Post on 18-Feb-2017
Trabajo Practico Nº 5 Análisis Combinatorio
1) Con las letras de la palabra MESA, forme todas las palabras posibles con o sin sentido sin repetir letras, calculando previamente su número.
2) ¿ De cuántas maneras distintas pueden salir alineados al campo de juego, los jugadores titulares de un equipo de fútbol ?. De cuántas maneras distintas pueden hacerlo si el arquero debe ocupar siempre la primera posición ?.
3) Un grupo musical va a grabar un compact que contiene 7 temas ; ¿ De cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ? Si el compact requiere que dos temas en particular no se escuchen en forma consecutiva, ¿ de cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ?
4) Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Combinatoria y 2 de Algebra. ¿ De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva ?
6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?.
5) Un señor olvidó la combinación del candado que cierra su maletín y que consiste en cinco ruedas contiguas con los dígitos de 1 a 6 cada rueda. En el peor de los casos, ¿ cuántos intentos tendrá que hacer antes de poder abrirlo ?
7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. ¿ Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse ?. ¿ Cuántos son pares ?. ¿ Cuántos terminan en 32 ?. Cuántos son divisibles por 5 ?.
8) Con 22 consonantes y 5 vocales :a) ¿ Cuántas palabras distintas con o sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) se pueden formar ? b) ¿ En cuántas de las palabras del ítem a) la letra central es una vocal ?c) ¿ Cuántas de las palabras del ítem a) se forman con 3 consonantes y 2 vocales ?
9) En un curso de 42 estudiantes de Lic. en Sistemas, se desea elegir 3 alumnos para formar una Comisión.
a ) De cuántas maneras se puede elegir si los representantes tienen iguales atribuciones ?.b) ¿ De cuántas maneras se puede elegir si los representante tienen diferentes atribuciones ?.
10) Se tienen 10 puntos a, b, c, . . . . , j ; pertenecientes a un plano , de los cuales no hay 3 alineados.a) ¿ Cuántas rectas determinan esos puntos ?b) ¿ Cuántas de esas rectas pasan por el punto a ?c) ¿ Cuántos triángulos determinan esos puntos ?d) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un vértice en a ?e) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un lado en ab ?
11) Entre 12 hombres y 8 mujeres debe elegirse una delegación de 5 personas. a) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación ? b) ¿ De cuántas maneras se puede formar si dos personas determinadas deben estar siempre la delegación?c) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber 3 hombres y 2 mujeres ?d) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y 1 mujer ?e) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación no pueden estar juntas 2 personas enemistadas ?
f) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos o ninguno en la delegación ?
12) Todas las personas que asisten a una fiesta se estrechan la mano. Si se estrecharon la mano en 45 oportunidades ; ¿ cuántas personas asistieron a dicha reunión ?.
13) Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con las letras de las palabras : INDEPENDENCIA ; CATAMARCA ; MONOMIO. (usando todas las letras en cada caso)
14) Con los dígitos 2, 3 y 9 : ¿ Cuántos números mayores que 100 se forman ? ¿ Cuántos son pares ?
15) Determine n N si existe, tal que :
5
15
43)
nna
AAAnnnb 12
123
2
1)
CAnnc 3
12 67)
102
3
3
4) 2
23
2 AA
nnd 564) 21
22
2 CCC
nnne
16) Desarrolle las siguientes potencias aplicando Binomio de Newton :
5)3() xa43 )
1()
xxb
17) Hallar si existe :
a) el undécimo término de sin efectuar el desarrollo.
b) el ó los términos centrales de
c) el coeficiente de x32 en
d) el término de grado 7 en
e) el término que contiene a-35 en
152 )2( xx 9)23( yx
15
34 1
xx
732/1 )( xx 25
23 3
aa
18) En el desarrollo ordenado del binomio , los términos T10 y T15son equidistantes de los extremos. Hallar n.
nax )(
PermutacionesSi tres alumnos deben exponer en una clase especial, y desean analizar todas las posibilidades del orden de exposición que tienen . . . .
Es simple advertir que una alternativa es . . . . . Primero expone Pablo (que suele ser muy convincente)
Pablo
luego expone Matías, (que sabe mucho , pero no convence)
Matíasy por último Julio, (que es algo desordenado)
JulioUna alternativa diferente será si Julio toma
el lugar de Matías y éste el de Julio
Pablo MatíasJulio
Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio Pablo MatíasJulio
4
1-2-3
1-2
3 4
Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones,
tenemos otra alternativa
PabloMatíasJulio
Luego es Matías el que toma el primer turno
PabloMatías Julio
Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el
segundo y el tercer expositor PabloMatías Julio
Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes
en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . .
la cantidad de funciones inyectivas posibles, entre el conjunto de personas y los lugares que pueden ocupar
Que se encuentra con la expresión Pn = n!
1-2
3 4
4
1-2-3
La función factorial n! se define:de N0 N
)()1()1(
1)1(
1)0(
)(
hfhhf
f
f
nf
es decir: n! es igual al producto de los n primeros números naturales
n! = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . 3 2 1
Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos . . .
P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6
1 2 3 4 5 6
Pablo Pablo Julio Julio Matías Matías
Matías Julio Pablo Matías Julio Pablo
Julio Matías Matías Pablo Pablo Julio
Los ordenamientos posibles son
1-2
3 4
4
1-2-3
1) Calculamos previamente el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras
Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro
posiciones diferentes
P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24
MESA EMSA SMEA AMES
MEAS EMAS SMAE AMSE
MAES ESMA SEMA AEMS
MASE ESAM SEAM AESM
MSEA EAMS SAME ASEM
MSAE EASM SAEM ASME2) Si son jugadores de un equipo de fútbol son once jugadores para once posiciones
P11 = 11! = 11 10 9 . . . . . . . 3 2 1 = 39.916.800si el arquero ocupa siempre
la primera posición
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores)
P10 = 10 ! = 10 9 8 . . . . . . . 3 2 1 = 3.628.800
1A
3) Se deben ordenar 7 temas para un compact
P7 = 7 ! = 7 6 5 . . . . . . . 3 2 1 = 5.040
si dos temas no se deben escuchar en forma consecutiva . . .
vamos a buscar el número de situaciones en que aparecen dos temas en particular (por ejemplo el 2 y el 3) juntos
Un ordenamiento será : 1 2 3 4 5 6 7 si 2 y 3 deben estar juntos
otro ordenamiento puede ser . . . 1 2 34 5 6 7
observando convenientemente advertimos que estamos ordenando 6 temas en 6 lugares (el 2 y 3 consideramos un solo tema) P6 = 6 ! = 720
Y debemos considerar también cuando 1 3 24 5 6 7
Aparece primero el 3 y luego el 2 (los temas aparecen juntos)
nuevamente . . . P6 = 6 ! = 720
entonces dos temas determinados no aparecen juntos en
P7 – 2 P6 = 7 ! – 2 6 ! = 5.040 – 2 720 = 3.600
el total de ordenamientos posibles es
4) Cada asignatura puede ocupar una posición, las posibilidades son
G A C
P3 = 3 ! = 6
Pero el orden de
los problemas de cada materia también pueden
cambiarse
G
1
2
3
1
3
2
2
1
3
2
3
1
3
1
2
3
2
1
C
A
G C A
A G C
A C G
C A G
C G
1
2
3
4
1
2
4
3
1
3
2
4
1
3
4
2
1
4
2
3
1
4
3
2
2
1
3
4
2
1
4
3
2
3
1
4
2
3
4
1
2
4
1
3
2
4
3
1
3
1
2
4
3
1
4
2
3
2
1
4
3
2
4
1
3
4
1
2
3
4
2
1
4
1
2
3
4
1
3
2
4
2
1
3
4
2
3
1
4
3
1
2
4
3
2
1
A1
2
2
1
entonces la cantidad total de posibles temas es :
P3 ( P3 P4 P2 ) = 3 ! ( 3! 4! 2! ) = 6 6 24 2 = 1.728
5) Supongamos que el maletín tenga una sola rueda de 6 dígitos
Las posibilidades serán que se abra con 1, 2, 3, 4, 5, ó 6
Lo que significa que en el peor de los casos se deberá hacer 6 intentos
Pero si el maletín tuviera 2 ruedas de 6 dígitos
le corresponden 6 dígitos de la segunda rueda
2
1
2
3
4
5
6
habrán entonces 6 nuevas alternativas por cada
dígito de la primera rueda
Las posibilidades con 2 ruedas son 6 x 6 = 36
Pero el maletín tiene 3 ruedas, entonces se agregan 6 alternativas más a cada una de las 36 posibilidades anteriores
Para tres ruedas son 6 x 6 x 6 = 216
Generalizando, podemos plantear que para n ruedas el número de intentos será : 6 n
a cada dígito de la primera rueda
En este caso, con n = 5 65 = 7.776
13456
Permutaciones CircularesSi debo ordenar cuatro amigos en fila sabemos que la cantidad de
alternativas está dada por la permutación de 4 elementos
P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 formas a b c d b c d a
c d a b d a b cEntre las que se encuentran
las siguientes . . .
y son formas diferentes
Pero, si los amigos estuvieran alrededor de un círculo en vez
de estar alineados . . .
dc
b
aa
d
c
bb
a
d
cc
b
a
d
Lo que antes eran 4 configuraciones diferentes,
ahora no se pueden diferenciarEn todos los casos a la izquierda de a está d y
a la derecha b . . .
Las cuatro ordenaciones deben ser consideradas
la misma ordenación
La permutación circular de m elementos se resuelve . . .
m
PP m
c,m )!m(P )m( 11
6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?.
Puede que Ud. esté pensando en la permutación de cuatro elementos . . . .
y esto sería correcto si los amigos juegan al truco en fila india
A B C D
Pero todos sabemos que al truco se juega en pareja y
alrededor de una mesaA
C
donde . . .
es lo mismo que . . .
D
A
A y C siguen siendo compañeros
B a la izquierda y D a la derecha de A
Se trata entonces de la permutación circular de 4
elementos
que se resuelve . . .
c,P4 612314 )!(
VARIACION ó ARREGLOSi queremos formar números de dos cifras con los dígitos 1, 2 y 3
Resulta que debemos tomar dos de los elementos (dígitos) y
formar un número de dos cifras
Por ejemplo, si tomamos los dígitos 1 y 2 formamos el 12
El mismo 12, con las cifras invertidas forma otro número de dos cifras 21
también 13 y 31 . . . . . . . finalmente 23 y 32
Esta operación viene dada por la expresión:)!nm(
!mAV m
nn,m
donde m = 3 y n = 2 61
6
23
332
)!(
!A
observe que con solo cambiar el orden de los dígitos, se considera un caso diferente; aunque no se haya cambiado alguno
de los dígitos
3 : cantidad total de elementos que disponemos
2 : cantidad de elementos que tomamos para formar cada arreglo
Se lee “arreglo de m elementos tomados de a n”
7
8-9-10
8 a
9
7
10
8 b
7) Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras
i) debemos resolver
!
!
)!(
!A
2
2345
35
55
3
Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par parcifra
2cifra
1
Asignamos el lugar de la cifra par al 2
2cifra 2
cifra 1y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles
12!2
!234
)!24(
!442
A
pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4
4cifra 2
cifra 1
ii) Los números pares son: 241222 42 A
iii) Si los números deben terminar en 3223cifra
32
23
13
331
!
!
)!(
!A
iv) Si debe ser múltiplo de 5, debe terminar en 5
5cifra 2
cifra 1
122
234
24
442
!
!
)!(
!A
60
8 a) Con 22 consonantes y 5 vocales se pueden formar palabras con ó sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras)
Por ejemplo la palabra
L U C H A Si se cambia el orden de sus letras resulta otra
palabra distintaLUC H A
sin haber cambiado ninguna de sus letras (elementos)Debe aplicarse
VARIACIÓN O ARREGLO
Dispongo de 22 c + 5 v para formar las palabras, 27 elementos en total
m
nA
A =27
Para formar palabras de 5 letras (elementos)
5
)!(
!
527
27
)!nm(
!m
Esto se puede resolver directamente con calculadora ó simplificando previamente
!
!
22
27
!
!
22
2223242526279.687.600 palabras
8 b
8 b) Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal
Podemos pensar que la palabra será:
Si el lugar central debe ocupar una vocal (por
ejemplo la A)
A
Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro)
La operación que resuelve esto es:
A =26
4
)!(
!
426
26
!
!
22
26
!
!
22
2223242526 358.800 palabras
Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas
Entonces a 26
4A Lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser
AEIOU
)!(
!A
426
2655 26
4
5 x 358.800 = 1.794.000 palabras
COMBINACIONSi tenemos una situación donde nos interesa saber las
alternativas posibles cuando es necesario que cambie un elemento al menos (no nos interesa el orden en que se
presenten los elementos)
Tenemos una combinación, que se resuelve con la expresión )!nm(!n
!mC m
n
Si tenemos Jamón, queso y lechuga y queremos saber cuántos tipos de sandwich podemos preparar usando dos de los alimentos mencionados
un sandwich hecho de jamón y queso será lo mismo que uno hecho de queso y jamón
Una vez elegidos dos alimentos cualesquiera, es necesario cambiar uno de ellos al menos para cambiar el sabor del sandwich
Este es un caso de combinación, que se resuelve:
)!(!
!C
232
332
!!
!
12
233
11-12
10 13
11 a
12 c
10
13
11 b-c
11 d-e 12 a-b
12 d 12 e
12 f
9) De 42 estudiantes; debo tomar 3; pero no hay diferencia de posiciones ni de “cargos” entre los tres, en la comisión son todos “iguales”
Es un caso de combinación)!(!
!C
3423
42423
!
!
39123
394041422014
11.480 formas
Que tienen iguales atribuciones significa
que todos pueden cumplir el mismo rolPero . . .
Juan prepara las diapositivas
María dá la charla de introducción
Pablo expone
Será diferente si . . .
María prepara las diapositivas
Pablo dá la charla de introducción
Juan expone;
Se aprecia que: aunque los elementos seleccionados (Juan, Pablo y María) sean los mismos, los equipos 1 y 2 serán diferentes, por el rol que desempeñan sus
integrantes. Ahora nos interesa el orden de los elementos
esto se resuelve con variación ó
arreglo
!
!
!
!
)!(
!A
39
39404142
39
42
342
42423
= 68.880 formas
Arreglo Combinación
10) Si tenemos 10 puntos en un plano de los cuales no hay 3 alineados
Sabemos que dos puntos cualesquiera determinan una recta
)!(!
!
2102
10
!!
!
82
89105
45
ac cf ch ce
bi df dj eh
Pero la recta ac es la misma que ca
la recta bi es la misma que ib
Es necesario que un elemento (punto) sea diferente para que se trate de una recta diferente
La cantidad de elementos que disponemospara formar rectas son 10 puntos
son necesarios 2 puntos para unirlos (sin importar el orden ) y así formar la recta
entonces . . .
por ejemplo
y así sucesivamente . . .
10
2C
11 b-c 11 d-e
10 b) Para saber cuántas de las 45 rectas pasan por el punto a, pensemos que disponemos de 10 puntos
b, c; d; . . . h; i; j En principio tengo 10 elementos para 2 lugares –recta- sin importar el orden
Si uno de los lugares ocupa el punto aaMe quedan ahora 9 elementos
para el lugar que resta
!
!
)!(!
!
81
89
191
911 c) tres puntos no alineados pueden formar un triángulo
Podemos distinguir entre otros, el
triángulo acf;
el triángulo cfi
; etc.
Entonces corresponderá tomar los 10 puntos de tres en tres
recordando que cfi
= fci
= icf
etc.
!
!
)!(!
!
76
78910
3103
103
2
5
120 triángulos
9
1C 9 rectas
10
3C
11 d-e
d) Para saber cuántos triángulos tienen vértice en a :
En principio tengo 10 elementos (puntos) para 3 lugares (vértices del triángulo)
Si el elemento a debe estar siempre ocupando un lugar
a
porque es un vértice de cualquiera de los triángulos que busco
Me quedan 9 elementos (puntos) para ubicar en las dos posiciones restantes que son 2 (vértices)
!!
!
)!(!
!
72
789
292
94
36 triángulos tienen vértice en a
e) Si los triángulos deben tener un lado (ab) común, significa que de los 10 puntos
dos puntos ya están ubicados
a b Me quedan entonces 8 elementos (puntos) para ocupar
un lugar (vértice)
!
!
)!(!
!
71
78
181
88 triángulos
9
2C
8
1C
11 a) Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden)
Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .
C
de 20 personas (total de elementos)
tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible)
)!(!
!
5205
20
!!
!
155
20
!
!
1512345
1516171819203
15.504 maneras distintas
12 b) Si dos personas deben estar siempre en la misma delegación
de los 5 lugares que dispongo
dos ya están ocupados
supongamos . . .
persona aapersona b
b
La operación es la misma . . .
C
pero del total de 20 personas descuento 2 que ya están ubicadas porque deben estar siempre juntas
y me quedan 3 lugares para las 18 personas restantes
183
)!(!
!
3183
18
!
!
15123
151617183
816 formas si dos personas deben estar juntas
205
12 c 12 d 12 e 12 f
11 c) Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres
Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con los 12 hombres disponibles tomados de a 3
123C
)!(!
!
3123
12
!
!
9123
91011122
220 delegaciones de tres hombres
Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8
mujeres disponibles tomadas de a 2
82C
)!(!
!
282
8
!
!
612
6784
= 28 delegaciones de dos mujeres
Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . .
para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres
como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . .
las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . . .
8
2123 CC 220 28 = 6.160 formas de componer
la delegación solicitada
12 d 12 e 12 f
11 d) si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y una mujer, analizamos las siguientes alternativas . . .
De los cinco lugares disponiblesh h
Tres están ocupados por hombresh
y quedan dos lugares para mujeres
m m
la cantidad de delegaciones posibles con esta configuración ya hemos visto en el
punto anterior8
2123 CC 220 28 = 6.160
Pero también puede suceder que . . . h h h m
De los cinco lugares disponibles
cuarto están ocupados por hombres
y solo uno por mujer
h
lo que resulta . . . 8
1124 CC
)!(!
!
)!(!
!
181
8
4124
12
!
!
!
!
71
78
81234
891011125
495 8 = 3.960No hay otra alternativa que
verifique la condición, porque si hay cinco hombres, no hay
mujeres; y si hay tres o mas mujeres, queda lugar para dos
hombres o menos
El resultado es la suma de las dos posibilidades analizadas
8
2123 CC
81
124 CC 10.120 formas
12 e 12 f
11 e) si dos personas enemistadas no deben estar juntas en la delegación
Supongamos que los enemistados son a y b
La cantidad de delegaciones en las que a y b están juntos son . .
a b
183C
)!(!
!
3183
18
!
!
15123
151617183
816
Conociendo la cantidad total de delegaciones que se pueden formar (de 12a)
y la cantidad de delegaciones en las que dos personas están juntas
Las delegaciones en las que esas dos personas no están juntas, será . . .
183
205 CC 15.504 – 816 = 14.688 formas
Otra manera de calcular lo mismo es mediante la operación
184
184
185 CCC 8.568 + 3.060 + 3.060 = 14.688 formas
justifique Ud. el procedimiento . . .
12 f
11 f) Si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos ó ninguno . . .
Tenemos dos alternativas: la primera es que estén juntos
Así de 20 personas (12 H y 8 M) quedan 18 posibles (porque 2 ya están ubicados) para 3 lugares de los 5 iniciales
183C
)!(!
!
3183
18
!
!
15123
151617183
816La otra alternativa es que
no estén ninguno de los dos
En esa situación tenemos 18 personas para cubrir los cinco lugares, porque no están ninguno de los dos
185C
)!(!
!
5185
18
!
!
1312345
1314151617188.568
3 4 3
El resultado está dado por la suma de las cantidades de ambas posibilidades
185
183 CC 816 + 8.568 = 9.384 formas
12) Todas las personas se estrechan la mano una vez
Supongamos que sean tres personas: A , B y C
A B A C B C
se produjeron tres saludos observe Ud. Que para tener un “saludo diferente”, necesitamos que se salude al menos una persona diferente
Entonces se trata de una combinación . . .CPero como no sabemos de cuántas personas,
consideramos esa cantidad igual a m
y como el saludo se establece entre dos personas, a las m personas las tomamos de 2 en 2
m
En total fueron 45 saludos
45
resolvemos . . .45
22
)!m(!
!m45
22
21
)!m(!
)!m()m(m
2451 )m(m 902mm 0902
mm
buscamos m aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado
2
mC2
0902mm
12
901411 2
21)()(
m
2
3601121m
2
3611
2
191
2
20
2
191 10
2
18
2
191 - 9
m1 = 10 m2 = - 9
Por ser – 9 un número negativo, adoptamos como solución única m = 10
Verificamos . . .
102C
)!(!
!
2102
10
!!
!
82
89105
45
Permutaciones con repeticiónSi tenemos solo dos símbolos ( 0 y 1 )
Podremos emitir las señales 0 1 1 0 si los símbolos no pueden repetirse
La cantidad de señales posibles se calcula mediante 2122 P si no debemos repetir símbolos . .
Pero si podemos repetir símbolos; con dos ceros y dos
unos 0 0 1 1 0 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1
El conjunto de símbolos será { 0, 0, 1, 1 }
y las señales posibles . . .
La cantidad de señales posibles cuando hay símbolos
repetidos se calcula conPermutaciones con repetición
224
,P
Permutación de cuatro elementos, con dos
elementos que se repiten dos veces cada uno
Con dos elementos que se repiten dos veces cada uno
( 0 y 1 )
!!
!
22
4
!!
!
22
2342
para emitir señales de 2 símbolos diferentes
1 0 1 01 1 0 0
6
Generalizando
...,,mP !!....!!
!m
Sabe Ud. que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc.
Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos) ese byte con sus 8
símbolos emitirá señales como . .
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0
etc. etc. . .
Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos
¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ?
En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 }
conjunto de 8 elementos,
de los cuales uno se repite 5 veces;
y el otro se repite 3 veces
358
,P
!!
!
35
8
1235
5678
!
!
358
,P 56Señales diferentes se pueden emitir
desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos
y la operación que resuelve . . .
13 i) La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras
De las cuales I se repite 2 veces
N se repite 3 veces
D se repite 2 veces
E se repite 3 veces
Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez
13P 23, 2, 3,
!!!!
!
3232
13
1231212312
12345678910111213 43.243.200 palabras
i i ) La palabra C A T A M A R C A tiene 9 letras De las cuales
C se repite 2 veces A se repite 4 veces
9P2 4,
!!
!
42
9
!
!
412
456789 7.560 palabras4
i i i ) La palabra M O N O M I O tiene 7 letras De las cuales
M se repite 2 veces O se repite 3 veces
7P2 3,
!!
!
32
7
!
!
312
34567 420 palabras
3
Arreglo con RepeticiónDado un conjunto de dos elementos {a, b} puedo formar cadenas
de tres elementosdonde al menos un elemento se repite
a a a a a b a b aa b b b a a b b a b a bb b b
Se trata de un Arreglo de 2 elementos,
tomados de tres en tres, con repetición
2A3 r,
823
Dado un conjunto de tres elementos {a, b, c} también puedo formar cadenas de dos elementosincluyendo aquellas donde los elementos se repiten
a a a b b bb a c a c c b ca c
Se trata de un Arreglo de 3 elementos,
tomados de dos en dos, con repetición3
A2 r,932
c b
Generalizando, Arreglo de m elementos tomados de n en n,
con repetición; se calcula con . . .
mAn r,
nm
Ahora podemos volver sobre el problema del total de información que se almacena en 1 byte . . .
un bit entrega señales bi-estables con los elementos son { 0, 1 }
Pero, en 1 byte hay 8 bit, es decir que las cadenas que se forman en un byte están conformadas por 8 señales, que pueden ser ceros ó unos
Para calcular cuántas señales diferentes puedo almacenar en 1 byte, debo plantear un Arreglo
2A8 r,
25628
de dos elementos
tomados de ocho en ocho
con repetición
señales diferentes
14) Con los dígitos 2, 3 y 9 se puede formar números
De los cuales serán mayores que 100 solo aquellos números que tengan tres cifras
33 r,A 2733
Son pares los números terminados en cifra par
en este caso, la única cifra par es el 2
2quedan entonces dos lugares, pero los elementos de que disponemos para esos dos lugares siguen siendo 3
recuerde que hay repetición de elementos; y los resolvemos con . . .
32 r,A 932
2
efectivamente, esos números son . . .
2 2
2 2 2
2 2 2 3 2 9
3 2 3 3 3 9
2 2 29 2 9 3 9 9
5
15
43)
nna
]!5)1[(!5
)!1(5
)!4(!4
!3
n
n
n
n
desarrollamos las expresiones factoriales hasta que queden en condiciones de poder simplificarse
)!(!
)!(
)!()()(!
)!(
645
15
6544
13
n
n
nnn
nn Haciendo pasajes de divisores como factores y viceversa
)!(!
)!(
)!()()(!
)!(
645
65
1544
13
n
n
nnn
nn simplificando los factores que son idénticos en el numerador
y el denominador
!)()(! 4
1
544
3
nn
n se simplifica 4! ; se resuelve el producto de los binomios
12054
32
)( nnn
nhaciendo pasajes de términos
)( 2093 2 nnn finalmente 032092 nnn
ó bien 020122 nn
15)
16 b 16 c-d 16 e
Resolvemos ahora 020122 nn
como ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0
con la fórmula a
acbbx
2
42
21
si a = 1 b = -12 y c = 20
a
acbbx
2
42
21
12
20141212 2)()(
2
8014412
2
812
2
6412 2
201 x 10
2
42 x 2
310 21 xx
son soluciones de la ecuación
020122 nn
adoptamos como solución de
5
15
43
nnn = 10
porque n = 2 es una solución absurda, ya que no es posible hallar
5
125
4
23
16 b 16 c-d 16 e
Verificamos la solución n = 10
5
15
43
nn
5
1105
4
103
)!(!
!
)!(!
!
595
95
4104
103
!!
!
!!
!
45
95
564
9103
!!
!
!
!!
!!
!
!
!!
45
95
9
45
564
9103
9
45
56
103
Multiplicamos ambos miembros por !
!!
9
45
y simplificamos
55
queda verificado el resultado
16 b 16 c-d 16 e
AAAnnnb 12
123
2
1)
]!)[(
)!(
]!)[(
)!(
)!(
!
21
1
21
1
32
1
n
n
n
n
n
n
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(
!n
3
1
3
1
32
1
Multiplicamos por 2 ambos miembros
finalmente
16 c-d 16 e
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(
!n
3
12
3
12
3
Ahora multiplicamos ambos miembros por (n – 3 )!
)!n(
)!n()!n(
)!n(
)!n()!n(
)!n(
)!n(!n
3
312
3
312
3
3
simplificamos y obtenemos
)!n()!n(!n 1212 que se puede
escribir)!n()!n()!n(n 12121
Dividimos ambos miembros por (n - 1)!
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(
)!n(n
1
12
1
12
1
1
y simplificamos
22 n 4n
Verificamos la solución n = 4
16 c-d 16 e
AAA nnn 12
123
2
1 AAA 142
142
43
2
1
)!(
!
)!(
!
)!(
!
23
3
23
3
34
4
2
1
23232
1234
66
queda verificado el resultado
CAnnc 3
12 67)
)!(!
!
]!)[(
)!(
336
21
17
n
n
n
n
desarrollamos las factoriales y resolvemos según convenga )!(
)!(
)!(
)!(
3123
16
3
17
n
nn
n
n
hacemos pasajes factores como divisores y viceversa )!(
)!(
)!(
)!(
3123
36
1
17
n
nn
n
ny simplificamos
entonces n7 luego n = 7
102
3
3
4) 2
23
2 AA
nnd 1022
2
2
3
23
3
3
4
]!)[(
)!(
]!)[(
)!(
n
n
n
n
resolvemos 102
2
3
1
3
3
4
!
)!(
)!(
)!(
n
n
n
n desarrollamos convenientemente las factoriales y simplificamos
1012
2
3
1
123
3
4
!
!))((
)!(
)!)()((
n
nnn
n
nnn
16 e
te queda la tarea de verificar el resultado
Quedamos con 10122
323
3
4 ))(())(( nnnn
Sacamos factor común 1012
33
3
42
)()()( nnn
Resolvemos el corchete
Y finalmente 030132 nnEn la ecuación de 2º grado
a = -1 b = 13 c = -30
102
3
2
3
3
12
3
42
nnn )( 10
2
5
62
nn )(
efectuamos el producto del 1er miembro 10
2
10
6
2
2
5
6
2
nnn
1056
13
6
2
nn
Para resolver la ecuación de 2º grado previamente multiplicamos
todo por (6)
106566
136
6
6 2
nn simplificamos
)(
)()(
12
30141313 2
21
x
2
49133
2
7131
x
102
7132
x
Las soluciones posibles son
n = 3 n = 1016 e
Verificamos para n = 3 102
3
3
4 22
32 AA nn
102
3
3
4 232
332 AA 10
2
3
3
4 52
62 AA
1025
5
2
3
26
6
3
4
)!(
!
)!(
!10
3
5
2
3
4
56
3
4
!
!
!
!
103
345
2
3
4
456
3
4
!
!
!
!2 2
103040
Para n = 10 102
3
3
4 2102
3102 AA 10
2
3
3
4 122
132 AA
10212
12
2
3
213
13
3
4
)!(
!
)!(
!10
10
101112
2
3
11
111213
3
4
!
!
!
!4 6
1011634134 10198208
queda verificado el resultado n = 3
queda verificado el resultado n = 10
simplificamos
16 e
564) 21
22
2 CCC
nnne
5622212
1
222
24
)!(!
!
]!)[(!
)!(
]!)[(!
)!(
n
n
n
n
n
n
resolvemos . . . 562212
1
2
24
)!(!
!
)!(!
)!(
!!
)!(
n
n
n
n
n
n desarrollamos los factoriales
5622
21
12
11
2
124
)!(!
)!()(
)!(!
)!()(
!!
!)()(
n
nnn
n
nnn
n
nnn simplificamos2
562
1
2
1122
)()())((
nnnnnn
y operamos . . . .
562222
22222
2 nnnn
nnn )( 564422 2 nnnn
finalmente tenemos 56452 2 nn que es 05252 2 nn
Resolvemos 05252 2 nn como una ecuación de 2º grado
Donde a = 2 b = 5 c= -52
22
522455 2
21
)(n
4
44154
215 4
4
161 n
4
13
4
262
n
Descartamos n2 como resultado porque el resultado debe ser entero
y verificamos n = 4
564 42
142
242
CCC 56252
4
252
5
262
64
)!(!
!
)!(!
!
)!(!
!
5622
34
32
345
42
4564
!
!
!
!
!3 2
5661060
queda verificado el resultado n = 4
Binomio de NewtonSabemos que el
cuadrado de un binomio( a + b )2 se desarrolla a2 + 2 a b + b2
y el cubo de un binomio ( a + b )3 se desarrolla a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
generalizando ( a + b )n
nnnnnnnnnn ban
nba
n
nba
nba
nba
nba
1122110
1210)(...)(
0 1 2 1n- n
El desarrollo dela potencia de un binomio se compone de una sucesión de sumas
(sumatoria) donde cada término está compuesto por un número combinatorioque multiplica al primer término del binomio elevado a una potenciay multiplica también al segundo término del binomio elevado a otra potencia
donde el numerador de los números combinatorios se mantiene constantemientras el denominador aumenta desde 0 hasta n
el exponente del primer término en cada sumando se forma con la diferencia entre el numerador y denominador del número combinatorio (va de n a 0)
el exponente del segundo término en cada sumando se forma con el denominador del número combinatorio (va de 0 a n)
17 a
17 b
El desarrollo de la potencia de un binomio se escribe
nnnnnnnnnn ban
nba
n
nba
nba
nba
nba
1122110
1210)(...)(
n
k
kknn bak
nba
0
)(
!!
!
)!(!
!
n
n
n
nn
1000
!!
!
)!(!
!
0n
n
nnn
n
n
n1 1
)!(!
)!(
)!(!
!
11
1
111 n
nn
n
nn
!)!(
)!(
)]!([)!(
!
11
1
111 n
nn
nnn
n
n
nn n
)!(!
)!()(
)!(!
!
22
21
222 n
nnn
n
nn
!)!(
)!()(
)]!([)!(
!
22
21
222 n
nnn
nnn
n
n
n
2
2 nn
2
2 nn
Los números combinatorios equidistantes en el desarrollo del binomio de Newton son iguales
17 a 17 b
5)3() xa
n
k
kknn bak
nba
0
)(
donde a = x ; b = -3 ; n = 5
3352251150055 3
3
53
2
53
1
53
0
53 )()()()()( xxxxx
555445 3
5
53
4
5)()( xx
nos conviene resolver los números combinatorios como
cálculo auxiliar
!
!
)!(!
!
51
5
050
5
0
51
!
!
)!(!
!
41
45
151
5
1
55
!
!
)!(!
!
32
345
252
5
2
5
!!
!
)!(!
!
05
5
555
5
5
51
!!
!
)!(!
!
23
345
353
5
3
5
!!
!
)!(!
!
14
45
454
5
4
5
10 10
5
16)
17 b
reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión
5
0
555 35
33k
kk )(xk
)(x)x(
)()()()( 24311815271091035113 23455 xxxxxx
24340527090153 23455 xxxxxx )(
observe que los números combinatorios equidistantes que conforman el desarrollo de la potencia del binomio son iguales
555445335225115005 35
53
4
53
3
53
2
53
1
53
0
5)(x)(x)(x)(x)(x)(x
17 b
43 )1
()x
xb
n
k
kknn bak
nba
0
)(
2243
1143
0043
43 1
2
41
1
41
0
41
x)x(
x)x(
x)x(
xx
4443
1343 1
4
41
3
4
x)x(
x)x(
nos conviene resolver los números combinatorios como
cálculo auxiliar
donde a = x3 ; b = 1/x ; n = 4
!
!
)!(!
!
41
4
040
4
0
41
!
!
)!(!
!
31
34
141
4
1
44
!!
!
)!(!
!
22
234
242
4
2
4
!!
!
)!(!
!
04
4
444
4
4
41
!!
!
)!(!
!
13
34
343
4
3
4
62
12
4
reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión
4443
3343
2243
1143
0043 1
4
41
3
41
2
41
1
41
0
4
x)x(
x)x(
x)x(
x)x(
x)x(
4
0
434
3 141
k
k
k
xx
kxx )(
4
403
3
313
2
223
1
133
0
043
43 1
11
41
61
41
11
xx
xx
xx
xx
xx
xx
)()()()()(
4
0
3
3
2
69
0
1243 464
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
44812 464 xxxx
8 4
1
1
Término k-ésimo
Si el desarrollo de la potencia de un binomio es
n
k
kknn bak
nba
0
)(
Vemos que en el número combinatorio, para el primer término k = 0; para el segundo término k = 1; para el tercer término k = 2 y así sucesivamente . . .
El desarrollo de la potencia n del binomio siempre tiene n + 1 términos
así)()( 11
1
kkn
k bak
nT
Si n (exponente) es par, n + 1 (cantidad de términos) es impar
entonces el desarrollo tendrá un término central
Si n (exponente) es impar, n + 1 (cantidad de términos) es par
entonces el desarrollo tendrá dos términos centrales
18 c-d 18 e18 a-b
17) a) Para hallar el undécimo término sin efectuar el desarrollo de
152 )2( xx
Aplicamos la fórmula )()( 11
1
kkn
k bak
nT
donde a = 2 x2 ; b = - x ; n = 15 y k = 11
11111115211 2
111
15
)()( )( xxT 10522
10
15)()( xx
101010511 12
101510
15xxT )(
)!(!
!
2032
510
15x
!!
!
Tenga presente que (–x)10 = [(-1)10 x10]
2009696 x.
9)23( yx b) Calcular el o los términos centrales de
Si n = 9 el desarrollo tiene 10 términos, entonces hay 2 términos centrales
hacemos 52
19
términos centrales son el 5º y 6º
908172635445362718099
9
9
8
9
7
9
6
9
5
9
4
9
3
9
2
9
1
9
0
9bababababababababababa )(
comprobamos
2
1n
18 c-d 18 e
Hallamos entonces el 5º y el 6º término para9)23( yx
)()( 11
1
kkn
k bak
nT donde a = 3 x b = -2 y
n = 9 y k = 5
)()( )()( 151595 23
15
9
yxT
45 234
9)()( yx
4455 23494
9yx )(
)!(!
!
45 1624354
9yx
!!
! 45888489 yx.ahora a = 3 x b = -2 yn = 9 y k = 6
)()( )()( 161696 23
16
9
yxT
54 235
9)()( yx
5544 23595
9yx )(
)!(!
!
54 328145
9yx
)(
!!
! 54592362 yx.
17 c) El coeficiente de x32 en el desarrollo de15
34 1
xx
Debe hallarse teniendo en cuenta que el término que contenga x32
(si existe) debe ser de la forma
132115 11
15
kk
k xak
T )()(
aplicando la fórmula del término k-ésimo )()( ))(()()( 1311154 11
15
kkk
k xxk
T
Resolvemos en el término k-ésimo solamente los factores que contienen x
331164 11
15
kkk
k xxk
T )()()( 331464 11
15
kkk xx
k)()(
133464 11
15
kkk xx
k)()(
133464 11
15
kkkx
k)(
Llegamos a una expresión que contiene una potencia de x, en función de k ; como nosotros queremos saber cuál es el término (k) que contiene x32 ;
igualamos el exponente de x a 32 y despejamos k
32767 k k73267 5k
18 d 18 e
17 c) Para verificar hallamos el 5º término del desarrollo de
15
34 1
xx
15315151545 1
15
15
)()()( )( xxT 434114 1
4154
15)()()(
)!(!
!
xx
1244
114
15
xx
!!
! 323651 x.
732/1 )( xx 18 d) Para hallar el término de grado 7 en
Usamos el mismo procedimiento que
en el ejercicio anterior
131721
1
7
kk
k xxk
T )()( / 332
8
1
7
k
k
xxk
entonces, trabajando con los exponentes
72
5133
2433
2
8
kk
kk
k733
2
8
k
k
62
5k 5
12
5
26
k
El problema NO TIENE SOLUCION porque k debe ser un número natural 18 e
17 e) Para hallar el término que contiene a-35 en
25
23 3
aa
1
21253 3
1
25
kk
ka
)a(k
T
y estudiamos en particular los factores
que contienen a
)k(
k)k(
aa
12
1263 3
planteamos . . .
)k(
)k()k(
a
a12
37813
)k()k()k( aa 2237813
)kk()k( a 2237813
3522378 aa )kk(
35580 k
80355 k 235
115
k
La potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado
operamos los exponentes del factor a (producto de potencias de igual base)
igualamos el factor a elevado a la potencia que buscamos ( -35 )
igualamos los exponentes y despejamos k
El término que contiene a-35
es el 23º
Recuerde que k debe ser un número natural menor ó igual que el exponente del binomio
23 < 25 B.C.
18) Si los términos T10 y T15 son equidistantes de los extremos en el desarrollo de (x + a)n
El desarrollo tiene n + 1 términos
T10
hallar n es mucho mas simple de lo que parece
y si T10 y T15 son equidistantes de los extremos
Antes que T10 hay
T9 T8 T2 T1 + + + + + +. . .
9 términos después de T15
. . . +T15
también deben haber 9 términos
T24 T23 T17 T16 + + + +. . .+
podíamos haber planteado: si T10 y T15 son equidistantes de los extremos
10 – 1 = 9 9 términos a la izquierda de T10
15 + 9 = 24 el último término es T24
el desarrollo de cualquier binomio tiene n + 1 términos
n + 1 = 24
entonces . . . n = 23
y para finalizar . . .
te presento alguien que en algún momento puede darte una ayuda importante . . .
Serás lo que debas ser,
sino serás nada. Gral. José de San Martín