Post on 19-Jan-2015
description
1
5. Integración
2
3
0 2
Falacias, falacias, ...
2
)2/1(22
2
)4/1(24
2
)2/1(22
2
121
11
3
2
1
nn
nL
L
L
L
0 1
!!21!!lim2
nn
L
4
Integrales de línea, de camino o de contorno reales
. cuando0 donde
),(lim),(1
ns
syxFdsyxF
k
kk
n
kk
n
B
A ||
kk ss
1x
1s
2s
ns
A
B
),( 11 yx),( 22 yx
),( nn yx
x
y
5
y
x
21 xy
0 )0,1(B
)1,0(AxyyxF ),(
...4
5
)1(4
451
...41)1(
),(
0
1
0
1
1
0
22
)0,1(
)1,0(
dyyy
dyy
yyy
dxxxx
xydsdsyxFB
A
dyy
ydy
dy
dxds
dxxdxdx
dyds
)1(4
451
411
2
22
El signo debe tomarse de modo que ds0 para los valores x e y en juego.En este caso +.
Otra manera:
21 xy Camino
6
kk
n
kk
n
B
AsyxFdsyxF
),(lim),(1
dx
dy
kx
ky
)(F
1)(F
x,y
x,y
Interpretación física de las integrales de línea:
Podemos definir las integrales con dx y dy:
B
Ads
B
Ads
Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos).
7
y
x
21 xy
0 )0,1(B
)1,0(AxyyxF ),(
41
42)1(
),(
1
0
421
0
2
)0,1(
)1,0(
xx
dxxx
xydxdxyxFB
A
154
1),(0
1
)0,1(
)1,0( dyyyxydydyyxF
B
A
yx 1Ejercicio: recalcular las tres integrales recorriendo el camino en sentido inverso.
¿Negativo?
Ejemplo:
Camino:
21 xy Camino
8
y
x
21 xy
0 )0,1(B
)1,0(A xyyxF ),(
dxdx
dyyxFdyyxF
B
A
B
A ),(),(
154
)2)(1(1
0
2
)0,1(
)1,0(
)0,1(
)1,0(
dxxxx
dxdxdy
xyxydy
Calculemos de nuevo de otra forma:
Repetir para dx y dx/dy.
9
La integral depende del sentido en los que recorramos el camino Cen los casos de dx y dy:
dyyxFdyyxF
dxyxFdxyxF
A
B
B
A
A
B
B
A
),(),(
),(),(
Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues tomamos el módulo del vector: ||||
kkk sss
dsyxFdsyxFA
B
B
A ),(),(
10
Integrales de línea, de camino o de contorno en el plano complejo
.cuando0 donde
)(lim:)(1
nz
zzfdzzf k
n
kk
n
B
A
),(),()( yxivyxuzf
yixz kkk
Observa que la integral NO es el área bajo la curva.El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”.Los Δz actúan como vectores, no como longitudes. Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?
1zA
B
1z
2z
nz
x
y
2z
nz
1x
ny
11
Conexión entre integrales de línea reales y complejas
CC
C C
CC
dxyxvdyyxui
dyyxvdxyxu
idydxyxivyxudzzf
),(),(
),(),(
])][,(),([)(
Con C indicamos el camino de la integral de línea.
12
)(
)(
)(
)(
)](')(')[(
)()(
Bt
At
Bt
AtC
dttiytxtf
dtdtdz
tzfdzzf
Integración de funciones complejas parametrizadas
Arco suave C de A a B: )()()( tiytxtz
Parametrización continua con t(A) t t(B) y con derivadas x’(t) e y’(t) continuas.
dttdy
idt
tdxdt
tdz )()()(
13
.41,,3por dadoestá donde
:Evalúa
2
ttytxC
dzzC
idttidttt
dtitittdzz
ittitttzf
ittzitttz
C
651953)92(
)23)(3( que, modo De
33))((
23)(' ,3)(
4
1
24
1
3
4
1
2
22
2
Ejemplo:
14
Evalúa donde C es el contorno de la figura
C
dziyx )( 22
C1 está definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it,
con 0 t 1, z’(t) = 1 + i, f(z(t)) = t2 + it2 :
21
)()()( 222222
CCCdziyxdziyxdziyx
idttidtiittdziyxC 3
2)1()1)(()(
1
0
221
0
2222
1
La curva C2 está definida por x = 1, y = t con 1 y 2. Entonces:
z(t) = 1 + it, z’(t) = i, f(z(t)) = 1 + it2:
iiidziyx
idtidttidtitdziyx
C
C
3
5
3
7)
3
7(
3
2)(
3
7)1()(
22
2
1
2
1
22
1
222
2
15
Calcular la integral
Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente.
C
dzzzz 2
))arg(0( ,1 zz
3
8
3
1
1
1
0
3
0 0
322
ii
iiii
C
i
ee
deeideiedzzzz
ezz
ExamenSEPTIEMBRE 02/03: P-1
16
17
Camino o contorno simple cerrado
Es un contorno que genera dos dominios: uno acotado (interior) y otro no acotado (exterior). Ambos dominios tienen al contorno como frontera.
Camino o contorno no simple cerrado
18
Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido positivo alrededor del contorno C cuando el interior queda a la izquierda del sentido de circulación.
C Cdzzfdzzf )()(
Para no recargar con símbolos
Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido negativo si ocurre lo contrario.
C Cdzzfdzzf )()(
CCdzzfdzzf )()(Se cumple que:
19
Propiedades de las integrales de contorno
constante ,)()( kzdzfkzdzfkC C
CC C
zdzgzdzfzdzgzf )()()]()([
,)()()(21 CC C
zdzfzdzfzdzf
,)()(
C Cdzzfdzzf
20
Integrar la función a lo largo de la circunferencia: |z| = r.
zzf /1)(
Ejemplo
Introducimos un parámetro tvariando entre 20 t
y
xr
C
idti
dterire
dtdt
dztzfdzzf
titi
C
2
1
)()(
2
0
2
0
2
0
tiretzC )(:
Nota: podríamos haber usado
titrtzC sincos)(: Ejercicio: repetir con esta forma.
iz
dzC
2
21
22
Integrar la función a lo largo del cuadrado
zzf /1)(
Ejemplo
Introducir un parámetro t variando entre 11 t
y
x
i1
i1
i 1
i 1
1C
3C
2C
4C
1
12424
1
12323
1
12222
1
12121
1,
11
)(,1,)(:
1,
11
11
)(,,1)(:
1,
11
)(,1,)(:
1,
11
11
)(,,1)(:
dttit
Itit
ittzf
dtdz
ittzC
dttit
It
itit
tzfidtdz
titzC
dttit
It
itit
tzfdtdz
ittzC
dttit
Itit
ittzfi
dtdz
titzC
1
1
)()( dtdt
dztzfdzzf
C
23
y
x
i1
i1
i 1
i 1
1C
3C
2C
4C
i
i
ti
dtt
idtt
t
dtt
itdzzf
C
2
4/4/4
arctan4
1
1
14
14)(
11
1
12
1
12
1
12
iz
dz
C
2
0 (integrando impar en intervalo de integración par)
24
zzf /1)( Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integración.
11 t
1
12424
1
12323
1
12222
1
12121
)2(1
)2(,
)2(1
2
2
1)(,1,2)(:
9
3,
9
3
3
1)(,,3)(:
)2(1
)2(,
)2(1
2
2
1)(,1,2)(:
1,
1
1
1
1)(,,1)(:
dtt
itI
t
it
ittzf
dt
dzittzC
dtt
itI
t
it
ittzfi
dt
dzittzC
dtt
itI
t
it
ittzf
dt
dzittzC
dtt
itI
t
it
ittzfi
dt
dzittzC
1
1
)()( dtdt
dztzfdzzf
C
x
i 1
i 1
i 3
i 3
1C
3C
2C
4C
yIntegrar la función a lo largo del cuadradoIntroducir un parámetro t variando entre
25
Usando las relaciones
2222
22
)(ln)(
)(
arctan1
)(
tbatba
dttb
a
bt
atba
dt
obtenemos
0C z
dz x
i 1
i 1
i 3
i 3
1C
3C
2C
4C
y
Donde C ahora es el “cuadrado unitario” anterior desplazado a la izquierda 2 unidades.
26
27
0C z
dzC
iz
dz
C
2C
0C z
dzC
0C z
dz
C
0C z
dzC
0C z
dz
C
Observa que:
28
0C z
dzC0
C z
dz
C
iz
dz
C
2
0C z
dzC
0C z
dz
0C z
dz
CC
C
29
C
dzzf 0)(C
Teorema integral de Cauchy
Si f (z) es analítica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:
0C z
dz
C
f (z) es analítica en todo puntoexcepto en z = 0
0C
zdze
f (z) es analítica en todo punto
C
Ejemplos:
30
Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el
Teorema de Green (1828)
George Green (1793-1841).Resultado de sus trabajos en electromagnetismo.
y
Q
x
Q
y
P
x
PyxQyxP
y,,),,(),,(Seancontinuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:
dxdyyP
xQ
dyyxQdxyxPC DC
),(),(
31
.),(),(
),(),(
),(),(
31
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
10
01
CC
x
x
x
x
x
x
R
x
x
y
y
dxyxPdxyxP
dxyxPdxyxP
dxyxPyxP
dxdyy
Pdxdy
y
P
0x 1x
1y
0y1C
2C
3C
4C
Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la figura.
0),(;0),(42 CC
dxyxPdxyxP
Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:
32
cCC
CCR
dxyxPdxyxPdxyxP
dxyxPdxyxPdxdyy
P
),(),(),(
),(),(
42
31
Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3 y C1 no tienen variación en y, obtendremos:
cR
dyyxQdxdyy
Q),(
Y eso completa la demostración para un contorno rectangular recorrido en sentido positivo.
33
...)()()(21
CC CQdyPdxQdyPdxQdyPdx
Podemos usar infinitos rectángulos para recubrir “exáctamente” el área de R.
1C
2C
Recorriéndolos como indica la figura superior, se compensan las integrales en los caminos “horizontales”...
34
Demostración del teorema integral de Cauchy:
CCCC
C
dyyxuidxyxvidyyxvdxyxu
dzzf
),(),(),(),(
)(
),(:),(
),(:),(
yxvyxQ
yxuyxP
),(:),(
),(:),(
yxuyxQ
yxvyxP
0
dxdy
yv
xu
idxdyyu
xv
DD
0(Como f(z) es analíticacumple las ECR)
Como suponemos u(x,y), v(x,y) y susderivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:
35
36
37
C
dzzf 0)(
Teorema integral de Cauchy-Goursat
Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:
Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la restricción alguna sobre la derivada de f(z).
Edouard Jean-Baptiste Goursat(1838 – 1936)
38
?cos
1
2
C
dzz
f (z) es no analítica en z = /2, 3/2, ...
03
sin3
1
C
z
dzz
ze
2C
1C 0cos
1
1
C
dzz
f (z) es no analítica en z = 3
?3
sin3
2
C
z
dzz
ze
Ejemplos1C
2C
0)sin(
1 dz
zC
No es analítica en los puntos z = 0, 1, 2,...
0 1 2-1-2
C2i
39
Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la desigualdad ML:
MLdzzfC
)(longitud
de C
cualquier número tal que sobre CMzf )(Demostración:
nz
zzfdzzf k
n
kk
nC
cuando0 donde
)(lim)(1
Cotas para integrales de línea.
40
C. de longitud la es L donde;lim1
Lzdzn
kk
nC
Observemos que si |f(z)|=1, entonces:
Por la desigualdad triangular, tenemos:
C
k
n
kk
nk
n
kk
nC
dzzfzzfzzfdzzf )()(lim)(lim)(11
CC
dzzfdzzf )()(
41
Supongamos que: si z es un punto de C.Entonces:
MLzMzzf
zzfdzzf
n
kk
nk
n
kk
n
k
n
kk
nC
11
1
lim)(lim
)(lim)(
MLdzzfC
)(
Mzf )(
Desigualdad ML
42
Ejemplo: Encuentra una cota superior para el valor absoluto de:
donde C es el círculo |z| = 4.
zdze
C
z
1
Puesto que |z +1| |z| − 1 = 3, entonces:
Además, |ez| = ex, con |z| = 4, y tenemos
que el máximo valor de x es 4. Así:
31
4ezez
38
1
4ezd
ze
C
z
3||
1||||
1
zzz eze
ze
RL
Mzf
2)(
43
Demostrar la siguiente desigualdad:
4 Log
2 zdz
Im (z)
1
Re (z)
Respuesta.
L: longitud del arco:
M: max |Log z|Γ
MLzdz Log
2
L
2
20 , Log
argln Log
M
iz
zizz
4 Log
2 zdz
44
45
A
432
1
BC
DE
F
Demostración del teorema deCauchy-Goursat para camino triangular cualquiera:
Sea el camino triangular ABCA.Trazamos un triángulo auxiliar EFD a partir de los puntos mediosde los lados del triángulo ABC.Entonces:
dzzfdzzfdzzfdzzf
dzzfABCA
4321
)()()()(
)(
E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2
46
dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfABCA
4321
)()()()()(
Aplicando la desigualdad triangular:
dzzfdzzfABCA
1
)(4)(
Sea },,,max{: 43211
Entonces:
Repitiendo el proceso con el triángulo1
dzzfdzzfABCA
2
)(4)( 2
47
Después de n pasos, tendremos:
dzzfdzzfn
n
ABCA
)(4)(
Hemos construido una sucesión de triángulos encajados:n
ABC ,...,,,, 321
gracias al principio de Cantor de compactos encajados:existe un punto z0 que pertenece a todos ellos. Y puesto que z0 está dentro o sobre ABC , y como por el enunciado f(z) es analítica en z0. Entonces:
))(())(()()( 0000 zzzzzzfzfzf recordemos que (z) depende de z y que (z)0 cuando z z0; es decir, que para todo podemos encontrar un tal que (z) siempre quez - z0.
1
0}{n
n z
48
nnn
n
dzzzzdzzzzfdzzf
dzzf
))(()()()(
)(
0
0
00
0
0
1)( zg0)( zzzg
Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadas continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.
nn
dzzzzdzzf ))(()( 0
49
Si P es el perímetro de ABC , entonces el perímetro n será:
nn
PP
2
nz
0z nn
PPzz
2|| 0
L
n
M
n
PPdzzzdzzf
nn 22)()( 0
Usando la desigualdad ML:
n
Pdzzf
n 4)(
2
50
Teníamos:
dzzfdzzfn
n
ABCA
)(4)(
22
44)( P
Pdzzf n
n
ABCA
0)( ABCA
dzzf
Y como se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:
51
Puesto que todo polígono cerrado se puede triangular, aplicando el teorema de Couchy-Goursat a cadatriángulo podemos demostrar el teorema para un polígono cerrado arbitrario.
A
B
C D
E
nzz 0
1z
2z
1nz
Intentaremos aproximar una curva arbitraria a través de un polígono cerrado P de vértices z0, z1, z2, ... zn-1, zn= z0,tal y como hicimos para definir la integral de línea compleja.
52
nS
k
n
kk
nCzzfdzzf
)(lim)(1
Recordemos que: Para n finito, estamos aproximando la curva cerrada con un polígono P cerrado de n lados y de perímetro Sn.
nC nCSSdzzfdzzf )()(
Obviamente:
nC nCSSdzzfdzzf
)()(
Usando la desigualdad triangular:
1 2
Acotaremos y1 2
53
C nSdzzf )(Comencemos con 1
Cnn
dzzfS )(:lim
Entonces, dado cualquier > 0 existe un número N() tal que para n > N():
2)(
C nSdzzf
54
0)}()()({
...)}()()({
)}()()({
)(...)()(
0)(
1
2
1
1
0
1
2
1
1
0
22
11
n
n
n
n
z
z nn
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
P
dzzfzfzf
dzzfzfzf
dzzfzfzf
dzzfdzzfdzzf
dzzf
nSSigamos con acotemos:2
55
n
n
n
n
n
z
z
zn
z
z n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
dzzfdzzfzf
dzzfdzzfzf
dzzfdzzfzf
11
2
1
2
2
1
1
1
0
1
0
)()}()({
...)()}()({
)()}()({0
22
11
0)}()({
...)}()({)}()({
1
2
1
1
021
n
z
z n
z
z
z
z
Sdzzfzf
dzzfzfdzzfzf
n
n
56
n
n
z
z n
z
z
z
zn
dzzfzf
dzzfzfdzzfzfS
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
n
n
z
z n
z
z
z
zn
dzzfzf
dzzfzfdzzfzfS
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
Utilizando la desigualdad triangular:
Multiplicando por –1 y cambiando el signo de los integrandos:
57
k
k
z
z k dzzfzf1
)}()({Para cada una de las k integrales (k=1,2, ..., n) usaremos la desigualdad ML.
Observemos que la “longitud” de cada integral es:
11
kk
z
zzzdz
k
k
Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos tomar el N() de lo suficientemente grande como para quecon n > N() la distancia entre f(zk) y f(z) esté por debajo de /2P, para todo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos acotar todos los integrandos:
Pzfzf k 2)()(
1
58
De modo que:
n
n
z
z n
z
z
z
zn
dzzfzf
dzzfzfdzzfzfS
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
Teníamos:
2
...2 11201
P
nnn zzzzzzP
S
59
22)()( nC nC
SSdzzfdzzf
Recopilando:
Puesto que es arbitrario, entonces:
0)( C dzzf
60
61
Ejercicio
62
63
Principio de deformación de contornos(Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo).
21
)()(CC
dzzfdzzf
Supongamos que f (z) es analítica en un dominio doblemente conexo D así como en las curvas que lo limitan.
Entonces:
D
1C2C
Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto conexo (no incluye los puntos frontera).
Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros) Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros) Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros) ...
Sentido negativo
64
0)(21
BACABC
dzzf1C
2C
A
B
BAC
ABC
dzzfdzzf
dzzfdzzf
)()(
)()(
2
1
BAAB
dzzfdzzf )()(Como:
0)()(21
CC
dzzfdzzf
0)(21
CCC
dzzf
Sentido positivo
Nota: Observa que los sentidos en que se recorren los circuitos en este dibujo y el anterior, no son los mismos...
65
21 C
z
C
z dzedzeEjemplo 1:
1C2C
D
(¡obvio!)
21
11
CC
dzz
dzz
Ejemplo 2: (no tan obvio)
66
0)(,0)(***
cc
dzzfdzzf
Otra demostraciónIntroduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen los dos contornos.
Sean C* y C** los dos nuevos contornos cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4) y (5-6-7-8), respectivamente.
1L
2L
**C
*C1 2
3
45
6
7
8
Inicio
y
x
Ahora f (z) es analítica sobre y dentro de C* y C** . Por el teorema Integral de Cauchy:
67
Integramos alrededor del dominio D, a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así:
21
***
)()(
)()(
)()()(
8,63,1
87654321
CC
CC
dzzfdzzf
dzzfdzzf
dzzfdzzfdzzf
Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulan
Pero como las integrales a lo largo de C* y C** son cero,entonces:
0)()(21
CC
dzzfdzzf
con lo que se demuestra el enunciado.
1L
2L
**C
*C1 2
3
45
6
7
8Inicio
y
x
68
¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?
Si uno de los contornos puedetransformarse en el otro mediante una deformación continua y sin cruzar ninguna singularidad de f(z), entonces:
21
)()(CC
dzzfdzzf
y
x
i1
i1
i 1
i 1
1C
3C
2C
4C
iz
dzC
2
Recordemos:
69
Así que como la integral de f(z) = 1/z a lo largo de un círculo de radio r es 2i:
A partir del teorema integral de Cauchy para dominios doblemente conexosvemos que la integral de f(z) = 1/z a lo largo de cualquier camino que contenga este círculo es también 2i.
1C
2C
r
idzzC
21
1
z
1 es analíticaaquí
Ejemplo
70
C
dzzz
dz
)9( 22
Evaluar la integral
f (z) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuera de la región sombreada como muestra la figura. Así:
donde C es un círculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un círculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo.
0)9( 22
C
dzzz
dz
Ejemplo
C
0
3i
-3i
1 2
71
Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos
C
n
kCk
zdzfdzzf1
)()(
Supongamos que C, C1, …, Cn son curvas cerradas simples con orientación positiva, tales que C1, C2, …, Cn son interiores a C pero las regiones interiores a cada Ck, k = 1, 2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es analítica dentro y sobre el contorno C, sin el interior de todos los Ck, k = 1, 2, …, n, entonces:
72
2C
1C
D
3C
No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir que formen anillos. Por ejemplo:
Imaginemos que f(z) es analíticaen todos los puntos del dominio D de la figura. Tanto C2 como C3 forman anillos con C1. Por deformación de contornos:
31
21
)()(
)()(
CC
CC
dzzfdzzf
dzzfdzzf
32
)()(CC
dzzfdzzf
73
Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo el plano
complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que
3,2,1 ,)( kadzzfkC k
siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo.
Calcular , siendo Γi cada uno de los siguientes
contornos orientados positivamente:
(1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1
i
dzzf )(
Respuesta:
Por el teorema de Cauchy-
Goursat en dominios
múltiplemente conexos:
32
21
321
3
2
1
)(
)(
)(
aadzzf
aadzzf
aaadzzf
74
y
x
C
i1
0
Integremos la función a lo largo de la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i.
zzf )(
(1) Representar C en la forma z(t):
10)( ttittz
12)(
)1)(()()(
10
21
0
1
0
1
0
1
0
ttdtdttittit
dtititdtdt
dztzfdzzf
C
(2) Integramos: idt
dz1
Independencia del camino de integración
75
zzf )(
y
x
i1
0
2C
1C
10)( tttz
211
02
21
1
0
1
0
)1)((
)()(
tdtt
dtdt
dztzfdzzf
C
A lo largo de C2: 101)( ttitz
ititdtitdtiti
dtdt
dztzfdzzf
C
211
02
21
1
0
1
0
1
0
)())(1(
)()(
Ejemplo
Integrar la función a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura:
A lo largo de C1:
1
76
1C
dzz
y
x
i1
0
iidzzC
1
2
1
2
1
¿El valor de la integral entre dos puntos depende siempre del camino?
77
y
x
C
i1
0
Repitamos pero con a lo largo de la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i.
zzf )(
(1) Representar C en la forma z(t):
10)( ttittz
iittdti
dtititdtdtdz
tzfdzzfC
10
21
0
1
0
1
0
2
)1)(()()(
(2) Integramos:
78
zzf )(
y
x
i1
0
2C
1C
10)( tttz
211
02
21
1
0
1
0
)1)((
)()(
tdtt
dtdt
dztzfdzzf
C
A lo largo de C2: 101)( ttitz
ititdtitdtiti
dtdtdz
tzfdzzfC
211
02
21
1
0
1
0
1
0
)())(1(
)()(
EjemploRepitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i:
A lo largo de C1:
1
79
izdzC
y
x
i1
0
iizdzC
2
1
2
1
Ahora el valor de la integral no depende del camino.¿Qué diferencias hay entre f(z) = z y f(z)= ?z
80
Integrar la función a lo largo del camino Cuniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura
2)( zzf
Otro ejemplo
1022)( titttz
)219(3
1
)3/8(1)21(
)84()443()21(
)21()22(
)()(
1
0
22
1
0
2
1
0
i
ii
dtttitti
dtitit
dtdt
dztzfdzzf
C
y
x
i21
0
C
2
81
Integrar la función a lo largo del camino C = C1+ C2 uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura
2)( zzf
Otro ejemplo
202)( tttz
3
8)44(
)1()2()(
2
0
2
2
0
2
dttt
dttdzzfC
y
x
i21
0 21C
2C
A lo largo de C1:
102)( ttittzA lo largo de C2:
idtti
dtititdzzfC
3
2
3
11)211(
)21()2()(
1
0
2
1
0
2
82
3/)219(2 idzzC
y
x
i21
0
3/)219(2 idzzC
El valor de la integrala lo largo de los dos caminos es el mismo.
2
¿Coincidencia?
83
Independencia del camino
1z
2z1C
2C
0)()(21
CC
dzzfdzzf
Supongamos que f (z) es analítica enun dominio simplemente conexo D
D
(por el teorema integral de Cauchy)
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
de largo lo ade largo lo a
de largo lo ade largo lo a
de largo lo ade largo lo a
)()(
)()(
0)()(
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
dzzfdzzf
dzzfdzzf
dzzfdzzf
84
Recuerda el potencial gravitatorio:
La energía potencial gravitatoria = m g hes independiente del camino...
masa m
altura h
85
Ejemplo: f(z)=|z|2
2||)( zzf
x1
i1+i
L0
L1
L2
y
101:
100:
10:
2
1
0
ttyxL
tytxL
ttytxL
3
4
3)1(|1|:
3
1||:
3
)1(2)1(|1|)1(||:
1
0
21
0
222
1
0
21
0
211
1
0
221
0
200
iiiidttidtitIL
dttdttIL
idttiidtiittIL
Observa que L0 L1+L2
86
Ejemplo: f(z)=z2
2)( zzf
x1
i1+i
L0
L1
L2
y
101:
100:
10:
2
1
0
ttyxL
tytxL
ttytxL
3
32)21()1(:
3
1:
3
22)1()1()(:
1
0
21
0
222
1
0
211
1
0
231
0
200
iidttitidtitIL
dttIL
idttidtiittIL
Observa que L0=L1+L2
87
y
x
144 yx
0 1
i
Ejemplo: calcular dz
z
i
11
A lo largo del camino C1:
Como f(z) = 1/z es analítica en todo el plano complejo excepto en z = 0. Podemos utilizar un camino más sencillo C2 (|z| = 1).
2
1
)()()(
2/
0
2/
021
idei
e
dd
dzzfdzzfdzzf
ii
CC
2C1C
88
1z
2z1C
2C
Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo para cada bucle, utilizando como puntos intermedios los puntos de intersección.
89
Si f es analítica en D entonces:
0)()(1
CCzdzfzdzf
1
)()(CC
zdzfzdzf
90
Independencia del camino
Consideremos la integral dzzfz
z1
0
)(
Si F (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, conderivada dF/dz = f(z) y, z0 y z1 están en D, entonces la integral de f(z) entre z0 y z1 es independiente del camino en D.
)()()( 01
1
0
zFzFdzzfz
z
donde )(zfdz
dF
0z
1z
)219(3
1
332
3
21
321
2
2 izz
dzzziz
i
p.ej.
De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real:
91
Ejemplos
(1)
i
ii
zdzzi
i
i
i
097.23
sinh2)sin(2
sincos
todo el plano complejo
C
(2) ?1
0
dzzi
( f (z) es no analítica en todo punto - depende del camino)
(3) iz
dzz
i
i
i
i
211
2
f (z) analítica en
este dominio
(ambas 1/z2 y 1/z son no analíticas en z = 0 - el camino de integración C debe eludir el punto)
92
. sobre constante será )( entonces analítica) es )((y
, dominioun en 0)(' Si
Dzfzf
Dzf
Diyxbayxf
Diyxbyxvayxu
vuvu
vuvu
vuivuzf
yyxx
xyyx
xxxx
)(i ),(
)(),(y ),(
0
y
0y 000)('
:Prueba
constante. una salvo única es )( de daantideriva o primitiva La zf
.)()( .)()( que modo De
).(-)( diferenciasu es lo también ,definiciónpor
analíticasson )(y )( que Puesto 0. G(z)-F(z)
).( de diferentes primitivas dos )(y )(Sean
:Prueba
CtezGzFCtezGzF
zGzF
zGzFdz
d
zfzGzF
93
94
y
x0 1
i1C
1
x01
2C
1
y
idi
deie
dzz
ii
C
0
0 11
1
idi
deie
dzz
ii
C
0
0 11
2
¿Por qué en este caso la integral depende del camino?
95
y
x0 1
i1C
1
ii
ii
zdzz
dzzC
)0(
)1arg(|1|log)1arg(|1|log
log11 1
1
1
11
Intentemos definir F(z) = Ln z como primitiva. En este caso una posible primitiva es:
CortePunto de ramificación
2/3arg2/-con
arg||loglog
z
zizz
96
x0 1
2C
1
y
CortePunto de ramificación
ii
ii
zdzz
dzzC
)2(
)1arg(|1|log)1arg(|1|log
log11 1
1
1
12
2/5arg2/con
arg||loglog
z
zizz
Intentemos definir una primitiva para este caso.Observe que NO puede ser la misma que en el caso anterior:
Y tomemos los cortes como los tomemos, siempre obtendremos este resultado.
97
98
99
Más sobre integración en contornos cerrados...Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:
(a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones
Por ejemplo,
0C z
dzC
f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0
Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?
C?
C z
dz
100
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
Fórmula Integral de CauchySea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0:
D
0z
C
101
Ejemplo
Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de f (z) = 1 y z0 = 0
00 z
C DLa fórmula integral de Cauchy
iidzzC
2121
f (z) es una función constante, es entera, así que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0.
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
se convierte en
102
Ejemplo
C
dzz
z
2
2
Evaluar la integral donde C es
20 z
z = 2 es un punto singular en el interior a C.
se convierte en:
21 z
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
La fórmula integral de Cauchy
8422
2
iidzz
z
C
f (z) es analítica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2.
103
0C
C0z
zier0
Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy:
Por el principio de deformación de contornos:
0 00
)()(
CC
dzzz
zfdz
zz
zf
derzfideirer
erzfdz
zz
zf ii
Ci
i
2
0 000
2
00
00
0
)()()(
0
ii eir
d
dzerzz 000 ; Cambio de
variable:
104
Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño:
)(2)(
)()(lim
0
2
00
2
0 0
2
0 0000
zifdzif
dzfiderzfi i
r
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
¿Qué no es riguroso aquí?
105
0C
C0z
zier0
Demostración de la fórmula integral de Cauchy. Por el principio de deformación de contornos:
0 00
)()(
CC
dzzz
zfdz
zz
zf
2
0
1
0
0
0
0
00
0
00
0
)()(1)(
)()()()(
I
C
I
C
CC
dzzz
zfzfdz
zzzf
dzzz
zfzfzfdz
zz
zf
106
2
00
2
000
1 211
0
idideirer
dzzz
I i
Ci
0
0
02
)()(C
dzzz
zfzfIVamos a encontrar una cota ML para
02 rL M
zz
zfzf
zz
zfzf
0
0
0
0)()()()(
Tenemos:
Y necesitamos M tal que:
Para todo z en C0 : 00 rzz Como f(z) es continua en z0: 00 )()( zzsizfzf
Si tomamos )()( 00 zfzfrpara todo z sobre C0.
107
22
)()(0
00
02
0
rr
MLdzzz
zfzfI
C
Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para02 rL
Mrr
zfzf
zz
zfzf
00
0
0
0 )()()()(
Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r0. Así que: 00 22 II
)(2)()(1
)()(
0
0
0
0
2
00
0
2
0
1
0
zifdzzz
zfzfdz
zzzfdz
zz
zf
I
C
iI
CC
108
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
Ejemplos
Evaluar las siguientes integrales:
C iz
dz(1) donde C es el círculo |z |=2
iz 0
1)( zf
f (z) es analítica en D y C incluye z0
1)( 0 zf
Ci
D
iiz
dz
C
2
109
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
C z
dz
12(2) donde C es el círculo |z+i |=1
Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como:
En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presentapuntos singulares en z = i.
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula
Ci
i
D
dziziz
iziz
dz
z
dz
CCC
1
))((12
110
C z
dz
12
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
iz 0
Ci
i
D
izzf
1)(
2/)( 0 izf
dziziz
iziz
dz
z
dz
CCC
1
))((12
111
Evaluar
donde C es el círculo |z – 2i | = 4.
SoluciónSolo z = 3i está dentro de C, y
iziz
z
z
z33
92
zdz
zC 92
:entonces ,3
)( Seaiz
zzf
iii
iifizdiziz
z
zdz
zCC
63
2)3(233
92
112
Otro ejemplo
)(2)(
00
zfidzzz
zf
C
Fórmula integral de Cauchy:
se convierte en
i
C
z
iedziz
e 2
iz 0
C D
C
z
dziz
eEvaluar donde C es cualquier contorno cerrado
conteniendo z = -i
f (z) es analítica en todo punto
113
C z
dz
14
C
i
i
1 1Tenemos que
CC izizzz
dz
z
dz
))()(1)(1(14
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula
CC
dziz
zf
z
dz )(
14 ))(1)(1(
1)(
izzzzf
donde
4)2)(1)(1(
1)()( 0
i
iiiifzf
Ahora
2)(2
)(
1 00
4
zfidzzz
zf
z
dz
CC
donde C es el círculo |z+i |=1
114
C z
dzz
1
tan2 donde C es el círculo |z |=3/2
tan z es no analítica en /2, 3/2, , pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de integración
C incluye dos puntos singulares, z = 1.Para poder usar la fórmula integral de Cauchy, debemos tener sólo un punto singular z0 dentro de C.
C
112/3 2/
Usaremos fracciones parciales:
)1)(1(
)1()1(
111
12
zz
zBzA
z
B
z
A
z
2/1,2/11
0)(
BABA
zBA
115
CCC
dzz
zdz
z
zdz
z
z
1
tan
2
1
1
tan
2
1
1
tan2
C
11 2/
1tan)(
tan)(
1
0
0
zf
zzf
z
)1tan()(
tan)(
1
0
0
zf
zzf
z
iidzz
z
C
785.9)1tan()1tan(2
12
1
tan2
116
117
118
119
120
121
0
!
2)(1
0 z
n
n
Cn dz
fd
n
idz
zz
zf
Por ejemplo,
Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z0, con la fórmula:
Nota: cuando n=0 tenemos laFórmula Integral de Cauchy: 0
)(2)(
0z
C
zfidzzz
zf
Generalización de la fórmula integral de Cauchy
C zzC dz
zdidz
z
z
dz
zzdidz
z
zz
2
2
2
3
1
2
2
2
00
cos
2
cos,
32
1
3
f analítica en y dentro de C, z0 dentro de C
Esta fórmula también es conocida como la “formula para las derivadas de una función analítica.”
122
0
!
2)(1
0 z
n
n
Cn dz
fd
n
idz
zz
zf
Tomando f(z0) como una función de variable z0. Derivando con respecto a z0 y aplicando la regla de Leibnitz:
Partamos de la fórmula integral de Cauchy:
C
dzzz
zf
izf
00
)(
2
1)(
Demostración de la generalización de la fórmula integral de Cauchy
C
C
C
dzzz
zf
i
dzzzdz
dzf
i
dzzz
zf
idz
dzf
dz
d
20
00
000
0
)(
2
1
1)(
2
1
)(
2
1)(
Usar el mismo procedimiento para demostrar por inducción:
123
La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional:
Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez también analíticas en el dominio.
Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si f(z) no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería analítica en z0: una contradicción.
124
)(2)(
)(02
0
zfidzzz
zf
C
Ejemplo
Evaluar la integral
C
z
dzz
e2
donde C es el círculo |z |=2
C
00 zsea
zezf )(sea
f (z) es analítica en D, y C incluye z0
0
0 )(
)(
ezf
ezf z
D
iz
dze
C
z2
22
125
)(2
2
)(
)(03
0
zfi
dzzz
zf
C
Ejemplo
Evaluar la integral
C
dziz
z3
2
donde C es el círculo |z |=2
C
iz 0sea
2)( zzf sea
f (z) es analítica in D, y C incluye z0
2)(
2)(
0
zf
zf
D
iiz
dzz
C
2)( 3
2
126
Calcular
donde C es la circunferencia con sentido positivo.
C
z
dziz
e32
3z
i
C
zi
iz
Cn
n
C
z
ieIi
Idz
iz
e
ie
ezfezfiz
siendo
dzzz
zf
i
nzf
dziz
eI
23
2
200
10
0)(
3
22
!2
)()(;2
:
, )(
2
!
2
ExamenJUNIO 02/03: P-1
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Resumen:
0)( C
dzzf con f (z) analítica dentro y sobre C.
(1)
)(2)(
0zifdzzz
zf
C o
con f (z) analítica dentro y sobre C(3)
( Teorema integral de Cauchy-Goursat )
(Fórmula integral de Cauchy )
con f (z) analítica dentro y sobre C(4)
( Fórmula para derivadas )
(2)
)()()( 01
1
0
zFzFdzzfz
z
donde )(zfdz
dF
F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y z0 y z1 en D.
0
!
2)(1
0 z
n
n
Cn dz
fd
n
idz
zz
zf
143
Ejercicios: Demostrar
(1) El teorema de Morera:
(2) La desigualdad de Cauchy:
“Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y si 0)( C
dzzf
para cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analítica en D”
nn
r
Mnzf
!)( 0
)( 0zr
CMzf en)(
C
(Probarlo usando la fórmula para las derivadas de una función analíticay la desigualdad ML)
(3) El teorema de Liouville“Si una función entera f (z) está acotada en valor absoluto para todo z, entoncesf (z) debe ser constante” – probarlo usando la desigualdad de Cauchy.
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Desigualdad de Cauchy
• Si tomamos el contorno circular C: |z – z0| = r, utilizando la generalización de la fórmula integral de Cauchy y la desigualdad ML:
donde |f(z)| M para todos los puntos de C. nn
C nn
r
Mnr
rM
n
zdzz
zfnzf
!2
12
!
)(
)(2
!|)(|
1
10
0)(
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Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que |f ’(z0)| M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer que |f ’(z0)| sea tan pequeño como queramos: |f ’(z0)| = 0. De modo que f es una función constante.
Teorema de Liouville
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P.K. 1999 MM3: ODEs
Ejercicio. Sea la función entera tal que:
Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z).
Czezf z ,)(
Respuesta.
Cze
zfCzezf
zz ,1
)(,)(
Por el teorema de Liouville: 1con ,.)(
ctee
zfz
Por tantozezf )(
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