INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

Procesamiento Digital de Bio señales

Practica Series de Fourier

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Objetivo: El alumno desarrollara matemáticamente la serie trigonométrica de Fourier para cada señal mostrada, con ayuda de Matlab comprobara que los resultados obtenidos.

Introducción.

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Material y equipo: Computadora

Matlab

Desarrollo

Ejercicio 1.- SEÑAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES

Por su importancia en la transmisión de información en comunicaciones y lo extenso de su

aplicación se estudiará esta señal Fig1 Señal Polar para esta práctica:

Fig1. Señal polar

En el intervalo 0 2 t la señal g(t) está dada por:

g tt

t( )

1 0

1 2

Represente esta señal por medio de series trigonométricas de Fourier.

Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que an=0 y contiene términos seno.

bT

sen n tT

sen n tdtn 2 2

0

0

2

0

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Cálculos:

T = 2

0

21

T Entonces

bnt

n

nt

nn

2

2

2

20

2

cos cos

= 1

11

1n

nn

n

cos cos

b nn

4

0

......................... para n impar

........................... para n par

g(t) = n

nb sen n t

1

0 = 4 4

33

4

55

sen sen sent t t

La expresión g(t) indica que sumando una señal senoidal de frecuencia:

f 0

0

2

1

2

hertz y de

4

volts de amplitud más una señal senoidal de frecuencia

f =3

2Hertz y una amplitud de

4

3volts + ...se obtiene una señal de pulsos rectangulares.

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Fig2.1

Fig2.2

Fig2.3 Componentes armónicos para la señal polar de pulsos rectangulares.

Ahora se graficara el resultado obtenido mediante la serie de Fourier en MATLAB .

% el primer armónico o frecuencia fundamental de la señal cuadrada en azul

t=0:.1:10

y=4*sin(t)/pi;

plot(t,y)

hold on

%el segundo armonico en verde

y=(4/pi)*[sin(3*t)/3];

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hold on

plot(t,y,'g')

%el tercer armonico en ++++

y=(4/pi)*[sin(5*t)/5];

hold on

plot(t,y,'+')

%la resultante en rojo, al sumar las armónicas, de la señal cuadrada.

%siga sumando hasta 10 armónicos y observe que la resultante que se aparece mas

%a la señal cuadrada

y=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5];

plot(t,y,'r')

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Al seguir sumando más armónicos se tenderá a conseguir la señal cuadrada polar

original.

Ejercicio 2.-SEÑAL TRIANGULAR

Encuentre el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra, en la figura en el intervalo o< t <T, la señal g (t) está definida por:

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fig 2.5 Señal Diente de Sierra.

FnT

g t e dtT

A

Tt e dtjn t

T

jn t

T

o o

1 1

0 0

( )

Utilizando la fórmula integral:

xe dxe

xx

x

2

1

Tenemos:

FnAe

T njn t

i

A

ne j n

A

n

jn t

o

o

T

o

jn

o

2 2 20

2

2 2

2

2 2

1

2

1

42 1

4

Tenemos también e jn2

= cos n 2 - jsen n2 = 1

FnjA

n

A

n

A

n

jA

n

FnjA

n

2 4 4 2

2

2 2 2 2

Cuando n = 0 el resultado anterior no tiene sentido por lo que calculando Fn de 2.8 cuando n=o.

Fo =1 1

20

02

2

0T

f t dtT

A

Ttdt

A

T

tT

T

T

( )

=A

T

T A2

2

2 2

Fo = ao

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Agrupando ambos resultados:

Fn A

jA

n

2

2

Para n = 0

Para n 0 Utilizando este resultado para expresar g(t) en serie exponencial de Fourier

Tenemos:

g(t) = - jA

6e j ot 3

- jA

4e j t 2

- jA

2e j t

+ A

2 +

jAe

jAej ot j ot

2 4

2

.......

Descomponiendo a Fn en su magnitud y fase: Fn = |Fn| ej n

Fn = A

n2e j tg1

A

2 n

0

C

0

tg 1 090

2( )

FnA

nFn an bn

2

2 2

`

Para n = -1, -2, -3, . . . . .

Para n = 1, 2, 3, . . . .

n

2

2

Fig 2.6 Espectro de amplitud y espectro de fase para la señal diente de sierra.

Mediante la serie trigonométrica de Fourier:

a 1

20

Tf t dt

AT

( )

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anT

A

Tt n ot

T

2

0cos

2

2

0

0

2

0

0 0

A

T

n t

n

tsen n t

n

T

cos

NOTA:

x axax

a

x sen ax

acos

cos

2

2

2

2

2

1

2 1 10

2

2

2

00

2

2

0

2

0

2

A

T

nT

T

nT

T

sennT

T

n n

A

T n n

cos

Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier.Se deja al lector el cálculo de bn

g(t) = A A

sen tA

sen tA

sen t2 2

23

30 0 0

-A

sen t4

4 0 . . . . . . .

Cn= an bn bn2 2

n

bn

an

A

ntg tg tg ( )1 1 12

0 2

Después de haber evaluado la serie de Fourier para la señal triangular se

grafica en matlab

%SERIE DE FOURIER PARA SEÑAL TRIANGULAR

t=0:0.1:15;

y=1/2-sin(t)/pi;

plot(t,y,'g')

hold on

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y=1/2-sin(2*t)/(2*pi);

plot(t,y,'b')

hold on

y=1/2-sin(3*t)/(3*pi);

plot(t,y,'r')

hold on

y=1/2-sin(4*t)/(4*pi);

plot(t,y,'g')

hold on

y=1/2-sin(t)/pi-sin(2*t)/(2*pi)-sin(3*t)/(3*pi)-sin(4*t)/(4*pi);

plot(t,y,'b')

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

function fousen(N) N=20; x=-2:0.005:2; sumparcial=0; b=zeros(1,N); for k=1:N b(k)=2/(k*pi); sumparcial=sumparcial+b(k)*sin(k*x*pi/2);

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end f=(x<0).*(-1-x/2)+(x>=0).*(1-x/2); plot(x,f,'b',x,sumparcial,'g'),shg

function fou(N) N=1; x=-1:0.05:1; a=zeros(1,N); sumparcial=1/3; for k=1:N a(k)=quadl(@fun,-1,1,1e-9,[],k); sumparcial=sumparcial+a(k)*cos(k*x*pi); end f=x.^2; plot(x,f,'b',x,sumparcial,'g'),shg function y=fun(t,n) y=(t.^2).*cos(n*pi*t);

CONCLUSIONES: