Post on 26-Jul-2020
Series
Jordi Villanueva
Departament de MatematiquesUniversitat Politecnica de Catalunya
10 de desembre de 2019
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 1 / 67
Induccio IEl metode d’induccio serveix per a demostrar que una propietat P(n),que depen d’un nombre natural n, es certa a tot valor de n ≥ n0.Tıpicament, es te n0 = 1 (si be en alguns casos pot ser n0 = 0, etc.).ExempleProvarem per induccio la seguent propietat, per a tot n ≥ n0 = 1:
P(n) : 13 + 23 + · · ·+ n3 =
(n(n + 1)
2
)2
.
Aixo es: P(n) afirma que la suma dels cubs dels n primers nombresnaturals es un quadrat perfecte: el quadrat del nombre natural n(n+1)
2 .
El metode d’induccio consta de dos passos.Pas 1 Si es vol demostrar que P(n) es certa per a tot n ≥ n0 el primer es
demostrar que P(n) es certa si n = n0.Pas 2 Suposarem P(n) certa per a un valor de n ∈ N arbitrari. Usarem
aquesta suposicio (anomenada la hipotesis d’induccio) perdemostrar que llavors P(n + 1) tambe es certa.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 2 / 67
Induccio II
Exemple
P(n) : 13 + 23 + · · ·+ n3 =
(n(n + 1)
2
)2
, n ≥ n0 = 1.
Pas 1 P(1) certa ⇐⇒ 13?︷︸︸︷=
(1 · (1 + 1)
2
)2
⇐⇒ 1?︷︸︸︷=
(1 · 2
2
)2
= 1.
Pas 2 Suposem P(n) certa per algun valor de n ≥ 1. Concretamentestem suposant que per aquest n es compleix:
P(n) : 13 + 23 + · · ·+ n3 =
(n(n + 1)
2
)2
. (Hipotesis d’induccio)
Ara hem de deduır d’aquesta suposicio que P(n + 1) tambe escerta. Concretament volem veure que llavors:
P(n + 1) : 13 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3?︷︸︸︷=
((n + 1)(n + 2)
2
)2
.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 3 / 67
Induccio III
En efecte:
13 + 23 + · · ·+ n3︸ ︷︷ ︸Hip. Ind.=
(n(n+1)
2
)2
+(n + 1)3 =
(n(n + 1)
2
)2
+ (n + 1)3
= (n + 1)2(
n2
4+ (n + 1)
)=
(n + 1)2
4
(n2 + 4n + 4)
)=
(n + 1)2
4(n + 2)2 =
((n + 1)(n + 2)
2
)2
.
Consequentment, si P(n) certa llavors P(n + 1) tambe es certa.
Per tant: El Principi d’Induccio ens diu que P(n) es certa ∀n ≥ n0 = 1.(Analogmanet, tambe podeu provar:
1+ 2+ · · ·+ n =n(n + 1)
2, 12 + 22 + · · ·+ n2 =
n(n + 1)(2n + 1)6
.)
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 4 / 67
Successions I
Definicio (Successions a la recta real)Una successio en R es una llista ordenada i infinita de numeros reals:a1, a2, a3, . . . , an, . . .. Denotarem aquesta successio mitjancant elsımbol (an)n i direm que an es el seu terme general.
Les dues formes mes comuns de presentar una successio (an)n sensehaver d’escriure els seus “infinits” termes son:
(i) Donar explıcitament el seu terme general. P.ex.: El terme generalde la successio 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . es an = 1/n.
(ii) Definir-la mitjancant recurrencies. P.ex.: Si a1 = 0, llavors larecurrencia an+1 = a2
n + 1 defineix una successio (an)n que te perprimers termes 0, 1, 2, 5, 26, . . ..(En el cas d’una successio definida recurrentment en general noes facil donar una formula pel seu terme general.)
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 5 / 67
Successions II
Exemple (Successio Geometrica, Aritmetica i de Fibonacci)Una successio amb terme general an = arn (resp., an = a + bn )s’anomena geometrica (resp., aritmetica). La recurrencia que ladefineix es an = ran−1 (resp., an = an−1 + b ), mentre que a0 = aes el seu primer terme.La successio de Fibonacci esta definida mitjancant la recurrencia:a1 = 1, a2 = 1, an+1 = an−1 + an, ∀n ≥ 2 .Els seus primers termes son:a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8, a7 = 13, . . ..Se sap que el seu terme general es:
an =1√5
[(1 +√
52
)n
−
(1−√
52
)n],
fet que podem demostrar per induccio.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 6 / 67
Lımit d’una successio I
DefinicioDirem que el lımit de la successio (an)n es L ∈ R si:
limn→∞
an = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N = Nε ∈ N t.q. si n > Nε ⇒ |an − L| < ε.
Aixo es: (an)n tendeix a L quan n tendeix a infinit si tots elstermes de la successio son tan propers a L com volguem d’un enendavant. Concretament, an es a distancia menor que ε de L sin es mes gran que Nε , on Nε es un nombre natural que dependel valor de ε triat i que tendeix a ∞ quan ε→ 0+ .Si una successio (an)n te lımit L ∈ R direm que es convergent.En cas contrari, direm que la successio es divergent. “Divergent”inclou quan limn→∞ an = ±∞ (casos que no estan contemplatsen la defincio de lımit anterior i els hauriem de definir per separat).
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 7 / 67
Lımit d’una successio II
ExempleLa successio de terme genral an = 1/n te limn→∞ 1/n = 0.La successio de terme general an = (−1)n es divergent, ja queels seus termes son de la forma: −1, 1,−1, 1, −1, 1, . . . .La successio geometrica an = arn nomes es convergent quan:
r = 1 , i en aquest cas an = a per a tot n i limn→∞ a = a .|r | < 1 i en aquest cas limn→∞ arn = 0 .
Altres casos:Si r > 1 llavors limn→∞ arn = ±∞ (el signe es el de a ).Si r = −1 es com l’exemple an = (−1)n : ara an = a(−1)n .Si r < −1 llavors limn→∞ |arn| = +∞ , pero sense el valor absolutels termes de an = arn creixen en tamany pero van canviant designe com els de an = (−1)n .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 8 / 67
Teorema (Calcul de lımits per pas a variable contınua)Sigui f (x)una funcio (de variable contınua x ∈ R ), definida almenysper x ≥ 1 , i sigui (an)n la successio de terme general an = f (n) .Llavors, si existeix L := limx→+∞ f (x) es te limn→∞ an = L .
Exemple (I)
• limn→∞(1 + z
n
)n=︸︷︷︸
f (x)=(1+ zx )
x
limx→+∞ f (x) = ez . Cal fer el calcul:
limx→+∞ f (x) = limx→+∞ ex ln(1+z/x) = elimx→+∞ x ln(1+z/x) ,on en la expressio anterior hem permutant lımit i exponencial. Ara:
limx→+∞
x ln(1 + z/x) =∞ · 0 = limx→+∞
ln(1 + z/x)1/x
=00
=︸︷︷︸L’. Hop.
limx→+∞
−z/x2
1+z/x
−1/x2 = limx→+∞
z1 + z/x
= z.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 9 / 67
Exemple (II)
• limn→∞
n2
2n − 1= lim
x→+∞
x2
2x − 1=∞∞
= limx→+∞
2x2x ln 2
=∞∞
= limx→+∞
22x ln2 2
= 0.
Teorema (de l’entrepa per successions)Si (an)n , (bn)n , (cn)n son tals que an ≤ cn ≤ bn per a tot n prou grani limn→∞ an = limn→∞ bn = L ∈ R , aleshores limn→∞ cn = L .
Observacio: Tambe val el “teorema de la torrada”. P. ex.: si an ≤ bnper a tot n prou gran i limn→∞ an = +∞ =⇒ limn→∞ bn = +∞ .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 10 / 67
Definicio (Successions monotones i acotades)
• (an)n es{
monotona creixentmonotona decreixent
}quan
{a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · ·a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · ·
}(aixo es, cada terme es
{major o igualmenor o igual
}que l’anterior).
• (an)n es{
acotada superiormentacotada inferiorment
}quan ∃M ∈ R t.q.
{an ≤ Man ≥ M
}per a tot n ∈ N.
Teorema
Si (an)n es{
monotona creixent i acotada superiormentmonotona decreixent i acotada inferiorment
}llavors
(an)n es convergent i L = limn→∞ an compleix{
L ≤ ML ≥ M
}.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 11 / 67
Exemple successio monotonoa decreixent i acotadainferiorment
Considereu la successio (an)n definida per recurrentment per:a0 = 2, an =
√an−1.
Podem demostrar per induccio que es compleix:1 ≤ · · · < an < an−1 < · · · < a2 < a1 < a0 = 2.
Per tant, (an)n es monotonoa decreixent i acotada inferiormentper M = 1 =⇒ (an)n successio convergent i ∃L = limn→∞ an .A priori, podem dir que 1 = M ≤ L . Pero aquesta desigualtat noimplica necessariament que sigui cert que L = 1 !!!Pero, si prenem lımit quan n→∞ en la recurrencia an =
√an−1
que defineix la successio, i usem L = limn→∞ an = limn→∞ an−1,es te:
L =√
L =⇒ L2 = L =⇒ L ∈ {0,1}.Com que sabem que L ≥ 1 , el lımit ha de ser L = 1 .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 12 / 67
Criteris per a successions I
Mitjana aritmetica: Si limn→∞
an = L , llavors
limn→∞
a1 + a2 + · · ·+ an
n= L .
Mitjana geometrica: Si an > 0 per tot n i limn→∞
an = L , llavors
limn→∞
n√
a1 · a2 · · · an = L .
Quocient-arrel: Si an > 0 per tot n i limn→∞
an+1
an= L , llavors
limn→∞
n√
an = L .
Criteri de Stolz: Si (bn)n es creixent, limn→∞
bn = +∞ i
limn→∞
an+1 − an
bn+1 − bn= L , llavors lim
n→∞
an
bn= L .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 13 / 67
Exemple Criteri de Stolz
Volem calcular:
L = limn→∞
13 + 23 + · · ·+ n3
n4 = limn→∞
an
bn.
Clarament, bn = n4 es creixent i tendeix a +∞ . Per Stolz:
L = limn→∞
an
bn= lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= limn→∞
[12 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3]− [13 + 23 + · · ·+ n3]
(n + 1)4 − n4
= limn→∞
(n + 1)3
(n + 1)4 − n4 = limn→∞
n3 + 3n2 + 3n + 14n3 + 6n2 + 4n + 1
=14.
Exercici: L = limn→∞1k + 2k + · · ·+ nk
nk+1 =1
k + 1.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 14 / 67
Series numeriques
De forma informal, una serie numerica es una suma infinita.
Definicio (Serie numerica)Donada una successio (an)n construım una nova successio (Sn)ndefinida per les sumes parcials de (an)n :
S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, . . .
El terme general de (Sn)n es SN = a1 + a2 + · · ·+ aN =N∑
n=1
an.
Aleshores, si ∃S = limn→∞
Sn , direm que la serie∞∑
n=1
an es convergent i
escriurem∞∑
n=1
an = S com la suma de la serie.
Si (Sn)n es divergent, direm que la serie∑∞
n=1 an es divergent.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 15 / 67
Observacio (Fonamental)
Es condicio necessaria per tal que la serie∞∑
n=1
an pugui ser
convergent que limn→∞
an = 0 .
Si limn→∞
an 6= 0 llavors es segur que la serie∞∑
n=1
an es divergent.
P. ex.:∞∑
n=1
1 i∞∑
n=1
(−1)n son series divergents.
Hi ha pero exemples en els quals limn→∞
an = 0 pero la serie∞∑
n=1
an
es divergent. L’exemple basic es la serie harmonica an =1n
:
limn→∞
1n= 0 (lımit zero)
∞∑n=1
1n= +∞ (serie divergent)
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 16 / 67
Divergencia de la serie harmonica
La serie harmonica∞∑
n=1
1n
es divergent, tot i que el seu terme
general an =1n
tendeix a zero:
∞∑n=1
1n= 1 +
12+
13+
14︸ ︷︷ ︸
≥1/2
+15+
16+
17+
18︸ ︷︷ ︸
≥1/2
+
19+ · · ·+ 1
16︸ ︷︷ ︸≥1/2
+ · · · ≥ 1 +12+
12+
12+ · · · = +∞.
Malgrat sumar infinit, la serie harmonica divergeix molt lentament.Per exemple, els seus 1043 primers termes sumen menys decent. L’ordinador mes rapid existent avui en dia trigaria mes delque ha durat l’univers en sumar aquests 1043 termes.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 17 / 67
Exemple (Serie geometrica de rao r : an = r n )
Si volem que∞∑
n=0
rn sigui convergent cal que |r | < 1 ja que
altrament limn→∞
rn 6= 0 .
Les sumes parcials de la successio an = rn son:
SN =N∑
n=0
rn = 1 + r + r2 + · · ·+ rN =1− rN+1
1− r, si r 6= 1.
Si fem N →∞ en SN obtenim:
∞∑n=0
rn =
1
1− r, si |r | < 1
divergent, si |r | ≥ 1
P. ex.: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·+ 1/2n + · · · = 11− (1/2)
= 2.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 18 / 67
Exemple (Series telescopiques)Son aquelles en que an = bn − bn+1 . Llavors:
SN =N∑
n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ aN−1 + aN
= (b1 −��b2) + (��b2 −��b3) + (��b3 −��b4) + · · ·+ (��bN − bN+1)
= b1 − bN+1.
Per tant, si ∃b = limn→∞
bn , llavors la serie telescopica es convergent i∞∑
n=1
an =∞∑
n=1
(bn − bn+1) = b1 − b.
• Exemple: Si an =1
n(n + 1)=
1n− 1
n + 1= bn − bn+1 on bn = 1
n te
b = limn→∞ bn = 0 i podem sumar∑∞
n=1 an com a serie telescopica:∞∑
n=1
1n(n + 1)
=
(11− 1
2
)+
(12− 1
3
)+
(13− 1
4
)+ · · · = b1 − b = 1.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 19 / 67
Criteris de convergencia per series
Rarament podem donar el valor de la suma d’una serie. En general,ens conformem en dir si la serie es convergent o divergent. La majoriade criteris son per a series de termes positius. Per aixo, el primer quefem es introduır el concepte de serie absolutament convergent.
Definicio (Series absolutament convergents)∑∞n=1 an es absolutament convergent si
∑∞n=1 |an| es convergent.
ProposicioTota serie absolutament convergent es convergent. Aixo es:∑∞
n=1 |an| convergent =⇒∑∞
n=1 an convergent.
Atencio: Hi ha series convergents que no son absolut. convergents.
Exemple (Serie convergent no absolutament convergent)∑∞n=1
(−1)n
n es convergent pero∑∞
n=1
∣∣∣ (−1)n
n
∣∣∣ =∑∞n=11n es divergent.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 20 / 67
Criteri (integral per series)Sigui an = f (n) on f (x) es una funcio contınua, positiva i decreixentper a tot x ≥ 1 . Aleshores:
S =∞∑
n=1
an es convergent ⇐⇒ I =∫ ∞
1f (x)dx es convergent (∗)
A mes, es compleix I ≤ S ≤ a1 + I . (∗∗)Aixı, la convergencia de la serie equival a la d’una integral impropia.(L’equivalencia (∗) tambe val si f (x) decreix d’un x en endavant,pero no pas la desigualtat (∗∗) .)
Exemple (Series p-harmoniques)
La serie p-harmonica S(p) =∑∞
n=11np convergeix ⇐⇒ p > 1 .
En efete, an = 1np = f (n) on f (x) =
1xp contınua, positiva i decreixent.
Llavors, sabem que la integral impropia I(p) =∫∞
1dxxp es convergent
sıı p > 1 i val I(p) = 1p−1 . Aixı, 1
p−1 ≤ S(p) ≤ 1 + 1p−1 = p
p−1 .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 21 / 67
Exemples criteri integral per series positives∞∑
n=2
1n ln n
divergent; S =∞∑
n=2
1n ln2 n
convergent i1
ln 2≤ S ≤ 1
2 ln2 2+
1ln 2
• Considerem f (x) =1
x ln xi g(x) =
1x ln2 x
funcions tals que f (n) i
g(n) defineixen el terme general de cadascuna de les series.• f (x) i g(x) son positives i decreixents per x ≥ 2.• Les seves integrals impropies donen:∫ +∞
2f (x)dx =
∫ +∞
2
dxx ln x
=[
ln(ln x)]x=+∞
x=2 = ln(+∞)− ln(ln 2) = +∞.∫ +∞
2g(x)dx =
∫ +∞
2
dxx ln2 x
=
[− 1
ln x
]x=+∞
x=2=
1ln 2− 1
ln(+∞)=
1ln 2
.
• Pel criteri integral per series es te que∑∞
n=21
n ln n es divergent i queS =
∑∞n=2
1n ln2 n
es convergent. A mes, si I :=∫ +∞
2 g(x)dx = 1ln 2 ,
llavors I ≤ S ≤ f (2) + I (ja que f (2) es el primer terme de la serie).Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 22 / 67
Criteri (de comparacio directa)Siguin (an)n i (bn)n dues successions tals que 0 ≤ an ≤ bn. Llavors:
(i)∑∞
n=1 an divergent =⇒∑∞
n=1 bn divergent.
(ii)∑∞
n=1 bn convergent =⇒∑∞
n=1 an convergent.
Exemple (Criteri de comparacio directa)∑∞n=1
1n+2n es convergent ja que
∑∞n=1
1n+2n ≤
∑∞n=1
12n i la serie
geometrica de rao 12 es convergent.∑∞
n=11
n+√
n es divergent ja que∑∞
n=11
n+√
n ≥∑∞
n=11
2n i la serie
harmonica∑∞
n=11n es divergent.
Aquı usem que:
√n ≤ n =⇒ n +
√n ≤ 2n =⇒ 1
n +√
n≥ 1
2n
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 23 / 67
Criteri (de comparacio per pas al lımit)Siguin (an)n i (bn)n dues successions tals que an, bn > 0 . Llavors:
(i) Si limn→∞
an
bn= L ∈ R \ {0} aleshores:∑∞
n=1 an convergent ⇐⇒∑∞
n=1 bn convergent.
(ii) Si limn→∞
an
bn= 0 aleshores:∑∞
n=1 bn convergent =⇒∑∞
n=1 an convergent
(iii) Si limn→∞
an
bn= +∞ aleshores:∑∞
n=1 bn divergent =⇒∑∞
n=1 an divergent.
La idea practica d’aquest criteri de comparacio es discutir laconvergencia o no de la serie
∑∞n=1 an a partir d’una serie
∑∞n=1 bn
“semblant” pero de la que sabem a priori si es convergent o no.Cas (i) an i bn son “comparables”.Cas (ii) bn es “mes gran” que an .Cas (iii) bn es “mes petita” que an .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 24 / 67
Exemple (Criteri de comparacio per pas al lımit)∑∞n=1
√n+ 3√nn+n2 es comparable a
∑∞n=1
√n
n2 =∑∞
n=11
n3/2 que es
convergent ja que 3/2 > 1 =⇒∑∞
n=1
√n+ 3√nn+n2 es convergent.∑∞
n=1n2n
4n3+1 es comparable a∑∞
n=1n2n
4n3 =∑∞
n=12n
4n2 =∑∞
n=1 bnque es divergent ja que la successio (bn)n no te lımit zero:
limn→∞
bn = limn→∞
2n
4n2 = limx→+∞
2x
4x2 = +∞ (useu L’Hopital 2 cops)
Per tant,∑∞
n=1n2n
4n3+1 es divergent.∑∞n=1
n3
n+2n es comparable a∑∞
n=1n3
2n =∑∞
n=1 bn on aralimn→∞ bn = 0 . . . i que podem dir de
∑∞n=1 bn ?
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 25 / 67
Criteri (del quocient)Suposem que (an)n compleix an 6= 0 per a tot n (pero no cal que ansigui positiva). Llavors:
(i) limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ < 1 =⇒∑∞
n=1 an absolutament convergent i per
tant convergent.
(ii) limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ > 1 =⇒∑∞
n=1 an divergent.
(iii) Si limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = 1 llavors no podem dir res. (Hem d’usar un altre
metode.)
En el criteri del quocient no comparem (an)n amb cap successio.Nomes mirem el lımit del quocient de dos termes consecutius.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 26 / 67
Exemple (Criteri del quocient)∑∞n=1
n3
2n =∑∞
n=1 an es convergent ja que
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
(n+1)3
2n+1
n3
2n
= limn→∞
12
(n + 1
n
)3
=12< 1
∑∞n=1
n!2n =
∑∞n=1 an es divergent ja que
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
(n+1)!2n+1
n!2n
= limn→∞
n + 12
= +∞ > 1
No podem aplicar el criteri del quocient a∑∞
n=11np =
∑∞n=1 an :
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
1(n+1)p
1np
= limn→∞
(n
n + 1
)p
= 1
Pero hem vist “integrant” que es convergent sıı p > 1 .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 27 / 67
Criteri (de l’arrel)
(i) limn→∞
n√|an| < 1 =⇒
∑∞n=1 an absolutament convergent i per
tant convergent.
(ii) limn→∞
n√|an| > 1 =⇒
∑∞n=1 an divergent.
(iii) limn→∞
n√|an| = 1 llavors no podem dir res.
Exemple (Criteri de l’arrel)∑∞n=1
2n
nn =∑∞
n=1 an es convergent ja que
limn→∞
n√|an| = lim
n→∞
2n= 0 < 1
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 28 / 67
Definicio (Series alternades)Son aquelles en que el terme general “alterna” el seu signe:
∞∑n=1
(−1)nan o be∞∑
n=1
(−1)n+1an on an ≥ 0.
Teorema (Criteri de Leibnitz)
Si la serie alternada∑∞
n=1(−1)nan (o be∑∞
n=1(−1)n+1an ) compleix:
limn→∞
an = 0 (lımit zero) i an+1 ≤ an (es decreixent)
llavors es convergent (pero potser no absolutament convergent).A mes, si nomes sumem els seus primers termes, l’error que fem esmes petit que el primer terme que no sumem:
S =∞∑
n=1
(−1)nan =⇒
∣∣∣∣∣S −N∑
n=1
(−1)nan
∣∣∣∣∣ ≤ aN+1.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 29 / 67
Exemple (Criteri de Leibnitz)∑∞n=1
(−1)n+1
n =∑∞
n=1(−1)n+1an , on an = 1n , es convergent pel
criteri de Leibnitz, ja que an es decreixent i te lımit zero.
En canvi,∑∞
n=1(−1)n+1
n no es absolutament convergent ja que∑∞n=1
1n es divergent.
Denotem per S =∑∞
n=1(−1)n+1
n el valor de la suma de la serie.Llavors, si sumem els seus 6 primers termes:
S6 =6∑
n=1
(−1)n+1
n=
11− 1
2+
13− 1
4+
15− 1
6' 0.6167,
l’error que fem es mes petit que a7 : |S − S6| ≤ a7 = 17 ' 0.143 .
De fet, es sap que S = ln(2) ' 0.6931 i per tant l’error real quefem si sumem 6 termes es: |S − S6| ' 0.0764 .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 30 / 67
Comentari (Criteri de Leibnitz)El criteri de Leibnitz no val si la serie te termes positius i negatiuspero no es alternada. P. ex. la serie seguent no es alternada:
∞∑n=1
sin(n)n' 0.8415
1+
0.90932
+01411
3− 0.7567
4− 0.9589
5+ · · ·
El criteri de Leibnitz tampoc val si la serie es alternada pero an noes una successio decreixent. P. ex., la serie seguent es divergent:
11− 1
2+
12− 1
4+
13− 1
8+ · · ·+ 1
n− 1
2n + · · ·
ja que la seva “part positiva” es una serie divergent i la seva “partnegativa” es una serie convergent:
∞∑n=1
1n= +∞,
∞∑n=1
12n = 1
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 31 / 67
Series de potencies
De forma informal, una serie de potencies es una suma infinita depotencies de x o de x − c , depenent de si el punt on esta centradaes c = 0 o c 6= 0 .
Definicio (Serie de potencies)Una serie de potencies centrada en c ∈ R es una serie de la forma
∞∑n=0
an(x − c)n = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + · · ·+ an(x − c)n + · · ·
on els coeficients {a0,a1, . . . ,an, . . .} son nombres reals.En el cas particular en que c = 0 tenim
∞∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn + · · ·
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 32 / 67
Teorema (Convergencia d’una serie de potencies)Donada la serie de potencies
∑∞n=0 an(x − c)n llavors existeix un valor
R ∈ [0,+∞] , anomenat radi de convergencia de la serie, tal que:1 La serie es absolutament convergent (i per tant convergent) sıı|x − c| < R ⇐⇒ x ∈ (c − R, c + R) .
2 La serie es divergent si |x − c| > R ⇐⇒ x /∈ [c − R, c + R] .
Comentari (Radi de convergencia)Si R = 0 llavors la serie de potencies nomes convergeix si x = c .Si R = +∞ llavors la serie de potencies convergeix ∀x ∈ R .Si R 6= 0 es finit, la serie de potencies convergeix absolutamenten l’interval obert (c − R,C + R) . El que succeeix en els extremsde l’interval, quan x = c − R o x = c + R , depen de cada cas.En alguns casos la serie convergeix en els dos extrems; end’altres nomes en un extrem; en d’altres en cap dels dos extrems.Per tant, el seu interval de convergecia es [c − R, c + R] ,[c − R, c + R) , (c − R, c + R] o (c − R, c + R) , segons el cas.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 33 / 67
Exemple interval convergencia serie de potencies I
∞∑n=1
2n
n(x − 2)n︸ ︷︷ ︸
un
serie de potencies en c = 2 .
• Calculem el seu radi de convergencia R via el criteri del quocient:
limn→+∞
∣∣∣∣un+1
un
∣∣∣∣ = limn→+∞
∣∣∣∣∣ 2n+1
n+1 (x − 2)n+1
2n
n (x − 2)n
∣∣∣∣∣ = limn→+∞
2nn + 1
|x−2| = 2|x−2|.
• El lımit anterior es < 1 ⇐⇒ 2|x − 2| < 1 ⇐⇒ |x − 2| < 12
.
• Per tant, el seu radi de convergencia es R =12
i la serie convergeixabsolutament en l’interval obert:
(c − R, c + R) =
(2− 1
2,2 +
12
)=
(32,52
).
• Per trobar el seu interval de convergencia falta veure que succeeix
en els extrems de l’interval: x = c − R =32
i x = c + R =52
.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 34 / 67
Exemple interval convergencia serie de potencies II
• Si fem x = c + R =52
en∞∑
n=1
2n
n(x − 2)n obtenim la serie
harmonica, que es divergent:∞∑
n=1
2n
n
(12
)n
=∞∑
n=1
1n
.
• Si fem x = c−R =32
en∞∑
n=0
2n
n(x − 2)n obtenim la serie harmonica
alternada que, pel criteri de Leibniz, ja hem vist que es convergent:∞∑
n=1
2n
n
(−1
2
)n
=∞∑
n=1
(−1)n 1n
.
• Finalment doncs, l’interval de convergencia de la serie es[
32,52
).
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 35 / 67
Teorema (Propietats de les series de potencies)Sigui f (x) =
∑∞n=0 an(x − c)n una funcio definida per la suma d’una
serie de potencies de radi R ∈ (0,+∞] . Llavors, f (x) es infinits copsderivable ∀x ∈ (c − R, c + R) (i per tant tambe contınua i integrable).Les derivades i integrals de f (x) es poden calcular derivant i integrantla serie terme a terme:
f ′(x) =∞∑
n=1
n · an(x − c)n−1 =∞∑
n=0
(n + 1) · an+1(x − c)n,
∫f (x)dx = C +
∞∑n=0
an
n + 1(x − c)n+1 = C +
∞∑n=1
an−1
n(x − c)n.
Les series resultants tenen el mateix radi de convergencia R .Si f (x) convergeix en algun dels extrems de l’interval deconvergencia, x = c − R o x = c + R , llavors
∫f (x)dx tambe
convergeix pero pot ser que f ′(x) no convergeixi (depen del cas).
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 36 / 67
Exemple derivacio i integracio series de potencies
Useu la suma de la serie de potencies f (x) :=∞∑
n=0
xn =1
1− x(via la
suma d’una progressio geometrica) per sumar∞∑
n=1
nxn i∞∑
n=1
xn
n.
• f (x) =∑∞
n=0 xn = 11−x es convergent si x ∈ (−1,1) .
• Si derivem f (x) terme a terme: f ′(x) =∑∞
n=1 nxn−1 = 1(1−x)2 .
Multiplicant per x :∑∞
n=1 nxn = x(1−x)2 , convergent si x ∈ (−1,1) .
• Integrant f (x) terme a terme:∑∞
n=0xn+1
n+1 = − ln(1− x) + c , per unacerta constant c ∈ R . Fent x = 0 =⇒ 0 = − ln(1) + c =⇒ c = 0 .• Per tant: − ln(1− x) =
∑∞n=0
xn+1
n+1 =∑∞
n=1xn
n ja que en les duessumes donen la mateixa serie de potencies: x + x2/2 + x3/3 + · · · .• La convergencia de
∑∞n=1
xn
n = − ln(1− x) es per x ∈ [−1,1) .• En particular, fent x = −1 :
∑∞n=1
(−1)n
n = − ln(2) .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 37 / 67
Series de Taylor
Una serie de potencies defineix una funcio. Donada una funcio, enspodem plantejar quina es la serie de potencies que la defineix.
Definicio (Series de Taylor i de MacLaurin)Sigui f (x) una funcio infints cops derivable en x = c . Llavors, la sevaserie de Taylor en el punt x = c es:
∞∑n=0
f (n)(c)n!
(x − c)n = f (c) +f ′(c)
1!(x − c) +
f′′(c)2!
(x − c)2 + · · ·
Si c = 0 la serie de Taylor s’anomena serie de MacLaurin.
La serie de Taylor es una serie de potencies on an = f (n)(c)n! .
Recordem que n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1 es “ n factorial”.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 38 / 67
Comentari (Relacio entre f (x) i la seva serie de Taylor)Si R > 0 es el radi de convergencia de la serie de Taylor de f (x)en x = c llavors
∑∞n=0
f (n)(c)n! (x − c)n es absolutament convergent
si |x − c| < R ⇐⇒ x ∈ (c −R, c + R) i defineix una certa funcio:
g(x) =∞∑
n=0
f (n)(c)n!
(x − c)n ∀x ∈ (c − R, c + R).
No es sempre necessariament cert que la funcio g(x) definidaper la suma de la serie de Taylor coincideixi amb f (x) .Ara be, si f (x) es una funcio elemental, llavors sı que es cert que
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(c)n!
(x − c)n ∀x ∈ (c − R, c + R).
(Aquesta igualtat s’exten a x = c ± R si la serie de potencies esconvergent en els extrems de l’interval.)
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 39 / 67
Teorema (Exemples basics de series de MacLaurin)
ex =∞∑
n=0
xn
n!= 1 +
x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · , ∀x ∈ R
ln(1 + x) =∞∑
n=1
(−1)n−1 xn
n= x − x2
2+
x3
3− · · · , ∀x ∈ (−1,1]
sin x =∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!= x − x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · · , ∀x ∈ R
cos x =∞∑
n=0
(−1)n x2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ · · · , ∀x ∈ R
11− x
=∞∑
n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · , ∀x ∈ (−1,1)
arctan(x) =∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1= x − x3
3+
x5
5+ · · · , ∀x ∈ [−1,1]
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 40 / 67
Teorema (La serie binomial)Si α ∈ R llavors:
(1 + x)α =∞∑
n=0
(α
n
)xn = 1 + αx +
α(α− 1)2!
x2 + · · · , ∀x ∈ (−1,1).
on els “nombres combinatoris generalitzats” es defineixen per
(α
n
)=
n termes︷ ︸︸ ︷α · (α− 1) · (α− 2) · · · (α− n + 1)
n!.
En el cas α = m ∈ N obtenim la formula del binomi de Newton:
(1 + x)m = 1 +
(m1
)x +
(m2
)x2 +
(m3
)x3 + · · ·+
(mm
)xm,
on els nombre combinatoris son ara els usuals.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 41 / 67
Preliminars series de Fourier (I)
PreliminarsNombres parells n = 2k i senars n = 2k − 1, amb k = 1,2,3, . . ..Alguns valors de sin / cos: sin(nπ) = 0, cos(nπ) = (−1)n,
sin(nπ2)=
{0, si n = 2k (parell)(−1)k+1, si n = 2k − 1 (senar)
cos(nπ2)=
{(−1)k , si n = 2k (parell)0, si n = 2k − 1 (senar)
Algunes relacions trigonometriques basiques:sin(a± b) = sin(a) cos(b)± cos(a) sin(b),cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sin(a) sin(b),cos(a) cos(b) = 1
2(cos(a + b) + cos(a− b)),cos2(a) = 1
2(1 + cos(2a)),sin(a) sin(b) = 1
2(cos(a− b)− cos(a + b)),sin2(a) = 1
2(1− cos(2a)),sin(a) cos(b) = 1
2(sin(a + b) + sin(a− b)).
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 42 / 67
Preliminars series de Fourier (II)
Algunes primitives utils per calcular series de Fourier∫x cos (a x)dx =
a x sin(a x) + cos(a x)a2 + C,∫
x sin (a x)dx =sin(a x)− a x cos(a x)
a2 + C,∫x2 cos (a x)dx =
2 a x cos(a x) + (a2 x2 − 2) sin(a x)a3 + C,∫
x2 sin (a x)dx =2 a x sin(a x)− (a2 x2 − 2) cos(a x)
a3 + C.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 43 / 67
Definicio (Funcions periodiques de perıode p)Direm que f : R→ R es una funcio periodica de perıode p > 0 sıı.:
f (x + p) = f (x) , ∀x ∈ R.
Si coneixem els valors d’una funcio periodica de perıode p en uninterval de longitud p (interval basic), llavors coneixem els seusvalors en tot R per extensio periodica.Escriurem p = 2T i considerarem l’interval basic [−T ,T ] .El cas mes usual es que el perıode sigui p = 2π . Llavors, T = πi l’interval basic sera [−π, π] (de longitud 2π).(Tambe podriem triar l’interval basic [0,2π] , pero no ho farem.)Les funcions periodiques que considerem no tenen perque sercontınues arreu, pero tampoc poden ser massa discontınues.Considerarem funcions periodiques tals que en el seu intervalbasic [−T ,T ] siguin contınues a trossos, amb un nombre finitde discontinuıtats evitables o de salt (mai assimptotiques!).Usarem la notacio CT ([−T ,T ]) per indicar aquestes funcionscontınues a trossos.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 44 / 67
Les funcions periodiques de perıode p = 2π basiques son:
1, sin(πx
T
), cos
(πxT
), sin
(2πxT
), cos
(2πxT
), . . .
Series de Fourier vol dir expressar una funcio periodica f donadacom a suma infinita de funcions periodiques basiques:
f (x) ∼ F [f ](x) = a0
2+∑n>0
(an cos
(nπxT
)+ bn sin
(nπxT
)),
per uns certs coeficients a0,a1,b1,a2,b2, . . . .El calcul de la serie de Fourier d’una funcio esta fortamentrelacionat amb les propietats d’ortogonalitat/perpendicularitatde les funcions periodiques basiques en l’interval [−T ,T ] .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 45 / 67
Definim el seguent producte escalar en CT ([−T ,T ])
〈f ,g〉 =∫ T
−Tf (x)g(x)dx , f ,g ∈ CT ([−T ,T ]),
i la norma (mesura el tamany de la funcio) i distancia associades:
‖f‖ =√〈f , f 〉, d(f ,g) = ‖f − g‖.
Les funcions periodiques basiques son perpendiculars dos a dosrespecte d’aquest producte escalar i totes tenen norma
√T
excepte la funcio 1 que te per norma√
2T . Aixo vol dir:⟨sin(nπx
T
), sin
(mπxT
)⟩= 0, n 6= m,
∥∥∥sin(nπx
T
)∥∥∥ =√
T ,⟨cos
(nπxT
), cos
(mπxT
)⟩= 0, n 6= m,
∥∥∥cos(nπx
T
)∥∥∥ =√
T ,⟨sin(nπx
T
), cos
(mπxT
)⟩= 0, ∀n,m, ‖1‖ =
√2T .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 46 / 67
Definicio de les series de Fourier
Sigui f (x) funcio periodica de perıode p = 2π tal que f ∈ CT ([−T ,T ]).Llavors, la seva serie de Fourier es:
f (x) ∼ F [f ](x) = a0
2+∑n>0
(an cos
(nπxT
)+ bn sin
(nπxT
)),
on els coeficients de Fourier venen donats per les integrals seguents:
a0 =1T
∫ T
−Tf (x)dx ,
an =1T
∫ T
−Tf (x) cos
(nπxT
)dx , n > 0,
bn =1T
∫ T
−Tf (x) sin
(nπxT
)dx , n > 0.
Observacio: La notacio f (x) ∼ F [f ](x) indica que assignem a f (x) laseva serie de Fourier. Mes endavant discutirem quan i on es cert quef (x) = F [f ](x).
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 47 / 67
Observacio: En el cas concret en que p = 2π i T = π, llavors es te:f (x) ∼ F [f ](x) = a0
2+∑
n>0 (an cos (nx) + bn sin (nx)),
on: a0 =1π
∫ π−π f (x)dx , an =
1π
∫ π−π f (x) cos (nx) dx ,
bn =1π
∫ π−π f (x) sin (nx) dx .
Exemple (La funcio esglao unitaria o de Heaviside)Sigui f (x) la funcio esglao unitaria en l’interval [−π, π] que extenem deforma p = 2π periodica a tot R (per tant T = π). Concretament:
f (x) = U(x) =
{1, si x ∈ [0, π],0, si x ∈ [−π,0)
(El valor concret de U(0) no importa en de calcul de F [f ](x).)La seva serie de Fourier es:
f (x) ∼ F [f ](x) = 12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)x).
(Els unics coeficients no nuls son a0 i bn quan n = 2k − 1 es senar.)Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 48 / 67
• Detalls calcul serie Fourier funcio esglao f (x) =
{1, x ∈ [0, π],0, x ∈ [−π,0)
a0 =1π
∫ π
−πf (x)dx =
1π
(∫ 0
−π0 dx +
∫ π
01 dx
)= 1,
an =1π
∫ π
−πf (x) cos (nx) dx =
1π
∫ π
01 · cos (nx) dx =
1π
[sin(nx)
n
]π0= 0,
bn =1π
∫ π
−πf (x) sin (nx) dx =
1π
∫ π
01 · sin (nx) dx = −1
π
[cos(nx)
n
]π0
=1
nπ(1− cos(nπ)) =
1nπ(1− (−1)n) = {0, si n = 2k parell
2nπ , si n = 2k − 1 senar
Per tant:
f (x) ∼ F [f ](x) = 12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)x).
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 49 / 67
Comentari (Series de Fourier de funcions parells i senars)Si f (x) es una funcio parell f (−x) = f (x) =⇒ bn = 0 . A mes:
F [f ](x) = a0
2+∑n>0
an cos(nπx
T
),
on: a0 =2T∫ T
0 f (x)dx , an =2T∫ T
0 f (x) cos(nπx
T
)dx , n > 0.
Si f (x) es una funcio senar f (−x) = −f (x) =⇒ an = 0 . A mes:
F [f ](x) =∑n>0
bn sin(nπx
T
),
on: bn =2T∫ T
0 f (x) sin(nπx
T
)dx , n > 0.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 50 / 67
Exemple (La funcio signe)Sigui g(x) la funcio signe en l’interval [−π, π] que extenem de formap = 2π periodica a tot R. Concretament (g(0) no importa en de calcul):
g(x) = sgn(x) =
{1, si x ∈ (0, π],−1, si x ∈ [−π,0)
La funcio g(x) es senar i la seva serie de fourier es de la forma
F [g](x) =∑n>0
bn sin (nx) =4π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)x),
on:
bn =2π
∫ π
0g(x) sin (nx) dx =
2π
∫ π
01 · sin (nx) dx =
{0, si n = 2k4
nπ , si n = 2k − 1
De fet: g(x) = sgn(x) = 2U(x)− 1 i podem deduır la serie deFourier de g(x) a partir de la de la de f (x) = U(x) ja calculada.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 51 / 67
Teorema de Dirichlet (convergencia serie de Fourier)
f (x) periodica de perıode p = 2T i suposem que f , f ′ ∈ CT ([−T ,T ]).Aleshores:
1 Si xc ∈ (−T ,T ) es un punt de continuıtat de f , es verifica que
F [f ](xc) = f (xc). (Valor serie Fourier i funcio son el mateix.)
2 Si xd ∈ (−T ,T ) es un punt de discontinuitat de f , es verifica
F [f ](xd) =12(f (x+
d ) + f (x−d )).
on f (x+d ) i f (x−d ) son els lımits per la dreta i per l’esquerra de f
en xd , respectivament. (Valor serie Fourier es punt mig del salt.)3 En els extrems de l’interval x0 = T o x0 = −T es satisfa
F [f ](T ) = F [f ](−T ) =12(f (−T+) + f (T−)
)(Valor serie Fourier es el punt mig del salt en T per la funcio queobtenim fent l’extensio periodica de f .)
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 52 / 67
Exemple Teorema Dirichlet per la funcio esglaounitaria
f (x) =
{1, si x ∈ [0, π],0, si x ∈ [−π,0)
la funcio esglao unitaria en l’interval [−π, π]
que extenem de forma 2π-periodica a tot R te serie de Fourier
f (x) ∼ F [f ](x) = 12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)x).
xc = π/2 punt de continuıtat de f =⇒ F [f ](π/2) = f (π/2) = 1:
1 = F [f ](π2) =
12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin((2k − 1)
π
2
)=
12+
2π
∞∑k=1
(−1)k+1
2k − 1=⇒
∞∑k=1
(−1)k+1
2k − 1=π
4.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 53 / 67
f (x) ∼ F [f ](x) = 12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)x).
xd = 0 punt de discontinuıtat de f . Pel teorema de Dirichlet:
F [f ](0) = U(0+) + U(0−)
2=
1 + 02
=12.
En aquest cas aixo es obvi via la serie de Fourier, ja que
F [f ](0) = 12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1) · 0) = 12.
x0 = π extrem de l’interval basic. Pel teorema de Dirichlet:
F [f ](π) = U(−π+) + U(π−)
2=
0 + 12
=12.
De nou el resultat es obvi via la serie de Fourier, ja que:
F [f ](π) = 12+
2π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)π)︸ ︷︷ ︸=0
=12.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 54 / 67
Exemple (Serie de Fourier d’una funcio lineal)Trobeu la serie de Fourier de la funcio f (x) , 2π-periodica i tal quef (x) = x + π, x ∈ [−π, π]. Useu el resultat per sumar la serie numerica:
S :=∞∑
k=1
(−1)k+1
2k − 1= 1− 1
3+
15− 1
7+ · · · .
Es clar que en aquest cas T = π .f (x) no es ni parell ni senar, pero l’extensio periodica de g(x) = xsı que es senar (la seva serie de Fourier es en sinus). Tenim:
F [f ](x) = π+F [g](x) = π+∞∑
n=1
bn sin(nx), bn =2π
∫ π
0g(x) sin nx dx .
Per tant (recordem sin(nπ) = 0 i cos(nπ) = (−1)n ):
bn =2π
∫ π
0x sin nx dx =
2π
[sin(nx)− nx cos(nx)
n2
]π0= 2
(−1)n+1
n.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 55 / 67
La serie de Fourier de la funcio f (x) resulta ser doncs:
F [f ](x) = π + 2∞∑
n=1
(−1)n+1
nsin(nx).
Si volem avaluar F [f ](x) en un valor de x tal que sin(nx) = 0quan n es parell, podem triar x = π/2 . Llavors:
sin(nπ2)=
{0, si n = 2k (parell)(−1)k+1, si n = 2k − 1 (senar)
xc = π/2 es un punt de continuitat de f (x) i pel teorema deDirichlet F [f ](π/2) = f (π/2) = π/2 + π = 3π/2 . Per tant:
32π = F [f ]
(π2
)= π + 2
∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(
nπ
2
)= π + 2
∞∑k=1
(−1)(2k−1)+1
2k − 1(−1)k+1 = π + 2
∞∑k=1
(−1)k+1
2k − 1.
Igualant la darrera expressio a 32π :
∞∑k=1
(−1)k+1
2k − 1=π
4.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 56 / 67
Exemple (Serie de Fourier d’una funcio quadratica)Trobeu la serie de Fourier de la funcio f (x) , 2π-periodica i tal quef (x) = x2 U(x), x ∈ [−π, π].
a0 =1π
∫ π
−πf (x)dx =
1π
∫ π
0x2 dx =
1π
[x3
3
]π0=π2
3.
an =1π
∫ π
−πf (x) cos (nx) dx =
1π
∫ π
0x2 cos (nx) dx
=1π
[2nx cos(nx) + (n2x2 − 2) sin(nx)
n3
]π0=
2n2 (−1)n.
bn =1π
∫ T
−Tf (x) sin (nx) dx =
1π
∫ π
0x2 sin (nx) dx
=1π
[2nx sin(nx)− (n2x2 − 2) cos(nx)
n3
]π0
=1πn3 [(n
2π2 − 2)(−1)n+1 − 2].
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 57 / 67
Per tant, la serie de Fourier F [f ](x) de f dona:
π2
6+∞∑
n=1
(2n2 (−1)n cos(nx) +
1πn3 [(n
2π2 − 2)(−1)n+1 − 2] sin(nx)).
xc = 0 es un punt de continuıtat de f i pel Teorema de Dirichlet:
0 = f (0) = F [f ](0) = π2
6+∞∑
n=1
2n2 (−1)n =⇒
∞∑n=1
(−1)n+1
n2 =π2
12.
En x0 = π (extrem interval basic) el Teorema de Dirichlet diu que
F [f ](π) = f (−π+) + f (π−)2
=0 + π2
2=π2
2. Per tant, aixo ens diu:
π2
2=π2
6+∞∑
n=1
2n2 (−1)n cos(nπ)︸ ︷︷ ︸
=(−1)n
=π2
6+∞∑
n=1
2n2 .
D’aquı deduım:∞∑
n=1
1n2 =
12
(π2
2− π2
6
)=π2
6.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 58 / 67
Integracio i derivacio de series de Fourier If (x) periodica de perıode p = 2T i suposem que f ∈ CT ([−T ,T ]) .
Considerem f ∼ F [f ](x) = a0
2+∑n>0
(an cos
(nπxT
)+ bn sin
(nπxT
)).
(I) La integral definida de f en un interval [α, β] ⊂ R es pot obtenir“integrant terme a terme” la serie de Fourier de f :∫ β
αf (x)dx =
a0(β − α)2
+∑n>0
Tnπ
[an sin
(nπxT
)− bn cos
(nπxT
)]x=β
x=α
(II) En particular, si a0 = 0 llavors la funcio integral F (x) =∫ x
0 f (x)dxtambe es perıodica i la seva serie de Fourier F (x) ∼ F [F ](x) es:
F [F ](x) =Tπ
∑n>0
bn
n︸ ︷︷ ︸=
a02
+∑n>0
−Tπ
bn
n︸ ︷︷ ︸=an
cos(nπx
T
)+
Tπ
an
n︸ ︷︷ ︸=bn
sin(nπx
T
) ,
on ao, a1, b1, a2, b2, . . . son els coeficients de Fourier de F .Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 59 / 67
Integracio i derivacio de series de Fourier II
(III) Si, a mes, f es contınua en TOT R i f ′ ∈ CT ([−T ,T ]), aleshoresla serie de Fourier de f ′ pot obtenir-se derivant “terme a terme”:
F [f ′](x) = 0︸︷︷︸=
a02
+∑n>0
nπT
bn︸ ︷︷ ︸=an
cos(nπx
T
)−nπ
Tan︸ ︷︷ ︸
=bn
sin(nπx
T
) ,
on ao = 0, a1, b1, a2, b2, . . . son ara els coeficients de Fourier de f ′ .
En el cas en que f NO es contınua en TOT R , llavors la serie deFourier de f ′ NO pot obtenir-se derivant la de f terme a terme.ATENCIO: Continuıtat de f en TOT R vol dir que ha de sercontınua dins de l’interval basic [−T ,T ], pero tambe que elsvalors en els extrems de l’interval han d’enganxar be per talque la seva extensio periodica sigui contınua. Cal: f (−T ) = f (T ) .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 60 / 67
Exemple: La funcio signe revisitada If (x) la funcio signe en l’interval [−π, π] que extenem de forma
2π -periodica a tot R : f (x) = sgn(x) =
{1, si x ∈ (0, π],−1, si x ∈ [−π,0)
.
La seva serie de Fourier es: F [f ](x) = 4π
∞∑k=1
12k − 1
sin ((2k − 1)x).
f (x) no es contınua en R , pero la seva derivada es f ′(x) = 0 entots els punts on f ′(x) esta definida.La serie de Fourier de f ′(x) es F [f ′](x) = 0 i la que s’obtederivant la serie de Fourier de f (x) terme a teme es (diferent):
0 = F [f ′](x) 6= (F [f ])′(x) = 4π
∞∑k=1
cos ((2k − 1)x).
El coeficient a0 = 1π
∫ π−π sgn(x)dx de la serie de Fourier de f (x)
val a0 = 0 . Per tant, la funcio integral F (x) =∫ x
0 f (x)dx tambees periodica de perıode 2π .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 61 / 67
Exemple: La funcio signe revisitada IILa serie de Fourier de F (x) s’obte integrant la serie de Fourier def (x) terme a terme:
F [F ](x) =∫ x
0F [f ](x)dx =
4π
∞∑k=1
12k − 1
∫ x
0sin ((2k − 1)x)dx
=4π
∞∑k=1
12k − 1
[− cos((2k − 1)x)
2k − 1
]x
0
=4π
∞∑k=1
1(2k − 1)2︸ ︷︷ ︸=
a02
−4π
∞∑k=1
1(2k − 1)2 cos((2k − 1)x).
Per tant, “el coefiecient a0” de la serie de Fourier de F (x) , que
denotem per a0 , val: a0 =8π
∞∑k=1
1(2k − 1)2 .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 62 / 67
Exemple: La funcio signe revisitada IIISi trobem l’expressio explıcita per F (x) , aquest coeficient tambeel podem calcular com a0 = 1
π
∫ π−π F (x)dx i per tant donar el
valor de la suma de la serie numerica que ara defineix a0 .Tenim:
F (x) =∫ x
0f (x)dx =
{ ∫ x0 (1)dx = x , si x ∈ (0, π],∫ x
0 (−1)dx = −x , si x ∈ [−π,0)
Per tant, F (x) = |x | (valor absolut) en [−π, π] .
Llavors: a0 = 1π
∫ π−π |x |dx = 2
π
∫ π0 x dx = 2
π
[x2
2
]π0= π .
Finalment:
8π
∞∑k=1
1(2k − 1)2 = a0 = π =⇒
∞∑k=1
1(2k − 1)2 =
π2
8.
(Aixo es: 112 + 1
32 + 152 + 1
72 + · · · = π2
8 . )
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 63 / 67
Teorema (Identitat de Parseval)f (x) periodica de perıode 2T , f ∈ CT ([−T ,T ]) i considerem la sevaserie de Fourier F [f ](x) = a0
2 +∑
n>0(an cos
(nπxT
)+ bn sin
(nπxT
)).
Si be F [f ](x) no sempre convergeix a f (x) en tots els punts, sique ho fa la seva mitjana quadratica:∫ T
−T(f (x)−F [f ](x))2 dx = 0.
Si expressem l’igualtat anterior en termes dels coeficients deFourier de f (x) , obtenim la Identitat de Parseval:
1T
∫ T
−T(f (x))2 dx =
a20
2+∑n>0
(a2
n + b2n
).
En particular, aixo ens permet concloure que:
limn→∞
an = limn→∞
bn = 0.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 64 / 67
Exemple: La funcio valor absolut I
F (x) la funcio valor absolut en l’interval [−π, π] que extenem de
forma 2π -periodica a tot R : F (x) = |x | =
{x , si x ∈ (0, π],−x , si x ∈ [−π,0)
.
A partir dels calculs de l’exemple anterior amb la funcio signe,hem deduıt que la seva serie de Fourier es:
F [F ](x) =π
2− 4π
∞∑k=1
1(2k − 1)2 cos((2k − 1)x).
Els coeficients de Fourier de F (x) son a0 = π , a2k = 0 (parells),
a2k−1 = − 4π(2k − 1)2 (senars) i bn = 0 (tots).∫ π
−π(F (x))2 dx =
∫ π
−π|x |2 dx = 2
∫ π
0x2 dx =
23π3 .
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 65 / 67
Exemple: La funcio valor absolut II
La identitat de Parseval per F (x) diu:
1π
∫ π
−π(F (x))2 dx =
a20
2+∑n>0
(a2
n + b2n
).
Si substituım les dades anteriors i observem que en el sumatorinomes cal considerar els termes b2
n quan n = 2k − 1 es senar:
1π
(23π3)
=π2
2+∞∑
k=1
(− 4π(2k − 1)2
)2
.
Per tant:
16π2
∞∑k=1
1(2k − 1)4 =
23π2 − π2
2=π2
6=⇒
∞∑k=1
1(2k − 1)4 =
π4
96.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 66 / 67
Series de Fourier en forma exponencial complexa
f (x) funcio p = 2T -periodica que te serie de Fourier:
f ∼ F [f ](x) = a0
2+∑
n>0(an cos
(nπxT
)+ bn sin
(nπxT
)).
Recordem que la identitat d’Euler diu:
ei nπxT = cos
(nπxT
)+ i sin
(nπxT
).
Llavors, podem usar-la per escriure la serie de Fourier com:
f ∼ F [f ] =+∞∑
n=−∞cn ei nπx
T .
Els coeficients de Fourier complexos cn es poden calcular com:
cn =1
2T
∫ T
−Tf (x)e−i nπx
T dx =
a0
2, si n = 0,
an − i · bn
2, si n > 0,
a−n + i · b−n
2, si n < 0.
Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 67 / 67