Post on 12-Feb-2016
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IntroduccionNo Negatividad
Nonnegativity Preservation under Singular ValuesPerturbation
Emedin Montano, Mario Salas, Ricardo Soto
Universidad Catolica del NorteFacultad de Ciencias
Departamento de Matematicas
Junio 2015
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Resumen
1 Introduccion2 No Negatividad3 Doble Estocasticidad
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Resumen
1 Introduccion2 No Negatividad3 Doble Estocasticidad
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Resumen
1 Introduccion2 No Negatividad3 Doble Estocasticidad
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Introduccion
Teorema 1
Sea A ∈ Mm,n con valores singulares σ1 ≥ σ ≥ ... ≥ σr ≥ 0, r = mın{m, n}.Sean
U = (u1|u2|...|up) ∈ Mm,p, V = (v1|v2|...|vp) ∈ Mn,p, p ≤ r , (1)
cuyas columnas son los vectores singulares izquierdos y derechos,respectivamente, correspondiendo a σi , i = 1, ..., p. SeaD = diag{d1, d2, ..., dp} con σi + di ≥ 0. Entonces A + UDV ∗ tiene valoressingulares
{σ1 + d1, ..., σp + dp, σp+1, ..., σr}. (2)
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Introduccion
Corolario 1.1
Sea A ∈ Mm,n una matriz con valores singulares σ1 ≥ σ ≥ ... ≥ σr ≥ 0,r = mın{m, n}. Sea ui y vi , respectivamente, los vectores singularesizquierdo y derecho correspondiente a σi , i = 1, ..., r . Sea α ∈ R tal queα + σi ≥ 0, i = 1, ..., r . Entonces A + αuiv∗
i tiene valores singulares
σ1, ..., σi−1, σi + α, σi+1, ..., σr . (3)
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
No Negatividad
Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .
Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.
Considerar A + αusvTs , con s > 1.
Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.
Si A ≥ 0aik + α(usvT
s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik
|(us, vTs )ik |
.
Luego, es suficiente elegir α en(0,mın
i,k
aik
|(us, vTs )ik |
],
siempre que aik > 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
No Negatividad
Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .
Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.
Considerar A + αusvTs , con s > 1.
Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.
Si A ≥ 0aik + α(usvT
s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik
|(us, vTs )ik |
.
Luego, es suficiente elegir α en(0,mın
i,k
aik
|(us, vTs )ik |
],
siempre que aik > 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
No Negatividad
Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .
Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.
Considerar A + αusvTs , con s > 1.
Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.
Si A ≥ 0aik + α(usvT
s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik
|(us, vTs )ik |
.
Luego, es suficiente elegir α en(0,mın
i,k
aik
|(us, vTs )ik |
],
siempre que aik > 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
No Negatividad
Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .
Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.
Considerar A + αusvTs , con s > 1.
Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.
Si A ≥ 0aik + α(usvT
s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik
|(us, vTs )ik |
.
Luego, es suficiente elegir α en(0,mın
i,k
aik
|(us, vTs )ik |
],
siempre que aik > 0.
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IntroduccionNo Negatividad
No Negatividad
Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .
Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.
Considerar A + αusvTs , con s > 1.
Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.
Si A ≥ 0aik + α(usvT
s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik
|(us, vTs )ik |
.
Luego, es suficiente elegir α en(0,mın
i,k
aik
|(us, vTs )ik |
],
siempre que aik > 0.
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IntroduccionNo Negatividad
No Negatividad
Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .
Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.
Considerar A + αusvTs , con s > 1.
Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.
Si A ≥ 0aik + α(usvT
s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik
|(us, vTs )ik |
.
Luego, es suficiente elegir α en(0,mın
i,k
aik
|(us, vTs )ik |
],
siempre que aik > 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Lema 2.1
Sea A ∈ Mm,n, A > 0 con valores singulares σ1 ≥ ... ≥ σr > 0,r = mın{m, n}. Sea α en el intervalo(
0,mıns
mıni,k
aik
|(us, vTs )ik |
].
Entonces A + αusvTs , s = 2, ..., r , es no negativa con valores singulares
σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .
Lema 2.2
Sea A ∈ Mm,n, A > 0 con valores singulares σ1 ≥ ... ≥ σr > 0,r = mın{m, n}. Sea α en el intervalo(
0,σr mıni,k aik
σ1 +∑r−1
j=1 σj
].
Entonces A + αusvTs , s = 2, ..., r , es no negativa con valores singulares
σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Lema 2.1
Sea A ∈ Mm,n, A > 0 con valores singulares σ1 ≥ ... ≥ σr > 0,r = mın{m, n}. Sea α en el intervalo(
0,mıns
mıni,k
aik
|(us, vTs )ik |
].
Entonces A + αusvTs , s = 2, ..., r , es no negativa con valores singulares
σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .
Lema 2.2
Sea A ∈ Mm,n, A > 0 con valores singulares σ1 ≥ ... ≥ σr > 0,r = mın{m, n}. Sea α en el intervalo(
0,σr mıni,k aik
σ1 +∑r−1
j=1 σj
].
Entonces A + αusvTs , s = 2, ..., r , es no negativa con valores singulares
σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Lema 2.3
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces
S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)
Demostracion:
S(Ax) =∑
a1jxj +∑
a2jxj + ...+∑
anjxj
= x1
∑ai1 + x2
∑ai2 + ...+ xn
∑ain
= S(x).
Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Lema 2.3
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces
S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)
Demostracion:
S(Ax) =∑
a1jxj +∑
a2jxj + ...+∑
anjxj
= x1
∑ai1 + x2
∑ai2 + ...+ xn
∑ain
= S(x).
Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Lema 2.3
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces
S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)
Demostracion:
S(Ax) =∑
a1jxj +∑
a2jxj + ...+∑
anjxj
= x1
∑ai1 + x2
∑ai2 + ...+ xn
∑ain
= S(x).
Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Lema 2.3
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces
S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)
Demostracion:
S(Ax) =∑
a1jxj +∑
a2jxj + ...+∑
anjxj
= x1
∑ai1 + x2
∑ai2 + ...+ xn
∑ain
= S(x).
Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Lema 2.3
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces
S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)
Demostracion:
S(Ax) =∑
a1jxj +∑
a2jxj + ...+∑
anjxj
= x1
∑ai1 + x2
∑ai2 + ...+ xn
∑ain
= S(x).
Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Lema 2.3
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces
S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)
Demostracion:
S(Ax) =∑
a1jxj +∑
a2jxj + ...+∑
anjxj
= x1
∑ai1 + x2
∑ai2 + ...+ xn
∑ain
= S(x).
Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Proposicion 2.1
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces
i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT
1 )T ∈ CS1+α1 .
ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT
i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.
iii) (A +∑n
i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1
Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces
u1 = v1 =1√n
e =1√n
(1, 1, ..., 1)T . (5)
Luego,
α1u1vT1 = α1v1uT
1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .
Por otro lado, αiuivTi = αi (vT
i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Proposicion 2.1
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces
i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT
1 )T ∈ CS1+α1 .
ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT
i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.
iii) (A +∑n
i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1
Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces
u1 = v1 =1√n
e =1√n
(1, 1, ..., 1)T . (5)
Luego,
α1u1vT1 = α1v1uT
1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .
Por otro lado, αiuivTi = αi (vT
i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).
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IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Proposicion 2.1
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces
i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT
1 )T ∈ CS1+α1 .
ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT
i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.
iii) (A +∑n
i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1
Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces
u1 = v1 =1√n
e =1√n
(1, 1, ..., 1)T . (5)
Luego,
α1u1vT1 = α1v1uT
1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .
Por otro lado, αiuivTi = αi (vT
i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).
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IntroduccionNo Negatividad
Estocasticidad
Proposicion 2.1
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces
i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT
1 )T ∈ CS1+α1 .
ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT
i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.
iii) (A +∑n
i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1
Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces
u1 = v1 =1√n
e =1√n
(1, 1, ..., 1)T . (5)
Luego,
α1u1vT1 = α1v1uT
1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .
Por otro lado, αiuivTi = αi (vT
i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).
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Estocasticidad
Proposicion 2.1
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces
i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT
1 )T ∈ CS1+α1 .
ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT
i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.
iii) (A +∑n
i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1
Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces
u1 = v1 =1√n
e =1√n
(1, 1, ..., 1)T . (5)
Luego,
α1u1vT1 = α1v1uT
1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .
Por otro lado, αiuivTi = αi (vT
i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).
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Estocasticidad
Proposicion 2.1
Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces
i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT
1 )T ∈ CS1+α1 .
ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT
i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.
iii) (A +∑n
i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1
Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces
u1 = v1 =1√n
e =1√n
(1, 1, ..., 1)T . (5)
Luego,
α1u1vT1 = α1v1uT
1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .
Por otro lado, αiuivTi = αi (vT
i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Ejemplo
Considerar la matriz
A =
4 3 2 11 4 3 22 1 4 33 2 1 4
,
se tiene A,AT ∈ CS10.Valores singulares de A: 10, 2,8284, 2,8284, 2.Sea UΣV ∗, y D = diag{4, 3, 2, 1}. Entonces
B = A + UDV ∗ =
6,2596 4,8500 2,2404 0,65011,0822 6,0081 4,4178 2,49192,2404 0,6501 6,2596 4,85004,4178 2,4919 1,0822 6,0081
∈ CS14,
con valores singulares 14, 5,8284, 4,8284, 1
Fernando Vasquez
IntroduccionNo Negatividad
Ejemplo
Considerar la matriz
A =
4 3 2 11 4 3 22 1 4 33 2 1 4
,
se tiene A,AT ∈ CS10.Valores singulares de A: 10, 2,8284, 2,8284, 2.Sea UΣV ∗, y D = diag{4, 3, 2, 1}. Entonces
B = A + UDV ∗ =
6,2596 4,8500 2,2404 0,65011,0822 6,0081 4,4178 2,49192,2404 0,6501 6,2596 4,85004,4178 2,4919 1,0822 6,0081
∈ CS14,
con valores singulares 14, 5,8284, 4,8284, 1
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IntroduccionNo Negatividad
Ejemplo
Considerar la matriz
A =
4 3 2 11 4 3 22 1 4 33 2 1 4
,
se tiene A,AT ∈ CS10.Valores singulares de A: 10, 2,8284, 2,8284, 2.Sea UΣV ∗, y D = diag{4, 3, 2, 1}. Entonces
B = A + UDV ∗ =
6,2596 4,8500 2,2404 0,65011,0822 6,0081 4,4178 2,49192,2404 0,6501 6,2596 4,85004,4178 2,4919 1,0822 6,0081
∈ CS14,
con valores singulares 14, 5,8284, 4,8284, 1
Fernando Vasquez