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UUNNIIDDAADD 33:: EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGÉÉBBRRAAIICCAASS Se denomina expresión algebraica a toda combinación de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí
por los signos de las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Las expresiones algebraicas permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Usualmente se utilizan las últimas letras del alfabeto (por ejemplo, x , y , y z ), para las variables y las primeras
(como a , b , y c ), para las constantes.
Si se sustituyen las variables por números específicos en una expresión algebraica, el número real que resulte se llama valor numérico de la expresión para tales números. El dominio de una expresión algebraica está formado por todos los números reales que puedan representar las variables. Así, a menos que se indique de otra manera, se supone que el dominio está formado por los números reales que, cuando se sustituyen por las variables, hacen que la expresión tenga significado, en el sentido de que los denominadores no pueden ser iguales a cero y las raíces
siempre existan. En la siguiente tabla hay dos ejemplos:
Ejemplos Dominio Valor Numérico
xxx
842 Todos los números 0x
Si 4x , entonces:
28416164
8)4(442
1
42
2
y
xxy
Todos los números 1y
Si 1x y 10y , entonces:
8
3
24
9
420
110
1
41012
2
Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma nax , en donde a es un número
real y n es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio, una suma de tres
monomios. Un polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x . Otro modo de decirlo es el
siguiente:
Un polinomio en x es una suma de la forma:
01
1
1 axaxaxaxP n
n
n
n
En donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ka , es un número real. Si 0na , se dice que el
polinomio tiene grado n
Cada expresión kk xa
en la suma es un término del polinomio. Si el coeficiente ka es cero, se omite el término k
k xa . El coeficiente ka de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio.
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Observación:
Dos polinomios en x son iguales si y solo sí son del mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes
de x son iguales.
Si todos los coeficientes del polinomio son cero, se obtiene el llamado polinomio cero y se denota con 0. Sin
embargo, por convención, el grado del polinomio cero no es cero sino indefinido.
Si c es un número real diferente de cero, entonces c es un polinomio de grado 0. Tales polinomios (incluyendo
el polinomio cero) se conocen como polinomios constantes. Ejemplo 5xP
Si un sombrero vale 10000$ más que una correa y x representa el precio de una correa. ¿Cuál es la expresión
algebraica que sirve para hallar el precio de dos correas y tres sombreros?
Solución:
Si una correa vale x , entonces un sombrero vale 10000x , por lo tanto el precio de dos correas y tres
sombreros es 1000032 xx . Es decir:
300005 x
Si el coeficiente de un polinomio es negativo, por lo general se usa un signo menos entre términos apropiados. Para ilustrar lo anterior, tenemos:
1321132 3434 xxxxxx
También se puede considerar polinomios con variables que no sean x (o variables distintas de x ); por ejemplo,
32 3
2
32 ttt es un polinomio en t de grado 3 . Usualmente se colocan los términos de un polinomio con las
potencias de la variable en orden decreciente o creciente y se escribe:
322
323 ttt o bien 32
2
3 23 ttt
Por otro lado, se puede considerar que un polinomio en x es una expresión algebraica obtenida empleando nada
más sumas, restas y multiplicaciones que incluyan x . Si una expresión algebraica contiene divisiones o raíces que
incluyan una variable x , entonces no es un polinomio en x .
3.1 OPERACIONES CON POLINOMIOS
3.1.1 Suma y resta de polinomios
Halle la suma y la resta de los siguientes polinomios:
Ejemplo No. 37
Ejemplo No. 36
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a. 135352 2323 xxxxx
b. 354752 2323 xxxxx
Solución:
a. Método 1:
135352 2323 xxxxx Se eliminan los paréntesis.
1353251 23 xxx Se suman términos semejantes.
456 23 xxx Se simplifica.
Nota: Se muestra el agrupamiento de las potencias semejantes de x , con el fin de aclarar el proceso, pero
puede omitirse una vez se obtenga la práctica en este tipo de operaciones.
Método 2: Primero se escriben los polinomios de modo que los términos semejantes queden en columna y luego se suman los coeficientes de las potencias semejantes de x .
352 23 xxx
1 35 23 xx
45 6 23 xxx
Para restar polinomios primero se eliminan los paréntesis pero hay que tener cuidado con el signo menos que precede al segundo par de paréntesis ya que cambia el signo de cada término de ese polinomio.
b. Hagamos la resta por el método 1:
354752 2323 xxxxx Se eliminan paréntesis.
3755241 23 xxx Se suman términos semejantes.
4573 23 xxx Se simplifica.
3.1.2 Multiplicación de monomios
Utilizando la siguiente propiedad de la potenciación:
nmnm aaa
Y la regla de los signos se puede obtener el producto de dos o más monomios.
Halle los productos indicados:
a. cabba 22 32
Ejemplo No. 38
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b. xyzyzxzxy 22 24
Solución:
a. cbacbacabba 33211222 6632
b. 34411111212122 8824 zyxzyxxyzyzxzxy
3.1.3 Multiplicación de binomios
Halle el siguiente producto 3475 xx
Solución:
)34(7)34(5)34)(75( xxxxx
)3(7)4)(7()3)(5()4)(5( xxxx
21281520 2 xxx
211320 2 xx
3.1.4 Multiplicación de polinomios
Halle el siguiente producto 1532 32 xxx
Solución:
Un método para resolver este producto es usar la propiedad distributiva, tratando al polinomio 153 xx como
si fuera un solo número real. Veamos:
1531521532 33232 xxxxxxxx
A continuación se utiliza dos veces la propiedad distributiva y se simplifica el resultado, quedando:
315321021532 323532 xxxxxxxx
3152132 235 xxxx
Nota: Se multiplicaron los dos monomios del primer polinomio por cada uno de los tres monomios del segundo
polinomio, y esto produjo un total de seis términos.
Ejemplo No. 40
Ejemplo No. 39
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Realice las siguientes operaciones:
a. baba 55 34
b. xyxy 32
c. yxyx 22 38
d. xyzxyz 25
e. baba 835 324
f. 54 3322 yyx
g. zxmmx 452 223
h. 13424525 2323 xxxxxx
i. 1085613257 23234 xxxxxxx
j. )86(4 xx
k. 6)5()73(4 22222 xxxxxxx
l. 1)1( xx
m. 823 34525 xxxx
n. 5234 3313257 xxxxx
o. 13424525 2323 xxxxxx
p. 1085613257 23234 xxxxxxx
3.1.5 Productos notables
En la siguiente tabla aparecen algunas de las fórmulas más importantes de productos notables que son útiles en diversos problemas de multiplicación.
Nombre Fórmula
Diferencia de cuadrados 22 yxyxyx
Cuadrado de una suma 2222 yxyxyx
Cuadrado de una diferencia 2222 yxyxyx
Cubo de una suma 3223333 yxyyxxyx
Cubo de una diferencia 3223333 yxyyxxyx
Utilice las fórmulas anteriores para desarrollar los siguientes productos:
ACTIVIDAD No. 14
ACTIVIDAD No. 13
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a. 33 22 xx
b. 2
2
zz
c. 3223 zy
d. 33 1x
e. 23 yx
f. 2nm xx
g.
2
2
3
2
3 3
xx
h. 33 22 xx
i. 232 32 zz
j. 3223 zy
k. 334 52 xx
l. 2nn qp
m. 23 yx
n. 2nm xx
3.1.6 División entre monomios
Utilizando la siguiente propiedad de la potenciación:
nm
n
m
aa
a
y la regla de los signos se puede obtener el cociente de dos o más monomios.
Efectúe las siguientes divisiones:
Ejemplo No. 41
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a. ba
ba4
27
3
12
b. yzxzyx 233 410
Solución:
a. 43
12 3
4
27
baba
ba
b. 2
2
33233
2
5
4
10410 xy
yzx
zyxyzxzyx
3.1.7 División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y se suman los cocientes obtenidos. Esto es:
cocienteslosdepropiedadd
c
d
b
d
a
d
cba
Haga la siguiente operación: xy
xyyxyx
4
468 332
Solución:
14
4
4
6
4
8
4
468 2
232
332332
xxyxy
xy
xy
yx
xy
yx
xy
xyyxyx
3.1.8 División de un polinomio entre otro polinomio
Procedimiento:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una misma literal. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término
del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo. 3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el
segundo término del cociente. 4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.
3.1.9 Algoritmo de la división para polinomios
Si )(xf y )(xp son polinomios y si ,0)( xp entonces existen polinomios únicos )(xq y )(xr tales que:
)(
)()(
)(
)(
xp
xrxq
xp
xf , o bien )(xf = )(xp )()( xrxq
Ejemplo No. 42
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Donde 0)( xr o el grado de )(xr es menor que el grado de )(xp . El polinomio )(xq es el cociente y )(xr
es el residuo en la división de )(xf entre )(xp
Divida 332 xx entre 1x . Obtenga el cociente y el residuo.
Solución:
Se realiza la división algebraica de polinomios:
332 xx
1x
xx 2
4x
34 x
44 x
7
Cociente: 4x Residuo: 7
Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene:
1
74
1
332
xx
x
xx
Realice la división indicada:
a. 523 23 xx entre 3x
b. 2233 8523 xyyxyx entre xy 3
c. 423 3 xx entre xx 22
d. 15 24
34 xx entre
21x
e. Reste la suma de 323 bab y 322 32 babba de 323 bbaa y la diferencia multiplicarla por el
cociente de dividir 33 ba entre 22 baba
f. Exprese la división de 10162
3203 xxx entre 23 x como
)(
)()(
)(
)(
xp
xrxq
xp
xf
g. En una división el divisor es 12 x , el cociente es 222 xx y el residuo es 14 x . Halle el dividendo.
3.2 FACTORIZACIÓN
Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada polinomio del producto se denomina factor del
polinomio inicial. Se denomina factorización al proceso de expresar una suma de términos como un producto.
ACTIVIDAD No. 15
Ejemplo No. 43
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En 232349 2 xxx los polinomio 23 x y 23 x
son factores de 49 2 x
Un polinomio con coeficientes en algún conjunto T de números es primo, o irreducible sobre T , si no puede
escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en T
El polinomio 52 x es irreducible sobre los números racionales puesto que no se puede expresar como un
producto de dos polinomios que tengan coeficientes racionales.
Observación: Un polinomio es irreducible sobre un conjunto T pero no sobre otro; en el ejemplo anterior 52 x
es irreducible sobre los racionales pero no lo es sobre los números reales, ya que se puede escribir:
5552 xxx
De igual manera 42 x es irreducible en los números reales pero, no sobre los números complejos, puesto que:
ixixx 2242
Donde i es la unidad imaginaria.
Nota: Es conveniente especificar el sistema numérico (o conjunto) del cual han de elegirse los coeficientes del polinomio antes de factorizarlo.
Observación: Todo polinomio bax de grado 1 es irreducible en los racionales.
Indique sobre qué conjunto es irreducible y reducible los siguientes polinomios:
a. 162 x
b. 34 2 x
c. 4252 x
Antes de factorizar un polinomio es necesario especificar el conjunto numérico del cual han de elegirse los coeficientes. En esta sección usaremos la regla que si un polinomio tiene coeficientes enteros, los factores han de ser polinomios con coeficientes enteros.
Factorizar un polinomio significa expresarlo como un producto de polinomios irreducibles.
Factorice los siguientes polinomios:
a. 2444 2 xx
Ejemplo No. 46
ACTIVIDAD No. 16
Ejemplo No. 45
Ejemplo No. 44
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b. 335 25 yxyx
Solución:
a. 642444 22 xxxx
234 xx
b. 223335 2525 yxyxyxyx
yxyxyx 553
En la siguiente tabla se muestran algunas fórmulas de factorización:
Fórmula Ejemplo
Diferencia de cuadrados:
yxyxyx 22 434343169
222 aaaa
Diferencia de cubos:
2233 yxyxyxyx
333 32278 aa
22332232 aaa
96432 2 aaa
Suma de cubos:
2233 yxyxyxyx
333 151125 aa
22115515 aaa
152515 2 aaa
Trinomio cuadrado perfecto:
222 2 yxyxyx
222 2 yxyxyx
22 112 aaa
22 329124 ccc
Trinomio de la forma cbxx 2 :
nxmxcbxx 2
Donde:
bnm y cnm
341272 xxxx
Donde:
734 nm y 1234 nm
2362 xxxx
Donde:
123 nm y
623 nm
Observación: Los factores 22 yxyx y 22 yxyx en la diferencia y suma de dos cubos, respectivamente,
son irreducibles sobre los números reales. Si n es un número entero positivo entonces:
nn yx tiene el factor yx cuando n es impar
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nn yx
tiene el factor yx cuando n es impar o par
nn yx
tiene el factor yx cuando n es par
Es decir:
122321 nnnnnnn yxyyxyxxyxyx
122321 nnnnnnn yxyyxyxxyxyx
Factorice los siguientes polinomios:
a. 444 22 yyx
b. 4416 yx
c. 55 yx
Solución:
a. 442444 2222 yyxyyx
22
22 yx
2222 yxyx
2222 yxyx
b. 22244 416 yxyx
2222 44 yxyx
2222
42 yxyx
22422 yxyxyx
c. 43223455 yxyyxyxxyxyx
Factorice los siguientes polinomios:
a. 22 259 qp
b. 6327 yx
c. 822 xx
ACTIVIDAD No. 17
Ejemplo No. 47
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d. 55 yx
e. 23 x
f. 22 )(2510)( cdabcdab
g. 14 x
h. 9
5
4
2
x
i. xxx 223
j. xTan1 3
k. 16 x
l. 2076 2 xx
m. 102222
yxyx
n. 22 39232 xxyy
o. 612 2 xx
p. 22 62 yxyx
Para factorizar una suma que contenga cuatro o más términos, es posible utilizar la técnica denominada
factorización por agrupación, que consiste en agrupar los términos del polinomio de manera adecuada y luego encontrar una factorización mediante las propiedades distributivas.
Factorice bdadbcac 224
Solución:
Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos, y luego se procede de la siguiente manera:
)2()24(224 bdadbacbdadbcac )2()2(2 badbac
)2)(2( badc
3.3 COMPLETAR CUADRADO
Con el objetivo de completar cuadrado para 2 kxx o kxx 2, se suma
2
2
k. Es decir, se suma el
cuadrado de la mitad del coeficiente de x
22
2
22
kx
kkxx
Ejemplo No. 48
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22
2
22
kx
kkxx
Factorice las siguientes expresiones completando cuadrado:
a. 1 2 xx
b. 2432 xx
Solución:
a. 4
5
2
1
2
11
2
111
222
222
xxxxxxx
2
5
2
1
2
5
2
1xx
2
15
2
51xx
b.
2
1
12
7
12
7
6
76
2
1
6
76376
22
222 xxxxxx
12
11
12
7
12
11
12
76
144
121
12
76
2
xxx
3213
2
3
3
16
xxxx
1. Factorice completamente las siguientes expresiones:
a. 81223 23 xxx
b. 251016 22 xyx
c. 22 62 yxyx
d. 1572 2 tt
e. 201319273 22 yxyxyx
f. 3222 babbaa
g. 123 xxx
ACTIVIDAD No. 18
Ejemplo No. 49
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2. Expresa los siguientes polinomios como el producto de dos polinomios cuadráticos.
a. 124 tt
Sugerencia: sume y reste 2t
b. 14 x
Sugerencia: sume y reste 22x
3. Factorice completando cuadrado:
a. 242 xx
b. 32 xx
c. 126 2 xx
d. 232 xx
e. 2432 xx
3.4 TEOREMA DEL RESIDUO
Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo al dividir 423 3 xxxf entre 2x
Solución:
Tenemos que:
22 xx , de donde se concluye que 2c
Por lo tanto el residuo es:
324222323
f
3.5 TEOREMA DEL FACTOR
Utilice el teorema del factor para demostrar que 1x es un factor de 123 xxxxf
Ejemplo No. 51
Un polinomio )(xf tiene un factor cx , si y solamente sí 0)( cf
Ejemplo No. 50
Si un polinomio )(xf se divide entre cx , entonces el residuo es )(cf
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Solución:
Tenemos que 1c , por lo tanto:
01111123
f (residuo cero)
De esta manera 1x es un factor de 123 xxxxf , o bien 123 xxxxf es divisible por
1x
3.6 DIVISIÓN SINTÉTICA
Instrucciones para la división sintética de 01
1n
1n
n
n axa....xaxa
entre cx
1. Se comienza con el siguiente esquema (se colocan ceros para cualquier coeficiente faltante del polinomio dado)
na 1na 2na 1a 0a
c
na
2. Se multiplica na por c y el producto nca , se anota debajo de 1na . A continuación se suma 1na con nca y
se coloca el resultado nn caab 11 en la columna de 1na , debajo de la línea.
na 1na 2na 1a 0a
c
nca
na 1b
3. Se multiplica 1b por c y el producto 1cb , se anota debajo de 2na . A continuación se suma
2na con 1cb y
se coloca el resultado 122 cbab n en la columna de 2na , debajo de la línea.
na 1na 2na 1a 0a
c
nca 1cb
na 1b 2b
4. Se continúa este proceso hasta obtener la suma final 10 ncbar . Los números:
n-1n-221n , bb, ... , , b, ba
Son los coeficientes del cociente )(xq . Es decir:
n-1n-2
2n
1
1n
n bx b... xbxaq(x)
y r es el residuo.
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Utilice la división sintética para hallar el cociente )(xq y el residuo r si el polinomio 8252 34 xxx se
divide entre 3x
Solución:
Debido a que el divisor es )3(3 xx , entonces el valor de c en la expresión cx es 3c . Por lo tanto,
la división sintética adopta la siguiente forma:
2 5 0 2 8
3
6 3 9 33
2 1 3 11 25
Según se ha indicado, las cuatro primeras cifras del tercer renglón son los coeficientes del cociente )(xq y el
último número es el residuo r . En consecuencia:
1132)( 23 xxxxq y 25r
Además, utilizando el algoritmo de la división, tenemos que el polinomio:
8252 34 xxx
Se puede expresar como:
25113238252 2334 xxxxxxx
3.7 TEOREMA SOBRE CEROS RACIONALES DE UN POLINOMIO
Si el polinomio:
0
n
n
n
n axa....xaxaxf
1
1
1)(
Tiene coeficientes enteros y además q
p es un cero (raíz) racional de )(xf tal que p y q no posean un factor
primo común, entonces:
El numerador p del cero es un divisor del término constante 0a
El denominador q del cero es un divisor del término constante na
Ejemplo No. 52
Coeficientes del cociente Residuo
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Use de la división sintética y el algoritmo de la división para factorizar el polinomio 223 xx
Solución:
Para factorizar un polinomio de la forma 0
n
n
n
n axa....xaxa
1
1
1 con coeficientes enteros, con 2n es
útil algunas veces la división sintética. Por el teorema anterior, los posibles ceros (o raíces) racionales del
polinomio 223 xx son los divisores de 20 a , ya que 1na , de manera que para el polinomio
223 xx tenemos que los divisores de 2 son 1 y 2 , luego aplicando la división sintética para 1c
se tiene:
1 1 0 2
1
1 2 2
1 2 2 0
Por tanto 1x es un factor de 223 xx , luego aplicando el algoritmo de la división, la factorización del
polinomio es:
)22)(1(2 223 xxxxx , donde 222 xx es irreducible en los reales.
3.8 TEOREMA DE FACTORIZACIÓN COMPLETA PARA POLINOMIOS
Si )(xf es un polinomio de grado 0n , entonces existen n números complejos nrrr ,,, 21 tales que:
nrxrxrxaxf 21)(
Donde a es el coeficiente inicial de )(xf y cada número kr es un cero (o raíz) de )(xf
1. Pruebe que 2x es un factor de 234 23 xxxxf
2. Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo al dividir:
a. 5432 23 xxx entre 2x
b. 763 25 xx entre 21x
3. Use la división sintética y factorice en los reales los siguientes polinomios:
ACTIVIDAD No. 19
Ejemplo No. 53
Coeficientes
del cociente Residuo
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Página 66
a. 81023 xxx
b. 44 235 xxx
c. 8814143 234 xxxx
d. 3872 23 xxx
4. Encuentra un polinomio de grado 3 que tenga los ceros (o raíces) indicados y satisfaga la condición dada:
a. 80)2( 3 ,2 ,1 f
b. 24)3( 4 ,2 ,5 f
c. 36)2( 0 ,4,3 f
3.9 EXPRESIONES FRACCIONARIAS
El cociente de dos expresiones algebraicas se llama expresión fraccionaria. Como caso particular, una expresión
racional es el cociente q
p de dos polinomios p y q . Dado que no se permite la división entre cero, el dominio de
q
p estará formado por todos los números reales, excepto los que hacen cero al denominador.
3.9.1 Expresión racional
Ejemplo Dominio
1
12
x
xx Para todo 1x
xy
yyxx
223 35
Para todo x y y tales que yx
12 3 x Para todo Rx
Las expresiones racionales en que tanto numerador como denominador son polinomios de una sola variable son
objeto de estudio en este curso.
Para el proceso de simplificación de expresiones racionales se puede usar las propiedades de los cocientes, puesto que las variables representan números reales, en particular la propiedad:
b
a
d
d
b
a
bd
ad , donde 0bd
Usualmente se desarrolla este proceso de simplificación afirmando que se puede cancelar un factor común distinto de cero en el numerador y denominador de un cociente. En la práctica, se cancela el factor común, suponiendo que
todos los denominadores son diferentes de cero. Una expresión racional reducida está simplificada o reducida a su
mínima expresión, si tanto el numerador como el denominador no tienen factores polinomiales comunes de grado positivo ni factores enteros comunes mayores que 1 .
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Página 67
Para simplificar una expresión racional, se factorizan tanto el numerador como el denominador y posteriormente, suponiendo que los factores del denominador no son cero, se cancelan los factores comunes.
3.9.2 Expresiones racionales simplificadas
Simplifique las siguientes expresiones racionales:
a. 16
121752
2
x
xx
b. )9)(2(
)2)(96(22
2
xxx
xxx
Solución:
a. 4
35
)4)(4(
)4)(35(
16
121752
2
x
x
xx
xx
x
xx, para 4x
b. )3(
3
)3)(3)(2(
)2()3(
)9)(2(
)2)(96( 2
22
2
xx
x
xxxx
xx
xxx
xxx, para 0x y 3x
3.9.3 Producto de cocientes de expresiones racionales
Recuerde que:
bd
ac
d
c
b
a
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
Efectúe la operación indicada y simplifique:
a. 3
22
1
962
2
x
x
x
xx
b. 8
42
4
83
23
2
4
x
xxx
x
xx
Ejemplo No. 55
Ejemplo No. 54
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Página 68
Solución:
a. 1
)3(2
)3)(1)(1(
)1)(3)(3(2
)3)(1(
)22)(96(
3
22
1
962
2
2
2
x
x
xxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx, para 1x
b. xxx
x
x
xx
x
xxx
x
xx
42
8
4
8
8
42
4
823
3
2
4
3
23
2
4
xxxx
xxx
424
88232
34
4222
42282
23
xxxxx
xxxxx
4222
4224222
22
xxxxx
xxxxxxx
422 xx , para todo Rx
Simplifique:
a. xx
xxx
9
2143
23
b. cxdycydx
dxcydycx
2222
c. 8
42
4
83
23
2
4
x
xxx
x
xx
d. xx
xxx
xx
x
827
469
253
494
234
2
2
Para sumar o restar dos expresiones racionales, por lo general se halla un común denominador y se usan las siguientes propiedades de los cocientes:
d
ca
d
c
d
a
d
ca
d
c
d
a
ACTIVIDAD No. 20
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Página 69
Para sumar o restar expresiones racionales, si los denominadores de las expresiones no son los mismos, es
recomendable determinar el mínimo común denominador (MCD) de los cocientes y realizar la operación usual
entre fracciones. Para determinar el MCD, se descompone cada denominador en factores primos y luego se forma
el producto de los diversos factores primos, utilizando el mayor exponente que aparezca en cada factor primo.
Determine el MCD de las siguientes fracciones:
62
2 ;
123
5 ;
44
322
2
2 xxx
x
xx
x
Solución:
Al descomponer cada denominador en factores primos, se obtiene:
22 244 xxx
22343123 22 xxxx
23262 2 xxxx
Luego el MCD de 62
2 ;
123
5 ;
44
322
2
2 xxx
x
xx
x es 32223
2 xxx
3.9.4 Suma y resta de expresiones racionales
Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción más sencilla)
22
3
23
1
23
2
xxxx
x
Solución:
El mínimo común denominador (MCD) de los denominadores es )23(2 xx . Por lo tanto:
222
3
23
1
)23(
23
23
1
23
2
xxxx
x
xxxx
x
)23(
)23(3)2(2
2
xx
xxxx
)23(
6922
22
xx
xxx
)23(
6932
2
xx
xx
)23(
)23(32
2
xx
xx
Ejemplo No. 57
Ejemplo No. 56
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Página 70
Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción sencilla en términos mínimos). Recuerde que debe hallar el mínimo común denominador (MCD)
a. 32
5125
x
x
x
x
x
b. 9
18
3
4
3 2
tt
t
t
t
c. 12
23
32
4
1
3222
xx
x
xx
x
x
d. 2
3
4
6
44
1222
xx
x
xx
x
e. Senx1
Cosx
Cosx
Senx
3.10 FRACCIONES COMPUESTAS
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su
denominador, o en ambos.
Simplifique (reduzca a la forma más sencilla)
a. ax
ax
13
13
b. 2
ab
ba
ab
ba
Solución:
a. )1)(1(
3)1)(1(
)(3
)1)(1(
3333
)1)(1(
)1(3)1(3
1
3
1
3
axaxaxaxax
ax
ax
ax
xa
ax
xa
ax
b. ba
ba
ba
baba
ab
baba
ab
ba
a
b
b
a
a
b
b
a
222
22
)(
))((
22
Ejemplo No. 58
ACTIVIDAD No. 21
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Página 71
1. Simplifique las siguiente fracciones complejas (reduzca a la forma más simple)
a.
ba
b
a
a
b
11
Rta/ ab
b.
65
61
3
1
2
1
2
xx
xx Rta/ xx 5
12
c.
xx
x
xx
xx
xx
11
11
11
21
12
2
Rta/ x
1
d.
ba
ba
baba
ba
ab
b
ba
ba
ba
ba
b
ba
22
22
22
2
2
4
2 Rta/
ba
ba
)2(2
e.
111
1
11
11
2
2
22
a
a
b
a
b
baba
b Rta/
b
a
1
f.
3
233
23
233
312
1
2
1
213
133 )3(
xa
xxaxxxa
Rta/
34
33
33
2 xax
xa
g. x
xxx
xx1
212
1
11
121
2
12
12
2
2
12
Rta/ x
x 12
h. 3
2
3
121
1
3
1
16
12
1
1
3
122
xxx
x
x Rta/ 1
13 x
ACTIVIDAD No. 22
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Página 72
i. 22 1
1
12
1
11
1
x
x
x
x
x
Rta/
12
1
xx
2. Despeje x en las siguientes igualdades:
a) txacbxax 2
b) ctxcbxax 2
c) trxsxrxa
3.11 RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Algunos cocientes que no son expresiones racionales contienen denominadores de la forma ba o
ba estos cocientes se pueden simplificar utilizando la Racionalización, que consiste en eliminar radicales
del numerador o del denominador, para lo cual se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado
ba o ba , respectivamente.
3.11.1 Racionalización del denominador
Racionalice el denominador de la siguiente expresión yx
1
Solución:
La expresión conjugada de yx es yx , por lo tanto:
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
22
11
Recuerde que bababab 22
a
3.11.2 Racionalización del numerador
Racionalice el numerador de la siguiente expresión h
hxx
Ejemplo No. 60
Ejemplo No. 59
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Página 73
Solución:
La expresión conjugada de hxx es hxx , por lo tanto:
hxxh
hxx
hxx
hxx
h
hxx
h
hxx
22
)(
)(
hxxh
hxx
)( hxxh
h
)(
1
hxx
Racionalice el denominador de la siguiente expresión 33
1
yx
Solución:
Si hacemos 3
13 xxa y 3
1
3 yyb entonces la expresión 33
1
yx es equivalente a
ba
1
Por lo tanto el factor racionalizador es 22 baba
Es decir 3
2
3
1
3
1
3
222 yyxxbaba , ya que 3322 babababa
O lo que es lo mismo yxyxyyxxyx 33
31
31
32
31
31
32
31
31
Eliminando así los radicales del denominador. De manera que:
yx
yyxx
yx
yyxx
yyxx
yyxx
yxyx
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
33
333333
11
1. Racionalice el numerador de la expresión dada y simplifique si es posible:
a. h
xhx 121)(2
b. h
xhx 11
c. 34
62622
22
xx
xxxx
ACTIVIDAD No. 23
Ejemplo No. 61
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Página 74
d. x
xhhx 33 Sugerencia: Utilice la expresión: 2233 babababa
e. 1
14
x
x
2. Racionalice el denominador de la expresión dada y simplifique si es posible:
a. 35
32
b. 625
62
c. 532
1
d. 235
553
2
x
x
e. 333 469
1
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. El resultado de 11 xx
es:
A. 0
B. x2
C. 2 D. 22 x
2. El resultado de 22 11 xx
es:
A. 0
B. 22x
C. 22x
D. 22 2 x
3. El valor numérico de la expresión 12 xy cuando 3x y 2y es:
A. 11 B. 9
C. 13
D. 15
AUTOEVALUACIÓN No. 3
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Página 75
4. La expresión que representa el doble de un número más tres veces el mismo número es:
A. x5
B. 52 x
C. xx 32
D. 24 x
5. baba 22
es igual a:
A. 33 ba
B. 3223 2 bbaa
C. 3223 babbaa
D. 2222 babbaa
6. 112x
es igual a:
A. 2x
B. xx 2
C. xx 22
D. 22 x
7. 4444 baba
es igual a:
A. 88 ba
B. 8448 2 bbaa
C. 8448 2 bbaa
D. 88 ba
8. Si 343 2 aakaa , el valor de k
es:
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
9. La expresión 11 yxyx es igual a:
A. 12 22 yxyx
B. 122 yx
C. 12 22 yxyx
D. 12 22 yxyx
10. El polinomio xzxyyzzyx 222222 es igual a:
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Página 76
A. 2zyx
B. 2zyx
C. 2zyx
D. 2zyx
11. 22yxyx es igual a:
A. xy4
B. 22 yx
C. 22 yx
D. 22 242 yxyx
12. baba 22 es igual a:
A. ba
B. ba
C. ab
D. 22 bbaa
13. El polinomio 12 xx es el resultado de:
A. 1
13
x
x
B. 1
13
x
x
C. 1
13
x
x
D. 1
13
x
x
14. El residuo de la división 1123 2 xxx es:
A. 1 B.
0
C.
1 D.
4
15. El factor común en el polinomio 21 xxn
es:
A. 2x
B. x
C. nx
D. 1nx
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Página 77
16. 11 mmx
es igual a:
A. 1mx
B. 1xm
C. 1mx
D. 11 xm
17. 122 xx es igual a:
A. 21x
B. 21x
C. 2xx
D. 21xx
18. El trinomio 652 xx se factoriza como:
A. 16 xx
B. 16 xx
C. 16 xx
D. 16 xx
19. El trinomio 145 2 xx se factoriza como:
A. 115 xx
B. 115 xx
C. 115 xx
D. 114 xx
20. 133 23 xxx
es igual a:
A. 31x
B. 13 xx
C. 31x
D. 13 xx
21. El binomio 14 x es igual a:
A. 111 2 xxx
B. 111 2 xxx
C. 111 2 xxx
D. 111 2 xxx
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Página 78
22. La expresión ab
ba
es igual a:
A. 1 B. 1 C. b
D. a
23. 1
1
1
mm
x es igual a:
A. 1
1
m
x
B. m
x
C. 1
1
m
x
D. 22
1
m
x
24. 2
11
xx es igual a:
A. 0
B. x
1
C. x
1
D. 2
1
x
x
25. x
11 es igual a:
A. 0
B. x
1
C. x
1
D. x
x1
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Página 79
26. 1
1
1
m
x
x
m es igual a:
A. 1
B. 1m
m
C. m
D. mx
x
27. La expresión 1
2
m
m es igual a:
A. 1
2
m
m
B. 22 m
m
C. m
m 22
D. m
m 2
28. xx
xx 1
1
23
es igual a:
A. x
B. 3x
C. x
1
D. 3
1
x
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