Post on 08-Dec-2015
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Ejercicios de Circulo de Mohr
Procedimientos y convenciones:
En plano físico:
- Graficar estado tensional del punto en un elemento cuadrado (tensiones
normales y de corte) según convención de signos (eje horizontal y vertical
siguiendo el orden menor a mayor)
- Las tensiones de tracción son positivas y de compresión negativas
- Sentido positivo de ángulos desde eje menor a mayor (ej: x2 a x3)
- La dirección de máxima tensión (sin corte en el plano) será cercana a la indicada
por la tensiones de corte, la cual será atraída por tensiones normales de tracción
y alejada por tensiones de compresión (utilizar esta estimación a priori para
verificar resultado)
En círculo de Mohr:
- Ejes de tensiones normales y de corte
- Graficar el primer punto (punto 0, con su valor de tensión normal y de corte)
- Graficar el (punto P, con su valor de tensión normal y para la tensión de corte
cambiar el signo)
- La dirección en el círculo de Mohr desde punto 0 a punto P define la dirección
del eje correspondiente al punto P en el plano físico (ej: si el punto 0
corresponde a 11σ y el punto P corresponde a 33σ , entonces la dirección 0P
corresponde al eje 3x en el plano físico)
- Encontrar valores de tensión media (centro de círculo) y radio, luego de tensión
normal máxima y mínima, de corte máxima
- El valor del ángulo desde el polo es la mitad de ángulo desde centro de círculo
(por geometría)
- Sentido de ángulos es al revés del plano real (si en circulo de Mohr es horario en
plano real será antihorario)
En plano físico:
- Trazar la dirección de tensión máxima (partir desde el eje de referencia y tener
en cuenta sentido opuesto a circulo de Mohr) y verificar que concuerde con la
dirección estimada a priori
- El plano físico de rotura es perpendicular a la dirección de falla que se determinó
mediante el círculo de Mohr (ej: criterio de Mohr-Coulomb).
Ejemplo 1:
ij
0 0 0
0 10 40
0 40 20
σ = −
Eje 1x es principal porque no tiene
tensiones de corte
22 33m
10 205
2 2
σ + σ − +σ = = =
( ) ( )2 22 2
23 22 mR 40 10 5 42.72= σ + σ − σ = + − − =
max m R 42.72 5 47.72σ = σ + = + =
( )max
1 2.40a tan 34.72º
2 20 10
ϕ = = − − −
(Signo negativo por convención)
( )
( )max max
max
0 0
sen 0.569
cos 0.822
ν = − ϕ = ϕ
Verificación:
2 2
ij i j 10x0.569 2x40x0.569x0.822 20x0.822 47.72ννσ = σ ν ν = − + + =
El valor de la tensión normal para el plano definido por el versor maxν corresponde al
calculado con el círculo de Morh
( ) ( )ij i j
1 0 0 0
t 0 0 10x0.569 40x0.822 1 40x0.569 20x0.822 0 27.18
0 0 1 39.22
ν
σ = σ ν = + − + + + =
1 2 2
2 2 2 42.72ν ν ν ν
σ = σ + σ + σ =
2 2
s0
ν ν ννσ = σ − σ =
El valor de la tensión de corte para el plano definido por el versor maxν es nulo
Ejemplo 2:
ij
30 5 0
5 10 0
0 0 20
−
σ = − −
Eje 3x es principal porque no tiene tensiones de corte
11 22m
30 1020
2 2
σ + σ +σ = = =
( ) ( )2 22 2
12 11 mR 5 30 20 11.18= σ + σ − σ = + − =
max m R 20 11.18 31.18σ = σ + = + =
( )max
1 1 20 1090 90 a tan 76.71º
2 2 5
− ϕ = + α = + =
(Signo positivo por convención)
( )
( )max
max max
sen 0.9732
cos 0.2298
0 0
− ϕ −
ν = ϕ =
Ejemplo 3:
ij
15 0 10
0 25 0
10 0 35
− −
σ = − −
Eje 2x es principal porque no tiene tensiones de corte
11 33m
15 3525
2 2
σ + σ − −σ = = = −
( ) ( ) ( )( )22 22
13 11 mR 10 15 25 14.14= σ + σ − σ = − + − − − =
max m R 25 14.14 10.86σ = σ + = − + = −
( )max
1 1 35 2590 90 a tan 67.5º
2 2 10
− ϕ = + α = + =
(Signo positivo por convención)
( )
( )max
max
max
sin 0.924
0 0
cos 0.383
σ
− ϕ −
ν = = ϕ
Ejercicios:
- Verificar que la dirección definida por el versor maxν de una tensión normal
igual al círculo de Mohr.
- Calcular el tensor de tensiones rotando los ejes 1x y
3x el ángulo calculado y
verificar que no aparezcan tensiones de corte en el tensor de tensiones (ejes
principales)