L A ESTIMACION DE PARAMETROS 1. /31 CONTENIDO Principio fundamental de la estimación de parámetros...

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1

LA ESTIMACION DE PARAMETROS

/312

CONTENIDO

Principio fundamental de la estimación de parámetros

Un metodo grafico para la estimacion de parametros

Ajuste de los parametros en una computadora

3

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

/314

EL PROCESO DEL MODELADO

Definir los objetivos

Preparar la informacion

Formular el modelo

Estimar los parametros

Validar el modelo

Qué sistema queremos modelar

Para qué queremos modelar

Bajo qué condiciones experimentales se va a usar el modelo

/315

EL PROCESO DEL MODELADO

Pruebas preparatorias

Definir el protocolo del experimento y

Recoger los datos

– Estimar ganancias– Constantes de tiempo– Retardos

– Tipos de señal– Lazo abierto o

cerrado

Definir los objetivos

Preparar la informacion

Formular el modelo

Estimar los parametros

Validar el modelo

/316

EL PROCESO DEL MODELADO

Definir la estructura y complejidad del modelo

Modelos de entrada/salida– No parametricos

– Respuesta al impulso/paso finita (FIR/FSR)– Parametricos

– Funcion de transferencia, auto-regresivo (ARX)

Espacio de estados– Modelo en espacio de estados lineales

Modelo ({})

Definir los objetivos

Preparar la informacion

Formular el modelo

Estimar los parametros

Validar el modelo

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EL PROCESO DEL MODELADO

Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos

Tres aproximaciones

– Metodos graficos – Metodos analiticos – Metodos computacionales

Modelo ({*})

Definir los objetivos

Preparar la informacion

Formular el modelo

Estimar los parametros

Validar el modelo

/318

EL PROCESO DEL MODELADO

¿Puede el modelo explicar otros datos medidos?

Los límites de confianza del modelo son aceptables?

Definir los objetivos

Preparar la informacion

Formular el modelo

Estimar los parametros

Validar el modelo

/319

LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO

tt

YUU

YProceso

Modelo

La estimacion de los parametros consiste en ajustar los parámetros de una estructura de modelo elegida con el fin de ajustar la salida del modelo a los datos medidos de la salida

del sistema

Definir los objetivos

Preparar la informacion

Formular el modelo

Estimar los parametros

Validar el modelo

/3110

LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO

El ajuste de los parametros se puede realizar:

Con metodos graficos El metodo de la curva de reaccion

Mediante un procedimiento ejecutado en una computadora Minimizacion de una funcion objetivo (optimizacion)

Objetivo del curso

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UN METODO GRAFICO PARA LA ESTIMACION DE PARAMETROS

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EL METODO DE LA CURVA DE REACCIÓN DEL PROCESO

¿Por qué usar el metodo de la curva de reaccion?

Realmente no necesitamos un modelo más preciso

Estamos interesados en el diseño de un controlador PID

Otras razones

No tenemos todos los datos necesarios para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo)

No tenemos tiempo para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo)

Los experimentos no son faciles de realizar (especialmente en los procesos quimicos)

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PASOS DEL PROCESO DE IDENTIFICACION

Permitir que el proceso alcance el estado estacionario

Aplicar un paso en la variable de entrada

Recoger lo datos de la respuesta de salida hasta que la ganancia del proceso alcance el

estado estacionario

Llevar a cabo el cálculo gráfico de curva de reacción del proceso

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El metodo de la curva de reacción del proceso permite identificar solo algunos modelos simples:

Primer orden mas tiempo muerto (FOPDT )

Segundo orden más tiempo muerto (SOPDT)

CLASES DE MODELOS OBTENIDOS

1)(

)(

s

eK

sU

sY sP

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PRIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO

/3116

PRIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO

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AJUSTE DE LOS PARAMETROS EN UNA COMPUTADORA

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PROCEDIMIENTO PARA LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS

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LOS MODELOS PARAMETRICOS

Los denominados modelos parametricos tienen un número finito de parámetros

Relacionan las señales de interés del sistema:

Entradas Salidas posiblemente Estados y Perturbaciones

estructura y complejidad

Modelo ({})

Formular el modelo

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LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS

En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera

Regresiones lineales o no lineales Modelos dinámicos (ODE) Modelos dinámicos fuzzy o redes neuronales, Otro,. . .

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SALIDA MEDIDA Y SALIDA DEL MODELO

Error del modelo

/3122

EL ERROR DEL MODELO El error de predicción del modelo se define

como

ˆt y t y t

y t es la salida estimada por el modelo en el instante t.

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EJEMPLO: SISTEMA DE PRIMER ORDEN SIN RETARDO

Podemos asumir en el ejemplo que el sistema se puede representar con un modelo de primer orden sin retardo

El modelado experimental consiste en ajustar los parámetros del modelo

con el fin de que la salida del modelo se aproxime a los datos medidos

1

AG s

s

,A

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OBJETIVOS DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PARAMÉTRICOS Los métodos de estimación de parametros

tienen por objetivo entonces estimar los parámetros del modelo considerado,

de forma que, en algun sentido, el error de predicción sea mínimo.

La estimacion de los parametros involucra un proceso de

OPTIMIZACION

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OBJETIVOS DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PARAMÉTRICOS

Existen distintos criterios para realizar este ajuste de parámetros, entre los que cabe destacar el método de los mínimos cuadrados

La estimacion de los parametros involucra un proceso de

OPTIMIZACION

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OBJETIVOS DEL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

El problema a resolver consiste en hallar el vector de parámetros estimados

tal que se minimize la funcion de costo:

2

1

1,

NN

Nt

V Z tN

Funcion de costo, o Funcion de perdidas

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EJEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO

Se asumen las medidas de entrada salida mostradas en la figura

/3128

EJEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO

Se asume la estructura del modelo

1

1G s

s

Ganancia unitaria

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EJEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO

Valor de la funcion de costo para diferentes valores del parametro

(en este caso la constante de tiempo)

, NNV Z

/3130

EJEMPLO 2: MODELO CON DOS PARAMETROS

Se asume la estructura del modelo

1

AG s

s

Ganancia tambien desconocida

A

/3131

EJEMPLO 2: MODELO CON DOS PARAMETROS

Curvas de nivel de la funcion de costo para diferentes valores de los parametros

(en este caso la ganancia y la constante de tiempo)

A

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PRESENCIA DE PERTURBACIONES

Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones,

YUProceso

perturbaciones

– ruido a la entrada del sistema– ruido que entra en alguna parte

dentro del sistema– ruido a la salida del sistema– entradas exógenas al sistema

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LOS PARAMETROS ESTIMADOS

Siendo obtenidos de un experimento bajo la presencia de señales aleatorias

Y es necesario estudiar sus propiedades estadisticas

¡Los parametros estimados son variables aleatorias!

/31

IDENTIFICABILIDAD

Si existe el vector de parámetros que minimiza el error

es denominado el vector de parámetros “verdadero”

*

*

34

Se dice entonces que el modelo es identificable

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FUENTES Morten Knudsen, Experimental modelling of dynamic

systems (Lecture notes). Department of Control Engineering, Aalborg University. 2004.