Antiderivada

Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplos

Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4. Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x2+30. En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49. En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

In fact:Cada antiderivada de 2x tiene la forma x2 + C, donde C es constante.

P Pues la derivada de x4+C es 4x3,

una antiderivada de es .      

Integral indefinida

Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como

f(x) dxy la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, 

f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

Ejemplos

2x dx = x2 + C    La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C

Elija una Elija una

4x3 dx = x4 + C    La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C

Leyendo la formula

Leemos la primera formula más arriba como sigue:

2x dx =x2 + C

La antiderivada

de 2x, respecto a x, es igual ax2 + C

La constante de integración, C, nos recuerda que podemos añadir cualquiera constante y así obtener una otra antiderivada.

Algunos para usted

P Pues la derivada de 4x3 es 12x2,

= 

P Uno más:

6 dx = 

 

Aquí está un concurso tipo test:

CONCURSO

x3 dx = ?

x4

4dx

3x2 + Cx4

4

x4

4 + C

3x2 3x2dx

x4

3 + C

x4

3

x4

3dx

La respuesta correcta a la última pregunta sugiere una formula para hallar la antiderivada de cualquier potencia de x. la siguiente tabla incluya esta formula y también otra información.

Función Antiderivada Formula

xn

(n ≠ -1)

xn+1

n+1

+ C

xn dx

=xn+1

n+1

+ C   (n ≠ -1)

Ejemplos:

x5.4 dx

=x6.4

6.4

+ C

  Por la formula con n = 5.4

3x5.4 dx

= 3x6.4

6.4

+ C

  El múltiplo 3 "va adelante para el

paseo".

Función Antiderivada Formula

x-1 ln |x| + C x-1 dx = ln |x| + C

Ejemplo:

(5x-

1 + 11x-

3) dx

=

5 ln |x|

-11x-2

2

+ C

Función Antiderivada Formula

k(k consta

nte)kx + C k dx = kx + C

Ejemplo:

(5x-

5.4 + 9) dx

=-5x-4.4

4.4

+ 9x + C

Función Antiderivada Formula

ex ex + C ex dx = ex + C

Ejemplo:

(3x5.4 + 9ex - 4) dx

=3x6.4

6.4

+ 9ex - 4x + C

Si desea una copia de la tabla más arriba, pulse aquí para abrir una nueva página que puede imprimir.

CONCUR

SO

En este concurso, tiene que ingresar una exprexión algebráica usando al formato correcto para graficadores como más ariba (espacios son ignorados). Pulse el botón para ver ejemplos de expresiones con logarítmos y exponenciales. 

(x2 - 3x-1 + 4) dx =

(2x-1.1 + 0.5x0.5 + 2ex) dx =

(4x-

x2

2+

3x-

1.1 - 6)

dx

=

P

¿Cómo se trata potencias de x en el denominador, como, por ejemplo,

6

5x4

?

  R Primero, conviértalas en forma exponencial; es decir, escriba la expresión con cada término en la forma Axn,  donde A y n son constantes. Por ejemplo, escriba

6

5x4

como

6

5

x-

4.

Entonces, tome la antiderivada como más arriba; por ejemplo, la antiderivada de esta expreción sería

6

5x-4 dx = 

6

5

x-3

-3 + C = -

6x-3

15 + CCONCUR

SO

En forma exponencial, la expreción 

1

6x

 + 

x

6

 + 

5

4x-2

 es:

6-1x - 6-1x - 5(4-1)x2 6x-1 + 1

6x + 

6-1x + 6-1x + 5(4-1)x2

5

4x2

6x-1 + 1

6x + 20x2

6-1x - 6-1x + 5(4-1)x2

1

6x-1 + 

1

6x + 

5

4x2

-1

6x-1 + 

1

6x - 

5

4x2

1

6x-1 + 

1

6x - 

5

4x2

-1

6x-1 + 

1

6x - 

5

4x2

1

6x-1 - 

1

6x + 

5

4x2

 CONCUR

SO

Ingrese las respuestas y pulse "Verifica."

(7ex

+1

6x+

x

6

-5

4x-2

)dx

=