APLICACIÓN DE LA TÉCNICA H2 DE CONTROL

ROBUSTO A UN SISTEMA DE LEVITACIÓN

MAGNÉTICO BAJO CONDICIONES DE

INCERTIDUMBRE

Héctor Fabio Mejía Restrepo

Facultad de Ingenierías Eléctrica, Electrónica, Física y ciencias de la computación.

Programa de Ingeniería Eléctrica.Universidad Tecnológica de Pereira.

CONTENIDO

Introducción

Objetivos

Modelo Matemático de sistemas

Control Robusto

Implementación del Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño H2

Conclusiones

INTRODUCCIÓN

El diseño de controladores robustos es muy

usado para desempeños robustos en sistemas

con incertidumbres paramétricas o

perturbaciones externas.

Ya que el diseño es complejo, se diseña un

controlador PID que cumpla con restricciones

robustas ya que es mas usado en la industria.

Este diseño pretende encontrar solo 3

parámetros, pero no es posible hallarlos por

métodos convencionales.

Uno de los métodos para encontrar los

parámetros es por medio del algoritmo genético.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

OBJETIVO GENERAL

Diseñar un controlador PID

óptimo que cumpla

restricciones de estabilidad

robusta y minimice el índice de

desempeño H2

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Existen varios métodos para modelar sistemas

con incertidumbre paramétrica:

La estimación adaptativa de parámetros obtiene

la función de transferencia del sistema en cada

instante de tiempo haciendo éste método

“costoso” computacionalmente.

El modelo con incertidumbres calcula desde el

principio la función de transferencia influenciada

por cambios en los parámetros de los

elementos físicos. Toma menos tiempo de

cálculo computacional por que se halla una sola

vez

En este trabajo se utilizará la segunda técnica.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Sistema Masa-Resorte-AmortiguadorIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Parámetros con incertidumbres:

Aplicación de la transformación lineal Fraccional

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Diagrama de bloques con incertidumbreIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

El sistema con incertidumbres:Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Levitador magnético (caso 1)Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Bloques con incertidumbreIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Transformación lineal FraccionalIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Levitador magnético con incertidumbreIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Levitador magnético (caso 2)Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

MODELOS

Incertidumbre por función de transferencia.Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONTROL ROBUSTO

Control Mixto H2/H∞

El propósito de éste diseño es encontrar un

controlador que presente estabilidad robusta

mediante la norma H∞ y que minimice el índice

de desempeño H2

W(s) : función que rechaza la respuesta en

frecuencia de la perturbación

:nivel de atenuación<1

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONTROL ROBUSTO

Incertidumbre paramétrica

Perturbación externa

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONTROL ROBUSTO

Control Óptimo

Pretende encontrar el mejor controlador

para el cual el índice desempeño H2

sea mínimo mediante optimización.

El método de optimización utilizado es el

de algoritmos genéticos por su gran

desempeño en problemas donde el

espacio de búsqueda es muy grande y

no se requiere derivadas en el espacio

de soluciones.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONTROL ROBUSTO

Control PID Óptimo mixto H2/H∞

Con éste se desea encontrar un

controlador PID fácil de aplicar en la

industria que cumpla las restricciones

de estabilidad robusta y minimice el

índice desempeño H2 por medio de

algoritmos genéticos.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

ALGORITMO GENÉTICO

Resuelve problemas de optimización

global mediante una búsqueda por el

espacio de soluciones en paralelo.

Utiliza operadores genéticos para

direccionar la búsqueda a zonas de

mejor desempeño.

Utiliza operadores como:

1. Reproducción

2. Mutación

3. Cruce

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

ALGORITMO GENÉTICO

Evalúa la estabilidad del sistema con

controladores escogidos aleatoriamente

de la población inicial.

Calcula el índice de desempeño para

los sistemas estables.

Aplica los operadores genéticos a los

individuos con mejores índices.

Termina cuando halla el mejor índice o

cuando llega a la generación máxima.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

ESTABILIDAD NOMINAL

Criterio de Routh-HurwitzIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

ESTABILIDAD ROBUSTA

Incertidumbre paramétrica

Perturbación externa

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

ÍNDICE DE DESEMPEÑO

Norma H2

Mediante el teorema de Parseval

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

ÍNDICE DE DESEMPEÑO

Formulación General para resolver la integralIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Ejemplo 1Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalón en lazo abierto

Respuesta del sistema controlado

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Ejemplo 2 (Servo-motor)Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalón para un

controlador no robusto

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalón de un

controlador robusto

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalónIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Levitador (Caso 2) Incertidumbre

paramétrica

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Variación de la planta con

incertidumbre paramétrica

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta en lazo abiertoIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalónIntroducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalón para:Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalón para:Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Levitador (Caso 2) con perturbación

externa:

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Respuesta al escalón con perturbación

externa:

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Velocidad de respuesta:Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Con perturbación externa diferente:Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

RESULTADOS

Caso extremo.Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONCLUSIONES

Un controlador robusto reduce

ampliamente el error cuando

existen perturbaciones en

cualquier sistema.

Los algoritmos genéticos

fácilmente encuentran buenas

respuestas para controladores

requiriendo un buen

planteamiento de las

restricciones.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONCLUSIONES

La obtención de controladores

PID robustos hace que la

implementación de éste sea fácil

sobre el sistema físico.

La mejora del índice de

desempeño en el ejemplo 1

resalta el buen comportamiento

del algoritmo.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

CONCLUSIONES

El controlador hallado permite

grandes variaciones en la

perturbación externa sin

sobrepasar enormemente los

límites de error permitido.

Introducción

Objetivo

Modelos

Control Robusto

Algoritmo Genético

Estabilidad Nominal

Estabilidad Robusta

Índice de desempeño

Resultados

Conclusiones

GRACIAS