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Resumen de los métodos numéricos…
Resumen de los métodos numéricos…
Resumen de los métodos numéricos…
Modelos matemáticos y solución de problemasen ingeniería …
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o unaecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de unproceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante unarelación funcional de la forma:
Modelos matemáticos y solución de problemasen ingeniería
Ejemplo de modelos matemáticos
Newton formuló su segunda
ley del movimiento, la cual
establece que la razón de
cambio del momentum con
respecto al tiempo de un
cuerpo, es igual a la fuerza
resultante que actúa sobre
él.
donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es
la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2).
La segunda ley puede escribirse así:
Ejemplo de modelos matemáticos…
Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley
de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo
que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra.
Para esto se tiene que:
Ejemplo de modelos matemáticos…
Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra, la fuerza total está
compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la
gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU
Ejemplo de modelos matemáticos…
La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia
arriba.
Este es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las
fuerzas que actúan sobre él. Para resolverlo es necesario emplear técnicas
avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta o analítica.
Ejemplo de modelos matemáticos…
Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se
utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación, así
La ecuación anterior es un ejemplo de la forma general de la ecuación de un
modelo matemático, donde v(t) es la variable dependiente, t es la variable
independiente, c y m son parámetros, y g es la función de fuerza.
Dispositivos y tiposde balances que seusan comúnmenteen las cuatrograndes áreas de laingeniería.
Aproximaciones y errores de redondeo
En muchos problemas de aplicación en ingeniería no es posible obtener la
solución analítica; por lo tanto, no se pueden calcular con exactitud los
errores en nuestros métodos numéricos. En tales casos debemos usar
aproximaciones o estimaciones de los errores.
Este capítulo y el siguiente cubren aspectos básicos relacionados con la
identificación, cuantificación y minimización de dichos errores
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber seguridad de que
pueda usarse con confianza.
El velocímetro y el
odómetro de un
automóvil ejemplifican
el concepto de cifras
signifi cativas.
Como la aguja está más allá de la mitad entre las marcas del indicador, es posible asegurar
que el automóvil viaja aproximadamente a 49 km/h, ahora supongamos que se desea
obtener una cifra decimal en la estimación de la velocidad. En tal caso, alguien podría decir
48.8, mientras que otra persona podría decir 48.9 km/h.
Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en
forma confiable.
EXACTITUD Y PRECISIÓN
La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del
valor verdadero.
La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros,
diversos valores calculados o medidos.
DEFINICIONES DE ERROR…
Los errores de truncamiento resultan del empleo de aproximaciones como un
procedimiento matemático exacto.
Los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que
tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.
Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero,
y el aproximado está dada por:
Reordenando la ecuación anterior se encuentra que el error numérico es
igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir:
DEFINICIONES DE ERROR…
donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica
que se trata del error “verdadero” (true).
Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se
evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir
El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como
DEFINICIONES DE ERROR…
donde denota el error relativo porcentual verdadero.
EJEMPLO
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un
remache, y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores
verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el error verdadero y b) el error
relativo porcentual verdadero en cada caso.
Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo
porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho
un buen trabajo en la medición del puente; mientras que la estimación para el
remache dejó mucho que desear.
Solución
En muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta verdadera.
Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la
mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación
misma, como en
DEFINICIONES DE ERROR…
donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.
En los métodos iterativos se hace una aproximación para el calculo del error
considerando la aproximación anterior. el error a menudo se calcula como la
diferencia entre la aproximación previa y la actual.
A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error,
sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia
porcentual prefijada es
DEFINICIONES DE ERROR…
si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es
correcto en al menos n cifras significativas.
DEFINICIONES DE ERROR…
EJEMPLO
Errores de truncamiento y la serie de Taylor
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una
aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por
ejemplo, la derivada para el calculo de velocidad de un cuerpo en caída
libre puede ser representado mediante una ecuación en diferencias
finitas de la forma:
Para obtener un conocimiento sobre las características del error de
truncamiento, se debe considerar: la serie de Taylor.
LA SERIE DE TAYLOR
Proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en
términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en
construirla término por término. Por ejemplo, el primer término de la serie
es:
Esta relación, llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor
de f en el nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior.
LA SERIE DE TAYLOR…
La aproximación de primer orden se obtiene sumando otro término para
obtener:
Teorema de Taylor
Si la función f y sus primeras n + 1 derivadas son continuas en un intervalo
que contiene a y x, entonces el valor de la función en x está dado por:
LA SERIE DE TAYLOR…
donde t = a es una variable muda. La anterior ecuación se llama serie deTaylor o fórmula de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de laecuación es la aproximación del polinomio de Taylor para f(x). En esencia, elteorema establece que cualquier función suave puede aproximarse medianteun polinomio.
LA SERIE DE TAYLOR…
Primer teorema del valor medio para integrales
Si la función g es continua e integrable en un intervalo que contenga a y x,
entonces existe un punto x entre a y x tal que:
La integral puede representarse por un valor promedio de la función g( )
multiplicado por la longitud del intervalo x – a. Como el promedio debe
encontrarse entre los valores mínimo y máximo del intervalo, existe un punto x =
x en el cual la función toma el valor promedio.
LA SERIE DE TAYLOR…
Segundo teorema del valor medio para integrales
Si las funciones g y h son continuas e integrables en un intervalo que contiene a
y x, y h no cambia de signo en el intervalo, entonces existe un punto x entre a y x
tal que
El segundo teorema se aplica a la ecuación del residuo con
Conforme t varía de a a x, h(t) es continua y no cambia de signo. Por lo tanto,
si es continua, entonces se satisface el teorema del valor medio para
integrales.
LA SERIE DE TAYLOR…
Segundo teorema del valor medio para integrales…
La serie truncada en el segundo termino, sólo es exacta para una línea recta o
una tendencia lineal. Por lo tanto, se le agrega a la serie un término de
segundo orden para obtener algo de la curvatura, que pudiera presentar la
función:
Forma de Lagrange del residuo.
LA SERIE DE TAYLOR…
Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde el
n +1 hasta infinito:
De manera similar, se agregan términos adicionales para desarrollar la
expansión completa de la serie de Taylor:
LA SERIE DE TAYLOR…
donde el término residual es ahora
Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un
tamaño de paso o incremento y expresando la serie de Taylor
como:
Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor
Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…
Solución. Ya que se trata de una función conocida, es posible calcular valores
de f(x) entre 0 y 1. Los resultados indican que la función empieza en f(0) = 1.2
y hace una curva hacia abajo hasta f(1) = 0.2. Por lo tanto, el valor verdadero
que se trata de predecir es 0.2.
La aproximación de la serie de Taylor con n = 0 es:
Como se muestra en la siguiente figura, la aproximación de orden cero es
una constante. Usando esta formulación resulta un error de truncamiento de:
en x = 1
Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…
Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…
Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…
Por consiguiente, la expansión de la serie de Taylor hasta la cuarta derivada da una
estimación exacta para xi+l = 1:
Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de
Taylor para aproximar una función con un númeroinfi nito de derivadas
Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de
Taylor para aproximar una función con un númeroinfinito de derivadas
1
Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de
Taylor para aproximar una función con un númeroinfinito de derivadas…
Este proceso continúa y sus resultados se enlistan en la siguiente tabla,
Observe que las derivadas nunca se aproximan a cero, como es el caso con
el polinomio del ejemplo 1. Por lo tanto, cada término que se le agrega a la
serie, genera una mejor aproximación.
Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de
Taylor para aproximar una función con un númeroinfinito de derivadas…
INTERPOLACIÓN
Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios
entre datos definidos por puntos. El método más común que se usa para este
propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general
para un polinomio de n-ésimo grado es:
Ejemplos de interpolación polinomial: a) de primer grado (lineal) que une dos puntos, b) de segundo
grado (cuadrática o parabólica) que une tres puntos y c) de tercer grado (cúbica) que une cuatro
puntos.
Interpolación lineal
La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una
línea recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal:
Esquema gráfico de la interpolación
lineal. Las áreas sombreadas indican
los triángulos semejantes usados para
obtener la fórmula de la interpolación
lineal.
Utilizando triángulos semejantes
reordenándose se tiene
Observe que además de representar la
pendiente de la línea que une los puntos, el
término [f(x1) – f(x0)]/(x1– x0) es una aproximación
en diferencia dividida finita a la primer derivada
(2)
(1)
Ejemplo 1: Interpolación lineal
Ejemplo 1: Interpolación lineal…
2
Ejemplo 1: Interpolación lineal…
Dos interpolaciones lineales
para estimar ln 2. Observe
cómo el intervalo menor
proporciona una mejor
estimación.
Interpolación cuadrática
Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna
curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos,
éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también
conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente
conveniente para ello es
A continuación se muestra que la ecuación anterior corresponde a un
polinomio de grado dos, al multiplicar los términos de esta misma ecuación.
agrupando términos, donde
(3)
Interpolación cuadrática…
Para encontrar b0, se evalúa la ecuación (3) con x = x0 para obtener
La ecuación (4) se sustituye en la (3), después se evalúa en x = x1 para tener
(4)
Por último, las ecuaciones (4) y (5) se sustituyen en la (3), después se evalúa
en x = x2 y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve para:
(5)
Observe que la ecuación (3) comienza a manifestar una estructura semejante
a la expansión de la serie de Taylor.
(6)
Ejemplo 2: Interpolación cuadrática
1
Ejemplo 2: Interpolación cuadrática…
(4)
(5)
(6)
(3)
Ejemplo 2: Interpolación cuadrática…
La solución anterior representa un error relativo de ξt = 18.4%. Así, la curvatura
determinada por la fórmula cuadrática (siguiente grafica) mejora la interpolación
comparándola con el resultado obtenido antes al usar las líneas rectas del
ejemplo de interpolación lineal.
El uso de la interpolación
cuadrática para estimar ln 2.
Para comparación se presenta
también la interpolación lineal
desde x = 1 hasta 4.
Forma general de los polinomios de interpolación de
Newton
El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo
grado a n + 1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es
Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos
asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para
un polinomio de n-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1,
f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para
evaluar los coeficientes:
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Forma general de los polinomios de interpolación de
Newton…
donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son
diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita
en forma general se representa como:
(12)
La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos
primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como:
(13)
Forma general de los polinomios de interpolación de
Newton…
En forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es
(14)
Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (8) a
(11), los cuales se sustituirán en la ecuación (7) para obtener el polinomio de
interpolación:
(15)
que se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas
Forma general de los polinomios de interpolación de
Newton…
Representación gráfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas
finitas.
Ejemplo 3: Polinomios de interpolación deNewton en diferencias divididas
2
Ejemplo 3: Polinomios de interpolación deNewton en diferencias divididas…
(7)
(12)
(13)
Ejemplo 3: Polinomios de interpolación deNewton en diferencias divididas…
(14)
(7) (7)
Errores de la interpolación polinomial de Newton
La ecuación (15) es similar a la expansión de la serie de Taylor en el sentido de
que se van agregando términos en forma secuencial. Los términos son
diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de las derivadas
de orden superior. También, como en el caso de la serie de Taylor, es posible
obtener una formulación para el error de truncamiento.
(16)
donde x está en alguna parte del intervalo que contiene la incógnita y los datos.
Como la función es desconocida se usa una diferencia dividida finita para
aproximar la (n + 1)-ésima derivada:
Errores de la interpolación polinomial de Newton…
Donde ƒ[x, xn, xn–1,. . . , x0] es la (n + 1)-ésima diferencia dividida finita. Debido a
que la ecuación (17) contiene la incógnita f(x), no permite obtener el error. Sin
embargo, si se tiene un dato más, f(xn+1), la ecuación (17) puede usarse para
estimar el error como sigue:
(17)
(18)
Ejemplo 4: Estimación del error para el polinomiode Newton
2( 18)
2.
Ejemplo 4: Estimación del error para el polinomiode Newton
2
(18),
3.
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación
del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se
representa de manera concisa como
Donde
(19)
(20)
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE…
donde Π designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es
y la versión de segundo grado es
(21)
(22)
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE…
Descripción visual del razonamiento
detrás del polinomio de Lagrange.
Esta figura muestra un caso de
segundo grado. Cada uno de los
tres términos en la ecuación (22)
pasa a través de uno de los puntos
que se tienen como datos y es cero
en los otros dos. La suma de los
tres términos, por lo tanto, debe ser
el único polinomio de segundo
grado f2(x) que pasa exactamente a
través de los tres puntos.
Ejemplo:Polinomios de interpolación de Lagrange
Ejemplo:Polinomios de interpolación de Lagrange
21
22
Obtención del polinomio de Lagrange directamente apartir del polinomio de interpolación de Newton
El polinomio de interpolación de Lagrange se obtiene de manera directa a
partir de la formulación del polinomio de Newton. Por ejemplo, la primera
diferencia dividida es
se reformula como
(a)
(b)
Obtención del polinomio de Lagrange directamente apartir del polinomio de interpolación de Newton…
La ecuación (b) es conocida como la forma simétrica. Al sustituir la ecuación
(b) en la formula de interpolación lineal, se obtiene
Por último, al agrupar términos semejantes y simplificar se obtiene la forma
del polinomio de Lagrange
INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)
consiste en colocar polinomios de grado inferior en subconjuntos de los
datos. Tales polinomios conectores se denominan trazadores o splines.
Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unir cada par de
datos se llaman trazadores cúbicos. Esas funciones se pueden construir de
tal forma que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes resulten
visualmente suaves.
El concepto de trazador se originó en la técnica de dibujo que usa una cinta
delgada y flexible (llamada spline, en inglés)
INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)…
La función que se ajusta presenta un incremento súbito en x = 0. Los incisos a) a c) indican
que el cambio abrupto induce oscilaciones en los polinomios de interpolación. En contraste,
como se limitan a curvas de tercer grado con transiciones suaves, un trazador lineal d) ofrece
una aproximación mucho más aceptable.
por qué un trazador aún resulta preferible ?
Trazadores lineales
Los trazadores de primer grado para un grupo de datos ordenados pueden
definirse como un conjunto de funciones lineales
donde mi es la pendiente de la línea recta que une los puntos:
Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la función en cualquier punto
entre x0 y xn localizando primero el intervalo dentro del cual está el punto.
(23)
Ejemplo: Trazadores de primer grado
Ejemplo: Trazadores de primer grado
23
Trazadores (splines) cuadráticos
El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo
grado para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio
en cada intervalo se representa como
Notación utilizada para
obtener trazadores
cuadráticos. Observe
que hay n intervalos
y n + 1 datos. El
ejemplo mostrado es
para n = 3.
(24A)
Trazadores (splines) cuadráticos…
Para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n) existen n intervalos y, en consecuencia, 3n
constantes desconocidas (las a, b y c) por evaluar. Por lo tanto, se requieren
3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son:
1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodosinteriores. Esta condición se representa como para i = 2 a n. Como sólo se empleannodos interiores, las ecuaciones (24) y (25) proporcionan, cada una, n – 1condiciones; en total, 2n – 2 condiciones.
(24)
(25)
Trazadores (splines) cuadráticos…
2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos extremos. Estoagrega dos ecuaciones más:
(26)
(27)
en total tenemos 2n – 2 + 2 = 2n condiciones.
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primeraderivada de la ecuación 24A es
Por lo tanto, de manera general la condición se representa como
(28)
Trazadores (splines) cuadráticos…
para i = 2 a n. Esto proporciona otras n – 1 condiciones, llegando a un total de 2n +n – 1 = 3n – 1. Como se tienen 3n incógnitas, nos falta una condición más.
4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Como la segundaderivada de la ecuación 24A es 2ai, entonces esta condición se puede expresarmatemáticamente como
La interpretación visual de esta condición es que los dos primeros puntos se uniráncon una línea recta.
Ejemplo: Trazadores cuadráticos
Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cuadráticos a los mismos datos
que se utilizaron en el ejemplo de trazadores lineales (tabla 18.1). Con los
resultados estime el valor en x = 5.
Ejemplo: Trazadores cuadráticos…
24 25
26
27
28
Ejemplo: Trazadores cuadráticos…
Ejemplo: Trazadores cuadráticos…
Ejemplo: Trazadores cuadráticos…
Figura 18.16b
Trazadores cúbicos
El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado
para cada intervalo entre los nodos:
Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en
consecuencia, 4n incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos,
se requieren 4n condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son:
(29)
1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2 condiciones).
2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condiciones).
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones).
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones).
5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).
Método para obtener trazadores cúbicos
la segunda derivada dentro de cada intervalo es una línea recta. La ecuación
(29) se puede derivar dos veces para verificar esta observación. Con esta
base, la segunda derivada se representa mediante un polinomio de
interpolación de Lagrange de primer grado
Después, la ecuación (C18.3.1) se integra dos veces para obtener una
expresión para fi(x).
Las constantes se evalúan tomando las condiciones de igualdad de las
funciones [f(x) debe ser igual a f(xi–1) en xi–1 y f(x) debe ser igual a f(xi) en
xi)].
Método para obtener trazadores cúbicos
observe que contiene sólo dos “coeficientes” desconocidos; es decir, las
segundas derivadas al inicio y al final del intervalo: ƒ´´(xi–1) y ƒ´´(xi).
Si podemos determinar la segunda derivada en cada nodo, la ecuación
(C18.3.2) es un polinomio de tercer grado que se utiliza para interpolar
dentro del intervalo.
Método para obtener trazadores cúbicos…
Las segundas derivadas se evalúan tomando la condición de que las
primeras derivadas deben ser continuas en los nodos:
La ecuación (C18.3.2) se deriva para ofrecer una expresión de la primera
derivada. Si se hace esto tanto para el (i – 1)-ésimo, como para i-ésimo
intervalos, y los dos resultados se igualan de acuerdo con la ecuación
(B18.3.3), se llega a la siguiente relación:
Método para obtener trazadores cúbicos…
Si la ecuación (C18.3.4) se escribe para todos los nodos interiores, se
obtienen n – 1 ecuaciones simultáneas con n + 1 segundas derivadas
desconocidas. Sin embargo, como ésta es un trazador cúbico natural, las
segundas derivadas en los nodos extremos son cero y el problema se reduce
a n – 1 ecuaciones con n – 1 incógnitas.
La deducción del cuadro 18.3 da como resultado la siguiente ecuación
cúbica en cada intervalo:
Método para obtener trazadores cúbicos…
Ejemplo: Trazadores cúbicos
Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cúbicos a los mismos datos que
se utilizaron en el ejemplo de trazadores lineales (tabla 18.1). Con los resultados
estime el valor en x = 5.
Ejemplo: Trazadores cúbicos…
Ejemplo: Trazadores cúbicos…
Ejemplo: Trazadores cúbicos…
Ejemplo: Trazadores cúbicos…