Gua N3 Ayudanta Estructuras Algebraicas

1. Sea (G, ) un grupo. Se define el centro de G como Z(G) = {a G | ab = ba, b G}. Demuestreque Z(G) es un subgrupo abeliano de G.

2. Sea (G, ) un grupo y a G. Se define el centralizador de a como C(a) = {b G | a b = b a}.Demuestre que C(a) es un subgrupo de G. Ademas demuestre que:

Z(G) =aG

C(a)

3. Sea (G, ) un grupo y a G. Se define el orden de a como el menor entero positivo n tal que an = e.Sea anota ord(a) = n. En el caso en que ak 6= e, k N entonces a se dice de orden infinito.Demuestre que si at = e con t Z, t 6= 0 entonces ord(a)/t.

4. Sea (G, ) un grupo y a G. Demuestre que si a tiene orden infinito entonces todas las potenciasde a son distintas. Concluya que el subgrupo generado a es de orden infinito.

5. Determine todos los generadores de un grupo cclico infinito.

6. Sea (G, ) un grupo y a G. Demuestre que si a tiene orden n (finito) entonces el subgrupo generado a tiene orden n. Mas aun:

a = {e, a, a2, . . . , an1}

7. Sea (G, ) un grupo y a G con ord(a) = n. Si k N demostrar que ord(ak) = nm.c.d.(n,k)

8. Determine todos los generadores de un grupo cclico finito.

9. Sea G = a un grupo cclico finito de orden n. Demuestre que por cada divisor k de n existe ununico subgrupo H G de orden k.

10. Sea G = a un grupo cclico infinito. Demuestre que la funcion

: Z Gt 7 at

es un isomorfismo.

11. Sea G = a un grupo cclico de orden n (finito). Demuestre que la funcion

: Zn Gt 7 at

es un isomorfismo.

12. Sean = (a1a2 . . . ak), = (b1b2 . . . br) Sn ciclos disjuntos, esto es: ai 6= bj, i, j. Demuestre que y conmutan.

13. Sea = (s1s2 . . . sk) Sn un ciclo. Demuestre que ord() = k.

14. Sea = (s1s2 . . . sk) Sn un ciclo con k impar. Demuestre que 2 tambien es un ciclo.

15. Sea = (s1s2 . . . sk) Sn un ciclo. Demuestre que si k es par entonces es una permutacion impar.Y si k es impar entonces es una permutacion par.