Continuidad

Dr. Juan R. Mejías Ortiz

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CURSO CÁLCULO I

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD

• Cuando se habla que un obrero ha permanecido en su puesto de trabajo en forma continua por ocho(8), implica que ha seguido en su labor sin parar en ningún momento.

• Lo mismo ocurre en el estudio del cálculo. Una función es continua en un intervalo si al trazar su gráfica se logra sin interrupción. Esto es no existe un hueco o salto.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD

La gráfica de la función

ilustrada a la izquierda es

continua. La misma puede

trazarse sin interrupción.

Las flechas muestran el

trazado de la gráfica de la

función.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD

• Una función es continua en x = c cuando no existe una interrupción en el trazado de su gráfica en c. Esto es que no existe un salto ni un hueco en x = c.

• Se dice que una función f(x) es continua en c cuando se cumplen las siguientes condiciones.

1. La función esta definida en x = c. Esto es f(c) está definida.

2. limx→c

𝑓(𝑥) existe.

3. limx→c

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).

Una función es continua es un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. Una función continua en toda la recta real (-∞, ∞) es continua en todas sus partes.

Discute la Continuidad de cada Función

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 1/𝑥2

El dominio es toda la recta (-, ). No existe hueco ni salto en la gráfica de f(x), por lo cual es continua en

todo tiempo.

El dominio es toda la recta (-, ). No existe hueco ni salto en la gráfica de f(x), por lo cual es continua en

todo tiempo.

f(x) no se puede definir en f(0). A su vez existe un salto cuando

x = 0. Entonces, f(x) es discontinua en x = 0. Sin embargo es continua en

algunas partes. O sea, en (-, 0) (0, )

DISCONTINUIDAD

• Se dice que una función f(x) es discontinua en c cuando se cumplen las siguientes condiciones.

1. La función no está definida en x = c.

2. 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜

𝒇(𝒙) en x = c no existe.

3. 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜

𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄).

La función no está definida en x = c. Existe un hueco en la gráfica de f(x). Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).

DISCONTINUIDAD

Primera Condición

DISCONTINUIDAD

𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜

𝒇(𝒙) no existe

cuando x = c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).

Segunda Condición

DISCONTINUIDAD

𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜

𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄) cuando

x = c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).

Tercera Condición

DISCONTINUIDAD

• Las discontinuidades en una función pueden ser clasificadas como evitable e inevitables.

• Las discontinuidades evitables son aquellas en donde f(x) se puede hacer continua redefiniendo a f(c) apropiadamente. Los ejemplos presentado en la 1ra y 2da condición son representan discontinuidades inevitables.

• Las discontinuidades inevitables no permite una redefinición de f(c).

EJERCICIOS

Identifica las discontinuidades.

Respuesta:

La función es discontinua en x = -3 y x = 2.

EJERCICIOS

Identifica las discontinuidades.

Respuesta:

La función es discontinua en x = -1, x = 3 y x = 5.

EJERCICIOS

Determina los intervalos donde la función 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 es continua.

Respuesta:

La función es continua para toda x = reales.

Esto es continua en el intervalo (-, ).

Teorema: Las funciones polinomiales

siempre son continuas.

EJERCICIOS

Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐

𝒙−𝟏 es continua.

Respuesta:

lim𝒙→𝟏

𝒇 𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆

La función es continua

para toda x ≠ 1.

Esto es continua en el intervalo (-, 1) (1, ).

EJERCICIOS

Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒−𝟑𝒙𝟐+𝟐

𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟒 es continua.

Respuesta:

𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 ≠ 𝟎

(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) ≠ 𝟎

𝒙 ≠ 𝟒 𝒙 ≠ −𝟏

La función es continua para todo número real excepto -1 y 4. O sea,

(-,-1 ) (-1, 4) (4,)

EJERCICIOS

Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙−𝟏)

𝒆𝒙−𝟏 es continua.

Respuesta:

𝒆𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎

𝒙 ≠0

La función es continua para todo número real

excepto 0. O sea, (-,0) (0, 4)

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO

Una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y

lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑦 lim𝑥→𝑏−

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)

La función f(x) es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO

Discute la continuidad de 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥2

El dominio de f(x) es el intervalo cerrado

[-4, 4] y es continua en el intervalo

abierto (-4, 4) y es continua por la

derecha y por la izquierda. Esto es:

lim𝑥→−4+

𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(−4)

lim𝑥→4−

𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(4)

Así que f(x) es continua en [-4, 4].

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es un número intermedio entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b] tal que f(c) = k.

Teorema del valor intermedio con un solo valor c.

Teorema del valor intermedio con más de un valor c.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

La aplicación del Teorema nos permite determinar los ceros de una función continua en [a, b]. Para ello debe haber f(x) < 0 y f(x) > 0.

Determina si 𝑓 𝑥 =1

16𝑥4 − 𝑥3 + 3 tiene cero en [1, 2].

Como la función es polinomial es continua en (a, b).

Evalúa f(1). Esto es 𝒇 𝟏 =𝟏

𝟏𝟔(𝟏)𝟒− 𝟏 𝟑 + 𝟑 = 𝟐. 𝟎𝟔𝟑

Evalúa f(2). Esto es 𝒇 𝟐 =𝟏

𝟏𝟔(𝟐)𝟒− 𝟐 𝟑 + 𝟑 = −𝟒

Como f(1) =2.063 > 0 y f(2) = −4 < 0 el teorema garantiza la existencia de un c en [1, 2] tal que f(c) = 0. Observe la gráfica.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

(c, 0)