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Formas Cuadraticas
Formas Cuaticas
Veronica Briceno V.
octubre 2012
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Formas Cuadraticas
Obtencion de Forma Canonica de Formas CuadraticasSecciones Conicas Rotadas.
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
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Formas CuadraticasObtencion de Forma Canonica de Formas Cuadraticas
Secciones Conicas Rotadas.
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
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Formas CuadraticasObtencion de Forma Canonica de Formas CuadraticasSecciones Conicas Rotadas.
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Formas Cuadraticas
Definicion
Sea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Formas Cuadraticas
Definicion
Sea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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Formas Cuadraticas
DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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Formas Cuadraticas
DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:
Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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Formas Cuadraticas
DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:
Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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Formas Cuadraticas
DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 0
2 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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Formas Cuadraticas
DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 0
3 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 0
4 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 0
5 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores tomavalores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:
FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R
se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).
Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:
1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma
valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.
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Ejemplos
Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:
1 A =
(1 00 1
)
2 B =
(−1 00 −1
)3 C =
(1 00 −1
)4 D =
(1 00 0
)5 E =
(0 00 −1
)
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Ejemplos
Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:
1 A =
(1 00 1
)2 B =
(−1 00 −1
)
3 C =
(1 00 −1
)4 D =
(1 00 0
)5 E =
(0 00 −1
)
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Ejemplos
Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:
1 A =
(1 00 1
)2 B =
(−1 00 −1
)3 C =
(1 00 −1
)
4 D =
(1 00 0
)5 E =
(0 00 −1
)
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Ejemplos
Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:
1 A =
(1 00 1
)2 B =
(−1 00 −1
)3 C =
(1 00 −1
)4 D =
(1 00 0
)
5 E =
(0 00 −1
)
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Ejemplos
Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:
1 A =
(1 00 1
)2 B =
(−1 00 −1
)3 C =
(1 00 −1
)4 D =
(1 00 0
)5 E =
(0 00 −1
)
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Formas Cuadraticas en R2
Sea A =
(a bc d
)
Escribir su forma cuadratica asociada...
FA(x , y) = ax2 + (b + c)xy + dy2
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Formas Cuadraticas en R2
Sea A =
(a bc d
)Escribir su forma cuadratica asociada...
FA(x , y) = ax2 + (b + c)xy + dy2
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Sea A =
(a bc d
)Escribir su forma cuadratica asociada...
FA(x , y) = ax2 + (b + c)xy + dy2
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Formas Cuadraticas en R2
Teorema
Sea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT
2 , entonces FA = FB.
Demostracion en la pizarra...
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Formas Cuadraticas en R2
Teorema
Sea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT
2 , entonces FA = FB.
Demostracion en la pizarra...
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Formas Cuadraticas en R2
TeoremaSea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT
2 , entonces FA = FB.
Demostracion en la pizarra...
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TeoremaSea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT
2 , entonces FA = FB.
Demostracion en la pizarra...
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Ejemplos
Escribir en forma matricial:
1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2
2 + x2x3 + 2x33
2 x2 − 4xy + 3y2
3 −5x2 + 2xy − 5y2
4 −5x2 − 2xy + 5y2
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Ejemplos
Escribir en forma matricial:
1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2
2 + x2x3 + 2x33
2 x2 − 4xy + 3y2
3 −5x2 + 2xy − 5y2
4 −5x2 − 2xy + 5y2
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Ejemplos
Escribir en forma matricial:
1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2
2 + x2x3 + 2x33
2 x2 − 4xy + 3y2
3 −5x2 + 2xy − 5y2
4 −5x2 − 2xy + 5y2
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Ejemplos
Escribir en forma matricial:
1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2
2 + x2x3 + 2x33
2 x2 − 4xy + 3y2
3 −5x2 + 2xy − 5y2
4 −5x2 − 2xy + 5y2
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Formas Cuadraticas
Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
Teorema
Sea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Formas Cuadraticas
Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
Teorema
Sea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Formas Cuadraticas
Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.
Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .
La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.
Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:
TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:
FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑
i=1
λiy2i
donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT
2 .
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Formas Cuadraticas
Observacion: Haciendo uso de la forma canonica es facilanalizar si es definida positiva, negativa, indefinida etc.
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Ecuacion Cuadratica
Definicion
Una Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
), K = (de)
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Ecuacion Cuadratica
Definicion
Una Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
), K = (de)
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Ecuacion Cuadratica
DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
), K = (de)
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DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
), K = (de)
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Ecuacion Cuadratica
DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.
En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
), K = (de)
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DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
)
, X =
(xy
), K = (de)
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Ecuacion Cuadratica
DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
)
, K = (de)
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Ecuacion Cuadratica
DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:
ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0
donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:
X T AX + KX + f = 0
donde: A =
(a bb c
), X =
(xy
), K = (de)
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento
1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento
1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento
1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.
2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 1
4 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)
5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistemauv .
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Secciones Conicas
Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .
Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los
~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.
3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(
xy
)= V
(uv
)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema
uv .Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
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Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6
−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4
−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 4
2x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0
x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 0
5x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 9
9x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
Veronica Briceno V. Formas Cuaticas
Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 5
3x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
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Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 0
2x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
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Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.
x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14
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Por otra parte
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Por otra parte
Observamos que X ′Y ′ son los nuevos ejes verifican:X ′ = rcos(θ)Y ′ = rsen(θ)Formulas de Rotacion de Ejes:
X ′ = Xcos(θ)− Ysen(θ)
Y ′ = Xsen(θ) + Ycos(θ)
X = X ′cos(θ) + Y ′sen(θ)
Y = −X ′sen(θ) + Y ′cos(θ)
En forma matrcial se escribe:
X = VX ′
donde: X =
(xy
); X ′ =
(x ′
y ′
); V =
(cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
)Evidentemente, |V | = 1
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