Unidad 3_expresiones Algebraicas

W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O E x p r e s i o n e s A l g e b r a i c a s

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UUNNIIDDAADD 33:: EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGÉÉBBRRAAIICCAASS Se denomina expresión algebraica a toda combinación de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí

por los signos de las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Las expresiones algebraicas permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Usualmente se utilizan las últimas letras del alfabeto (por ejemplo, x , y , y z ), para las variables y las primeras

(como a , b , y c ), para las constantes.

Si se sustituyen las variables por números específicos en una expresión algebraica, el número real que resulte se llama valor numérico de la expresión para tales números. El dominio de una expresión algebraica está formado por todos los números reales que puedan representar las variables. Así, a menos que se indique de otra manera, se supone que el dominio está formado por los números reales que, cuando se sustituyen por las variables, hacen que la expresión tenga significado, en el sentido de que los denominadores no pueden ser iguales a cero y las raíces

siempre existan. En la siguiente tabla hay dos ejemplos:

Ejemplos Dominio Valor Numérico

xxx

842 Todos los números 0x

Si 4x , entonces:

28416164

8)4(442

1

42

2

y

xxy

Todos los números 1y

Si 1x y 10y , entonces:

8

3

24

9

420

110

1

41012

2

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma nax , en donde a es un número

real y n es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio, una suma de tres

monomios. Un polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x . Otro modo de decirlo es el

siguiente:

Un polinomio en x es una suma de la forma:

01

1

1 axaxaxaxP n

n

n

n

En donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ka , es un número real. Si 0na , se dice que el

polinomio tiene grado n

Cada expresión kk xa

en la suma es un término del polinomio. Si el coeficiente ka es cero, se omite el término k

k xa . El coeficiente ka de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio.


Página 50

Observación:

Dos polinomios en x son iguales si y solo sí son del mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes

de x son iguales.

Si todos los coeficientes del polinomio son cero, se obtiene el llamado polinomio cero y se denota con 0. Sin

embargo, por convención, el grado del polinomio cero no es cero sino indefinido.

Si c es un número real diferente de cero, entonces c es un polinomio de grado 0. Tales polinomios (incluyendo

el polinomio cero) se conocen como polinomios constantes. Ejemplo 5xP

Si un sombrero vale 10000$ más que una correa y x representa el precio de una correa. ¿Cuál es la expresión

algebraica que sirve para hallar el precio de dos correas y tres sombreros?

Solución:

Si una correa vale x , entonces un sombrero vale 10000x , por lo tanto el precio de dos correas y tres

sombreros es 1000032 xx . Es decir:

300005 x

Si el coeficiente de un polinomio es negativo, por lo general se usa un signo menos entre términos apropiados. Para ilustrar lo anterior, tenemos:

1321132 3434 xxxxxx

También se puede considerar polinomios con variables que no sean x (o variables distintas de x ); por ejemplo,

32 3

2

32 ttt es un polinomio en t de grado 3 . Usualmente se colocan los términos de un polinomio con las

potencias de la variable en orden decreciente o creciente y se escribe:

322

323 ttt o bien 32

2

3 23 ttt

Por otro lado, se puede considerar que un polinomio en x es una expresión algebraica obtenida empleando nada

más sumas, restas y multiplicaciones que incluyan x . Si una expresión algebraica contiene divisiones o raíces que

incluyan una variable x , entonces no es un polinomio en x .

3.1 OPERACIONES CON POLINOMIOS

3.1.1 Suma y resta de polinomios

Halle la suma y la resta de los siguientes polinomios:

Ejemplo No. 37

Ejemplo No. 36


Página 51

a. 135352 2323 xxxxx

b. 354752 2323 xxxxx

Solución:

a. Método 1:

135352 2323 xxxxx Se eliminan los paréntesis.

1353251 23 xxx Se suman términos semejantes.

456 23 xxx Se simplifica.

Nota: Se muestra el agrupamiento de las potencias semejantes de x , con el fin de aclarar el proceso, pero

puede omitirse una vez se obtenga la práctica en este tipo de operaciones.

Método 2: Primero se escriben los polinomios de modo que los términos semejantes queden en columna y luego se suman los coeficientes de las potencias semejantes de x .

352 23 xxx

1 35 23 xx

45 6 23 xxx

Para restar polinomios primero se eliminan los paréntesis pero hay que tener cuidado con el signo menos que precede al segundo par de paréntesis ya que cambia el signo de cada término de ese polinomio.

b. Hagamos la resta por el método 1:

354752 2323 xxxxx Se eliminan paréntesis.

3755241 23 xxx Se suman términos semejantes.

4573 23 xxx Se simplifica.

3.1.2 Multiplicación de monomios

Utilizando la siguiente propiedad de la potenciación:

nmnm aaa

Y la regla de los signos se puede obtener el producto de dos o más monomios.

Halle los productos indicados:

a. cabba 22 32

Ejemplo No. 38


Página 52

b. xyzyzxzxy 22 24

Solución:

a. cbacbacabba 33211222 6632

b. 34411111212122 8824 zyxzyxxyzyzxzxy

3.1.3 Multiplicación de binomios

Halle el siguiente producto 3475 xx

Solución:

)34(7)34(5)34)(75( xxxxx

)3(7)4)(7()3)(5()4)(5( xxxx

21281520 2 xxx

211320 2 xx

3.1.4 Multiplicación de polinomios

Halle el siguiente producto 1532 32 xxx

Solución:

Un método para resolver este producto es usar la propiedad distributiva, tratando al polinomio 153 xx como

si fuera un solo número real. Veamos:

1531521532 33232 xxxxxxxx

A continuación se utiliza dos veces la propiedad distributiva y se simplifica el resultado, quedando:

315321021532 323532 xxxxxxxx

3152132 235 xxxx

Nota: Se multiplicaron los dos monomios del primer polinomio por cada uno de los tres monomios del segundo

polinomio, y esto produjo un total de seis términos.

Ejemplo No. 40

Ejemplo No. 39


Página 53

Realice las siguientes operaciones:

a. baba 55 34

b. xyxy 32

c. yxyx 22 38

d. xyzxyz 25

e. baba 835 324

f. 54 3322 yyx

g. zxmmx 452 223

h. 13424525 2323 xxxxxx

i. 1085613257 23234 xxxxxxx

j. )86(4 xx

k. 6)5()73(4 22222 xxxxxxx

l. 1)1( xx

m. 823 34525 xxxx

n. 5234 3313257 xxxxx

o. 13424525 2323 xxxxxx

p. 1085613257 23234 xxxxxxx

3.1.5 Productos notables

En la siguiente tabla aparecen algunas de las fórmulas más importantes de productos notables que son útiles en diversos problemas de multiplicación.

Nombre Fórmula

Diferencia de cuadrados 22 yxyxyx

Cuadrado de una suma 2222 yxyxyx

Cuadrado de una diferencia 2222 yxyxyx

Cubo de una suma 3223333 yxyyxxyx

Cubo de una diferencia 3223333 yxyyxxyx

Utilice las fórmulas anteriores para desarrollar los siguientes productos:

ACTIVIDAD No. 14

ACTIVIDAD No. 13


Página 54

a. 33 22 xx

b. 2

2

zz

c. 3223 zy

d. 33 1x

e. 23 yx

f. 2nm xx

g.

2

2

3

2

3 3

xx

h. 33 22 xx

i. 232 32 zz

j. 3223 zy

k. 334 52 xx

l. 2nn qp

m. 23 yx

n. 2nm xx

3.1.6 División entre monomios

Utilizando la siguiente propiedad de la potenciación:

nm

n

m

aa

a

y la regla de los signos se puede obtener el cociente de dos o más monomios.

Efectúe las siguientes divisiones:

Ejemplo No. 41


Página 55

a. ba

ba4

27

3

12

b. yzxzyx 233 410

Solución:

a. 43

12 3

4

27

baba

ba

b. 2

2

33233

2

5

4

10410 xy

yzx

zyxyzxzyx

3.1.7 División de un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y se suman los cocientes obtenidos. Esto es:

cocienteslosdepropiedadd

c

d

b

d

a

d

cba

Haga la siguiente operación: xy

xyyxyx

4

468 332

Solución:

14

4

4

6

4

8

4

468 2

232

332332

xxyxy

xy

xy

yx

xy

yx

xy

xyyxyx

3.1.8 División de un polinomio entre otro polinomio

Procedimiento:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una misma literal. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término

del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo. 3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el

segundo término del cociente. 4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.

3.1.9 Algoritmo de la división para polinomios

Si )(xf y )(xp son polinomios y si ,0)( xp entonces existen polinomios únicos )(xq y )(xr tales que:

)(

)()(

)(

)(

xp

xrxq

xp

xf , o bien )(xf = )(xp )()( xrxq

Ejemplo No. 42


Página 56

Donde 0)( xr o el grado de )(xr es menor que el grado de )(xp . El polinomio )(xq es el cociente y )(xr

es el residuo en la división de )(xf entre )(xp

Divida 332 xx entre 1x . Obtenga el cociente y el residuo.

Solución:

Se realiza la división algebraica de polinomios:

332 xx

1x

xx 2

4x

34 x

44 x

7

Cociente: 4x Residuo: 7

Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene:

1

74

1

332

xx

x

xx

Realice la división indicada:

a. 523 23 xx entre 3x

b. 2233 8523 xyyxyx entre xy 3

c. 423 3 xx entre xx 22

d. 15 24

34 xx entre

21x

e. Reste la suma de 323 bab y 322 32 babba de 323 bbaa y la diferencia multiplicarla por el

cociente de dividir 33 ba entre 22 baba

f. Exprese la división de 10162

3203 xxx entre 23 x como

)(

)()(

)(

)(

xp

xrxq

xp

xf

g. En una división el divisor es 12 x , el cociente es 222 xx y el residuo es 14 x . Halle el dividendo.

3.2 FACTORIZACIÓN

Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada polinomio del producto se denomina factor del

polinomio inicial. Se denomina factorización al proceso de expresar una suma de términos como un producto.

ACTIVIDAD No. 15

Ejemplo No. 43


Página 57

En 232349 2 xxx los polinomio 23 x y 23 x

son factores de 49 2 x

Un polinomio con coeficientes en algún conjunto T de números es primo, o irreducible sobre T , si no puede

escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en T

El polinomio 52 x es irreducible sobre los números racionales puesto que no se puede expresar como un

producto de dos polinomios que tengan coeficientes racionales.

Observación: Un polinomio es irreducible sobre un conjunto T pero no sobre otro; en el ejemplo anterior 52 x

es irreducible sobre los racionales pero no lo es sobre los números reales, ya que se puede escribir:

5552 xxx

De igual manera 42 x es irreducible en los números reales pero, no sobre los números complejos, puesto que:

ixixx 2242

Donde i es la unidad imaginaria.

Nota: Es conveniente especificar el sistema numérico (o conjunto) del cual han de elegirse los coeficientes del polinomio antes de factorizarlo.

Observación: Todo polinomio bax de grado 1 es irreducible en los racionales.

Indique sobre qué conjunto es irreducible y reducible los siguientes polinomios:

a. 162 x

b. 34 2 x

c. 4252 x

Antes de factorizar un polinomio es necesario especificar el conjunto numérico del cual han de elegirse los coeficientes. En esta sección usaremos la regla que si un polinomio tiene coeficientes enteros, los factores han de ser polinomios con coeficientes enteros.

Factorizar un polinomio significa expresarlo como un producto de polinomios irreducibles.

Factorice los siguientes polinomios:

a. 2444 2 xx

Ejemplo No. 46

ACTIVIDAD No. 16

Ejemplo No. 45

Ejemplo No. 44


Página 58

b. 335 25 yxyx

Solución:

a. 642444 22 xxxx

234 xx

b. 223335 2525 yxyxyxyx

yxyxyx 553

En la siguiente tabla se muestran algunas fórmulas de factorización:

Fórmula Ejemplo

Diferencia de cuadrados:

yxyxyx 22 434343169

222 aaaa

Diferencia de cubos:

2233 yxyxyxyx

333 32278 aa

22332232 aaa

96432 2 aaa

Suma de cubos:

2233 yxyxyxyx

333 151125 aa

22115515 aaa

152515 2 aaa

Trinomio cuadrado perfecto:

222 2 yxyxyx

222 2 yxyxyx

22 112 aaa

22 329124 ccc

Trinomio de la forma cbxx 2 :

nxmxcbxx 2

Donde:

bnm y cnm

341272 xxxx

Donde:

734 nm y 1234 nm

2362 xxxx

Donde:

123 nm y

623 nm

Observación: Los factores 22 yxyx y 22 yxyx en la diferencia y suma de dos cubos, respectivamente,

son irreducibles sobre los números reales. Si n es un número entero positivo entonces:

nn yx tiene el factor yx cuando n es impar


Página 59

nn yx

tiene el factor yx cuando n es impar o par

nn yx

tiene el factor yx cuando n es par

Es decir:

122321 nnnnnnn yxyyxyxxyxyx

122321 nnnnnnn yxyyxyxxyxyx


a. 444 22 yyx

b. 4416 yx

c. 55 yx

Solución:

a. 442444 2222 yyxyyx

22

22 yx

2222 yxyx

2222 yxyx

b. 22244 416 yxyx

2222 44 yxyx

2222

42 yxyx

22422 yxyxyx

c. 43223455 yxyyxyxxyxyx


a. 22 259 qp

b. 6327 yx

c. 822 xx

ACTIVIDAD No. 17

Ejemplo No. 47


Página 60

d. 55 yx

e. 23 x

f. 22 )(2510)( cdabcdab

g. 14 x

h. 9

5

4

2

x

i. xxx 223

j. xTan1 3

k. 16 x

l. 2076 2 xx

m. 102222

yxyx

n. 22 39232 xxyy

o. 612 2 xx

p. 22 62 yxyx

Para factorizar una suma que contenga cuatro o más términos, es posible utilizar la técnica denominada

factorización por agrupación, que consiste en agrupar los términos del polinomio de manera adecuada y luego encontrar una factorización mediante las propiedades distributivas.

Factorice bdadbcac 224

Solución:

Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos, y luego se procede de la siguiente manera:

)2()24(224 bdadbacbdadbcac )2()2(2 badbac

)2)(2( badc

3.3 COMPLETAR CUADRADO

Con el objetivo de completar cuadrado para 2 kxx o kxx 2, se suma

2

2

k. Es decir, se suma el

cuadrado de la mitad del coeficiente de x

22

2

22

kx

kkxx

Ejemplo No. 48


Página 61

22

2

22

kx

kkxx

Factorice las siguientes expresiones completando cuadrado:

a. 1 2 xx

b. 2432 xx

Solución:

a. 4

5

2

1

2

11

2

111

222

222

xxxxxxx

2

5

2

1

2

5

2

1xx

2

15

2

51xx

b.

2

1

12

7

12

7

6

76

2

1

6

76376

22

222 xxxxxx

12

11

12

7

12

11

12

76

144

121

12

76

2

xxx

3213

2

3

3

16

xxxx

1. Factorice completamente las siguientes expresiones:

a. 81223 23 xxx

b. 251016 22 xyx

c. 22 62 yxyx

d. 1572 2 tt

e. 201319273 22 yxyxyx

f. 3222 babbaa

g. 123 xxx

ACTIVIDAD No. 18

Ejemplo No. 49


Página 62

2. Expresa los siguientes polinomios como el producto de dos polinomios cuadráticos.

a. 124 tt

Sugerencia: sume y reste 2t

b. 14 x

Sugerencia: sume y reste 22x

3. Factorice completando cuadrado:

a. 242 xx

b. 32 xx

c. 126 2 xx

d. 232 xx

e. 2432 xx

3.4 TEOREMA DEL RESIDUO

Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo al dividir 423 3 xxxf entre 2x

Solución:

Tenemos que:

22 xx , de donde se concluye que 2c

Por lo tanto el residuo es:

324222323

f

3.5 TEOREMA DEL FACTOR

Utilice el teorema del factor para demostrar que 1x es un factor de 123 xxxxf

Ejemplo No. 51

Un polinomio )(xf tiene un factor cx , si y solamente sí 0)( cf

Ejemplo No. 50

Si un polinomio )(xf se divide entre cx , entonces el residuo es )(cf


Página 63

Solución:

Tenemos que 1c , por lo tanto:

01111123

f (residuo cero)

De esta manera 1x es un factor de 123 xxxxf , o bien 123 xxxxf es divisible por

1x

3.6 DIVISIÓN SINTÉTICA

Instrucciones para la división sintética de 01

1n

1n

n

n axa....xaxa

entre cx

1. Se comienza con el siguiente esquema (se colocan ceros para cualquier coeficiente faltante del polinomio dado)

na 1na 2na 1a 0a

c

na

2. Se multiplica na por c y el producto nca , se anota debajo de 1na . A continuación se suma 1na con nca y

se coloca el resultado nn caab 11 en la columna de 1na , debajo de la línea.

na 1na 2na 1a 0a

c

nca

na 1b

3. Se multiplica 1b por c y el producto 1cb , se anota debajo de 2na . A continuación se suma

2na con 1cb y

se coloca el resultado 122 cbab n en la columna de 2na , debajo de la línea.

na 1na 2na 1a 0a

c

nca 1cb

na 1b 2b

4. Se continúa este proceso hasta obtener la suma final 10 ncbar . Los números:

n-1n-221n , bb, ... , , b, ba

Son los coeficientes del cociente )(xq . Es decir:

n-1n-2

2n

1

1n

n bx b... xbxaq(x)

y r es el residuo.


Página 64

Utilice la división sintética para hallar el cociente )(xq y el residuo r si el polinomio 8252 34 xxx se

divide entre 3x

Solución:

Debido a que el divisor es )3(3 xx , entonces el valor de c en la expresión cx es 3c . Por lo tanto,

la división sintética adopta la siguiente forma:

2 5 0 2 8

3

6 3 9 33

2 1 3 11 25

Según se ha indicado, las cuatro primeras cifras del tercer renglón son los coeficientes del cociente )(xq y el

último número es el residuo r . En consecuencia:

1132)( 23 xxxxq y 25r

Además, utilizando el algoritmo de la división, tenemos que el polinomio:

8252 34 xxx

Se puede expresar como:

25113238252 2334 xxxxxxx

3.7 TEOREMA SOBRE CEROS RACIONALES DE UN POLINOMIO

Si el polinomio:

0

n

n

n

n axa....xaxaxf

1

1

1)(

Tiene coeficientes enteros y además q

p es un cero (raíz) racional de )(xf tal que p y q no posean un factor

primo común, entonces:

El numerador p del cero es un divisor del término constante 0a

El denominador q del cero es un divisor del término constante na

Ejemplo No. 52

Coeficientes del cociente Residuo


Página 65

Use de la división sintética y el algoritmo de la división para factorizar el polinomio 223 xx

Solución:

Para factorizar un polinomio de la forma 0

n

n

n

n axa....xaxa

1

1

1 con coeficientes enteros, con 2n es

útil algunas veces la división sintética. Por el teorema anterior, los posibles ceros (o raíces) racionales del

polinomio 223 xx son los divisores de 20 a , ya que 1na , de manera que para el polinomio

223 xx tenemos que los divisores de 2 son 1 y 2 , luego aplicando la división sintética para 1c

se tiene:

1 1 0 2

1

1 2 2

1 2 2 0

Por tanto 1x es un factor de 223 xx , luego aplicando el algoritmo de la división, la factorización del

polinomio es:

)22)(1(2 223 xxxxx , donde 222 xx es irreducible en los reales.

3.8 TEOREMA DE FACTORIZACIÓN COMPLETA PARA POLINOMIOS

Si )(xf es un polinomio de grado 0n , entonces existen n números complejos nrrr ,,, 21 tales que:

nrxrxrxaxf 21)(

Donde a es el coeficiente inicial de )(xf y cada número kr es un cero (o raíz) de )(xf

1. Pruebe que 2x es un factor de 234 23 xxxxf

2. Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo al dividir:

a. 5432 23 xxx entre 2x

b. 763 25 xx entre 21x

3. Use la división sintética y factorice en los reales los siguientes polinomios:

ACTIVIDAD No. 19

Ejemplo No. 53

Coeficientes

del cociente Residuo


Página 66

a. 81023 xxx

b. 44 235 xxx

c. 8814143 234 xxxx

d. 3872 23 xxx

4. Encuentra un polinomio de grado 3 que tenga los ceros (o raíces) indicados y satisfaga la condición dada:

a. 80)2( 3 ,2 ,1 f

b. 24)3( 4 ,2 ,5 f

c. 36)2( 0 ,4,3 f

3.9 EXPRESIONES FRACCIONARIAS

El cociente de dos expresiones algebraicas se llama expresión fraccionaria. Como caso particular, una expresión

racional es el cociente q

p de dos polinomios p y q . Dado que no se permite la división entre cero, el dominio de

q

p estará formado por todos los números reales, excepto los que hacen cero al denominador.

3.9.1 Expresión racional

Ejemplo Dominio

1

12

x

xx Para todo 1x

xy

yyxx

223 35

Para todo x y y tales que yx

12 3 x Para todo Rx

Las expresiones racionales en que tanto numerador como denominador son polinomios de una sola variable son

objeto de estudio en este curso.

Para el proceso de simplificación de expresiones racionales se puede usar las propiedades de los cocientes, puesto que las variables representan números reales, en particular la propiedad:

b

a

d

d

b

a

bd

ad , donde 0bd

Usualmente se desarrolla este proceso de simplificación afirmando que se puede cancelar un factor común distinto de cero en el numerador y denominador de un cociente. En la práctica, se cancela el factor común, suponiendo que

todos los denominadores son diferentes de cero. Una expresión racional reducida está simplificada o reducida a su

mínima expresión, si tanto el numerador como el denominador no tienen factores polinomiales comunes de grado positivo ni factores enteros comunes mayores que 1 .


Página 67

Para simplificar una expresión racional, se factorizan tanto el numerador como el denominador y posteriormente, suponiendo que los factores del denominador no son cero, se cancelan los factores comunes.

3.9.2 Expresiones racionales simplificadas

Simplifique las siguientes expresiones racionales:

a. 16

121752

2

x

xx

b. )9)(2(

)2)(96(22

2

xxx

xxx

Solución:

a. 4

35

)4)(4(

)4)(35(

16

121752

2

x

x

xx

xx

x

xx, para 4x

b. )3(

3

)3)(3)(2(

)2()3(

)9)(2(

)2)(96( 2

22

2

xx

x

xxxx

xx

xxx

xxx, para 0x y 3x

3.9.3 Producto de cocientes de expresiones racionales

Recuerde que:

bd

ac

d

c

b

a

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

Efectúe la operación indicada y simplifique:

a. 3

22

1

962

2

x

x

x

xx

b. 8

42

4

83

23

2

4

x

xxx

x

xx

Ejemplo No. 55

Ejemplo No. 54


Página 68

Solución:

a. 1

)3(2

)3)(1)(1(

)1)(3)(3(2

)3)(1(

)22)(96(

3

22

1

962

2

2

2

x

x

xxx

xxx

xx

xxx

x

x

x

xx, para 1x

b. xxx

x

x

xx

x

xxx

x

xx

42

8

4

8

8

42

4

823

3

2

4

3

23

2

4

xxxx

xxx

424

88232

34

4222

42282

23

xxxxx

xxxxx

4222

4224222

22

xxxxx

xxxxxxx

422 xx , para todo Rx

Simplifique:

a. xx

xxx

9

2143

23

b. cxdycydx

dxcydycx

2222

c. 8

42

4

83

23

2

4

x

xxx

x

xx

d. xx

xxx

xx

x

827

469

253

494

234

2

2

Para sumar o restar dos expresiones racionales, por lo general se halla un común denominador y se usan las siguientes propiedades de los cocientes:

d

ca

d

c

d

a

d

ca

d

c

d

a

ACTIVIDAD No. 20


Página 69

Para sumar o restar expresiones racionales, si los denominadores de las expresiones no son los mismos, es

recomendable determinar el mínimo común denominador (MCD) de los cocientes y realizar la operación usual

entre fracciones. Para determinar el MCD, se descompone cada denominador en factores primos y luego se forma

el producto de los diversos factores primos, utilizando el mayor exponente que aparezca en cada factor primo.

Determine el MCD de las siguientes fracciones:

62

2 ;

123

5 ;

44

322

2

2 xxx

x

xx

x

Solución:

Al descomponer cada denominador en factores primos, se obtiene:

22 244 xxx

22343123 22 xxxx

23262 2 xxxx

Luego el MCD de 62

2 ;

123

5 ;

44

322

2

2 xxx

x

xx

x es 32223

2 xxx

3.9.4 Suma y resta de expresiones racionales

Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción más sencilla)

22

3

23

1

23

2

xxxx

x

Solución:

El mínimo común denominador (MCD) de los denominadores es )23(2 xx . Por lo tanto:

222

3

23

1

)23(

23

23

1

23

2

xxxx

x

xxxx

x

)23(

)23(3)2(2

2

xx

xxxx

)23(

6922

22

xx

xxx

)23(

6932

2

xx

xx

)23(

)23(32

2

xx

xx

Ejemplo No. 57

Ejemplo No. 56


Página 70

Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción sencilla en términos mínimos). Recuerde que debe hallar el mínimo común denominador (MCD)

a. 32

5125

x

x

x

x

x

b. 9

18

3

4

3 2

tt

t

t

t

c. 12

23

32

4

1

3222

xx

x

xx

x

x

d. 2

3

4

6

44

1222

xx

x

xx

x

e. Senx1

Cosx

Cosx

Senx

3.10 FRACCIONES COMPUESTAS

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su

denominador, o en ambos.

Simplifique (reduzca a la forma más sencilla)

a. ax

ax

13

13

b. 2

ab

ba

ab

ba

Solución:

a. )1)(1(

3)1)(1(

)(3

)1)(1(

3333

)1)(1(

)1(3)1(3

1

3

1

3

axaxaxaxax

ax

ax

ax

xa

ax

xa

ax

b. ba

ba

ba

baba

ab

baba

ab

ba

a

b

b

a

a

b

b

a

222

22

)(

))((

22

Ejemplo No. 58

ACTIVIDAD No. 21


Página 71

1. Simplifique las siguiente fracciones complejas (reduzca a la forma más simple)

a.

ba

b

a

a

b

11

Rta/ ab

b.

65

61

3

1

2

1

2

xx

xx Rta/ xx 5

12

c.

xx

x

xx

xx

xx

11

11

11

21

12

2

Rta/ x

1

d.

ba

ba

baba

ba

ab

b

ba

ba

ba

ba

b

ba

22

22

22

2

2

4

2 Rta/

ba

ba

)2(2

e.

111

1

11

11

2

2

22

a

a

b

a

b

baba

b Rta/

b

a

1

f.

3

233

23

233

312

1

2

1

213

133 )3(

xa

xxaxxxa

Rta/

34

33

33

2 xax

xa

g. x

xxx

xx1

212

1

11

121

2

12

12

2

2

12

Rta/ x

x 12

h. 3

2

3

121

1

3

1

16

12

1

1

3

122

xxx

x

x Rta/ 1

13 x

ACTIVIDAD No. 22


Página 72

i. 22 1

1

12

1

11

1

x

x

x

x

x

Rta/

12

1

xx

2. Despeje x en las siguientes igualdades:

a) txacbxax 2

b) ctxcbxax 2

c) trxsxrxa

3.11 RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Algunos cocientes que no son expresiones racionales contienen denominadores de la forma ba o

ba estos cocientes se pueden simplificar utilizando la Racionalización, que consiste en eliminar radicales

del numerador o del denominador, para lo cual se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado

ba o ba , respectivamente.

3.11.1 Racionalización del denominador

Racionalice el denominador de la siguiente expresión yx

1

Solución:

La expresión conjugada de yx es yx , por lo tanto:

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

22

11

Recuerde que bababab 22

a

3.11.2 Racionalización del numerador

Racionalice el numerador de la siguiente expresión h

hxx

Ejemplo No. 60

Ejemplo No. 59


Página 73

Solución:

La expresión conjugada de hxx es hxx , por lo tanto:

hxxh

hxx

hxx

hxx

h

hxx

h

hxx

22

)(

)(

hxxh

hxx

)( hxxh

h

)(

1

hxx

Racionalice el denominador de la siguiente expresión 33

1

yx

Solución:

Si hacemos 3

13 xxa y 3

1

3 yyb entonces la expresión 33

1

yx es equivalente a

ba

1

Por lo tanto el factor racionalizador es 22 baba

Es decir 3

2

3

1

3

1

3

222 yyxxbaba , ya que 3322 babababa

O lo que es lo mismo yxyxyyxxyx 33

31

31

32

31

31

32

31

31

Eliminando así los radicales del denominador. De manera que:

yx

yyxx

yx

yyxx

yyxx

yyxx

yxyx

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

33

333333

11

1. Racionalice el numerador de la expresión dada y simplifique si es posible:

a. h

xhx 121)(2

b. h

xhx 11

c. 34

62622

22

xx

xxxx

ACTIVIDAD No. 23

Ejemplo No. 61


Página 74

d. x

xhhx 33 Sugerencia: Utilice la expresión: 2233 babababa

e. 1

14

x

x

2. Racionalice el denominador de la expresión dada y simplifique si es posible:

a. 35

32

b. 625

62

c. 532

1

d. 235

553

2

x

x

e. 333 469

1

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de

cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. El resultado de 11 xx

es:

A. 0

B. x2

C. 2 D. 22 x

2. El resultado de 22 11 xx

es:

A. 0

B. 22x

C. 22x

D. 22 2 x

3. El valor numérico de la expresión 12 xy cuando 3x y 2y es:

A. 11 B. 9

C. 13

D. 15

AUTOEVALUACIÓN No. 3


Página 75

4. La expresión que representa el doble de un número más tres veces el mismo número es:

A. x5

B. 52 x

C. xx 32

D. 24 x

5. baba 22

es igual a:

A. 33 ba

B. 3223 2 bbaa

C. 3223 babbaa

D. 2222 babbaa

6. 112x

es igual a:

A. 2x

B. xx 2

C. xx 22

D. 22 x

7. 4444 baba

es igual a:

A. 88 ba

B. 8448 2 bbaa

C. 8448 2 bbaa

D. 88 ba

8. Si 343 2 aakaa , el valor de k

es:

A. 1 B. 1 C. 2 D. 3

9. La expresión 11 yxyx es igual a:

A. 12 22 yxyx

B. 122 yx

C. 12 22 yxyx

D. 12 22 yxyx

10. El polinomio xzxyyzzyx 222222 es igual a:


Página 76

A. 2zyx

B. 2zyx

C. 2zyx

D. 2zyx

11. 22yxyx es igual a:

A. xy4

B. 22 yx

C. 22 yx

D. 22 242 yxyx

12. baba 22 es igual a:

A. ba

B. ba

C. ab

D. 22 bbaa

13. El polinomio 12 xx es el resultado de:

A. 1

13

x

x

B. 1

13

x

x

C. 1

13

x

x

D. 1

13

x

x

14. El residuo de la división 1123 2 xxx es:

A. 1 B.

0

C.

1 D.

4

15. El factor común en el polinomio 21 xxn

es:

A. 2x

B. x

C. nx

D. 1nx


Página 77

16. 11 mmx

es igual a:

A. 1mx

B. 1xm

C. 1mx

D. 11 xm

17. 122 xx es igual a:

A. 21x

B. 21x

C. 2xx

D. 21xx

18. El trinomio 652 xx se factoriza como:

A. 16 xx

B. 16 xx

C. 16 xx

D. 16 xx

19. El trinomio 145 2 xx se factoriza como:

A. 115 xx

B. 115 xx

C. 115 xx

D. 114 xx

20. 133 23 xxx

es igual a:

A. 31x

B. 13 xx

C. 31x

D. 13 xx

21. El binomio 14 x es igual a:

A. 111 2 xxx

B. 111 2 xxx

C. 111 2 xxx

D. 111 2 xxx


Página 78

22. La expresión ab

ba

es igual a:

A. 1 B. 1 C. b

D. a

23. 1

1

1

mm

x es igual a:

A. 1

1

m

x

B. m

x

C. 1

1

m

x

D. 22

1

m

x

24. 2

11

xx es igual a:

A. 0

B. x

1

C. x

1

D. 2

1

x

x

25. x

11 es igual a:

A. 0

B. x

1

C. x

1

D. x

x1


Página 79

26. 1

1

1

m

x

x

m es igual a:

A. 1

B. 1m

m

C. m

D. mx

x

27. La expresión 1

2

m

m es igual a:

A. 1

2

m

m

B. 22 m

m

C. m

m 22

D. m

m 2

28. xx

xx 1

1

23

es igual a:

A. x

B. 3x

C. x

1

D. 3

1

x

Unidad 3_expresiones Algebraicas

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