Post on 29-Oct-2015
13. Ecuaciones diferenciales de orden superior
( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
2Ecuaciones lineales: teora bsica
Un problema de valor inicial de n-simo orden consiste en resolver la EDO lineal:
sujeta a las n condiciones iniciales:
Resolverlo consiste en encontrar una funcin y(x) en definida en un intervalo I que contiene a x0 , donde se cumplen la ecuacin y las condiciones iniciales.
)()()()()( 0111
1 xgyxadxdyxa
dxdxa
dxydxa n
n
nn
n
n =++++
"
10)1(
1000 )(,,)(,)( === nn yxyyxyyxy "
3Existencia de una solucin nica (Condicin suficiente)
Sea an (x), an-1 (x), , a0 (x), y g(x) continuas en I, con an (x)
0 para todo x de I. Si x = x0 es
cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solucin y(x) del problema anterior en I y es nica.
Ejemplo:
posee la solucin trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la nica solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
0)1(,0)1(,0)1(,0753 ====+++ yyyyyyy
4 Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e2x 3x es la nica solucin de
La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos funciones continuas, y a2 (x) = 1 es distinto de 0 en cualquier intervalo que contenga x = 0. La solucin propuesta cumple la EDO y es nica en I.
1)0(',4)0(,124" === yyxyy
Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solucin del PVI:
en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el
coeficiente de la derivada a2 (x) = x2 ms alta se hace cero en x = 0 y ese punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las condiciones iniciales.
1)0(,3)0(,6222 ===+ yyyyyx
5Problemas de valores en la frontera
Resolver:
sujeta a :
se llama problema de valor en la frontera (PVF) y a las restricciones se conocen como condiciones de contorno o condiciones en la frontera.
Nota: Las condiciones de contorno
pueden ser tambin sobre las derivadas.
)()()()( 0122
2 xgyxadxdyxa
dxydxa =++
10 )(,)( ybyyay ==
6Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solucin de
(a) Supongamos el PVF
Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t. Si x(/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente de c2 . De modo que tenemos infinitas soluciones.
(b) Si
tenemos que c1 = 0, c2 = 0:x(t) = 0, solucin nica.
016" =+ xx0
2,0)0(,016 =
==+ xxxx
08
,0)0(,016 =
==+ xxxx
(c) Si tenemos que c1 = 0, y 1 = 0 (contradiccin). No hay solucin.
12
,0)0(,016 =
==+ xxxx
7La siguiente EDO lineal de orden n:
se dice que es no homognea.
si g(x) = 0 la ecuacin es homognea.
Veremos que para resolver una ecuacin no homognea tendremos que resolver tambin la ecuacin homognea asociada.
0)()()()( 0111
1 =++++
yxadxdyxa
dxydxa
dxydxa n
n
nn
n
n "
)()()()()( 0111
1 xgyxadxdyxa
dxydxa
dxydxa n
n
nn
n
n =++++
"
8 Sea Dy = dy/dx. Al smbolo D se le llama operador diferencial. Definimos a un operador diferencial de n-simo orden u operador polinominal como
El operador diferencial L es un operador lineal:
Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente como
L(y) = 0 y L(y) = g(x)
Operadores diferenciales
)()()()( 011
1 xaDxaDxaDxaLn
nn
n ++++= "
))(())(()}()({ xgLxfLxgxfL +=+
9Principio de superposicin (ecuaciones homogneas)
Sean y1 , y2 , , yk soluciones de una ecuacin diferencial homognea de n-simo orden en un intervalo I. Entonces la combinacin lineal
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + + ck yk (x)donde ci , i = 1, 2, , k, son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el intervalo.
Nota: (A) y(x) = cy1 (x) tambin es solucin si y1 (x) es una solucin.(B) Una ED lineal homognea siempre posee la solucin trivial y(x) = 0.
Ejemplo: Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas soluciones en (0, ) de Luego y = x2 + x2 ln x tambin es una solucin en (0, ).
0423 =+ yyxyx
10
Dependencia e independencia linealUn conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), , fn (x) es linealmente dependiente en un intervalo I, si existen ciertas constantes c1 , c2 , , cn no todas nulas, tales que:
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + + cn fn (x) = 0
Si el conjunto no es linealmente dependiente, entonces es linealmente independiente.En otras palabras, si el conjunto es linealmenteindependiente, cuando:
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + + cn fn (x) = 0entonces necesariamente c1 = c2 = = cn = 0.
11
Son estas funciones linealmente independientes?
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0
12
Ejemplo: Las funciones f1 = cos2 x, f2 = sin2 x, f3 = sec2 x, f4 = tan2 x son linealmente dependientes en el intervalo (-/2, /2) porque
c1 cos2 x +c2 sin2 x +c3 sec2 x +c4 tan2 x = 0
con c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 = 1.
Ejemplo: Las funciones f1 = x + 5, f2 = x + 5x, f3 = x 1, f4 = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, ), porquef2 = 1 f1 + 5 f3 + 0 f4
13
)1()1()1(
21
21
1
21
'''),...,(
=n
nnn
n
n
n
fff
ffffff
ffW
"###
""
WronskianoSupongamos que cada una de las funciones f1 (x), f2 (x), , fn (x) posee al menos n 1 derivadas. El determinante
se llama el Wronskiano de las funciones.
14
Sean y1 (x), y2 (x), , yn (x) soluciones de unaED homognea de n-simo orden en un intervalo I. Este conjunto de soluciones es linealmente independiente si y slo si W(y1 , y2 , , yn )
0 para
todo x en el intervalo.
TEOREMA Criterio para solucioneslinealmente independientes
Cualquier conjunto y1 (x), y2 (x), , yn (x) de n soluciones linealmente independientes de una ED homognea de n-simo orden se llama conjunto fundamental de soluciones.
DEFINICINConjunto fundamental de soluciones
15
CH3_15x
Existe un conjunto fundamental de soluciones para una ED lineal homognea de orden n en un intervalo I.
TEOREMAExistencia de un conjunto fundamental
Sea y1 (x), y2 (x), , yn (x) un conjunto fundamental de soluciones de nuestra ED lineal homognea en un intervalo I. Entonces la solucin general es
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + + cn yn (x) donde ci son constantes arbitrarias.
TEOREMA
Solucin general (ecuaciones homogneas)
16
Las funciones y1 = e3x, y2 = e-3x son soluciones de
y 9y = 0 en (-, ) Observa que
para todo x. Luego son independientes. As que y = c1 y1 + c2 y2 es la solucin general.
0633
),( 3333
33 ==
xx
xxxx
eeeeeeW
Por ejemplo, la funcin y = 4 sinh(3x) - 5e3x
es una solucin. Observemos que
= 4 sinh 3x 5e-3xx
xxxxx eeeeeey 3
33333 5
24522
===
17
Las funciones y1 = ex, y2 = e2x , y3 = e3x son soluciones de y 6y + 11y 6y = 0 en (-, ). Como
para todo valor real de x.
y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x es la solucin general en (-, ).
029432),,( 6
32
32
32
32 == xxxx
xxx
xxx
xxx eeeeeeeeee
eeeW
18
y = c1 y1 + c2 y2 + + ck yk + yp = yc + yp= funcin complementaria + una solucin particular
Solucin General (Ecuaciones no homogneas)
Sea yp cualquier solucin particular de una EDO no homognea en un intervalo I. Y sea y1 (x), y2 (x), , yk (x) un conjunto fundamental de soluciones de su EDO homognea asociada, entonces la solucin general de la ecuacin en el intervalo es
y= c1 y1 + c2 y2 + + ck yk + ypdonde las ci , i= 1,2,.,n son constantes arbitrarias
TEOREMA
19
La funcin yp = -(11/12) x es una solucin particular de
La solucin general es
xyyyy 36116 =+
xecececyyy xxxpc 21
12113
32
21 ++=+=
20
Dadas k EDOs
con i = 1, 2, , k. Si ypi denota una solucin particular de la ED i-sima correspondiente a gi (x), tenemos que
es una solucin particular de
TEOREMA
)()()()()( 01)1(
1)( xgyxayxayxayxa i
nn
nn =++++ "
)()()(21
xyxyxyykpppp +++= "
)()()()()()()(
21
01)1(
1)(
xgxgxgyxayxayxayxa
k
nn
nn
+++=++++
""
Principio de superposicin(ecuaciones no homogneas)
21
Observemos que yp1 = -4x2 es una solucin particular de
yp2 = e2x es una solucin particular de
yp3 = xex es una solucin particular de
Entonces es una solucin de
824164'3" 2 +=+ xxyyy
xeyyy 224'3" =+
xx exeyyy =+ 24'3"
321 ppp yyyy ++=
N )()(
2
)(
2
321
228241643xg
xx
xg
x
xg
exeexxyyy +++=+
22
Reduccin de orden
Sabemos que la solucin general de
es y = c1 y1 + c2 y1 . Supongamos que y1 (x) denota una solucin conocida (no trivial). Puesto que la solucin y2 es linealmente independiente, supongamos que y2 (x) = u(x) y1 (x). Nuestro objetivo ser encontrar una tal u(x). El mtodo se conoce como reduccin de orden.
0)()()( 012 =++ yxayxayxa
23
Dada y1 = ex solucin de y y = 0, hallar la segunda solucin y2 por el mtodo de reduccin de orden.Solucin Si y(x) = u(x)ex, entonces
que sustituyendo en la EDO:Como ex
0, nuestra EDO se convierte en:
Ahora "reduciremos" el orden de la ED gracias al cambio:w = uque integrando por separacinde variables y deshaciendo el cambio, nos proporciona:
ueueueyueuey xxxxx ++=+= 2,0)'2"(" =+= uueyy x
uecw x == 212
212/1 cecu
x +=
0'2" =+ uu
02' =+ ww
24
Hemos hallado la segunda solucin y2 por el mtodo de reduccin de orden:
Recordemos que tenamos y1 = ex como primera solucin de y y = 0. Si tomamos c2 = 0, c1 = -2 para nuestra segunda solucin, tenemos y2 = e-x. Observa que W(ex, e-x)
0 para todo x, de
modo que las soluciones son independientes.
xxx ececexuy 212)( +==
25
Caso general Escribimos la EDO en la forma estndar
Sea y1 (x) una solucin conocida de la EDO e y1 (x) 0 para todo x en el intervalo. Si definimos y(x) = u(x)y1 (x), tenemos
0)()( =++ yxQyxPy
uyuyyuyuyyuy ++=+= 11111 2,
0)2(][ 111cero
111 =+++++=++
uPyyuyQyyPyuQyyPy
26
empleando el cambio w = u.
0)2( 111 =++ uPyyuy
0)2( 111 =++ wPyywy
Pdxdxyy
wdw =+
1
12
+= cPdxwy ||ln 21 = Pdxecwy 121Luego
Tomando c1 = 1, c2 = 0, obtenemos
221
1 cdxyecu
Pdx
+=
= dxxyexyydxxP
)()( 2
1
)(
12
0)2( 111 =++ wPyydxdwy
Dividiendo entre y1 wy multiplicando por dx:
cPdxdxyy
wdw +=+
1
12
27
La funcin y1 = x2 es una solucin de
Hallar la solucin general en (0, ).Solucin: La forma estndar es
Dando los pasos anteriores, demuestra que:
La solucin general es:
04'3"2 =+ yxyyx
043 2 =+ xyxy
xxdxx
exyxdx
ln24/3
22 ==
xxcxcy ln222
1 +=
28
La ecuacin diferencial ay + by = 0 se resuelve ya sea mediante separacin de variables o mediante la ayuda de un factor integrante.
Observa que si despejamos y de la ecuacin diferencial ay + by = 0 se obtiene y = ky, donde k es una constante.
Esto nos revela la "naturaleza" de la solucin: la nica funcin elemental no trivial cuya derivada es una mltiplo de si misma es la funcin exponencial, y(x) = emx. Lo que resta ser determinar el valor de m...
29
Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes
donde ai son constantes, an 0.
Ecuacin o polinomio auxiliar : Para n = 2,
Si probamos y(x) = emx,
obtenemos la ecuacin auxiliar.
0012)1(
1)( =+++++ yayayayaya nnnn "
0=++ cyybya
0)( 2 =++ cbmamemx 02 =++ cbmam
30
Las dos races del polinomio auxiliar son:
(1) b2 4ac > 0: reales y distintas, m1 m2 . (2) b2 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a). (3) b2 4ac < 0: complejas conjugadas,
aacbbm 2/)4( 21 +=aacbbm 2/)4( 22 =
02 =++ cbmam
imim =+= 21 ,
31
Caso 1: Races reales y distintas La solucin general es
Caso 2: Races reales repetidas
La solucin general es
xmey 11 =
=== xmxmxm xmxm xedxedxeeey 1111
12
2
2
xmxm xececy 11 21 +=
xmececy xm 21 21 += Por qu?
Para obtener la segunda solucin utilizamos el mtodo de reduccin de orden, recordando quem1 = m2 = -b/(2a).
32
Caso 3: Races complejas conjugadas Escribimos , una solucin general es Usando la frmula de Euler:
imim =+= 21 ,xixi eCeCy )(2
)(1
+ +=
sincos iei +=xixe xi sincos += xixe xi sincos =xee xixi cos2=+ xiee xixi sin2=
33
Como es solucin general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos dos soluciones:
As, ex cos x y ex sen x son un conjunto fundamental de soluciones y la solucin general es
xixi eCeCy )(2)(
1 + +=
xeeeey xxixix cos2)(1 =+= xieeeey xxixix sin2)(2 ==
( ))sin()cos()sin()cos(
21
21
xcxceyxecxecy
x
xx
+=+=
34
Resolver las EDs siguientes:(a)
(b)
(c)
03'5"2 = yyy3,1/2,)3)(12(352 21
2 ==+= mmmmmmxx ececy 32
2/1 +=
025'10" =+ yyy5,)5(2510 21
22 ===+ mmmmmxx xececy 52
51 +=
07'4" =++ yyyimimmm 32,32,074 21
2 =+==++)33cos(,3,2 21
2 xsencxcey x +===
35
ResolverSolucin:
2)0(',1)0(,017'4"4 ===++ yyyyy
,01744 2 =++ mm im 21/21 =)2sin2cos( 21
2/ xcxcey x += ,1)0( =y ,11 =c ,2)0(' e =y 3/42 =c
36
Para la primera ecuacin :
Para la segunda ecuacin :
Como
Luego
,02 =+ yky 0 ,02 >= kyky
kxckxcy sincos 21 +=kxkx ececy += 21
)sinh()cosh( 21 kxckxcy +=
)cosh()(1/21 kxeeykxkx =+=
)sinh()(1/22 kxeeykxkx ==
Resolver las ecuaciones:
37
Ecuaciones de orden superior
Dada la EDO:
La ecuacin asociada
se llama su ecuacin auxiliar .
0012)1(
1)( =+++++ yayayayaya nnnn "
0012
21
1 =+++++ amamamama nnnn "
38
ResolverSolucin:
043 =+ yyy
2223 )2)(1()44)(1(43 +=++=+ mmmmmmm232 == mm
xxx xecececy 232
21 ++=
ResolverSolucin:
02 22
4
4
=++ ydxyd
dxyd
0)1(12 2224 =+=++ mmmimmimm ==== 4231 ,
ixixixix xeCxeCeCeCy +++= 4321xxcxxcxcxc sincossincos 4321 +++=
39
Si m1 = + i es una raz compleja de multiplicidad k, entonces m2 = i es tambin una raz compleja de multiplicidad k. Las 2k soluciones linealmente independientes son :
Races complejas repetidas
xexxexxxexe xkxxx cos,,cos,cos,cos 12 "xsenexxsenexxsenxexsene xkxxx 12 ,,,, "
40
Coeficientes indeterminadosSi queremos resolver
Tenemos que hallar y = yc + yp . Veamos cmo hacerlo, en este caso general, mediante el mtodo conocido como de coeficientes indeterminados.
)(01)1(
1)( xgyayayaya nn
nn =++++ "
41
Simplemente haremos una conjetura sobre la forma de la posible solucin particular a partir de la g(x) que deber ser un polinomio, seno o coseno, exponencial o combinacin lineal de todas ellas...
Gracias a que las derivadas de las combinaciones lineales de estas funciones vuelven a ser ellas mismas, parece razonable que busquemos soluciones particulares de la misma forma...
Vamos a ilustrar la idea con algunos ejemplos
Coeficientes indeterminados
42
Resolver Solucin: Ya sabemos cmo obtener una solucin yc de la ecuacin homognea asociada. Ahora, queremos hallar yp. Como el lado derecho de la ED es un polinomio, supondremos entonces, tras sustituir:
2A + 8Ax + 4B 2Ax2 2Bx 2C = 2x2 3x + 6
6322'4" 2 +=+ xxyyy
,2 CBxAxyp ++=,2' BAxyp += Ayp 2"=
6242,328,22 =+== CBABAA9,5/2,1 === CBA 9
252 = xxyp
43
Hallar una solucin particular de
Solucin: Probemos yp = A cos(3x) + B sen(3x) Tras sustituir,
Luego
)3(2'" xsenyyy =+
)3sin(2)3sin()83()3cos()38( xxBAxBA =+
16/73,6/73 == BA)3(
7316)3cos(
736 xsenxyp =
44
Resolver Solucin:
Probemos Tras sustituir,
Luego
xxexyyy 26543'2" +=xx
c ececy3
21 +=
xxp EeCxeBAxy
22 +++=
x
xx
xex
eECCxeBAAx2
22
654
)32(3323
+=+
4/3,2,23/9,4/3 ==== ECBAxx
p exexy22
342
923
34 +=
xxx exxececy 2321 342
923
34
+++=
Solucin homognea
Pensando en el principio de superposicin:
45
Determinar una yp de
Solucin: Probemos: yp = Aex
Tras sustituir: 0 = 8ex (conjetura incorrecta)
Probemos como alternativa: yp = Axex.
Tras sustituir: -3Aex = 8ex
Entonces: A = -8/3,
yp = (8/3)xe2x
xeyyy 84'5" =+
El problema est en que la funcin complementaria es:Y la suposicin ya est presente en yc .
xxc ececy
421 +=
46
Si ninguna funcin en la supuesta yp es parte de yc En la siguiente tabla se muestran soluciones particulares de prueba.
)(xg Forma de py 1. 1(una constante) A
2. 75 +x BAx + 3. 23 2 x CBxAx ++2 4. 13 + xx ECxBxAx +++ 23 5. xsen 4 xsenBxA 44cos + 6. x4cos xsenBxA 44cos + 7. xe5 xAe5 8. xex 5)29( xeBAx 5)( + 9. xex 52 xeCBxAx 52 )( ++ 10. xsene
x 43 xsenBexAexx 44cos 33 +
11. xsenx 45 2 xsenGFxExxCBxAx 4)(4cos)(22 +++++
12. xxe x 4cos3 xseneECxxeBAx xx 4)(4cos)( 33 +++
47
Hallar la forma de yp de (a) Solucin: Tenemos que y probamos con
No hay duplicacin entre los trminos yp e yc
(b) y + 4y = x cos xSolucin: Probamos con Tampoco hay duplicidad entre los trminos yp y yc .
xx eexyyy =+ 7525'8" 3
xexxg = )75()( 3x
p eECxBxAxy+++= )( 23
xECxxBAxxp sin)(cos)( +++=
48
Hallar la forma de yp de
Solucin: Para 3x2:
Para -5 sen 2x:
Para 7xe6x:
Ningn trmino de duplica un trmino de yc
xxexsenxyyy 62 7253149 +=+
CBxAxyp ++= 21xFsenxEyp 22cos2 +=
xp eHGxy
6)(3
+=
321 pppp yyyy ++=
49
Si alguna yp contiene trminos que duplican los trminos de yc , entonces esa yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo ms pequeo que elimina esa duplicacin.
As que la regla formal en este caso es que la solucin particular es una combinacin lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante diferenciaciones repetidas de g(x).
Y cul es la regla si la solucin particular as propuesta es tambin una solucin de la ecuacin homognea asociada?
50
Resolver Solucin:
Primero probamos: yp = Ax + B + C cos x + E sen x
Pero hay una duplicacin. Entonces probamos con
yp = Ax + B + Cx cos x + Ex sen x
Tras sustituir y simplificar, A = 4, B = 0, C = -5, E = 0
Luego y = c1 cos x + c2 sen x + 4x 5x cos x
Como y() = 0, y() = 2, tenemos y = 9
cos x + 7 sen x + 4x 5x cos x
2)(',0)(,104" ==+=+ yysenxxyysenxcxcyc 21 cos +=
51
Resolver Solucin:
yc = c1 e3x + c2 xe3x
Tras sustituir y simplificar, A = 2/3, B = 8/9, C = 2/3, E = -6
Luego
xexyyy 32 12269'6" +=+
N21
32
pp y
x
yp EeCBxAxy +++=
xxx exxxxececy 322323
1 632
98
32 ++++=
Este trmino est duplicado, aparece ya en yc.
21
322
pp y
x
yp eExCBxAxy +++=Debemos probar con:
52
Resolver Solucin:
m3 + m2 = 0, m = 0, 0, -1 yc = c1 + c2 x + c3 e-x
Probamos como solucin particular: yp = Aex cos x + Bex sen x
Tras sustituir y simplificar, A = -1/10, B = 1/5
Luego
xeyy x cos"=+
senxexeecxccyyy xxxpc 51cos
101
321 +++=+=
53
Hallar la forma de yp de
Solucin: yc = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 e-x
Prueba:
Como aparece repetido en la solucin homognea, necesitaremos multiplicar A por x3 y (Bx2e-x + Cxe-x + Ee-x) por x. Prueba ahora:
xexyy =+ 2)4( 1
N 21
2
pp y
xxx
yp EeCxeeBxAy
+++=
N 21
233
pp y
xxx
yp ExeeCxeBxAxy
+++=
54
Mtodo del anulador
Sigue los apuntes de Jose Olarrea.
55
Mtodo de variacin de parmetros
)()()()( 012 xgyxayxayxa =++)()()( xfyxQyxPy =++
donde P(x), Q(x) y f(x) son continuas en I.Conocidas y1 (x) e y2 (x) soluciones l. i. de la ec. homognea asociada, probaremoscomo solucin particular:
)()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=
56
Sustituimos yp , yp en la EDO:
)()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=
ppp yxQyxPy )()( ++][][ 22221111 QyyPyuQyyPyu +++++=
2211221122221111 22][ uyuyuyuyPyuuyyuuy ++++++++
221122112211 ][][][ uyuyuyuyPuydxduy
dxd +++++=
)(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydxd =+++++=
0 0
57
Necesitaremos dos ecuaciones para encontrar valores de u1 y u1 . Exijamos que: y1 u1 + y2 u2 = 0, para obtener una ecuacin adicional y de paso que la EDO se reduzca a: y1 u1 + y2 u2 = f(x).De modo que nos queda el sistema de ecuaciones:
y1 u1 + y2 u2 = 0
y1 u1 + y2 u2 = f(x)
)(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydxd =+++++
58
Expresado en trminos de determinantes
y
donde
De donde encontraremos, por integracin, las soluciones.
Wxfy
WWu )(211 == W
xfyWWu )(122 ==
)(0
,)(
0,
1
12
2
21
21
21
xfyy
Wyxfy
Wyyyy
W ===
59
Resolver xexyyy 2)1(4'4" +=+
022
),( 422222
22 =+=x
xxx
xxxx e
exeexeexeeW
xxx
xx
xx
x
exexe
eWxexxeexxeW 422
2
24
22
2
1 )1()1(20,)1(
2)1(0 +=+=+=+=
1)1(,)1( 44
22
4
4
1 +=+==+= xeexuxx
exexu x
x
x
xW
xfyWWu )(211 == W
xfyWWu )(122 ==
Solucin: m2 4m + 4 = 0, m = 2 (cero doble) y1 = e2x, y2 = xe2x,
Como f(x) = (x + 1)e2x, entonces:
60
Luegou1 = (-1/3)x3 x2, u2 = x2 + x
xxxxp exexxexxexxx
222322223
21
61
21
21
31 +=
++
=
xxxxpc exexxececyyy
222322
21 2
161 +++=+=
1, 22
1 +== xuxxu
Recordemos que: )()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=y1 = e2x, y2 = xe2x
61
ResolverSolucin:
y + 9y = (1/4) csc 3x m2 + 9 = 0, m = 3i, -3i y1 = cos 3x, y2 = sin 3x, f(x) = (1/4) csc(3x)
Como
xyy 3csc36"4 =+
33cos33sin3
3sin3cos)3sin,3(cos == xx
xxxxW
xx
xxx
Wxxx
W3sin3cos
41
3csc4/13sin303cos
,41
3cos33csc4/13sin0
21 ====
62
1211
1 == WWu
xsenx
WWu
33cos
1212
2 ==
,12/11 xu = |3|ln36/12 xsenu =
|3|ln)3(3613cos
121 xsenxsenxxyp +=
|3|ln)3(3613cos
12133cos 21 xsenxsenxxxsencxcyyy pc ++=+=
Entonces
63
ResolverSolucin:
m2 1 = 0, m = 1, -1 y1 = ex, y2 = e-x, f(x) = 1/x, y W(ex, e-x) = -2
Luego
xyy 1" =
==x
x
txdt
teuxeu
011 21,
2)/1(
==x
x
txdt
teuxeu
022 21,
2)/1(
= xx xxt
xt
xp dtt
eedtteey
0 021
21
+=+= xx xxt
xt
xxpc dtt
eedtteeecyyy
0 021
21
1
64
Para las EDs de n-simo orden de la forma
tomamos yp = u1 y1 + u2 y2 + + un yn , donde yi , i = 1, 2, , n, son la familia de soluciones independientes que forman yc . As:
Que nos lleva a las ecuaciones solucin uk = Wk /W con k = 1, 2, , n. Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se obtiene de sustituir en W la k-sima columna por (0, 0,..., f(x)).
Ecuaciones de orden superior
)()()()( 01)1(
1)( xfyxPyxPyxPy nn
n =++++ "
02211 =+++ nnuyuyuy "
##"
02211 =+++ nnuyuyuy
)()1(2)1(
21)1(
1 xfuyuyuy nn
nnn =+++ "
Suposicionespara simplificarla EDO:
65
Ecuacin de Cauchy-EulerForma de ecuacin de Cauchy-Euler
Mtodo de solucin
Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, pararesolver la ecuacin homognea asociada: Observa que:
)(0111
11 xgyadx
dyxadx
ydxadxydxa n
nn
nn
nn
n =++++
"
k
kk
k dxydxa kmkk xkmmmmxa
+= )1()2)(1( "m
k xkmmmma )1()2)(1( += "( ) 0...)1()2)(1( 01 =++++ mn xamanmmmma "
66
Ecuacin auxiliar
Para n = 2, y = xm, tenemos (am(m 1) + bm + c)xm = 0, o am2 + (b a)m + c = 0
Caso 1: Races reales y distintas
2121
mm xcxcy +=ResolverSolucin: Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4
m2 3m 4 = 0, m = -1, 4, y = c1 x-1 + c2 x4
04222
2 = ydxdyx
dxydx
)(22
2 xgcydxdybx
dxydax =++
Observa que tenemos que ax2es igual a cero en x = 0. Para asegurar existencia y unicidad, tomaremosI = (0, ).
67
Dedujimos Luego
Caso 2: Races reales repetidas
xxcxcy mm ln11 21 +=xxy m ln12 =
ResolverSolucin: Tenemos a = 4, b = 8, c = 1
4m2 + 4m + 1 = 0, m = - , -
084 22
2 =++ ydxdyx
dxydx
xxcxcy ln2/122/1
1 +=
68
Orden superior: multiplicidad k
Caso 3: races complejas conjugadas m1 = + i, m2 = i, y = C1 x( + i) + C2 x( - i)
Como xi = (eln x)i = ei ln x = cos( ln x) + i sen( ln x) x-i = cos ( ln x) i sen ( ln x)
Luego y = c1 x cos( ln x) + c2 x sen( ln x) = x [c1 cos( ln x) + c2 sen( ln x)]
Caso 3: Races complejas conjugadas
12 )(ln,,)(ln,ln, 1111 kmmmm xxxxxxx "
69
ResolverSolucin: Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17
4m2
4m + 17 = 0, m = + 2i
Aplicando y(1) = -1, y(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0,
21)1(',1)1(,0174 2 ===+ yyyyx
)]ln2sin()ln2cos([ 212/1 xcxcxy +=
)ln2cos(1/2 xxy =
70
ResolverSolucin: Sea y = xm,
Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0 m = -2, m = 2i, m = -2i
y = c1 x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)
0875 22
23
33 =+++ y
dxdyx
dxydx
dxydx
33
3
22
21
)2)(1(
,)1(,
=
==m
mm
xmmmdxyd
xmmdxydmx
dxdy
71
ResolverSolucin: Tenemos (m 1)(m 3) = 0, m = 1, 3
yc = c1 x + c2 x3Usando variacin de parmetros,
yp = u1 y1 + u2 y2 , donde y1 = x, y2 = x3
Escribimos la ED como
Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex
xexyxyyx 42 23'3" =+
xexyx
yx
y 22 233 =+
72
As
Hallamos
xx
xx exex
xWex
xexxW
xxxxW
322
522
3
1
32
3
221
0,2
320
,231
====
==
,2
2 23
5
1x
xex
xexu == x
xe
xexu == 3
5
2 22
,2221xxx exeexu += xeu =2
xx
xxxxp
xeex
xexexeexyuyuy
22
)22(2
322211
=++=+=
xxpc xeexxcxcyyy 22
2321 ++=+=
73
Una ecuacin de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve as:
xyyxyx ln2 =+
xtex t
ln==
=
+
=
+=
+=
=
==
dtdy
dtyd
xdtdy
xdtd
xdtdy
x
dxdy
dtd
xdtdy
xdtdy
dxd
xdtdy
xdtdy
xdxd
dxyd
dtdy
xdxdt
dtdy
dxdy
2
2
22
222
2
1111
11111
1
74
xyyxyx ln2 =+ty
dtdy
dtyd =+ 22
2
ttececy tt +++= 221
xxxcxcy ln2ln21 +++=
75
Unos ejemplos de ecuaciones no lineales
ResolverSolucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en y. Sea u(x) = y, entonces du/dx = y,
(Se escribe en esta forma solo por conveniencia para luego integrar)
Como u-1 = 1/y,
Entonces,
2)'(2" yxy =
22xudxdu = dxx
udu 22 = 2121 cxu +=
21
21cxdx
dy+=
21
1
121
2 tan1 c
cx
ccxdxy +=+=
76
ResolverSolucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en x. Sea u(x) = y, entoncesy = du/dx = (du/dy)(dy/dx) = u du/dy
o
ln|u| = ln|y| + c1 , u = c2 y (donde ) Como u = dy/dx = c2 y, dy/y = c2 dx
ln|y| = c2 x + c3 ,
2)'(" yyy =
2udyduuy =
ydy
udu =
xcecy 24=
12
cec =
77
Supongamos que existe solucin para:
Si adems suponemos que y(x) admite desarrollo en serie de Taylor centrado en 0:
Como y(0) = -1, y(0) = 1, de la ED original: y(0) = 0 + y(0) y(0)2 = 2. Derivando sucesivamente la ED original:
1)0(,1)0(,2 ==+= yyyyxy
"+++++= 4)4(
32
!4)0(
!3)0(
!2)0(
!1)0()0()( xyxyxyxyyxy
yyyyyxdxdxy +=+= 21)()( 2
78
... podemos utilizar el mismo mtodo para obtener y(3)(0) = 4, y(4)(0) = 8, etc.
Y encontrar una aproximacin en Taylor de la solucin:
2)4( )(22)21()( yyyyyyydxdxy =+=
"+++= 43231
321)( xxxxxy
79
Una ltima observacin: La ED de esteejemplo:
es equivalente (mediante cambio de variable) al sistema de ecuacionesdiferenciales:
==+=
=
1)0( ,1)0(
2
uy
yyxdxdu
udxdy
1)0(,1)0(,2 ==+= yyyyxy
3. Ecuaciones diferenciales de orden superiorEcuaciones lineales: teora bsicaExistencia de una solucin nica(Condicin suficiente)Slide Number 4Problemas de valores en la fronteraSlide Number 6Slide Number 7Operadores diferencialesPrincipio de superposicin (ecuaciones homogneas)Dependencia e independencia linealSlide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Reduccin de ordenSlide Number 23Slide Number 24Caso generalSlide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantesSlide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Ecuaciones de orden superiorSlide Number 38Races complejas repetidasCoeficientes indeterminadosSlide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Mtodo de variacin de parmetrosSlide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Ecuaciones de orden superiorEcuacin de Cauchy-EulerEcuacin auxiliarCaso 2: Races reales repetidasCaso 3: Races complejas conjugadasSlide Number 69Slide Number 70Slide Number 71Slide Number 72Slide Number 73Slide Number 74Unos ejemplos de ecuaciones no linealesSlide Number 76Slide Number 77Slide Number 78Slide Number 79