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MATRICES
Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una
matriz con filas y columnas es
Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x
o matriz de orden x (que se lee por ).
Ejemplos:
Los números se llaman componentes de la matriz.
Ejemplo:
Obtener los elementos:
Observación:
Notar que la fila y la columna del elemento se indica por su primero y segundo
subíndice respectivamente
La componente de está ubicada en la fila y en la columna de la matriz ,
se dice que ocupa el lugar de .
Las matrices se indicarán por letras mayúsculas A, B, C,..., mientras que sus
elementos se indican con letras minúsculas
Observación :
1) Una matriz de orden x se dice
2) Una matriz de orden de x se dice
3) En una matriz, si la matriz se llamará " " y es de
la forma
2
En una matriz cuadrada de orden las componentes constituyen la
diagonal de
Ejemplo:
Clasificar las siguientes matrices según su forma:
IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices , son iguales si y sólo sí tienen
el mismo orden y = para cada y cada (esto es, entradas correspondientes son
iguales, es decir,
Propiedades :
Si son matrices de la forma ,
(a)
(b)
(c)
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Sea una matriz de la forma . Se llama a la
matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas en
Se denota por
Ejemplo : Si , entonces 2 3
4 5 6
4
2 5
3 6
Propiedades :
Sean matrices de la forma ,
1)
2)
3)
3
ALGEBRA DE MATRICES
SUMA DE MATRICES
Sean , la suma de y es la matriz :
= tal que
Ejemplo:
1) A= , B = 4 -1 3 3 7 4
-2 0 7 -5 1 2
A+ B = + =4 -1 3 3 7 4 7 6 7
-2 0 7 -5 1 2 -7 1 9
2) A= , B =3 2 4
-5 1 2
3 5
-1 0
4 1
A + B no está definida ya que las matrices no son del mismo tamaño
Propiedades :
Para poder efectuar las sumas las matrices deben tener el mismo orden.
1) Clausura :
Si son matrices de la forma x entonces también son matrices de la
forma x .
2) Propiedad Asociativa :
3) Propiedad Conmutativa :
4) Propiedad del neutro aditivo : A + 0 = AM
Se llama matriz cero aquella que tiene todas sus componentes iguales a cero.
[0 ] =M ij mxn
5) Propiedad del inverso aditivo :
Si designamos por la matriz
La matriz es el inverso aditivo de pues M
Observación :
Se puede definir la diferencia o resta de matrices :
6) Propiedad cancelativa aditiva :
4
MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.
Se llamará un escalar a cualquier elemento del conjunto de los Reales
Sean y un escalar.
Se define la multiplicación de la matriz por el escalar a la matriz :
Es decir :
Ejemplo 3
2 1 6 3
6 9
12 21
Propiedades :
Si , y se tiene :
1)
2)
3)
4) A = 0 ,
5)
PRODUCTO DE MATRICES.
Sean y entonces el producto de por es la matriz
donde
AB =
...
Observación :
5
jemplo : Si y
no está definido ya que el
numero de columnas de B no es igual al número de filas de A.
El producto de matrices no es conmutativo.
Propiedades :
1) Si matrices , entonces está definido si el número de columnas de es
igual al número de filas de .
2) Si matrices, de órdenes y respectivamente ;
entonces :
3) Si , C entonces, siempre que las sumas o productos puedan efectuarse:
4) No existe ley de cancelación para el producto. O sea :
Si no se puede deducir que AM M M
5) (AB) = B At t t
Propiedades:
1) Propiedad de Clausura : Si y son matrices de orden entonces son
matrices de orden
2) Propiedad Asociativa :
3) El producto no es conmutativo
4) Propiedad del neutro multiplicativo :
La matriz identidad es el neutro multiplicativo ya que
POTENCIA DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz cuadrada y es un número entero positivo, entonces la ésima
potencia de A, escrita por A , es el producto de factores de A:
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A A.A.A......A ( factores)
Si A es de orden , se define A = I0
Ejemplo:
Si A = calcular A1 0
1 23
Solución:
A =A A = =1 0 1 0 1 0
3 4 1 2 7 83 2
Evaluación de un polinomio en una matriz
Sean : un polinomio en la variable , con
coeficientes en y matriz de orden la evaluación de para es :
cuando (matriz cero), diremos que es solución matricial de la ecuación
Ejemplo :
es solución de
pues
MATRICES ESPECIALES
MATRIZ DIAGONAL
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada tal que todas sus componentes que se
encuentran fuera de la diagonal principal son ceros.
es matriz diagonal
Ejemplo: A =
2 0 0
0
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MATRIZ IDENTIDAD
La matriz identidad de orden , denotada por I , es la matriz diagonal cuyas entradas en la
diagonal principal son numeros uno.
I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n
x
I = , I =1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 12 3
MATRICES TRIANGULARES
Una matriz cuadrada se dice si todas sus componentes que setriangular superior
encuentran bajo de la diagonal principal son ceros.
Sea entonces : es matriz triangular superior
Ejemplo: A =
2 4 6
0 3
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Una matriz cuadrada se dice si todas sus componentes que setriangular inferior
encuentran sobre la diagonal principal son ceros.
Sea entonces : es matriz triangular inferior
Ejemplo : A =
2 0 0
8 0
4 3 5
Observación: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es triangular superior e
inferior a la vez.
MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS
Sea M , A =[a ] Se definenxn ij
matriz simétrica , es decir, a = aij ji
matriz antisimétrica , es decir, a = aij ji
Ejemplos: A es matriz simétrica.
2 3
3
8
es matriz antisimétrica.
Propiedades :
1) oda matriz antisimétrica tiene en su diadonal principal sólo elementos no nulos.
2) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y
otra antisimétrica
3) Sea A una matriz de orden
a) y son matrices simétricas.
b) es matriz antisimétrica.
4) Una matriz A se puede escribir como una suma de una matriz simétrica y una
antisimétrica de la siguiente forma
MATRICES: IDEMPOTENTE, INVOLUTIVA Y NILPOTENTE DE INDICE K
Sea A M , se dice que A es :nxn
Idempotente si y sólo si A =A2
Involutiva si y sólo si A = I2n
Nilpotente de índice k, k si y sólo si A = 0kM
MATRIZ INVERSA
Si es una matriz cuadrada y existe una matriz C tal que CA = I , entonces C es
llamada la inversa de A, y se dice que A es invertible ( o no singular)
Ejemplo:
Sea A = y C = como CA = = I,1 2 7 1 0
3 7 0 1
la matriz C es la inversa de A
Puede demostrarse que una matriz invertible, tiene una , y sólo una, inversa, ésto es,
la inversa es única. La inversa de A se denota por A
La matriz inversa es tal que :
a) si es no-singular
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b) siempre que son no-singulares en
No toda matriz 0 es invertible. Por tanto si no posee inversa. Se dice que
es singular o no-invertible.
MATRICES EQUIVALENTES
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Las Transformaciones Elementales (T.E.) son funciones matriciales que producen
cambios o bien en una fila(renglón) (o bien en una columna) de una matriz.
Estas transformaciones elementales son de tres tipos tanto para filas (como para
columnas), como se ve en el cuadro siguiente :
1) Intercambio de dos filas de una matriz
2) Multiplicación de una fila de una matriz por un escalar diferente de cero.
3) Suma de un múltiplo de una fila de una matriz a una fila diferente de esa matriz
Notación:
1) f Es la T.E. que intercambia la fila con la fila o (R R )
2) f es la T.E. que multiplica la fila por o ( R
3) f es la T.E. que suma a la fila , la fila multiplicada por o ( R el renglón R
permanece igual
Observación:
Las operaciones también se pueden realizar en columnas
Ejemplo :
1 0 -2 1 0 -2 5 0 3
4 -2 1 0 -2 9
5 0 3 5 0 3 5 0 -2
-4f +f f
2 130 -2 9
MATRIZ ESCALONADA. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA.
Matriz reducida:
Una matriz se dice reducida (escalonada reducida o matriz triangular modificada
MTM) si se satisface lo siguiente:
1) Si una fila no consiste solamente en ceros, entonces la primera entrada diferente
de cero en la fila, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás
entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros.
2) En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera
entrada diferente de cero de cada fila arriba de él.
3) Todas las filas que consistan únicamente en ceros, están en la parte inferior de la
matriz.
Observación:
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Es posible reducir una matriz A a una matriz triangular modificada MTM.
La secuencia de pasos que se utiliza para reducir una matriz no es única; sin
embargo, la forma reducida si es única
Ejemplo :
Reducir la matriz A=
0 0 1 2
3 -6 -3 0
6 -12 2 11
Solución:
A= .....
0 0 1 2 1 -2 0 0
3 -6 -3 0 0 0 1 0
6 -12 2 11 0 0 0 1
RANGO DE UNA MATRIZ
Es el número de filas diferentes de 0 que tiene la matriz triangular modificada
( reducida)
Ejemplo:
El rango de la matriz A es 3 , se denota rag
Método para encontrar la inversa de una matriz
Si M es una matriz invertible de , formar la matriz de x , [M I].
Después realizar operaciones elementales sobre filas hasta que la primeras
columnas formen una matriz reducida igual a I (Identidad). Las últimas columnas
serán M-1
[M I ] ... [ I M ]-1
Si una matriz M no se reduce a I, entonces M no existe.-1
Ejemplo:
Determinar A si A es invertible, A=
1 0 -2
4 -2 1
1 2 -10
-1
Solución: Siguiendo procedimiento anterior, se puede obtener
[A I]= ... =[I A ]
1 0 -2 1 0 0 1 0 0
4 -2 1 0 1 0 0 1 0
1 2 -10 0 0 1 0 0 -1
-9 2 2
- 4
-5 1 1
41 92 2
-1
11
A =
-9 2 2
- 4
-5 1 1
-1 41 92 2
EQUIVALENCIA DE MATRICES
Sean matrices de orden
1) es equivalente por filas con se obtiene a partir de por una sucesión de
T.E. filas.
2) es equivalente por columnas con se obtiene a partir de por una
sucesión de T.E. columnas.
3) es equivalente con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E.
filas y/o columnas.
Ejemplos :
es equivalente con
ya que :
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Es natural encontrarse en casi todos los campos de estudio, tales como: matemática, física,
química, biología, ciencias económicas y administrativas, todas las ramas de la ingeniería, etc.,
con sistemas de ecuaciones lineales de ecuaciones, plantearlos, resolverlos e interpretarlos.
Una ecuación
para las variables y los coeficientes (constantes) se llama
ecuación lineal, donde ,
Un sistema de ecuaciones lineales de ecuaciones con incógnitas es de la forma:
Ejemplos:
1)
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2) =
=
Para el sistema se tiene :
a) Los se dicen los del sistema, los son y los , los coeficientes las incógnitas
términos constantes.
El sistema se dirá un sistema de o bien un sistema de ecuaciones
con incógnitas.
b) Una solución del sistema es un conjunto de elementos de , tales como
que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones del sistema.
c) Si el sistema tiene a lo menos una solución se dice que es , en casocompatible
contrario, o sea, si no hay soluciones, se dice que es incompatible.
d) Si el sistema se llama homogéneo.
La solución se denomina solución trivial del sistema
homogéneo asociado a
Notación Matricial de un sistema de ecuaciones
Usando la multiplicación de matrices un sistema tal como se puede denotar
simplemente por
X =
Los coeficientes del sistema se puede ordenar en una matriz :
llamada .la matriz de los coeficientes del sistema
Análogamente los términos constantes se ordenan en una matriz columna
b que es la matriz de las constantes del sistema.
Como resulta que el sistema se puede
escribir en :notación matricial
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donde
Luego tenemos : es solución del sistema
Llamamos del sistema a la matriz :matriz ampliada
=
EJEMPLO:
Para el sistema
se tiene que es su matriz de los coeficientes y
que la matriz ampliada es:
DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
Dado un sistema de ecuaciones lineales, denotado matricialmente :
podemos buscar sus soluciones de distintas maneras, según el caso :
a) En caso que sea una matriz cuadrada e invertible, entonces podemos multiplicar
por por la izquierda a la ecuación matricial y obtenemos :
que sería la única solución del sistema.
b) Si es cualquier matriz de orden , entonces la alternativa es efectuar
transformaciones en el sistema para eliminar incógnitas en algunas ecuaciones ( método
de Gauss).
Este método es válido cualquiera que sea y es el que se desarrollará
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Dado el sistema , observemos que las "transformaciones" que se hacen para
"eliminar" incógnitas, corresponden a T.E.(transformaciones elementales) por filas en la
matriz ampliada del sistema.
TEOREMA 1
Dados los sistemas
se tiene que :
si | es equivalente por filas con entonces y tienen
exactamente el mismo conjunto solución (se dice que, en este caso, los sistemas y
son )equivalentes
OBSERVACION
Si se hace una T.E. fila en la matriz ampliada obtenemos una matriz
donde es una escalonada reducida de
| ...... ..... MTM |
TEOREMA 2
Dado el sistema con incógnitas :
a) Si a a , entonces no tiene solución.
b) Si a a , entonces tiene una única solución.
c) Si a a y , entonces tiene infinitas soluciones.
Además en este caso incógnitas dependen de las - restantes.
d) Un sistema homogéneo es un sistema de ecuaciones lineales de la forma :
Propiedades :
a) Todo sistema homogéneo tiene solución ya que : es siempre solución de
, y esta se llama la solución trivial de
b) Si con incógnitas, entonces :
a tiene una única solución que es la trivial
a tiene infinitas soluciones
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EJEMPLOS
1) Dado el sistema :
Se tiene : es su matriz de los coeficientes y
la matriz ampliada
Hacemos T.E. fila en para escalonar :
= ......
1 0 0
0 1 0 -
0 1 -
415
95
75
concluímos que = - -41 9 75 5 5
2) Dado
Su matriz ampliada es :
Obtenemos una escalonada para
.......
Esta última matriz escalonada corresponde al sistema :
cuya última ecuación no tiene sentido.
O sea, . Luego el conjunto solución del sistema dado es .no hay solución
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Notemos que en este caso, mirando la matriz escalonada que se obtuvo, se tiene que:
a y a son distintos
3) Dado el sistema :
2 +3 1
1
entonces :
..
¿Cómo son los rangos de la matriz ampliada con el de la matriz de los coeficientes? y con el número de
incógnitas? ¿Qué puede concluir al respecto según teorema anterior?
O sea : , ,
¡Hay infinitas soluciones!
El conjunto solución del sistema dado es :
DETERMINANTES
Se introducirá una nueva función llamada . Aquí las
entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales. Si A es una
matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con exactamente un número
real llamado " " de A. Denotado por , se puede pensar la funciónA
determinante como
A A
matriz cuadrada número real = determinante de A
Para cada , su imágen será el "determinante de ".
Esta función se llama la función determinante de orden , y anotamos
por det A o por A
si entonces A
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 1
Si definimos det.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2
Si entonces definimos det.
O sea :
Ejemplo :2 1
3 42 4 1 3
si , 2 1
3 4A
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3
Para el caso de una matriz cuadrada de orden 3, se tiene = A
el determinante se puede obtener como:
A
Ejemplo
1) Verificar si = 27 , para A= A 3
2
2) Calcular , si A= A 3 1 0
2 4 -1
-2 3 4
Nota:
Se debe hacer notar que para una determinante no hay método equivalente al
anterior para calcular el determinante.
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Hay una manera más práctica de obtener el determinante para una matriz de orden 3,
escribiendo a continuación de la matriz A, las dos primera columnas y efectuar la suma
de los productos de los elementos de la diagonal principal y de las paralelas a ellas, y
luego hacer lo mismo con la diagonal secundaria pero en este caso restando, el resultado
de esas operaciones es el determinante, es decir:
Si anotamos las dos primeras columnas a la derecha de y
entonces los productos de las componentes de las
diagonales a la derecha se suman y las otras se restan.
Así se obtiene
det
Ejemplo:
Efectuar para la matriz A=
2
3
En el caso de una matriz de orden mayor a tres se debe efectuar lo siguiente:
Desarrollo de un determinante por sus cofactores
Definición .
Sea A = [ una matriz de orden Sea la submatriz de un orden menor, que
se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.
El determinante se llama del elemento M ij menor
Definición .
Sea A= [ una matriz de orden el de se define porcofactor
M ij
EJEMPLOS : obtener los cofactores : Sea
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cof = , M 11
1 111
cof 0
cof , cof , etc
Entonces para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n
(mayor que 2), seleccionar cualquier fila (o columna de A ) y multiplicar cada entrada en
la fila (o columna ) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de
A, llamado determinante de orden
Ejemplo:
Obtener por desarrollo por primera fila el determinante de si A= ,
2
3
comprobar usando desarrollo por la segunda columna.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1 Si tiene una fila o columna de ceros, entonces det .
Ejemplo:
2. Si tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces det .
Ejemplo: = 0
2 5 2 1
2 5 2 6
-2 0 -2 5
6 0 6 1
3. Si es una matriz triangular superior ( o inferior) entonces detA es igual al producto
de las entradas de la diagonal principal
Ejemplo: =( )( )( )( )=
2 5 2 1
0 5 2 6
0 0 -2 5
0 0 019 1
20
4. Si es la matriz obtenida sumando un múltiplo de una fila (o columna) de A a otra
fila (o columna ) , entonces el
5. Si en se intercambian 2 filas o columnas consecutivas, cambia el signo de su
determinante.
6. Si en se multiplica solo una fila (o columna) por un factor , entonces el
determinantes de la matriz resultante es det
7. El determinante de es igual a det . O sea, det det
8. El determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de las
determinantes de cada una. O sea, det det det
9. En general det det det .
Observación:
Las propiedades de 1 a 6 son útiles en la evaluación de ya que nos dan una
manera de expresar en forma triangular (se dice triangulamos), entonces por la
propiedad 3, se considera el producto de sus diagonales
Ejemplo:
Comprobar por triangulación que el determinante de la matriz es
Matriz Inversa:
Otra manera de calcular la matriz inversa es usando la matriz de los cofactores
MATRIZ DE LOS COFACTORES
Sea , la Matriz de los cofactores de es la matriz de orden cuyas
componentes son los cofactores de lugar de . Anotamos :
cof con cof x
Llamamos a la transpuesta de la matriz de los cofactores de matriz adjunta de
O sea : Adj cof
EJEMPLOS :
21
Sea entonces :
cof , cof
cof , cof , etc
Así
cof y Adj
2) Obtener Ud. la matriz adjunta de
Teorema :
Si entonces : Adj (det ) Adj
Corolario :
Sea Entonces es invertible det
y en este caso : Adj det
EJEMPLO
a) Si , entonces det , y así no es invertible, o sea
es singular.
b) Si , entonces det y por lo tanto es invertible.
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Se tiene, por lo visto en ejemplo anterior,
Adj
SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO DETERMINANTES
Regla de Cramer:
Sea un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas como sigue
Si el determinante de la matriz de los coefcientes es distinto de cero, entonces el
sistema tiene solución única .
La solución está dada por
donde es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima columna de Ak
por la columna de las constantes.
Ejemplo:
Resolver el sistema siguiente utilizando la regla de Cramer
Respuesta:
Como = entonces3 2
3 2 2 3 2
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