Post on 11-Apr-2015
Lugares geométricos. Las cónicas y las cuádricas
Lugares geométricos Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola …
Lugares geométricos en el plano
Se denomina LUGAR GEOMÉTRICA del plano al conjunto de puntos
de éste que cumple unas condiciones determinadas
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
, , 4 2 4 4
4 2 4 4
8 4 20 8 8 32
16 4 12 0 : 4 3 0
d P A d P B x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y r x y
Ejemplo.- La mediatriz de un segmento de extremos A, B es la recta r que
cumple que para cualquier punto P de r, se cumple d(P,A) = d(P,B). Así por
ejemplo, si A(-4,2) y B(4,4) la mediatriz r será
Lugares geométricos en el plano
2 2 22
12 5 3 4 7, ,
3 412 5
12 5 3 4 799 27 91 013 5 :
12 5 3 4 7 21 77 91 0
13 5
x y x yd P A d P B
x y x yx y
tx y x y x y
Ejemplo.- La bisectriz de dos rectas r y s, es la recta t que cumple que
para cualquier punto P de t, se cumple d(P,r) = d(P,s).
Así por ejemplo, si r : -12 x + 5 y = 0 y s : 3 x + 4 y =7 la bisectriz r
será
Circunferencia. Ecuación
La CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)
del plano que equidistan de otro punto llamado centro C(a,b). Es
decir
{ P(x,y) ℝ2 : un r que cumple d(P,C) = r }
2 2 2x a y b r
Elevando al cuadrado la expresión d(P,C) = r, la ecuación de la
CIRCUNFERENCIA será
2 2
2 2 2
2
0; Donde 2
m a
x y m x n y p n b
p a b r
Quitando paréntesis en la ecuación e igualando a cero, obtenemos la
ecuación polinomial de la CIRCUNFERENCIA, que será
No toda expresión polinomial de este último tipo representa una circunferencia,
ya que para que sea una circunferencia, r tiene que ser mayor o igual a cero.
Circunferencia. Ecuación
Ejemplo.- Calcular la ecuación polinomial de la circunferencia de
radio 4 y centro (1,-2)
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 2 4
2 4 1 2 4 0
2 4 11 0
x y
x y x y
x y x y
2 2 2
4 2 2
Si (a,b) es el centro y r el radio se cumple 2 2 1
25 2 1 20
a a
b b
r r
Si representa una circunferencia la siguiente ecuación polinomial ecuación
polinomial, calcular cu centro y su radio
x2 + y2 + 4 x – 2 y + 25 = 0
Que como no puede hallarse un valor real para r, la ecuación polinomial, no
representa una circunferencia
Circunferencia. Ecuación
La CIRCUNFERENCIA centrada en el origen es aquella que su
centro es (0,0). Es decir de ecuación
2 2 2x y r
2 2 0x y m x n y
También es fácil comprobar que una ecuación que pase por el origen de
coordenadas, su ecuación polinomial será de la forma
2 2
2 2
0
' 0
x y m x n y p
x y m x n y p
Las ecuaciones polinomiales de dos circunferencias concéntricas serán de la
forma
|PA| . |PB| si A [P,B] , pues Cos (PA,PB) = 0º
PA PB =
- |PA| . |PB| si P [A,B] , pues Cos (PA,PB) = 180º
Potencia de un punto respecto a una Circunferencia
Se denomina POTENCIA de un punto P(x0,y0) respecto de una
circunferencia C : (x-a)2 + (y-b)2 = r2, al producto PA PB donde A y B son
dos puntos de la circunferencia, que están alineados con P (este valor es
constante independientemente de los valores de A y B).
2 2 20 0
, ,
, ,
, , , ,
C
C
PA PB si A P BP P PA PB
PA PA si P A B
P P d P a b r d P a b r x a y b r
��������������������������������������������������������
����������������������������
En particular, si tomamos A y B, que pertenezcan a un diámetro de la
circunferencia, obtenemos la ecuación
Que será
> 0, si P es un punto exterior a la circunferencia
= 0, si P = A o P = B
< 0, si p es un punto interior de la circunferencia
Potencia de un punto respecto a una Circunferencia
Ejemplo.- Dada la circunferencia C : x2 + y2 – 6 x + 5 y - 16 = 0,
calcular la potencia del punto P(1,1)
2 25 6 6 5 5 6 19 42CP P
Teniendo en cuenta la definición de
potencia y el teorema de Pitágoras, se
observa que
PC(P) = d2(PT)
Donde T es el punto de intersección de la
recta tangente a Circunferencia que pasa
por P y la circunferencia
Eje radical de dos circunferencias
El EJE RADICAL de dos circunferencias
C : x2 + y2 + m x + n y + p = 0
C’ : x2 + y2 + m’ x + n’ y + p’ = 0
Es el lugar geométrico de los puntos que tiene la misma potencia respecto de
ambas circunferencias. Es decir 2': C CP P P P P ℝ
Si las circunferencias C y C’ son
concéntricas no existe el eje radical si son
secantes el la recta que pasa por los
puntos de intersección
Par ver la interpretación gráfica del eje
radical pincha en el siguiente vínculo (eje
radical de dos circunferencia de J. Manuel
Arranz)
Que desarrollando e igualando dichas potencias se obtiene la siguiente recta
2 2 2 2 ' ' '
: ' ' ' 0
x y m x n y p x y m x n y p
r m m x n n y p p
Centro radical de tres circunferencias
El CENTRO RADICAL de tres circunferencias, es el punto que tiene la
misma potencia respecto de las tres circunferencias
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es constante
El CENTRO de la elipse es el punto medio del segmento [F,F’]. El EJE FOCAL es la recta que contiene al segmento [F,F’]. El EJE SECUNDARIA es la mediatriz del segmento [F,F’]. La SEMIDISTANCIA FOCAL es c = d(O,F) = d(O,F’) La DISTANCIA FOCAL es d(F,F’) = 2.c Los VÉRTICES de la elipse (A, A’, B, B’) son los puntos de intersección con el eje focal y con el eje secundario.
El EJE MAYOR es el segmento [A, A’] de distancia 2.a El EJE MENOR es el segmento [B,B’] de distancia 2.b
Hay que observar
que por el teorema
de Pitágoras, se
cumple b2 + c2 = a2
Ecuación reducida de la Elipse
Si consideramos la elipse sobre un sistema de referencia plano, de
forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y
secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los
focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la
elipse son P(x,y)
Ecuación reducida de la Elipse
Ecuación reducida de la Elipse
Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de
ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida
2 2
2 21
y x
a b
Ecuación reducida de la Elipse
Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas
respectivamente, obtenemos la ecuación
Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas
respectivamente, obtenemos la ecuación
2 2
2 21
x p y q
a b
2 2
2 21
x p y q
b a
La EXCENTRICIDAD e de una elipse, es el cociente entre la semidistancia
focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.
La excentricidad de la elipse será menor que 1 (cuanto más próxima a 1 será
más achatada y cuanto más próxima a 0, se aproximará a una circunferencia)
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de puntos del plano cuya diferencia
de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS (F y F’) es constante
El CENTRO O de la hipérbola es el punto medio del segmento [F,F’]. El EJE FOCAL es la recta que contiene al segmento [F,F’]. El EJE SECUNDARIA es la mediatriz del segmento [F,F’]. La SEMIDISTANCIA FOCAL es c = d(O,F) = d(O,F’) La DISTANCIA FOCAL es d(F,F’) = 2.c Los VÉRTICES de la hipérbola (A, A’) son los puntos de intersección con el eje focal.
Ecuación reducida de la hipérbola
Si consideramos la hiperbola sobre un sistema de referencia plano,
de forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y
secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los
focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la
Parábola son P(x,y)
Ecuación reducida de la Hipérbola
Ecuación reducida de la Hipérbola
Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de
ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida
2 2
2 21
y x
a b
Ecuación reducida de la Hipérbola
Si tomamos como centro de la hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas
respectivamente, obtenemos la ecuación
Si tomamos como centro de la Hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes
focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas
respectivamente, obtenemos la ecuación
2 2
2 21
x p y q
a b
2 2
2 21
y q x p
a b
La EXCENTRICIDAD de de una hipérbola, es el cociente entre la
semidistancia focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.
Asíntotas de la Hipérbola
2 2
22 2
1 1x y b
y xa b a
Se denomina Asíntota de una hipérbola a una recta que pasa por el
centro de la misma y que es tangente a la hipérbola en el infinito.
Dado que la asíntota pasa por el origen, será de la forma y = m x, y
teniendo en cuenta que la ecuación reducida de la hipérbola es de la
forma
22
2 2
11
lim lim limx x x
bx
b x bam y
x a x x a
Igualando esta última expresión con y = m .x, y tomando límites, se obtiene
limx
b bm y x
a a
Luego
Cuando a = b, se obtiene las asíntotas y = ± x, es decir las bisectrices de los
cuadrantes
Parábola La Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de una recta denominada directriz y un punto
denominado FOCO (F)
La distancia entre el foco y la directriz se denomina PARÁMETRO (p) Se denomina EJE DE LA PARÁBOLA, a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco
Se denomina VÉRTICE de la parábola al punto de intersección de la parábola con su eje
Ecuación reducida de la Parábola
Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de
forma que el vértice V sea el origen de coordenadas, el eje de abcisas
la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el eje de
ordenadas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V. Las
coordenadas del foco serán F(p/2,0). Si las coordenadas de los puntos
de la Parábola son P(x,y)
Ecuación reducida de la Parábola
Ecuación reducida de la Parábola
Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de
forma que el vértice V vértice sea el origen de coordenadas, el eje de
abcisas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V y el
eje de ordenadas la recta perpendicular a la directriz que pasa por el
foco , obtendríamos la ecuación reducida
2 2x p y
Ecuación reducida de la Parábola
Si el vértice V de la parábola tiene coordenadas V(a,b).
Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas
respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma
Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas
respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma
22y b p x a
22x a p y b
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/msa
daall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva