TEMA 3 ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE … · • Es la clase de los modelos ARIMA con...

TEMA 3

ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE MODELOS ARIMA

Duración: 4 horas teóricas.

espasa@est-econ.uc3m.es

Objetivos del tema y orientaciones para su desarrollo:

Dada la teoría sobre los modelos ARIMA vista en los capítulos anteriores y dado que estos modelos resultan útiles para representar el comportamiento individual de series económicas y, en particular, de series temporales

series económicas y, en particular, de series temporales empresariales,

en este tema se aborda el aprendizaje de cómo construir un modelo ARIMA para una serie concreta.

Tema 3. ESPECIFICACIÓN, ESTIMACIÓN Y

VALIDACIÓN DE MODELOS ARIMA.

Tema preparado por el Prof.Antoni Espasa

MODELIZACION Y PROGRAMAS AUTOMÁTICOS

• En la actualidad existen programas de ordenador, por ejemplo, el programa TRAMO, que realizan con bastante fiabilidad y de forma automática la construcción de un modelos ARIMA para una serie dada.

• Se recomienda al alumno a aprender la utilización de programas de ese tipo, pero para la aplicación con solidez de tales modelos deberá conocer la metodología que se emplea en su construcción y a esto va destinado este capítulo.

CLASES PRACTICAS Y EXAMEN FINAL

• EN LAS CLASES PRACTICAS SE UTILIZARA EL PROGRAMA EVIEWS Y SOBRE SU EVIEWS Y SOBRE SU UTILIZACION SE PREGUNTARA EN LAS EVALUACIONES Y EXAMEN FINAL.

3.1. La metodlogía Box-Jenkins.Una clase general de modelos de

validez muy amplia yun procedimiento para asignar unmodelo específico a una serieconcreta.Etapas en el procedimiento de

Etapas en el procedimiento deconstrucción de modelos.

PUNTOS PRINCIPALES DE LA METODOLOGÍA BOX-JENKINS

I. Formula una teoría de para construir una clasegeneral de modelos capaces de describir series temporales reales.

II. Construye un procedimiento para encontrar el mejor modelo de los de esa clase para una serietemporal dada.

Procedimiento para la construcción de modelos

• (a) Especificación inicial

• (b) Estimación

• (c) Validación

• Si la validación resulta positiva se puede pasar a utilizar el modelo obtenido,por ejemplo para predecir.

• Si resulta negativa se tendrá una pista con la que se hará una nueva especicación y se repetirá el proceso.

• El proceso acaba al obtener un resultado positivo en la validación.

NOTACIÓN I(d,m)

En la notación I(d,m) se tiene que h = d + m indica el número defactores en la tendencia .

Si sólo tiene un factor,h = 1,y por consiguiente sólo muestraoscilaciones locales de nivel.

si tiene dos,h = 2,en cuyo caso muestra crecimiento sistemático.A partir de modelos mensuales o trimestrales sobre este tipo

sobre variables, como los ingresos de una institución hotelera,

sobre variables, como los ingresos de una institución hotelera,se derivan los correspondientes modelos para las tasas decrecimiento mensual, trimestral o anual yfamiliarizarse con las diferentes características de todos estosmodelos y saberlos utilizar para interpretar datos reales enuna empresa es uno de los objetivos de este capítulo.

CLASE GENERAL DE MODELOS EN LA METODOLOGÍA B-J

• Es la clase de los modelos ARIMA con factores deterministas.

• En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros que capturan distintos rasgos de los datos.

� Primero se determina si el modelo se formula en los datos

originales o en la transformación logarítmica si la serie

temporal muestra evolutividad en varianza.

CONJUNTOS DE PARÁMETROS EN UN MODELO ARIMA

� Un conjunto de parámetros diseñados para capturar la evolutividad en la media de los datos.

EVOLUTIVIDAD EN LA TENDENCIA

EVOLUTIVIDAD ESTACIONAL

Estos parámetros corresponden al número deDiferencias regulares

Diferencias estacionales

Constante

Dummies estacionales

Otros factores deterministas

Tema 3. ESPECIFICACIÓN, ESTIMACIÓN Y

VALIDACIÓN DE MODELOS ARIMA.

Ejercicios que debe estudiar el alumno y discutir en la clase del día 23 de marzo

en la clase del día 23 de marzo

EJEMPLO: MODELO 1

( ) tt22

21 aXlogLL1 =∆φ−φ−

Transformación estacionaria:

)0,2(Iwxlog tt2 =∆

Crecimiento sistemático sin estacionalidad.

[ ]+−+= −−− 2t1t1tt xlogxlogxlogxlog Senda de evolución con crecimiento sistemático

+φ+φ −− 2t21t1 ww Oscilaciones alrededor de la senda de evolución

ta Innovaciones

En el modelo 1 la transformación estacionaria es

tt WX =∆ 2

En el modelo 1

Xt es I(2,0) y

∆Xt es I(1,0).

EJEMPLO: MODELO 2

( ) ( )( ) t

ss aLLXLL θθ −−=∆∆Φ−Φ− 11log1 1

Transformación Estacionaria:)0,2(Iwxlog tts =∆∆

Crecimiento sistemático y estacionalidad

estocástica

[ ]+−+= −−−− 1stst1tt xlogxlogxlogxlog Senda de evolución

++−−Φ+Φ+ −−+−−−− 1111221 stssstststst aaaww θθθθ Oscilaciones alrededor de la senda de evolución

ta+ Innovaciones

En el modelo 2 la transformación estacionaria es:

tts WX =∆∆

En el modelo 2:

Xt: I(2,0) con estacionalidad estocástica

∆Xt: I(1,0) con estacionalidad estocástica

∆sXt: I(1,0) sin estacionalidad.

EJEMPLO: MODELO 3

t j j t

x b S t L aθ=

∆ = + −∑

Transformación estacionaria: ∑

=− −−=

jj1ttt tSbxxw

Calcule b= 1/s ∑bj

Defina bj*= bj -b y escriba ( )

t j j t

x b b S t L aθ∗

∆ = + + −∑

+++= ∑=

∗−

jj1tt tSbbxx Senda de evolución

1taθ −− + Oscilaciones alrededor de la senda de evolución

ta Innovaciones

1j =∑

Si b es significativamente distinta de cero en el modelo 3, se tiene un crecimiento

sistemático con una crecimiento medio determinista (b) y factores estacionales

deterministas (bj*). En otro caso el modelo 3 sólo muestra oscilaciones locales de nivel

con estacionalidad determinista.

En el modelo 3 la transformación estacionaria son los residuos Wt de la regresión:

++=∆s

tjtjt WSbbX1

En la que se cumple la restricción:

En el modelo 3:

Xt: I(1,1) con estacionalidad determinada

∆Xt: tampoco es estacionaria, pues aunque notiene tendencia tiene estacionalidad determinista.

La transformación estacionaria de una serie I(d,ms)se obtiene:

(a)Tomando de diferencias

(b) Realizando una regresión de ∆dXt con las variables

(b) Realizando una regresión de ∆dXt con las variablesartificiales correspondientes a los componentesdeterministas y

(c) Tomando como transformación estacionaria losresiduos de dicha represión.

Los Parámetros Estacionarios (I)

• La dependencia temporal en los datos temporales se refleja en:– Los parámetros de las autocorrelaciones (ρ1 ,

ρ2 ,......) de la distribución conjunta

ρ2 ,......) de la distribución conjunta f(w1,w2,...,wt) o

– Los parámetros de la media condicional en la distribución condicionada f(wt/wt-1,wt-2,....)

que es la misma para cualquier wt por la propiedad de estacionariedad.

Los Parámetros Estacionarios (II)

qϑϑϑφφφ ν ,.....,,,,....,, 2121

st aLwL −=− ϑφ 1 )1()1(

Estos parámetros son:

EJEMPLO

tststt

+−=−=−

−− ϑφϑφ

1 )1()1(

stst aw −− − ϑφ 11

La media condicional es

Usuarios de los modelos y especificación de los modelos ARIMA

• Es importante que se comprenda bien la especificación de los parámetros de la evolutividad y es aconsejable que adquieran experiencia en la realización de estas especificaciones, dado que estos parámetros determinan las predicciones a medio plazo.

plazo.

• Para los parámetros estacionarios, es suficiente que el usuario pueda entender el tipo de dependencia temporal en el modelo proporcionado por programas de ordenador fiables.

– Dependencia de medio o corto plazo

– Dependencia estacional

La impredictibilidad en un modelo ARIMA

� Parámetros reflejando la incertidumbre en la predicción un período por delante

• El único factor con incertidumbre en la predicción a un período por delante es a .

período por delante es at.

• at � Normal (0,σ)

• σ = refleja su incertidumbre

MODELOS INTEGRADOS I(1,0)

• Modelo IMA(1,1) sin constante

,11 −− ++= tttt aaxx β

• la raíz unitaria integra el pasado

∑−

=− ++++=

00 ][)1(t

jttt axaax ββ

MODELOS INTEGRADOS(1,1)

• modelo IMA(1,1) con constante

.111 −− +++= tttt czz εβε

][)1( 010

1 εβεβε ++⋅+++= ∑−

=− zctz

3.2. La especificación inicial.Determinación de las estructuras de

persistencia yde dependencia estacionaria

en una serie temporal.

-Análisis de los correlogramas y

-Análisis de los correlogramas ycorrelogramas parciales de la serie original y sustransformaciones.-Contrastes de raices unitarias.-Los criterios de información para determinar ladependencia temporal.

CLASE GENERAL DE MODELOS EN LA METODOLOGÍA B-J

• Es la clase de los modelos ARIMA con factores deterministas.

• En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros que capturan distintos rasgos de los datos.

� Primero se determina si el modelo se formula en los datos

originales o en la transformación logarítmica si la serie

temporal muestra evolutividad en varianza.

CONJUNTOS DE PARÁMETROS EN UN MODELO ARIMA

� Un conjunto de parámetros diseñados para capturar la evolutividad en la media de los datos.

EVOLUTIVIDAD EN LA TENDENCIA

EVOLUTIVIDAD ESTACIONAL

Estos parámetros corresponden al número deDiferencias regulares

Diferencias estacionales

Constante

Dummies estacionales

Otros factores deterministas

� Parámetros para capturar la dependencia temporal• Habiendo fijado los parámetros , los datos originales se

pueden transformar en estacionarios.

• Para la transformación estacioanria, los parámetros que especifican el modelo ARMA capturan la dependencia temporal.

temporal.

• Mirando a la dependencia temporal presente en el correlograma se pueden formular los principales aspectos de la dependencia temporal.

� Parámetro que refleja la incertidumbre en la predicción con un período de antelación

• El único factor con incertidumbre en la predicción con un período de antelación es at.

• at � Normal (0,σ)

• σ = refleja su incertidumbre.• Este parámetro es una medida de la incertidumbre en un

modelo ARIMA.

EJEMPLOS DE MODELOS ARIMAJBES abril1988

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR EL MEJOR MODELO PARA UNA SERIE TEMPORAL CONCRETA

• TRES ETAPAS:

– ESPECIFICACIÓN INICIAL:

• Mirando a los gráficos de la serie original y sus diferencias y,

• Mirando a los correlogramas simples y parcial de la serie originaly sus diferencias.

• Aplicando contrastes de raices unitarias y criterios de información

• Haga una especificación inicial de los valores d, D, p, q, P y Q.

– ESTIMACIÓN:

• A partir de la especificación realizada, estime el correspondiente modelo.

– DIAGNÓSTICO:

• Aplique una batería de contrastes a los resultados de estimación.

• Si estos contrastes no rechazan el modelo inicial, se toma como válido y se utiliza para predecir.

• Si estos contrastes rechazan el modelo inicial, se especifica uno nuevo con las indicaciones observadas. Se vuelve a la fase (1)

El proceso termina cuando en la etapa (3) no se rechaza el modelo que se considera.

Determinación de los parámetros que recogen la

evolutividad o no estacionariedad

• Mirando a los gráficos de Xt o ∆Xt y log Xt o ∆log Xt

determine en qué caso la magnitud de las oscilaciones es más homogénea. – Si no hay una indicación clara, considere si el fenómeno económico

puede evolucionar de acuerdo a una ley de proporcionalidad o no.

– En caso positivo tome la transformación logarítmica.

– En caso de duda tome también la transformación logarítmica

• De ahora en adelante Xt representará los datos según se decida en esta fase.

Determinación de los parámetros para la evolutividad en media (I)

• PRINCIPALMENTE– Número de diferencias regulares

– Número de diferencias estacionales

– Término constante

– (otros parámetros deterministas)

• CONSIDERE A PARTIR DE LA TEORÍA O DE LA EXPERIENCIA EL TIPO DE EVOLUTIVIDAD EN EL FENÓMENO ECONÓMICO QUE SE ESTUDIA.

Determinación de los parámetros para la evolutividad en media (II)

• EXAMINE los gráficos y cuadros de Xt , ∆Xt , ∆sXt , ∆²Xt, y ∆∆sXt y decida cuál se puede tomar como estacionario:– Media constante

– Varianza constante

– Dependencia similar a lo largo del tiempo

– Aplique el contraste de Dickey-Fuller sobre raices unitarias

En caso de duda tome la transformación con un menor número de

• En caso de duda tome la transformación con un menor número de diferencias.

• Como instrumento auxiliar utilice los correlogramas de las correspondientes transformaciones. Los correlogramas de las transformaciones estacionarias deben tender pronto a valores no significativos.

• Otro instrumento lo constituyen los estadísticos para contrastar la presencia de raíces unitarias (estadístico de Dickey y Fuller)

CONTRATES DE RAICES UNITARIAS.El ESTADÍSTICO DE DICKEY Y FULLER

• Exposición tomada del libro de Charemza y Deadman (1993) 5.3.

• Xt ∼ I(1)• Xt = Xt-1 + ηt.• Procedimiento habitual• X = ρ X + η . (1)

• Xt = ρ Xt-1 + ηt. (1)• estimar por MCO, suponiendo que ηt es un ruido blanco• aplicar estadístico t.• Problemas:• MCO es sesgado en muestras pequeñas.• hay que determinar la distribución del estadístico t cuando X

es I(1).

• Procedimiento alternativo.

– Definir δ = ρ - 1.

– Ahora de (1) se tiene

– (2)

• ESTADÍSTICO DE DICKEY-FULLER:

∆X t t= +δ η X t -1

– ηt: es ruido blanco.

– H0: X ∼ I (1)

– contrastar si δ = 0 en (2)

– H1: X ∼ I(0), δ<0.

• Problema

• El estadístico t en (2) no sigue la distribución t-Student si X ∼ I(1)

• Si H0 es cierta en (2)

• regresando I(0) | estadístico t no tiene

• regresor I(1) | distribución asintótica

• normal.

• Solución

• Al desconocer la distribución se simula.Aplicación:

(1) Contrastar δ = 0 en (2)Si se rechaza X es I(0)Si no se rechaza

(1) Contrastar δ = 0 en (3)

∆∆ ∆X t t= +δ η X t -1 (3)Si se rechaza es I(1)Si no se rechaza contrastar con una diferencia más y así

hasta que se rechace.

• AMPLIACIONES.

• EL MODELO PUEDE TENER COMPONENTES DETERMINÍSTICOS.

• Tablas específicas

• PROBLEMA: Si la parte determinística no está bien especificada el contraste es erróneo. Los contrastes

especificada el contraste es erróneo. Los contrastes de raíces unitarias sólo valen para casos en que se conoce la parte determinística. En la práctica hay que realizarlos con distintas especificaciones deterministas y los resultados obtenidos pueden no ser concluyentes.

ESTADÍSTICO DE DICKEY Y FULLER AUMENTADO

En general, además de raíces unitarias habrádependencia estacionaria con el pasado, quese puede aproximar mediante un esquemaAR(p).

AR(p).

En tal caso el modelo sobre el que realizar elcontraste es:

−− +∆+=∆k

tjtjtt aXXX1

1 δδdonde k = p -1.

DICKEY Y FULLER CON AIC

La ecuación (5) anterior requiere determinar previamente el valor de p.

Para ello se estiman modelos con distintos

Para ello se estiman modelos con distintos valores de p y se escoge uno mediante un criterio de ajuste que penalice por el número de parámetros.

CRITERIOS DE AJUSTE QUE PENALIZAN POR EL NÚMERO DE PÁRAMETROS (CRITERIOS DE

INFORMACIÓN)

Parámetro de penalización: v = k / T,

donde k es el número de parámetros de modelo y T el número deobservaciones.

CRITERIOS

(a) suma de cuadrados residual corregida por grados de libertad:

∑ ∑= =−

ttc Tav

222 /1

CRITERIOS DE AJUSTE QUE PENALIZAN POR EL NÚMERO DE PÁRAMETROS (CRITERIOS DE

INFORMACIÓN)

(b) AIC (criterio de información de Akaike)

tA Tav1

2 /)2exp(λ

s TaTλ

(c) SIC (criterio de información de Schwarz)

Con frecuencia el AIC puede ser un criterio aconsejable.

CONTRASTE DE RAICES UNITARIAS ESTACIONALES

El operador ∆s tiene s raices.En el contrate de Dickey y Fuller para raíces

estacionales, se contrasta que todas las s raíces son unitarias.

Se trata de contrastar si en

Se trata de contrastar si enXt = αs Xt-1 + at ,

αs es la unidad.Para ello se formula:

∆sXt = δs Xt-s + at,donde δ = α-1 y se contrasta si α es 0.

• Para determinar el orden de integración de una determinada serie, , uso el test de Osborn et al (1988). La regresión del test tiene la forma:

• donde es una variable estacional que toma valor uno en el mes k y cero en el resto de los meses y es un término de error.

122112112 ∑∑=

−− +∆∆++∆+∆=∆∆p

ktkttt xDxxx εφδββ

• Bajo la hipótesis nula la variable contiene una diferencia estacional y una regular, y esta hipótesis se puede contrastar mediante un estadístico F tal y como sugieren Osborn et al (1988). Una alternativa a esta hipótesis es que sólo haya una diferencia regular, esta hipótesis está representada

021 == ββ

diferencia regular, esta hipótesis está representada en la ecuación (1) por y . Una segunda alternativa es que el proceso requiera tan solo una diferencia anual, que está capturado en la ecuación (1) por y . Osborn et al (1988) sugieren el uso de estadísticos t para y para contrastar estas dos posibilidades.

01 =β 02 <β

01 <β 02 =β

02 =β01 =β

• Series utilizadas:– Serie 1 � Consumo de Cemento en España

– Serie 2 � Gasto en Construcción Residencial en España

– Serie 3 � Construcción no Residencial en España

– Serie 4 � Obra Civil en España

– Serie 5 � Consumo Mensual de Cemento en España

– Serie 6 � Consumo de Cemento en Japón

• A continuación se ven sus gráficos y sus correlogramas.

Gráficos del Consumo de Cemento en España (Serie 1)

300000

400000

500000 CEM

D1LCEM

1990 1995 2000 1990 1995 2000

1990 1995 2000

.2D4LCEM

1990 1995 2000

DD4LCEM

Correlogramas del Consumo de Cemento en España (Serie1)

Correlogram

1D1LCEM

0 5 10

Correlogram

0 5 10

1D4LCEM

Correlogram

0 5 10

1DD4LCEM

Gráficos del Consumo Mensual de Cemento en España (Serie

CEMENT

.2DLCEMENT

1980 1985 1990 1995 2000 1980 1985 1990 1995 2000

1980 1985 1990 1995 2000

.5D12DLCEMENT

1980 1985 1990 1995 2000

DD12DLCEMEN

Correlogramas del Consumo Mensual de Cemento en España

(Serie 5)

Correlogram

1LCEMENT

Correlogram

1DLCEMENT

0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25Correlogram

0 5 10 15 20 25

1D12DLCEMENT

Correlogram

0 5 10 15 20 25

1DD12DLCEMEN

CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS SOBRE SERIES

EUROPEAS

• FORECASTING INFLATION IN THE EURO AREA USING MONTHLY TIME SERIES MODELS AND

USING MONTHLY TIME SERIES MODELS AND QUARTERLY ECONOMETRIC MODELS

• Rebeca Albacete and Antoni Espasa *

Graphs of these variables in logarithms and their quarter-on-quarter rates of

growth can be found in figures 2 and 3.

Figure 2: HICP, DM, ULC and M3 in logarithms and the quarterly rates of growth.

TOTAL HICP IN THE EMU IN LOGS

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF TOTAL HICP IN THE EMU

-0.001

IMPORT DEFLACTOR OF THE EMU IN LOGS

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF IMPORT DEFLACTOR IN THE EMU

-0.026

-0.006

4.56 Q1-1993

Q1-1994

Q1-1995

Q1-1996

Q1-1997

Q1-1998

Q1-1999

Q1-2000

Q1-2001

Q1-2002

Q1-2003

-0.026 Q2-1993

Q2-1994

Q2-1995

Q2-1996

Q2-1997

Q2-1998

Q2-1999

Q2-2000

Q2-2001

Q2-2002

Q2-2003

UNIT LABOUR COSTS IN THE EMU IN LOGS(seasonally adjusted)

Q1-1993

Q1-1994

Q1-1995

Q1-1996

Q1-1997

Q1-1998

Q1-1999

Q1-2000

Q1-2001

Q1-2002

Q1-2003

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF UNIT LABOUR COSTS IN THE EMU(seasonally adjusted)

-0.012

-0.002

03 MONETARY AGGREGATE M3 IN THE EMU IN LOGS(seasonal and working days adjusted)

03 QUARTERLY RATE OF GROWTH OF M3 IN THE EMU

(seasonally and working days adjusted)

-0.006

Figure 3: GDP, GFCF, L and UR in logarithms and the quarterly rates of growth.

GDP IN THE EMU IN LOGS (constant prices 1995)

Q1-1993

Q1-1994

Q1-1995

Q1-1996

Q1-1997

Q1-1998

Q1-1999

Q1-2000

Q1-2001

Q1-2002

Q1-2003

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF GDP IN THE EMU(constant prices 1995)

-0.044

-0.024

-0.004

GROSS FIXED CAPTIAL FORMATION IN THE EMU IN LOGS (constant prices 1995; sesonally adjusted)

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF GFCF IN THE EMU (constant prices1995; seasonally adjusted)

-0.028

-0.008

EMPLOYMENT IN THE EMU IN LOGS(seasonally adjusted)

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF EMPLOYMENT IN THE EMU (seasonally adjusted)

-0.005

Q2-1993

Q2-1994

Q2-1995

Q2-1996

Q2-1997

Q2-1998

Q2-1999

Q2-2000

Q2-2001

Q2-2002

Q2-2003

UNEMPLOYMENT RATE IN THE EMU IN LOGS(seasonally adjusted)

Q1-1993

Q1-1994

Q1-1995

Q1-1996

Q1-1997

Q1-1998

Q1-1999

Q1-2000

Q1-2001

Q1-2002

Q1-2003

QUARTERLY RATE OF GROWTH OF UNEMPLOYMENT RATE IN THE EMU

(seasonally adjusted)

-0.034

-0.014

Table 2 lists the augmented Dickey-Fuller (1981) statistics for the variables in

logs and for their first differences.

Table 2: ADF statistics for testing for a unit root in the HICP and the explicative

variables in the congruent model.

Hypothesis HICP ULC UR M3 DM ED

1.50 -1.28 2.95 -1.22 -2.39 I(1)

(0.00) (0.03) (-0.01) (0.03) (-0.06) (-0.39)

-5.36** -2.88 -4.99** -3.55* -6.55** -6.26**

-5.36** -2.88 -4.99** -3.55* -6.55** I(2)

-6.26**

(-1.12) (-0.90) (-0.48) (-0.84) (-0.62) (-1.12)

Notes:

(1) Here and elsewhere in this paper, asterisks * and ** denote rejection at the 5% and 1%

critical values. The critical values for this table are calculated from MacKinnon (1991)

and are -2.94 at the 5% and -3.62 at the 1%.

(2) The alternative used includes a constant and centered seasonal dummies for HICP and

DM. Like the remaining variables are seasonally adjusted only a constant is included in

the regression.

(3) Series are taken in logs.

(4) Values reported in parentheses are the estimated coefficient on the lagged variable xt-1.

• A TIME SERIES DISAGGREGATED MODEL TO FORECAST GDP IN THE EURO-ZONE.

• October de 2003.

• Román Mínguez

• Univ. San Pablo-CEU (Madrid, Spain), minsal@ceu.es

• Antoni Espasa

• Univ. Carlos III (Madrid, Spain), espasa@est-econ.uc3m.es

GDP IS AN AGGREGATE WHICH CAN BE ANALYZEDFROM SEVERAL USEFUL POINTS OF VIEW ACCORDINGTO ECONOMIC THEORY

FROM AN EXPENDITURE POINT OF VIEW GDPCAN BE DISAGGREGATED AS:

I. DOMESTIC DEMAND1. PRIVATE CONSUMPTION

2. GOVERMENT CONSUMPTION

3. GROSS FIXED CAPITAL FORMATION

4. CHANGE IN INVENTORIES

II. NET EXPORTS (EXTERNAL BALANCE)5. EXPORTS

6. IMPORTS (-)

1990 1995 2000 2005

14.3LGDP

1990 1995 2000 2005

-0.050

-0.025

0.050DLGDP

Private Consumption.

13.7LPRIV_CONS

1990 1995 2000 2005

-0.075

-0.050

-0.025

0.050DLPRIV_CONS

Public Consumption.

12.7LPUB_CONS

1990 1995 2000 2005

-0.025

0.050DLPUB _CONS

Gross Formation of Fixed Capital.

1990 1995 2000 2005

12.8LGFFC

1990 1995 2000 2005

DLGFFC

Change of Inventories.

1990 1995 2000 2005

CHANG_INV

5.0 DCHANG_INV

Exports.

1990 1995 2000 2005

13.4 LEXPORTS

0.10 DLEXPORTS

Imports.

1990 1995 2000 2005

LIMPORTS

DLIMPORTS

FROM AN ECONOMIC ACTIVITY POINT OF VIEW GDP CAN BE DISAGGREGATED AS

A. GROSS VALUE ADDED

a. FROM AGRICULTURE, FORESTRY, etc.

b. FROM CONSTRUCTION

c. FROM OTHER INDUSTRIAL SECTORS

d. FROM SERVICES

B. TAXES LESS SUBSIDIES ON PRODUCTS

e. TAXES LESS SUBSIDIES ON PRODUCTS

Gross Value Added of Agriculture.

10.7LGVA_AGR

1990 1995 2000 2005

0.2DLGVA_AGR

Gross Value Added of Industry.

1990 1995 2000 2005

LGVA_INDUS

1990 1995 2000 2005

0.10 DLGVA_INDUS

Gross Value Added of Construction.

1990 1995 2000 2005

11.30LGVA_CONST

1990 1995 2000 2005

DLGVA_CONST

Gross Value Added of Private Services.

13.5 LGVA_PRIV_SER

1990 1995 2000 2005

-0.050

-0.025

0.050DLGVA_PRIV_SER

Gross Value Added of Public Services.

1990 1995 2000 2005

12.65LGVA_PUB_SER

1990 1995 2000 2005

0.02 DLGVA_PUB_SER

Net Taxes.

11.45LTAXES

1990 1995 2000 2005

0.10DLTAXES

SUMMARY OF THE UNIT ROOT TEST

TERMINOLOGY

Priv. Cons. I(1)-DS-SCh

GFKF I(1)-DS-SCh

Ch.in Inv. I(0)-DS

NON-STATIONARY :I(d)DETERMINISTIC SEASONALITY : DSCHANGE IN SEASONALITY :SCh

Exp. I(1)-DS

Imp. I(1)-DS

AGRI I(1)-DS-SCh

Ind. I(1)-DS

Const. I(1)-DS-SCh

Pr. Ser. I(1)-DS-SCh

Pu. Ser. I(1)-DS-SCh

Taxes I(1)-DS

Los Parámetros Estacionarios (I)

• La dependencia temporal en los datos temporales se refleja en:– Los parámetros de las autocorrelaciones (ρ1 ,

ρ2 ,......) de la distribución conjunta

ρ2 ,......) de la distribución conjunta f(w1,w2,...,wt) o

– Los parámetros de la media condicional en la distribución condicionada f(wt/wt-1,wt-2,....)

que es la misma para cualquier wt por la propiedad de estacionariedad.

Los Parámetros Estacionarios (II)

qϑϑϑφφφ ν ,.....,,,,....,, 2121

st aLwL −=− ϑφ 1 )1()1(

Estos parámetros son:

EJEMPLO

tststt

+−=−=−

−− ϑφϑφ

1 )1()1(

stst aw −− − ϑφ 11

La media condicional es

Determinación de los parámetros estacionarios

• Cuando el objetivo es la predicción, lo que importa es la media condicional.

• Procedimiento:– Mire la dependencia temporal en los datos estimando los correlogramas

simple y parcial.

– A partir de estas estimaciones especifique un modelo ARMA.

• Método para realizar la especificación inicial de un modeloARMA.– Sea cuidadoso examinando el correlograma simple y el parcial. Un experto

puede proponer un modelo ARMA para la serie temporal en cuestión.

– También hay procedimientos automáticos bastante fiables como TRAMO oSCA.

Usuarios de los modelos y especificación de los modelos ARIMA

• Es importante que se comprenda bien la especificación de los parámetros de la evolutividad y es aconsejable que adquieran experiencia en la realización de estas especificaciones, dado que estos parámetros determinan las predicciones a medio plazo.

• Para los parámetros estacionarios, es suficiente que el usuario

• Para los parámetros estacionarios, es suficiente que el usuario pueda entender el tipo de dependencia temporal en el modelo proporcionado por programas de ordenador fiables.– Dependencia de medio o corto plazo

– Dependencia estacional

LAS REGLAS SOBRE MODELOS ARIMA MULTIPLICATIVOS SE EXPONDRAN SOLAMENTE PARA MODELOS ARIMA GENERALES.GENERALES.

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (I)

�Divida el correlograma simple y el parcial en tres partes:

– EL CORRELOGRAMA REGULAR: formado por los primeros valores del correlograma.

primeros valores del correlograma.

– EL CORRELOGRAMA ESTACIONAL: formado por los valores en los retardos estacionales.

– EL CORRELOGRAMA INTERMEDIO: formado por el resto de valores

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (II)

� Recuerde las propiedades de la función de autocorrelación en MA(q), AR(p) y ARMA(p,q):

PROCESO ACF PACF OBS.

MA(q) Punto de corte en k=q

Sin punto de corte

Útil para capturar la dependencia de corto plazo

en k=q corte dependencia de corto plazo

AR(p) Sin punto de corte

Punto de corte en k=p

Útil para capturar dependencia de medio plazo decreciente de

forma regular.

ARMA(p,q) Sin punto de corte

Sin punto de corte

Útil para capturar con mayor flexibilidad dependencia de medio plazo decreciente de forma regular. Para evitar

problemas de factores comunes inicialmente no utilizar más de

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (III)

Tome el correlograma regular

– Hay algún punto de corte?

• SÍ: Mire en qué retardo se produce el corte.

Suponga que ocurre en el retardo q.

Entonces, especifique un MA(q).

• NO: Mire al correlograma parcial

Hay un punto de corte?» SÍ: Mire en qué retardo se produce el corte.

Suponga que ocurre en el retardo p.

Entonces especifique un AR(p).

» NO: Especifique un ARMA (1,1)

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (IV)

Considere el correlograma estacional

– Aplique las mismas reglas que en el punto 3 y especifique según:

– MA(Q) si hay algún punto de corte en el retardo Q·S

– MA(Q) si hay algún punto de corte en el retardo Q·S del correlograma.

– AR(P) si no hay ningún punto de corte en el correlograma y si hay punto de corte en el correlograma parcial en el retardo P·S.

– Para series con ciclos largos se puede especificar un AR(2, 1)

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (V)

� Tome el correlograma intermedio para confirmar las decisiones previas

– Para modelos ARMA multiplicativos, la función de autocorrelación intermedia toma valores de la forma:

autocorrelación intermedia toma valores de la forma:

Donde los superíndices significan:

(I): FAC intermedia

(R): FAC regular

(S): FAC estacional

)()()(

· · S

KSh ρρρρ == −+

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (VI)

• LOS VALORES DE LA FAC INTERMEDIA SON EL PRODUCTO DE LA FAC REGULAR Y LA ESTACIONAL.

• POR TANTO,UN VALOR SIGNIFICATIVO EN EL CORRELOGRAMA INTERMEDIO SEÑALA QUE HAN DE

SER SIGNIFICATIVOS LOS CORRESPONDIENTES VALORES DEL CORRELOGRAMA REGULAR Y ESTACIONAL.

Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (VI)

� Al aplicar las reglas anteriores se pueden plantear dudas razonables:

– Tome una decisión sobre los valores más

– Tome una decisión sobre los valores más razonables para p, q, P y Q, y

– Guarde todas las otras posibilidades alternativas. Se considerarán en la fase de validación posterior.

Ejemplos

Correlograma simple y parcial de la transformación

estacionaria de la Construcción no Residencial Española

Ejemplos

Correlograma simple y parcial de la transformación

estacionaria de la serie de Construcción Civil Española

3.3. La estimación de modelosARIMA. Resultados de laestimación.

estimación.

PRINCIPALES RESULTADOS DE LOS PROGRAMAS DE ESTIMACIÓN

• Estimación de los parámetros φj , Φh , θj y Θh con sucorrespondientes matrices de varianzas y correlaciones.

• Estimación de las

innovaciones

3 .4. Validación de modelos ARIMA:a) Contrastación de hipótesis

sobre los coeficientes.b) Análisis de residuos.c) Contrastación respecto a

c) Contrastación respecto amodelos alternativos.

CONTRASTES SOBRE LAS ESTIMACIONES DE LOS PARÁMETROS Y POSIBLES MODELOS ALTERNATIVOS

� Aplique contrastes t a cada uno de los parámetros (τj) para contrastarH0: τj = 0

Si el estadístico t-test es menor que 2, no rechace H0 y simplifique el modelo eliminando este parámetro

� Mire a las raíces del polinomio MA(q)

−=θq

jq )LH1()L(

Si alguna Hj está cercana a la unidad se puede cancelar con

un operador diferencia obteniendo un modelo simplificado.

−=φp

jp )LG1()L(

� Mire a las raíces del polinomio AR(p)

Si alguna Gj está próxima a la unidad, se podría fijar en

uno, reduciendo el orden de φ(L) a (p-1) e incrementando

el número de diferencias a (d+1).

� Mire a las correlaciones entre los parámetros φj , Φh, θj y

Si encuentra correlaciones mayores que 0.9 en valor

absoluto, elimine uno de los dos parámetros entre los que

se presente esa correlación.

CONTRASTES SOBRE LA ESPECIFICACIÓN BASADOS EN LAS INNOVACIONES ESTIMADAS

• Si el modelo es correcto las innovaciones deberían ser ruido blanco.

• Se pueden aplicar diferentes contrastes a las innovaciones para asegurar que son ruido blanco.

para asegurar que son ruido blanco.

• Si de estos contrastes resulta que las innovaciones no son ruido blanco, se debe modificar el modelo original en el sentido indicado por los resultados de los contrastes

CONTRASTE DE MEDIA CERO DE LAS INNOVACIONESSi el modelo no incluye una constante, la media de las innovaciones

estimadas puede ser significativamente distinta de cero, indicando que es preciso modificar la especificación I(d,m).

σσ =ˆ

Contraste Ho: µ = 0

Mediante un

contraste t

media la de típicadesviación

estimadas esinnovacion las de media)ˆ( =µt

Tσσ =ˆcomo

2)ˆ( >µtRechace Ho

en valor absoluto.

•Si se rechaza Ho la especificación inicial I(d,m) es incorrecta. Considere:

a) aplicar algún tipo de segmentación

b) incrementar d en uno

c) incrementar m en uno

CONTRASTE DE AUSENCIA DE AUTOCORRELACIÓN ENTRE LAS INNOVACIONES ESTIMADAS

mediante un test t.

Si las innovaciones estimadas son ruido blanco,

entonces sus autocorrelaciones no deben ser

significativamente distintas de cero.

Contraste Ho: ρa(k) = 0 , ∀ K

mediante un test t.

Si se rechaza Ho para K=1,2,3…s, o 2s el modelo inicial es incorrecto y se necesita modificarlo.

Modificación de un modelo tras los resultados de un contraste

• Si un contraste rechaza la especificación inicial,ello implica que ésta es incorrecta y debe modificarse.

• (A) Una buena práctica para formular una especificación alternativa consiste en escoger una de las dudas razonables que quedaron anotadas en la

las dudas razonables que quedaron anotadas en la fase de especificación inicial.

• (B) Otra alternativa consiste en formular un modelo para los resíduos y a partir de él obtener un nuevo modelo para la serie temporal en cuestión.

Contraste Ho: { ρa(1) , ρa(2) ,.., ρa(s+2) } = 0

Mediante el test Ljung-Box (Qs+2)

Rechace Ho y aplique (A) o (B) de la diapositiva anterior.

22 ++ > ssQSi χ

Incluso cuando el modelo inicial ha pasado los contrastes sobre

los resultados de la estimación y sobre los residuos, el modelo

todavía puede ser insatisfactorio porque ese modelo se basa sólo

en una alternativa realizada en la fase de especificación.

• Estime todos los modelos alternativos razonables incluyendo el

FORMULACIÓN DE MODELOS ALTERNATIVOS

• Estime todos los modelos alternativos razonables incluyendo el

modelo original. Elija el modelo con menor AIC.

• Si no se tienen dudas sobre el modelo inicial, intente alternativas

sustituyendo p por (p+1) ,o q por (q+1) o P por (P+1), o Q por

(Q+1). Estime todas estas alternativas incluyendo el modelo

original y elija aquélla con menor valor AIC.

Aplicación de lametodología Box-Jenkins aseries reales.

SECCIÓN PREPARADA POR EL PROF. J.HEVIA

18000Ocupados (miles de personas)

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02

SERIE CON UNA DIFERENCIA REGULAR

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02

Serie con una diferencia estacional

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02

Serie con dos diferencias,regular y estacional

84 86 88 90 92 94 96 98 00 02

DDSOCU

MODELO AR(1)

• . AR(1)0.49 0.097 VALOR t=5.1

• R-squared 0.24

• Mean dependent var10.02564

• Adjusted R-squared 0.243694

• S.D. dependent var85.32413

• S.E. of regression74.20285

• Akaike info criterion11.46422

• Schwarz criterion11.49

RESIDUOS DEL MODELO AR(1)

86 88 90 92 94 96 98 00 02

D(OCU,1,4) Residuals

FAC DE LOS RESIDUOS DEL MODELO AR(1)

MODELO AR(1)MA(4)

• Dependent Variable:

• AR(1)0.75 valor t= 10.72

• MA(4)-0.939 valor t= -48.98

• R-squared0.495666 Mean dependent var10.02564

• Adjusted R-squared0.489030

• S.D. dependent var85.32413

• Akaike info criterion11.08465

• Schwarz criterion11.1450

•98i -.98

FAC DE LOS RESIDUOS DEL MODELO ARMA(1,4)

MODELO ARMA(2,4)

• Dependent Variable: AR(1)0.54 VALOR t =4.8 AR(2)0.29 VALOR t=2.64

• MA(4)-0.94 valor t=-56.27• R-squared0.538044 • Mean dependent var10.84416

• Mean dependent var10.84416• Adjusted R-squared0.525558 • S.D. dependent var85.57485• S.E. of regression58.94373 • Akaike info criterion11.02923 • Schwarz criterion11.12054

RESIDUOS DEL MODELO ARMA(2,4)

86 88 90 92 94 96 98 00 02

D(OCU,1,4) Residuals

Correlograma de los residuos del modelo arma(2,4)

Análisis Box-Jenkins.

• La metodología propone una clase de modelospara explicar datos de series temporales y un procedimiento para construir un modelo adecuado para una serie temporal específica.

adecuado para una serie temporal específica.

• Con los modelos ARIMA, Box-Jenkins (1970) sintetizan los resultados de la teoría estacionaria y los procedimientos aplicados de series temporales conocidos en el momento

• La teoría había sido desarrollada previamente durante 50 por Cramer, Kinchin, Kolmogorov, Slutski, Yule, Walker, Wold, etc.

• Los procedimientos prácticos se habían elaborado en los campos de:

• Prediccion mediante técnicas de alisado exponencial por Brown,

• Prediccion mediante técnicas de alisado exponencial por Brown, Harrison, Holt, Muth, Winter, etc. y

• Ajuste estacional en el Bureau del Censo de E.E.U.U.

• En estos dos campos la tendencia y la estacionalidad no se consideraban determinísticas sino estocásticas,

• Y quedaba claro en la mayor

• Y quedaba claro en la mayor parte de los casos que la estructura subyacente era autorregresiva con raíces unitarias.

• Extensiones del modelo ARIMA

• Permitiendo que el parámetro dsea un número real mediante los procesos fraccionales integrados de memoria larga.

de memoria larga.

• Este proceso (véase Granger, 2001) presenta una “teoría interesante, pero no es útil en ejemplos prácticos en economía”

• Zellner and Palm (1974), y posteriormente otros autores como Wallis,

• Conectan los modelos ARIMA con losmodelos econométricos mostrando que, bajo ciertas hipótesis, el modelo ARIMA es la forma final derivada para cada variable endógena en un modelo de ecuaciones

endógena en un modelo de ecuaciones simultáneas.

• Por tanto, la utilización de un modelo ARIMA para una cierta variable Xt es compatible con el hecho de que Xt sea explicada mediante un modeloeconométrico mayor.

• Esta conexión muestra la debilidad y utilidad potencial de los modelos ARIMA en Economía.

• Las limitaciones provienen principalmente del hecho de que los modelos univariantes no consideran relaciones entre variables.

• Así, Granger (2001) dice

• “los modelos univariantes no están pensados

• “los modelos univariantes no están pensados como modelos relevantes para los propósitos prácticos más importantes en economía,

• Aunque son muy utilizados como vehículos experimentales para estudiar nuevos modelos y técnicas”.

• Los modelos ARIMA resultan muy exitosos en:

• predicción y

• métodos de ajuste estacional.

• El éxito en predicción es -véase Clements and Hendry (1999)-, especialmente debido

and Hendry (1999)-, especialmente debido a la presencia de raíces unitarias.

• En la práctica, los agentes no sólo quieren predicciones fiables, sino que además necesitan una explicación de los factores económicos que las sustentan.

• Por naturaleza, los modelos ARIMA no son capaces de proporcionar esta explicación.

• Requiere modelos econométricoscongruentes propugnados por Clements y Hendry, actualizándolos cada vez queocurre un cambio estructural.

• En la actualidad, la construcción de estos

• En la actualidad, la construcción de estosmodelos para la práctica general en la predicción periódica podría ser en ocasiones relativamente compleja y costosa.

TEMA 3 ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE … · • Es la clase de los modelos ARIMA con...

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Transcript of TEMA 3 ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE … · • Es la clase de los modelos ARIMA con...

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