RESISTENCIA DE MATERIALES

DEFORMACIONES EN VIGAS

METODO DE LA MULTIPLICACION DE LOS DIAGRAMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACACEMICO PROFESIONALDE ING. CIVIL

METODO DE

LA

MULTIPLICACION DE

LOS DIAGRAMAS

METODO DE LA MULTIPLICACION DE LOS DIAGRAMAS. REGLA DE VERESCHAGUIN

Introducción. Sirve para calcular desplazamientos o deflexiones por momentos flectores. Puede entenderse como una simplificación del trabajo mínimo que se desarrolla al emplear el método de Castigliano. Está basado en la multiplicación de diagramas de momentos.Propiedad. Supongamos que en el intervalo (0, L), deseamos calcular la integral del producto de dos funciones f1 y f2 , con la condición de que por lo menos una de ellas sea función lineal, entonces se tiene:

𝑰=∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏(𝒙 ) 𝒇 𝟐( 𝒙)𝒅𝒙

𝑰=∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏(𝒙 )(𝒂𝒙+𝒃)𝒅𝒙

𝑰=𝒂∫𝟎

𝑳

𝒙𝒇 𝟏 (𝒙 )+𝒃∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏 (𝒙 )𝒅𝒙

𝑰=𝒂 𝑬𝑨𝟏𝒚 +𝒃 𝑨𝟏

𝑰=𝒂 𝑿𝟏 𝑨𝟏+𝒃 𝑨𝟏

𝒂𝑬𝑨𝟏𝒚 =𝑿𝟏 𝑨𝟏

1)

Resumiendo tenemos:

∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏 (𝒙 ) 𝒇 𝟐 (𝒙 )𝒅𝒙=𝑨𝟏 𝒇 𝟐 (𝒙 𝟏)……(𝑨)

La propiedad (A) es conmutativa, si las funciones son lineales

∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏 (𝒙 ) 𝒇 𝟐 (𝒙 )𝒅𝒙=𝑨𝟏 𝒇 𝟐( 𝒙𝟏)

∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏 (𝒙 ) 𝒇 𝟐 (𝒙 )𝒅𝒙=𝑨𝟐 𝒇 𝟏( 𝒙𝟐)

𝑨𝟏 𝒇 𝟐( 𝒙𝟏)𝒅𝒙=𝑨𝟐 𝒇 𝟏( 𝒙𝟐)

La energía de deformación se expresa:

𝑼=𝟏𝟐∫

𝟎

𝑳 𝑴𝟐

𝑬𝑰 𝒅𝒙

y:

∆ 𝑷=𝝑𝑼𝝑𝑷 →∆𝑷=∫

𝟎

𝑳

( 𝑴𝑬𝑰 )𝝑𝑴𝝑𝑷

Dónde:M/EI : Diagrama de Momento Flector Reducido : Diagrama de momento flector por carga unitaria (m) , es la ordenada en un diagrama de momento flector por carga Unitaria.

La carga Unitaria actuara en el mismo lugar y en la misma dirección del

desplazamiento solicitado.

Por lo Tanto:

∆ 𝑷=∫𝟎

𝑳

( 𝑴𝑬𝑰 )𝝑𝑴𝝑𝑷

Si por lo menos uno de los diagramas ya sea M/EI o es lineal, para hallar el valor de la integral puede aplicarse el resultado siguiente:

∫𝟎

𝑳

𝒇 𝟏 (𝒙 ) 𝒇 𝟐 (𝒙 )𝒅𝒙=𝑨𝟏 𝒇 𝟐( 𝒙𝟏)

O también:

𝜹=∑ 𝑾 𝝃𝑬 𝑰

Dónde:W = Área del diagrama del M.F. producido por las cargas externas.ξ = Ordenada del Diagrama del M.F. (m) producida por la carga

unitaria correspondiente al C.G.

Aplicación Nº 01: Calcular la flecha en el punto C y el ángulo de giro en el punto B , si EI es Constante.

EJEMPLO 01: Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en l/2

SOLUCION

𝜹=∑ 𝑾 𝝃𝑬 𝑰

A BC

PPa

a a

Pa / EI Pa / EI

( - ) ( - )C.G. C.G.

A BC

A BC

M = 1

P = 1

( - )

5 a / 3

2 a / 3

( - ) 1

2 a / 3

∆𝐶=[12 (𝑎 )(− 𝑃𝑎𝐸𝐼 )(− 23 𝑎)+ 12 (𝑎)(− 𝑃𝑎𝐸𝐼 )(− 53𝑎)]

∆𝐶=76𝑃 𝑎3𝐸𝐼

∅𝐵=0−12

(𝑎 )( 𝑃𝑎𝐸𝐼 )(1)

∅𝐵=−𝑃 𝑎2𝐸𝐼

∆𝐶=12

(𝑎 )( 𝑃𝑎𝐸𝐼 )( 2𝑎3 + 5𝑎3

)