10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 1/6ELMTODODEHARDYCROSSGENERALIDADESEl Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento de dosprincipiosoleyes:LeydecontinuidaddemasaenlosnudosLeydeconservacindelaenergaenloscircuitos.Elplanteamientodeestaltimaleyimplicaelusodeunaecuacindeprdidadecargaode"prdida"deenerga,biensealaecuacindeHazen&Williamso,bien,laecuacindeDarcy&Weisbach.LaecuacindeHazen&Williams,denaturalezaemprica,limitadaatuberasdedimetromayorde2",hasido,pormuchosaos,empleadaparacalcularlasprdidasdecargaenlostramosdetuberas,enlaaplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente derugosidad,C,delasuperficieinternadelatubera,locualhacemssimpleelclculodelas"prdidas"deenerga.LaecuacindeDarcy&Weisbach,denaturalezaracionalydeusouniversal,casinuncasehaempleadoacopladaalmtododeHardyCross,porqueinvolucraelcoeficientedefriccin,f,elcualesfuncindelarugosidad,k,delasuperficieinternadelconducto,yelnmerodeReynolds,R,deflujo,elque,asuvezdependedelatemperaturayviscosidaddelagua,ydelcaudaldelflujoenlastuberas.Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicin de loscaudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cualescorrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteracin se deben calcular los caudalesactualesocorregidosenlostramosdelared.ElloimplicaelclculodelosvaloresdeRyfdetodosycadaunodelostramosdetuberasdelared,locualserainacabableyagotadorsihubieseque"hacerloaua" con una calculadora sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, estambiniterativo,poraproximacionessucesiva.Loanteriorseconstitua,hastahoy,enalgoprohibitivouobstaculizador,noobstanteserlamaneralgicayracionaldecalcularlasredesdetuberas.Hoy,estosernosloposibleyfcildeejecutarconlaayudadelprogramaenlenguajeBASICqueaquse presenta, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros de las tuberas y en loscaudalesconcentradosenlosnudos,yrecalcularlaredcompletamentecuantasvecesseaconveniente.FUNDAMENTOSDELMTODODEHARDYCROSSElmtodosefundamentaenlasdosleyessiguientes:1.Leydecontinuidaddemasaenlosnudos:"Lasumaalgebraicadeloscaudalesenunnudodebeserigualacero"(1)10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 2/6Donde,Qij:Caudalquepartedelnudoioquefluyehaciadichonudo.qi:Caudalconcentradoenelnudoim:Nmerodetramosqueconfluyenalnudoi.2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos: "La suma algebraica de las "prdidas" deenergaenlostramosqueconformanunanillocerradodebeserigualacero".(2)donde,hfij:PrdidadecargaporfriccineneltramoTij.n:NmerodetramosdelcircuitoiECUACIONESBSICASLaecuacindeHazen&Williamsoriginalmenteexpresa:(3)Donde,V:Velocidaddelflujo,m/s.C:CoeficientederugosidaddeHazen&Williams,adimensional.D:Dimetrodelatubera,m.Sf:Prdidaunitariadecarga(m/m).(4)Porcontinuidad,Luego,10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 3/6(5)Delacualresulta:(6)Donde,Q:Caudaldelflujoenelconducto,m3/s.L:Longituddeltramodetubera,m.hf:Prdidadecarga,m.La ecuacin anterior se puede transformar de tal manera que el dimetro se exprese en pulgadas y elcaudalenl/s,obtenindoselasiguienteecuacin.(7)Haciendo(8)Resulta:(9)LaecuacindeDarcy&Weisbachexpresa,entrminosdevelocidaddelflujo,lasiguiente:(10)dondefeselcoeficientedefriccin,deDarcyYentrminosdelcaudal,expresa:10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 4/6(11)Haciendo(12)Resulta:(13)Engeneral,laecuacindeprdidasdecargaporfriccinexpresa:(14)Donde,r:Coeficientederesistencia,cuyovalordependedeltipodeecuacinempleadaparaelclculo.n:Exponentedelcaudal,quedependelaecuacinderesistenciaempleada.n:1.851,segnlaecuacindeHazen&Williams.n:2.0segnlaecuacindeDarcy&Weisbach.ElMtododeHardyCrosscorrigesucesivamente,iteracintrasiteracin,loscaudalesenlostramos,conlasiguienteecuacingeneral:(15)El coeficiente de friccin, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuacin de Colebrook &White,queexpresalosiguiente:10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 5/6(16)Donde:k:Elcoeficientederugosidaddelatubera,mm.D:Dimetrodelatubera,mm.R:ElnmerodeReynoldsdelflujo,adimensional.Ntesequelarelacink/D,enlaecuacin(16)debeseradimensional.Asuvez,elnmerodeReynolds,R,secalculaconlasiguienteecuacin:(17)Donde,v:Velocidaddelflujo,m/s.:Densidaddelfluido(agua),kg/m3.:Viscosidaddinmicadelfluido,kg/m.s.:Viscosidadcinemticadelfluido,m2/s.D:Dimetrodelconducto,m.Q:Caudaldelflujoenelconducto,m3/s.Laecuacin(16)esunaecuacinimplcitaparafy,porlotanto,seresuelveiterativamente,porensayoyerror, en la subrutina 400, aplicando el Mtodo de Newton & Raphson. Ntese que, para acelerar elclculodef,enestasubrutinaseempleaunvalorinicialdef=X0,calculadoconlasiguientefrmula:(18)CONVENCIONES10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 6/6LoscaudalesQijysuscorrespondientesprdidasdecarga,hfij,yvelocidades,vijsernpositivossifluyenensentidodelasmanecillasdelreloj,onegativosensentidocontrario.LanomenclaturadelostramosTijslorequierequeelprimersubndicerepresenteelnmerodecircuitoalcualpertenece.Elsubndicejesunnmeroconsecutivoqueiniciaen1yterminaenelnmerodetramosdelcircuitoconsiderado.Ejemplo,eltramoT2.4eselcuartotramodelcircuitoNo.2Enlanomenclaturadelostramosnoserequieredesignarlossiguiendounestrictoordenconsecutivo,comotampocounsentidohorariooantihorario.Untramocualquieradelaredpuedeperteneceraunnicocircuito,oados,simultneamente.Enelprimercaso,elnmerodelcircuitoadyacente,solicitadoporlosprogramas,escero.Enelsegundocaso,seentrarelnmerodelotrocircuitoquelocamparteconelactual.