Universidad Metropolitana Matemtica I (BPTMI01) Departamento de Matemticas
Resumen tomado del Problemario Clculo Diferencial e Integral por publicar
FUNCIONES ELEMENTALES
Las grficas fueron realizadas con geogebra
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FUNCIONES
Una funcin f de A en B es una relacin que a cada elemento x del conjunto A le asigna un
nico elemento del conjunto B, denotado por )(xf , y se escribe:
)(
BA:
xfx
f
El conjunto A se denomina dominio de la funcin, y se denota por fDom .
A )(xf se le denomina imagen de x mediante f.
El conjunto de todas las )(xf se denomina rango de la funcin, y se denota por fRg .
Si RA y RB , la funcin se denomina funcin real de variable real.
La representacin en el plano de todos los pares )(, xfx se denomina grfica de la funcin.
Funciones pares e impares:
Una funcin real de variable real f es par si )()( xfxf para toda x. En este caso, la
grfica de la funcin es simtrica con respecto al eje y.
Una funcin real de variable real f es impar si )()( xfxf para toda x. En este caso,
la grfica de la funcin es simtrica con respecto al eje origen.
Funciones crecientes y decrecientes:
Una funcin real de variable real f es creciente en un intervalo I si y slo si
2121 xfxfxx para todo par de nmeros x1 y x2 en I. Una funcin real de variable real f es decreciente en un intervalo I si y slo
si 2121 xfxfxx para todo par de nmeros x1 y x2 en I. Una funcin real de variable real f es estrictamente montona si es creciente o
decreciente.
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OPERACIONES CON FUNCIONES
Sean f y g dos funciones reales de variable real de dominios fDom y gDom respectivamente.
Las funciones suma, diferencia, producto, multiplicacin por un escalar y cociente se define como:
)()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom .
)()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom .
)()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom .
)()( xkfxfk para todo nmero real k y toda fx Dom .
)(
)()(
xg
xfx
g
f
para toda 0)(/ xgxx gfgf DomDomDomDom .
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ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIN POLINMICA
La funcin real de variable real definida por nn xaxaxaaxf 2
210)( donde naaa ,,, 10
son nmeros reales se denomina funcin polinmica, y se escribe
nn xaxaaxfx
f
10)(
RR:
Si 0na , el grado es n.
Dominio: El dominio de toda funcin polinmica es el conjunto de los nmeros reales, es decir,
RDom f .
CASOS PARTICULARES Funcin constante:
La funcin real de variable real definida por bxf )( donde b es un nmero real se denomina
funcin constante, y se escribe:
bxfx
f
)(
RR:
i) Dominio: El dominio de toda funcin constante es el conjunto de los nmeros reales, es decir,
RDom f .
ii) Rango: El rango de toda funcin constante es el conjunto unitario que contiene a b, es decir
bRg f . iii) Grfica: La grfica de toda funcin constante es una recta paralela al eje x que interseca al
eje y en el punto b,0 .
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5
Ejemplo
Sea f la funcin real de variable real definida por 2)( xf
Dominio Rango Grfica
RDom f
2Rg f
Funcin afn
La funcin real de variable real definida por baxxf )( donde a y b son nmeros reales y
0a se denomina funcin afn, y se escribe:
baxxfx
f
)(
RR:
i) Dominio: El dominio de toda funcin afn es el conjunto de los nmeros reales, es decir,
RDom f .
ii) Rango: El rango de toda funcin afn es el conjunto de los nmeros reales, es decir RRg f .
iii) Grfica: La grfica de toda funcin afn es una recta que interseca al eje y en el punto b,0 e
interseca al eje x en el punto
0,
a
b. El nmero a se denomina pendiente de la recta.
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Ejemplos:
1) Sea f la funcin real de variable real definida por 24)( xxf
Dominio Rango Grfica
RDom f
RRg f
Observa que como 04 a la pendiente es positiva y la medida del ngulo que forma la recta
con el semieje positivo de la x est entre 0 y 90 , y la funcin f es creciente en todo su dominio.
2) Sea f la funcin real de variable real definida por 32
1)( xxf
Dominio Rango Grfica
RDom f
RRg f
Observa que como 02
1a la pendiente es negativa y la medida del ngulo que forma la recta
con el semieje positivo de la x est entre 90 y 180 , y la funcin f es decreciente en todo su
dominio.
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Funcin cuadrtica
La funcin real de variable real definida por cbxaxxf 2)( donde a, b y c son nmeros
reales y 0a se denomina funcin cuadrtica, y se escribe
cbxaxxfx
f
2)(
RR:
i) Dominio: El dominio de toda funcin cuadrtica es el conjunto de los nmeros reales, es decir,
RDom f
El vrtice de la parbola es el punto
a
bf
a
b
2,
2, luego:
ii) Rango: si 0a : el rango es el intervalo
,
2a
bf ; si 0a el rango es el intervalo
a
bf
2, .
iii) Grfica:
La grfica es una parbola. Si 0a la parbola abre hacia arriba.
Si 0a la parbola abre hacia abajo.
Interseca al eje y en el punto )0(,0 f = c,0 . Los puntos de interseccin con el eje x dependen de las soluciones de la ecuacin
02 cbxax .
Ejemplos:
1) Sea f la funcin real de variable real definida por , 32)( 2 xxxf
i) RDom f .
ii) Como la grfica es una parbola, cuyo vrtice es el punto de coordenadas 4,1 . iii) Como 01a la parbola abre hacia arriba y se tiene que ,4Rg f .
iv) La grfica interseca al eje x en los puntos 0,1 y 0,3 e interseca al eje y en el punto 3,0 .
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v) Grfica de f se muestra en la figura: Observa que:
Si 3,1x entonces
032)( 2 xxxf y si
,31,x entonces 0)( xf .
f es creciente en el intervalo ,1 y es decreciente en el intervalo
1, .
2) Sea f la funcin real de variable real definida por 32)( 2 xxxf
i) RDom f
ii) Como la grfica es una parbola cuyo vrtice es el punto de coordenadas 2,1 .
iii) Como 01a la parbola abre hacia abajo y se tiene que 2,Rg f .
iv) La grfica no interseca al eje x e interseca al eje y en el punto 3,0 . v) Grfica de f se muestra en la figura: Observa que:
si Rx entonces
032)( 2 xxxf .
f es decreciente en el intervalo
,1 y es creciente en el intervalo 1,
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Funciones potencias
La funcin real de variable real definida por nxxf )( donde n es un nmero entero positivo se
denomina funcin potencia, y se escribe:
N,)(
RR:
nxxfx
fn
i) Dominio: El dominio de toda funcin potencia entera es el conjunto de los nmeros reales, es
decir, RDom f .
ii) Rango:
Si n es par el rango de toda funcin potencia entera es el conjunto de los nmeros reales
no negativos, es decir ,0Rg f . Si n es impar el rango de toda funcin potencia entera es el conjunto de los nmeros
reales, es decir RRg f .
iii) Grfica:
La grfica contiene al punto 0,0 . Si n es par, la grfica decrece para 0,x y crece para ,0x y contiene los
puntos 1,1 y 1,1 . Es similar a la grfica de 2)( xxf . Si n es impar la grfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el
primero y contiene los puntos 1,1 y 1,1 . Es similar a la grfica de 3)( xxf .
NOTA: Los casos 1n y 2n ya fueron estudiados.
Ejemplos:
1) Sea f la funcin real de variable real definida por 4)( xxf
Dominio Rango Grfica
RDom f
,0Rg f
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Observa que:
f es una funcin par, ya que )()( 44 xfxxxf f es creciente en el intervalo ,0 y es decreciente en el intervalo 0,
2) Sea f la funcin real de variable real definida por 3)( xxf
Dominio Rango Grfica
RDom f
RRg f
Observa que:
f es una funcin impar, ya que )()( 33 xfxxxf f es creciente en R.
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FUNCIN VALOR ABSOLUTO
La funcin real de variable real definida por xxf )( se denomina funcin valor absoluto, y
se escribe:
xxfx
f
)(
RR:
i) Dominio: El dominio de la funcin valor absoluto es el conjunto de los nmeros reales, es decir,
RDom f .
ii) Rango: El rango de la funcin valor absoluto es el conjunto de los nmeros reales no
negativos, es decir, ,0Rg f .
iii) Grfica: Dado que
0xsi-
0si)(
x
xxxxf ,
La grfica coincide con la grfica de la recta xy a la derecha del eje y, y con la grfica
de la recta xy a la izquierda del eje y.
Observa que:
f es una funcin par, ya que )()( xfxxxf
f es creciente en el intervalo ,0 y es decreciente en el intervalo 0,
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FUNCIN PARTE ENTERA
La funcin real de variable real definida por xxf )( , que a cada nmero real x le asigna su parte entera, se denomina funcin parte entera, es decir, es la funcin que a cada nmero real x le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, y se escribe:
xxfxRRf
)(
:
i) Dominio: El dominio de la funcin parte entera es el conjunto de los nmeros reales, es decir,
RDom f .
ii) Rango: El rango de la funcin parte entera es el conjunto de los nmeros enteros, es decir,
Zf Rg .
iii) Grfica:
La grfica contiene todos los puntos de la forma nn , con Zn La grfica tiene forma de una escalera, donde la imagen de cada nmero real x
perteneciente a un intervalo de la forma 1, nn con Zn , es constante y coincide con la grfica de ny
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FUNCIN RACIONAL
La funcin real de variable real definida por )(
)()(
xq
xpxf donde )(xp y )(xq son polinomios con
0)( xq se denomina funcin racional.
Dominio: El dominio de toda funcin racional es el conjunto de todos los nmeros reales que no
anulen el denominador, es decir, 0)(:RDom xqxRf .
Ejemplo:
Sea f la funcin real de variable real definida por 123
65)(
2
x
xxxf
4R0123:RRDom xxf CASO PARTICULAR
La funcin real de variable real definida por x
xf1
)( . Conocida como funcin recproca, y se
escribe:
xxfx
f
1)(
RR: **
i) Dominio: El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales que no anulen el denominador,
es decir, 0R0:RDom xxf ii) Rango: El rango es el conjunto de todos los nmeros reales que no anulen el denominador, es
decir, 0R0:RRg xxf iii) Grfica de f:
La grfica decrece de izquierda a derecha en el tercer cuadrante pasando por el punto
1,1 . La grfica decrece de izquierda a derecha en
el primer cuadrante pasando por el punto
1,1 . Observa que:
f es una funcin impar, ya que
)(11
)( xfxx
xf
f es decreciente en los intervalos 0, y ,0
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FUNCIN RAZ CUADRADA
La funcin real de variable real definida por xxf )( se denomina funcin raz cuadrada
positiva, y se escribe:
xxfx
f
)(
,0,0:
i) Dominio: El dominio de la funcin raz cuadrada es el conjunto de los nmeros reales no
negativos, es decir, ,0Dom f . ii) Rango: El rango de la funcin raz cuadrada es el conjunto de los nmeros reales no
negativos, es decir, ,0Rg f . iii) Grfica:
La grfica contiene al punto 0,0 . La grfica crece de izquierda a derecha en el primer cuadrante.
Observa que:
f es creciente en todo su dominio.
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FUNCIN INVERSA
Una funcin real de variable real f es inyectiva si y slo si 2121 xfxfxx para todo par de nmeros x1 y x2 en el dominio.
Observa que toda funcin estrictamente montona en su dominio es inyectiva.
Sea f una funcin inyectiva, de dominio A y rango B. La funcin inversa de la funcin f
denotada por 1f es la funcin de dominio B y rango A definida por yxfxyf )()(1
para todo y en B.
Observa que:
xxff )(1 para toda x en B xxff )(1 para toda x en A
Ejemplo: La funcin
f: ,0,0 definida por 2)( xxf admite inversa, y su inversa es la funcin
:1f ,0,0 definida por xxf )(
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ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS INVERSAS
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Funcin seno
Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x le asigna el seno del ngulo que mide x radianes, y se escribe:
radsensen
1,1-R
xxxfx
f
)(
:
i) Dominio: RDom f .
ii) Rango: 1,1Rg f . iii) Grfica:
Es peridica, de perodo 2 , es decir , xx sen2sen para todo Rx Zk,0sen0)( kxxxf
Zk2k2
1sen1)( xxxf
Zk2k2
31sen1)( xxxf .
Observa que:
f es una funcin impar, ya que
)(sen)(sen)( xfxxxf
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Funcin coseno
Es la funcin real de variable real x que a cada nmero real x le asigna el coseno del ngulo que mide x radianes , y se escribe:
radcos
1,1-R
xxxfx
f
cos)(
:
i) Dominio: RDom f .
ii) Rango: 1,1Rg f . iii) Grfica:
Es peridica, de perodo 2 , es decir , osxxos c2c para todo Rx
00)( osxxf c Z,
kk2
.
Zk2k1c1)( xosxxf .
Zk,12k1c1)( xosxxf .
Observa que:
f es una funcin par, ya que
)(c)(c)( xfxosxosxf
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Funcin tangente
Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z,
kk2
, le
asigna la tangente del ngulo que mide x radianes , y se escribe:
radsentan
RRDom
xx
xxxfx
f f
tancos
)(
:
i) Dominio: 0)cos(:R-RDom xxf
Z,2
:R-R kkxx
.
ii) Rango: RRg f .
iii) Grfica:
Es peridica, de perodo , es decir , xx tantan para todo fDomx Zk,0tan0)( kxxxf .
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Funcin secante
Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z,2
kk , le asigna
la secante del ngulo que mide x radianes , y se escribe:
radsec
RRDom
xx
xxfx
f f
seccos
1)(
:
i) Dominio: 0)cos(:R-RDom xxf
Z,2
:R-R kkxx
ii) Rango: ,11,Rg f . iii) Grfica:
Es peridica, de perodo 2 , es decir , xx sec2sec para todo fx Dom
0)( xf para todo fx Dom .
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Funcin cosecante
Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z, kk , le asigna la
cosecante del ngulo que mide x radianes , y se escribe:
radsen
csc
RRDom
xx
xxfx
f f
csc1
)(
:
i) Dominio: 0)sen(:R-RDom xxf Z,:R-R kkxx .
ii) Rango: ,11,Rg f . iii) Grfica:
Es peridica, de perodo 2 , es decir, scxx c2csc para todo fx Dom .
0)( xf para todo fx Dom .
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21
Funcin cotangente
Es la funcin real de variable real que a cada nmero real x diferente de Z, kk , le asigna la
cotangente del ngulo que mide x radianes , y se escribe:
radansen
cotan
RRDom
xx
xxxfx
f f
cotcos
)(
:
i) Dominio: 0)sen(:R-RDom xxf Z,:R-R kkxx
ii) Rango: RRg f .
iii) Grfica:
Es peridica, de perodo , es decir , xx cotancotan para todo fx Dom .
Zkk2
0cotan0)( xxxf .
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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS Funcin arco seno
La funcin seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo
2
,
2
donde ella
es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su
inversa es la funcin arco seno, definida por xaxf rcsen)( o por xxf -1sen)( tal que
xyyxa senrcsen y 2
2
y con 11 x
y se escribe:
xxxfx
f
1senarcsen)(
2
,
2
-1,1-:
i) Dominio: 1,1Dom f .
ii) Rango:
2
,
2
Rg f .
iii) Grfica:
La grfica de la funcin arco seno contiene al punto
2
,1 ya que
2
1rcsen a .
La grfica de la funcin arco seno contiene al punto 0,0 ya que 0)0(rcsen a .
La grfica de la funcin arco seno contiene al punto
2
,1 ya que
2
1rcsen a .
La grfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero como se muestra a continuacin.
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Funcin arco coseno
La funcin coseno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo ,0 donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su
inversa es la funcin arco coseno, definida por xaxf rccos)( o por xxf -1cos)( , tal que
xyyxa cosrccos y 0 y con 11 x
y se escribe:
xxxfx
f1cosarccos)(
,01,-1:
i) Dominio: 1,1Dom f .
ii) Rango: ,0Rg f . iii) Grfica:
La grfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero.
La grfica de la funcin arco coseno contiene al punto 0,1 ya que 0)1(arccos . La grfica de la funcin arco coseno contiene al punto ,1 ya que 1rccos a .
La grfica de la funcin arco coseno contiene al punto
2
,0 ya que
2
0arccos .
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24
Funcin arco tangente
La funcin tangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo
2
,
2
donde
ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su
inversa es la funcin arco tangente, definida por xaxf rctan)( o por xxf -1tan)( tal que
xyyxa tanrctan y 2
2
y con Rx
y se escribe
xxxfx
f
1tanarctan)(
2
,
2
R:
i) Dominio: RDom f .
ii) Rango:
2
,
2
Rg f .
iii) Grfica:
La grfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero.
La grfica de la funcin arco tangente contiene al punto 0,0 ya que 0)0(arctan . La grfica de la funcin arco tangente contiene al punto 0,0 ya que 0)0(arctan .
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Funcin arco secante
La funcin secante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto
2
3,
2
,0
donde ella es inyectiva, tenemos que admite inversa sobre su rango, su inversa es la funcin
arco secante, definida por xaxf rcsec)( o por xxf -1sec)( , tal que
xyyxa secrcsec y 1si2
31si
2
0 xyxy
y se escribe:
xxf(xx
f
1secarcsec)
2
3,
2
,0,11,:
i) Dominio: El dominio de la funcin arco secante es el conjunto ,11, , es decir ,11,Dom f .
ii) Rango: El rango de la funcin arco secante es el conjunto
2
3,
2
,0 , es decir,
2
3,
2
,0Rg f .
iii) Grfica:
La grfica de la funcin arco secante contiene al punto 0,1 ya que 01arcsec . La grfica de la funcin arco secante contiene al punto ,1 ya que 1arcsec .
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Funcin arco cosecante
Funcin arco cosecante La funcin cosecante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto
2
3,
2
,0 donde ella es inyectiva tenemos que admite inversa sobre su rango. Su inversa
es la funcin arco cosecante, definida por xaxf rccsc)( o por xscxf -1c)( tal que
xyscyxa crccsc y 1si2
31si
2
0 xyxy
y se escribe
xxf(xx
f
1cscarccsc)
2
3,
2
,0,11,:
i) Dominio: ,11,Dom f .
ii) Rango:
2
3,
2
,0Rg f .
iii) Grfica:
La grfica de la funcin arco cosecante contiene al punto
2
,1 ya que
2
1rccsc a .
La grfica de la funcin arco cosecante contiene al punto
2
3,1 ya que
2
31rccsc a .
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Funcin arco cotangente
La funcin cotangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo ,0 donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango.
Su inversa es la funcin arco cotangente, definida por xaxf rccotan)( o por xxf -1cotan)( tal
que xyyxa cotanrccotan y 0 y con Rx
y se escribe:
xxxfx
f1cotanarccotan)(
,0R:
i) Dominio: RDom f .
ii) Rango: ,0Rg f .
iii) Grfica: La grfica de la funcin arco cotangente contiene al punto
2
,0 ya que
2
0arccotan .
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28
FUNCIN EXPONENCIAL DE BASE a
La funcin real de variable real definida por xaxf )( con 0a y 1a se denomina funcin
exponencial de base a, y se escribe:
xaxfx
f
)(
RR:
i) Dominio: El dominio de la funcin exponencial de base a es el conjunto de los nmeros reales,
es decir, RDom f .
ii) Rango: El rango de la funcin exponencial de base a es el conjunto de los nmeros reales
positivos, es decir, ,0Rg f . iii) Grfica:
La grfica de la funcin exponencial de base a contiene al punto 1,0 . Si 1a la grfica crece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el
primero.
Si 10 a la grfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia
el primero.
1a 10 a
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Ejemplos:
1) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf 2)(
Su base es 12 , por lo tanto la funcin es creciente
Dominio Rango Grfica
RDom f
,0Rg f
2) Sea f la funcin real de variable real definida por
x
xf
2
1)(
Su base es 12
1 , por lo tanto la funcin es decreciente
Dominio Rango Grfica
RDom f
,0Rg f
3) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf e)(
Su base es 1e , por lo tanto la funcin es creciente
Dominio Rango Grfica
RDom f
,0Rg f
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30
FUNCIN LOGARITMO DE BASE a
Como la funcin exponencial de base a definida como xaxf )( con 0a y 1a es inyectiva
admite inversa, su inversa es la funcin logaritmo de base a definida por xxf alog)( para
0x tal que
xayx ya log
y se escribe:
xayxxxfx
fy
aa
logquetal,log)(
R,0:
i) Dominio: El dominio de la funcin logaritmo de base a es el conjunto de los nmeros reales
positivos, es decir, ,0Dom f . ii) Rango: El rango de la funcin logaritmo de base a es el conjunto de los nmeros reales, es
decir, RRg f .
iii) Grfica:
La grfica de la funcin logaritmo de base a contiene al punto 0,1 . Si 1a la grfica crece de izquierda a derecha desde el cuarto cuadrante hacia el
primero.
Si 10 a la grfica decrece de izquierda a derecha desde el primer cuadrante hacia el
cuarto cuadrante.
1a 10 a
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31
Ejemplos:
1) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf 2log)(
Su base es 12 , por lo tanto la funcin es creciente
Dominio Rango Grfica
,0Dom f
Rf Rg
2) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf
2
1log)(
Su base es 12
1 , por lo tanto la funcin es decreciente
Dominio Rango Grfica
,0Dom f
Rf Rg
3) Sea f la funcin real de variable real definida por xxf elog)( , denominada funcin
logaritmo neperiano, y se denota por xxf ln)(
Su base es 1e , por lo tanto la funcin es creciente
Dominio Rango Grfica
,0Dom f
Rf Rg
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32
FUNCIN COMPUESTA
Sea f una funcin de dominio fDom y rango fRg y sea g una funcin de dominio gDom y
rango gRg , tal que gfg DomR . La funcin compuesta fg es la funcin definida por
)()( xfgxfg para toda fx Dom tal que gxf Dom)( , es decir,
gffg xfx Dom)(:DomDom .
Ejemplo:
Sean f y g las funciones definidas por xxf 1)( y xxg )( .
RDom f y ,0Domg
xxgxfgxfg 11)()( y xxfxgfxgf 1)()(
,1Dom fg y ,0Dom gf
Nota: Observa que la composicin de funciones no es conmutativa.
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EJERCICIOS 1. Indica el dominio, el rango y grafica las siguientes funciones reales de variable real:
a) 4
3)( xf b) 7)( xxf c) 7)( xxf d) 168)( 2 xxxf
e) 168)( 2 xxxf f) 9)( 2 xxf g) 6)( xxf h) 7)( xxf
i) xxf 3)( j)
x
xf
5
2)( k) xxf 3log)( l) xxf
5
2log)(
2. Indica el dominio y grafica las siguientes funciones reales de variable real:
a)
0si7
0si4
3
)(
xx
xxf b)
2si168
2si7)( 2 xxx
xxxf
c)
1si3
1si)(
6
x
xxxf
x d)
si4
3
sicos)(
x
xx
xf
e)
3si9
3-si)(
2 xx
xxxf f)
1-si
1-si)(
6
7
xx
xxxf
g)
xx
x
xxx
xf
x
1silog
11si5
2
1si168
)(
3
2
h)
xx
xx
xx
xf
0siln
02
sicos
2
sisen
)(
3. Sean 2)( xxf y xxg )( . Escribe las expresiones de:
a) )(xgf b) )2( xg c) ))2(1 xf d) )(xgf e) )(4 xg
f
4. Sean xxf cos)( y xxg 3)( . Escribe las expresiones de:
a) )(3 xgf b) 2
)2()2( agaf c) )(xfg d) )(xgf
5. Sean x
xf1
)( y xxg ln)( . Escribe las expresiones de:
a) )(xgf b) )(xf
g
c) xxg ln)( 2 d) )(xgf e) )(4 x
g
f