Construcción de diagramas de Bode

Ceros y Polos Complejos Conjugados

Ceros y polos complejos conjugados

Son dos ceros o polos ubicados equidistantes del eje real del plano complejo. En general se representan por:

Su frecuencia de quiebre se ubica en:

r/s 2nq ωω =

( ) 22 2 nnsssG ωζω ++=

Construcción de los Diagramas de Bode de Ceros Complejos

Forma de bode:

Función de jω:

( )

++= 1

22

22

nnn

sssG

ωζ

ωω

( )

++−= 122

22

nnn jsG

ωωζ

ωωω

Construcción de los Diagramas de Bode de Ceros Complejos

Característica de magnitud en dB:

( )22

2

22 21log20log20

+

−+=

nnnjG

ωωζ

ωωωω

Construcción de los Diagramas de Bode de Ceros Complejos

Característica de fase

( )

( ) 22

21

2

2

1

1

20

ωωζωωω

ωωωωζ

ω

−−

−

=⟨

−+°=⟨

n

ntgjG

tgjG

n

n

Aproximación asintótica

Para bajas frecuencias (ω<<ωn):

( ) 2log20 njG ωω =

( ) °=⟨ 0ωjG

Aproximación asintótica

Para altas frecuencias (ω>>ωn):

( )

( ) °=⟨

=

180

log40

ω

ωω

jG

jG

Aproximación asintótica

Para frecuencias medias (ω=ωn):

Las asíntotas de magnitud son iguales.

La fase:

( ) °=⟨ 90ωjG

( )22log20n

M ζω=

Construcción de los Diagramas de Bode de Polos Complejos

( ) ( )22

2

2 nn

n

sssG

ωζωω

++=

Los polos se expresan en general como:

Despejando a la forma de Bode

( )

++=

12

1

2

2

nn

sssG

ωζ

ω

Construcción de los Diagramas de Bode de Polos Complejos

( )

++−=

12

1

2

2

nn

j

sG

ωωζ

ωω

Función de jω

Construcción de los Diagramas de Bode de Polos Complejos

De la misma manera que los ceros, la curva de magnitud cambia de pendiente en la frecuencia natural no amortiguada, con un valor de -40 dB/déc.

La traza de fase es de 0° a bajas frecuencias. En 0.1ωn cae con una pendiente de -90°/dec y continua hasta ω=10ωn, donde se nivela a -180°

Construcción de los Diagramas de Bode de Polos Complejos

Para bajas frecuencias (ω<<ωn):

( ) 2log20n

jG ωω −=

( ) °=⟨ 0ωjG

Construcción de los Diagramas de Bode de Polos Complejos

Para altas frecuencias (ω>>ωn):

( )

( ) °−=⟨

−=

180

log40

ω

ωω

jG

jG

Construcción de los Diagramas de Bode de Polos Complejos

Para frecuencias medias (ω=ωn):

Las asíntotas de magnitud son iguales.

La fase:( ) °−=⟨ 90ωjG

( )ζ2log20−=M