Post on 11-Jul-2015
ECUACIÓN DE LA RECTA
y2 - y1
x2 - x1
y - y1
x - x1
y -y1 y2 -y1
x -x1 x2 -x1
y-y1 y2 -y1 (x - x1)
x2 -x1
P
P1(x1,y1)
P2(x2,y2) Tgα=
m =
=
=
y
x
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
y-y1 y2-y1 (x-x1)
x2-x1
(x2-x1) (y-y1) = y2-y1 (x-x1)
x2y - x2y1 - x y- x1y1 = y2x - x y2 - y1x + x1y1
x2y - x2y1 - x1y - y2x + x1y2 + y1x - x1y1 = 0
(y1- y2)x + (x2- x1)y +(x1y2 - x2y1) = 0
D x + E y + F = 0
=
LA CIRCUNFERENCIA
(x´)2 + (y´)2 = R2
(x-h)2+(y-k)2= R2
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CURVA.
x= h+x´ x´= x-h
y= k+y´ y´ = y-k
y y´
x´xk
h x´x
P´(x´,y´)P(x,y)
y´yc
c(h,k)
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
( x -h )2 + (y -k )2 = R2
x2- 2hx + h2 +y2 -2ky +k2 = R2
x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2-R2) = 0
A x2 + B y2 +D x + E y +F = 0
circunferencia => A=B= 1
D= -2h
E= -2k
F= ( h2 + k2 - R2 ) ecuación de la recta=> A=B= 0
A x2 +B y2 + D x +E y+ F = 0
A= B = 1
D = -2h => h =
E= -2k => k =
F= h2+ k2 - R2 => R2 = h2+k2 - F
R2 = - =
-D2
-E2
D2
4 +
E2
4
F D2 + E2 - 4F
4
A x2+ B y2 + D x +E y+ F = 0 <=> ( x- h )2 + ( y - k )2 = R2
x D 2 y E 2 D + E - 4F
2 2 4
D2 + E2- 4 F D2 + E2 - 4F
4 4 > 0 circ. Real
= 0 PUNTO
< 0 circ. Imaginaria
+ + + =
R2 = = R =
LA ELIPSE
f1(-c,o) f2(c,o)
V1(-a,o) V2(a,o)
L.R
M1
M2
P1 P2
P3
r1 r2
P4
YEje Normal
XEjeFocal
l1 l2
l4
l3 V1V2 = longitud del eje mayor
M1M2 = longitud del eje menor
r1 + r2 = 2a = cte.
P(x,y)
ECUACIÓN DE LA ELIPSEr2 + r2 = 2a
(x+c )2 + y2 + (x-c)2 + y2 = 2a
(x+c)2 + y2 = 2a - (x-c)2 + y2
(x-c)2 + y2 2= 2a - (x-c)2 +y2 2
x2 +2c+c2 +y2 = 4a2 -4a (x-c)2 + y 2+ (x-c)2 +y2 2
x2 +2cx+c2 +y2 = 4a2 -4a (x-c)2 + y2 +x2 -2cx+c2 +y2
4cx-4a2 = -4a (x-c)2 + y2
4a2 -4cx = 4a (x-c)2 +y2
(a2 -c x)2 = a (x-c)2 + y2 2
a4 -2a2 c x + c2 x2 = a2 (x2 -2cx+c2 + y2 )
a4 -2a2 c x+c2 x2 = a2 x2 -2a2c x+a2 c2 +a2 y2
-a2 c2 +a4 = ( a2 x2 -c2 x2 )+a2 y2 a2 - c2 = b2
a2 b2 = b2 x2 +a2 y2
b2x2 a2 y2 a2 b2 x2 y2 = 1 ECUACIÓN DE LA
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 ELIPSE
+ = +
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
h
k
x
x´
y´y
M´1
M´2
V2´V1´
f1´ f2´
P´(x´, y´)
P (x,y)
C
V1´(-a,o)V2´(a,o)M1´(o,b)M2´(o,b)
C´(o,o)C (h,k)
(x´)2 (y´)2 = 1 a2 b2
+
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
( x-h)2 (y-k)2
a2 b2
b2 (x2 - 2hx +h2) + a2 (y2 - 2ky + k2) = a2 b2
b2x2 - 2b2 x h + b2 h2 + a2 y2 - 2a2 k y + a2 k2 = a2 b2
b2 x2 + a2 y2 - 2b2 h x - 2a2 k y + (b2 h2 + a2 k2 - a2 b2)=0
A x2 + B y2 + D x + E y + F = 0
A= b2
B= a2
D= -2b2 h Eje Focal ELIPSE
E= - 2a2 k en X A = B
F= b2 h2 + a2 k2 - a2 b2
+ =1
LA HIPERBOLAY
X
EJE CONJUGADOEJE NORMAL
EJE FOCALC
r1r2
r2
r1
f1(-c,o) f2(c,o)V1(-a,o) V2(a,o)
L.RL.R
Eje Transverso
asíntota
P(x,y)P(x,y)
l1
l2
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPERBOLA
r2 - r2 = ± 2a
(x-c )2 + y2 + (x+c)2 + y2 = 2a
(x-c)2 + y2 = 2a + (x+c)2 + y2
(x+c)2 + y2 2= 2a + (x+c)2 +y2 2
x2 -2c+c2 +y2 = 4a2 +4a (x+c)2 + y 2+ (x+c)2 +y2 2
x2 -2cx+c2 +y2 = 4a2 +4a (x+c)2 + y2 +x2 +2cx+c2 +y2
-4cx = 4a2 + 4a (x+c)2 + y2
a (x-c)2 + y2 2 = - ( a2 +c x) 2
a2 (x +c)2+ y2 = a4 + 2a2 c x +c2 + x2
a2 (x2 +2c x+c2 y2 ) = a4 +2a2c x+ c2 +x2
a2 x 2 + 2a 2 c x + a2 c2 + a2 y2 = a4 + 2a2 c x + c2 x2
(c2 x2 -a2 x 2 ) - a2 y2 = a2 c2 -a4 c2 -a2 = b2
(c2- a2 ) x2 -a2 y2 = a2 (c2 -a 2 )
b2x2 a2 y2 a2 b2 x2 y2 ECUACIÓN DE LA
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 HIPERBOLA
- = - =1
l1
l2
f1 V1 V2 f2
P1( c, b2/a)
P2( c, -b2/a)
Y
XEje Focal
M1
M2
LA HIPÈRBOLA
C
C(0,0)
x2 y2
a2 b2 x2 1 y2
a 2 b2
y2 b2 x2 1 a2
y2 b2 x2 - a2
a2
y2 b2 (x2 - a2 ) y2 ± b ( x2 - a2 ) a2 a
si => x=cy ± b (c2 - a2) ay ± b b2
ay ± b (b) y ± b2
a a
- =1
- =
=
=
= =
=
=
= =
-
si x = ∞ y ± b ( x2 - a2 ) a
y ± b x2 1- a 0 a x2 0 y ± b x y = mx + k ECUACIÓN DE UNA RECTA ASINTÓTICA
a
y b x ==> ay - bx = 0 ==> l1
a
y b x ==> ay + bx = 0 ==> l2 a
=
=
=
=
= -
ECUACIÓN GENRAL DE LA HIPERBOLA
Y
X
Y´
X´V1 V2f1 f2
C’(h,k)
C (0,0)
C
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPERBOLA
( x´)2 (y´)2
a2 b2
( x-h)2 (y-k)2
a2 b2
b2 ( x2 - 2hx + h2 ) - a2 ( y2 -2ky + k2 ) = a2 b2
b2 x2 - 2b2h x + b2h2 - a2y2 - 2a2ky + a2k2 -a2 b2 = 0
b2x2 - a2y2 - 2b2hx + 2a2ky + ( b2h2 - a2k2 - a2b2 ) = 0
A x2 + B y2 + D x + E y + F = 0
HIPERBOLA:
A = b2
B = -a2
D = -2b2h
E = -2a2k
F = ( b2h2 - a2k2 - a2b2 )
- =1
- =1
LA PARÁBOLA D Y
d
d
V f
P2
P(x;y)
P1 (x1;y1)
r r
(p;o)
LR
DIRECTRIZ
X Eje de simetría
r = d
V(0,0)
r = d
(x-p)2 + (y-0)2 2 = (x+p)2
x2 - 2px + p2 +y2 = x2 + 2px + p2
y2 = 4px ECUACIÒN DE LA PARÀBOLA
ECUACIÒN DE LA DIRECTRIZ
D x = -p x + p = 0
Si x = p
y2 = 4p2 y= ± 2p P (x,y)
LR = 4p
y2 = 4px y = ± 2 px
k
h
v
P
Y´2 = 4p x´
X
X´
Y´
Y
DV’ (0;0)
V (h;k)
LA PARÀBOLA
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
(y’)2 = 4px’
(y - k )2 = 4p (x - h)
y2 - 2yk + k2 = 4px - 4ph
y2 - 4px - 2ky + k2 + 4ph = 0
Ax2 + By2 + D x + E y + F = 0
A = 0
B = 1
D = -4p
E = -2k
F = k2 + 4ph
Eje focal en x