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FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZFACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍASPROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMASMÉTODOS NUMÉRICOSEJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES RESUELTOS CON EXCEL ESTE ES UN ANEXO DEL DOCUMENTO
Por: Pervys Rengifo Rengifo
h 0.1
n xn yn f(xn,yn)0 0 0.5 0.25
0.1 0.1 0.525 0.1806250.2 0.2 0.5430625 0.117691880.3 0.3 0.55483169 0.064939190.4 0.4 0.56132561 0.026025950.5 0.5 0.5639282 0.004086820.6 0.6 0.56433688 0.001271860.7 0.7 0.56446407 0.018369990.8 0.8 0.56630107 0.054615190.9 0.9 0.57176259 0.10773981 1 0.58253657 0.17427572
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
h 0.05
n xn yn f(xn,yn)0 1 1 0
0.1 1.05 1 0.097619050.2 1.1 1.00488095 0.197236160.3 1.15 1.01474276 0.301773290.4 1.2 1.02983143 0.414470460.5 1.25 1.05055495 0.539138170.6 1.3 1.07751186 0.680486070.7 1.35 1.11153616 0.844581940.8 1.4 1.15376526 1.039525930.9 1.45 1.20574155 1.276482511 1.5 1.26956568 1.5713184
1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y '= x⋅y2−yx
h 0.25
n xn yn f(xn,yn)0 1 1 -1
0.1 1.25 0.75 -1.750.2 1.5 0.3125 -2.68750.3 1.75 -0.359375 -3.1406250.4 2 -1.14453125 -2.855468750.5 2.25 -1.85839844 -2.641601560.6 2.5 -2.51879883 -2.481201170.7 2.75 -3.13909912 -2.360900880.8 3 -3.72932434 -2.270675660.9 3.25 -4.29699326 -2.203006741 3.5 -4.84774494 -2.15225506
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y '=|y|−2 x
, y(1.0)=1.0
utilizando h=0.25
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y '=|y|−2 x
h 0.1
n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 1 5.0000 -12.0000 1.1000 3.8000 -8.20001 1.1 3.9900 -8.7700 1.2000 3.1130 -5.93902 1.2 3.2546 -6.3637 1.3000 2.6182 -4.25463 1.3 2.7236 -4.5709 1.4000 2.2665 -2.99964 1.4 2.3451 -3.2353 1.5000 2.0216 -2.06475 1.5 2.0801 -2.2403 1.6000 1.8561 -1.36826 1.6 1.8997 -1.4990 1.7000 1.7498 -0.84937 1.7 1.7823 -0.9468 1.8000 1.6876 -0.46288 1.8 1.7118 -0.5354 1.9000 1.6582 -0.17479 1.9 1.6763 -0.2288 2.0000 1.6534 0.0398
10 2 1.6668 -0.0005 2.1000 1.6668 0.1997
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=2x-3y+1, y(1.0)=5.0, en el intervalo[1.0,2.0], mediante el método de Euler
Modificado, con h=0.1
X
Apr
oxim
ació
n
f(xn+1,yn+1)
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=2x-3y+1, y(1.0)=5.0, en el intervalo[1.0,2.0], mediante el método de Euler
Modificado, con h=0.1
X
Apr
oxim
ació
n
h 0.1
n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 0 2.0000 2.0000 0.1000 2.2000 2.29981 0.1 2.2150 2.3148 0.2000 2.4465 2.64512 0.2 2.4630 2.6617 0.3000 2.7292 3.02473 0.3 2.7473 3.0428 0.4000 3.0516 3.44104 0.4 3.0715 3.4609 0.5000 3.4176 3.89705 0.5 3.4394 3.9188 0.6000 3.8313 4.39596 0.6 3.8551 4.4198 0.7000 4.2971 4.94137 0.7 4.3232 4.9674 0.8000 4.8199 5.53738 0.8 4.8484 5.5658 0.9000 5.4050 6.18839 0.9 5.4361 6.2195 1.0000 6.0581 6.8995
10 1 6.0921 6.9335 1.1000 6.7854 7.6766
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=sen(x)+y, y(0)=2.0, mediante el método de Euler Modi-
ficado, con h=0.1
X
Ap
rox
ima
ció
n
f(xn+1,yn+1)
h 0.1
n xn yn f(xn, yn)0 1 5.0000 5.00001 1.1 5.5000 5.60002 1.2 6.0600 6.26003 1.3 6.6860 6.98604 1.4 7.3846 7.78465 1.5 8.1631 8.66316 1.6 9.0294 9.62947 1.7 9.9923 10.69238 1.8 11.0615 11.86159 1.9 12.2477 13.1477
10 2 13.5625 14.5625
18.8 39.2367.5
0.4426.10388114
3.1897575
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo [1.0,2.0], mediante el método de Euler con
h=0.1
18.054450718.8113592
353.8218.81010375.110732545.11073254
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo [1.0,2.0], mediante el método de Euler con
h=0.1
h 0.1
n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 1 5.0000 5.0000 1.1000 5.5000 5.60001 1.1 5.5300 5.6300 1.2000 6.0930 6.29302 1.2 6.1262 6.3262 1.3000 6.7588 7.05883 1.3 6.7954 7.0954 1.4000 7.5049 7.90494 1.4 7.5454 7.9454 1.5000 8.3400 8.84005 1.5 8.3847 8.8847 1.6000 9.2731 9.87316 1.6 9.3226 9.9226 1.7000 10.3148 11.01487 1.7 10.3694 11.0694 1.8000 11.4764 12.27648 1.8 11.5367 12.3367 1.9000 12.7704 13.67049 1.9 12.8371 13.7371 2.0000 14.2108 15.2108
10 2 14.2845 15.2845 2.1000 15.8129 16.9129
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), en el intervalo [1,2], utilizando el método de Euler Modificado, con h=0.1
x
Ap
roxi
ma
ció
n
f(xn+1,yn+1)
h 0.1
n xn yn0.0000 1.0000 5.00001.0000 1.1000 5.53002.0000 1.2000 6.12623.0000 1.3000 6.79544.0000 1.4000 7.54545.0000 1.5000 8.38476.0000 1.6000 9.32267.0000 1.7000 10.36948.0000 1.8000 11.53679.0000 1.9000 12.8371
10.0000 2.0000 14.28451.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, mediante el método de Taylor de tres términos con h=0.1
xnyn
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, mediante el método de Taylor de tres términos con h=0.1
xn
yn
x y1 5
1.1 5.5310255081.2 6.1284165491.3 6.7991528451.4 7.5509481861.5 8.3923276241.6 9.3327128021.7 10.382516241.8 11.553245571.9 12.85761867
2 14.30969097
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
0
2
4
6
8
10
12
14
Solución exacta de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo{1.0,2.0]
x
y
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
0
2
4
6
8
10
12
14
Solución exacta de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo{1.0,2.0]
x
y
n Euler Euler Mod Taylor 3 term. Sol. Exacta0 1 5.0000 5.0000 5.0000 5.00001 1.1 5.5000 5.5300 5.5300 5.53102 1.2 6.0600 6.1262 6.1262 6.12843 1.3 6.6860 6.7954 6.7954 6.79924 1.4 7.3846 7.5454 7.5454 7.55095 1.5 8.1631 8.3847 8.3847 8.39236 1.6 9.0294 9.3226 9.3226 9.33277 1.7 9.9923 10.3694 10.3694 10.38258 1.8 11.0615 11.5367 11.5367 11.55329 1.9 12.2477 12.8371 12.8371 12.8576
10 2 13.5625 14.2845 14.2845 14.3097SUMATORIA DE LOS ERRORES ELEVADOS AL CUADRADO
xn
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
GRAFICO COMPARATIVO ENTRE LOS DIFERENTES MÉTODOS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0
Euler
Euler Mod
Taylor 3 term.
Sol. Exacta
x
y
0.0000 0.0000 0.00000.0010 0.0000 0.00000.0047 0.0000 0.00000.0128 0.0000 0.00000.0277 0.0000 0.00000.0526 0.0001 0.00010.0920 0.0001 0.00010.1523 0.0002 0.00020.2418 0.0003 0.00030.3720 0.0004 0.00040.5584 0.0006 0.00061.5151 0.0017 0.0017
Error Euler2 Error E. Mod2 Error Taylor2
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
GRAFICO COMPARATIVO ENTRE LOS DIFERENTES MÉTODOS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0
Euler
Euler Mod
Taylor 3 term.
Sol. Exacta
x
y
h 0.1
n xn yn k1n k2n k3n k4n0 0 1 8.5 7.52975 7.52975 6.6181 0.1 1.75395 6.618 5.76325 5.76325 4.9642 0.2 2.3312 4.964 4.21875 4.21875 3.5263 0.3 2.75395 3.526 2.88425 2.88425 2.2924 0.4 3.0432 2.292 1.74775 1.74775 1.255 0.5 3.21875 1.25 0.79725 0.79725 0.3886 0.6 3.2992 0.388 0.02075 0.02075 -0.3067 0.7 3.30195 -0.306 -0.59375 -0.59375 -0.8448 0.8 3.2432 -0.844 -1.05825 -1.05825 -1.2389 0.9 3.13795 -1.238 -1.38475 -1.38475 -1.5
10 1 3 -1.5 -1.58525 -1.58525 -1.642
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial: y'=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0)=1.0, utilizando el método de Runge Kutta
de cuarto orden con h=0.1, en el intervalo [0.0,1.0]
x
y
solución exacta1
1.753952.3312
2.753953.0432
3.218753.2992
3.301953.2432
3.137953
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Aproximación de la solución de la ecuación diferencial: y'=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0)=1.0, utilizando el método de Runge Kutta
de cuarto orden con h=0.1, en el intervalo [0.0,1.0]
x
y
h 0.1
n xn yn k1n k2n k3n k4n0 0 2 3 3.088243097 3.08603702 3.178846421 0.1 2.30879011 3.17875322 3.276123521 3.27368926 3.375963972 0.2 2.63636249 3.37586224 3.483033232 3.48035396 3.592797663 0.3 2.98461973 3.59268674 3.710392217 3.70744958 3.830828714 0.4 3.35560638 3.83070787 3.959746772 3.9565208 4.091669565 0.5 3.75152159 4.091538 4.23277963 4.22924859 4.377074396 0.6 4.17473274 4.37693124 4.53132095 4.52746121 4.688950577 0.7 4.62779017 4.68879492 4.857360243 4.85314611 5.029371138 0.8 5.11344315 5.02920194 5.213059305 5.20846287 5.400588129 0.9 5.63465706 5.40040431 5.600766246 5.5957572 5.80504733
10 1 6.19463203 5.8048477 6.023030699 6.01757612 6.245404
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
Gráfica de la aproximación de la ecuación diferencial: y'=4e0.8x-0.5y, y(0.0)=2.0, en el intervalo [0.0,1.0], mediante e método de Runge Kutta
de cuarto orden, con h=0.1
x
y
solución exacta2
2.308790058772.636362383632.984619564843.355606156183.751521303284.174732384474.627789750445.113442655985.634656484856.19463137721
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
Gráfica de la aproximación de la ecuación diferencial: y'=4e0.8x-0.5y, y(0.0)=2.0, en el intervalo [0.0,1.0], mediante e método de Runge Kutta
de cuarto orden, con h=0.1
x
y