¿Crees tener lo necesario para ser el rey

de las derivadas?

Resumen

El trabajo es una investigación acerca de las derivadas; se desarrolló con los

temas que aborda la unidad 3 “DERIVADAS”, regla de los cuatro pasos y las

diferentes fórmulas que se pueden utilizar para derivar, los ejemplos de los

diferentes tipos de derivadas (derivadas implícitas, derivadas de un producto,

derivadas de funciones trascendentales, etc.). La investigación que se hizo fue

aplicada en un juego de mesa el cual consta de un juego parecido al ajedrez

donde tienes que desarrollar una derivada de la mejor manera posible para

conseguir el resultado e ir avanzando casillas hasta ganar haciendo de este

tema más entretenido y más fácil de comprender.

Introducción:

Marco teórico:

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la

que cambia el valor de de dicha función según cambie el valor de su variable

independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se

calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto

intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se

toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una

cierta función en un punto dado.

Conceptos y aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo

infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos están

relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos

2

conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual

separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o

la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más

importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en

aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el

cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo

fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias

sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a

la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la

pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la

pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos

puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma

la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden

determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones,

tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por

ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una

tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente,

gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son

continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de

derivación.

Definición Analítica de derivada como limite

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una

cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .

3

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto

objeto como una variable, un

vector unitario, una función

base, etc.

En física, coeficiente es una

expresión numérica que

mediante alguna fórmula

determina las características

o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando

la gráfica de la derecha, el

coeficiente del que hablamos

vendría representado en el

punto de la función por el resultado de la división representada por la

relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se

mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente

en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo

rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo

dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es

siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el

acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como

por la izquierda de manera simultánea.

Lista de derivadas de funciones elementales

4

Regla de los cuatro pasos

Como un primer proceso para obtener la derivada de una función y=f(x), está la

regla de la definición, que consiste en lo siguiente:

1.- Calcular f(x+h)

5

2.- Obtener la resta entre f(x+h) y f(x)

3.- A esta resta dividirla entre h

4.- Del cociente obtener el límite cuando h tiende a cero.

Este límite es la derivada de la función con respecto a x

*Ejemplo

Paso 1

Obtener f(x+h)

( ) ( )

( )

Paso 2

Obteniendo f(x+h)-f(x)

( ) ( ) ( ) ( )

Desarrollando y simplificando

( ) ( )

( ) ( )

Paso 3

Dividiendo entre h

( ) ( )

Paso 4

Obteniendo el límite

( ) ( )

( ) ( )

( )

6

( ) ( )

( ) ( )

Por lo tanto este límite es la derivada de la función con respecto a x.

Interpretación geométrica de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada.

El significado geométrico de la derivada es la pendiente de la recta tangente en

un punto dado de la función.

Físicamente se define como la razón de cambio instantáneo de una variable

dependiente con respecto a la variable independiente.

7

Objetivo:

Se decidió buscar una forma de poder estudiar las derivadas, de manera

que nos fuera interesante hacerlo.

Problema:

El tema de “Derivada” se nos complicó a la mayoría del grupo, hubo muchos

problemas a la hora de hacer tareas o ejercicios en clase debido a que no

todos entendían bien cómo hacerlo y a la mayoría nos costaba trabajo

memorizar las formulas.

Desarrollo:

Decidimos realizar un juego analizando el algoritmo de funcionamiento de

varios de ellos, para poder crear un material de trabajo en derivadas lúdico.

Primero desarrollamos un compendio de derivadas, para tener material para

realizar el juego.

Ejemplos de derivadas de la forma

La derivada de f(x)= a

La derivada de f(x)=

La derivada de f(x)= e

La derivada de f(x)= 6

La derivada de f(x)=√ √

Derivada de la forma

y

( )

8

Derivada de la forma

( )

( )

( )

( )

Derivada de la forma

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

Derivada de un producto

En ocasiones es necesario derivar funciones que están expresadas como el

producto de dos o más funciones. El primer método será efectuar las

multiplicaciones y después derivar, pero este procedimiento puede resultar

sumamente largo, por lo tanto es conveniente utilizar la fórmula del producto.

9

( )

Ejemplos:

( )( )

= ( ) ( )

( )

( )

=( ) ( ) ( ) ( )

=

=

( )( )

= ( )( ) ( )( )

= ( ) ( )

=

( )( )

= ( )( ) ( )( )

=

=

Derivada de una división

Al igual que el producto para derivar una división o cociente existe un formula

en especial, ésta es la siguiente:

(

)

Ejemplos:

10

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

Derivada de una potencia

Esta expresión permite calcular la derivada de una potencia sin necesidad de

efectuar la operación, por ejemplo si se desea obtener la derivada de

( ) se puede desarrollar el cuadrado y derivar termino a termino;

pero si el exponente, en lugar de ser dos fuese doscientos, sería muy lento

realizar la derivada. He aquí la utilidad de esta fórmula.

1. (2-8x)8 v=2-8x n=8

n=8 ( )8-1 (-8)=

11

n=-64( )7

2.- (3x3-45)2 v=3x3-45 n=2

n=2 ( )2-1 (9 )=

n=18 ( )

.- (2x )t v=2x n=t

n=t ( )t-1 (2 )=

n=(2t )( )t-1

Derivada implícita

Hasta el momento en todas las derivadas estudiadas la variable dependiente

siempre estaba despejada en muchas ocasiones esto no sucede y despejarla

es sumamente complicado. Esta problemática se resuelve empleando la

derivada implícita y el procedimiento es el siguiente:

1.- En la función se deriva igualmente x como y, solamente que cada vez que

se derive una “y” se debe colocar el símbolo

.

2.- Una vez derivadas todas las variables se despejará el símbolo

que es la

incógnita deseada, el resultado de este despeje es la derivada buscada.

Ejemplos:

1.- x2 3=7

2x

=0

2.- 3x2-y3=t2

6x

=0

12

3.- y2-3y=x

2y

=1

Y=2

Derivadas de funciones trascendentes

Para las funciones transcendentes también existen fórmulas de derivadas,

estas son las siguientes.

Inv =

ex =

Y todas las fórmulas para funciones.

Ejemplo I

Inv =

1. In2x2

=

=

=

=

=

=

=

2. In (ax )

13

=

=

=

=

=

=

3. In(2x )

=

=

=

=

=

=

Ejemplo 2

ex =

1. y=e2x

=

2. y=e9x

=

3. y = 2e2x

=

14

Ejemplo 3

1. y=cos4x7

( )

2. y=cos5x5

( )

3. y= 2cos4x

( )

( )

Ejemplo 4

1. y= 2cosx senx

15

( )

= ( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( ( ) ( ))

( )

(( ) ( ) )

2. Y= In(x2 ex)

Inv =

ev =

Inv =

( ) ( )

=

ex =

ex = = ex

( ) ( )

( )

( )

3. Y= x2ex

ex =

ex = = ex

=

16

Desarrollo del juego:

Para poder resolver nuestro problema con las derivadas y poner en acción lo

que habíamos pensado hacer para poder estudiar Derivadas, tuvimos que

elaborar éste trabajo, en el cual investigamos sobre los tipos de derivadas,

cómo resolverlas y algunos ejercicios. Se pensó en la elaboración de un

juego el cual debería ser muy didáctico para poder entretener a los

jugadores pero a la vez entrar muy a fondo al tema de nuestro interés. Los

recursos que utilizamos fue el trabajo sobre derivadas y mucho material para

ir construyendo nuestro juego.

Resultados

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El juego es una combinación de ajedrez con damas chinas.

Se tienen 11 pelones y un rey IQ, puede jugarse en equipo o

individual.

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Los peloncitos avanzan solo si resuelves una derivada en un

límite de tiempo,

La derivada se designa al lanzar un dado, el color que te caiga

y número es el nivel y color de la tarjeta que se debe tomar

donde está la operación a resolver

Si resuelve la derivada avanzara los cuadros que indique el

dado hacia donde el jugador prefiera, pero si de lo contrario no se

resuelve en el tiempo o si la resolvió mal tendrá un castigo.

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Después de cada turno tomaran otra tarjeta la cual tendrá un

castigo o un premio.

El juego se gana comiendo al rey IQ o al dejar sin peloncitos al

oponente.

Uno de los retos o castigos para hacer más entretenido el juego

es que se cuenta con una caja de toques.

Después de saber cómo se juega dime:

20

Análisis e interpretación de resultados

EL juego se aplicó en el salón de clases y recibió muy bueno comentarios, ya

que lo consideraron divertido y original.

El juego cubrió las expectativas desde el punto de vista conocimiento y

aprendizaje, ya que fue divertido y las personas que contaban con

conocimientos de derivadas jugaron, poniendo en práctica conocimientos

previos, y las personas que no entendían muy bien el tema aprendieron los

pasos y resolvieron desde la más sencilla derivada hasta la más difícil.

Conclusiones

*La crítica de los compañeros fue buena ya que la caja y el contenido llama la

atención, por lo que los impulsaba a querer jugar el juego

*Al jugar notamos que muchos de ellos se esforzaban para ganar, ayudo a que

se interesaran y aprendieran a derivar mas fácil, las personas que jugaron

también nos comentaron que es interesante ya que el formulario que les damos

les ayuda a identificar y memorizar formulas.

*Nuestros compañeros calificaron el juego como "Muy bueno", "Divertido",

"Interesante", "Así, sí aprendo derivadas", entre otras cosas ya que el

contenido y los materiales con los que está hecho el juego son muy llamativos

y la calidad que se empleó en las derivadas a resolver eran muy buenas, ya

que había algunas fáciles pero otras que los hacían pensar y razonar más.

La caja de toques (muy pequeños) incluida impulsa a los jugadores a resolver

la derivada de una manera correcta y además les resulto muy divertido.

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Fuentes de Información:

-Frank Ayres Jr., Elliot Mendelson. Calculo Diferencial E Integral. Mc Graw

Hill. Tercera Edición.

-Eduardo Carpinteyro Vigil, Rubén B. Sánchez Hernández (2006). Algebra.

Grupo Patria Cultural, México.

-Granville, William Anthony, (1995) Cálculo Diferencial e Integral, México,

Limusa.