Post on 08-Mar-2016
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P á g i n a 1 | 4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Calcular los máximos y mínimos de cada una de las siguientes funciones así como
donde es creciente y decreciente
a. 5 4x 5x
Solución
Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la
primera derivada
4 3 3y'(x) 5x 20x y'(x) 5x x 4
Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:
1 2x 0;x 4
Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es
creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local.
Conjuntos Valor de
x 3y'(x) 5x x 4
Creciente/Decrecient
e
f ' 0 o f ' 0
,0 x 1 3
y'(x) 5 1 1 4
Creciente f ' 0
0,4 x 2 3
y'(x) 5 2 2 4 Decreciente f ' 0
4, x 5 3
y'(x) 5 5 5 4 Creciente f ' 0
Por lo tanto en 1x 0 tenemos un Máximo Local en 0,0
5 4
5 4
y(x) x 5x
y 0 0 5 0 0
Por lo tanto en 2x 4 tenemos un Máximo Local en 4, 256
P á g i n a 2 | 4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
5 4
5 4
y(x) x 5x
y 4 4 5 4 256
Su grafica seria:
b.
42
2
ax
x
c. Solución
Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la
primera derivada
2 4 3 3 4 4y'(x) 2x 2a x y'(x) 2x x a
Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:
1 2x 0;x a
P á g i n a 3 | 4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es
creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local.
Conjuntos Valor de
x 3 4 4y'(x) 2x x a
Creciente/Decrecien
te
f ' 0 o f ' 0
,0 x a 3 4 4y'(x) 2 a a a 0
------------------ f ' 0
0,a ax
2
3 4
4
4 4 44
3 3
a ay'(x) 2 a
2 2
2 a 16 a 16ay'(x) a
16 16a a
8
y'(x) 15a
Decreciente f ' 0
a, x 2a
34 4
3 4 4
2ay'(x) 2 2a a
2
y'(x) 2 a 16a a
y'(x) 30a
Creciente f ' 0
Por lo tanto en 1x 0 tenemos no tenemos ni un Máximo Local ni Mínimo Local
42
2
42
2
ax
x
a0 indefinido
0
Por lo tanto en 2x a tenemos un Mínimo Local en 2a,2a
42
2
42 2
2
42 2
2
ay(x) x
x
ay a a 2a
a
ay a a 2a
a
P á g i n a 4 | 4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Su grafica seria:
x^5-5x^4
Input:
x5
- 5 x4
Plots:
-2 2 4
x
-600
-400
-200
200
400
y
Hx from -2 to 4L
-30 -20 -10 10 20 30
x
-1 ´ 107
-5 ´ 106
5 ´ 106
1 ´ 107
y
Hx from -30 to 30L
Alternate forms: Step-by-step solution
x4 Hx - 5L
Hx - 4L5+ 15 Hx - 4L4
+ 80 Hx - 4L3+ 160 Hx - 4L2
- 256
Roots: Step-by-step solution
x � 0
x � 5
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Properties as a real function:
Domain:
R Hall real numbersLRange:
R Hall real numbersLSurjectivity:
surjective onto R
R is the set of real numbers »
Derivative: Step-by-step solution
â
âx
Ix5- 5 x
4M � 5 Hx - 4L x3
Indefinite integral: Approximate form Step-by-step solution
à I-5 x4
+ x5M â x �
x6
6
- x5
+ constant
Local maximum:
max9x5
- 5 x4= � 0 at x � 0
Local minimum:
min9x5
- 5 x4= � -256 at x � 4
Definite integral:
More digits
à0
5I-5 x4
+ x5M â x � -
3125
6
» -520.833
Definite integral area below the axis between the smallest and largest real roots:
More digits
à0
5I-5 x4
+ x5M ΘI5 x
4- x
5M â x � -3125
6
» -520.833
ΘHxL is the Heaviside step function »
x^5-5x^4
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x^2+Ha^4�x^2L
Input:
x2
+a
4
x2
3D plot: Show contour lines
-0.2
0.0
0.2
a
-0.2
0.0
0.2
x
0.0
0.2
0.4
0.6
Contour plot:
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
a
x
Alternate forms: Step-by-step solution
a4
+ x4
x2
a4
+ x4
x2
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Roots: Approximate forms
x � - -14
a , a ¹ 0
x � -14
a , a ¹ 0
x � -H-1L3�4a , a ¹ 0
x � H-1L3�4a , a ¹ 0
Properties as a real function:
Domain:
8x Î R : x ¹ 0<Parity:
even
R is the set of real numbers »
Derivative: Step-by-step solution
¶
¶x
x2
+a
4
x2
� 2 x -2 a
4
x3
Indefinite integral: Approximate form Step-by-step solution
à a4
x2
+ x2
â x �
x4
- 3 a4
3 x
+ constant
Global minima:
min:x2
+a
4
x2
> � 2 a2
for a � x
min:x2
+a
4
x2
> � 2 a2
for x � -a
x^2+(a^4/x^2)
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Series representations:
a4
x2
+ x2
� ân=-1 ¥
¥1 n � 2
a4
n � -2x
n
a4
x2
+ x2
� ân=-1 ¥
¥ 1
x2
n � 4
x2
n � 0
an
a4
x2
+ x2
� ân=-1 ¥
¥
1
x2
n � 4
4
x2
Hn � 1 or n � 3L6
x2
n � 2
1
x2
+ x2
n � 0
H-1 + aLn
a4
x2
+ x2
� ân=-1 ¥
¥H-1Ln
a4 H1 + nL n > 2
1 + H-1Ln
a4 H1 + nL Hn � 0 or n � 2L
2 - 2 a4
n � 1
H-1 + xLn
x^2+(a^4/x^2)
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