Distribuciones de ProbabilidadGeneración de Variables

aleatorias

Luis Carlos Campos Carrión.

Distribución Uniforme discreta (a, b)

• Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos.

• Esta distribución asigna igual probabilidad a todos los valores enteros entre el límite inferior y el límite superior que definen el recorrido de la variable.

Distribución Uniforme discreta (a, b)

• Por ejemplo, cuando se observa el número obtenido tras el lanzamiento de un dado perfecto, los valores posibles siguen una distribución uniforme discreta en {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y la probabilidad de cada cara es 1/6.

Distribución Uniforme discreta (a, b)

• Ejercicio• Un empleado es seleccionado de un grupo de 10, para

supervisar cierto proyecto, extrayendo una papeleta al azar de una caja que contiene 10 papeletas, numeradas del 1 al 10:

• Si X representa el número en la papeleta que se extrae, hallar:

• a) La probabilidad de que sea extraído el número 5.• Si X= número impreso en la papeleta extraída.• Como todas las papeletas son equiprobables, es decir,

todas tienen la misma probabilidad de ser extraídas,• P(X=x)= 1/k donde k= total de papeletas• En este caso k=10 Entonces: P(x=5) = 1/10

Distribución Uniforme discreta (a, b)

• b) La probabilidad de que sea extraído el número 7.

• Si X= número impreso en la papeleta extraída• Como todas las papeletas son equiprobables,

es decir, todas tienen la misma probabilidad de ser extraídas,

• P(X=x)= 1/k donde k= total de papeletas• En este caso k=10 Entonces: P(x=7)=1/10

Distribución Uniforme discreta (a, b)

Distribución Uniforme (a, b)

• La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones discretas).

Distribución Uniforme (a, b)

• Esta distribución presenta una peculiaridad importante: la probabilidad de un suceso dependerá exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de su posición en el campo de variación de la variable.

Distribución Uniforme (a, b)

Distribución Uniforme (a, b)

• Ejercicio.• El precio medio del litro de gasolina durante el

próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 ptas., etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

• Por lo tanto, la función de distribución del ejercicio sería:

Distribución Uniforme (a, b)

Distribución Uniforme (a, b)

Distribución Binomial (n, p)

• Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.

• Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso.

Distribución Binomial (n, p)

• Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptualmente infinitas.

• A continuación veremos La función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada Función de la distribución de Bernoulli.

Distribución Binomial (n, p)

Distribución Binomial (n, p)

• Ejercicio 1

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

• El número de aciertos k es 6. Esto es x=6

• El número de experimentos n son 10

• La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50

Distribución Binomial (n, p)

Distribución Binomial (n, p)

• Ejercicio 2.• ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro

veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?

• El número de aciertos k es 4. Esto es x=4• El número de experimentos n son 8• La probabilidad de éxito p (probabilidad de que

salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)• La fórmula queda:

Distribución Binomial (n, p)

Distribución Poisson (lambda)

• En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de la binomial, Bin (n, p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña; una regla es que la aproximación Poisson-binomial es “buena” si n≥20 y p≤0,05 y “muy buena” si n≥100 y p≤0,01.

Distribución Poisson (lambda)

• La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo.

• El número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson.

Distribución Poisson (lambda)

• Para que una variable recuento siga una distribución de Poisson deben cumplirse varias condiciones:

• 1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo.

• 2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula.

Distribución Poisson (lambda)

Distribución Poisson (lambda)

• Ejercicio

• Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba:

• a) cuatro cheques sin fondo en un día dado.

• b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos.

Distribución Poisson (lambda)

Distribución Poisson (lambda)

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

• La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica.

• Por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición.

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

• Cuando el tamaño de la población es grande, los muestreos con y sin reemplazo son equivalentes, por lo que la distribución hipergeométrica se aproxima en tal caso a la binomial.

• Parámetros:• N: tamaño de la población, N>0 entero• R: número de éxitos en la población R≥0

entero• n: número de pruebas, n>0 entero

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)• Ejemplo:

• De 50 edificios en un parque industrial 12 no cumplen con el código eléctrico si se seleccionan 10 edificios aleatoriamente determine la probabilidad de que:

• a) 3 no cumplan el código.• b) 4 no cumplan el código.

• Solución Inciso a:

• Datos: • N = 50• R = 12• n = 10• x = 3

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

• Solución Inciso b:

• Datos:

• N = 50

• R = 12

• n = 10

• x = 4

Distribución Hipergeométrica (N, R, n)

Distribución Normal (Mu, Sigma)

• La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística.

• Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial.

• La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (Mu) y la desviación estándar (Sigma).

Distribución Normal (Mu, Sigma)

Distribución Normal (Mu, Sigma)

Distribución Normal (Mu, Sigma)

Distribución Normal (Mu, Sigma)

Distribución Normal (Mu, Sigma)• Luego se busca la respuesta anterior (2.0)

en la tabla de la distribución normal estándar lo cual nos da un valor de 0.4772 que representa el área bajo la curva en la gráfica de esta distribución, para obtener la respuesta correspondiente se resta 0.5 correspondiente a la mitad de la gráfica del valor que se encontró en la tabla:

• 0.5 – 0.4772 = 0.0228 ó 2.28%, que representa la probabilidad de que una pieza exceda los 18 cm.

Distribución Normal (Mu, Sigma)

Distribución Normal (Mu, Sigma)• Solución del inciso b• Luego se busca la respuesta anterior (1.33) en

la tabla de la distribución normal estándar lo cual nos da un valor de 0.4082 que representa el área tanto positiva como negativa bajo la curva en la gráfica de esta distribución, para obtener la respuesta correspondiente se multiplica el valor obtenido a través de la tabla por las dos mitades de la gráfica, por lo cual la respuesta es la siguiente:

• 0.4082 * 2 = 0.8164 ó 81.64% de probabilidad de que una pieza de pan tenga como longitud de 13 a 17 cm.

Generación de variables aleatorias.• Para hacer más fácil la comprensión de este

tema se hará uso de un ejemplo el cual cita de la siguiente manera:

• Juego del lanzamiento de la moneda.• Usted es el afortunado ganador de un

concurso. El premio es un viaje todo pagado a uno de los hoteles más importantes de Las Vegas, que incluye algunas fichas para apostar en el casino del hotel. Al entrar al casino, se da cuenta de que además de los juegos tradicionales (Blackjack, ruleta, etc.) Ofrecen un nuevo juego con las siguientes Reglas:

Generación de variables aleatorias.

• Reglas del juego.• 1)En cada jugada se lanza una moneda no

alterada en repetidas ocasiones hasta que la diferencia entre el número de caras y cruces que aparecen sea tres.

• 2)Si decide participar, debe pagar un dólar cada vez que lanza la moneda. No puede abandonar el juego hasta que este se acaba.

• 3)Se reciben 8 dólares al final de cada juego.

Generación de variables aleatorias.

• En consecuencias se gana dinero si el número de lanzamientos es menor que ocho, pero se pierde si se tiene que lanzar la moneda más de ocho veces. Estos son algunos ejemplos (donde H representa cara y T cruz).

Generación de variables aleatorias.

HHH 3 lanzamientos Se gana $5

THTTT 5 lanzamientos Se gana $3

THHTHTHTTTT 11 lanzamientos Se pierde $3

Generación de variables aleatorias.

• Pasos para la simulación del juego

• Numero de Lanzamientos

• =CONTAR.BLANCO(G13:G74) + 1

• Ganados

• =C4-D8

Generación de variables aleatorias.

• Pasos para la simulación del juego

• Número Aleatorio

• =ALEATORIO()

• Resultado

• =SI(C13:C74 < 0.5,"Cara","Cruz")

Generación de variables aleatorias.

• Pasos para la simulación del juego

• Total de Caras

• =SI(D13:D74 = "Cara",1,0)

• =E13+SI(D13:D74="Cara",1,0)

• Total de Cruces

• = B13:B74 - E13:E74

Generación de variables aleatorias.

• Pasos para la simulación del juego

• ¿Parar?

• =SI(ABS(E15:E76-F15:F76) >= C3, "Parar","")

• =SI(G15 = "",SI(ABS(E13:E74-F13:F74)>= C$3,"Parar",""),"NA")

• Muchas Gracias!