Post on 24-Jan-2016
UNIDAD DE GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIAY CÍRCULO
DEFINICIONES PREVIAS
CIRCUNFERENCIA: Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro.
CÍRCULO: Región del plano limitada por una circunferencia
Lugar geométrico de
los puntos de un
plano que equidistan
de otro punto del
mismo plano llamado
centro.
CIRCUNFERENCIA:
R
R
CIRCUNFERENCIA CÍRCULO
cte
ELEMENTOS:Debido a que la circunferencia y el círculo siempre existen simultáneamente, los elementos de la circunferencia también lo serán del círculo y viceversa.
O
CENTRO (O) Punto que equidista de todos los puntos de la circunferencia
O
RADIO (OA, OB, OC) Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Se denota con R.
A
R
B
R
C
R
O
AB
C
CUERDA (CD) Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
D
DIÁMETRO (AC): Cuerda que pasa por el centro y es la cuerda de mayor longitud posible. Su longitud (D) es el doble que el radio. D = 2R.
O
AB
C
D
O
AB
C
D
FLECHA: (EF) Segmento perpendicular a una cuerda por su punto medio (E), comprendido entre ésta y la circunferencia.
FE
O
AB
C
D
FE
SECANTE (GH) Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
G
H
O
AB
C
D
FE
G
H
TANGENTE (ITK) Recta que toca a la circunferencia en un solo punto. Dicho punto (T) se denomina punto de tangencia.
I
T
K
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SEGMENTO CIRCULAR: Parte del círculo comprendida entre una cuerda y el arco subtendido
SECTOR CIRCULAR: Parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco subtendido.
PARTES DEL CÍRCULO
O
MEDIDA DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
La medida de un arco de circunferencia es igual a la medida del ángulo formado por los radios que lo subtienden.
A
O
B
m AB = m AOB
m AB =
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PROPIEDADES IMPORTANTES1. Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
O90°
T
m
2. Un diámetro perpendicular a una cuerda de una circunferencia, biseca a la cuerda y a los arcos que ésta subtiende.
B
A
C
D
H
O
m AD = m DBm AC = m CB AH = HB
3. Los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.
A B
DC
BD AC
CD / / AB Si
4. Dos cuerdas de una circunferencia que equidistan del centro son congruentes.
A
BC
D
INICIOINICIO
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULO CENTRAL: Tiene como vértice el centro y como lados dos radios de la circunferencia.
O
A
B
Su medida es igual a la del arco subtendido.
m AOB = m AB
= m AB
ÁNGULO INSCRITO: Tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de ésta. Su medida es la mitad del arco subtendido.
O
A
B
2ABm
ÁNGULO INTERIOR: Formado por dos cuerdas que se cortan dentro de la circunferencia. Su medida es la semisuma de las medidas de los arcos determinados.
A
B
C
D
2BDmACm
ÁNGULO EXTERIOR: Tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son dos rayos que tocan a la circunferencia en uno o dos puntos.
P
A
B
D C
2ACmBDm
INICIOINICIO
Analizamos una de las partes y sabemos que equivale a un triángulo.
=
aa/2
a/2
)A(4A triánguloTotal
2
)2a()
2a(
4ATotal 2
a2 Rpta
TEOREMA 1 Un radio
perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y viceversa.
Si un radio biseca a una cuerda de la circunferencia, el radio y la cuerda son perpendiculares
TEOREMA 2
Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por el punto de tangencia y viceversa.
TEOREMA 3
Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior de una circunferencia, son congruentes y forman un trián-gulo isósceles con la cuerda que une los puntos de tangencia
A
COROLARIO TEOREMA 3
La recta que une el centro “O” del círculo con el punto exterior “P” desde donde se trazan las tan gentes, es bisec triz del ángulo que ellas forman
PO x°
x°
TEOREMA 4 En una misma
circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro.
(En la misma circun-ferencia, cuerdas equidistantes del centro, son congruentes)
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS
Tienen el mismo centro.
La distancia entre los centros O y O’ es nula porque los cen- tros coinciden.
OO’ = 0
O
O’
O
O’
CIRCUNFERENCIAS SECANTES
Se intersecan en dos puntos.
La distancia entre los centros es menor que la suma de los radios.
OO’ < r + r’
O O’
r r’
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
Se intersecan en un solo punto.
La distancia entre los centros es igual a la suma de las medidas de los radios.
OO’ = r + r’
O r r’ O’
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
Se intersecan en un punto, una está dentro de la otra.
La distancia entre los centros es igual a la diferencia entre los radios
OO’ = R - r
r
O’R
O
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
No se intersecan y sus centros están a una distancia mayor que la suma de las medidas de sus radios.
OO’ > r + r ’
O
r
r’
O’
CIRCUNFERENCIAS INTERNAS O INTERIORES
No se intersecan y todos los puntos de una están en la zona interna de la otra.