INTEGRALES MULTIPLES

1. Integrales dobles sobre rectàngulos2. Propiedades3. Càlculo4. Teorema de Fubini5. Cambio de variable6. La transformaciòn a coordenadas polares7. Aplicaciones de las integrales dobles

ROSA N. LLANOS VARGAS

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

||P||= máx { diagonales de , i = }Sea ( . Consideremos el prisma que tiene por base el rectángulo y altura f ( ; entonces el volumen del prisma será

(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ¿¿

𝑓 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗¿¿

La suma de Riemann sobre R, es

Si ||P||0 , entonces el volumen del sólido es

Definición . Si la función f es continua sobre un rectángulo R, la integral doble de f sobre R ,es

Si el límite existe. R se llama dominio de integración

En general si D es una región acotada del plano y si f es una funcióncontinua sobre D, entonces la integral doble existe y su valor es el del límite (1).

Teorema. Si f es una función continua sobre la región acotada D del Plano, entonces f es integrable sobre D.

Definición. El volumen del sólido debajo de la superficie S: z = f(x , y)Cuya base es el conjunto acotado D es,

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Si f y g son funciones integrables sobre la región acotada D Linealidad

Monotonía:4. Si f(x,y) g(x , y ) sobre D entonces

Aditividad5. Si D = son acotados, entonces

6. Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces

7. Teorema del valor medio .- Si f : es continua entonces en el punto , tenemos:

donde A(D) es el área de la región D

CÁLCULO DE LAS INTEGRALES DOBLES

INTEGRALES ITERADAS. 1. Si D = [ a , b] x [ c , d ] un rectángulo sobre el cual la función f es continua manteniendo fija la variable x , la función depende de y, e integrando con respecto a y , se tiene

llamada integral iterada de f

Además

=

TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el rectángulo R= [a , b]x[c, d]Entonces

2. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ a, b ] , f es una función continua sobre R.

X

Y

3. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ c , d ] , f es una función continua sobre R.

NOTA- si f(x , y ) = g ( x ) h ( y ) , sobre R= [ a, b ]x [ c ,d ] entonces

CAMBIO DE VARIABLE

Si f es una función continua definida sobre la región acotada S de en R y si

T es una transformación continua definida sobre una región acotada D de

en S; tales que existe T f D S (u, v ) ( x , y) z

T: , f ( x , y ) = f ( x ( u, v) , y ( u ,v ))

De donde,

El determinante de la matriz jacobiana , denotado por |J(u,v)|, es

Entonces

dA = dxdy = |J(u,v)|dudv

De allí que

LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES

T: =

De allí que

Esta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece en el integrando o en los límites de integración.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE

Si f : D es continua sobre la región acotada D.

3. Area de la superficie S : z = f (x,y) ,limitada por la curva C. C es la frontera S. D es la región limitada por la proyección de C sobre el plano XY.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE

4. Masa. Si R es la región del plano ocupada por una lámina cuya densidad en cada punto P(x,y) es Entonces la masa de la lámina es:

5. Centro de masa .

Ejemplos. Dibujar la región de integración y calcular la s integrales dobles siguientes:

1)

En esta integral x varía entre 0 e y , mientras y varía entre 0 y 4π ; es decir 0≤x ≤ y 0≤ y ≤ 4π Y = 4π

x = y Luego, 0 X = -4π

Cambiando el orden de la integración: 0≤x ≤ 4π , x ≤ y ≤ 4π = =

= - ( x – senx ) = - 4

II. Si

a) Graficar la región D b) Calcular como una sola integral

III: Efectuar un cambio de variable para calcular

Sea la transformación T: y

J(u,v) = 2 X+2Y=4

Por otro lado, transformando D, b) x= 0 , y

0 4 xV = -u , u = -2y , luego u ∈ [-4, 0 ]

b) y = 0 , x∈ [0 , 4 ] , entonces v= u , u = x luego u∈ [0, 4 ] Vc) x + 2y = 4 4

Pero 0 ≤ x≤4 , y , x= = v=- u v = u

Entonces 0 ≤ 0 U

= 4(1-cos1)

INTEGRALES TRIPLES SOBRE RECTÁNGULOS

Si f : R IR es una función continua sobre R ⇾ siguiendo el método del cálculo integral, luego de definir una partición sobre cada uno de los intervalos [ a , b ], [ c , d ] , [ u , v ] en m, n y l subintervalos, respectiva-mente, entonces R queda dividido en mnl pequeños paralelepípedos de la forma

B ijk = [ xi-1 , xi ]x[yj-1 , yj ]x[zk-1 , zk ]

Cuyo volumen es Δijk V= Δi x Δj y Δk z

INTEGRAL TRIPLE

INTEGRAL TRIPLE

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE

Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales

Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:

donde Q = .

y se llaman «solapamientos»

dV

CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA

EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS

Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f es integrable, entonces

1. Si R :

La región de integración R ,es proyectada

Sobre el plano XY.

∭𝑅

❑

𝑓 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )𝑑𝑉=∫𝑎

𝑏 ( ∫∅ 1 (𝑥 )

∅ 2 (𝑥 )

( ∫𝛾1 (𝑥 ,𝑦)

𝛾2 (𝑥 ,𝑦)

𝑓 (𝑥 , 𝑦 ,𝑧 )𝑑𝑧)𝑑𝑦 )𝑑𝑥

REGIONES DE INTEGRACIÓN

𝐎𝐓𝐑𝐀𝐒𝐑𝐄𝐆𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒𝐃𝐄𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐂𝐈Ó𝐍

X= f(y,z)Y=f(x,z)

Ejemplo 1

Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces

y =

x

y

y

x

-2

∫0

1

∫0

𝑦

∫0

1− 𝑦2

𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral

00 x y0 z 1 -

Ejemplo 2

TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES

Si suponemos que la región de integración es de la primera forma Q: a

Cambio de Variable

,y)

CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

rcos

rsen

COORDENADAS CILINDRICAS

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS

La integral triple en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas

X=

F(, , )

CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS

DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS

z = 1 -

y + z = 2 , x = 4 -

MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Cambio de Variable

,y)

CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

rcos

rsen

COORDENADAS CILINDRICAS

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

La integral triple en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas

X=

F(, , )

z = 1 -

y + z = 2 , x = 4 -