Post on 02-Feb-2016
Ecuaciones CuadráticasPor: Jhony Sandoval JuárezEspecialidad: Matemática4to “B”
COLEGIO PARROQUIAL MIXTO “SAN PEDRO CHANEL”SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS)
SULLANA
DEFINICION:Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma , donde a, b, y c son números reales y a es diferente de cero
EJEMPLOS a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10
La ecuación se llama completa cuando tiene los tres términos a, b y c, es decir cuando estos términos son distintos de cero.
La ecuación es incompleta si faltan las constante “b” ó “c”. Pero sí b=0, la ecuación recibe el nombre de ecuación pura.
01069 2 xx
0106 2 x
093 2 xx010
44
6 2 xe
Una ecuación cuadrática gráficamente representa una parábola.
•Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
•1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrados 3. Fórmula Cuadrática
FORMAS DE SOLUCIONAR UNA
ECUACION CUADRÁTICA
Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
• Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación • a = 1 b = 2 c = - 8
• • (x ) (x ) = 0
( x + ) (x - ) = 0
4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8
• (x + 4 ) (x – 2) = 0
• x + 4 = 0 x – 2 = 0
• x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando Cuadrados: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Para lograrlo hay que dividir a toda la ecuación por el valor de a así:
Luego pasamos al otro miembro el valor de c/a y a la ecuación restante le sumaremos a ambos miembros el valor de:
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay
que despejar de la siguiente forma:
Ahora, a= 1. 40
48
412
44 2
xx
0232 xx
Ahora la nueva ecuación será:
Donde, a= 1, b= 3 y c= -2.
Luego:
Le sumamos a ambos miembros el (b/2)2
Finalmente la ecuación quedará:
0232 xx
222 )23
(2)23
(3 xx
22 )23
(2))23
(( x
232 xx
METODO DE LA FORMA GENERAL O CUADRÁTICA
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4
aacbb
x2
42
EL DISCRIMINANTEComo se vio anteriormente para resolver una ecuación cuadrática
disponemos de la siguiente fórmula general
a
acbbx
2
42
Si llamamos D al discriminante de esta ecuación.
acbD 42
Se concluye lo siguiente:
D>0 La ecuación tiene 2 soluciones reales diferentesD=0 La ecuación tiene 2 soluciones reales igualesD<0 La ecuación tiene 2 soluciones complejas
•En una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
•donde a = 0 , se tiene como raíces :
aacbb
x
aacbb
x
24
24
2
2
2
1
Ecuaciones cuadráticas: PROPIEDADES DE LAS
RAÍCES
El producto de sus raíces ( x1 . X2 ) es igual a :
-b
a
aacbb
x
aacbb
x
24
24
2
2
2
1
Sumando miembro a miembro,
se obtiene :
a
b
a
bxx
2
221 a
bxx 21
c
a
La suma de sus raíces ( x1 + x2 ) es igual a :
Se desarrolla como un binomio suma por su diferencia,
por tanto :
a
cxx 21
a
c
a
ac
a
acbb
a
acbb
a
acbb
aa
acbbacbbxx
22
22
2
22
2
222
22
21
4
4
4
4
4
)4(
4
4
22
44
1
2
Determinación de la ecuación
Si en la ecuación ax2 + bx + c = 0 dividimos entre “a” la podemos transformar en :
x2 –(-b/a)x + c/a = 0 y por tanto reemplazar “–b/a” por la suma y
“c/a” por el producto. x2 – (x1+x2) x + (x1. x2) = 0
EJERCICIOS :
1.- Determina ( halla) la ecuación cuadrática cuyas raíces son 5 y -3
Recordar que la ecuación ax2 + bx + c = 0 se puede transformar en :
x2 –(-b/a)x + c/a = 0 x2 – (x1+x2) x + (x1.x2) = 0
Si consideramos a = 1
será b = ( x1+ x2 ) = [ 5 +(-3)] = 2
será c = (x1 . X2 ) = 5 ( -3 ) = - 15
Por tanto, la ecuación será : x2 – 2x – 15 = 0
2.- Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son 3/4 y 1/4
Será b = ( x1 +x2) = ( ¾ + ¼ ) = 4/4 = 1
Será c = (x1 . x2 ) = ( ¾ . ¼) = 3/16
Por tanto la ecuación será : x2 – (1)x + 3/16 = 0
(se reduce a denominador común : 16x2 – 16x + 3 = 0
Es conveniente recordar que en un trinomio como: x2 + 5x + 6 = 0, por la descomposición por método de aspa se cumple que b sale con la suma de factores y c con el producto de los mismos
ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICASECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
• ECUACIONES RACIONALES FRACCIONARIAS
• ECUACIONES IRRACIONALES (con RADICALES)
• ECUACIONES POLINÓMICAS DE LA FORMA ax4 + bx2 + c = 0 (ecuaciones bicuadradas)
Ecuaciones racionales fraccionarias
Son ecuaciones que al ser transformadas en otras equivalentes resultan ser
cuadráticas.Ejemplo: 65
20
3
2
2 2
xx
x
xx
x
)3)(2(
20
3
2
2
xx
x
xx
x
)3)(2(
20
)3)(2(
)2(2)3(
xx
x
xx
xxx 20)2(2)3( xxxx
204232 xxxx
Determinamos las restricciones
3;2x Reducimos a denominador común y eliminamos denominadores
Multiplicamos, reducimos y factorizamos
01662 xx
(x – 8) (x + 2) = 0 por tanto x’ = 8 ; x” = -2
C.S. = { -2 ; 8 }
E C U A C I O N E S I R R A C I O N A L E S
Son ecuaciones donde la variable está afectada por un radical.
Método para resolverlas* Se pasa a un miembro el término en que la incógnita esté bajo
radical y al otro los demás términos.* Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer
desaparecer los radicales y luego se procede como en los demás casos.
* Se debe comprobar si las raíces halladas satisfacen a la ecuación inicial.
xxxxx
xxxx
422530)2()15(
215152222
EJEMPLO:
Se ordena, se factoriza y se hallan las raíces
0)9)(25(
0225342
xx
xx Por tanto: x’ = 25 ; x” = 9
La raíz x” = 9 no satisface la ecuación inicial; se rechaza. C.S. = { 25 }
Otro ejemplo:Ecuación con 2 radicales.
272 xx
Se pasan ambos radicales a un miembro de la ecuación y el resto al otro, para proceder a elevar al cuadrado, y desarrollar.
22272 xx
272 xx
4))(72(27222 xxxx 472272 2 xxxx
xxx 72233 2 222 72233 xxx
xxxx 2889189 22 09102 xx 0)1)(9( xx
Habiendo quedado radical en el doble producto se repite el mismo proceso: se ordena,
se eleva al cuadrado,
se resuelve.
Por tanto: x’ = 9 ; x” = 1
Al comprobar las raíces en la ecuación original,las 2 sirven..
C.S.={1;9}
ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de cuarto grado : ax4 + bx2 + c = 0 ;
No contienen más que las potencias pares de la incógnita.Para resolverlas se hace un cambio de variable.El número de soluciones lo determina el grado de la ecuación (4).EJEMPLO :
osfactorizamyy
tendremosyxhacemosSixx
03613
03613
2
224
(y - 4)(y - 9) = 0 y resolvemos; por tanto:
y = 4 y = 9 Como habíamos hecho x2 = y lo reemplazamos
32
94
94 22
xx
xx
xx
Por tanto : C.S. = {-3; -2; 2; 3 }
y resolvemos