemas.
87
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.3.8. Determinar la probabilidad empírica de un evento repitiendo el experimento aleatorio tantas veces como sea posible (50, 100,… veces) con apoyo de las TIC.
M.5.3.9. Realizar operacio-nes con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento, leyes de De Morgan en la resolu-ción de problemas.
M.5.3.10. Calcular el facto-rial de un número natural y el coeficiente binomial para determinar el bino-mio de Newton.
M.5.3.11. Aplicar los mé-todos de conteo: permu-taciones, combinaciones para determinar la pro-babilidad de eventos sim-ples y a partir de ellos la probabilidad de eventos compuestos en la resolu-ción de problemas.
M.5.3.12. Identificar varia-bles aleatorias de mane-ra intuitiva y de manera formal como una función real y aplicando la fun-ción aditiva de conjuntos, determinar la función de probabilidad en la resolu-ción de problemas.
M.5.3.13. Reconocer ex-perimentos en los que se requiere utilizar la pro-babilidad condicionada mediante el análisis de la dependencia de los even-tos involucrados y cal-cular la probabilidad de un evento sujeto a varias condiciones aplicando el teorema de Bayes en la resolución de problemas.
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M.5.3.14. Reconocer varia-bles aleatorias discretas cuyo recorrido es un con-junto discreto en ejem-plos numéricos y experi-mentos y la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta como una función real a partir del cálculo de pro-babilidades acumuladas definidas bajo ciertas condiciones dadas.
M.5.3.15. Calcular e inter-pretar la media, la va-rianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
M.5.3.16. Resolver y plan-tear problemas que invo-lucren el trabajo con pro-babilidades y variables aleatorias discretas.
M.5.3.17. Juzgar la validez de las soluciones obteni-das en los problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas den-tro del contexto del pro-blema.
M.5.3.18. Identificar varia-bles aleatorias discretas en problemas de texto y reconocer la distribución de Poisson como ejemplo de variables aleatorias discretas y sus aplicacio-nes.
M.5.3.19. Reconocer un experimento de Bernoulli en diferentes contextos (control de calidad, análi-sis de datos, entre otros) y la distribución binomial en problemas de texto identificando los valores de p y q.
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MATEMÁTICA
EGB Y BGU
M.5.3.20. Calcular proba-bilidades binomiales con la fórmula (o con el apo-yo de las TIC), la media, la varianza de distribucio-nes binomiales y graficar
M.5.3.21. Analizar las for-mas de las gráficas de distribuciones binomiales en ejemplos de aplicación con el apoyo de las TIC, y juzgar en contexto la va-lidez y pertinencia de los resultados obtenidos.
CRITERIO DE EVALUACIÓNCE.M.5.11. Efectúa procedimientos estadísticos para realizar inferencias, analizar la distribución binomial y calcular probabilidades, en diferentes contextos y con ayuda de las TIC.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
CURSOSPRIMERO SEGUNDO TERCERO
M.5.3.22. Calcular la co-varianza de dos variables aleatorias para determi-nar la dependencia lineal (directa, indirecta o no existente) entre dichas variables aleatorias.
M.5.3.23. Determinar la recta de regresión lineal que pasa por el centro de gravedad de la distribu-ción para predecir valo-res de la variable depen-diente utilizando la recta de regresión lineal o cal-cular otra recta de regre-sión intercambiando las variables para predecir la otra variable.
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2.1.3. Metodología
“El principio básico del enfoque de resolución de problemas es nutrir el aprendizaje matemático de los niños por/para ellos mismos. Esto significa que nos gustaría for-man niños que piensen y aprendan matemáticas por sí mismo y para ellos mismos (Katagiri, 2016)”
El área está enfocada a la solución de problemas para desarrollar el pensamiento matemático, por tanto, la manera de abordar las temáticas del área en cualquier subnivel/nivel es a partir de un problema, es decir, los docentes presentan a los estudiantes problemas matemáticos que utilizan principios que aún no han sido aprendidos. Luego ellos individualmente o en pequeños grupos, idean la solución; después presentan y sus respuestas y, con toda la clase se trabaja tanto con el problema como con las soluciones, descubriendo los conceptos y razonamientos matemáticos relacionados.
“El enfoque de resolución de problemas es el método de enseñanza utilizando para enseñar habilidades y conceptos matemáticos, así como habilidades de procesos matemáticos tales como razonamiento, ideas y valores. Las fases de enseñanza se muestran a continuación:
FaseInfluencia del pro-
fesorSituación de
los niños/niñas
Plantear el proble-ma.
Plantear la tarea con un objetivo oculto
Les han dado la tarea en un contexto, pero no necesariamente conocen el objetivo de la clase.
M.5.3.24. Utilizar el méto-do de mínimos cuadra-dos para determinar la recta de regresión en la resolución de problemas hipotéticos o reales con apoyo de las TIC.
M.5.3.25. Juzgar la va-lidez de las soluciones obtenidas en el método de mínimos cuadrados al determinar la recta de re-gresión en la resolución de problemas hipotéti-cos o reales dentro del contexto del problema con el apoyo de las TIC.
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MATEMÁTICA
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Planificar y prede-cir la solución.
Guiar a los niños a reconocer el objeti-vo.
Tener expectativas, reconocer lo co-nocido y lo desconocido, los proble-mas reales (incluyendo el objetivo de la clase) y sus enfoques
Ejecutar las solu-ciones/solución in-dependiente.
Apoyar el trabajo in-dividual.
Tratar de resolver para generar ideas. Para preparar explicaciones, aclarar dudas y obtener lo conocido y las in-cógnitas en cada enfoque, y tratar de representar mejores formas. Si cada niño tiene ideas, es suficiente. (No es-pere que todos los niños den respues-tas correctas, pues responder no es el objetivo principal de la clase. Mientras espera, los niños pierden ideas y la sensación de urgencia por encontrar la solución, que deben ser discutidas)
Explicar y discutir/validar y comparar.
Guiar la discusión con relación al obje-tivo.
Explicar cada acercamiento a la solu-ción y compararlos sobre la base del objetivo a través del puente que co-necta lo conocido con lo desconocido. (El trabajo principal de la clase es la comprensión de nuevas ideas, de nue-vas maneras de trabajar, y aprender a valorarlas)
Resumir/aplicacio-nes y desarrollo posterior.
Guiar la reflexión.
Saber y reconocer lo que aprendieron durante la clase y apreciar sus logros, formas de pensar, ideas y valores. La valoración de lo nuevo a través de la aplicación de ideas.
Fuente: Pensamiento Matemático Masami Isoda-Shigeo Katagiri página 42
Las fases son un modelo y no necesariamente deben ser seguidas con exactitud, pues el profesor maneja la clase dependiendo de su objetivo, el contenido, y el co-nocimiento de los niños. Tampoco es necesario aplicar todas estas fases en un solo momento. Algunas veces las fases pueden ser aplicadas en dos o tres períodos. Más aun, el profesor no tiene por qué aplicarlas cuando los ejercicios están desti-nados a desarrollar habilidades de cálculo. Aunque hay variaciones, las fases son fijas cuando se busca explicar en clases las formas de desarrollar el pensamiento matemático. De otra forma, es difícil explicar este enfoque de enseñanza.
Las fases para enseñar no significan que los profesores tengan que enseñar ma-temáticas paso a paso. Por ejemplo, la fase de solución independiente no significa
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que todos los niños tengan que resolver la taren en esta fase, aun cuando el profe-sor apoye el trabajo de los niños. Aquellos que no puedan resolver la tarea pueden aprender de sus amigos como resolverla en la fase de explicación y discusión. Al final, los niños que han fallado todavía tienen la oportunidad de aplicar las ideas aprendidas a la tarea para un mayor desarrollo. Básicamente, antes de la clase, los profesores desarrollan un plan para apoyar a los niños en cada fase y fijar las con-diciones para la toma de decisiones y así observar, evaluar y apoyar a los niños”. (Katagiri, 2016)
Las fases antes señaladas son un ejemplo de cómo proceder para aplicar el enfo-que del área; por tanto, es posible que los docentes hagan variaciones a estas fases, incrementes otros procesos, lo importante es garantizar que sean los estudiantes quienes busquen soluciones a los problemas y junto con el docente construyan sus conocimientos.
El pensamiento matemático se usa durante las actividades matemáticas y, por lo tanto, está íntimamente relacionado con los contenidos y los métodos de la mate-mática; Masami Isoda-Shigeo Katagiri, en su texto “Pensamiento Matemático” ex-pone tres categorías lógicas con procesos que los docentes pueden considerar al momento de planificar sus clases; las categorías y detalles específicos se muestran a continuación:
A. Actitudes matemáticas (Mentalidad)
1. Intentar comprender nuestros propios problemas u objetivos y contenidos, clara-mente, por nosotros mismos (justificación):
i. Intentar plantar preguntas
ii. Intentar ser consciente de la problemática
iii. Intentar darse cuenta de los problemas matemáticos a partir de la situación
2. Intentar tomar acciones lógicas razonables (sensatez):
i. Intentar tomar acciones que coincidan con los objetivos
ii. Intentar establecer una perspectiva
iii. Intentar pensar a partir de los datos que se pueden utilizar, ítems previamen - te aprendidos y supuestos
3. Intentar representar temas con claridad y sencillez (claridad):
i. Intentar grabar y comunicar problemas y resultados con claridad y sencillez
ii. Intentar ordenar y organizar objetivos cuando son representados
4. Intentar buscar mejores formas e ideas (sofisticación):
i. Intentar aumentar el pensamiento desde el objeto a la operación
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ii. Intentar evaluar el pensamiento tanto objetiva como subjetivamente, para re finar
iii. Intentar economizar pensamiento y esfuerzo
B. Pensamiento matemático relacionado con métodos matemáticos en general
1. Pensamiento inductivo
2. Pensamiento analógico
3. Pensamiento deductivos
4. Pensamiento integrador (incluyendo pensamiento extensional)
5. Pensamiento de desarrollo
6. Pensamiento abstracto (abstracción) (pensamiento que abstrae, se concreta, idealiza y que aclara las condiciones)
7. Pensamiento que simplifica (simplificación)Intentar representar temas con clari-dad y sencillez (claridad)
8. Pensamiento que generaliza (generalización)
9. Pensamiento que especializa (especialización)
10. Pensamiento que representa con números, cantidades y figuras (cuantificación y esquematización)
C. El pensamiento matemático relacionado con el contenido matemático en cuan-to al fondo
1. Aclarar conjuntos de objetos para consideración y objetos excluidos de conjun-tos, y aclarar condiciones para la inclusión (idea de conjuntos).
2. Enfocar en elementos constituyentes (unidades) y sus tamaños y relaciones (idea de unidad).
3. Intentar pensar a partir del principio fundamental de la representación (idea de representación)
4. Aclarar y extender el significado de cosas y operaciones e intentar pensar a partir de esto (idea de operaciones).
5. Intentar formalizar métodos de operaciones (idea de algoritmo).
6. Intentar comprender el panorama general de objetos y operaciones, y usar el resultado de esta comprensión (idea de aproximación).
7. Enfocarse en reglas básicas y propiedades (idea de propiedades fundamentales).
8. Intentar enfocarse en qué está determinado por nuestras variables (pensamiento funcional)
9.Intentar representar proposiciones y relaciones como expresiones, y leer su signi-ficado (idea de expresiones).
En el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño del área es importante considerar que la Matemática es un área instrumental, es decir sirve de base para
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el desarrollo de otras áreas, por lo tanto, en el trabajo de aula es necesario que los docentes consideren la articulación existente entre los diferentes bloques curricu-lares así como la vinculación que puede darse entre otras áreas para mantener a los alumnos en la expectativa e interés durante cada año escolar.
En cada bloque curricular del área se profundiza y amplía los diferentes temas de la matemática incrementando paulatinamente su profundidad, este planteamiento permite al docente observar los procesos que se han de seguir para desarrollar las diferentes destrezas con criterios de desempeño al momento de desagregarlas para determinar los aprendizajes de cada grado/curso o de cada una de las unida-des que proponga.
Otro aspecto importante a considerar en el desarrollo de nuestras clases de mate-mática es el manejo adecuado de la terminología matemática desde los primeros grados. Si desde tempranas edades los estudiantes utilizan el lenguaje matemático adecuado podrán argumentar sus ideas de manera clara y precisa, desarrollando una mejor comunicación entre sus pares y así paulatinamente encaminarse hacia el logro de algunos de los objetivos del área y en consecuencia al perfil del Bachille-rato ecuatoriano.
2.1.4. Evaluación Sobre la base de la normativa nacional y el enfoque pedagógico de la institución N/N, considera a la evaluación como proceso integral del proceso de enseñanza aprendizaje tiene como propósito recabar información confiable que permita ve-rificar el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño propuestas en el currículo. Esta información brinda al docente la oportunidad de tomar decisiones de manera oportuna con la finalidad de mejorar el rendimiento de los estudiantes y/o mejorar la práctica docente.
Considerando valoración y evaluación como una sola palabra, “en la clase, valora-ción usualmente significa la decisión del profesor de desarrollar a los estudiantes a partir de su objetivo, y después de la clase el docente usualmente evalúa los logros de los estudiantes con el fin de conocer los resultados del aprendizaje. La evalua-ción al final de la clase no significa “calificar”, sino que apunta a conocer lo que los estudiantes han aprendido” (Katagiri, 2016); entonces, la evaluación es el vehículo para el aprendizaje y el mejoramiento de la calidad educativa.
La información que el docente obtiene del proceso de evaluación, como ya se ha dicho anteriormente, permite conocer cómo se está llevando el proceso de ense-ñanza aprendizaje, para analizar de manera crítica la intervención educativa del do-cente, detectar necesidades y tomar decisiones. En la evaluación, como seguimien-to continuo del proceso de enseñanza y aprendizaje cabe distinguir tres momentos o aspectos complementarios1:
• Evaluación inicial o diagnóstica: aporta información sobre la situación de cada estudiante al iniciar un determinado proceso de enseñanza aprendizaje que per-mite adecuar este proceso a sus posibilidades. Desde la perspectiva del aprendi-
1. Godino, J D; Batanero,C. y Font, Vicenç (2004). Didáctica de las Matemáticas para Maestros. Granada (España) Página 105.
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zaje significativo, esta evaluación se convierte en una tarea prioritaria para cono-cer los conocimientos previos de los alumnos.
• Evaluación formativa o continua: pone énfasis en el proceso de enseñanza y aprendizaje entendido como un continuo. Es una evaluación con carácter regu-lador, de orientación y autocorrectora del proceso educativo, al proporcionar in-formación constante sobre si este proceso se adapta a las necesidades o posibi-lidades del sujeto, permitiendo la modificación de aquellos aspectos que resulten poco funcionales.
• Evaluación sumativa: proporciona información sobre el grado de consecución de los objetivos propuestos, referidos a cada estudiante y al proceso formativo. Esta evaluación toma datos de la formativa y añade a éstos otros obtenidos de forma más puntual.
Otros fines secundarios de la evaluación son:
• Proporcionar a los alumnos información individual sobre qué destrezas ya mane-jan y en cuáles aún tienen dificultades.
• Proporcionar información al profesor, a los padres y al centro escolar sobre el progreso y la comprensión de sus alumnos, en general y sobre las dificultades de estudiantes particulares.
• Proporcionar a las autoridades educativas o a cualquier agente educativo un indi-cador global del éxito conseguido en el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño.
El currículo de Matemática tiene como enfoque la resolución de problemas, por tanto, al plantearse un problema como parte de la evaluación de los aprendizajes se deben identificar y valorar no solamente los resultados sino también el trabajo realizado por el estudiante en cada una de las fases que se hayan establecido como proceso de resolución de problemas, estas pueden ser:
•Exploración del problema
•Planificación de una estrategia de solución
•Predicción de la solución
•Desarrollo de la estrategia de solución
•Autoreflexión sobre la estrategia de solución
•Análisis y conclusión de resultados
•Aplicación de la estrategia en otros problemas
Evaluar a través de la resolución de problemas implica el planteamiento de estra-tegias, técnicas e instrumentos congruentes con el nivel de complejidad y el tipo de problemas. No todos los problemas se pueden evaluar de la misma manera, por tanto, es importante que los docentes identifiquen con anterioridad las posibles acciones que pueden utilizar los estudiantes para resolverlos, esta anticipación en-riquece la elaboración de los instrumentos de evaluación.
2.1.5. Acompañamiento pedagógicoEl principal objetivo del desarrollo de este elemento es el fortalecimiento del de-
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sempeño profesional de los y las docentes de la institución, lo que conlleva a la mejora continua de la calidad de la educación dentro de la institución educativa.
En nuestro ejemplo, la institución educativa N/N organiza el acompañamiento pe-dagógico mediante apoyo interno y externo.
En el acompañamiento pedagógico interno se ha determinado por una parte la creación de espacios pedagógicos de autoformación y co-formación (círculos de estudio) para fortalecer el dominio disciplinar y por otra, el monitoreo y asesora-miento para mejorar las prácticas de la enseñanza.
Para el trabajo en los círculos de estudio se propone:
• Conformación de las comisiones técnico pedagógicas puesto que estos serán los grupos para los círculos de estudio.
• Análisis de las fortalezas y debilidades de los docentes de la institución educativa, en función del dominio de una disciplina.
•Determinación de las temáticas a ser abordadas durante el año escolar.
•Creación de un banco de recursos por áreas
En relación al monitoreo y asesoramiento, se propone:
•Observaciones clase para obtener información del trabajo docente relacionada con el proceso de la clase, la planificación, el manejo de recursos, la mediación de conflictos, la aplicación del enfoque del área, la funcionalidad de las tareas, entre otros. Para recolectar la información de la observación de clase, es necesario la elaboración de una rúbrica consensuada con todos los docentes.
•Análisis de la información recabada en las observaciones de clase, actividad que se la realizará entre pares y tendrá como finalidad, por una parte, resaltar las for-talezas del docente observado, para que sus prácticas puedan ser compartidas con el resto de docentes y, por otra parte, identificar sus debilidades mediante la autoevaluación para generar conjuntamente estrategias para lograr un mejor desempeño docente.
•Aplicación de estrategias, a fin de que el docente observador y el docente obser-vado evidencien la funcionalidad de las estrategias, las modifiquen y mejoren, si es el caso, o las compartan con otros docentes, si estas han sido exitosas.
• Evaluación de las actividades realizadas tanto por el docente observador como por el docente observado para tomar decisiones en cuanto al proceso, asumir compromisos y compartir experiencias con otros docentes.
• Experiencias a nivel de circuito.
•Refuerzo pedagógico. Valoración de la práctica. Taller a nivel de circuito para intercambio de experiencias, en los que participan todos los docentes del área acompañados de una misma información y aprendizajes que se pueden compartir con maestros y maestras de otras esferas geográficas.
En el acompañamiento pedagógico externo, la institución educativa N/N prevé so-licitar apoyo a instituciones educativas de nivel superior para capacitación a do-centes.
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2.1.6. Acción tutorialLa acción tutorial es una labor pedagógica que está encaminada al acompaña-miento y seguimiento de los estudiantes a fin de que el proceso educativo de cada uno de ellos se oriente hacia su formación integral, por esta razón, esta función es propia de los docentes.
Los docentes que se desempeñan como tutores generan variedad de estrategias para superar los problemas de rendimiento académico o de orden comportamen-tal. Algunas de las características que definen al docente tutor son: equilibrio emo-cional, autenticidad, dinamismo, empatía, comunicación, liderazgo, empoderamien-to, curiosidad, interés, entre otras características que se deben tomar en cuenta a la hora de designar tutores.
2.1.7. Planificación curricularEn Matemática al igual que en el resto de áreas, la planificación curricular es el pro-ceso pedagógico de fundamental importancia para conducir los procesos de ense-ñanza aprendizaje. Organizar paso a paso las acciones a seguir para desarrollar con los estudiantes las destrezas con criterios de desempeño planteadas en el currículo nacional nos permite por una parte visualizar con claridad y anticipación estrate-gias, recursos y el tiempo, y por otra, reflexionar y tomar decisiones oportunas para atender a la diversidad de los estudiantes de tal manera que los aprendizajes se vuelvan significativos.
Tal como se menciona en el instructivo de planificación curricular, este apartado del PCI, corresponde a los lineamientos para adaptar y delimitar la estructura, tem-poralidad, seguimiento y evaluación de los documentos de planificación que la ins-titución utilizará en la práctica pedagógica; por ello, en nuestro ejemplo vamos a proponer los siguientes lineamientos para la planificación curricular anual y la pla-nificación de unidad didáctica:
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PCA PUD
EstructuraAcorde al formato del MinEduc
Además de los datos informativos, los ele-mentos que constarán en el formato son: Objetivo de la unidad, Criterios de evalua-ción, destrezas con criterios de desempeño, actividades de aprendizaje, recursos e indi-cadores de evaluación.
Características
Se procurará fortalecer las conexiones que existen entre las diferentes áreas del saber al momento de plantear las estrategias metodológicas.
Se procurará plantear actividades de apren-dizaje que giren en torno a temas genera-dores con la finalidad de aportar al forta-lecimiento de los valores que promulga la institución educativa.
Momento de elaboración
Al finalizar el año escolar Una semana antes de empezar una nueva unidad.
TemporalidadTendrá una duración entre cuatro y seis se-manas.
Seguimiento
• Se lo realizarácincovecespor año.
• Se fundamentará en evi-denciar la articulación con el PCI y los ajustes que los docentes hayan propuesto según las necesidades de aprendizaje detectadas al momento de desarrollar las unidades.
• Son responsables del se-guimiento, los coordinado-res de las comisiones técni-co pedagógicas.
• Sefundamentaráenevidenciar laarticu-lación con el PCA y el desarrollo de las adaptaciones curriculares.
• Selorealizarámedianteobservacionesdeclase y una ficha de observación construi-da con los docentes y coordinadores de las comisiones técnico pedagógicas.
• Son responsables del seguimiento, loscoordinadores de las comisiones técnico pedagógicas; esta actividad tendrá como fin asesorar tanto en el proceso de plani-ficación como en los ajustes y adaptacio-nes.
Evaluación
•Losdocentes juntoconloscoordinadores de las co-misiones técnico pedagó-gicas elaborarán rúbricas de evaluación que tendrán como aspectos principales:- La articulación con el
PCI- Avance de las unidades
didácticas- Ajustes pertinentes
• Losdocentes juntocon loscoordinado-res de las comisiones técnico pedagó-gicas elaborarán rúbricas de evaluación que tendrán como aspectos principales:- La articulación con el PCA- Dominio conceptual- Empleo de recursos- Adaptaciones curriculares
• Cadadocente,silonecesita,podrádesa-gregar la planificación de unidad didácti-ca en lecciones, para ello no requiere de ningún formato.
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Los lineamientos para la planificación, en el área de Matemática deben garantizar que los docentes, a la hora de planificar, enfaticen las conexiones que existen entre los diferentes conceptos matemáticos dentro de un mismo bloque curricular, entre bloques, con otras áreas y con el contexto. Si bien, en el Subnivel Superior de la Educación General Básica y el nivel de Bachillerato, en el planteamiento de varias de las DCD, ya se evidencian estas conexiones; es importante que no se descuide esta necesidad en los subniveles de Elemental y Media.
Así mismo es importante que se exalte en las planificaciones, el enfoque del área, el mismo que plantea adquirir conceptos e instrumentos matemáticos que desa-rrollen el pensamiento lógico, matemático y crítico para resolver problemas me-diante la elaboración de modelos. Con este fin, en el currículo del área se establece, la resolución de problemas, la representación, la comunicación, la justificación, las conexiones, la institucionalización como aspectos fundamentales que son una guía para que el docente plantee estrategias y actividades para desarrollar las diferentes destrezas con criterios de desempeño.
Por otra parte, tanto las estrategias metodológicas como los recursos que se pro-pongan en las planificaciones deben estar en articulación con el enfoque pedagó-gico de la institución educativa que, en nuestro ejemplo, se enfoca en la valoración de la identidad nacional, la responsabilidad en el cuidado del medio ambiente y la consciencia social.
2.1.8. Proyectos escolares
“Los proyectos escolares son un espacio académico de aprendizaje interactivo, donde se trabaja en equipo sobre una temática de interés común, utilizando la me-todología del aprendizaje basada en proyectos con un enfoque interdisciplinario, para estimular el trabajo cooperativo y la investigación, así como las habilidades sociales.
Esta actividad se realiza al interior de la institución educativa, dentro de la jornada escolar, y se divide en campos de acción sobre los cuales los estudiantes deberán construir un proyecto aplicando sus conocimientos y destrezas descritos en el cu-rrículo con énfasis en los componentes de ciencias sociales y ciencias naturales, de manera creativa, innovadora y emprendedora, obteniendo como resultado un producto concreto, enteramente desarrollado por ellos.
Sus campos de acción (temáticas)son: proyectos científicos, proyectos de vida práctica, proyectos artístico-culturales y proyectos deportivos”. (Ministerio de Edu-cación, 2016)
Al ser la Matemática un área instrumental, esta aporta en gran medida a cualquiera de los proyectos que la institución educativa pudiera plantear, sin embargo, es po-sible plantear proyectos del área. A continuación se expone una idea de proyecto en donde el área de Matemática tiene un papel protagónico:
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Datos informativos
- Nombre del proyecto: Mi museo numismático- Nombre de la institución educativa: N/N - Ubicación (zona, distrito), - Facilitador: FE- Año lectivo: 2016-2017- Fecha de inicio:- Fecha de término del proyecto:- Lema o logotipo
Objetivos
- Constituir un museo numismático.- Reconocerse como parte de su entorno social, cono-
ciendo sus deberes y derechos y valorando su cultu-ra. (Ref. OI.2.1).
Importancia
- Mostrar a niños y niñas de la institución N/N las dife-rentes etapas que han pasado el billete y la moneda del Ecuador en un orden cronológico.
- Análisis de los acontecimientos políticos, sociales y económicos que llevaron al uso del sistema moneta-rio actual en el Ecuador.
Valores y compromisos
- Asumir roles en la búsqueda de información, la cola-boración y cuidado de monedas y billetes actuales antiguos y/o didácticos.
- Valorar el trabajo en equipo.- Valorar una presentación pulcra y atractiva para ex-
poner objetos en el museo.
Actividades
- Conformar equipos de trabajo: de documentación, de diseño del espacio, de diseño y redacción de car-teles, de logística, guías.
- Seleccionar el espacio para presentar las monedas y billetes.
- Determinar el recorrido por donde transitarán los visitantes.
- Seleccionar las piezas representativas para el museo.- Identificar piezas con rótulos o pancartas.
Recursos- Cartulinas, monedas y billetes proporcionados por
familiares.
Responsables y aliados estratégicos
- Abuelos, padres
Resultados
Cronograma - Primer quimestre
Bibliografía
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2.1.9. Adaptaciones curriculares
Las adaptaciones curriculares son modificaciones que se hacen al currículo general o al institucional en función de facilitar el proceso educativo a estudiantes con ne-cesidades educativas específicas. A partir de las modificaciones que se realizan al currículo, el docente debe generar objetivos, destrezas con criterios de desempeño, orientaciones metodológicas, recursos adecuados y evaluaciones que estén acor-des a las necesidades de los estudiantes.
El currículo contiene aprendizajes básicos imprescindibles y deseables, por tanto, para ayudar a estudiantes con necesidades educativas específicas, las adaptacio-nes deben realizarse sobre los contenidos que correspondan a los aprendizajes básicos imprescindibles. Si bien, en la PCI se delinean las estrategias para las adap-taciones curriculares, es en el tercer nivel de concreción curricular donde se espe-cifica el tipo de adaptación y las estrategias a utilizarse.
2.2. Planificación curricular anual (PCA)
Los docentes reunidos por subnivel/nivel/área desagregan las destrezas con crite-rios de desempeño para cada grado/curso (segundo momento de la determinación de contenidos de aprendizaje); esta información es el insumo principal para la cons-trucción de la planificación curricular anual PCA.
El formato que se utiliza para la construcción de dicha planificación ha sido esta-blecido por el MinEduc.
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN CURRICULAR ANUAL EN EL SUBNIVEL ELEMENTAL
(Ver en la siguiente página)
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ple
o d
e la
s T
IC p
ara
real
izar
cál
culo
s y
reso
lver
, de
man
era
razo
nad
a y
crít
ica,
pro
ble
mas
de
la r
ealid
ad n
acio
nal
, arg
um
enta
nd
o la
per
tin
enci
a d
e lo
s m
éto
do
s u
tiliz
ado
s y
juzg
and
o la
val
idez
de
los
resu
ltad
os.
OG
.M.5
. V
alo
rar,
sob
re l
a b
ase
de
un
pen
sam
ien
to c
ríti
co,
crea
tivo
, re
flex
ivo
y l
óg
ico
, la
vi
ncu
laci
ón
de
los
con
oci
mie
nto
s m
atem
átic
os
con
lo
s d
e o
tras
dis
cip
linas
cie
ntí
fica
s y
los
sab
eres
an
cest
rale
s, p
ara
así p
lan
tear
so
luci
on
es a
pro
ble
mas
de
la r
ealid
ad y
co
ntr
i-b
uir
al d
esar
rollo
del
en
torn
o s
oci
al, n
atu
ral y
cu
ltu
ral.
OG
.M.6
. Des
arro
llar
la c
uri
osi
dad
y la
cre
ativ
idad
a t
ravé
s d
el u
so d
e h
erra
mie
nta
s m
ate-
mát
icas
al m
om
ento
de
enfr
enta
r y
solu
cio
nar
pro
ble
mas
de
la r
ealid
ad n
acio
nal
, dem
os-
tran
do
act
itu
des
de
ord
en, p
erse
vera
nci
a y
cap
acid
ades
de
inve
stig
ació
n.
•Explicarpatronesdefigurasynuméricosrelacionándolosconlasumaylaresta
par
a d
esar
rolla
r el
pen
sam
ien
to ló
gic
o-m
atem
átic
o. (
Ref
. O.M
.2.1.
)
•O.M.2.2.Utilizarobjetosdelentornoparaform
arconjuntos,establecergráficamen
-te
la c
orr
esp
on
den
cia
entr
e su
s el
emen
tos
y d
esar
rolla
r la
co
mp
ren
sió
n d
e m
od
elo
s m
atem
átic
os.
•Integrarconcretam
enteelconceptodenúmero,yreconocersituacionesdelentor-
no
en
las
qu
e se
pre
sen
ten
pro
ble
mas
qu
e re
qu
iera
n la
fo
rmu
laci
ón
de
exp
resi
on
es
mat
emát
icas
sen
cilla
s, p
ara
reso
lver
las,
de
form
a in
div
idu
al o
gru
pal
, uti
lizan
do
los
alg
ori
tmo
s d
e ad
ició
n y
su
stra
cció
n. (
Ref
. O.M
.2.3
.)
•Aplicarestrategiasdeconteo,procedimientosdecálculosdesumayrestadel0al
99
9, p
ara
reso
lver
de
form
a co
lab
ora
tiva
pro
ble
mas
co
tid
ian
os
de
su e
nto
rno
. (R
ef.
O.M
.2.4
.)
•O.M.2.5.C
omprenderelespacioquelorodea,valorarlugareshistóricos,turísticos
y b
ien
es n
atu
rale
s, i
den
tifi
can
do
co
mo
co
nce
pto
s m
atem
átic
os
los
elem
ento
s y
pro
pie
dad
es d
e cu
erp
os
y fi
gu
ras
geo
mét
rica
s en
ob
jeto
s d
el e
nto
rno
.
•O.M.2.6.Resolversituacionescotidianasqueimpliquenlamedición,estimacióny
el c
álcu
lo d
e lo
ng
itu
des
, cap
acid
ades
y m
asas
, co
n u
nid
ades
co
nven
cio
nal
es y
no
co
nven
cio
nal
es d
e o
bje
tos
de
su e
nto
rno
, par
a u
na
mej
or
com
pre
nsi
ón
del
esp
acio
q
ue
le r
od
ea, l
a va
lora
ció
n d
e su
tie
mp
o y
el d
e lo
s o
tro
s, y
el f
om
ento
de
la h
on
es-
tid
ad e
inte
gri
dad
en
su
s ac
tos.
•Participarenproyectosdeanálisisdeinform
acióndelentornoinmediato,m
ediante
la r
eco
lecc
ión
y r
epre
sen
taci
ón
de
dat
os
esta
dís
tico
s en
pic
tog
ram
as y
exp
resa
r co
ncl
usi
on
es s
enci
llas.
(R
ef. O
.M.2
.7.)
4. E
JES
TR
AN
SVE
RSA
LES:
V
alo
raci
ón
de
la id
enti
dad
nac
ion
al, l
a re
spo
nsa
bili
dad
en
el c
uid
ado
del
med
io a
mb
ien
te y
la c
on
s-ci
enci
a so
cial
.
103
5.
DE
SAR
RO
LLO
DE
UN
IDA
DE
S D
E P
LAN
IFIC
AC
IÓN
N.º
T
ítu
lo d
e la
un
idad
d
e p
lan
ifica
ció
nO
bje
tivo
s es
pec
ífico
s d
e la
un
idad
de
pla
nifi
caci
ón
Co
nte
nid
os
Ori
enta
cio
nes
met
od
oló
-g
icas
Eva
luac
ión
Du
ra-
ció
n e
n
sem
a-n
as
1M
i Fam
ilia
Res
olv
er
situ
acio
nes
co
-ti
dia
nas
co
n
acti
tud
cr
í-ti
ca
con
re
spec
to
a la
s d
iver
sas
fuen
tes
de
in-
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ació
n e
n s
u e
nto
rno
in
med
iato
, a
par
tir
de
la
soci
aliz
ació
n e
in
terc
am-
bio
de
apre
nd
izaj
es.
•Representar
gráficamente
con
jun
tos
dis
crim
inan
do
la
s p
rop
ied
ades
o
at
rib
uto
s d
e lo
s o
bje
tos.
(M
.2.1.
1.)•Describirpatronesdeobjetos
bas
ánd
ose
en
su
s at
rib
uto
s.
(M.2
.1.2.
)
•Contarcantidadesdel0al50
par
a ve
rifi
car
esti
mac
ion
es
(en
gru
po
s d
e d
iez)
. (M
.2.1.
13.)
•Identificacióndecarac-
terí
stic
as d
e o
bje
tos
del
en
torn
o.
•Agrupacióndeobjetos
de
acu
erd
o a
su
s ca
rac-
terí
stic
as.
•Identificaciónde
regu
-la
rid
ades
en
un
ob
jeto
o
cole
ccio
nes
de
ob
jeto
s.•Identificacióndeunpa-
tró
n y
rep
rod
ucc
ión
de
seri
es d
e o
bje
tos.
•Representacióndecon
-ju
nto
s en
dia
gra
mas
de
Ven
n,
po
r co
mp
ren
sió
n
y ex
ten
sió
n.
•Identificacióndediver
-sa
s u
tilid
ades
d
e lo
s n
úm
ero
s en
d
ifere
nte
s co
nte
xto
s co
tid
ian
os.
•C
E.M
.2.1.
Des
cub
re r
egu
-la
rid
ades
mat
emát
icas
del
en
torn
o
inm
edia
to
uti
li-za
nd
o
los
con
oci
mie
nto
s d
e co
nju
nto
s y
las
op
era-
cio
nes
bás
icas
co
n n
úm
e-ro
s n
atu
rale
s, p
ara
exp
licar
ve
rbal
men
te,
en f
orm
a o
r-d
enad
a, c
lara
y r
azo
nad
a,
situ
acio
nes
co
tid
ian
as
y p
roce
dim
ien
tos
par
a co
ns-
tru
ir o
tras
reg
ula
rid
ades
.
-Dis
crim
ina
pro
pie
dad
es
de
los
ob
jeto
s y
form
a co
nju
nto
s.
(S.2
.)
(Ref
. I.M
.2.1.
1.)
-Pro
po
ne
pat
ron
es y
co
ns-
tru
ye s
erie
s d
e o
bje
tos,
fi
gu
ras
y se
cuen
cias
n
um
éric
as
en
el
círc
u-
lo d
el 0
al
50.
(I.1.
) (R
ef.
I.M.2
.1.2.
)
• C
E.M
.2.2
. Ap
lica
estr
ateg
ias
de
cont
eo,
el c
onc
epto
de
núm
ero,
ex
pre
sio
nes
ma-
tem
átic
as s
enci
llas,
pro
pie
-d
ades
de
la s
uma
y la
mul
-ti
plic
ació
n,
pro
ced
imie
nto
s d
e cá
lcul
os
de
sum
a, r
esta
, m
ulti
plic
ació
n si
n re
agru
pa-
ció
n y
div
isió
n ex
acta
(d
ivi-
sor
de
una
cifr
a) c
on
núm
e-ro
s na
tura
les
hast
a 9
99
9,
par
a fo
rmul
ar
y re
solv
er
pro
ble
mas
de
la v
ida
coti
-d
iana
del
ent
orn
o y
exp
licar
d
e fo
rma
razo
nad
a lo
s re
-su
ltad
os
ob
teni
do
s.
6
104 M
•Representar,escribiry
leer
los
nú
mer
os
nat
ura
les
del
0 a
l 50
en
fo
rma
con
cret
a y
sim
-b
ólic
a. (
M.2
.1.12
.)•Reconocerelvalorposicional
de
nú
mer
os
nat
ura
les
has
ta
el c
incu
enta
co
n b
ase
en l
a co
mp
osi
ció
n y
des
com
po
si-
ció
n d
e u
nid
ades
y d
ecen
as;
con
el
uso
de
mat
eria
l co
n-
cret
o. (
M.2
.1.14
.)•Establecerrelacionesdese
-cu
enci
a y
de
ord
en
en
un
co
nju
nto
d
e n
úm
ero
s n
atu
-ra
les
has
ta e
l ci
ncu
enta
, u
ti-
lizan
do
m
ater
ial
con
cret
o.
(M.2
.1.15
.)•Describirpatronesnuméricos
bas
ado
s en
su
mas
y r
esta
s,
con
tan
do
h
acia
ad
elan
te
y h
acia
atr
ás. (
M.2
.1.3
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estimarlongitudes
de
ob
jeto
s d
el e
nto
rno
co
n-
tras
tán
do
las
con
pat
ron
es d
e m
edid
as
no
co
nven
cio
nal
es.
(M.2
.2.10
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de
la s
eman
a p
ara
valo
rar
el
tiem
po
pro
pio
y e
l de
los
de-
más
, y
ord
enar
si
tuac
ion
es
tem
po
rale
s se
cuen
cial
es a
so-
cián
do
las
con
eve
nto
s si
gn
ifi-
cati
vos.
(M
.2.2
.16.)
•Investigaciónsobrem
edidas
no
co
nven
cio
nal
es u
sad
as e
n
la a
nti
gü
edad
y e
n la
act
ual
i-d
ad.
•Conteoyasociacióncon
con
jun
tos
de
ob
jeto
s co
n
su
resp
ecti
va
cor-
dia
lidad
.•Escrituradenúmeros.
•Usodelconteopararea-
lizar
ag
rup
amie
nto
s.•Usode
las
diferentes
form
as
de
rep
rese
nta
-ci
ón
de
un
nú
mer
o n
a-tu
ral,
grá
fica
, n
um
eral
, co
ncr
eta,
ve
rbal
, lit
eral
, p
or
com
po
sici
ón
y d
es-
com
po
sici
ón
.•Comparacióndenúme-
ros
uti
lizan
do
las
rela
cio
-n
es d
e o
rden
.•Establecimientodelare-
laci
ón
en
tre
la s
um
a y
la
rest
a en
la r
epro
du
cció
n
de
secu
enci
as
nu
mér
i-ca
s.
•Escuchaderelatosso
-b
re e
l u
so d
e m
edid
as
no
co
nven
cio
nal
es e
n e
l p
asad
o y
en
la
actu
ali-
dad
- C
om
ple
ta
secu
enci
as
nu
mér
icas
as
cen
den
tes
o d
esce
nd
ente
s co
n n
ú-
mer
os
nat
ura
les
has
ta e
l 50
. (I.3
.) (
Ref
. I.M
.2.2
.1.)
- R
ealiz
a la
co
mp
osi
ció
n y
d
esco
mp
osi
ció
n
de
nú
-m
ero
s h
asta
el
50.
(I.2
., S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
.)
- Id
enti
fica
el
nú
mer
o a
n-
teri
or
y el
p
ost
erio
r. (I
.2.,S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
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- C
alcu
la a
dic
ion
es y
su
s-tr
acci
on
es, y
da
solu
ció
n
a p
rob
lem
as
mat
emát
i-co
s se
nci
llos
del
en
torn
o.
(I.2
., S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
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• C
E.M
.2.4
. R
esu
elve
pro
b-
lem
as
coti
dia
no
s se
nci
l-lo
s q
ue
req
uie
ran
el
u
so
de
inst
rum
ento
s d
e m
e-d
ida
y la
co
nver
sió
n
de
un
idad
es,
par
a d
eter
mi-
nar
la
lon
git
ud
, m
asa,
ca-
pac
idad
y c
ost
o d
e o
bje
-to
s d
el e
nto
rno
, y
exp
licar
ac
tivi
dad
es
coti
dia
nas
en
fun
ció
n d
el t
iem
po
.
- R
esu
elve
sit
uac
ion
es p
ro-
blé
mic
as
sen
cilla
s q
ue
req
uie
ran
de
la c
om
par
a-ci
ón
de
lon
git
ud
es (
I.2.)
(R
ef. I
.M.2
.4.1.
)
- U
tiliz
a la
s u
nid
ades
d
e ti
emp
o p
ara
des
crib
ir s
us
acti
vid
ades
co
tid
ian
as.
(J.2
., I.3
.) (
Ref
. I.M
.2.4
.3.)
105
•Recolectarinform
aciónyta-
bu
larl
a en
tab
las
de
org
aniz
a-ci
ón
de
dat
os.
(M
.2.3
.1.)
•Discusiónsobreeluso
de
un
idad
es n
o c
onv
en-
cio
nal
es.
•Estimaciónde
longitu
-d
es u
tiliz
and
o u
nid
ades
d
e m
edid
a n
o
conv
en-
cio
nal
es.
•Medicióndelongitudes
uti
lizan
do
u
nid
ades
n
o
conv
enci
on
ales
d
el
en-
torn
o.
•Identificacióndelane-
cesi
dad
d
e m
edir
el
ti
emp
o e
n l
a p
arti
cip
a-ci
ón
de
jueg
os
y el
est
a-b
leci
mie
nto
de
reg
las.
•Elaboraciónde
picto
-g
ram
as
par
a id
enti
fica
r lo
s d
ías
de
la s
eman
a.•Lecturadiariadelafe-
cha
con
el u
so d
e p
icto
-g
ram
as.
•Usodelasnocionesde
tiem
po
p
ara
exp
licar
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
o
p
ara
rela
tar
his
tori
as
real
es o
fict
icia
s.•Estimacióndeintervalos
de
tiem
po
tr
ansc
urr
ido
en
tre
do
s ev
ento
s.
•Identificacióndedatos
den
tro
del
co
nte
xto
es-
cola
r, fa
mili
ar, c
om
un
ita-
rio
.•Clasificaciónde
datos
cual
itat
ivo
s y
cuan
tita
ti-
vos.
•Identificacióndelava
-ri
abili
dad
de
los
dat
os.
•Recolecciónde
datos
med
ian
te la
ob
serv
ació
n
y en
cues
tas
sen
cilla
s.•Organizaciónde
datos
en t
abla
s.
•CE.M.2.1.Descubreregula
-ri
dad
es
mat
emát
icas
d
el
ento
rno
in
med
iato
u
tili-
zan
do
lo
s co
no
cim
ien
tos
de
con
jun
tos
y la
s o
per
a-ci
on
es b
ásic
as c
on
nú
me-
ros
nat
ura
les,
par
a ex
plic
ar
verb
alm
ente
, en
fo
rma
or-
den
ada,
cla
ra y
raz
on
ada,
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
y
pro
ced
imie
nto
s p
ara
con
s-tr
uir
otr
as r
egu
lari
dad
es.
- P
rop
on
e p
atro
nes
y
con
stru
ye s
erie
s d
e o
bje
-to
s, fi
gu
ras
y se
cuen
cias
n
um
éric
as
en
el
círc
u-
lo d
el 0
al
50.
(I.1.
) (R
ef.
I.M.2
.1.2.
)•CE.M.2.2.Aplica
estrate-
gia
s d
e co
nte
o, e
l co
nce
p-
to
106 M
2M
i co
mun
idad
Rec
on
oce
rse
com
o p
arte
d
e su
en
torn
o n
atu
ral
y so
cial
, co
no
cien
do
su
s d
eber
es
y d
erec
ho
s y
valo
ran
do
su
cu
ltu
ra.
•Describirpatronesdefiguras
bas
ánd
ose
en
su
s at
rib
uto
s.
(Ref
. M.2
.1.2.
)•M.2.1.3.Reproducirpatrones
nu
mér
ico
s (
nú
mer
os
has
ta e
l 50
) b
asad
os
en s
um
as y
res
-ta
s, c
on
tan
do
hac
ia a
del
ante
y
hac
ia a
trás
.•Representar,escribiry
leer
los
nú
mer
os
nat
ura
les
del
0
al 5
0 e
n f
orm
a g
ráfi
ca (
en l
a se
mir
rect
a n
um
éric
a)
(Ref
. M
.2.1.
12.)
•Contarcantidadesdel0al50
par
a ve
rifi
car
esti
mac
ion
es
(en
gru
po
s d
e ci
nco
y d
iez)
. (R
ef. M
.2.1.
13.)
•Reconocerelvalorposicional
de
nú
mer
os
nat
ura
les
has
ta
el c
incu
enta
co
n b
ase
en l
a co
mp
osi
ció
n y
des
com
po
si-
ció
n d
e u
nid
ades
y d
ecen
as;
con
el
uso
de
mat
eria
l co
n-
cret
o. (
Ref
. M.2
.1.14
.)•Establecerrelacionesdese
-cu
enci
a y
de
ord
en e
n u
n c
on
-ju
nto
d
e n
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ero
s n
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s h
asta
el
cin
cuen
ta, u
tiliz
and
o
mat
eria
l sim
bo
log
ía m
atem
á-ti
ca (
=, <
, >,)
. (M
.2.1.
15.)
•Reconocernúmerosordina-
les
del
p
rim
ero
al
vi
gés
imo
p
ara
org
aniz
ar o
bje
tos
o e
le-
men
tos.
(R
ef. M
.2.1.
16.)
•M.2.1.19.Relacionarlanoción
de
adic
ión
co
n l
a d
e ag
reg
ar
ob
jeto
s a
un
co
nju
nto
. •M.2.1.20.Vincularlanociónde
sust
racc
ión
co
n l
a n
oci
ón
de
qu
itar
ob
jeto
s d
e u
n c
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jun
to
y la
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esta
ble
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ifere
n-
cia
entr
e d
os
can
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ades
.
•Observacióndeobjetos
del
en
torn
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om
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va
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es.
•Reproduccióndepatro
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es c
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eco
rar
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el
aula
o
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el
ho
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. •Representacióndecon
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dia
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n,
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n.
•Identificacióndediver
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xto
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ian
os.
•Conteoyasociacióncon
con
jun
tos
de
ob
jeto
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su
resp
ecti
va
cor-
dia
lidad
.•Escrituradenúmeros
•Usodelconteopararea-
lizar
ag
rup
amie
nto
s.•Usode
las
diferentes
form
as
de
rep
rese
nta
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ón
de
un
nú
mer
o n
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grá
fica
, n
um
eral
, co
ncr
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ve
rbal
, lit
eral
, p
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com
po
sici
ón
y d
es-
com
po
sici
ón
.
•Comparacióndenúme-
ros
uti
lizan
do
las
rela
cio
-n
es d
e o
rden
.•Descripcióndelaposi
-ci
ón
de
ord
en e
n o
bje
tos
y p
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nas
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tiliz
and
o
nú
mer
o o
rdin
ales
.•Establecimientodelare-
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ón
en
tre
la s
um
a y
la
rest
a en
la r
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du
cció
n
de
secu
enci
as
nu
mér
i-ca
s.
•CE.M.2.1.Descubreregula
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jun
tos
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y c
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s-tr
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jeto
s, fi
-g
ura
s y
secu
enci
as n
um
é-ri
cas
en e
l cí
rcu
lo d
el 0
al
50. (
I.1.)
(R
ef. I
.M.2
.1.2.
)•CE.M.2.2.Aplica
estrate-
gia
s d
e co
nte
o, e
l co
nce
p-
to
de
nú
mer
o,
exp
resi
o-
nes
mat
emát
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sen
cilla
s,
pro
pie
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su
ma
y la
m
ult
iplic
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n,
pro
ce-
dim
ien
tos
de
cálc
ulo
s d
e su
ma,
res
ta,
mu
ltip
licac
ión
si
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exac
ta (
div
iso
r d
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na
ci-
fra)
co
n n
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ero
s n
atu
rale
s h
asta
9 9
99
, par
a fo
rmu
lar
y re
solv
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rob
lem
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e la
vi
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coti
dia
na
del
en
torn
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nid
os.
- C
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enci
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icas
as
cen
den
tes
o d
esce
nd
ente
s co
n n
ú-
mer
os
nat
ura
les
has
ta e
l 50
. (I.3
.) (
Ref
. I.M
.2.2
.1.)
- R
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a la
co
mp
osi
ció
n y
d
esco
mp
osi
ció
n
de
nú
-m
ero
s h
asta
el
50.
(I.2
., S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
.)
107
•Resolverdeform
aindividual
o g
rup
al,
pro
ble
mas
qu
e re
-q
uie
ran
el
u
so
de
sum
as
y re
stas
co
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nú
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, e
inte
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tar
la
solu
ció
n d
entr
o d
el c
on
text
o
del
pro
ble
ma.
(R
ef. M
.2.1.
24.)
•Clasificarobjetos,segúnsus
pro
pie
dad
es. (
Ref
. M.2
.2.2
.)
•Reconocercilindros,esferas,
con
os,
cu
bo
s,
pir
ámid
es
de
bas
e cu
adra
da
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rism
as r
ec-
tan
gu
lare
s en
ob
jeto
s d
el e
n-
torn
o. (
Ref
. M.2
.2.1)
•M.2.2.7.Reconocerlíneas,rec
-ta
s y
curv
as e
n fi
gu
ras
pla
nas
y
cuer
po
s.•Reconocemonedasybilletes
de
1, 5,
10
, 20
y 5
0 d
óla
res.
(R
ef.M
.2.2
.13.)
•Reconocer
mañana,tarde,
ho
y, a
yer
y d
ías
de
la s
eman
a p
ara
valo
rar
el t
iem
po
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s se
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ales
aso
cián
do
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con
ev
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s si
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ifica
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s.
(Ref
. M
.2.2
.16.)
•Resoluciónde
proble
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par
a en
fati
zar
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sen
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ma
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sta.
•Clasificacióndeobjetos
del
en
torn
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n m
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del
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pre
sen
tad
os
con
m
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on
cret
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grá
-fi
cam
ente
.•Reconocimiento
del
inte
rio
r y
el
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línea
s ce
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as
del
en
-to
rno
, en
ilu
stra
cio
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o
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ren
tes
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os.
•Identificacióndelíneas
rect
as y
cu
rvas
en
cu
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po
s y
fig
ura
s p
lan
as.
•Usodelasnocionesde
tiem
po
p
ara
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licar
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
o
p
ara
rela
tar
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tori
as
real
es o
fict
icia
s.•Estimacióndeintervalos
de
tiem
po
tr
ansc
urr
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en
tre
do
s ev
ento
s.
- O
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úm
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men
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ersa
. (I
.2.,S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
.)-
Cal
cula
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icio
nes
y s
us-
trac
cio
nes
, y d
a so
luci
ón
a
pro
ble
mas
m
atem
áti-
cos
sen
cillo
s d
el e
nto
rno
. (I
.2.,
S.4
.) (
Ref
. I.M
.2.2
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•CE.M.2.3.Empleaelem
en-
tos
bás
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s d
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a,
las
pro
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. (I
.4.)
(R
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I.M.2
.3.1.
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rica
s.
(I.2
., S
.2.)
(R
ef. I
.M.2
.3.2
.)
•CE.M.2.4.Resuelveproble
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dia
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d,
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y co
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de
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el e
nto
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o, y
exp
licar
act
ivid
ades
•CE.M.2.3.Empleaelem
en-
tos
bás
ico
s d
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las
pro
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dad
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de
cuer
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par
a en
fren
tar
situ
acio
-n
es c
oti
dia
nas
de
cará
cter
g
eom
étri
co.
108 M
•Recolectarinform
aciónyta-
bu
larl
a en
tab
las
de
org
aniz
a-ci
ón
de
dat
os.
(R
ef. M
.2.3
.1.)
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den
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del
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cola
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un
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datos
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s y
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vos.
•Identificacióndelava
-ri
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dad
de
los
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os.
•Recolecciónde
datos
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n
y en
cues
tas
sen
cilla
s.•Organizaciónde
datos
en t
abla
s.
- E
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tre
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s g
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mét
rico
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. (I
.4.)
(R
ef.
I.M.2
.3.1.
)-
Iden
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ca e
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cu
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os
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rica
s.
(I.2
., S
.2.)
(R
ef. I
.M.2
.3.2
.)
•CE.M.2.4.Resuelveproble
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as
coti
dia
no
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des
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par
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escr
ibir
su
s ac
tivi
dad
es
coti
-d
ian
as.
(J.2
., I.3
.)
(Ref
. I.M
.2.4
.3.)
•CE.M.2.5.Examina
datos
cuan
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les
del
en
torn
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un
os
recu
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s se
nci
llos
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n
y re
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ón
g
ráfi
ca
(pic
tog
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ara
inte
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form
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es,
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- O
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reta
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form
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med
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en
tab
las.
(I.3
., J.
4.)
(R
ef. I
.M.2
.5.1.
)
109
3C
ola
bo
ro e
n ca
sa
Dem
ost
rar
imag
inac
ión
, cu
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sid
ad y
cre
ativ
idad
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taci
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resp
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au
to-
no
mía
en
su
fo
rma
de
actu
ar.
•Representar
gráficamente
sub
con
jun
tos,
d
iscr
imin
and
o
las
pro
pie
dad
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atri
bu
tos
de
los
ob
jeto
s. (
Ref
. M.2
.1.1.)
•Reproducirpatronesdeob
-je
tos
y fi
gu
ras
bas
ánd
ose
en
su
s at
rib
uto
s. (
Ref
. M.2
.1.2.
)•M.2.1.3.D
escribiryreproducir
pat
ron
es n
um
éric
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(dec
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p
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s) b
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os
en s
um
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nte
y h
acia
atr
ás.
•Representar,escribiry
leer
los
nú
mer
os
nat
ura
les
del
0 a
l 9
0 e
n f
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a co
ncr
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fica
(e
n la
sem
irre
cta
nu
mér
ica)
y
sim
bó
lica.
(R
ef. M
.2.1.
12.)
•Contarcantidadesdel0al
90
par
a ve
rifi
car
esti
mac
io-
nes
(en
gru
po
s, c
inco
y d
iez)
. (R
ef. M
.2.1.
13.)
•Reconocerelvalorposicional
de
nú
mer
os
nat
ura
les
de
has
-ta
el
no
ven
ta b
asán
do
se e
n
la c
om
po
sici
ón
y d
esco
mp
o-
sici
ón
de
un
idad
es,
dec
enas
, ce
nte
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y u
nid
ades
de
mil,
m
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nte
el
uso
de
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y
con
re
pre
sen
ta-
ció
n s
imb
ólic
a. (
Ref
. M.2
.1.14
.)•Establecerrelacionesdese
-cu
enci
a y
de
ord
en
en
un
co
nju
nto
de
nú
mer
os
nat
ura
-le
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asta
el
no
ven
ta, u
tiliz
an-
do
mat
eria
l co
ncr
eto
y s
im-
bo
log
ía m
atem
átic
a (=
, <, >
,).
(M.2
.1.15
.)•M.2.1.16.Reconocernúmeros
ord
inal
es d
el p
rim
ero
al v
igé-
sim
o p
ara
org
aniz
ar o
bje
tos
o e
lem
ento
s. (
Ref
. M.2
.1.16
.)•M.2.1.19.Relacionarlanoción
de
adic
ión
co
n l
a d
e ag
reg
ar
ob
jeto
s a
un
co
nju
nto
.
•Representacióndecon
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dia
gra
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Ven
n,
po
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sió
n.
•Identificacióndeconjun
-to
s y
sub
con
jun
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me-
dia
nte
el u
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e b
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ló
gic
os.
•Representacióndesub
-co
nju
nto
s p
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real
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ar
gu
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taci
on
es.
•Utilizacióndelosnúme-
ros
en
dife
ren
tes
con
-te
xto
s co
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ian
os.
•Conteoyasociacióncon
con
jun
tos
de
ob
jeto
s co
n
su
resp
ecti
va
cor-
dia
lidad
.•Escrituradenúmeros
•Usodelconteopararea-
lizar
ag
rup
amie
nto
s.•Usode
las
diferentes
form
as
de
rep
rese
nta
-ci
ón
de
un
nú
mer
o n
a-tu
ral,
grá
fica
, n
um
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, co
ncr
eta,
ve
rbal
, lit
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, p
or
com
po
sici
ón
y d
es-
com
po
sici
ón
.•Comparacióndenúme-
ros
uti
lizan
do
las
rela
cio
-n
es d
e o
rden
.•Descripcióndelaposi
-ci
ón
de
ord
en e
n o
bje
tos
y p
erso
nas
u
tiliz
and
o
nú
mer
o o
rdin
ales
.•Relaciónentrelasuma
y la
res
ta p
ara
des
crib
ir
y re
pro
du
cir
secu
enci
as
nu
mér
icas
.•Usoadecuadode
los
sím
bo
los
de
igu
ald
ad,
sum
a y
rest
a.•Cálculomentalde
su-
mas
y r
esta
s.
•CE.M.2.1.Descubreregula
-ri
dad
es
mat
emát
icas
d
el
ento
rno
in
med
iato
u
tili-
zan
do
lo
s co
no
cim
ien
tos
de
con
jun
tos
y la
s o
per
a-ci
on
es b
ásic
as c
on
nú
me-
ros
nat
ura
les,
par
a ex
plic
ar
verb
alm
ente
, en
fo
rma
or-
den
ada,
cla
ra y
raz
on
ada,
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
y
pro
ced
imie
nto
s p
ara
con
s-tr
uir
otr
as r
egu
lari
dad
es.
–P
rop
on
e p
atro
nes
y
con
stru
ye s
erie
s d
e o
bje
-to
s, fi
gu
ras
y se
cuen
cias
n
um
éric
as
en
el
círc
u-
lo d
el 0
al
90
. (I
.1.)
(Ref
. I.M
.2.1.
2.)
–I.M
.2.1.
1. D
iscr
imin
a p
ro-
pie
dad
es d
e lo
s o
bje
tos
y o
bti
ene
sub
con
jun
tos
de
un
co
nju
nto
un
iver
so.
(S.2
.)
•CE.M.2.2.Aplica
estrate-
gia
s d
e co
nte
o, e
l co
nce
p-
to d
e n
úm
ero
, exp
resi
on
es
110 M
•M.2.1.20.Vincularlanociónde
sust
racc
ión
co
n l
a n
oci
ón
de
qu
itar
ob
jeto
s d
e u
n c
on
jun
to
y la
de
esta
ble
cer
la d
ifere
n-
cia
entr
e d
os
can
tid
ades
.•Resolverdeform
aindividual
o g
rup
al,
pro
ble
mas
qu
e re
-q
uie
ran
el
u
so
de
sum
as
y re
stas
co
n n
úm
ero
s h
asta
el
no
ven
ta, e
inte
rpre
tar
la s
olu
-ci
ón
den
tro
del
co
nte
xto
del
p
rob
lem
a. (
Ref
. M.2
.1.24
.)
•Resoluciónde
proble
-m
as y
op
erac
ion
es c
on
su
mas
y r
esta
s d
e n
úm
e-ro
s n
atu
rale
s.
•Clasificacióndeobjetos
del
en
torn
o s
egú
n m
o-
del
os
pre
sen
tad
os
con
m
ater
ial c
on
cret
o o
grá
-fi
cam
ente
.
mat
emát
icas
sen
cilla
s, p
ro-
pie
dad
es d
e la
su
ma
y la
m
ult
iplic
ació
n,
pro
ced
i-m
ien
tos
de
cálc
ulo
s d
e su
ma,
res
ta,
mu
ltip
licac
ión
si
n r
eag
rup
ació
n y
div
isió
n
exac
ta (
div
iso
r d
e u
na
ci-
fra)
co
n n
úm
ero
s n
atu
rale
s h
asta
9 9
99
, par
a fo
rmu
lar
y re
solv
er p
rob
lem
as d
e la
vi
da
coti
dia
na
del
en
torn
o
y ex
plic
ar d
e fo
rma
razo
-n
ada
los
resu
ltad
os
ob
te-
nid
os.
–C
om
ple
ta
secu
enci
as
nu
mér
icas
as
cen
den
tes
o d
esce
nd
ente
s co
n n
ú-
mer
os
nat
ura
les
has
ta e
l 50
. (I.3
.) (
Ref
. I.M
.2.2
.1.)
–R
ealiz
a la
co
mp
osi
ció
n y
d
esco
mp
osi
ció
n
de
nú
-m
ero
s h
asta
el
90
. (I
.2.,
S.4
.) (
Ref
. I.M
.2.2
.2.)
–O
rden
a n
úm
ero
s d
e m
a-yo
r a
men
or
o v
icev
ersa
. (I
.2.,S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
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alcu
la a
dic
ion
es y
su
s-tr
acci
on
es, y
da
solu
ció
n
a p
rob
lem
as
mat
emát
i-co
s se
nci
llos
del
en
torn
o.
(I.2
., S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
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•CE.M.2.3.Empleaelem
en-
tos
bás
ico
s d
e g
eom
etrí
a,
las
pro
pie
dad
es
de
cuer
-p
os
y fi
gu
ras
geo
mét
rica
s,
la
med
ició
n,
esti
mac
ión
y
cálc
ulo
s d
e p
erím
etro
s,
par
a en
fren
tar
situ
acio
-n
es c
oti
dia
nas
de
cará
cter
g
eom
étri
co.
–C
lasi
fica
, fi
gu
ras
geo
-m
étri
cos.
(I
.4.)
(R
ef.
I.M.2
.3.1.
)
111
•Reconocerpropiedadesde
cilin
dro
s, e
sfer
as,
con
os,
cu
-b
os,
pir
ámid
es d
e b
ase
cua-
dra
da
y p
rism
as r
ecta
ng
ula
-re
s en
o
bje
tos
del
en
torn
o.
(Ref
. M.2
.2.1)
•Clasificarcuerposgeométri
-co
s se
gú
n s
us
pro
pie
dad
es.
(Ref
. M.2
.2.2
.)•Identificarform
ascuadradas,
tria
ng
ula
res,
re
ctan
gu
lare
s y
circ
ula
res
en c
uer
po
s g
eo-
mét
rico
s d
el
ento
rno
. (R
ef.
M.2
.2.3
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Distinguir
lados,
fro
nte
ra
inte
rio
r y
exte
rio
r, vé
rtic
es
y án
gu
los
en
fig
u-
ras
geo
mét
rica
s: c
uad
rad
os,
tr
ián
gu
los,
re
ctán
gu
los
y cí
rcu
los.
•Representar
cantidades
mo
net
aria
s co
n
el
uso
d
e m
on
edas
d
e 1,
5,
10,
20
y 50
ce
nta
vos
(did
ácti
cos)
. (R
ef.M
.2.2
.13)
•Reconocerdía,noche,ma-
ñan
a, t
ard
e, h
oy,
aye
r y
día
s d
e la
sem
ana
par
a va
lora
r el
ti
emp
o p
rop
io y
el d
e lo
s d
e-m
ás,
y o
rden
ar
situ
acio
nes
te
mp
ora
les
secu
enci
ales
aso
-ci
ánd
ola
s co
n e
ven
tos
sig
nifi
-ca
tivo
s. (
Ref
. M.2
.2.16
.)
•Recolectarinform
aciónyta-
bu
larl
a en
tab
las
de
org
aniz
a-ci
ón
de
dat
os.
(R
ef. M
.2.3
.1.)
•Reconocimiento
del
inte
rio
r y
el
bo
rde
en
línea
s ce
rrad
as
del
en
-to
rno
, en
ilu
stra
cio
nes
o
dife
ren
tes
traz
os.
•Identificacióndelíneas
rect
as y
cu
rvas
en
cu
er-
po
s y
fig
ura
s p
lan
as.
•Reconocimiento
de
triá
ng
ulo
s,
cuad
rilá
te-
ros
y cí
rcu
los
en o
bje
tos
del
en
torn
o,
en c
uer
po
s g
eom
étri
cos.
•Reconocimientode
la
un
idad
m
on
etar
ia
de
uso
en
el E
cuad
or.
•Identificacióndelarela-
ció
n e
ntr
e la
s m
on
edas
d
e d
eno
min
acio
nes
has
-ta
50
cen
tavo
s.•Usodelasnocionesde
tiem
po
p
ara
exp
licar
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
o
p
ara
rela
tar
his
tori
as
real
es o
fict
icia
s.•Estimacióndeintervalos
de
tiem
po
tr
ansc
urr
ido
en
tre
do
s ev
ento
s.•Identificacióndedatos
den
tro
del
co
nte
xto
es-
cola
r, fa
mili
ar, c
om
un
ita-
rio
.•Clasificaciónde
datos
cual
itat
ivo
s y
cuan
tita
ti-
vos.
•Identificacióndelava
-ri
abili
dad
de
los
dat
os.
•Recolecciónde
datos
med
ian
te la
ob
serv
ació
n
y en
cues
tas
sen
cilla
s.•Organizaciónde
datos
en t
abla
s.
–Id
enti
fica
ele
men
tos
bá-
sico
s d
e la
G
eom
etrí
a en
cu
erp
os
geo
mét
rico
s.
(I.2
., S
.2.)
(R
ef. I
.M.2
.3.2
.)
•CE.M.2.4.Resuelveproble
-m
as
coti
dia
no
s se
nci
llos
qu
e re
qu
iera
n
el
uso
d
e in
stru
men
tos
de
med
ida
y la
co
nver
sió
n d
e u
nid
a-d
es,
par
a d
eter
min
ar
la
lon
git
ud
, m
asa,
cap
acid
ad
y co
sto
de
ob
jeto
s d
el e
n-
torn
o,
y ex
plic
ar a
ctiv
ida-
des
co
tid
ian
as e
n f
un
ció
n
del
tie
mp
o.
–E
xpre
sa c
anti
dad
es c
on
el
uso
de
mo
ned
as. (
J.2.
, J.
3.)
(R
ef. I
.M.2
.4.2
.) –I.M
.2.4
.3.
Uti
liza
las
un
i-d
ades
d
e ti
emp
o
par
a d
escr
ibir
su
s ac
tivi
dad
es
coti
dia
nas
. (J.
2., I
.3.)
–•CE.M.2.5.Examina
datos
cuan
tifi
cab
les
del
en
torn
o
cerc
ano
uti
lizan
do
alg
un
os
recu
rso
s se
nci
llos
de
reco
-le
cció
n
y re
pre
sen
taci
ón
g
ráfi
ca
(pic
tog
ram
as
y d
iag
ram
as d
e b
arra
s), p
ara
inte
rpre
tar
y co
mu
nic
ar,
ora
lmen
te y
po
r es
crit
o, i
n-
form
ació
n y
co
ncl
usi
on
es,
asu
mie
nd
o c
om
pro
mis
os.
–O
rgan
iza
e in
terp
reta
in
-fo
rmac
ión
d
el
ento
rno
in
med
iato
en
tab
las.
(I.3
., J.
4.)
(R
ef. I
.M.2
.5.1.
)
112 M
4So
y so
lidar
ioA
sum
ir
com
pro
mis
os
con
sig
o m
ism
o y
su
s p
a-re
s so
bre
el t
ipo
de
acci
o-
nes
qu
e le
s p
erm
iten
un
m
ejo
r eq
uili
bri
o p
erso
nal
, co
n e
l gru
po
y c
on
su
en
-to
rno
.
•M.2.1.2.Reproducirpatrones
de
fig
ura
s.•M.2.1.3.Reproducirpatrones
nu
mér
ico
s (n
úm
ero
s h
asta
el
90
) b
asad
os
en s
um
as y
res
-ta
s.•M.2.1.6.Relacionarlos
ele-
men
tos
del
co
nju
nto
de
sa-
lida
con
lo
s el
emen
tos
del
co
nju
nto
de
lleg
ada,
a p
arti
r d
e la
co
rres
po
nd
enci
a en
tre
elem
ento
s.
•Representar,escribiry
leer
los
nú
mer
os
nat
ura
les
del
0 a
l 9
0 e
n f
orm
a co
ncr
eta,
grá
fica
(e
n la
sem
irre
cta
nu
mér
ica)
y
sim
bó
lica.
(R
ef. M
.2.1.
12.)
•Contarcantidadesdel0al90
par
a ve
rifi
car
esti
mac
ion
es
(en
gru
po
s d
e ci
nco
y d
iez)
. (R
ef. M
.2.1.
13.)
•Reconocerelvalorposicional
de
nú
mer
os
nat
ura
les
de
has
-ta
el
no
ven
ta b
asán
do
se e
n
la c
om
po
sici
ón
y d
esco
mp
o-
sici
ón
de
un
idad
es,
dec
enas
, ce
nte
nas
y u
nid
ades
de
mil,
m
edia
nte
el
uso
de
mat
eria
l co
ncr
eto
y
con
re
pre
sen
ta-
ció
n s
imb
ólic
a. (
Ref
. M.2
.1.14
.)•Establecerrelacionesdese
-cu
enci
a y
de
ord
en
en
un
co
nju
nto
de
nú
mer
os
nat
ura
-le
s h
asta
el
no
ven
ta, u
tiliz
an-
do
mat
eria
l co
ncr
eto
y s
im-
bo
log
ía m
atem
átic
a (=
, <, >
,).
(M.2
.1.15
.)•Realizaradicionesysustrac-
cio
nes
, sin
rea
gru
pac
ión
,
• Par
tici
pac
ión
en
ju
ego
s p
ara
la c
reac
ión
de
pa-
tro
nes
de
fig
ura
s y
nu
-m
éric
os.
•Representacióndecon
-ju
nto
s en
dia
gra
mas
de
Ven
n.
•Relaciónentrelosele-
men
tos
de
do
s co
nju
n-
tos.
•Identificacióndelcon
-ju
nto
de
par
ejas
ord
ena-
das
de
la r
elac
ión
en
tre
elem
ento
s d
e d
os
con
-ju
nto
s.
•Representaciónde
si-
tuac
ion
es e
n l
as c
ual
es
se u
tilic
en n
úm
ero
s en
-tr
e 0
y 9
0.
•Conteoyasociacióncon
con
jun
tos
de
ob
jeto
s co
n
su
resp
ecti
va
cor-
dia
lidad
.•Escrituradenúmeros
•Usodelconteopara
rea-
lizar
ag
rup
amie
nto
s.•Usode
las
diferentes
form
as
de
rep
rese
nta
-ci
ón
de
un
nú
mer
o n
a-tu
ral,
grá
fica
, n
um
eral
, co
ncr
eta,
ve
rbal
, lit
eral
, p
or
com
po
sici
ón
y d
es-
com
po
sici
ón
.•Comparacióndenúme-
ros
uti
lizan
do
las
rela
cio
-n
es d
e o
rden
.•Descripcióndelaposi
-ci
ón
de
ord
en e
n o
bje
tos
y p
erso
nas
u
tiliz
and
o
nú
mer
o o
rdin
ales
.
•CE.M.2.1.Descubreregula
-ri
dad
es
mat
emát
icas
d
el
ento
rno
in
med
iato
u
tili-
zan
do
lo
s co
no
cim
ien
tos
de
con
jun
tos
y la
s o
per
a-ci
on
es b
ásic
as c
on
nú
me-
ros
nat
ura
les,
par
a ex
plic
ar
verb
alm
ente
, en
fo
rma
or-
den
ada,
cla
ra y
raz
on
ada,
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
y
pro
ced
imie
nto
s p
ara
con
s-tr
uir
otr
as r
egu
lari
dad
es.
–D
iscr
imin
a en
dia
gra
mas
, lo
s p
ares
o
rden
ado
s d
el
pro
du
cto
ca
rtes
ia-
no
A
xB.
(I.3
., I.4
.)
(Ref
. I.M
.2.1.
3.)
•CE.M.2.2.Aplica
estrate-
gia
s d
e co
nte
o, e
l co
nce
p-
to
de
nú
mer
o,
exp
resi
o-
nes
mat
emát
icas
sen
cilla
s,
pro
pie
dad
es d
e la
su
ma
y la
m
ult
iplic
ació
n,
pro
ce-
dim
ien
tos
de
cálc
ulo
s d
e su
ma,
res
ta,
mu
ltip
licac
ión
si
n r
eag
rup
ació
n y
div
isió
n
exac
ta (
div
iso
r d
e u
na
ci-
fra)
co
n n
úm
ero
s n
atu
rale
s h
asta
9 9
99
, par
a fo
rmu
lar
y re
solv
er p
rob
lem
as d
e la
vi
da
coti
dia
na
del
en
torn
o
y ex
plic
ar d
e fo
rma
razo
-n
ada
los
resu
ltad
os
ob
te-
nid
os.
–C
om
ple
ta
secu
enci
as
nu
mér
icas
as
cen
den
tes
o d
esce
nd
ente
s co
n n
ú-
mer
os
nat
ura
les
has
ta e
l 9
0. (
I.3.)
(R
ef. I
.M.2
.2.1.
) –R
ealiz
a la
co
mp
osi
ció
n y
d
esco
mp
osi
ció
n
de
nú
-m
ero
s h
asta
el
90
. (I
.2.,
S.4
.) (
Ref
. I.M
.2.2
.2.)
113
co
n l
os
nú
mer
os
has
ta e
l 9
0,
con
mat
eria
l co
ncr
eto
, m
en-
talm
ente
, g
ráfi
cam
ente
y
de
man
era
n
um
éric
a. (
Ref
. M
.2.1.
21)
•Resolveryplantear,deform
ain
div
idu
al
o
gru
pal
, p
rob
le-
mas
qu
e re
qu
iera
n e
l u
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e su
mas
y
rest
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n
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e-ro
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asta
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in
ter-
pre
tar
la s
olu
ció
n d
entr
o d
el
con
text
o d
el p
rob
lem
a. (
Ref
.
M.2
.1.24
.)
•Diferenciarloselem
entosde
cilin
dro
s, e
sfer
as y
co
no
s, e
n
mo
del
os
geo
mét
rico
s.
(Ref
. M
.2.2
.1)•M.2.2.2.Clasificarfigurasgeo
-m
étri
cas
seg
ún
su
s p
rop
ied
a-d
es. (
Ref
. M.2
.2.2
.)•Identificar
form
ascircula
-re
s en
cu
erp
os
geo
mét
rico
s.
(Ref
. M.2
.2.3
.)
•M.2.2.10.
Medir,estimary
com
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git
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b-
jeto
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nto
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astá
n-
do
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con
pat
ron
es d
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das
no
co
nven
cio
nal
es.
•Reconocerdíasdelasem
ana
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mp
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ás,
y o
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mp
ora
les
se-
cuen
cial
es a
soci
ánd
ola
s co
n
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tos
sig
nifi
cati
vos.
(R
ef.
M.2
.2.16
.)
•Relaciónentrelasuma
y la
res
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crib
ir
y re
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du
cir
secu
enci
as
nu
mér
icas
.•Usoadecuadode
los
sím
bo
los
de
igu
ald
ad,
sum
a y
rest
a.•Cálculomentalde
su-
mas
y r
esta
s.•Resoluciónde
proble
-m
as y
op
erac
ion
es c
on
su
mas
y r
esta
s d
e n
úm
e-
ros
nat
ura
les.
•Ela
bo
raci
ón
de
cuer
po
s g
eom
étri
cos
med
ian
te
ori
gam
i. •Identificaciónde
ele-
men
tos
de
los
cuer
po
s g
eom
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cos
y fi
gu
ras
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nas
en
el
pro
ceso
de
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stru
cció
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gu
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ami.
•Medicióndelongitudes
con
o
bje
tos
del
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s.•Elaboración
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.4.)
(R
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.2.2
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llos
del
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torn
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(I.2
., S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
.)
•CE.M.2.3.Empleaelem
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tar
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g
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co.
–C
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us
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men
tos
cuer
po
s y
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u-
ras
geo
mét
rica
s.
(I.4
.)
(Ref
. I.M
.2.3
.1) –I.M
.2.3
.2.
Iden
tifica
el
e-m
ento
s b
ásic
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met
ría e
n cu
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os
y fig
u-ra
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étric
as. (
I.2.,
S.2
.)
•CE.M.2.4.Resuelveproble
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coti
dia
no
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llos
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el
uso
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torn
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y ex
plic
ar a
ctiv
ida-
des
co
tid
ian
as e
n f
un
ció
n
del
tie
mp
o.
114 M
•Realizarcombinacionessim
-p
les
de
do
s p
or
do
s y
solu
-ci
on
ar s
itu
acio
nes
co
tid
ian
as.
(Ref
. M.2
.3.2
.)•M.2.3.3.Reconocerexperien
-ci
as a
leat
ori
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n s
itu
acio
nes
co
tid
ian
as.
•Elaboracióndetablasde
do
ble
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trad
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lizar
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en-
tos.
•Participaciónenjuegos
en l
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cual
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en
dad
os.
•Análisisdelasexperien
-ci
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os.
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.2.)
(R
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.M.2
.4.1.
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ir s
us
acti
vid
ades
co
tid
ian
as.
(J.2
., I.3
.) (
Ref
. I.M
.2.4
.3.)
•CE.M.2.5.Examina
datos
cuan
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del
en
torn
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ca
(pic
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–I.M
.2.5
.2.
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asta
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s p
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tres
ele
men
tos.
(I.2
., I.4
.) –I.M
.2.5
.3.
An
aliz
a u
na
ex-
per
ien
cia
alea
tori
a en
ac-
tivi
dad
es lú
dic
as. (
I.1.)
115
5La
s re
gla
s en
los
jueg
os
R
eso
lver
pro
ble
mas
co
-ti
dia
no
s co
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resp
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y
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en
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tir
de
la s
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n
•M.2.1.2.Reproducirpatrones
de
fig
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s.•M.2.1.3.D
escribiryreproducir
pat
ron
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um
éric
os
bas
ado
s en
su
mas
y r
esta
s.•M.2.1.6.Relacionarlos
ele-
men
tos
del
co
nju
nto
de
sa-
lida
con
lo
s el
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tos
del
co
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de
lleg
ada,
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po
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enci
a en
tre
elem
ento
s.
•Representar,escribiry
leer
los
nú
mer
os
nat
ura
les
del
0 a
l 9
0 e
n f
orm
a co
ncr
eta,
grá
fica
(e
n la
sem
irre
cta
nu
mér
ica)
y
sim
bó
lica.
(R
ef. M
.2.1.
12.)
•Contarcantidadesdel0al
90
par
a ve
rifi
car
esti
mac
io-
nes
(en
gru
po
s ci
nco
y d
iez)
. (R
ef. M
.2.1.
13.)
•Reconocerelvalorposicional
de
nú
mer
os
nat
ura
les
de
has
-ta
el
no
ven
ta b
asán
do
se e
n
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po
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ón
y d
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mp
o-
sici
ón
de
un
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es,
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nas
y u
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ades
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el
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de
mat
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y
con
re
pre
sen
ta-
ció
n s
imb
ólic
a. (
Ref
. M.2
.1.14
.)
•Establecerrelacionesdese
-cu
enci
a y
de
ord
en
en
un
co
nju
nto
de
nú
mer
os
nat
ura
-le
s h
asta
el
no
ven
ta, u
tiliz
an-
do
mat
eria
l co
ncr
eto
y s
im-
•Creaciónde
patrones
par
a g
ener
ar s
ecu
enci
as
nu
mér
icas
y d
e fi
gu
ras.
•Representacióndecon
-ju
nto
s en
dia
gra
mas
de
Ven
n.
•Relaciónentrelosele-
men
tos
de
do
s co
nju
n-
tos.
•Identificacióndereglaso
con
dic
ion
es a
l mo
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de
esta
ble
cer
rela
cio
nes
en
tre
los
elem
ento
s d
e d
os
con
jun
tos.
•Representaciónporex
-te
nsi
ón
de
par
ejas
ord
e-n
adas
qu
e cu
mp
len
un
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laci
ón
esp
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ca a
l re
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cio
nar
el
emen
tos
del
co
nju
nto
de
salid
a y
de
lleg
ada.
•Utilizacióndelosnúme-
ros
en
dife
ren
tes
con
-te
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s co
tid
ian
os.
•Conteoyasociacióncon
con
jun
tos
de
ob
jeto
s co
n
su
resp
ecti
va
cor-
dia
lidad
.•Escrituradenúmeros
•Usodelconteopararea-
lizar
ag
rup
amie
nto
s.•Usode
las
diferentes
form
as
de
rep
rese
nta
-ci
ón
de
un
nú
mer
o n
a-tu
ral,
grá
fica
, n
um
eral
, co
ncr
eta,
ve
rbal
, lit
eral
, p
or
com
po
sici
ón
y d
es-
com
po
sici
ón
.•Comparacióndenúme-
ros
uti
lizan
do
las
rela
cio
-n
es d
e o
rden
.•Descripcióndelaposi
-ci
ón
de
ord
en e
n o
bje
tos
y p
erso
nas
uti
lizan
do
•CE.M.2.1.Descubreregula
-ri
dad
es
mat
emát
icas
d
el
ento
rno
in
med
iato
u
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zan
do
lo
s co
no
cim
ien
tos
de
con
jun
tos
y la
s o
per
a-ci
on
es b
ásic
as c
on
nú
me-
ros
nat
ura
les,
par
a ex
plic
ar
verb
alm
ente
, en
fo
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or-
den
ada,
cla
ra y
raz
on
ada,
si
tuac
ion
es
coti
dia
nas
y
pro
ced
imie
nto
s p
ara
con
s-tr
uir
otr
as r
egu
lari
dad
es.
–I.M
.2.1.
2.
Pro
po
ne
pat
ro-
nes
y
con
stru
ye
seri
es
de
ob
jeto
s, fi
gu
ras
y se
-cu
enci
as n
um
éric
as. (
I.1.)
–D
iscr
imin
a en
dia
gra
mas
, lo
s p
ares
ord
enad
os
del
p
rod
uct
o c
arte
sian
o A
xB
qu
e cu
mp
len
u
na
rela
-ci
ón
un
o a
un
o. (
I.3.,
I.4.)
(R
ef. I
.M.2
.1.3
.)
•CE.M.2.2.Aplica
estrate-
gia
s d
e co
nte
o, e
l co
nce
p-
to d
e n
úm
ero
, exp
resi
on
es
mat
emát
icas
sen
cilla
s,p
rop
ied
ades
d
e la
su
ma
y la
m
ult
iplic
ació
n,
pro
ce-
dim
ien
tos
de
cálc
ulo
s d
e su
ma,
res
ta,
mu
ltip
licac
ión
si
n r
eag
rup
ació
n y
div
isió
n
exac
ta (
div
iso
r d
e u
na
ci-
fra)
co
n n
úm
ero
s n
atu
rale
s h
asta
9 9
99
, par
a fo
rmu
lar
y re
solv
er p
rob
lem
as d
e la
vi
da
coti
dia
na
del
en
torn
o
y ex
plic
ar d
e fo
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razo
-n
ada
los
resu
ltad
os
ob
te-
nid
os.
–C
om
ple
ta
secu
enci
as
nu
mér
icas
as
cen
den
tes
o d
esce
nd
ente
s co
n n
ú-
mer
os
nat
ura
les
has
ta e
l 9
0. (
I.3.)
(R
ef. I
.M.2
.2.1.
)
116 M
lo
gía
m
atem
átic
a (=
, <
, >
,).
(M.2
.1.15
.)•Realizaradicionesy
sus-
trac
cio
nes
co
n
los
nú
mer
os
has
ta 9
0,
con
rea
gru
pac
ión
, co
n m
ater
ial
con
cret
o,
men
-ta
lmen
te,
grá
fica
men
te
y d
e m
aner
a
nu
mér
ica.
(R
ef.
M.2
.1.21
)•Resolveryplantear,deform
ain
div
idu
al
o
gru
pal
, p
rob
le-
mas
qu
e re
qu
iera
n e
l u
so d
e su
mas
y r
esta
s co
n n
úm
ero
s h
asta
el
no
ven
ta,
e in
terp
re-
tar
la
solu
ció
n
den
tro
d
el
con
text
o d
el p
rob
lem
a. (
Ref
. M
.2.1.
24.)
•Diferenciarloselem
entosde
cub
os,
p
irám
ides
d
e b
ase
cuad
rad
a y
pri
smas
re
ctan
-g
ula
res
en m
od
elo
s g
eom
é-tr
ico
s. (
Ref
. M.2
.2.1)
•Identificarform
ascuadradas,
tria
ng
ula
res
y re
ctan
gu
la-
res
en c
uer
po
s g
eom
étri
cos.
(R
ef. M
.2.2
.3.)
•Utilizarlaunidaddemedida
de
lon
git
ud
: el m
etro
en
la e
s-ti
mac
ión
y m
edic
ión
de
lon
gi-
tud
es d
e o
bje
tos
del
en
torn
o.
(Ref
. M.2
.2.11
.)
•Medir,masascontrastándo
-la
s co
n
pat
ron
es
de
med
i-d
as n
o c
onv
enci
on
ales
. (R
ef.
M.2
.2.19
).
nú
mer
os
ord
inal
es.
•Relaciónentrelasuma
y la
res
ta p
ara
des
crib
ir
y re
pro
du
cir
secu
enci
as
nu
mér
icas
.•Usoadecuadode
los
sím
bo
los
de
igu
ald
ad,
sum
a y
rest
a.•Cálculomentalde
su-
mas
y r
esta
s.•Resoluciónde
proble
-m
as y
op
erac
ion
es c
on
su
mas
y r
esta
s d
e n
úm
e-ro
s n
atu
rale
s.
•Clasificacióndeprism
as
y p
irám
ides
•Reconocimiento
de
triá
ng
ulo
s y
cuad
rilá
te-
ros
en o
bje
tos
del
en
tor-
no
, en
cu
erp
os
geo
mé-
tric
os.
•Elaboracióndeprism
as
y p
irám
ides
m
edia
nte
d
ob
lad
o d
e p
apel
.•Elaboracióndeunmetro
did
ácti
co.
•Usodelm
etrodidáctico
par
a la
med
ició
n d
e lo
n-
git
ud
es•Investigacióndelasuni-
dad
es
de
med
idas
d
e m
asa
no
co
nven
cio
nal
es
uti
lizad
as e
n e
l h
og
ar e
n
el p
asad
o y
en
la a
ctu
ali-
dad
.•Comparacióndemasas
uti
lizan
do
in
stru
men
tos
de
med
ida
no
co
nven
-ci
on
ales
.
–R
ealiz
a la
co
mp
osi
ció
n y
d
esco
mp
osi
ció
n
de
nú
-m
ero
s h
asta
el
90
. (I
.2.,
S.4
.) (
Ref
. I.M
.2.2
.2.)
–O
rden
a n
úm
ero
s d
e m
a-yo
r a
men
or
o v
icev
ersa
. (I
.2.,S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
.) –C
alcu
la a
dic
ion
es y
su
s-tr
acci
on
es, y
da
solu
ció
n
a p
rob
lem
as
mat
emát
i-co
s se
nci
llos
del
en
torn
o.
(I.2
., S
.4.)
(R
ef. I
.M.2
.2.2
.)
•CE.M.2.3.Empleaelem
en-
tos
bás
ico
s d
e g
eom
etrí
a,
las
pro
pie
dad
es
de
cuer
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117
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I.4.)
(R
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. (I
.3.,
J.4
.)
(Ref
. I.M
.2.5
.1.).
118 M
6Ju
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Ref
. M.2
.1.12
.)•Contarcantidadesdel0al
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Ref
. M.2
.1.13
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Ref
. M
.2.1.
14.)
•Establecerrelacionesdese
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.2.1.
15.)
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Ref
. M
.2.1.
21)
•Resolveryplantear,deform
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a. (
Ref
. M
.2.1.
24.)
•Participaciónenjuegos
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I.2.,
I.4.)
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Ref
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.2.1.
13.)
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(R
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24.)
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I.3.)
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(R
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•M.2.2.4.Construirfiguras
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Ref
. M.2
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•Organizary
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Ref
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•Usode
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•Elaboraciónde
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•Indagaciónsobreelsig
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•Construccióndeunál
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Ref
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.3.)
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Ref
. M.3
.2.6
.)•Calcularelperímetrodepo
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Ref
. M.3
.2.14
.)•Compararelkilogramo,ylali
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•Analizarlascaracterísticasyaplicarlasoperacionesconconjuntoscomoun
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5.
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139
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2.3. Planificación microcurricular
La planificación microcurricular puede ser planteada por unidad o por clase; de acuerdo a los lineamientos determinados como ejemplo en esta guía, la institución educativa N/N determinó que la realizarán por unidad didáctica.
Este documento desarrolla las unidades de planificación, aterrizando el currículo en el tercer nivel de concreción. Es elaborado por los docentes de grado/curso y área considerando los lineamientos previstos en el PCI y la conformación de unidades planteadas en el PCA, es de uso interno de la institución educativa, por lo tanto los formatos propuestos por la autoridad nacional de educación en relación a esta planificación, son referenciales, ya que las instituciones educativas pueden crear sus formatos, tomando en cuenta los elementos esenciales: fines, objetivos, conte-nidos, metodología, recursos y evaluación. A continuación, se presenta un ejemplo de micro planificación correspondiente a la primera unidad de segundo grado del Subnivel Elemental.
Cabe mencionar que para nuestro ejemplo los docentes del subnivel elemental con la finalidad de fortalecer los valores que la institución educativa N/N promulga, han optado por realizar planificaciones de unidad didáctica interdisciplinarias, que ten-gan como eje común temáticas generadoras relacionadas a estos valores; por ello, para la primera unidad se trabajará con el tema generador de “La familia”.
EJEMPLO DE PLANIFICACIÓN DE UNIDAD DIDÁCTICA EN EL SUBNIVEL ELEMENTAL
(ver ejemplo en la siguiente página)
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I.
198 M
3. ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 3.1. Orientaciones para la Educación General básica
3.1.1. Orientaciones para el subnivel Elemental
En el subnivel Elemental al igual que en la Preparatoria el aún es concreto, sin em-bargo, se empieza a tratar con nociones abstractas de la matemática. Se sugiere que se utilicen objetos y situaciones concretas para luego ir a generalizaciones y a niveles más altos de abstracción. En este proceso se pueden utilizar REAs (Recur-sos Educativos Abiertos) que ayudarán a que los alumnos entiendan este proceso necesario en la matemática. Existen muchos REAs en internet ofrecidos por sitios web en español, adecuados a las edades y conocimientos de los alumnos. El uso de REAs no solo logra explicar temas matemáticos sino que despiertan interés y gusto por resolver problemas matemáticos, pues muchos de estos recursos se los presenta de manera lúdica.
Bloque curricular: Algebra y funciones
En este bloque es importante el trabajo con patrones para lo cual se han planteado destrezas con criterios de desempeño inician con la descripción, reproducción y construcción de patrones con objetos y figuras y se complementan con la cons-trucción de patrones numéricos a partir de sumas y restas y finalmente con patro-nes son de tipo creciente generados con sumas y multiplicaciones.
Para la construcción de patrones de objetos y figuras es necesario que el docente inicie en con los procesos para desarrollar el pensamiento y la reflexión matemática mediante la observación y clasificación de objetos que se encuentren en el aula o el establecimiento, con el objetivo que los estudiantes reconozcan y determinen las diferentes características o atributos tales como color, forma, tamaño, textura, peso, etc., de los diferentes materiales con los que se está trabajando. Estos pueden ser hojas, semillas, palos o paletas de helado, rosetas, fichas, tapas de botellas, ca-jas, argollas, tornillos, botones, libros cuadernos, cajas, pelotas entre otros.
Posteriormente a este proceso, el docente realizará el trabajo con patrones utilizan-do los mismos materiales, es decir, los estudiantes diseñarán un patrón usando un atributo; por ejemplo, el color, será la única característica común que debe regir en un patrón, o los colores que el docente proponga. De esta manera se puede generar patrones con diferentes materiales alternando el color: azul, rojo, azul, rojo... Inde-pendientemente de las formas tamaños o texturas que posean los objetos.
En el siguiente caso, se puede trabajar otro tipo de patrones (a-r-a-r-a-r) por lo que es necesario que el docente conjuntamente con los estudiantes analicen las carac-terísticas comunes y las diferencias que se observan en esta serie o patrón. Además puede solicitar que lo repliquen (reproduzcan o copien), y de ser posible lo extiendan.
Luego de suficiente práctica con esta clase de patrones, es necesario que el docente
199
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
dé a los estudiantes la libertad de construir patrones, con un solo atributo y poste-riormente del tipo analizado (a-r-a-r). Al realizar este ejercicio, se espera que cada es-tudiante explique el patrón que está creando y utilice otros atributos aparte del color.
Es necesario que el docente tenga en cuenta que este proceso de trabajo de pa-trones requiere que el estudiante esté en la capacidad de replicarlos, extenderlos, explicarlos y, finalmente, crearlos para determinar su aprendizaje matemático.
Dentro de este proceso se podrá visualizar como los estudiantes, de manera es-pontánea, han desarrollado las destrezas con criterios de desempeño para crear patrones en los cuales usarán simultáneamente más de un atributo. Razón por la que el profesor debe pedir a los estudiantes que compartan este conocimiento ex-plicando a sus compañeros los procesos aprendidos.
Si esto no sucede de forma natural, es fundamental que el docente acompañe el proceso de aprendizaje para guiar a los niños en la construcción de patrones que vayan de lo simple a lo complejo. Por ejemplo, se puede utilizar primero figuras con dos atributos, combinando color y forma, textura y forma, forma y tamaño, etcéte-ra. Por último, se trabajará en patrones generados a partir de tres atributos (color, tamaño, forma), siguiendo el proceso descrito anteriormente.
Este proceso es el fundamento del desarrollo de estrategias de razonamiento y re-solución de problemas numéricos, geométricos, de estadística y probabilidad que tienen como base el manejo de patrones, y, sobre todo, para que los escolares se acostumbren a la búsqueda de similitudes, diferencias y regularidades que servirán para potenciar las habilidades de argumentación y demostración.
Para el trabajo con patrones numéricos y para su construcción podemos ayudarnos de una tabla de 100 unidades, con 10 filas y 10 columnas, en la que estén represen-tados todos los números del 1 al 100. En esta tabla se puede generar un sin número de patrones, tanto en la disposición de los números en las filas y en las columnas, como en las operaciones que se desea realizar.
A continuación, se presenta un ejemplo con la tabla hasta el número 50. El docente debe solicitar a los estudiantes que coloquen una ficha o botón en una casilla, en este caso la ficha está en el número 3.
1 2 • 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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Para construir patrones crecientes, el docente pedirá a los estudiantes que desplacen la ficha de dos en dos y nombren cada uno de los números hasta terminar la fila, es-tos números deberán ser registrados por los estudiantes de tal manera que puedan evidenciar la secuencia numérica.
El maestro incentivará a los estudiantes a realizar este proceso en varias ocasiones hasta que los estudiantes adquieran la destreza de construir patrones crecientes si se mueve la ficha hacia la derecha o baja a la siguiente fila, o patrones decrecientes si esta se mueve a la izquierda o sube a la siguiente fila.
Un ejemplo de construcción de patrones decrecientes es el siguiente:
Solicitar a los estudiantes que ubiquen una ficha en el número 42.
Luego pedir que la muevan a la fila anterior y registren el número obtenido.
Pedir a los estudiantes que continúen con este proceso hasta terminar la tabla. El registro o anotación de los números debe estar en una sola línea, uno a continuación
201
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
de otro, teniendo algo similar a: 42, 32, 22,12, 2. Posterior a la lectura de los números registrados,seiniciaráelanálisisdeen¿cuántoaumentanodisminuyenlosnúmeros?y establecer con ellos la regla de la secuencia, que en este caso sería de menos diez.
Es importante que en este proceso los estudiantes analicen los números obtenidos del conteo de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 10 en 10, y así paulatinamente se fami-liarizarán con las secuencias numéricas ascendentes y descendentes, afianzarán sus conocimientos de relación de orden y adquirirán varias estrategias de resolución de problemas de suma y resta.
Además se puede solicitar a los estudiantes que ubiquen una ficha en el número 21.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Luego pedir que la muevan en forma diagonal descendente, como se muestra a continuación:
202 M
Pedir a los estudiantes que continúen con este proceso hasta terminar la tabla. El registro o anotación de los números debe estar en una sola línea, uno a continuación de otro, así: 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98. Posterior a la lectura de los números regis-trados,seiniciaráelanálisisde¿cuántoaumentanodisminuyenlosnúmeros?yseestablecerá con ellos la regla de la secuencia, que en este caso sería de más once.
Otra estrategia de trabajo es, pedir que completen la siguiente fila y que expliquen la relación que conecta cada una de ellas.
4 ? 18 25 25 ? 15 10 3 6 9 ?
Estas son algunas estrategias de trabajo para la construcción de patrones pero en todas ellas el estudiante deberá argumentar y demostrar la respuesta obtenida o la regla del patrón generador encontrado, recuerde que el argumentar y debatir en el área de matemática es una herramienta útil para saber cómo piensan sus estudiantes y poder reconocer los errores o aciertos cometidos al momento de verbalizar el pro-ceso realizado, así el docente podrá rediseñar las estrategias metodológicas a seguir.
Al momento de evaluar la relación de patrones numéricos crecientes con suma o multiplicación, debemos saber si los estudiantes identifican la regla usada en la ge-neración de un patrón, si pueden extender un patrón dado y/o si pueden construir un patrón aplicando una regla preestablecida.
En lo referente a la numeración el docente debe aprovechar el concepto intuitivo de los números que los estudiantes han desarrollado inclusive antes de comenzar el proceso de escolarización. Es recomendable realizar con los alumnos actividades al aire libre, en un parque, en el patio o en el jardín de la escuela, y contar elementos de la naturaleza tales como hojas, palos, semillas, árboles, flores; también pueden contar los pasos que dan o cualquier objeto que les sea conocido. De igual manera los ele-mentos y materiales de su aula pueden servir a este fin como rosetas, fichas, argollas, canicas, figuras, entre otros. Una estrategia para que los estudiantes registren los elementos contados podría ser rayar palitos junto a cada conjunto de acuerdo con el número de elementos que posee cada uno, para luego contarlos.
203
MATEMÁTICA
EGB Y BGU
El conteo de elementos es un paso previo a la asociación de la cantidad y el numeral; por ello se recomienda iniciar el conteo adicionando un elemento a una cantidad pre-viamente establecida; en principio se lo hará con las unidades y luego adicionando un elemento a decenas, centenas o unidades de mil. En lo posterior, dando una cantidad inicial se puede contar elementos en grupos de 2,3, 5,10, 100, 1000. Es necesario que el maestro plantee situaciones significativas para contar elementos.
Con el uso de tablas numéricas los estudiantes pueden experimentar el pensamiento inductivo, por ejemplo, para familiarizarse con los métodos de conteo se puede orga-nizar una actividad como la siguiente:
Materiales: tabla numérica, ficha y un dado por estudiante.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100
• Formar parejas de estudiantes, quienes serán la pareja de jugadores,
• Cada estudiante coloca la ficha en el número 0,
• Ambos jugadores lanzan el dado al mismo tiempo,
• El jugador que obtiene el número mayor es el ganador y mueve su ficha diez espacios hacia adelante,
• El jugador que obtiene el número menor es el perdedor y mueve su ficha un espacio hacia adelante,
• Se repite este proceso hasta que un jugador llegue hasta el número 100, ganan-do el juego.
Observe como en principio los estudiantes cuentan de uno en uno hasta avanzar los 10 espacios, pero mientras continúan con el juego, ellos se dan cuenta de que cuando ganan, únicamente necesitan ir un cuadrado hacia abajo en la siguiente línea. Es posible que los estudiantes cometan errores especialmente porque suelen olvidar avanzar un espacio cuando obtienen la menor puntuación; tenga en cuenta
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estos errores y analícelos después; permita que sus estudiantes piensen deducti-vamente al referirse a los errores cometidos en el juego2.
Mediante juegos y con el trabajo concreto, los estudiantes tienen la oportunidad de experimentar, manipular, agrupar, clasificar, contar objetos y posteriormente realizar representaciones gráficas de esos elementos; su memoria se desarrolla para alcanzar el pensamiento abstracto, que se hace evidente con el uso de un número, el mismo que representa simbólicamente la cantidad de elementos del conjunto estudiado.
La numeración se la puede trabajar en círculos del 1 al 9; el 0; el 10 y después del 1 al 19; 20 al 49; 50 al 79; 80 al 99. Otra forma de hacerlo es iniciar con los números del 1 al 5; el 0; después del 6 al 9; el 10, luego hasta el 20 y se sigue ascendiendo hasta el 99. También se puede trabajar la numeración iniciando con las unidades del 1 al 9, el 0, la decena, las decenas del 20 al 90 y, luego, las reglas para combinar las unidades y las decenas; este último proceso que es similar en los círculos de 100 al 999 y del 1000 al 9 999.
Es importante que los estudiantes conozcan que nuestro sistema numérico es de base diez ya que se forma con diez símbolos diferentes que van del O al 9, y que podemos jugar con la posición de estos símbolos para representar una infinidad de números. Una manera de hacerlo es solicitar a los estudiantes que elaboren tarjetas con los números del 0 al 9 y formen diferentes números usando solamente cuatro tarjetas. Es importante recalcar que la posición de las cifras de los números que formen tiene diferente valor; el material de base diez es idóneo para afianzar este conocimiento, ya que tiene la ventaja de permitir la composición y descomposición de las cantidades de manera que el estudiante no solo pueda representar las uni-dades, decenas, centenas y unidades de mil en forma concreta, sino que además esté en la capacidad de realizar abstracciones para las operaciones de suma y resta.
Es necesario que el docente insista en que al completar 10 unidades se forma una decena, al completar 10 decenas se forma una centena y al completar 10 centenas se forma una unidad de mil; este conocimiento se lo puede reforzar mediante el uso de tarjetas de los números dígitos, tarjetas de decenas, centenas y unidades de mil puras y el material de base 10; por ejemplo, si se quiere formar el número 1 111 se tiene: 1 000 + 100 +10 +1; representación que se la hace con el material de base 10.
2 Pensamiento Matemático Masami Isoda-Shigeo Katagiri
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Luego con las tarjetas, se coloca sobre la tarjeta del mil, la del cien, luego la del diez y por último la del uno; haciendo coincidir unidades, decenas y centenas:
1
1 0
1 0 0
1 0... 0... 0
1 11 1
Esta actividad permite al estudiante fortalecer su conocimiento sobre el valor posi-cional de los números de hasta cuatro cifras.
Es de gran importancia que los estudiantes comprendan el significado de las dece-nas, centenas y unidades de millar o unidades de mil y lo que representa cada una de sus cifras; para ello una estrategia, para que los estudiantes comprendan este co-nocimiento es analizar junto con ellos cómo varía el valor de un número cuando sus cifras cambian de posición, para ello el docente puede propiciar la oportunidad de que los estudiantes establezcan comparaciones entre números como: 521, 251, 152 o 5 4321 4 5321 Este conocimiento se puede reforzar solicitándole que representen estos números usando material concreto.
Para realizar la evaluación, el docente puede utilizar fichas de observación, una lista de control, o hacerlo de la forma que considere más conveniente, recuerde que la evaluación es una parte constante dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje, y permite mejorar y afianzar los conocimientos de sus estudiantes.
Bloque curricular: Geometría y medida
Dentro de este bloque se trabajará en las características, nombres, diferencias y simi-litudes de los cuerpos y figuras. La observación es esencial para contrastar y estable-cer relaciones entre cuerpos y figuras con elementos del entorno para verificar cómo han sido y son utilizados en algunas edificaciones. El docente puede aprovechar es-tos ejemplos para dar a conocer a sus estudiantes las construcciones que forman parte del patrimonio cultural del Ecuador.
Es necesario que el docente realice visitas a diferentes lugares históricos o turísticos, como museos, iglesias o parques nacionales de su localidad, y si es posible, de otros entornos. Estas visitas ayudarán a los estudiantes a relacionar su aprendizaje de aula con el medio que los rodea. Este trabajo brinda todas las oportunidades para cono-cer y fortalecer el sentimiento de apropiación y valoración de los bienes naturales y culturales desde una concepción matemática.
Asimismo, se brinda la oportunidad para que los educandos utilicen los cuerpos geo-métricos para realizar construcciones o representaciones artísticas de su entorno
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inmediato y con este fin pueden coleccionar materiales reciclables como cajas de zapatos, de medicina, envases de alimentos y bebidas, pelotas, entre otros.
La identificación de los cuerpos y figuras geométricas es un proceso clave en el que los estudiantes aprenderán a reconocer las características, establecer similitudes y diferencias entre objetos de estudio, lo que permitirá su clasificación, comparación y ordenamiento. La manipulación ayudará al estudiantado a reconocer y describir el cuerpo o figura geométrica, llegando a clasificarlos y conceptualizarlos.
Para reforzar el proceso de identificación de cuerpos geométricos y trabajar la valo-ración, respeto y cuidado del patrimonio nacional y cultural, el docente puede traba-jar con diferentes imágenes de distintos lugares históricos del Ecuador.
Luego de trabajar en el reconocimiento de cuerpos y figuras geométricas, se puede trabajar en la clasificación. Se entiende por clasificar al proceso de ordenamiento de un grupo de elementos de acuerdo con una característica común. Para comenzar con este proceso, el maestro puede distribuir entre sus estudiantes diferentes cuer-pos geométricos como cilindros, esferas, conos, cubos, pirámides, prismas, de dife-rentes tamaños o colores para realizar el proceso de exploración y determinación de características, posteriormente es necesario que los estudiantes los clasifiquen de acuerdo con un criterio geométrico específico, el mismo que puede ser seleccio-nado por el docente o por los estudiantes.
Esta actividad se puede trabajar en forma individual o grupal. Todos los criterios serán válidos siempre que sirvan para llegar a establecer si un objeto pertenece o no pertenece a una clase determinada. En otras ocasiones el docente solicitará a los estudiantes que realicen una clasificación con cuerpos geométricos, y que expresen argumentos sobre las razones o criterios seleccionados para la misma.
Durante el proceso de enseñanza y aprendizaje tanto de los cuerpos geométricos como de las figuras geométricas, se emplearán los nombres correspondientes a cada una de ellas, es decir, cilindro, esfera, cono, cubo, pirámide, prisma, triángulo,
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cuadrado, rectángulo, etcétera, de modo que los estudiantes se acostumbren a ellos, los reconozcan y, más tarde, los relacionen con los objetos en estudio.
A partir del trabajo con los cuerpos geométricos, se derivará el reconocimiento de las figuras geométricas, para lo que el docente propiciará la asociación de las for-mas que encontraron en cada cuerpo geométrico y las relacionará con las formas de las figuras planas que están analizando los estudiantes (cuadrado, rectángulo, triángulo y círculo). Las representaciones gráficas se harán a mano alzada evitando el uso de material geométrico.
Para evaluar este conocimiento, es necesario trabajar en el reconocimiento de las figuras geométricas y cuerpos geométricos en objetos. Esto se puede realizar me-diante la observación directa que estará acompañada de una guía de observación o se podrá elaborar un cuestionario para la autoevaluación y la coevaluación.
Por otra parte en este bloque desarrollaremos destrezas con criterios de desempe-ño que se enfocan en la medición y estimación de diferentes magnitudes usando en principio las medidas no convencionales, es decir, emplearemos unidades de medidas definidas por el docente o por sus estudiantes. Por ejemplo, para longi-tudes, se puede usar el tamaño de la palma de una mano, de un dedo, de un lápiz, etcéteraparacomparar;paraellorealizaremospreguntascomo:¿Cuántoslápicesmidetucuaderno?,¿cuántospalmosdemanosmidetumesa?,¿cuántosclipsmidetu marcador?
De igual forma, para medir capacidades se pueden utilizar medidas familiares o conocidas por los escolares tales como tazas, botellas de refrescos, vasos entre otros. Vaciar líquido o semillas de un recipiente a otro permitirá tener clara la idea de capacidad. Para realizar estimaciones es posible utilizar dos recipientes de dife-rentetamaño(unabotellayunvaso)ypreguntar,porejemplo:¿Cuántosvasosdeaguaentraránenesterecipiente?,¿Cuántastazasdeaguaentraránenestabotella?;paracompararmasasusamoslacomparaciónintuitiva:¿Cuáldeestosobjetosesmáslivianoomáspesado(otienemásomenosmasa)?,¿Quétienemásmasa,estecuaderno o este libro?
Piense que las actividades de estimación de medidas contribuye a un mejor desarro-llo del sentido espacial, este proceso debe basarse siempre en valores referenciales.
Se aconseja a los docentes que cuando analicen el tema relacionado a masa, ayu-den a los estudiantes a comprender que masa de un objeto depende, en particular, del material del que está hecho y en general que un objeto pequeño muy denso puede ser más masivo que otro de mayor tamaño. Generalmente se confunden los términos de masa con peso, siendo éstos completamente diferentes. La masa de un cuerpo está relacionada con el “número y clase de partículas”que lo forman. Es una medida de la cantidad de la materia que posee el cuerpo y se mide en kilogramos, gramos, toneladas, libras, onzas etc. Aquí ya podemos observar que lo que gene-ralmente nosotros conocemos como peso de un objeto, es en realidad su masa. El peso de un cuerpo es una “medida de la fuerza” que es causada sobre dicho cuer-po por el campo gravitatorio. Aunque el peso dependerá de la masa del cuerpo,
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no es lo mismo, se mide en Newtons (N) y también en kg-fuerza. Podemos decir entonces que el kilogramo (kg) es una unidad de masa, no de peso. No obstante, los aparatos que solemos usar para “pesar” como las básculas, tienen una escala graduada en Kg y no en kg-fuerza, algo que quizá ha contribuido a la confusión. La costumbre nos ha hecho confundir el concepto de peso, el cuál usamos, sin saberlo muchas veces, como sinónimo de masa. Así, cuando estamos subidos en una bás-cula, solemos decir que nos estamos pesando. No obstante, lo que estamos midien-do en ese momento es nuestra cantidad de masa, que se expresará en kilogramos.
Esta confusión se debe a que el reconocimiento de la diferencia de estas dos pro-piedades físicas es relativamente reciente. Explique esta situación a sus estudiantes empiece con ellos a utilizar los términos de manera correcta. Un ejemplo para dife-renciar masa de peso es analizar que un estudiante tiene la misma masa en la Tierra que en la Luna, pero su peso en la Luna es seis veces menor porque la Tierra y la Luna tienen diferente gravedad. La masa es intrínseca a los cuerpos y no varía, el peso depende del campo gravitacional y es variable dentro del mismo planeta Tierra.
Características de masa Características de peso
1. Es la cantidad de materia que tiene un cuerpo.
2. Es una magnitud escalar.
3. Se mide con la balanza.
4. Su valor es constante, es decir, indepen-diente de la altitud y latitud.
5. Sus unidades de medida son el gramo (g) y el kilogramo (kg).
6. Sufre aceleraciones
1. Es la fuerza que ocasiona la caída de los cuerpos.
2. Es una magnitud vectorial.
3. Se mide con el dinamómetro.
4. Varía según su posición, es decir, depende de la altitud y latitud.
5. Sus unidades de medida en el Sistema Internacional son la dina y el Newton.
6. Produce aceleraciones.
Diferencias entre masa y peso
De manera coloquial se sigue usando el adjetivo “pesado” como contrario a “liviano”, sin embargo, el profesor debe hacer énfasis que se refiere a la cantidad de masa de un objeto y no al peso. Las unidades o medidas son de masa aunque el adjetivo o adverbio sea “pesado”.
Cuando se trabajen las medidas de tiempo, se recomienda utilizar el calendario como referencia de medida de tiempo y como aplicación de la numeración; es una buena oportunidad para revisar las fechas cívicas de nuestro país y vincular constan-temente la matemática con nuestra identidad nacional y transferir los conocimientos a otros quehaceres de la vida.
Para trabajar en las conversiones del metro a sus submúltiplos, es necesario que los estudiantes visualicen y tengan una idea clara de la distancia que representa cada
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una de estas unidades y que puedan reproducirlas de manera aproximada con partes de sus cuerpos. Por ejemplo: que utilicen una cuarta para representar un decímetro y el ancho de su pulgar, con el fin de simbolizar un centímetro; que para el milímetro usen papel milimetrado o una regla graduada. Una vez que los estudiantes tengan una idea clara de la magnitud de cada una de estas unidades, podemos iniciar con la relación entre las mismas. Esta relación, al ser decimal, nos facilitará mucho su com-prensión ya que seguiremos trabajando en un sistema análogo al sistema numérico.
Para pasar del metro a decímetros, multiplicamos por 10; de decímetros a centíme-tros multiplicamos por 10, y de centímetros a milímetros lo volvemos a multiplicar por 10. Obviamente no se recomienda empezar a realizar las conversiones por medio de la multiplicación ya que resulta muy abstracto; al contrario, al inicio de las conver-siones se sugiere hacerlo por medio de la medición, para lo cual las reglas graduadas en decímetros y en centímetros son muy útiles. Los educandos iniciarán las conver-siones a través de ejercicios prácticos. Se les pedirá trazar con la regla un segmento de 2 dm y expresarlo en centímetros. Los estudiantes deducirán que 2 dm = 20 cm. A continuación, trazarán un segmento de 3 dm y lo medirán en cm. Confirmarán que la relación es 3 dm = 30 cm. Por el uso de patrones, podrán deducir que la medida en cm, de una longitud expresada en dm, es 10 veces mayor.
También se sugiere emplear la tabla de conversiones donde cada unidad está ubica-da en una columna, al igual que los dígitos de un número en la tabla de valor posicio-nal, y para pasar de una unidad a otra simplemente se aumentan ceros. Por ejemplo: si se desea transformar 2 m a un submúltiplo, se debe ubicar el 2 en la columna del m y aumentar ceros hasta llegar a la unidad en la cual pretendemos expresar esta medida. Si es que queremos en decímetros, aumentamos un cero (segunda fila de la tabla) y obtendrá que 2 m = 20 dm. Si deseamos expresarlo en cm, aumentamos dos ceros (tercera fila de la tabla) y constatamos que 2m = 200 cm y en mm obtendrá 2 000 (fila 4 de la tabla).
m dm cm mm
2
2 0
2 0 0
2 0 0 0
3 0
Si se requiere cambiar de dm a cm, ubicar la cantidad de decímetros en la columna correspondiente y nuevamente aumentar ceros hasta la unidad nueva; por ejemplo: si quiere expresar 3 dm en cm, ubicar el 3 en la columna de dm y aumentar un cero hasta llegar a la columna de cm y obtendrá que 3 dm = 30 cm (fila 5 de la tabla). Una
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vez que los estudiantes se familiaricen con esta tabla, las conversiones del metro a sus submúltiplos les resultarán muy simples ya que las relacionan, como se explicó anteriormente, a la tabla de valor posicional. Es necesario e importante que una vez que se usa la tabla, se haga la conexión con la multiplicación de un número por 10, 100 y 1 000. Recuerde mencionar al estudiantado también que al expresar una can-tidad en una unidad más pequeña, el número de estas unidades será mayor en la misma relación. Si la unidad a la que se convierte es 10 veces menor que la unidad de partida, la cantidad final será 10 veces mayor que la cantidad de partida. Este es un principio de compensación, el cual se aplica a cualquier conversión y lo analizará otra vez al realizar conversiones en el sistema numérico y en el monetario.
Finalmente, el manejo de esta tabla será de mucha ayuda cuando los estudiantes realicen conversiones desde los submúltiplos del metro a los múltiplos, necesiten usar números decimales y aplicar las divisiones para 10, 100 y 1 000; también al rea-lizar conversiones entre notación decimal y científica. Se puede comenzar con algu-nos problemas de conversión en el sentido inverso, solamente por medio del uso de la tabla, pero es necesario ser cuidadoso al momento de elegir las cantidades para que no aparezcan números decimales. Por ejemplo: pedir que en la misma tabla an-terior conviertan los 2 000 mm a centímetros, a decímetros o a metros, para lo cual deberán ubicarse en la unidad a la que quieren convertir y leer la cantidad expresada.
La evaluación de estas conversiones del metro a sus submúltiplos puede realizarse a través de la observación de ejercicios explícitos de conversión.
De igual manera se puede proceder con el litro y sus submúltiplos y con el gramo y sus submúltiplos.
Otro tema importante en este bloque curricular, es la conversión de valores mone-tarios y el uso de varias combinaciones de monedas y billetes para expresar canti-dades monetarias. Nuevamente en este tema, utilizará la compensación tratada en el punto anterior. Es esencial aclarar al estudiantado que al convertir a una unidad de menor valor, para compensar, la cantidad aumentará en la misma proporción o viceversa. Por ejemplo: si cambia una moneda de 1 dólar en monedas de 10 centavos, como las monedas de 10 centavos valen 10 veces menos que la moneda de 1 dólar, para compensar el valor tendré 10 veces más monedas de 10 centavos. Al trabajar en estas conversiones es recomendable hacerlo de forma concreta, es decir, utilizar monedas didácticas para que realicen físicamente las conversiones y luego de sufi-ciente práctica, puedan hacerlo sin el uso de este material sino de forma abstracta y práctica en transacciones reales. Recuerde, además, que normalmente todas las transacciones monetarias, en la edad de sus estudiantes, se hacen en forma concre-ta; por esta razón es fundamental que los estudiantes estén familiarizados con las monedas, sus valores y sus conversiones.
Otra actividad en la que se aconseja trabajar con los estudiantes es la de simular transacciones monetarias, con el uso de monedas y billetes de juguete, en situacio-nes similares a las que pueden enfrentar a esta edad. Básicamente, la idea es que el estudiantado realice compras y ventas de productos con el uso de dinero y pueda recibir y dar vuelto. Una actividad muy entretenida y didáctica es la de crear una
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tienda de barrio pidiendo a cada estudiante que traigan una cierta cantidad de dul-ces, galletas, golosinas y otros productos no costosos. Cada estudiante le pondrá el precio a cada artículo que aportó para la tienda y además cada uno de los par-ticipantes recibirá una cantidad igual en valor monetario para realizar las compras. Algunos de sus estudiantes, por turnos, serán los dueños de la tienda, otros serán los vendedores y los demás los compradores. Las restricciones en cuanto a la canti-dad de productos que pueden comprar pueden ser establecidas por el docente. Lo importante es pedirles que registren cada una de las transacciones que realizaron, detallando lo que compraron, el precio de cada artículo, cómo lo pagaron, si reci-bieron o no cambio, y cuánto les quedó al final de la compra. Con esta actividad no solo estaremos realizando conversiones y transacciones monetarias, sino que los estudiantes estarán reforzando las operaciones de adición, sustracción y multiplica-ción e indirectamente la de división. Esta es una excelente actividad para evaluar la comprensión del estudiantado de las conversiones monetarias y del correcto manejo del dinero en transacciones comerciales.
Bloque curricular: Estadística y probabilidad
Al iniciar el tratamiento de este bloque es recomendable asociarlo con la clasifica-ción de objetos y, posteriormente, como aplicación de la enumeración o conteo de los mismos usando números hasta el 20. Por ejemplo: representar en pictogramas las mascotas que los estudiantes tienen en sus casas y, a partir de esta representación gráfica, hacer relaciones con los demás bloques.
XXXXX
XXX X
Usando este bloque se puede apoyar a que los niños desarrollen y practiquen valo-res como del orden y de perseverancia para realizar sus trabajos y representaciones gráficas, en la escuela o en casa, con pulcritud y orden, fomentando la atención, dedicación rigurosidad y el gusto por aprender.
Es necesario que los estudiantes comprendan que la estadística, entre otras cosas, busca maneras de representar y de registrar todo tipo de información; por lo tanto,
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es importante que el docente se provea de una gran variedad de recursos para tra-bajar en este tema. Por ejemplo, si la zona donde se encuentra su establecimiento educativo cuenta con sitios de interés patrimonial o histórico, úselos para tratar la estadística y realizar comparaciones entre dichos lugares o edificaciones. Los in-gredientes de los platos típicos, las plantas, animales, fiestas patronales o cualquier otro recurso de su región son elementos que se pueden representar en pictogra-mas y entablar discusiones basadas en la información obtenida.
Las combinaciones, es uno de los temas que el docente tratará en este bloque, las mismas que se pueden realizar con diferentes alternativas que el entorno pro-porciona. Las prendas de vestir son una buena fuente y están muy conectadas a sus necesidades diarias. Por ejemplo: Jacinto tiene una fiesta y quiere usar su ropa preferida,asíquesacadesuarmariodospantalonesydoscamisas.¿Cuántascom-binaciones diferentes se pueden formar con estas prendas de vestir?
Las combinaciones que los educandos realicen dependerán de la curiosidad y la capacidad de manipulación de los elementos que se quieran usar en este subnivel, todo dependerá del problema que se les plantee.
Este procedimiento es recomendable hacerlo hasta combinaciones de 3 por 3. Una vez que los educandos comprendan las operaciones que podemos realizar para la resolución de estas combinaciones, el uso de los diagramas irá disminuyendo. Para que los ejercicios no sean muy repetitivos ni mecánicos, es importante que el docente incluya restricciones a las combinaciones, lo cual obligará a sus estu-diantes reflexionar un poco más al momento de buscar las soluciones en lugar de simplemente realizar operaciones mecánicamente. Una restricción puede ser, por ejemplo, que si tenemos 3 pantalones, 2 camisas y 3 pares de zapatos, no podemos en la misma semana, de lunes a viernes, repetir más de una vez un par de zapatos.
Para este tipo de actividades, el docente puede formar grupos y después socializar entre ellos las respuestas obtenidas. Recuerde que el trabajo en grupo y la verbali-zación de los procesos ayudan a una mayor comprensión de la Matemática.
Al momento de evaluar este conocimiento es necesario que el docente motive a sus estudiantes para que no solo den la respuesta, sino que además argumenten la misma apoyándose en representaciones gráficas.
3.1.2. Orientaciones para el subnivel Medio
Bloque curricular: Álgebra y funciones
Identificar patrones promueve el desarrollo del pensamiento lógico, es por esta ra-zón que deben estar presentes a lo largo de toda la EGB. Esta identificación puede enfocarse en una o más de las siguientes características: reconocer el tipo de regu-laridades que se presentan; describir la tendencia del patrón (patrones crecientes o decrecientes) en qué cantidades varía; qué procedimiento se debe realizar para continuar el patrón, reproducirlo, extenderlo o predecir valores.
Este tema ya ha sido trabajado en el subnivel anterior, pero con un diferente nivel
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de complejidad, es por esto que conviene iniciar con sus estudiantes un diálogo sobre¿quéesunpatrón?,¿dóndepodemosencontrarpatrones?yquelosejempli-fiquen utilizando objetos, lugares o números.
Es importante guiar al estudiantado para que, dentro de un patrón propuesto por ellos o por el profesorado, identifiquen los números que faltan, describan, extiendan y puedan analizar sus tendencias. Tenga en cuenta los siguientes criterios para eva-luar el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño relacionadas a este concimiento:
• Formula y resuelve patrones numéricos.
• Conoce las relaciones matemáticas en una secuencia numérica, es decir, las can-tidades y las operaciones que generan el patrón. Por ejemplo, si la secuencia propuesta es 3, 6, 9,12,..., los escolares pueden reconocer que el patrón se genera al sumar tres al último valor.
• Enuncia la regla de la relación; continuando con el ejemplo anterior, la regla para encontrar el siguiente valor del patrón se enunciaría como “el último número más tres”.
• Aplica correctamente la regla al momento de extender un patrón.
Cuando haya constatado que sus estudiantes puedan realizar el proceso anterior con los patrones ascendentes, inicie con patrones de resta y, posteriormente, inclu-ya la división; para ello usted puede seguir este proceso:
• Determinar si el orden de los números es ascendente o descendente.
• Encontrar la diferencia entre los números del patrón.
• Emplear la diferencia entre los números para averiguar el que falta.
• Plantear problemas similares, por ejemplo, si se cuenta en forma decreciente de 3en3apartirde37,¿cuálseráelúltimonúmeroenunciadoantesdellegaracero?
Recuerde que el objetivo final es lograr que los educandos construyan patrones numéricos descendentes a través de la resta y luego de la división; pero antes de iniciar con este proceso, trabaje en patrones ascendentes con la aplicación de la suma y de la multiplicación.
Solicíteles que trabajen en grupos para encontrar los patrones propuestos por us-ted o por algún miembro del grupo. Esta es una buena oportunidad para evaluar su avance, por medio de una ficha de observación o de control.
Una vez que los alumnos conocen los patrones numéricos, pueden continuar el tra-bajo con sucesiones generadas a partir de sumas y restas y luego sucesiones con multiplicaciones y divisiones. Se pueden plantar ejercicios como los siguientes para
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determinar el número que falta en la sucesión:
1, 4, 7, 10, … (con sumas, el patrón es sumar 3);
50, 43,…,29, 22 (con restas, el patrón es restar 7);
3, 6, 12, 24, …. ( con multiplicación, el patrón es multiplicar por 2)
200, 100, …., 25 (con división, el patrón es dividir para 2)
Los alumnos deben explicar cómo obtener el término faltante de la sucesión.
Además de desarrollar las destrezas pertinentes a este tema, los alumnos desarro-llan destrezas de cálculo con números naturales, decimales y fracciones.
En este subnivel se afianza el proceso de la multiplicación y de la división, además de estudiar con profundidad las fracciones y de iniciar con los números decimales. A continuación, se presentan algunas sugerencias metodológicas para abordar es-tos temas.
En el proceso de afianzamiento de la multiplicación se debe trabajar en la reso-lución de ejercicios rutinarios y problemas cotidianos de multiplicación de cuatro cifras en el multiplicando por tres cifras en el multiplicador. Cuando el estudiantado domine este proceso, estará en la capacidad de resolver ejercicios y problemas que contengan números superiores a cuatro cifras.
El conocimiento de la multiplicación de números naturales servirá de base para fa-cilitar el aprendizaje de la multiplicación con números decimales, que es uno de los objetivos finales de enseñanza de este subnivel.
El proceso de división se inició en el subnivel Elemental con el reconocimiento de la división como una operación inversa a la multiplicación, incluso como la repartición en grupos exactos. Hay que tomar en consideración que la división es compleja, exige varios años de estudio y de muchos conceptos para llegar a entender el al-goritmo y utilizarlo en la resolución de distintos tipos de problemas. Este conoci-miento permite trabajar en la división como reparto equitativo de cantidades y en la obtención de divisores de un número natural, por lo que es necesario poner mucha atención al momento de abordar este tema. Podemos iniciar planteando un proble-ma como: Un carpintero debe cortar una varilla de madera de 37 cm en trozos de 6 cm,¿cuántostrozospodrácortarycuántolesobrará?
Los estudiantes pueden proponer diferentes estrategias para la resolución de este problema, las que pueden incluir restas sucesivas, representaciones gráficas, la apli-cación de la multiplicación, sumas sucesivas, o el algoritmo de la división, entre otras. Lo importante es generar diversas estrategias, las cuales pueden ser presen-tadas por los variados grupos y analizadas con toda la clase. Este proceso de com-partir y de analizar las distintas estrategias desarrolla el concepto tratado y facilita a los estudiantes identificar que existen diferentes formas de resolver un mismo problema y que algunas de ellas pueden ser más eficientes que las que ellos usan.
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También, al entender los procesos usados por sus compañeros de aula, los esco-lares revisan las operaciones que conocen y desarrollan nuevas estrategias para la resolución de problemas.
Se debe promover el análisis de cada respuesta además de trabajar en el algoritmo en forma escrita. Trabaje en el cálculo oral y la estimación; tenga en cuenta “que la estimación puede y debe ser usada junto con los procedimientos con los que se produce la respuesta, de modo de anticipar, controlar y juzgar la razonabilidad de los resultados”.
El proceso de estimación es clave al momento de trabajar en operaciones y, en particular, con la división, ya que el algoritmo se presta a muchos errores y el tener una idea anticipada del orden de tamaño del resultado ayuda a evitarlos. El proce-so de la división debe ser estudiado durante todo el año, variando su complejidad desde divisiones de una cifra, divisiones exactas, divisiones con residuo, divisiones de dos cifras exactas, con residuo, en cálculos escritos, orales y en la solución de problemas.
En párrafos anteriores habíamos enunciado que la división debe ser trabajada para abordar las fracciones. Al principio, es importante que las divisiones sean exactas y que se identifique al cociente como el número de partes iguales en las cuales se ha dividido este entero. Este valor se conoce como el denominador. Más adelante se pueden usar problemas en los cuales luego de realizar el reparto equitativo quede un residuo, el que se puede repartir a su vez con el uso de las fracciones. A conti-nuación, le presentamos una sugerencia para abordar este tema:
Juan tiene cinco barras de melcocha y desea compartirlas todas, de manera equi-tativa, conRaquel. ¿Cuántasbarrasdemelcocha recibecadauno?Esnecesarioser muy específico con el uso del lenguaje, pues de no hacerlo se puede prestar a confusiones y las opciones de resultado serán muy variadas.
Permita que trabajen en grupos para resolver este problema. Posiblemente la difi-cultad puede radicar en la expresión numérica de la fracción. Con los estudiantes que tengan complicación para resolver el problema, trabaje con material concreto que sea fácilmente fraccionable como una hoja de papel, cartulina, melcocha, cho-colate u otro.
Poco a poco se irá trabajando en la forma de expresar las fracciones, a medida que experimenten otras situaciones de reparto equitativo. Las partes en las cuales se haga el reparto también variarán y lo recomendable es hacerlo en el siguiente orden: primero en mitades, luego en cuartos y en octavos, para finalmente pasar a tercios y sextos. Este procedimiento debe realizárselo desde la resolución de pro-blemas y motívelos a que comparen los resultados de los repartos equitativos. El uso de gráficos facilita la visualización de los repartos y de las fracciones, las ho-jas cuadriculadas combinadas con los arreglos rectangulares son un buen material concreto para este contenido. Enseguida se presentan diferentes arreglos rectan-gulares en los cuales se pueden trabajar los conceptos de fraccionar un entero en dos, en cuatro, en ocho y en dieciséis partes iguales.
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Luego de realizar varios ejercicios, plantee nuevos problemas del mismo tipo y evalúe el progreso de los estudiantes tomando en consideración si son capaces de anticipar resultados, ya sea utilizando material concreto o de forma abstracta; si escriben la división y fracción correspondiente; si entienden que al representar una cantidad como fracción las partes en las cuales el entero está dividido son todas iguales. Después de asimilar este contenido en diversos tipos de fracciones, tanto en su lectura como en su escritura, trabaje en relaciones de orden y de equivalencia a través de problemas y de representaciones gráficas. Las representaciones de las fracciones pueden ser hechas a partir de figuras geométricas conocidas como el cuadrado.Sisedivideunmismocuadradoenmedios,cuartosyoctavos,¿cuántoscuartoscubrenunmediodelentero?,¿cuántosoctavoscubrenunmediodelente-ro?y¿cuántosoctavoscubrenuncuartodelentero?
Las respuestas a las preguntas anteriores serán, respectivamente, 2, 4 y 2. Con es-tas respuestas, los escolares deben realizar relaciones de igualdad entre los medios y los cuartos, los medios y los octavos, los cuartos y los octavos. Más que la simple relación de igualdad, es importante que encuentren los patrones que se generan en estas igualdades, y que puedan establecer la relación que existe entre el numerador y el denominador de estas fracciones y así poder extenderlo a otros denominadores.
Después de trabajar con estas cantidades, plantee el mismo proceso pero esta vez entre tercios y sextos, tercios y novenos; quintos y décimos, etcétera.
Es recomendable que al tratar el tema de los números decimales, se realice con unidades de medida, las que pueden ser de longitud, peso, volumen o monetarias, siempre aquella que le resulte más fácil y accesible. Por ejemplo, es posible repre-sentar en el piso un metro, un decímetro y un centímetro. El milímetro, al ser tan pequeño. Lo verificaremos solamente en papel milimetrado o en las reglas previa-mente graduadas. Es necesario iniciar con un repaso de las relaciones y equivalen-cias entre estas unidades de medida; revisar y reflexionar sobre la división sucesiva por 10. Además, en este punto podemos relacionar estas unidades de medida con la fracción que representan dentro de otra unidad, es decir, en un metro cuántos decímetros caben, o qué fracción de un metro representa un decímetro. Podemos
1
2
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
1
1 : 2 = Esto es: 1 : 4 = 1 : 8 =
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hacer una representación gráfica en el piso y constatar que un decímetro es la dé-cima parte de un metro.
En vista de que el metro está dividido en 10 partes iguales, cada una de ellas se denomina décimo. Después de señalar varios décimos, podemos representarlos en otras formas, por ejemplo:
Cuando sus estudiantes comprendan bien la representación de los décimos, vamos a representar los centésimos.
El mismo procedimiento será usado para el milésimo. Después de haber trabajado en la lectura de estas fracciones, es necesario iniciar con la escritura y la relación entre las fracciones y los números decimales. Al igual que el planteamiento inicial para las fracciones, pídales que dividan 5 melcochas entre dos personas, y que representen el resultado numérico con el uso de decimales. Posiblemente esto producirá un con-flicto cognitivo, pues es un requerimiento nuevo a un proceso ya conocido por ellos y esto proporcionará La oportunidad de analizar la importancia del tema a tratar.
En el gráfico que se muestra a continuación están representados 5/10 en fracciones decimales y se les enseña otra forma de expresarla con los números decimales:
1 dm
1 m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
4
10cuatro décimos
218 M
Después de leer y escribir números decimales con décimos, centésimos y milési-mos, es aconsejable trabajar en la ubicación de estos valores en la tabla posicional. Se puede ayudar con el material de base diez. Esto solo será el inicio para abordar estos números, pero es esencial que sus estudiantes reconozcan la importancia de estos números en situaciones cotidianas, en especial las relacionadas con tran-sacciones monetarias, y alentarlos a buscar información en la que involucren los números decimales en sus lecturas, en noticias, en relatos y en sus experiencias. Nuevamente, este trabajo se puede realizar en forma grupal o individual, y, a partir de la información que recolecten, es posible trabajar en ejercicios de lectura, escri-tura, ordenamiento y ubicación de los números decimales.
Además de la ejercitación en patrones decrecientes de resta y división, se puede también trabajar con patrones numéricos basados en la estructura del sistema de-cimal. Esta aplicación es de utilidad en el proceso de suma, cálculo mental, compo-sición y descomposiciones aditivas de decimales. De igual manera, se recomienda trabajar en el bloque de estadística y probabilidades con números decimales.
El estudiantado, en su evaluación, podrá interpretar y expresar información con números decimales, además de resolver problemas que impliquen suma, resta y multiplicación de decimales.
Una vez que los alumnos conocen los números naturales, fracciones y decimales y saben operar con ellos, se deben resolver ejercicios numéricos y problemas en los que los alumnos apliquen operaciones combinadas (adición, sustracción, multipli-cación y división) con estos números cómo por ejemplo problemas con porcentajes y problemas con proporcionalidad directa o inversa.
Bloque curricular: Geometría y medida
En este bloque curricular, uno de los primeros temas a tratarse es la posición re-lativa de rectas, las tres posibilidades que se estudian en este subnivel son rectas secantes, rectas paralelas y rectas perpendiculares. La mejor manera de introducir estos conceptos es de forma gráfica, ya que logra la visualización de estos con-ceptos. Es fundamental explicar que dos rectas son secantes cuando se intersecan independientemente del ángulo con el cual lo hacen. En el gráfico que se presenta a
5
10Fracción decimal = ; número decimal = 0,5 se leen: cinco décimos
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continuación se pueden ver diferentes grupos de rectas secantes, que se intersecan formando diferentes ángulos:
Para las rectas paralelas y perpendiculares, se trabaja de la misma manera, es de-cir, se parte de un gráfico y se explica, a partir de él, las características particulares de cada caso. A continuación, se muestran un par de rectas paralelas y un par de rectas perpendiculares. Recuerde que dos rectas son paralelas solamente si és-tas nunca se intersecan. Más adelante los estudiantes aprenderán que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, pero en este subnivel es suficiente con que entiendan que se llaman rectas paralelas a aquellas rectas que nunca se intersecan. Las rectas perpendiculares, en cambio, sí se intersecan entre sí, pero formando un ángulo recto.
Posteriormente, al finalizar la Educación General Básica, este tema será retomado e integrado con el bloque de algebra y funciones, en especial, en la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Otro tema relevante que se trabaja en este bloque es el de reconocer y diferenciar paralelogramos y trapecios al igual que sus características principales. De nuevo se inicia con un dibujo de un paralelogramo y un trapecio (mejor si no es un trapecio isósceles) y se les pide que encuentren características en cada uno de ellos, al igual que similitudes y diferencias. Al hacerlo, los estudiantes establecen las propiedades de cada una de las figuras y, a partir de ello, se puede construir la definición. Al par-ticipar de modo activo en esta definición, el estudiantado tiene una mejor compren-sión de las similitudes y diferencias entre estas dos figuras geométricas. Entre las
Rectas paralelas Rectas perpendiculares
220 M
características más comunes que seguramente se proponen se encuentran: las dos figuras tienen cuatro lados y cuatro ángulos; por lo tanto, las dos son cuadriláteros.
Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos, mientras que el trapecio solamente tiene un par de lados opuestos paralelos. Los lados opuestos de los paralelogramos miden lo mismo, no así los de los trapecios. Con estas simples de-ducciones, el educando estará en capacidad de definir con sus propias palabras las figuras geométricas. Estas definiciones pueden ser similares a las siguientes:
Paralelogramo: es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y de igual longitud.
Trapecio: es un cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos.
Si se quiere profundizar más en las características y propiedades de estas dos fi-guras, se puede trabajar con las longitudes de las diagonales y con las medidas de los ángulos, que aunque aún no lo han aprendido, pueden compararlos por simple medición con una plantilla.
Una manera de evaluar si los estudiantes entienden estas características, es pre-sentarles varios paralelogramos y trapecios, en diferentes posiciones en el plano, y pedir que los identifiquen.
En este subnivel se utiliza el concepto de perímetro en la resolución de problemas y, por consiguiente, deben calcular el perímetro de triángulos, paralelogramos y de trapecios. Recuerde darles las medidas de todos los segmentos diagonales, ya que no tienen todavía las herramientas necesarias para poder calcularlas. En otras figuras, en cambio, utilizando la información proporcionada pueden deducir los va-lores faltantes para cumplir con el objetivo, como se grafica en los dos diagramas a continuación:
Paralelogramo Trapecio
8 cm
11 cm
9 cm 4 cm
3 cm5 cm
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Una gran ayuda para la comprensión de los conceptos de geometría es la repre-sentación gráfica de las figuras; por lo tanto, use esta estrategia siempre que esté trabajando en este bloque. El doblado de papel es otra estrategia para trabajar la geometría y en especial para el reconocimiento de los tipos de triángulo.
En este subnivel, otro de los temas críticos a ser tratado es el de obtener el área de triángulos. Para abordar este tema, compruebe previamente si los estudiantes reconocen los elementos de un triángulo, específicamente las bases y las alturas. Para ello se puede ayudar de diferente tipo de material concreto como el tangrama, el plegado de hojas de papel, el geoplano, entre otros.
Procure trabajar con todos los tipos de triángulos para el reconocimiento de las alturas y preséntelos en diferentes posiciones.
Antes de abordar la fórmula del cálculo del área de un triángulo, plantee la resolu-ción de problemas que conduzcan a los estudiantes a deducir dicha fórmula, ya que así una vez expuesta la podrán entender y aplicar con razonamiento, y no solamen-te de manera repetitiva y sin sentido. Por ejemplo, se puede iniciar con el problema de determinar el área de uno de los triángulos representados dentro del siguiente cuadrado de 5 cm de lado:
Equilátero
3 lados y 3 ángulos iguales
Isóceles
2 lados y 2 ángulos iguales
Rectángulo
1 ángulo recto
Escaleno
3 lados y 3 ángulos dife-
rentes
5 cm
5 cm
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Deje que sus escolares exploren las alternativas de solución a este problema.
Con ejercicios similares al expuesto, estaremos trabajando en la deducción de la fórmula para el cálculo del área de cualquier triángulo.
Otra forma de trabajo es plantear una figura similar a la siguiente:
Proporcione diferentes medidas para cada segmento, y permita que diseñen y dis-cutan las estrategias para resolver el problema, en el cual deberán determinar el área de cada uno de los triángulos que aparecen en la figura. Se les puede guiar por medio de estas preguntas:
• ¿Quédatossonlosqueayudanacalcularelárea?
• ¿Reconocenquétiposdetriángulosseencuentranpresentesenestafigura?
• ¿Soncapacesdecalculareláreadelostriángulosrectángulos?
• ¿Esteprocedimientoseaplicaparacualquiertriángulo?
• ¿Aplicaronesteprocedimientoendiferentestiposdetriángulos?
• ¿Cuálessuconclusióngeneralparaelcálculodeláreadetriángulos?
Luego, se les puede solicitar que indaguen sobre el cálculo del área de triángulos y que expliquen, aplicando lo investigado, por qué el área de los tres siguientes triángulos es la misma.
Al momento de evaluar, recuerde proponer ejercicios y problemas de aplicación en los cuales se evidencie un razonamiento para la determinación del área de un trián-gulo y no solo la aplicación pura y simple de una fórmula aprendida de memoria.
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MATEMÁTICA
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Por otra parte, para determinar las áreas de polígonos, lo más común dividir los polígonos en triángulos, calcular el área de cada triángulo y sumarlas para obtener el área total del polígono; permita que sean los estudiantes los que determinen este proceso; para ello es necesario plantear un problema y actividades que conduzcan a los estudiantes a utilizar la estrategias de descomposición de un polígono en triángulos.
Antes de trabajar con esta estrategia, es necesario saber si los estudiantes conocen cómo calcular el área de un triángulo y si pueden dividir un polígono en figuras cuya área sea fácil de calcular; para ello es posible utilizar el “geoplano” o un “tangrama”.
Inicie el proceso de evaluación con ejercicios de aplicación de polígonos de hasta cuatro lados y luego con polígonos de más lados. Posteriormente, presente dife-rentes problemas de polígonos y solicite que los resuelvan. Recuerde que antes de dar un problema, usted debe evaluar el nivel de complejidad y determinar si el problema está acorde con lo que sus estudiantes conocen y si serán capaces de resolverlos.
El cálculo del área de un círculo resulta de la aplicación directa de la fórmula, lo que no genera mucha reflexión. Para que sus estudiantes se enfrenten con diferentes situaciones en las cuales requieran aplicar la fórmula del área de un círculo y utilizar su razonamiento, se sugiere que resuelvan problemas de la más variada índole, es-pecialmente aquellos en los que tenemos círculos inscritos dentro de otros círculos o de otras figuras geométricas. Un ejemplo muy sencillo de estos problemas es el siguiente: a una fotografía circular de diámetro 15 cm se le coloca un marco circular de 5 cm de ancho, sin que el marco se sobreponga a la fotografía. Calcular el área del marco circular. Como se puede ver, en este problema se va a aplicar la fórmula del área de un círculo varias veces, pero además, para hacerlo, el estudiantado deberá determinar los radios de los círculos, sus áreas y encontrar la diferencia entre las dos.
En relación a las unidades de medida, en este subnivel se utilizará con mayor fre-cuencia las conversiones simples de medidas de longitud dentro del sistema de-cimal, ya que nos permite revisar conceptos como la división para 10,100 y 1 000, además de los números decimales.
Para la introducción al estudio del metro cuadrado, se puede iniciar desde una aplicación concreta, en la cual los estudiantes lo visualicen y lo relacionen con una medida de superficie. Se puede fabricar una plantilla de 1 m2 y utilizarla para medir diferentes áreas. A través de estos y de otros ejemplos, aplicar lo estudiado res-pecto a números decimales y a fracciones, con lo que estaremos realizando una integración de los bloques. Para el metro cúbico, es más visual hacerlo por medio de gráficos o con cubos que se apilen.
Para la medición de ángulos se puede iniciar el trabajo con plantillas que midan los ángulos en múltiplos de 10 grados. Es importante que el estudiantado fabrique, bajo su dirección y control, estas plantillas, ya que en el proceso desarrollarán varias habilidades y comprenderán el concepto de medida de un ángulo. Con la plantilla de 90 grados se puede reconocer en objetos del entorno, ángulos rectos, agudos
224 M
y obtusos. Otro conocimiento a tratar en este bloque es la conversión de medidas decimales de ángulos a grados y minutos; para ello podemos iniciar nuestra clase preguntando en qué situaciones de la vida cotidiana se requiere medir ángulos y si conocen alguna de las maneras de hacerlo; este es un buen momento para intro-ducir el graduador como instrumento de medida de ángulos y construir con ellos un goniómetro que cumple la misma función. Es necesario discutir acerca de la unidad utilizada para medir los ángulos y explicar de dónde proviene esta unidad. Invite a sus estudiantes a indagar sobre este tema, recuerde que hasta el momento sus estudiantes saben que un ángulo recto mide 90°, pero desconocen qué es un grado y de dónde se origina esta unidad. Ellos deberán familiarizarse con el sistema sexagesimal que consiste en “el conjunto de unidades y normas para medir ángulos y tiempos y lleva este nombre porque 60 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior.”
Al instante de medir o dibujar ángulos con el graduador o con el goniómetro, ex-presamos su medida en grados, pero para medir con mayor precisión, debemos utilizar medidas menores que el grado, que en este caso son el minuto y el segundo. Los estudiantes deben conocer que un minuto se escribe 1’ y que un segundo se escribe 1”. Practique con ellos las relaciones de conversión entre estas unidades, las cuales están graficadas a continuación.
Después de esta explicación, podemos continuar con pequeñas conversiones como las que se muestran:
Al completar esta tabla, enfatice en los criterios de compensación estudiados con diferentes unidades de medida, tales como qué pasa con la cantidad si la unidad de medida disminuye, o viceversa. Estas reflexiones ayudarán a los estudiantes a conectar las conversiones con la operación correcta, es decir, si estamos pasando a una menor unidad, la cantidad aumentará. Por lo tanto, deberemos realizar una multiplicación por el factor de conversión; al contrario, si la unidad en la que vamos
x 60 : 60x 60 :60
x 3600 : 3600
grado minuto segundo grado minuto segundo
Grados Minutos Segundos
20
25º y 13’ 0
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a expresar una cantidad es mayor, tendremos que dividir por el factor de conversión.
Después de realizar varios ejercicios de conversión de grados a minutos y a se-gundos, es conveniente hacerlo en forma inversa. Al momento de trabajar en estas destrezas, es imprescindible evaluar si los educandos dominan el proceso de mul-tiplicación y división, además si entienden los factores de conversión en el sistema sexagesimal. Recuerde trabajar también en estimaciones de estas conversiones.
Además trabajaremos en las conversiones de unidades de medidas de área y de unidades de medidas de volumen, para lo cual se recomienda lo siguiente: para las unidades de área podemos trabajar con cuadrados de 1 cm de lado y de 10 cm o 1 dm de lado. Los cuadrados pequeños tienen un área de 1 cm2 mientras que los otros tienen un área de 1 dm2. A continuación, pedir a los estudiantes que estimen cuántos cuadrados pequeños necesitan para cubrir el cuadrado grande. Después, solicíteles que cubran la primera fila del cuadrado grande y que cuenten cuántos cuadrados pequeños calzan ahí. A partir de esta primera fila, se puede determinar la cantidad de cuadros pequeños que se necesitan para cubrir el cuadrado grande. Luego, es importante recordar la relación entre el cm y el dm y, a partir de ésta, deducir la relación entre el cm2 y el dm2. Como se constata en este pequeño ejer-cicio, al hablar de unidades cuadradas La relación de las unidades lineales se eleva al cuadrado.
1 dm = 10 cm Podemos elevar ambos lados al cuadrado y obtendremos lo siguiente:
(1 dm)2 = (10 cm)2 y al expandir esta igualdad tendremos los siguientes valores: 1 dm2 = 100 cm2.
Con la misma lógica podrán establecer la relación entre cualquiera de las dos uni-dades de área, como por ejemplo entre m2 y mm2. Sabemos que 1 m = 1 000 mm, y al elevar al cuadrado los dos lados de esta igualdad obtendremos que 1 m2 = 10 000 mm2 = 1 000 000 mm2. Si sus estudiantes tienen dificultad de entender esta relación, se puede utilizar la tabla de conversiones de unidades cuadradas especi-ficada a continuación:
Para la conversión de unidades de volumen procedemos de la misma manera, pero ahora en tres dimensiones, es decir, cada factor de conversión entre unidades li-neales será elevado al cubo para obtener la relación entre las mismas unidades de volumen. También se puede utilizar una tabla de conversión para las unidades de área, pero en este caso cada unidad tendrá tres columnas en lugar de dos.
Bloque curricular: Estadística y Probabilidad
Los conocimientos de estadística son muy necesarios en la vida cotidiana de los
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
226 M
estudiantes. La mayoría de la información sobre los más variados temas, desde mú-sica hasta eventos políticos, tiene como base datos estadísticos y el estudiantado debe tener la capacidad de interpretarlos, entenderlos y aplicarlos. En este subnivel se enfrentarán a la construcción e interpretación de diagramas de barras con datos de su entorno y de su interés. Al trabajar en este contenido, es imprescindible que los estudiantes realicen el levantamiento de los datos, es decir, elaboren una peque-ña encuesta de algún tema que despierte su curiosidad; luego procedan a organizar esta información y, finalmente, representarla usando diagramas de barras. Explí-queles que va a ser más fácil, para cumplir con su tarea, si solo realizan preguntas cerradas en su encuesta y que debería tener alrededor de cinco opciones diferentes de respuestas. Un ejemplo para aplicarlo en este caso puede ser:
¿Quéesloquemástegustahacerenelfindesemana?
a. Practicar un deporte.
b. Ver televisión o jugar videojuegos.
c. Salir de paseo.
d. Ir a visitar a algún amigo.
e. Ir al cine.
f. Otro (especifique).
Una vez que entreviste a todos en su clase, podrá organizar la información en una tabla y luego representarla usando un diagrama de barras. Supongamos que en la clase hay 38 estudiantes y las respuestas para cada opción fueron las siguientes:
a) 8 b) 10 c)11 d) 3 e) 5 f) 1
Con estos datos obtenemos el siguiente diagrama de barras:
12
10
8
6
4
2
0
Preferencias de fin de semana
Pra
ctic
ar u
n d
epo
rte.
Ver
tel
evis
ón
o ju
gar
vi
deo
jueg
os
.
Salir
de
pas
eo.
Ir a
vis
itar
al
gún
am
igo.
Ir a
l cin
e.
Otr
o.
Núm
ero
de
estu
dia
ntes
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Con el uso de este diagrama se puede pedir al estudiantado que realice los siguien-tes cálculos:
• ¿Cuántosestudiantesrespondieronalaencuesta?
• ¿Cuáleslacategoríaquepresentaelmayornúmeroderespuestas?
• ¿Cuáleslaquepresentaelmenornúmeroderespuestas?
• ¿CuáleselrangodelasfrecuenciasdeLasrespuestas?
En una serie de datos, el rango no es más que la diferencia entre la menor frecuen-cia y la mayor frecuencia; por lo tanto, en nuestro ejemplo, el rango es de 10.
Dependiendo del tipo de datos que se maneje, el rango puede calcularse tanto para las frecuencias como para las categorías. En este caso particular únicamente pue-de calcularse el rango de las respuestas, no así de las categorías. Sin embargo, si un alumno pregunta sobre las edades de los padres de familia de sus compañeros, podrá determinar tanto el rango de las frecuencias como el rango de las edades.
Otra conocimiento para trabajar con el estudiantado en este bloque es la realiza-ción de combinaciones de hasta tres por cuatro elementos. Se aconseja hacerlo con ejemplos de la vida cotidiana, en los que los estudiantes estarán aplicando los conocimientos revisados en el aula. Se puede empezar con combinaciones muy simples cuyas soluciones sean la multiplicación de las diferentes opciones, como porejemplo,sitengo3pantalonesy4camisas,¿cuántascombinacionesdiferentespuedo hacer? Se recomienda pasar a realizar combinaciones más complejas en las cualessepuedanincluirrepeticiones,enestecasoconlosdígitos1,2y3,¿cuántosnúmeros diferentes de 3 dígitos puedo hacer? Aquí el problema es más complejo que el anterior, ya que con los pantalones y las camisas no hay opción a repetición, mientras que en los números pueden repetirse los dígitos. Este es un ejemplo que se sugiere trabajar en grupos; luego juntar a toda la clase para encontrar la solución a este problema, y analizar las diferentes estrategias utilizadas por los estudiantes.
Es importante que los estudiantes tengan un mayor contacto con la estadística y la vida cotidiana. Impúlselos a investigar sobre las diferentes formas de recopilar y representar datos estadísticos aunque aún no conozcan varios de los gráficos que pueden encontrar en sus indagaciones. Este proceso les permitirá tener un acerca-miento con estos gráficos y, a partir de esto, se puede iniciar una discusión acerca de los diferentes elementos que los componen y de sus nombres.
Es importante que se recopile, se analice información y se comparen datos de dia-gramas de barras y circulares, además de calcular La media, mediana y moda de un conjunto de datos discretos. Los diagramas circulares son una buena oportunidad para aplicar los porcentajes y se pueden combinar también con el cálculo de áreas de sectores circulares. Al hacerlo, se debe procurar utilizar valores que representen fracciones exactas de un círculo como 1/4, 1/2, 1/3 y otros, con lo que facilitará la representación en el diagrama circular.
Es necesario igualmente explicar la diferencia entre datos discretos y continuos.
228 M
Por ejemplo, solicitar a los educandos que trabajen en grupos y recolecten dos tipos de información: 1) las alturas de las niñas y de los niños de un determinado paralelo; 2) el número de niñas y niños del mismo paralelo; estos datos deberán ser representados en forma gráfica. Esta es una buena oportunidad para aprovechar las ventajas de la tecnología y trabajar con hojas de cálculo para la representación de estos datos. En el caso de las alturas, se puede obtener cualquier valor decimal entre dos enteros, mientras que para el número de niños y niñas solamente se ob-tendrán valores enteros, ya que no tiene sentido hablar en forma concreta de 2,5 personas. Es oportuno que los estudiantes puedan diferenciar el tipo de valores, y deben entender que en algunos casos tendremos valores decimales y enteros, mientras que en otros solamente obtendremos números naturales. Analizar en for-ma conjunta ciertos ejemplos en los que los valores pueden ser continuos y otros en los cuales los valores solo pueden ser discretos. Los escolares deben llegar a de-terminar que los datos continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango, a diferencia de los discretos en los que solo tendremos ciertos valores, los enteros.
3.1.3. Orientaciones para el subnivel Superior
La Matemática en este subnivel puede ser aplicada a la resolución de problemas cotidianos y, a partir de ellos, desarrollar en el estudiantado un pensamiento lógico y ordenado. En esta resolución de problemas es muy importante que los estudian-tes utilicen las reglas, teoremas y propiedades de los números para justificar sus procesos. Este nivel completa el estudio del conjunto de los números reales con el manejo de los números racionales como de los irracionales. En este subnivel, se trabaja la totalidad de los polinomios, desde su concepto, pasando por sus opera-ciones y simplificaciones hasta llegar a sus aplicaciones.
• Al realizar las actividades educativas en el salón de clase, es necesario que estas estén directamente relacionadas con los intereses de sus estudiantes y su en-torno. Mientras mayores conexiones encuentren entre las actividades de la clase y su realidad geográfica, climática, social y otras, más motivados estarán para aprender ya que verán plasmado su esfuerzo en realizaciones inmediatas en sus vidas y el aprendizaje se verá sólidamente favorecido.
• Recuerde que es necesario, dentro de un mismo tema, ir de forma ascendente en cuanto a la dificultad de las tareas asignadas. Es siempre necesario y motiva-dor para los jóvenes empezar por problemas que se pueden resolver y, poco a poco, incrementar el grado de dificultad hasta el punto donde los problemas se vuelven un desafío para ellos y, con un poco de compromiso y dedicación de su parte, los resolverán. Si no se incrementa el grado de dificultad de los problemas en forma progresiva, solamente se logrará frustrarlos y perderán el interés por la asignatura.
• El entorno de su establecimiento le ofrece un sinnúmero de oportunidades y de materiales para trabajar en la resolución de problemas, y la creatividad de los educadores es fundamental para poder encontrar estas aplicaciones.
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• Es importante también acordarse que los problemas propuestos no deben ser solamente aquellos en los que se aplique una regla de manera mecánica. La repetición en el aprendizaje de las matemáticas es esencial, pero lo es más aún el acrecentar en el estudiantado un pensamiento crítico y reflexivo, y los proble-mas que demandan esfuerzo de parte de ellos son una buena fuente para lograr desarrollar estas destrezas.
• En este nivel de estudios probablemente el uso de calculadoras sea más frecuen-te; por lo tanto, es considerable pasar a la aplicación de los resultados obtenidos y no al cálculo en sí de los mismos. El resultado es importante, pero el proceso seguido para llegar al mismo y sus justificativos lo son más. Es mejor corregir en sus estudiantes errores de cálculo que errores de razonamiento, por lo que es necesario guiarlos para que expliquen de manera suficiente los procesos segui-dos. Un método que da buenos resultados es el de verbalizar estos procesos ya que, para hacerlo, los estudiantes deben reflexionar sobre lo que hicieron y esto les ayudará a construir procesos lógicos de razonamiento. Además, les permitirá entender diferentes estrategias y, de pronto, adoptar aquellas que les resulte más interesantes o lógicas.
• Si tiene acceso a Internet o a software especializado, úselo regularmente con sus alumnas y alumnos. Muchas de las aplicaciones que se encuentran en este me-dio sirven como refuerzo de los conceptos estudiados e incentivan la búsqueda de estrategias para su resolución.
• En las clases, cree espacios para que el trabajo en grupos y la resolución de pro-blemas sean en equipo. Las discusiones generadas en estos espacios refuerzan los aprendizajes y ayudan a los estudiantes con dificultades a procesar de mejor manera la información, y a aquellos que son muy apegados a los procesos memo-rísticos, a reflexionar sobre los mismos y entender el porqué de estos procesos. En la resolución de problemas en equipo, cada integrante del grupo debe ser capaz de explicar los pasos seguidos para la resolución del problema y la argumenta-ción de este proceso, de modo que todos trabajen de forma cooperativa, es decir, todos aportan, opinan y se esfuerzan por entender lo que hicieron. Recuerde que las habilidades que el estudiantado desarrollará a través del trabajo en equipo son: procesar información, aprender a escuchar, tratar de entender diferentes puntos de vista, y debatir con argumentos apegados a las reglas y conceptos matemáti-cos utilizados para la resolución del problema propuesto.
• En este nivel, la resolución de problemas y ejercitación no debe ser solo abstrac-ta. Hay muchos de los conceptos que pueden ser fácilmente conectados con el entorno e intereses estudiantiles. El educando aprende mucho más a través de problemas aplicables a lo que conocen, que repitiendo de forma mecánica procesos y reglas totalmente desconectados de su mundo. La investigación y la lectura son también muy importantes en la Matemática, y al pedirles que rea-licen exposiciones sobre temas muy concretos, se enfrentan con la materia en un entorno diferente al aula de clase, donde ellos son quienes definen los límites de su indagación. Para que las indagaciones y las exposiciones sean eficaces, se sugiere que los instrumentos de evaluación de las mismas sean muy claros y
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conocidos por los estudiantes; además, es fundamental guiarlos en las fuentes de investigación, las cuales se sugiere sean especializadas y confiables.
• A través de las actividades de clase, es necesario reforzar los valores relacio-nados con el orden, la limpieza, el respeto a las personas, a los materiales y a las indicaciones impartidas. El uso del lenguaje debe ser adecuado y preciso al momento de relatar presentaciones, de dar explicaciones o de justificar proce-dimientos. No se olvide de incluir en los problemas la diversidad étnica, cultural, climática, regional y demás, que nuestro país posee, relacionándolas con cono-cimientos matemáticos.
• Al igual que en otros niveles, es imprescindible relacionar siempre todos los con-tenidos estudiados en este año con aquellos aprendidos en años anteriores, para que el estudiantado vea el progreso de su aprendizaje en la materia y también es necesario relacionarlos con las demás áreas del saber, como aplicaciones di-rectas de lo aprendido. Además, alguno de los contenidos dentro de cualquiera de los cinco bloques puede ser enfocado desde aplicaciones de los otros cuatro. Por ejemplo, la mayoría de las operaciones en el sistema numérico pueden ser enfocadas desde una perspectiva geométrica, la que en muchos casos ayuda a visualizar los procesos y refuerza el aprendizaje. Estas conexiones entre diferen-tes conocimientos, entre bloques y entre asignaturas potencian las conexiones en el cerebro y permiten al estudiante incrementar su capacidad de aprender; pues mientras más sabemos, más podemos aprender ya que el aprendizaje se da al crear relaciones con otros conocimientos, es decir, mientras más informa-ción poseemos, mayor es la posibilidad de relacionarla con nueva información.
• Al momento de planificar las unidades, no hacerlo por bloques, es decir, no em-pezar por el bloque numérico para luego pasar al de relaciones y funciones y, si le queda tiempo, finalmente trabajar en geometría. Al contrario, se sugiere trabajar con los bloques intercalados, ya que con ello se da la posibilidad a los estudiantes de establecer conexiones entre los mismos y fluir cómodamente entre ellos.
A continuación, se presentan varias recomendaciones metodológicas para trabajar en algunos de los temas relevantes de este subnivel. Estas recomendaciones están presentadas por bloque curricular, sin ningún orden cronológico establecido. Por lo tanto, se propone revisar las destrezas con criterios de desempeños esperados para planificar su concatenación en función de ellos y del nivel de los estudiantes.
Bloque curricular: Álgebra y funciones
Una dificultad que el estudiantado enfrentará en este subnivel es con los números enteros y, específicamente, con los enteros negativos. En este nivel se introducen los números enteros y se aprenden las reglas para operar con dichos números, por tal motivo es necesario estudiar un nuevo grupo de reglas, adicionales a las ya estudiadas en años anteriores, entenderlas y aplicarlas correctamente en las más variadas situaciones. Todas las reglas que se aprenden en este año son aplicadas en los años siguientes, sobre todo, en el área de álgebra, por lo cual es imprescindible que estas reglas estén bien comprendidas.
231
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Hasta este momento, en el aula se ha trabajado con los números naturales (que son los enteros positivos), racionales fraccionarios y decimales positivos. Recuerde que los números enteros, conocidos como el conjunto Z, comprenden todos los enteros, tanto positivos como negativos y el 0; por lo tanto, con la introducción de este conjunto, se extiende la semirrecta numérica a todos los valores negativos. A continuación, consta una representación del conjunto de los enteros en la recta numérica.
Es importante que los estudiantes reconozcan el uso de los números enteros nega-tivos en situaciones cotidianas. Por la interacción con su entorno, posiblemente ya poseen cierto conocimiento sobre los enteros negativos a través de hechos concre-tos como, por ejemplo, en medidas de temperatura (a través de la televisión); en un ascensor para representar los pisos de los diferentes subsuelos o en tablas de los goles diferencia de los equipos de fútbol, entre otros. Si este es el caso, aproveche estas experiencias para introducir el tema directamente conectado con el entorno y con estas vivencias.
Una manera de presentar los números negativos es utilizar cualquiera de los ejem-plos anteriores. En este caso, se considera el ejemplo del ascensor para preguntar a sus estudiantes qué entienden por el piso -1. Es posible que la mayoría le responda que es el primer subsuelo, es decir, un piso más abajo de la planta baja. Una vez que se haya entendido qué representa el piso -1, preguntar qué representa el piso -2. A partir de estos dos pisos, empezar a establecer una relación de orden entre estos dos números negativos, es decir, determinar cuál de los dos números es in-ferior, el -1 o el -2. El concepto de orden en los negativos es muchas veces confuso para el estudiantado, ya que el orden de los números negativos es inverso al de los números positivos, pues -2 < -1, pero al relacionarlo con los pisos del ascensor es más fácil entenderlo.
Una regla muy simple que es importante recalcar es que el orden de los números puede ser establecido por su posición relativa en la recta numérica y funciona tanto para los positivos como para los negativos. Esta regla es la siguiente: Si un número a se encuentra en la recta numérica a la izquierda de otro número b, entonces el número a es inferior al número b o el número b es mayor que el número a; en con-secuencia, mientras más a la izquierda esté un número, menor será. De esta regla se pueden deducir muchas otras que se aplican al conjunto de los enteros y, más adelante, al conjunto de los racionales y de los números reales, como, por ejemplo:
• El número cero es menor que cualquier número positivo.
• El número cero es mayor que cualquier número negativo.
• Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Como un ejercicio de evaluación de esta regla, se les puede pedir que ubiquen un grupo de números enteros en la recta numérica. Este ejercicio le permitirá al docen-te observar el desempeño de cada uno y detectar las dificultades que experimen-tan en la aplicación de esta regla de ordenamiento de los enteros. Puede solicitar que señalen o escriban el anterior y el sucesor de un número entero negativo, como recurso de apoyo evaluativo. Una vez que el estudiantado entienda el concepto de números enteros negativos, se puede empezar a trabajar con el concepto de valor absoluto, que no es más que la distancia de un número al cero. Al ser el valor abso-luto equivalente a una distancia, no puede ser negativo, ya que en la medición de distancia la posición relativa entre los límites a medir no modifica el resultado final.
El siguiente paso en el estudio del conjunto de los números enteros es iniciar con las operaciones de suma y resta. En este punto es posible trabajar con material con-creto, lo cual ayuda a que los estudiantes visualicen los procesos y luego puedan generalizar las reglas de las operaciones con enteros. Un material concreto muy simple de usar para introducir las operaciones de suma y resta con los números en-teros es tener fichas u objetos iguales pero de dos colores diferentes. Por ejemplo, las fichas verdes representan números positivos y las fichas rojas, números nega-tivos. Para comenzar con las sumas y las restas es importante que los educandos sepan una regla básica: un número positivo sumado a su opuesto (el mismo núme-ro pero de signo contrario) se cancelan, es decir (+2) + (-2) = 0. Si los estudiantes tienen dificultad en entender esta regla, nuevamente referirse a los ascensores: un número positivo significa subir esa cantidad de pisos y un número negativo signi-fica bajar ese número de pisos; por lo tanto, si estoy en el piso 2 y bajo dos pisos, llego al piso 0 o planta baja.
Una vez que el estudiantado entienda que la suma de un número y su opuesto es igual a cero, la representación de las sumas con las fichas se simplifica, ya que si se quiere representar la suma de (+5) + (-6), se lo hará con 5 fichas verdes y 6 rojas. Al cancelar las 5 fichas verdes con 5 fichas rojas, nos queda una ficha roja, equivalente a -1; por ende, la suma de (+5) + (-6) = -1.
Para la resta se puede operar de la misma manera, simplemente a partir de la regla: restar un número entero equivale a sumar su opuesto, es decir, la operación (+4) - (-3) es equivalente a la operación (+4) + (+3), con lo cual se convierten las restas de enteros en sumas y se puede operar con las reglas deducidas para la suma. A través de la práctica con material concreto, se establecen las reglas para sumar y restar enteros y, poco a poco, se lo irá eliminando hasta llegar a realizar las opera-ciones solamente de forma simbólica. Más adelante, la multiplicación y la división de enteros se pueden enfocar de la misma manera.
Cuando los estudiantes comprendan las reglas para cada una de las operaciones básicas, trabaje con ellos en la simplificación de expresiones de números enteros con la aplicación de las operaciones básicas. Además, tome en consideración que estas son algunas recomendaciones de trabajo para los números enteros, ya que, en este subnivel, usted deberá trabajar también con los números racionales, irracio-nales y reales.
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Dos de los nudos críticos de este subnivel de Educación General Básica son la resolución de ecuaciones de primer grado y la simplificación de polinomios. Para estos dos casos, continuaremos con la aplicación de las reglas utilizadas para el cálculo con los números enteros. Recuerde, además, que la introducción de varia-bles, tanto en las ecuaciones como en los polinomios, genera muchas dificultades si trabajamos desde la abstracción e ignoramos la parte concreta provocando en sus estudiantes un bloqueo de sus procesos de razonamiento. Por consiguiente, es importante que tanto las ecuaciones como los polinomios se presenten utilizando material concreto como las fichas algebraicas, caja de polinomios o a través de si-tuaciones que sean familiares para ellos.
Con el fin de evitar que la resolución de ecuaciones se convierta únicamente en un proceso mecánico de aplicación de reglas, es necesario conectar las ecuaciones con situaciones reales, como se dijo antes, es decir, acostumbrar a los educandos a que traduzcan la ecuación a una situación familiar para ellos y que luego piensen en las acciones que pueden tomar para llegar a su resolución. Por ejemplo, si la ecuación a resolver es x + 8 = 5, la mayoría de estudiantes despejará la incógnita “cambiando” de lado al 8 por la aplicación de las propiedades para así obtener la expresiónnuméricadex,peromuypocospensaránen“¿quévalordexsumadoal 8 me da 5?” Al hacerlo de esta manera, no se requiere aplicar ningún proceso memorístico para despejar la incógnita, sino simplemente emplear las reglas de la suma y de la resta con números enteros revisados en el bloque numérico. Se su-giere trabajar con sus estudiantes en la capacidad de buscar mentalmente el valor que resuelve la ecuación, ya que ello les ayuda a entender lo que están haciendo y desarrollar su pensamiento lógico.
Las ecuaciones no son más que igualdades matemáticas en las que aparece una variable, la cual es conocida como la incógnita. La resolución de la ecuación signifi-ca encontrar el valor numérico de la incógnita que hace que la igualdad propuesta sea verdadera. Los métodos para resolver una ecuación pueden ser muy variados, desde el de prueba y error hasta el de la aplicación de las propiedades de los núme-ros para despejar la incógnita. Un número significativo de estudiantes, al momento de resolver ecuaciones, solamente quiere replicar los procesos que utilizan sus pro-fesores y profesoras en la clase, y al confundir las reglas aprendidas de memoria, realizan procesos erróneos y llegan a resultados equivocados.
Al llegar a la explicación de la resolución de ecuaciones por medio de reglas y propiedades que permiten despejar la incógnita, es importante explicarles que las ecuaciones pueden ser vistas como una balanza equilibrada por el signo igual, en la cual cada lado de la ecuación representa lo mismo y todo aquello que se haga a un lado de la ecuación va a afectar al otro lado; por lo tanto, las acciones deben ser tomadas por igual a los dos lados.
Este es el principio por el cual podemos “mover” términos de un lado al otro de la ecuación, sin alterar su igualdad. Este ejercicio los ayudará a entender el proceso de resolución de ecuaciones y no solo a poder aplicarlo. Uno de los errores más comu-nes al resolver ecuaciones es aquel de cambiar el signo del valor que se cambia de lado, ya que funciona con los términos que están sumando y restando pero no con
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los términos que se multiplican o dividen. La regla general no es que se cambia de signo, sino que se hace la operación inversa, es decir, si un término está sumando a la variable, al “cambiarlo” de lado pasará restando, y así con todos los términos y las operaciones.
Al momento de evaluar la resolución de una ecuación, una estrategia es hacerlo des-de la resolución de problemas y, en tal caso, debemos considerar si los estudiantes:
• Reconocen el término desconocido (la incógnita).
• Plantean el problema presentado como una ecuación.
• Resuelven correctamente la ecuación.
• Explican el procedimiento seleccionado.
Tome en cuenta que un gran número de estudiantes plantea una ecuación, recono-ce la incógnita, conoce el proceso y evidencia una lógica en él, pero al momento de realizar la operación inversa no la ejecuta de la forma adecuada, por esto debe tener cuidado al momento de evaluar, detectar el error y dar retroalimentación, así se lo-grará una evaluación para corregir errores y evitar mayores complicaciones a futuro.
Recuerde, además, que tanto la resolución de ecuaciones como la simplificación de polinomios van de la mano, ya que en varias ecuaciones los estudiantes deben simplificar los términos con la variable antes de resolverla, como en el ejemplo si-guiente, el que no puede ser resuelto si todas las expresiones con la variable no se simplifican primero:
3x - 5 = 2x + 8
Al iniciar con la simplificación de polinomios, es esencial asegurarse que sus estu-diantes comprenden la diferencia entre un monomio con la variable x y un mono-mio con la variable x2 , y no los junten como si se trataran de lo mismo. El material concreto, específicamente las fichas algebraicas, los ayudan a visualizar esta dife-rencia y a entender que si la potencia de la variable cambia, el monomio es de otra naturaleza y solamente podrá simplificarse con otros monomios de la misma po-tencia. Las fichas algebraicas pueden ser fácilmente fabricadas con cartulina, fómix (goma eva), madera, cartón o cualquier otro material reciclado del que disponga o pueda conseguir con facilidad. No es necesario tener material costoso ni prefabri-cado. Será más beneficioso si sus estudiantes lo crean pues con ello estarán deter-minando, antes de usarlo, qué significa o representa cada elemento. Es también im-portante que cada una de las fichas algebraicas se haga en dos colores diferentes, para representar los valores positivos, los cuales son verdes; y los valores negativos que son rojos. Las medidas de las fichas pueden variar, pero es mejor que todos en el aula utilicen las mismas medidas, ya que de esta manera podrán intercambiar y compartir el material en caso de necesidad, y crear un inventario de material unifor-me para tenerlo en el aula y usarlo cuando sea requerido. A continuación, le presen-tamos una muestra de este material, como se comentó anteriormente, puede ser sencillo crearlo por el estudiantado con material reciclado y a bajo costo.
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Como se observa en las figuras, con el uso de las fichas algebraicas se representan solo monomios hasta la segunda potencia, es decir, hasta cuadrados. Se pueden representar monomios cúbicos, pero se requiere fabricar cubos, lo cual resulta más complicado y además no muy necesario, ya que una vez que visualizan la diferen-cia entre x2 y x, estas se pueden transferir muy fácilmente a otras potencias. Fíjese también que las fichas verdes son positivas y las rojas son negativas y existe una total analogía con las fichas utilizadas en el bloque numérico para introducir las operaciones con los números enteros. Las reglas para simplificar polinomios son las mismas que para simplificar expresiones de números enteros: una ficha positiva con una ficha negativa se cancelan y solamente es posible operar con fichas de la misma naturaleza, es decir, no podremos sumar entre sí fichas cuadradas (x2) con fichas rectangulares (x).
A continuación, le presentamos un ejemplo de simplificación de un polinomio, paso a paso, con el uso de las fichas algebraicas.
Simplificar el polinomio 3x2 + 6x - 2x2 + 4x - 8 + 7 - 2x.
Este polinomio puede representarse de esta manera:
+ X2 - X2 + X - X + 1 - 1
V = Verde
R = Rojo
V = Verde R = Rojo
V V VV V
V V VV V
V V
V
V
V
VV
V
V
V
R R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
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El siguiente paso es juntar las fichas iguales, pero de color diferente, para cancelar-las entre sí; por lo tanto, dos fichas cuadradas grandes verdes se eliminarán con dos fichas cuadradas grandes rojas, dos rectángulos verdes se irán con dos rectángulos rojos, y siete cuadrados verdes pequeños se irán con siete cuadrados pequeños rojos, quedando lo siguiente:
Al llegar a esta expresión podemos ver que no es posible simplificarla más, ya que todos los monomios son distintos entre sí y el resultado es finalmente: x2 + 8x - 1; por lo tanto, tendremos que:
3x2 + 6x - 2x2 + 4x - 8 + 7 - 2x = x2 + 8x - 1
Verifiquemos este resultado de forma algebraica y, al hacerlo, veremos que el pro-ceso es exacto al mismo que utilizamos con las fichas. Operamos, con la expresión a la izquierda del signo igual para obtener la expresión a la derecha y expresaremos entre paréntesis la propiedad que nos permite realizar la operación utilizada:
3x2 + 6x - 2x2 + 4x - 8 + 7 - 2x = x2 + 8x - 1
3x2 - 2x2 + 6x + 4x - 8 + 7 - 2x = x2 + 8x - 1 (conmutativa)
x2 + 10x - 1 - 2x = x2 + 8x - 1 (suma y resta de términos semejantes)
x2 + 10x - 2x - 1 = x2 + 8x - 1 (conmutativa)
x2 + 8x - 1 = x2 + 8x – 1 Queda demostrada la simplificación anterior.
Se aconseja trabajar con las fichas algebraicas hasta que el estudiantado pueda transferir los conocimientos de las operaciones con los números enteros a los po-linomios y, además, diferencien los monomios homogéneos. El segundo paso, des-pués de las fichas algebraicas, es la representación gráfica de los polinomios para finalmente pasar a la resolución netamente algebraica. Una vez que se llegue a esta tercera etapa, los estudiantes podrán seguir los procesos de simplificación, y utili-zar las propiedades y las operaciones de manera flexible.
Bloque curricular: Geometría y medida
Para el cálculo de áreas de polígonos regulares se sugiere, antes de darles la fór-mula y pedirles que reemplacen los valores correspondientes en la misma, que des-
V V V V V V V V V
R
V= Verde R= Rojo
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compongan los polígonos regulares en triángulos cuyas áreas puedan calcular.
Una actividad de inicio puede ser la siguiente: representar en una cuadrícula varios polígonos regulares similares, cuyos vértices coincidan con las intersecciones de la cuadrícula. Asegúrese que los estudiantes puedan determinar la longitud de cada lado de cada polígono, al igual que las alturas de los triángulos en los cuales des-compusieron los polígonos.
Establecer que cada cuadrado de la cuadrícula mide una unidad cuadrada. Solicíte-les que estimen las áreas de los polígonos utilizando la cuadrícula como referencia y descomponiendo los polígonos en triángulos, en los cuales podrán determinar las medidas de la base y de la altura. Una extensión a esta actividad es la de ubicar ahora los polígonos en un plano cartesiano y que los vértices coincidan con inter-secciones enteras de abscisas y ordenadas. De nuevo pídales que descompongan estos polígonos en triángulos y que determinen sus bases y sus alturas, y a su vez calculen el área del cada polígono. Luego, repetir los procesos anteriores, usando ahora el mismo polígono regular pero de diferentes medidas, decirles que calculen sus áreas y busquen una generalización de la forma de calcularlas, con el objetivo de establecer la fórmula que nos generalizará este trabajo.
Es muy importante que sus estudiantes entiendan el origen de la fórmula ya que si no lo hacen, solamente la aplicarán de un modo memorístico y no entenderán la razón por la cual la fórmula funciona para una figura y es diferente al cambiar de figura. Una vez que la fórmula haya sido deducida, es necesario aplicarla en varios ejercicios en los cuales el área de los polígonos sea un paso intermedio para resol-ver los problemas. Es decir, proponer situaciones donde los estudiantes necesiten transferir este conocimiento y aplicarlo.
Como una extensión a este aprendizaje, se puede incluir un polígono irregular posi-ble de descomponer fácilmente en triángulos y solicitarles que calculen su área. Al repetir este proceso con otro polígono irregular de igual forma que el anterior, pero de tamaño diferente, el estudiantado podrá constatar que en este caso no se puede deducir una fórmula general sino que hay que calcular para cada caso.
Se sugiere que la evaluación sea constante y permita identificar cuáles son las di-ficultades de estimación y cálculo de áreas de polígonos regulares antes de iniciar con el proceso de enseñanza aprendizaje de los polígonos irregulares.
Es pertinente recordar a los jóvenes que para el cálculo de áreas de polígonos, tan-to regulares como irregulares, no es necesario que la descomposición deba ser he-cha en triángulos exclusivamente, sino que se pueden descomponer los polígonos en figuras familiares y simples, siempre que sea posible, tales como rectángulos, cuadrados y triángulos.
Otro de los temas sobresalientes de este subnivel es el estudio del teorema de Pi-tágoras. Los prerrequisitos para que los educandos no tengan dificultades en este contenido son los siguientes conceptos, los que serán usados con frecuencia en esta unidad: triángulo rectángulo, catetos, hipotenusa y su representación gráfica.
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Además, deberán entender y manejar potencias al cuadrado, de obtener la raíz cua-drada de un número y determinar el área de un cuadrado en una cuadrícula.
Recuerde que el enunciado del teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángu-lo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” debe ser entendido y deducido por sus estudiantes, y no aprendido de memoria sin entender lo que significa.
Una manera de constatar el teorema de Pitágoras, es pedir a cada estudiante que dibuje en el centro de una hoja cuadriculada un triángulo rectángulo, usando las líneas de la cuadrícula para representar los catetos. Es decir, un cateto será hori-zontal y el otro vertical.
La medida de cada cateto la definirá cada estudiante, de este modo se obtendrá una variedad de triángulos rectángulos.
Una vez que el triángulo rectángulo esté representado, cada educando dibujará los cuadrados procedentes de los lados de su triángulo (ver diagrama).
A continuación, los estudiantes pueden determinar, usando la cuadrícula, el área de cada cuadrado y buscar una relación entre estas medidas.
La relación será el enunciado del teorema de Pitágoras, es decir, el área del cuadra-do relacionado a la hipotenusa debe ser exactamente igual a la suma del área de los cuadrados vinculados a los dos catetos, o de forma matemática expresado,
c2 = a2 + b2.
Motívelos para que verifiquen y comparen entre sí que la relación se cumple para todos los triángulos rectángulos. Una vez que se ha demostrado y deducido esta relación, utilizarla para el cálculo de la longitud de la hipotenusa conociendo la lon-gitud de los catetos, o de la longitud de uno de los catetos, sabiendo las longitudes del otro cateto y de la hipotenusa.
En este nivel, las aplicaciones de este teorema serán únicamente en el cálculo de
a2
b2
c 2
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longitudes de lados de triángulos rectángulos y en la representación gráfica de números irracionales; por ejemplo, si se quiere representar la raíz cuadrada de cin-co por medio de un segmento, se puede hacer en una cuadrícula, utilizando un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2 unidades, respectivamente. La hipo-tenusa de este triángulo medirá √(2^2+1^1 )=√5 y, de esta manera, se obtiene una representación gráfica de un número irracional. Se puede repetir este proceso para otros números irracionales.
Bloque curricular: Estadística y Probabilidad
En este subnivel se estudiará la determinación de frecuencia absoluta y frecuencia acumulada de una serie de datos estadísticos, los cuales pueden estar listados o representados en forma gráfica. Use diagramas de barras con las categorías debi-damente identificadas y con las frecuencias de cada una muy bien establecidas. Las frecuencias absolutas son las frecuencias de cada una de las categorías represen-tadas, y las frecuencias acumuladas son la combinación de las frecuencias de las categorías solicitadas conjuntamente.
Nuestros estudiantes, en la medida de lo posible, deben tener contacto con las nuevas tecnologías. Si este es el caso, una forma de reforzar su labor docente es proponerles que el registro y/o análisis de datos se haga en cualquiera de las diver-sas hojas de cálculo disponibles.
Para la recolección de datos puede ayudarse de datos reales, que se encuentran en diferentes revistas, periódicos o medios de comunicación, a la vez que se trabaja en un conocimiento de matemática y se les acerca, poco a poco, a la realidad nacional.
La evaluación debe consistir en medir si los estudiantes son capaces de leer gráfi-cos de barras, calcular frecuencias absolutas y acumuladas, y calcular probabilida-des simples en gráficos con el uso de las fracciones
3.1.4. Orientaciones el Bachillerato General Unificado.
En los bloques curriculares se presentan los diferentes temas a tratarse. Se reco-mienda variar los bloques para dinamizar la enseñanza y aprendizaje de la matemá-tica y mantener a los alumnos en expectativa e interés durante el año escolar.
En este currículo, los bloques están organizados de tal forma que sucesivamente se profundizan y amplían los diferentes temas de modo que paulatinamente aumenta la complejidad.
En este nivel, se trabaja de manera algebraica, con variables y se introducen dife-rentes tipos de funciones reales. Las funciones son un elemento matemático muy importante y es necesario tomarse el tiempo suficiente hasta que se comprenda el concepto de función. Para apoyar este aprendizaje existen REAs (Recursos Educa-tivos Abiertos) y Applets que trabajan con funciones con diferentes enfoques. Así mismo se puede usar software como por ejemplo el Geogebra o el gnuplot (sof-tware libre) para graficar y analizar las características de las diferentes funciones estudiadas.
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Se puede usar el apoyo de las TICs para temas geométricos y estadísticos también, lo cual facilita el entendimiento de conceptos y aplicaciones para estos temas.
Durante el BGU se puede iniciar con la solución de problemas y situaciones inter-disciplinares relacionados con las ciencias: física, química, biología.
Bloque curricular: Álgebra y funciones
En este bloque curricular es de gran importancia el trabajo con diferentes tipos de funciones reales: polinomiales, racionales, trigonométricas, exponencial y loga-rítmica. Se debe realizar siempre un análisis similar de estas funciones: determinar dominio y recorrido, paridad, ceros de la función, monotonía, cálculo de extremos y gráfica. Este proceso puede ir acompañado del uso de las TICs y para ello existen applets en internet que permiten un trabajo de estas funciones, variando los coefi-cientes de las variables para que así el estudiante pueda reconocer la forma gráfica de estas funciones y las pueda asignar a modelos de crecimiento o decrecimiento en la biología, la física entre otras.
Cómo ejemplo se desarrolla el análisis de un polinomio de grado 3, para empezar escoja funciones con raíces enteras:
f(x)=x^3-x^2-5x-3
1. Determine el dominio de la función, en este caso D= R
2. Determine los ceros de la función:
Para este polinomio , las posibles raíces enteras son los divisores del término inde-pendiente, en este caso el número 3: 1, -1, 3, -3. Evaluando la función en estos valores encontraremos posibles raíces.
Comenzamos con x= -1, tenemos f(-1)=0 que muestra que -1 es un cero de la fun-ción. A continuación realice la división polinómica o la sintética para (x+1) y rees-criba la función:
f(x)=(x+1)(x^2-2x-3)
Ahora, el término cuadrático se resuelve como una ecuación de segundo grado o se factora y obtenemos al 3 y el -1 como raíces, reescribimos la función:
f(x)=(x+1)^2 (x-3)
Se observa que la función tiene un cero simple en 3 y doble en -1 lo que significa que en -1 hay un máximo o un mínimo local.
3. Analice si la función es simétrica: Al analizar la paridad de la función se ve que la variable tiene exponentes pares e impares, por lo tanto la función no es simétrica.
4. Calcule la primera derivada: f´(x)=3x^2-2x-5
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Calcule la segunda derivada: f´´(x)=6x-2
5. Calcule los extremos relativos:
La condición necesaria es que la primera derivada sea 0. Factorando la derivada o resolviendo la ecuación cuadrática se tiene:
f´(x)=(x+1)(3x-5)=0
Entonces existen extremos en x=-1 y en x=5/3
La condición suficiente que puede analizarse por monotonía de la primera derivada o con la segunda derivada determina que f´´(-1)<0, entonces en x=-1 hay un máximo y f´´(5/3)>0, entonces en x=-5/3 hay un mínimo.
6. Finalmente grafique la función con estos puntos característicos:
En el caso de funciones racionales se debe observar si la función tiene asíntotas, algunas de las cuales serán evidentes al momento de determinar el dominio. Puede iniciar este estudio con funciones simples cómo las que se proponen a continua-ción:
y
20
- 20
4- 4
- 40
x
242 M
y
x
y
x
y
x
y
x
f (x) =
Df=R\{0}Asíntota
vertical en x=0
g (x) =
Dg=R\{-3}Asíntota
vertical en x=-3
h(x) = Dh=R\{-3,2}Asíntotas
verticales en x=-3 y en x=2
k(x) = Dk=RNo tiene asíntotas
verticales.
1x
1x+3
1(x+3)(x-2)
1x2 + 3
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Compare los gráficos para que los estudiantes entiendan el concepto de asíntota vertical y luego puede analizar las asíntotas horizontales y determinar el recorrido de la función con ayuda de la gráfica (estos gráficos fueron realizados con la cal-culadora gráfica, que es parte de Encarta de Microsoft; también se los puede hacer con Geogebra que es software libre).
En el caso de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, realice el análisis de puntos característicos con ayuda de las TICs, pues los cálculos podrían resultar complicados.
Para iniciar el trabajo con funciones exponenciales, presente varias gráficas y com-pare el crecimiento o decrecimiento de las mismas y la velocidad con que lo hacen como se muestra en la siguiente tabla.
Cuando analice las características y compare las cuatro curvas puede entonces describir de manera general cómo se comporta la función:
g(x)=a^x con a > 1 y cuando 0 < a < 1.
Se puede modelizar problemas simples de crecimiento de poblaciones en la Bio-logía. Se puede plantear el siguiente ejemplo: “Una población de bacterias en una muestra, se duplica con cada hora que pasa. La población inicial se estima en 200 bacterias.¿Cuántasbacteriashayluegode3,15horasrespectivamente?”
Para resolver el problema haga una tabla del número de bacterias en el tiempo de la si-guiente forma, hasta que los alumnos encuentren la función que modeliza esta situación:
y
x
y
x
94
47
-4 4
h(x) = 2x g(x) = 5x
2 > 5Las dos
funciones son decre-cientes, g
crece mucho más rápido
que f
f(x)=( )x
g(x) =( )x
1/2 > 1/5 Las dos
funciones son decre-cientes, g decrece
mucho más rápido que f
12
15
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Número de bacterias
200 400 800 1600 200 * 2n 200 *215
Tiempo 0 1 2 3 n 15
Cuando haya identificado el tipo de gráfica que tienen todas estas funciones reales, les será posible a los alumnos hacer modelos sencillos como este de crecimiento exponencial. Este problema puede plantear cuestionamientos entre sus estudiantes cómo¿quépasaluegode20horas;50horas;esválidoestemodeloparaestosva-lores; hasta cuándo es válido el modelo? Sus estudiantes pueden ver que los mode-los funcionan hasta cierto punto luego del cual se puede plantear un nuevo modelo o a su vez entender que no es posible en este caso específico que la población de bacterias crezca infinitamente pues hay un límite en el tamaño del recipiente que alberga la muestra de bacterias y otros como el alimento disponible (hábitat).
Otro tema importante en el BGU es la noción del límite al infinito o hacia 0 con intención de trabajar luego con las derivadas de algunas de estas funciones reales conocidas. La página web: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geoge-bra/ ofrece REAs diseñadas con Geogebra en diversos temas matemáticos. En el tema de la derivada de un polinomio y su interpretación geométrica hay activida-des que guían paso a paso al estudiante a comprender qué representa la derivada de un polinomio .
A continuación un ejemplo que se lo puede hacer en la pizarra también dibujando varias secantes y luego tangentes para visualizar la representación geométrica de la derivada:
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
ver derivada en cada punto
ver derivada en cada punto
Activar rastro función derivada
Dibujar función derivada
-1.65
-1.65
Dibujar función derivada segunda
puntos de corte
puntos críticos
puntos de inflexión
P
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• ¿CuáleslaTVM(TasadeVariaciónMedia)entrelospuntosx=5yx=7?
• ¿Yentrex=5yx=6?¿Yentrex=5yx=5.1?
• Haga zoom (clic derecho en la zona gráfica) para averiguar el valor de la TVM entre x=5 y x=5.001 (lo más aproximado que puedas)
• ¿AquévalorestimaqueseaproximarálaTVMentrex=5yx=5.00000000001?
• ¿CuáleslaTVI(TasadeVariaciónInstantáneaoderivada)enx=5?
• ¿QuérelaciónhayentrelaTVIylarectatangentealacurvaenelpunto?
• ¿Quémideladerivadaaunafunciónenunpunto?
Para explicar la integral y su representación como área bajo la curva, se pueden analizar las sumas superiores e inferiores de las áreas de los rectángulos en la si-guiente gráfica:
Describa los diferentes elementos que intervienen en la figura:
• ¿Quérepresentana,byn?
• ¿CuáleselsignificadodeSumasuperior,IntegralySumainferior?
• Describa lo que ocurre al aumentar el valor de n (deslizando el punto correspon-diente)
• Compruebe la validez de la Regla de Barrow para el ejemplo de la gráfica.
Las preguntas que se pueden plantear con esta gráfica serían:
246 M
Este tipo de actividades son interesantes para los estudiantes ya que les ayudan a comprender los conceptos de manera gráfica, dinámica e interactiva.
Es aconsejable buscar REAs en internet o videos en Youtube Education que permi-tan al alumno comprender estos conceptos más abstractos y complicados.
Si usted no dispone de una computadora en el colegio con conexión a internet para trabajar con los estudiantes, trate de revisar estas actividades en casa o en un cafenet pues le pueden dar ideas de cómo trabajar con algunos de estos temas en la pizarra.
Bloque curricular: Geometría y medida
Para presentar el concepto de vectores, se puede recurrir a una variedad de acti-vidades lúdicas. Por ejemplo, el profesor puede trazar un plano cuadriculado simu-lando el plano cartesiano en el piso de la clase o en el patio del colegio. Luego pide a sus estudiantes que se paren en los puntos de coordenadas enteras y pide que simultáneamente, se muevan una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba. El profesor pide que cada estudiante trace con una tiza un segmento de recta que una el punto de origen y punto final de su movimiento, usando una flecha para indicar la dirección del movimiento. A cada estudiante le corresponde un vector distinto, sin embargo, todos obedecieron la misma instrucción. Esta activi dad debe servir para presentar la noción de vector, y su notación, las definiciones de vectores equivalentes, y la forma estándar de un vector. En el pizarrón, el profesor resume en un gráfico en el plano lo que sus estudiantes realizaron.
Es importante al inicio que los alumnos resuelvan los ejercicios de manera gráfica y analítica.
En el siguiente gráfico se representa varias veces el mismo vector, se pueden cal-cular las coordenadas del vector a partir de las coordenadas de los puntos donde inicia y donde termina el vector o simplemente se pueden leer sus coordenadas con ayuda de la cuadrícula:
Las tres flechas representan el mismo vector.
La suma gráfica de dos vectores (se la puede hacer con o sin plano cartesiano):
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
1
x2
x1
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MATEMÁTICA
EGB Y BGU
La multiplicación gráfica de un vector por un escalar o número real:
Este tratamiento gráfico de los vectores ayuda a que los alumnos puedan com-prender con mayor facilidad la ecuación paramétrica de la recta como una suma de vectores como se observa en el siguiente gráfico:
Ecuación paramétrica de la recta en R^2: g: x =p +tu
Para trabajar en R3 existe software libre como el Geogebra o el Vektoris que permi-ten visualizar tres dimensiones. Además en la página web:
http://docentes.educacion.navarra.es/sadaall/geogebra/ puede encontrar activi-dades interactivas sobre vectores y rectas en R2.
Para trabajar en 3 dimensiones en R3 con planos, puede hacer énfasis de manera gráfica, cómo se ve un plano, la intersección de planos, planos y rectas como se muestra a continuación:
a
a
a
b
b
b
a+b
b+c
a+b
c
(a+b)+ca+(b+c)
x2
x1
2 4 6 8 10 12
-1
6
4
2
0
aa
aaaa
aa
A
B
C
DE
x2
x1
p
S PQ
RR
x
0
g
ux
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Un plano
Dos planos que se intersecan
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El tratamiento de este tema debe ser lo más visual posible para luego realizar cálculos y lograr el nivel de abstracción requerido.
Planos paralelos
Rectas y planos que se cortan
250 M
Bloque curricular: Estadística y probabilidad
Antes de tratar la probabilidad condicionada, es necesario recordar la noción de probabilidad, el concepto de espacio muestral y de la probabilidad de un evento simple para luego familiarizar al estudiante con el cálculo de la:
- probabilidad de que el evento A o el evento B sucedan:
- probabilidad de que el evento A y el evento B sucedan.
Los diagramas de árbol pueden ser útiles en estas situaciones.
Por otra parte, toda actividad relacionada con las probabilidades, y sobre todo con la probabilidad condicionada, debe estar asociada a un experimento real y concre-to con el cual esté familiarizado el estudiante.
Clásicamente, se utilizan experimentos con cartas, dados y monedas. Pero hay un sinfín de posibilidades que pueden interesar más a la clase. Por ejemplo, el docente puede presentar a la clase la siguiente inquietud:
“Algunos piensan que las personas que son zurdas de mano también lo son con los pies.”
Luego pide que levanten la mano los estudiantes que usan “la mano derecha y el pie derecho”, “la mano izquierda y el pie derecho”, etcétera. Luego pide a la clase organizar esta información en una tabla de doble entrada. Con la tabla, se puede calcular probabilidad conjunta y, además, introducir la idea de probabilidad condi-cionada:porejemplo,¿cuáleslaprobabilidaddequealguienque,usandolamanoderecha, sea también bueno con el pie derecho”.
Mediante esta misma pregunta, se puede comprender que la pregunta planteada solo fue respondida para las personas que están en el aula, pero si queremos una respuesta con mayor validez, debemos considerar a toda la población de un país odelplaneta.¿Quésucedeconpreguntastalescomo“¿cuáleslaprobabilidaddeque un estudiante ecuatoriano ingrese a la universidad?” Para ello, es necesario considerar a toda la población estudiantil ecuatoriana. En vista de que tomar da-tos a tantas personas es imposible, se vuelve necesario hacerlo en un grupo más pequeño. El profesor introduce, entonces, la noción de población y de muestra, e indica situaciones reales en donde una muestra puede ser sesgada. Es interesante para el aula conversar de situaciones actuales donde las estadísticas pueden estar sesgadas; por ejemplo, en encuestas de votación a boca de urna en las elecciones de los mandatarios del país, en encuestas de consumo de productos comerciales, etcétera. Desarrollar métodos para escoger una muestra es importante si se quiere información veraz. Entonces, el profesor presenta la noción de muestra aleatoria y métodos para generar números pseudo aleatorios. Por ejemplo, un método muy sencillo es tomar el segundo dígito de números de teléfonos que aparecen en la guía tele-fónica. Es recomendable pedir a sus estudiantes que planteen preguntas en las cuales definan cuál es la población, describan cómo tomarían una muestra evitando el sesgo y cómo usarían números pseudo aleatorios para este fin.
A continuación se presenta un ejemplo de un problema; no se ofrecen la solucio-nes, sino que se sugieren varias preguntas que se pueden plantear al estudiante.
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Problema. A fin de medir el rendimiento en matemática de los estudiantes de ba-chillerato en el Ecuador, se ha seleccionado una muestra de estudiantes de tercer curso de bachillerato de los diferentes establecimientos de educación media con más de 500 estudiantes. Para el efecto, se ha seleccionado primero una muestra de establecimientos, y de la muestra seleccionada, se ha escogido la muestra de estudiantes.
Se conocen los siguientes datos:
1. Los colegios con más de 500 estudiantes son representativos de la educación media en el Ecuador.
2. En el país existen 150 establecimientos en la sierra con más de 500 estudiantes, de los cuales el 8% está en el último año de bachillerato.
3. En el país existen 170 establecimientos en la costa con más de 500 estudiantes, de los cuales el 7% está en el último año de bachillerato.
4. En el país existen 14 establecimientos en el oriente con más de 500 estudiantes, de los cuales el 5% está en el último año de bachillerato.
Explique cómo determinar el tamaño dela muestra e indique la metodología utiliza-da para seleccionar la muestra de tal manera que esta no sea sesgada.
Una vez seleccionada la muestra, que a fin de continuar con el desarrollo de nuestro problema la vamos a suponer: de tamaño 80, se procede a realizar la prueba de matemáticas. Se obtienen las calificaciones siguientes sobre 20 puntos:
2 estudiantes obtienen la calificación 0.
5 estudiantes obtienen la calificación 2.
3 estudiantes obtienen la calificación 3.
6 estudiantes obtienen la calificación 5.
2 estudiantes obtienen la calificación 6.
10 estudiantes obtienen la calificación 9.
15 estudiantes obtienen la calificación 10.
12 estudiantes obtienen la calificación 11.
12 estudiantes obtienen la calificación 12
5 estudiantes obtienen la calificación 14.
2 estudiantes obtienen la calificación 15.
3 estudiantes obtienen la calificación 17.
2 estudiantes obtienen la calificación 18.
1 estudiantes obtienen la calificación 20.
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Haga un cuadro de frecuencias y de frecuencias acumuladas; dibuje los diagramas correspondientes.
Calcule la media, la mediana y la desviación estándar de las notas obtenidas por el grupodelamuestra.¿Quéporcentajedeestudiantesdelamuestraseencuentraentrelamedia±unadesviaciónestándar,±dosdesviacionesestándar?¿Entrelamedia y cuántas desviaciones estándar se encuentra el 70 % de los estudiantes de la muestra?
Calcule las siguientes probabilidades:
- Que un estudiante ecuatoriano obtenga una nota superior a 10 en una prueba de matemáticas —similar a la receptada a los estudiantes de la muestra.
- Que un estudiante obtenga una nota inferior a 15.
- Que un estudiante obtenga una nota entre 3 y 14.
Calcule las siguientes probabilidades condicionadas:
- Que un estudiante obtenga una nota superior a 12, sabiendo que está en el gru-po de los estudiantes que siempre obtienen notas superiores a 8.
- Que un estudiante obtenga una nota inferior a 5, sabiendo que está en el grupo de los estudiantes que siempre obtienen notas entre 2 y 13.
Otro tema importante es la distribución de Bernoulli. Al inicio plantee diversos ex-perimentos, algunos de Bernoulli y otros que no lo sean para que los estudiantes entiendan cuando pueden trabajar con esta distribución. Los ejemplos más claros son los de control de calidad: “En una fábrica de focos se toman 100 focos al azar y sepruebasiseenciendenono.¿EsesteunexperimentodeBernoulli?”
En este caso los estudiantes reconocerán que para cada foco hay solo dos opcio-nes: se enciende o no se enciende, entonces es un experimento de Bernoulli.
Cuando pueden reconocer estos experimentos podemos pasar a resolver proble-mas con el cálculo de probabilidades como, por ejemplo:
“La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1.¿Cuáleslaprobabilidaddequeenelgrupohayanleídolanovela2personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2¿Ycómomáximo2?”
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Algunos ejercicios sencillos se pueden resolver calculando con la fórmula pero cuando la longitud de la cadena es un número más grande, se pueden usar TICs para resolverlos (emuladores de calculadoras gráficas, hojas de cálculo, apps para celulares, entre otras). Algunas calculadoras gráficas tienen distribuciones proba-bilísticas y calculan probabilidades y probabilidades acumuladas para algunas dis-tribuciones.
Algunos ejercicios sencillos se pueden resolver calculando con la fórmula pero cuando la longitud de la cadena es un número más grande, se pueden usar TICs para resolverlos (emuladores de calculadoras gráficas, hojas de cálculo, apps para celulares, entre otras). Algunas calculadoras gráficas tienen distribuciones proba-bilísticas y calculan probabilidades y probabilidades acumuladas para algunas dis-tribuciones.
4. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN 4.1. Orientaciones para la evaluación en la Educación General Básica
Cuando la evaluación es una parte integral de la instrucción matemática, contribu-ye de manera significativa al aprendizaje matemático de todos los estudiantes. La evaluación debería ser más que un test al final de la instrucción para ver cómo se comportan los estudiantes bajo condiciones especiales; en su lugar, debería ser una parte integral de la instrucción que informa y guía a los profesores en la toma de decisiones.
Además, se debe realizar para los estudiantes, para guiar y estimular su aprendiza-je. Los Estándares de Evaluación de las Matemáticas Escolares (NCTM, 1995) pro-ponen que una evaluación ejemplar de las matemáticas debería:
• reflejar las matemáticas que los estudiantes deberían conocer y lo que deberían ser capaces de hacer;
• estimular el aprendizaje de las matemáticas;
• promover la equidad;
• ser un proceso abierto;
• promover inferencias válidas;
• ser un proceso coherente.
Para Rico (1995), el punto de vista actual se centra en que para evaluar hay que comprender, lo cual supone que se ha hecho un juicio razonado de algún aspecto de un trabajo desarrollado por los alumnos ante una tarea; se trata de una visión distinta de la convencional, en la que no se trata de comprender ningún proceso de aprendizaje, sino de establecer un éxito o un fracaso. Un nuevo enfoque para
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laevaluacióndebediscutiryponerenclarovariascuestiones:¿porquévalorareltrabajodelosestudiantes?,¿quéhayquevalorar?,¿cómohayquevalorar?y¿quédecisiones deben afectar a la evaluación?
La legitimidad del error, como parte constitutiva de los procesos de aprendizaje y de elaboración del conocimiento objetivo, se sustenta en una posición epistemo-lógica que trata de fomentar el análisis y la consideración crítica del conocimiento eludiendo la tendencia a culpabilizar a los escolares de la comprensión deficiente, ayudándoles a detectar tales deficiencias y buscar vías para su superación.
Desde esta perspectiva nos planteamos las cuatro preguntas anteriores.
¿Por qué hay que valorar el trabajo de los escolares?
Al valorar y corregir el trabajo de los alumnos les informamos de cómo han reali-zado determinada tarea; también podemos determinar el grado de asimilación de un concepto, el dominio de una destreza, la habilidad en la elección de un procedi-miento y en el uso y manejo de estrategias. También, el profesor está interesado en conocer lo que la clase puede hacer y lo que no puede hacer, determinar los niveles generales en los que se encuentran sus alumnos, las diferencias entre ellos; puede, igualmente, localizar los errores usuales aún no superados y valorar el rendimiento logrado por el grupo respecto de un determinado tópico. Tanto los padres como los administradores educativos, las autoridades locales y las asociaciones de pro-fesores tienen intereses legítimos en una evaluación lo más completa posible del aprendizaje realizado por los alumnos.
¿Qué valorar?
Si entendemos la pregunta en el sentido de cuáles son las actividades matemáticas de los alumnos que deben considerarse prioritarias para establecer un juicio sobre los alumnos, se pueden dar multitud de respuestas válidas: precisión, resultados, método de trabajo, claridad de pensamiento, asimilación de ideas matemáticas, transferencia en la comprensión, dominio en la ejecución de técnicas y destrezas, tiempo en el desempeño de las tareas, esfuerzo personal, creatividad, adecuación en la elección de estrategias, organización de las secuencias, e incluso pulcritud y claridad en la presentación de los trabajos. También hay que considerar las obser-vaciones que hace el profesor cuando los alumnos trabajan autónomamente o en grupos e igualmente, las intervenciones que hacen en las discusiones dirigidas.
Si entendemos la pregunta inicial en el sentido de cuál es la parte adecuada de la actividad del alumno para emitir un juicio sobre su competencia matemática, la consideración se centra ahora en procurar que la evaluación no se haga atendien-do a un único tipo de criterios y actividades, ya que puede tener un efecto con-traproducente. Es decir, si nos limitamos a evaluar destrezas de cálculo mecánico mediante pruebas en las que se controlan los resultados, se favorece un tipo de aprendizaje rutinario y mecánico.
¿Cómo evaluar?
Las pruebas estandarizadas de papel y lápiz, bien en versión de un test de cues-tiones y respuestas puntuales, bien mediante una prueba para el desarrollo más
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MATEMÁTICA
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extenso de cuestiones y la resolución de problemas más complejos, se pueden considerar instrumentos insuficientes para emitir un juicio útil sobre la competencia matemática de los alumnos. Con estos instrumentos se puede poner de manifies-to fácilmente el conocimiento de hechos y el dominio en la ejecución de destre-zas; también es posible comprobar el conocimiento de enunciados, definiciones y propiedades, junto con algunas secuencias de razonamientos, pero no es posible comprobar la comprensión real de los conceptos, el dominio de las estructuras conceptuales, la capacidad personal de razonamiento y la habilidad en la elección y desarrollo de estrategias. Todos estos aspectos son tan importantes o más que los primeros, y quizás el mayor inconveniente para su control está en que no dispo-nemos de instrumentos suficientemente contrastados para su realización. Sin em-bargo, no cabe duda de que es posible hacer una valoración bastante aproximada de las competencias señaladas mediante un seguimiento del trabajo individual y colectivo que se realiza en el aula.
¿Qué decisiones deben afectar a la evaluación?
El profesor debe estar totalmente consciente de que su función no es seleccionar las mentes más capacitadas para la educación superior sino capacitar a cada estu-diante para alcanzar el máximo desarrollo de sus potencialidades, que le permitan incorporarse a una sociedad democrática. La escuela no puede, y no debe, ensan-char las diferencias culturales debidas a los distintos medios sociales y económicos de los que proceden sus alumnos. La escuela no debe ahondar en las diferencias intelectuales que presentan los niños, esa no es su misión y el profesorado debe tenerlo claro. Por todo ello, las matemáticas deben abandonar el papel de filtro y selección que, tradicionalmente, han desempeñado en el Sistema Escolar. En este sentido hay que enfatizar la función orientadora de la evaluación y recordar que, aunque el alumno es el autor de su aprendizaje, el profesor también es responsable de los logros y avances conseguidos.
Criterios para seleccionar tareas de evaluación
La preocupación por encontrar instrumentos adecuados mediante los que llevar adelante la evaluación de los alumnos en matemáticas ha conducido a los especia-listas a discutir las características generales que deben tener tales instrumentos. Bell, Burkhardt y Swan (1992) establecieron las siguientes condiciones para las ta-reas de evaluación:
1.° Relevancia práctica, muchas cuestiones presentan una situación de la vida real, pero plantean cuestiones que no tienen significado práctico.
2.° Coherencia o fragmentación de la tarea, muchas tareas conducen al estudiante a través de una secuencia de pequeños pasos, que reducen o suprimen la capa-cidad de decisión del estudiante (Resuelve la ecuación E utilizando el método M, o similar). Pocas tareas invitan al estudiante a seleccionar su repertorio de téc-nicas, recorrer una cadena de razonamientos o comparar métodos alternativos.
3.° Rango de respuestas posibles-,¿hastaquépuntopodemosproponertareasqueproporcionen la oportunidad a los estudiantes de trabajar con un amplio rango de capacidades y talentos? Usualmente el nivel de respuestas posibles ha veni-do determinado más por la tarea que por el estudiante.
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4.° Extensión y valor de la tarea: el pensamiento de orden superior se muestra mejor, por lo general, en tareas extensas que en tareas cortas; es necesario que estas actividades constituyan por sí mismas experiencias de aprendizaje válidas y aceptables.
5.° Modo de trabajar las tareas; tradicionalmente los estudiantes han trabajado las tareas individualmente y en silencio. Estas condiciones artificiales se han impues-to en beneficio de la fiabilidad, y probablemente se mantendrán en el sistema. Sin embargo, hay una gran necesidad de explorar cómo se puede evaluar la capaci-dad de los estudiantes para trabajar cooperativamente, quizá utilizando formas de comunicación orales y prácticas en un ambiente usual de trabajo (p 19-22).
Otros aspectos que se deben tomar en cuenta en las evaluaciones son los procesos cognitivos y los niveles de desempeño.
Los procesos cognitivos en Matemática se evalúan agrupados en los siguientes tres niveles (Puig, 2003):
• Reconocimiento de objetos y elementos. Implica la identificación de hechos, conceptos, relaciones y propiedades matemáticas expresados de manera direc-ta y explícita en el enunciado:
- Identificar objetos y elementos.
- Interpretar representaciones matemáticas.
- Identificar relaciones y propiedades.
• Solución de problemas simples. Exige el uso de información matemática que está explícita en el enunciado, referida a una sola variable, y el establecimiento de relaciones directas necesarias para llegar a la solución:
- Interpretar la información explícita que se brinda.
- Representar la situación.
- Establecer relaciones directas entre los datos.
- Planificar una estrategia de solución.
- Registrar el proceso de resolución utilizado.
- Analizar la razonabilidad del resultado.
• Solución de problemas complejos. Requiere la reorganización de la información matemática presentada en el enunciado y la estructuración de una propuesta de solución a partir de relaciones no explícitas, en las que se involucra más de una variable:
- Interpretar la información que se brinda.
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- Reorganizar la información presentada en el enunciado.
- Seleccionar la información necesaria para resolver el problema.
- Representar la situación.
- Establecer relaciones explícitas y no explícitas entre los datos.
. Planificar una estrategia de solución.
. Registrar el proceso de resolución utilizado.
. Analizar la razonabilidad de los resultados.
El desempeño en Matemática: los niveles
El desempeño de los estudiantes en Matemática (Silva, 2006) se agrupa en tres niveles, aunque hay estudios que consideran cuatro niveles. Los niveles correspon-den a categorías de tareas que permiten identificar grupos de alumnos con similar perfil de rendimiento en las pruebas. Un estudiante cuyos resultados se ubican en un determinado nivel de desempeño muestra el rendimiento necesario para realizar, con alta probabilidad de éxito, las actividades propuestas en ese nivel, así como en los inferiores. Los niveles se establecen con el propósito central de facilitar la comunicación de lo que los alumnos pueden hacer, y se determinan a partir de una combinación de criterios empíricos, disciplinares y pedagógicos.
Progresión creciente de la dificultas en los procesos cognitivos
La progresión de los niveles de desempeño en Matemática se define a partir del aná-lisis de la combinación adecuada entre procesos cognitivos y contenidos según ni-veles crecientes de dificultad. Los procesos cognitivos caracterizados anteriormente describen categorías con complejidad creciente, que, en gran parte, constituyen un continuo a través de los niveles de desempeño, veamos el siguiente cuadro:
NIVELES PROCESOS COGNITIVOS
NIVEL I
Los alumnos reconocen hechos, conceptos, propiedades y relaciones directas y explícitas, en los distintos dominios conceptualesResuelven problemas simples en contextos familiares, que involucran el reconoci-miento y uso de una sola operación básica (adición, sustracción o multiplicación).Resuelven problemas que requieren estrategias simples, con información relevante explícita y que involucran una o dos de las cuatro operaciones básicas, en los do-minios conceptuales.
NIVEL II
Los estudiantes reconocen conceptos, relaciones y propiedades no explícitas en los distintos dominios conceptuales.Resuelven problemas simples que involucran el reconocimiento y uso de las opera-ciones básicas (adición, sustracción, multiplicación o división).
NIVEL III
Los estudiantes de este nivel resuelven problemas en los dominios conceptuales que involucran el uso de conceptos o conexiones entre diferentes conceptos, rela-ciones y propiedades de mayor nivel cognitivo. Pueden interpretar información de distintas representaciones.
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Se recomienda que la evaluación del aprendizaje sea un proceso continuo y variado en su forma. Es imprescindible que las evaluaciones se presenten en diferentes for-matos, no solo en cuestionarios de selección múltiple o la resolución de problemas, ya que al variar estos métodos ayudaremos a los estudiantes a familiarizarse con distintas formas de evaluación. La observación es una gran herramienta de evalua-ción, pues logra corregir errores en el proceso y permite evaluar aspectos diversos a los netamente cognitivos como son las actitudes, el orden y la rigurosidad en los justificativos, entre otros.
Los ejemplos, evaluaciones o parte de evaluaciones que se presentan a continua-ción han sido tomadas de los Recursos Educativos Abiertos puesto a disposición de profesionales en el quehacer matemático por profesores colombianos y han sido recuperados de la página web: http://www.sectormatematica.cl
4.1.1. Orientaciones para la evaluación en el subnivel Elemental
La siguiente evaluación se plantea para evaluar las destrezas básicas imprescindi-bles que pueden ser propuestas para el tercer grado de EGB (Con diferentes ejer-cicios y problemas se evalúa el grado de dominio de la destreza alcanzada por el estudiante.
Ejercicios(ejemplos)
DCDRúbrica
Alcanza la des-treza
Está próximo a al-canzar la destreza
No logra aún la destreza
1. Dictado de números:134, 555, 628,…2. Escriba los siguientes números123, 432, 622,…3. Descom-ponga en Centenas (C), decenas (D) y unidades (U) 7294.¿Quénúme-ro representa?:2U+4D+6C3C+9D+1U
- Reconocer, repre-sentar, escribir y leer los números naturales del 0 al 999 en forma con-creta, gráfica (en la semirrecta numéri-ca) y simbólica.
- Reconocer el va-lor posicional de números del 0 al 999 a base de la composición y descomposición en centenas, decenas y unidades.
El estudiante escribe correc-tamente los nú-meros de forma numérica y tex-tual.El estudiante re-conoce el valor posicional de los números.
El estudiante es-cribe bien la ma-yoría de números de manera numé-rica y textual.El estudiante reconoce en la mayoría de ejer-cicios el valor posicional de los números.
El estudiante se confunde en el dictado y en la escritura de nú-meros.El estudiante aún no reconoce el valor posicio-nal, se equivoca en la mayoría de ejercicios.
5. Complete la secuencia según corres-ponda: 172,..,..,.., 176,.., 215,..,..,221,..6. Ordena de mayor a me-nor:320, 123, 243, 425, 521,….
- Establecer relacio-nes de secuencia y de orden en un conjunto de núme-ros de hasta cuatro cifras utilizando simbología mate-mática (=, <, ≤, >, ≥).
El estudiante completa las secuencias de orden en for-ma ascendente y descendente. Reconoce el pa-trón y completa las secuencias (suma/resta)
El estudian-te completa la mayoría de las secuencias de orden en for-ma ascendente y descendente. Reconoce la ma-yoría de los pa-trones y comple-ta las secuencias (suma/resta)
El estudiante no logra comple-tar las secuen-cias de orden y no reconoce la mayoría de los patrones al completar las secuencias (suma/resta)
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7. El precio de una revista es de $600 pesos y el de un dia-rio es de $250. Juan compra una revista y un diario y para pagar le da al vendedor $750.¿Cuán-to dinero le entrega el vendedor de vuelto?
- Resolver y plantear (gráficamente) problemas de adi-ción y sustracción con reagrupación con números de hasta tres cifras e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
El estudiante in-terpreta la infor-mación correc-tamente, plantea las operaciones necesarias, las resuelve e res-ponde la pre-gunta dentro del contexto del problema.
El estudiante in-terpreta la infor-mación correc-tamente, plantea las operaciones necesarias pero no resuelve el problema de ma-nera correcta (se equivoca al ope-rar o al interpre-tar la solución en el contexto del problema)
El estudiante no logra interpretar correctamente la información, plantea opera-ciones erradas.
Con el siguiente cuadro se puede tener una visión general de las dificultades de los estudiantes, tomar los correctivos necesarios y reforzar una u otra destreza que aún no esté desarrollada en el grupo o a su vez, puede servir para desarrollar trabajo di-ferenciado solo con parte de los estudiantes y/o diseñar apoyo individual para ellos.
Ejer-cicio Nivel DCD
% de estu-diantes que maneja la destreza
% de estu-diantes que están próxi-mos a lograr la destreza
% de estu-diantes que no logran la
destreza
1 I Los alumnos re-conocen hechos, conceptos, pro-piedades y rela-ciones directas y explícitas, en los distintos dominios conceptuales.
- Reconocer, re-presentar, escri-bir y leer los nú-meros naturales del 0 al 999 en forma concreta, gráfica (en la se-mirrecta numéri-ca) y simbólica.
2 I Los alumnos re-conocen hechos, conceptos, pro-piedades y rela-ciones directas y explícitas, en los distintos dominios conceptuales.
3 I Resuelven proble-mas simples en contextos familia-res, que involucran el reconocimiento y uso de una sola operación básica (adición, sustrac-ción o multiplica-ción).
- Reconocer el valor posicional de números del 0 al 999 a base de la composi-ción y descom-posición en cen-tenas, decenas y unidades.
260 M
4 I Resuelven proble-mas simples que involucran el reco-nocimiento y uso de las operaciones básicas (adición, sustracción, mul-tiplicación o divi-sión).
5 I Resuelven proble-mas simples en contextos familia-res, que involucran el reconocimiento y uso de una sola operación básica (adición, sustrac-ción o multiplica-ción).
- Establecer re-laciones de se-cuencia y de orden en un conjunto de nú-meros de hasta cuatro cifras uti-lizando simbolo-gía matemática (=, <, ≤, >, ≥).
6 I Resuelven proble-mas simples que involucran el reco-nocimiento y uso de las operaciones básicas (adición, sustracción, mul-tiplicación o divi-sión).
7 I Los estudiantes de este nivel re-suelven proble-mas en los domi-nios conceptuales que involucran el uso de conceptos o conexiones en-tre diferentes con-ceptos, relaciones y propiedades de mayor nivel cogni-tivo. Pueden inter-pretar información de distintas repre-sentaciones.
- Resolver y plantear (grá-f i c a m e n t e ) problemas de adición y sus-tracción con re a g r u p a c i ó n con números de hasta tres cifras e interpretar la solución dentro del contexto del problema.
Otros ejercicios que se pueden plantear como parte de la evaluación de las destre-zas son los siguientes:
1) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
621 + 312 = 384 – 217 =
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2) VERDADERO O FALSO
1 __ El número 148 es menor que 300, pero mayor que 12
2 __ Si Luis tiene 9U, y Javier tiene 1C, Luis tiene más que Javier
3__ El resultado de 150 + 16 es igual a 1C+6D+6U
4__ Dos números mayores que el 627 son el 840 y el 626
5__ Si cada huevo vale 5D, con $300, compro 6 huevos
3) Completa la siguiente secuencia de sumas y restas teniendo presente que por cada:
= Aumenta 7 = disminuye 8
= Aumenta 17 = disminuye 11
= Aumenta en 5
12
634
El ejercicio 1 es de Nivel I, el ejercicio 2 es de Nivel II y el ejercicio 3 es de Nivel III. Este último ejercicio ayuda a desarrollar el nivel de abstracción de los estudiantes, trabajar con símbolos e interpretarlos con distintos significados les prepara para el trabajo futuro con variables y funciones.
4.1.2. Orientaciones para la evaluación en el subnivel Medio
La siguiente prueba es una evaluación sumativa para el 6° grado de EGB.
Las destrezas con criterios de desempeño que se quiere evaluar se muestran a continuación:
262 M
Destrezas con criterios de desempeño
- Identificar y encontrar múltiplos y divisores de un conjunto de números natu-rales.
- Identificar números primos y números compuestos por su definición.- Encontrar el mínimo común múltiplo de un conjunto finito de números natu-
rales.- Calcular sumas y restas con fracciones determinando el denominador común.- Reconocer la proporcionalidad directa entre dos magnitudes en problemas
de texto.
Ejercicios(ejemplos)
DCDRúbrica
Alcanza la des-treza
Está próximo a al-canzar la destreza
No logra aún la destreza
1. Escribe los cinco primeros múltiplos de 6.2. Escribe to-dos los diviso-res de 36.
- Identificar y en-contrar múltiplos y divisores de un con-junto de números naturales.
El estudiante es-cribe e identifica de manera co-rrecta los 5 múl-tiplos de 6 y to-dos los divisores de 36.
El estudiante en lista los múltiplos de 6 pero no to-dos los divisores de 36 (o vicever-sa)
El estudiante no puede iden-tificar todos los múltiplos de 6 ni todos los diviso-res de 36
3. Juan es un mecánico y su función es hacer coinci-dir que ciertas luces se pren-dan a un mis-mo tiempo. Él observó lo si-guiente:Las luces rojas se encienden cada 2 segun-dos,Las luces ver-des se encien-den cada 3 se-gundos,Las luces azu-les se encien-den cada 4 se-gundos.¿Cuándo seencenderán las luces al mismo tiempo para poder hacer el corte de luz, y así poder arre-glar las luces en forma defi-nitiva?
- Encontrar el míni-mo común múltiplo de un conjunto finito de números natura-les.
El estudiante in-terpreta el pro-blema, plantea el camino de solu-ción pero no re-suelve el proble-ma de manera correcta.
El estudiante in-terpreta el pro-blema, plantea el camino de so-lución pero no resuelve el pro-blema de manera correcta.
El estudiante no interpreta de manera correc-ta el problema y no lo resuelve.
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4. a) Explique qué es un nú-mero primo e indique un ejemplo.b) ¿El número18 es un núme-ro primo? Ex-plique
- Identificar núme-ros primos y núme-ros compuestos por su definición.
El estudiante puede explicar lo que es un nú-mero primo y puede aplicar el concepto.
El estudiante puede explicar lo que es un núme-ro primo pero no puede recono-cerlos.
El estudiante no sabe lo que es un número pri-mo y no puede reconocerlos.
5. Un arqueó-logo encontró 44 piezas de un antiguo pla-to circular.La primera pie-za es 1/5 del plato.La segunda pieza es 1/7 del plato.La tercera pie-za es 1/5 del plato.La cuarta pie-za es 1/6 del plato.¿Tiene el ar-queólogo to-das las piezas n e c e s a r i a s para recons-truir el plato?
- Calcular sumas y restas con fraccio-nes determinando el denominador co-mún.
El estudiante interpreta co-rrectamente la información del problema, plan-tea la operación correcta y re-suelve el proble-ma en su contex-to.
El estudiante interpreta co-rrectamente la información del problema, plan-tea la operación correcta pero comete errores en la suma de las cantidades (de-nominador co-mún)
El estudiante no interpreta de manera correc-ta el problema y no lo puede re-solver.
6. Inventa un problema de la vida diaria que relacione dos magnitu-des de manera proporcional directa.
- Reconocer la pro-porcionalidad direc-ta entre dos magni-tudes en problemas de texto
El estudiante plantea el pro-blema de mane-ra correcta.
El estudiante plantea el pro-blema pero no de manera clara.
El estudiante no logra plantear el problema
Los ejercicios 1 a 5 tienen diferentes niveles en cuanto a los procesos cognitivos involucrados. El ejercicio 6 va más allá de evaluar la destreza de reconocer la pro-porcionalidad directa, este es un problema de transferencia de conocimiento pues además de reconocer la proporcionalidad debe plantear un problema, destreza se la desarrolla en 7mo año pero se puede plantear preguntas de este tipo ahora cómo un reto para los alumnos. A quienes lo logren le puede dar un puntaje extra para así no castigar a aquellos que no lo logren.
Una vez corregida la evaluación puede completar la siguiente tabla para tener una visión completa de su grupo de estudiantes:
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Ejer-cicio Nivel DCD
% de estu-diantes que maneja la destreza
% de estu-diantes que están próxi-mos a lograr la destreza
% de es-tudiantes
que no logran la destreza
1 y 2 I Los alumnos re-conocen hechos, conceptos, pro-piedades y rela-ciones directas y explícitas, en los distintos dominios conceptuales.
- Identificar y encontrar múlti-plos y divisores de un conjunto de números na-turales.
3 III Resuelven proble-mas simples que involucran el reco-nocimiento y uso de las operaciones básicas
- Resuelven pro-blemas simples que involucran el reconocimiento y uso de las ope-raciones básicas
4 II Resuelven proble-mas simples que involucran el reco-nocimiento y uso de las operaciones básicas
- Identifi-car números pri-mos y números compuestos por su definición.
5 III Los estudiantes de este nivel re-suelven proble-mas en los domi-nios conceptuales que involucran el uso de conceptos o conexiones en-tre diferentes con-ceptos, relaciones y propiedades de mayor nivel cogni-tivo. Pueden inter-pretar información de distintas repre-sentaciones.
- Calcular sumas y restas con frac-ciones determi-nando el deno-minador común.
6 IIII
Transferencia - Reconocer la proporcional i -dad directa entre dos magnitudes en problemas de texto.
Con los resultados de esta tabla, se pueden tomar los correctivos necesarios para fortalecer las destrezas que sean necesarias y/o diseñar actividades de apoyo indi-viduales o grupales para fortalecer las destrezas y así diferenciar la educación en el grupo.
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4.1.3. Orientaciones para la evaluación en el subnivel Superior
La evaluación que se muestra a continuación es de carácter formativa para 9no grado, con intención de evaluar la siguiente destreza:
• Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
Ejercicios Ni-vel Proceso cognitivo Logra la
destrezaEstá próximo a
lograr la destrezaNo logra la destreza
% alumnos que no
logran la destreza
Si x representa la longitud de un trazo en cm.a)¿Cuálseríauna expresión algebraica que representara que el trazo aumentó 5 cm?b)¿Quésigni-fica entonces: (3x+2) cm?
I Los alumnos re-conocen hechos, conceptos, pro-piedades y rela-ciones directas y explícitas, en los distintos domi-nios conceptua-les.
El estu-d i a n t e puede es-cribir ex-presiones a lgebra i -cas a partir de un texto y puede interpretar de manera textual una e c u a c i ó n algebraica
El estudiante puede escri-bir expresiones algebraicas a partir de un tex-to pero no logra interpretar de manera textual una ecuación algebraica (o viceversa).
ecuaciones a partir de un texto y t a m p o c o puede in-t e r p r e t a r de manera textual una ecuación al-gebraica.
Una familia de 5 perso-nas consume d i a r i a m e n t e las siguientes cantidades de café: el padre 1,5 gramos, la madre 2,5 gra-mos y los hijos 1 gramo cada uno. ¿Cuántosdías durara un tarro de café de 175 gramos?
I Resuelven pro-blemas simples en contextos familiares, que involucran el re-conocimiento y uso de una sola operación básica (adición, sustrac-ción o multiplica-ción).
El estu-diante in-terpreta el problema de manera co r re c t a , plantea las operacio-nes ne-c e s a r i a s , resuelve el problema en el con-texto co-rrecto
El estudiante interpreta de manera correc-ta el problema, plantea las ope-raciones nece-sarias pero no logra resolverlo en el contexto correcto
El estudian-te no logra interpretar correcta-mente el problema y no lo resuel-ve.
Resuelve:
4a
+6=2a
+3a
II Resuelven pro-blemas simples que involucran el reconocimiento y uso de las ope-raciones básicas (adición, sustrac-ción, multiplica-ción o división).
El estu-diante re-suelve la e c u a c i ó n de manera correcta.
El estudiante comete errores en las opera-ciones y no lo-gra resolver la ecuación
El estudian-te no opera c o r r e c t a -mente
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Al preguntár-sele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estu-dia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima par-te aprende Fi-losofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Pue-des deducir cuántos alum-nos tenía el fa-moso matemá-tico griego?
III Los estudian-tes de este nivel resuelven pro-blemas en los dominios con-ceptuales que involucran el uso de conceptos o conexiones en-tre diferentes conceptos, rela-ciones y propie-dades de mayor nivel cognitivo. Pueden interpre-tar información de distintas re-presentaciones.
El estu-diante in-t e r p r e t a correcta-mente el problema, plantea la e c u a c i ó n necesaria, resuelve el problema en el con-texto ade-cuado.
El estudiante interpreta co-rrectamente el problema, plan-tea la ecuación necesaria pero no logra resol-verlo (come-te errores de cálculo)
El estudian-te no logra interpretar el problema.
Al corregir la evaluación y completar la última columna de la tabla, tendrá una vi-sión general de qué tan bien dominan esta destreza sus alumnos y así tomar los co-rrectivos necesarios, diseñando actividades individuales o grupales para diferenciar el aprendizaje y en este caso el afianzamiento de la destreza. Esta destreza es muy importante para el trabajo algebraico de la matemática en este subnivel y en BGU.
4.1.4. Orientaciones para la evaluación en el nivel de Bachillerato
Sistemas de ecuaciones lineales es un tema muy importante en el BGU, la resolu-ción de sistemas de ecuaciones lineales se los utiliza en el trabajo de otros temas como Programación Lineal y además se aplica en las otras disciplinas como son física, química, economía, entre otras.
Supongamos que queremos evaluar este tema y verificar que los estudiantes hayan logrado desarrollar las destrezas correspondientes que se muestran en el cuadro a continuación:
Destrezas con criterios de desempeño
- Resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas (ninguna solu-ción, solución única, infinitas soluciones), ecuaciones lineales con tres incógnitas (infinitas soluciones), sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas (infinitas soluciones), sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas soluciones) de manera analítica utili-zando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.
- Descomponer funciones racionales en fracciones parciales resolviendo los siste-mas de ecuaciones correspondientes.
- Resolver y plantear problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas) interpretando y juzgan-do la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
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En el siguiente cuadro se proponen ejemplos de ejercicios y una rúbrica para eva-luarlos según la destreza correspondiente:
Ejercicios(ejemplos)
DCDRúbrica
Alcanza la des-treza
Está próximo a al-canzar la destreza
No logra aún la destreza
1. Resuelva el sis-tema el siguiente sistema de ecua-ciones lineales:2x - 4y = 103x + 4y= 6
Resolver sistemas de dos ecuacio-nes lineales con dos incógnitas (ninguna solución, solución única, in-finitas soluciones) de manera analí-tica.
El estudiante re-suelve el sistema de ecuaciones de manera co-rrecta y escoge el método más apropiado (eliminación) y comprueba su resultado
El estudiante re-suelve el sistema de ecuaciones de ma-nera correcta con un método para el que requiere más cálculos.
El estudian-te no aplica c o r r e c t a -mente un método de solución y no consigue resolver el sistema.
2. Resuelva el sis-tema de ecuacio-nes lineales:2x+3y-z = 36x-2z+3z = -1
Resolver sistemas de dos ecuacio-nes lineales con tres incógnitas (infinitas solucio-nes) de manera analítica.
El estudiante re-conoce que este sistema tiene in-finitas soluciones y calcula la solu-ción paramétrica de manera co-rrecta.
El estudiante reco-noce que este sis-tema tiene infinitas soluciones pero co-mete errores en la solución.
El estudian-te no reco-noce que es un sistema con infinitas soluciones.
3. Reescriba la si-guiente expresión algebraica en frac-ciones parciales:
D e s c o m p o n e r funciones racio-nales en frac-ciones parciales resolviendo los sistemas de ecua-ciones correspon-dientes.
El estudiante re-conoce los fac-tores del deno-minador, plantea el sistema de ecuaciones, lo resuelve correc-tamente y rees-cribe la expre-sión.
El estudiante reco-noce los factores del denominador pero no plantea el sistema de ecuacio-nes correcto.El alumno reconoce los factores del de-nominador, plantea el sistema de ecua-ciones pero no lo resuelve de manera correcta o no rees-cribe la expresión algebraica.
El estu-diante no r e c o n o c e los factores del deno-minador o no puede aplicar el proceso de solución (no plantea el sistema de ecuaciones necesario).
4. La suma de las tres cifras de un número es el tri-ple de la primera cifra. La suma de la primera y la ter-cera cifra es igual a la segunda cifra. Si sumamos la se-gunda y la tercera cifra obtenemos el número 8. Encuen-tre el número.
Resolver y plan-tear problemas de aplicación de sistemas de ecua-ciones lineales (hasta tres ecua-ciones lineales con hasta tres incógnitas) inter-pretando y juz-gando la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
El estudiante plantea el siste-ma de ecuacio-nes correcto, lo resuelve, com-prueba su resul-tado y escribe la respuesta
El estudiante plan-tea el sistema de ecuaciones correcto pero comete erro-res al resolverlo, no comprueba su re-sultado.
El estudian-te no logra plantear el sistema de ecuaciones.
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Luego de corregir la evaluación puede completar el cuadro que se presenta a con-tinuación en el que se detalla el nivel de proceso cognitivo al que hace referencia cada ejercicio propuesto:
Ejer-cicio Nivel DCD
% de estu-diantes que maneja la destreza
% de estu-diantes que están próxi-mos a lograr la destreza
% de es-tudiantes
que no logran la destreza
1 I En este ejercicio, el sistema de ecuacio-nes está planteado, los estudiantes apli-can un método de resolución y se com-prueba su habilidad calculatoria, única-mente aplica ope-raciones básicas. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos in-cógnitas (ninguna solución, solución única, infinitas solu-ciones) de manera analítica.
Resolver sistemas de dos ecuaciones linea-les con dos incógnitas (ninguna solución, so-lución única, infinitas soluciones) de manera analítica.
2 Ii En este ejercicio, el sistema de ecuacio-nes está planteado, además de saber cal-cular, los estudiantes deben aplicar un concepto más abs-tracto, una solución paramétrica, ya no numérica.
Resolver sistemas de dos ecuaciones linea-les con tres incógnitas (infinitas soluciones) de manera analítica.
3 III En este ejercicio, los estudiantes deben plantear el sistema de ecuaciones y de-ben aplicar conoci-mientos anteriores (factoreo).
Descomponer funcio-nes racionales en frac-ciones parciales resol-viendo los sistemas de ecuaciones correspon-dientes.
4 III En este ejercicio, los alumnos deben com-prender el problema, plantear el sistema de ecuaciones, resol-verlo, comprobarlo y responder dentro del contexto
Resolver y plantear problemas de aplica-ción de sistemas de ecuaciones lineales (hasta tres ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas) interpre-tando y juzgando la va-lidez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
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Al completar el cuadro tendrá una visión general del grupo de estudiantes y puede tomar los correctivos pertinentes que pueden ser trabajar con los grupos de alum-nos para reforzar una u otra destreza o diseñar un plan individual para los alumnos con más problemas o simplemente buscar actividades para hacer un trabajo dife-renciado con los estudiantes.
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