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10. Calculo de deformaciones por girodeflexión:::
Considerar en la figura las fuerzas y momentos en los extremos de la barra ilustrada, lo mismoque la carga distribuida sobre la luz. Encontrar las expresiones que relacionan las fuerzas en losextremos con los desplazamientos. Por fuerzas entendemos momentos y cortantes, pordesplazamientos entendemos deflexiones y rotaciones.
Para encontrar la relación fuerza-desplazamiento empezamos por integrar la ecuación diferencialde la viga:
El* Y" = Mx = Vj - Mj + q(x)
donde q(x) es el momento debido a las cargas aplicadas únicamente y es positivo en el sentidocontrario a las manecillas del reloj. Para una carga uniformemente distribuida w:
Integrando:
Donde:
f(x) = g(x)* dx ; g(x) = f(x)* dx
las condiciones de borde son:
y´= j , y = yj en x = 0
y´= k , y = yk en x = L
las dos primeras condiciones de borde dan:
El* j = C1 ; El* yj = C2
f (0) y g(0) son cero para todas las cargas. Las dos últimas condiciones de borde, una vez sesustituyen los valores de C1 y C2 de las anteriores ecuaciones , conducen a
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Por equilibrio de ecuaciones, la suma de momentos en el extremo derecho y la suma de lasfuerzas verticales son iguales a cero. Entonces:
Mj - Vj* L + g(L) + M2 = 0 ; Vj + W + Vk = 0
donde W = w(x)* dx, sobre toda la longitud L. Por tanto:
sustituyendo V j en las ecuaciones para k y yk, obtenemos:
Resolviendo para M1 y M2:
Para una carga uniformemente distribuida en la longitud L:
Para una carga uniformemente distribuida en la longitud L, actuando verticalmente hacia abajo,los momentos y las cortantes de empotramiento son :
Para una carga puntual colocada a una distancia a del apoyo izquierdo o a una distancia b delapoyo derecho, los momentos y las cortantes de empotramiento son :
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Viga continua
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Investigar deformaciones angulares y fuerzas internas
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Estableciendo equilibrio de momentos en nudos 2 y 3:
M2 = 0 M21 + M23 = 0.4 El* 2- 28.8 + (0.8 El* 2 +
0.4 El* 3 + 37.5) = 0
1.2 El* 2 + 0.4 El* 3 = - 8.7 (Ecuaicón 1)
M3 = 0 M32 + Mvol = 0.4 El* 2+ 0.8 El* 3 - 37.5 + 25.0 = 0
0.4 El* 2 +0.8 El* 3 = 12.5 (Ecuaicón 2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2)
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Resolver portico con nudos articulados
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Similarmente:
Similarmente para la columna 4 -6:
Para la viga 3 - 4:
Ecuaciones de equilibrio: Cuatro por rotación y dos por desplazamiento
M3 = 0 M31 + M34 M35 = 0
2.5* 3+0.25* 4+0.5* 5 - 0.375* 2= - Ecuaicón
(1)
M4 = 0 M42 + M43 M46 = 0
0.25* 3+2.5* 4+0.5* 6 - 0.375* 2= + Ecuaicón
(2)
M5 = 0 M53 = 0 En este nudo M56 no existe y por tanto no se
considera.
0.5* 3+ 5+0.375* 1 - 0.375 2* =0.0 Ecuaicón (3)
M6 = 0 M64= 0 En este nudo M65 no existe y por tanto no se
considera.
0.5* 4+ 6+0.375* 1 - 0.375 2* =0.0 Ecuaicón (4)
Cortantes en el Segundo Nivel - V35 - V46 + 1.5 = 0.0
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0.375* 3 +0.375* 4 +0.375* 5+0.375* 6 +0.375* 1
- 0.735* 2= Ecuaicón (6)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
3 4 5 6 1 2
2.5 0.25 0.5 -0.375
0.25 2.5 . 0.5 -0.375
0.5 . 1.0 0 0.375 -0.375
. 0.5 0 1.0 0.375 -0.375
0.375 0.375 0 0 -0.375
0.375 0.375 0.375 0.375 0.375 -0.375
*
3
4
5
6
1
2
=
-15.0
15.0
0.0
0.0
4.0
1.5
Se obtienen los siguientes valores:
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Resolver portico con voladizo
Resolver inicialmente con: 2, 3, 4,
Ecuación de equilibrio:M21 + M23 = 0
M32 + M34 + Mvol = 0
M43 = 0
Luces:L12 + L1 = 5.0 m
L23 + L 2 = 10.0 m
L34 = L3 = 5.0 m
Lvol = 3.0 m
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Equilibrio por cortante:V12 + V43 = 10
2 = 3 =
MF12 = 6.25 Tn - m ; MF
12 = - 6.25 Tn - m
MF23 = 25.0 Tn - m ; MF
12 = 25.0 Tn - m
MF34 = 0
MF35 = Mvol = 15.5 Tm
Sustituyendo en elas ecuaciones de equilibrio:
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Equilibrio de cortantes en la base:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2 3 4
1.2 0.2 0.0 -0.24
0.2 1.2 0.4 -0.24
0.0 0.4 0.8 -0.24
0.24 0.24 0.24 -0.192
*
2
3
4
=
-18.75
11.5
0.0
5.0
Sustituyendo variables en ecuaciones de momento:
Chequeo de momentos en los nudos:
Chequeo de cortantes en tramos:
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