LINEAS DE ESPERA(TEORIA DE COLAS)

UNIDAD 2EMMANUEL VAQUERO FLORESINVESTIGACION DE OPERACIONES

DEFINICION • Una Cola es una línea de espera y la teoría de

colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

SUPOSICIONES El modelo simple de teoría de colas que se ha definido en la literatura, se basa en las siguientes suposiciones:  a).  Un solo prestador del servicio y una sola fase.b).  Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.c).  Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio.d).  Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio  y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.• A partir de estas suposiciones se pueden derivar las siguientes estadísticas de

desempeño:  r = l / m P0 = 1- l / m Pn = P0(l / m)n

Lq  =              l 2

                         m ( m - l ) Ls = l  / ( m - l )             Wq =        l                     m ( m - l )      Ws =  1 / ( m - l ) 

CARACTERISTICASLos modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes:Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistemaCantidad promedio de unidades en la línea de esperaCantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo)Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de esperaTiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio.

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

• Si λn = cte. -> λn= λ• Si μn = cte. -> μn= μ

• 1/λ = tiempo de llegada• 1/μ = tiempo de servicio

• ρ = λ/sμ = fracción de tiempo que los servidores individuales están ocupados.

• sμ= capacidad de servicio del sistema.

NOTACION EN CONDICION ESTABLE

Proceso de Nacimiento y Muerte

• En el contexto de teoria de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.

• El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t

Proceso de Nacimiento y Muerte• SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de

probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….).

• SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).

• SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte

n-2 0 1 2 3 n-1 n n+1. . . . . .

l0 l1 l2 ln-2 lnln-1

mn+1m1 m2 m3 mn-1 mn

DISTRIBUCION DE POISSON• Esta distribución es muy frecuente en los problemas

relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.

• Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas

• Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas.

DISTRIBUCION DE POISSON• Su forma algebraica es:

• Donde:•P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo•l : tasa media de llegadas•e = 2,7182818…

!)(

kekPk ll

Llegadas por unidad de tiempo

P

LAS LLEGADAS - DISTRIBUCIÓN DE POISSON

UN SERVIDOR Y MULTIPLES SERVIDORES

Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, lascuales son:a) Una línea, un servidor:El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor yuna cola o puede describir una consulta de un médico.

b) Una línea, múltiples servidores El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de unapeluquería o una panadería en donde los clientes toman un número alentrar y se les sirve cuando les llega el turno.

c) Varias líneas, múltiples servidoresEl tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, escaracterístico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipode servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemasindependientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo sihubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambioes sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, laseparación no sería válida.

ANÁLISIS DE COSTOS• Costos del Sistemas de ColasLas llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio;estos elementos se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la colaesta vacía.• Costo de EsperaEsperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puedeaprovechar en otra cosa y esta dado por:Costo total de espera = Cw * LDonde Cw = costo de espera por llegada y por unidad de tiempo, yL = a longitud promedio de la cola.• Sistema de Costo MínimoAquí hay que tomar en cuenta (ver Figura 2), que para tasas bajas de servicio seexperimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el serviciodisminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo totaldisminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en elrendimiento. Por lo tanto, se debe encontrar el balance adecuado para que el costo totalsea el mínimo.

COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS

REFERENCIAS• http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/mkt/teo

riacola.htm• http://www.slideshare.net/AnaCGuzman/teora-de-

colasterminologa-y-notacin• www1.uprh.edu/wlopez/.../Parte%203%20Teoría

%20de%20Colas.doc.• exa.unne.edu.ar/informatica/evalua/.../

teoria_de_colas.pdf• www.oaplo.com.ar/Articulos/Proceso-0101.pdf • Teoría de Colas.Ninoscka Zencovich B.Universidad Arturo Prat Sede Victoria (Chile).