Post on 26-Feb-2018
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
1/15
Departamento de Ciencias 2016-0 1
SEMANA 2CURSO: CLCULO III
Tema :
REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
La regla de la cadena para funciones de una variable dice que cuando )(xfw es una
funcin diferenciable dex, y )(tgx es una funcin diferenciable de t, wse convierte
en una funcin diferenciable de ty dtdw / puede calcularse mediante la frmula
dt
dx
dx
dw
dt
dw.
Para funciones de dos o ms variables, la regla de la cadena tiene varias formas. Laforma depende del nmero de variables en cuestin, pero funciona como regla de lacadena de una funcin de una variable, una vez que consideramos la presencia devariables adicionales.
Teorema.- Sea RRDf 2: una funcin diferenciable, definida por ( , )u f x y y
( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y
x y r s r s
;
Entonces las derivadas parciales de la funcin compuesta ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s se puedencalcular mediante:
u u x u y
r x r y r
;
u u x u y
s x s y s
.
Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de zrespecto de t se puede calcular: o bien haciendo la sustitucin, o bien, aplicando la siguientefrmula:
dz z dx z dy
dt x dt y dt
.. (1)
Ejemplo 1 Dada la funcinz=2xy donde 2 2x s t ;s
yt
; hallar ;z z
s t
Solucin
Como2
12 ; 2 ; 2 2 ; ;
z z x x y y sy x s t
x y s t s t t t
entonces
Re la de la cadena o timizacin de funciones de varias variables
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
2/15
Departamento de Ciencias 2016-0 2
2 21 2 2(3 )(2 )(2 ) (2 ) 4
z z x z y x s ty s x ys
s x s y s t t t
2 3
2 2 2
2 2 2(2 )(2 ) (2 )( ) 4
z z x z y s xs st sy t x ytt x t y t t t t
Ejemplo 2 Si 2 43z x y xy , donde 2x sen t y cosy t . Determine dz dt cuando 0t .
Solucin
Por la regla de la cadena tenemos
4 2 3(2 3 )(2cos2 ) ( 12 )( )
dz z dx z dyxy y t x xy sent
dt x dt y dt
No es necesario escribir las expresiones para yx y en trminos de tsimplemente observemos
que cuando 0t tiene 0 0x sen y cos0 1y . Por lo tanto
0
(0 3)2cos0 (0 0)( 0) 6t
dz z dx z sen
dt x dt t
La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razn de cambio dezcon respecto a t
cuando el punto ( , )x y se desplaza por la curva Ccuyas ecuaciones paramtricas son 2x sen t
, y cost . Ver figura
En particular, cuando 0t , el punto ( , )x y es (0,1) y 6dz dt es la razn del incremento
cuando uno se desplaza por la curva Cque pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si2 4( , ) 3z T x y x y xy representa la temperatura en el punto ( , )x y , entonces la funcin
compuesta ( 2 , )z T sen t cost representa la temperatura en los puntos sobre Cy la derivada
dz dtrepresenta la razn a la cual la temperatura cambia a lo largo de C .
Ejemplo 3La figura siguiente muestra un bloque de hielo cilndrico que se funde. Debido al calor del Solque le llega desde arriba, su altura h decrece con ms rapidez que su radio r . Si su altura
disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando 15r cm y 40h cm Cul es la tasa de cambiodel volumen V del bloque en ese instante?
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
3/15
Departamento de Ciencias 2016-0 3
Solucin
Con 2V r h , la regla de la cadena ofrece
22 .dV V dr V dh dr dh
rh rdt r dt h dt dt dt
Al sustituir los valores de 15r cm , 40h cm , 1dr
dt y 3
dh
dt se encuentra que
22 (15)(40)( 1) (15) ( 3) 1875 5890.49dV
dt (cm3/h).
As en el instante en cuestin, el volumen del bloque cilndrico disminuye a poco menos de 6
litros por hora.
Ejemplo 4 Dosobjetos recorren trayectorias elpticas dadas por las ecuaciones paramtricassiguientes
1 1
2 2
4cos y 2 (Primer objeto)
2 2 y 3cos2 (Segundo objeto)
x t y sent
x sen t y t
A qu velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?
Solucin
En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos est dada por
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
4/15
Departamento de Ciencias 2016-0 4
2 2
2 1 2 1( ) ( )s x x y y
y que cuando t , se tiene 1 1 2 24 , 0 , 0 , 3x y x y y
2 2(0 4) (3 0) 5s .
Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.
2 1
2 21 2 1 2 1
2 1
2 21
2 1 2 1
2 1
2 22 2 1 2 1
2 1
2 22 2 1 2 1
( ) 1 4(0 4)
5 5( ) ( )
( ) 1 3(3 0)
5 5( ) ( )
( ) 1 4(0 4)
5 5( ) ( )
( ) 1 3(3 0)
5 5( ) ( )
x xd s
d x x x y y
y yd s
d y x x y y
x xd s
d x x x y y
y yd s
d y x x y y
Cuando t , las derivadas de 1 1 2 2, , yx y x y son
1 1
2 2
4 0 , 2 2
4 2 4 , 6 2 0
x ysent cost
t t
x ycos t sen t
t t
Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a unavelocidad o ritmo
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 4 3(0) ( 2) (4) (0)
5 5 5 5
22.5
dx dy dx dyds s s s s
dt x dt y dt x dt y dt
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
5/15
Departamento de Ciencias 2016-0 5
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar dtdw / utilizando la regla de la cadena apropiada
a) tytxyxw 3;2,22 b) teytxyxw ,cos,22 c) tyexxsenyw t ,,
d) sentytxx
yw
,cos,ln
2.
Hallar dtdw/ a) utilizando la regla de la cadena apropiada y b) convirtiendo wenfuncin de t antes de derivar
a)tt eyexxyw 2,,
b) 1,),cos(
2 ytxyxw
c) tezsentytxzyxw ,,cos,222
d) tztytxzxyw arccos,,,cos 2
3. En los siguientes ejercicios hallar sw / y tw / utilizando la regla de la cadenaapropiada y evaluar cada derivada parcial en los valores desytdados.
a) 0,1:,,,22 tsPuntotsytsxyxw
b) 2,1:,,,3 23 tsPuntoeyexyxyw ts
c) 2/,0:,,),32( tsPuntotsytsxyxsenw
d) 4/,3:,,cos,22 tsPuntosentsytsxyxw
4.
El voltaje en los extremos de un conductor aumenta a una tasa de 2 volts/min y laresistencia disminuye a razn de 1 ohm/min. EmpleeI=E/Ry la regla de la cadena
para calcular la tasa a la cual la corriente que circula por el conductor estcambiando cuandoR= 50 ohms yE= 60 volts.
5. La longitud del lado marcadoxdel tringulo de la figura aumenta a una tasa de 0.3
cm/s, el lado marcado y crece a una tasa de 0.5 cm/s y el ngulo incluido aumenta a una tasa de 0.1 rad/s. Emplee la regla de la cadena para determinar la
tasa a la cual el rea del tringulo est cambiando en el instante x= 10 cm,y= 8 cmy 6/
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
6/15
Departamento de Ciencias 2016-0 6
OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS
En cursos anteriores se estudiaron las tcnicas para hallar valores extremos de una
funcin de una variable. En esta sesin se extienden estas tcnicas a funciones de dosvariables. Por ejemplo, en el Teorema siguiente se extiende el teorema de valor extremo
para una funcin de una sola variable a una funcin de dos variables.
Considrese la funcin continua f de dos variables, definida en una regin acotada
cerrada R. Los valores ),( baf y ),( dcf tales que
),(),(),( dcfyxfbaf
para todo (x,y) en R se conocen como el mnimoy mximode f en la regin R, como
se muestra en la figura.
Recurdese que una regin en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera.El teorema del valor extremo se refiere a una regin en el plano que es cerrada yacotada. A una regin en el plano se le llama acotadasi es una subregin de un discocerrado en el plano.
Teorema Teorema del valor extremoSea f una funcin continua de dos variables x y y definida en una regin acotadacerrada R en el planoxy.
1. Existe por lo menos un punto enR, en el que f toma un valor mnimo.2.
Existe por lo menos un punto enR, en el que f toma un valor mximo.
A un mnimo tambin se le llama un mnimo absoluto y a un mximo tambin se le
llama mximo absoluto. Como en el clculo de una variable, se hace una distincinentre extremos absolutos y extremos relativos.
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
7/15
Departamento de Ciencias 2016-0 7
Definicin Extremos relativos
Sea f una funcin definida en una reginRque contiene ),( 00 yx .
1. La funcin f tiene un mnimo relativoen ),( 00 yx si
),(),( 00 yxfyxf
para todo (x,y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx .
2.
La funcin f tiene un mximo relativoen ),( 00 yx si
),(),( 00 yxfyxf
para todo (x,y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx .
Decir que f tiene un mximo relativo en ),( 00 yx significa que el punto ),,( 000 zyx es
por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la grfica de ),( yxfz . De
manera similar,f tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si ),,( 000 zyx es por lo menos tan
bajo como todos los puntos cercanos en la grfica.
Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que elgradiente de f es 0 los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista.Tales puntos se llamanpuntos crticos de f.
Definicin Puntos crticos
Sea f definida en una regin abierta R que contiene ),( 00 yx . El punto ),( 00 yx es un
punto crtico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:
1. 0),(00
yxfx
y 0),(00
yxfy
2. ),( 00 yxfx o ),( 00 yxfy no existe.
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
8/15
Departamento de Ciencias 2016-0 8
Recurdese de la sesin anterior que si f es diferenciable y
j0i0
j),(i),(),( 000000
yxfyxfyxf yx
Entonces toda derivada direccional en ),( 00 yx debe ser 0. Esto implica que la funcin
tiene un plano tangente horizontal al punto ),( 00 yx , como se muestra en la figura
Al parecer, tal punto es una localizacin probable para un extremo relativo. Esto esratificado por el teorema siguiente
Teorema Los extremos relativos se presentan slo en puntos crticos
Si f tiene un extremo relativo en ),( 00 yx en una regin abiertaR, entonces ),( 00 yx es
un punto crtico de f.
Ejemplo 1Hallar los extremos relativos de 20682),( 22 yxyxyxf
SolucinPara comenzar, encontrar los puntos crticos de f. Como
84),( xyxfx Derivada parcial con respecto ax.
y62),( yyxfy Derivada parcial con respecto a y.
estn definidas para todoxyy, los nicos puntos crticos son aquellos en los cuales las
derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen ),( yxfx
y ),( yxfy igual a 0, y se resuelven las ecuaciones
084 x y 062 y
Para obtener el punto crtico (2,3 ). Completando cuadrados, se concluye que paratodo )3,2(),( yx
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
9/15
Departamento de Ciencias 2016-0 9
.33)3()2(2),( 22 yxyxf
Por tanto, un mnimorelativo de f se encuentra en (2, 3). El valor del mnimo
relativo es 3)3,2( f , como se muestra en la figura.
El ejemplo 1 muestra un mnimo relativo que se presenta en un tipo de punto crtico; el
tipo en el cual ambos ),( yxfx y ),( yxfy son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un
mximo relativo asociado al otro tipo de punto crtico; el tipo en el cual ),( yxfx o
),( yxfy no existe.
Ejemplo 2
Hallar los extremos relativos de 3/1221),( yxyxf
Solucin
Como
3/2
223
2),(
yx
xyxfx
y
3/2
223
2),(
yx
yyxfy
se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el planoxysalvo para(0,0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que xyysean 0, seconcluye que (0,0) es el nico punto crtico. En la figura siguiente se observa que
)0,0(f es 1. Para cualquier otro (x,y) es claro que
11),( 3/122 yxyxf
Por tanto,f tiene un mximo relativo en (0,0).
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
10/15
Departamento de Ciencias 2016-0 10
Observacin
En el ejemplo 2, 0),( yxfx para todo punto distinto de (0,0) en el eje y. Sin embargo,como ),( yxfy no es cero, stos no son puntos crticos. Recurdese que una de las
derivadas parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crtico.
EL CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES
El teorema anterior afirma que para encontrar extremos relativos slo se necesita
examinar los valores de ),( yxf en los puntos crticos. Sin embargo, como sucede con
una funcin de una variable, los puntos crticos de una funcin de dos variables nosiempre son mximos o mnimos relativos. Algunos puntos crticos danpuntos silla que
no son ni mximos relativos ni mnimos relativos.
Como ejemplo de un punto crtico que no es un extremo relativo, considrese lasuperficie dada por
22),( xyyxf Paraboloide hiperblico
que se muestra en la figura.
En el punto (0,0), ambas derivadas parcialesson 0. Sin embargo, la funcin f no tiene unextremo relativo en este punto ya que en tododisco abierto centrado en (0,0) la funcin asumevalores negativos (a lo largo del ejex) y valores
positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, elpunto (0,0,0) es un punto silla de la superficie.(El trmino punto silla viene del hecho de
que la superficie mostrada en la figura se parecea una silla de montar).
En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fuerelativamente fcil determinar los extremos relativos, porque cada una de las funciones
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
11/15
Departamento de Ciencias 2016-0 11
estaba dada, o se poda expresar, en la forma de cuadrado perfecto. Con funciones mscomplicadas, los argumentos algebraicos son menos adecuados y es mejor emplear losmedios analticos presentados en el siguiente criterio de las segundas derivadas
parciales. Es el anlogo, para funciones de dos variables, del criterio de las segundasderivadas para las funciones de una variable. La demostracin de este teorema se deja
para un curso de clculo avanzado.
Teorema Criterio de las segundas derivadas parcialesSea f una funcin con segundas derivadas parciales continuas en una regin abierta quecontiene un punto (a, b) para el cual
0),( bafx y 0),( bafy
Para buscar los extremos relativos de f, considrese la cantidad
2
),(),().,( bafbafbafd xyyyxx
1. Si 0d y 0),( bafxx , entonces f tiene un mnimo relativo en (a, b)
2. Si 0d y 0),( bafxx , entonces f tiene un mximo relativo en (a, b)
3. Si 0d , entonces )),(,,( bafba es unpunto silla
4. Si 0d el criterio no lleva a ninguna conclusin.
Observacin
Si 0d , entonces ),( bafxx y ),( bafyy deben tener el mismo signo. Esto significa que
),( bafxx puede sustituirse por ),( bafyy en las dos primeras partes del criterio.
Un recurso conveniente para recordar la frmula de den el criterio de las segundasderivadas parciales lo da el determinante 22
),(),(
),(),(
bafbaf
bafbafd
yyyx
xyxx
Donde ),(),( bafbaf yxxy bajo ciertas condiciones.
Ejemplo 3Identificar los extremos relativos de 124),( 23 yxyxyxf
SolucinPara comenzar, se identifican los puntos crticos de f . Como
yxyxfx 43),(2 y yxyxfy 44),(
Existen para todo x y y, los nicos puntos crticos son aquellos en los que ambasderivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0
),( yxfx y ),( yxfy y se obtiene 0432 yx y 044 yx . De la segunda ecuacin
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
12/15
Departamento de Ciencias 2016-0 12
se sabe que yx , y por sustitucin en la primera ecuacin, se obtienen dos soluciones:
0 xy y 3/4 xy . Como
4),(,6),( yxfxyxf yyxx y 4),( yxfxy
se sigue que, para el punto crtico (0,0),
0160)0,0()0,0().0,0( 2 xyyyxx fffd
y, por el criterio de las segundas derivadas parciales,se puede concluir que (0,0,1) es un punto silla. Para el
punto crtico 3/4,3/4 ,
01616)4(8
)3/4,3/4()3/4,3/4().3/4,3/4(2
xyyyxx fffd
y como 08)3/4,3/4( xxf se concluye que f
tiene un mximo relativo en 3/4,3/4 , como semuestra en la figura.
Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos
relativos por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no sepuede aplicar el criterio. Si
0),(),().,( 2 bafbafbafd xyyyxx
el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremosmediante la grfica o mediante algn otro mtodo, como se muestra en el siguienteejemplo.
Ejemplo 4
Hallar los extremos relativos de
22
),( yxyxf
Solucin
Como 22),( xyyxfx y yxyxfy22),( , se sabe que ambas derivadas parciales son
igual a 0 si 0x o 0y . Es decir, todo punto del ejexo del ejeyes un punto crtico.
Como22),( yyxfxx ,
22),( xyxfyy y xyyxfxy 4),(
se sabe que si 0x o 0y , entonces
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
13/15
Departamento de Ciencias 2016-0 13
012164
),(),().,(
222222
2
yxyxyx
yxfyxfyxfd xyyyxx
Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona.
Sin embargo, como 0),( yxf para todo punto en los ejesxoyy 0),(22
yxyxf en todos los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos crticos son unmnimo absoluto, como se muestra en la figura
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Identificar los extremos de la funcin reconociendo su forma dada o su formadespus de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas
parciales para localizar los puntos crticos y probar si son extremos relativos.
a) 22 31),( yxyxf
b) 22 235),( yxyxf
c) 1),( 22 yxyxf
d) 22225),( yxyxf
e) 662),( 22 yxyxyxf
f) 641210),( 22 yxyxyxf
2.
Examinar la funcin para localizar los extremos relativos.
a) 164623),( 22 yxyxyxf
b) 54323),( 22 yxyxyxf
c) 2810105),( 22 yxyxyxf
d) 3222),( 22 xyxyxyxf
e) yxyxyxyxf 2
2
1),( 22
f) 22),( yxyxf
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
14/15
Departamento de Ciencias 2016-0 14
g) 2),( 3/122 yxyxf
h)22122
2
1),( yxeyxyxf
3.
Examinar la funcin para localizar los extremos relativos y los puntos silla
a) 228080),( yxyxyxf
b) yxyxyxf 22),(
c) 22 3),( yxyxyxf
d) yxyxyxyxf 3),( 22
4. Una caja rectangular descansa en el plano xycon uno de sus vrtices en el origen.
El vrtice opuesto est en el plano 24346 zyx como se muestra en la figura.
Hallar el volumen mximo de la caja.
5. Un fabricante de artculos electrnicos determina que la ganancia o beneficio P (endlares) obtenido al producirxunidades de un reproductor de DVD yyunidades deun grabador de DVD se aproxima mediante el modelo
10000001.0108),( 22 yxyxyxyxP
Hallar el nivel de produccin que proporciona una ganancia o beneficio mximo.Cul es la ganancia mxima?
6. Hallar tres nmeros positivos x, y y z que satisfagan las condiciones dadasa) El producto es 27 y la suma es mnima.
b) La suma es 32 y zxyP 2 es mximac) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mnima.d) El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mnima.
7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena
15/15
Departamento de Ciencias 2016-0 15
7. Costos Un contratista de mejoras caseras est pintando las paredes y el techo de
una habitacin rectangular. El volumen de la habitacin es de 668.25 pies cbicos.El costo de pintura de pared es de $0.06 por pie cuadrado y el costo de pintura detecho es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la habitacin queden por resultado un mnimo costo para la pintura. Cul es el mnimo costo por la
pintura?
8. Volumen mximo El material para construir la base de una caja abierta cuesta 1.5
veces ms por unidad de rea que el material para construir los lados. Dada unacantidad fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que
puede ser fabricada.
9. Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblandolos extremos de una lmina de aluminio de 30 pulgadas de ancho (ver la figura).Hallar la seccin transversal de rea mxima.
10. Costo mnimo Hay que construir un conducto para agua desde el punto P al puntoS y debe atravesar regiones donde los costos de construccin difieren (ver figura).El costo por kilmetro en dlares es 3kdePa Q, 2kdeQaRy kdeRa S. Hallarx
yy tales que el costo total C se minimice.