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Teoría Axiomática General de Agregados (VI)

Jorge Baralt-Torrijos

Universidad Simón BolívarAgosto 2003

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Contenido Axioma de Membresía Ax. de Clausura de Apareamiento Axioma de Herencia de Elementos Teorema General de Clases Teoremas de Conjuntos

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Axioma de Membresía

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Df. Mbrs Mbrs = x =a EsRelacion(x)

y (y x a b (y = ParOrd(b)(a) b a))Mbrs =s la relación de membresía

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Ax. de Membresía x Mbrs = x

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Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

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Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía

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Ts. Mbrs x Dom(Mbrs) EsElemento(x) a a x x Rng(Mbrs) EsElemento(x) a x a EsClase(Dom(Mbrs)) EsClase(Rng(Mbrs))

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Axioma de Clausura de Apareamiento

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Ax. de Clausura de Apareamiento

EsElemento(Par(b)(a))

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Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

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Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de Apareamiento

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Ts. Clausura de Apareamiento (1)

EsConjunto(Par(b)(a)) EsElemento(Atm(a)) EsConjunto(Atm(a)) EsNatZ(x) EsConjunto(x)

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Ts. Clausura de Apareamiento (2)

EsElemento(ParOrd(b)(a)) EsConjunto(ParOrd(b)(a)) EsClase(PrC(Y)(X)) EsClase(Mbrs) EsElemento(x) a x a x Rng(Mbrs) EsElemento(x)

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Df. Elems Elems =a Rng(Mbrs)

Elems =s el universo de elementos

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Ts. Elems x Elems EsElemento(x) EsClase(Elems) EsParte(Elems)(x) EsClase(x) Dom(Mbrs) Elems Union(Y)(X) =UnEn(Elems)(Y)(X) EsClase(Union(Y)(X)) EsClase(Intsc(Y)(X)) EsClase(Dif(X)(Elems)) Dif(Elems)(X) = 0Z

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Df. Cmp Cmp(X) =a Union(Rng(X))(Dom(X))

Cmp(X) =s el campo de X

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Ts. Cmp Cmp(X) = Cmp(Nucleo(X))

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Axioma de Herencia de Elementos

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Ax. de Herencia de Elementos x a EsElemento(x)

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Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

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Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de Apareamiento 12. Herencia de Elementos

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Ts. Herencia de Elementos EsAgrupacion(x) EsElemento(x) EsClsX(x) EsAgrupacion(x) EsElemento(x)

EsConjunto(x) EsAgrupacion(x) EsElemento(x) a a x

EsConjunto(x) EsAgrupacion(x) x Dom(Mbrs) EsConjunto(x) EsAgrupacion(x)

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Herencia de Elementos

0Z

Integrantes

Minimales Agrupaciones

Maximales

Clases

Agregados

Individuos

Elementos

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Df. Cnjnts Cnjnts =a Union(1Z)(Dom(Mbrs)) Cnjnts =s el universo de conjuntos

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Ts. Cnjnts EsClase(Cnjnts) x Cnjnts EsConjunto(x)

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Ts. de clases (1) EsClase(Dom(X)) EsClase(Rot(X)) EsClase(Trp(X)) EsClase(Inv(X)) EsClase(Rng(X)) EsClase(Nucleo(X))

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Ts. de clases (2) EsClase(RstrP(x)(X)) EsClase(RstrS(x)(X)) EsClase(Rstr(x)(X)) EsClase(Img(Y)(x)) EsUnvc(a)(X) EsElemento(Img(X)(a)) EsClase(ImgP(Y)(x)) EsClase(PImg(Y)(x)) EsClase(PImgP(Y)(x))

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Teorema General de Clases

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Df. PtC PtC(1)(x) =a Dom(PrC(x)(x))

PtC(Suc(Suc(n)))(x) =a PrC(x)(PtC(Suc(n))(x))PtC(Suc(n))(x) =s la potencia cartesiana Suc(n) de x

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Ts. PtC EsClase(PtC(Suc(n))(X))

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Df. Cmpl Cmpl(Suc(n))(X) =a Dif(X)(PtC(Suc(n))(Elems))

Cmpl(Suc(n))(X) =s el complemento de la potencia cartesiana Suc(n) de X

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Ts. Cmpl EsClase(Cmpl(Suc(n))(X)) EsClase(Cmpl(1)(X))

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Df. {<x1,x2,…,xn> | (xn) …(x2)(x1)}

{<x1,x2,…,xn> | (xn)…(x2)(x1)} =a {x | x1 x2 … xn (x = <x1,x2,…,xn> (xn)…(x2)(x1))}{<x1,x2,…,xn> | (xn)…(x2)(x1)} =s el agregado de políadas de adicidad n que satisfacen

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Ts. de clases (1) Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs) =

{<a1,a2,<b1,b2,…,bm1 >> | a2 a1} Rot(PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs)) =

{<b1,b2,…,bm1,a1,a2 > | a2 a1} X = {<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)}

PrC(Elems)(X) = {<a1,a2,…,an,b> | (an)…(a2)(a1)} Rot(PrC(Elems)(X)) =

{<b,<a1,a2,…,an-1>,an> | (an)…(a2)(a1)} Trp(Rot(PrC(Elems)(X))) =

{<a1,a2,…,an-1,b,an> | (an)…(a2)(a1)}

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Ts. de clases (2) X = {<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)}

Y = {<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)} Intsc(Y)(X) =

{<a1,a2,…,an> |(an)…(a2)(a1) (an)…(a2)(a1)} Union(Y)(X) =

{<a1,a2,…,an> |(an)…(a2)(a1) (an)…(a2)(a1)} Dif(X)(PtC(Suc(n))(Elems)) =

{<a1,a2,…,an> | ¬(an)…(a2)(a1)}

Dom(X) = {<a1,a2,…,an-1> | an (an)…(a2)(a1)}

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Ts. de clases (3) X = {a1 | a1 X}

PrC(Elems)(X) = {<a1,a2> | a1 X}

PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 X}

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Df. IdE IdE = x =a EsAgregado(x)

y (y x a b (y = ParOrd(b)(a) a = b) IdE =s la identidad de elementos

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Ts. IdE (1) Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} PrC(Elems)(Mbrs) = {<a1,a2,a3> | a2 a1} Rot(PrC(Elems)(Mbrs)) = {<a1,a2,a3> | a3 a2} Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))) = {<a1,a2,a3> | a1 a3} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} PrC(Elems)(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2,a3> | a1 a2} Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))) = {<a1,a2,a3> | a2 a3}

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Ts. IdE (2) Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))

(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ={<a1,a2,a3> | a1 a3 a2

a3} Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))

(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) = {<a1,a2> | a3 (a1 a3 a2 a3)}

Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))))

) ) = {<a1,a2> | a3 (a1 a3 a2 a3)} Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))

(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) ) = {<a1,a2> | a1 = a2}

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Ts. IdE (3) IdE = Cmpl(2)(Dom(Dif

(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) )

) x IdE = x EsClase(IdE) EsUnvc(x)(IdE)

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Ts. IdE (4) Img(IdE)(x) = {a | a x} Img(IdE)(X) = X EsParte(IdE)(x) EsClase(x) EsParte(IdE)(x) EsUnvc(y)(x) EsParte(IdE)(RstrP(x)(IdE)) EsClase(RstrP(x)(IdE)) EsUnvc(y)(RstrP(x)(IdE))

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Ts. IdE (5) Img(RstrP(x)(IdE))(y) = {a | a x a y} EsElemento(Img(RstrP(x)(IdE))(a)) EsElemento({b | b x b a}) EsElemento(Intsc(a)(x)) EsParte(a)(x) Intsc(a)(x) = x EsParte(a)(x) EsElemento(x) EsParte(a)(x) EsConjunto(x)

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TG. de clases x (EsAgregado(x)

y (y x a1 a2…an (y = <a1,a2,…,an>

(an)…(a2)(a1) ) ) )

EsClase({<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)}) EsClase({a | (a)}) EsClase({x | EsElemento(x) (x)}) EsClase({x | x Elems (x)})

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Teoremas de Conjuntos

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Ts. de Reemplazo (1) Nucleo(a) = {<a1,a2> | <a1,a2> a}

PrC(Elems)(Nucleo(a)) = {<a1,a2,a3> | <a1,a2> a}

IdE = {<a1,a2> | a1 = a2}

PrC(Elems)(IdE) = {<a1,a2,a3> | a1 = a2}

Rot(PrC(Elems)(IdE)) = {<a1,a2,a3> | a2 = a3}

Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))) = {<a1,a2,a3> | a3 = a1} Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))))

(PrC(Elems)(Nucleo(a))) ={<a1,a2,a3> | <a1,a2> a a3 = a1}

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Ts. de Reemplazo (2) x = Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))))

(PrC(Elems)(Nucleo(a))) x = {<a1,a2,a1> | <a1,a2> a}

EsClase(x) EsFuncion(x) EsUnvc(y)(x)

Img(x)(a) = Dom(a) EsElemento(Img(x)(a))

EsConjunto(Dom(a))

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Ts. de Reemplazo (3) Nucleo(a) = {<a1,a2> | <a1,a2> a} PtC(2)(Nucleo(a)) =

{<a1,a2,<a3,a4>> | <a1,a2> a <a3,a4> a }

Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))) ={<a1,a2,<a1,a2>> | <a1,a2> a}

Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a)))) ={<a1,a2,<a2,a1>> | <a1,a2> a}

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Ts. de Reemplazo (4) x = Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))))

x = {<a1,a2,<a2,a1>> | <a1,a2> a} EsClase(x) EsFuncion(x) EsUnvc(y)(x)

Img(x)(a) = Inv(a) EsElemento(Img(x)(a))

EsConjunto(Inv(a))

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Ts. de Reemplazo (5) EsConjunto(Rng(a)) EsConjunto(RstrI(x)(a)) EsConjunto(Img(a)(x))