TEMA 3 ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE … · • Es la clase de los modelos ARIMA con...
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2010 TEMA 3 ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE MODELOS ARIMA
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2010
TEMA 3
ESPECIFICACION, ESTIMACION Y VALIDACION DE MODELOS ARIMA
Objetivos del tema y orientaciones para su desarrollo:
Dada la teoría sobre los modelos ARIMA vista en los capítulos anteriores y dado que estos modelos resultan útiles para representar el comportamiento individual de series económicas y, en particular, de series temporales
series económicas y, en particular, de series temporales empresariales,
en este tema se aborda el aprendizaje de cómo construir un modelo ARIMA para una serie concreta.
Tema 3. ESPECIFICACIÓN, ESTIMACIÓN Y
VALIDACIÓN DE MODELOS ARIMA.
Tema preparado por el Prof.Antoni Espasa
Tema preparado por el Prof.Antoni Espasa
MODELIZACION Y PROGRAMAS AUTOMÁTICOS
• En la actualidad existen programas de ordenador, por ejemplo, el programa TRAMO, que realizan con bastante fiabilidad y de forma automática la construcción de un modelos ARIMA para una serie dada.
dada.
• Se recomienda al alumno a aprender la utilización de programas de ese tipo, pero para la aplicación con solidez de tales modelos deberá conocer la metodología que se emplea en su construcción y a esto va destinado este capítulo.
CLASES PRACTICAS Y EXAMEN FINAL
• EN LAS CLASES PRACTICAS SE UTILIZARA EL PROGRAMA EVIEWS Y SOBRE SU EVIEWS Y SOBRE SU UTILIZACION SE PREGUNTARA EN LAS EVALUACIONES Y EXAMEN FINAL.
3.1. La metodlogía Box-Jenkins.Una clase general de modelos de
validez muy amplia yun procedimiento para asignar unmodelo específico a una serieconcreta.Etapas en el procedimiento de
Etapas en el procedimiento deconstrucción de modelos.
PUNTOS PRINCIPALES DE LA METODOLOGÍA BOX-JENKINS
I. Formula una teoría de para construir una clasegeneral de modelos capaces de describir series temporales reales.
II. Construye un procedimiento para encontrar el mejor modelo de los de esa clase para una serietemporal dada.
Procedimiento para la construcción de modelos
• (a) Especificación inicial
• (b) Estimación
• (c) Validación
• Si la validación resulta positiva se puede pasar a utilizar el modelo obtenido,por ejemplo para predecir.
• Si resulta negativa se tendrá una pista con la que se hará una nueva especicación y se repetirá el proceso.
• El proceso acaba al obtener un resultado positivo en la validación.
NOTACIÓN I(d,m)
En la notación I(d,m) se tiene que h = d + m indica el número defactores en la tendencia .
Si sólo tiene un factor,h = 1,y por consiguiente sólo muestraoscilaciones locales de nivel.
si tiene dos,h = 2,en cuyo caso muestra crecimiento sistemático.A partir de modelos mensuales o trimestrales sobre este tipo
sobre variables, como los ingresos de una institución hotelera,
sobre variables, como los ingresos de una institución hotelera,se derivan los correspondientes modelos para las tasas decrecimiento mensual, trimestral o anual yfamiliarizarse con las diferentes características de todos estosmodelos y saberlos utilizar para interpretar datos reales enuna empresa es uno de los objetivos de este capítulo.
CLASE GENERAL DE MODELOS EN LA METODOLOGÍA B-J
• Es la clase de los modelos ARIMA con factores deterministas.
• En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros que capturan distintos rasgos de los datos.
� Primero se determina si el modelo se formula en los datos
originales o en la transformación logarítmica si la serie
temporal muestra evolutividad en varianza.
CONJUNTOS DE PARÁMETROS EN UN MODELO ARIMA
� Un conjunto de parámetros diseñados para capturar la evolutividad en la media de los datos.
EVOLUTIVIDAD EN LA TENDENCIA
EVOLUTIVIDAD ESTACIONAL
Estos parámetros corresponden al número deDiferencias regulares
Diferencias estacionales
Constante
Dummies estacionales
Otros factores deterministas
Tema 3. ESPECIFICACIÓN, ESTIMACIÓN Y
VALIDACIÓN DE MODELOS ARIMA.
Ejercicios que debe estudiar el alumno y discutir en la clase del día 23 de marzo
en la clase del día 23 de marzo
Tema preparado por el Prof.Antoni Espasa
EJEMPLO: MODELO 1
( ) tt22
21 aXlogLL1 =∆φ−φ−
Transformación estacionaria:
)0,2(Iwxlog tt2 =∆
Crecimiento sistemático sin estacionalidad.
[ ]+−+= −−− 2t1t1tt xlogxlogxlogxlog Senda de evolución con crecimiento sistemático
+φ+φ −− 2t21t1 ww Oscilaciones alrededor de la senda de evolución
ta Innovaciones
En el modelo 1 la transformación estacionaria es
tt WX =∆ 2
En el modelo 1
En el modelo 1
Xt es I(2,0) y
∆Xt es I(1,0).
EJEMPLO: MODELO 2
( ) ( )( ) t
s
sts
ss aLLXLL θθ −−=∆∆Φ−Φ− 11log1 1
2
21
Transformación Estacionaria:)0,2(Iwxlog tts =∆∆
Crecimiento sistemático y estacionalidad
estocástica
estocástica
[ ]+−+= −−−− 1stst1tt xlogxlogxlogxlog Senda de evolución
++−−Φ+Φ+ −−+−−−− 1111221 stssstststst aaaww θθθθ Oscilaciones alrededor de la senda de evolución
ta+ Innovaciones
En el modelo 2 la transformación estacionaria es:
tts WX =∆∆
En el modelo 2:
En el modelo 2:
Xt: I(2,0) con estacionalidad estocástica
∆Xt: I(1,0) con estacionalidad estocástica
∆sXt: I(1,0) sin estacionalidad.
EJEMPLO: MODELO 3
( )1
1s
t j j t
j
x b S t L aθ=
∆ = + −∑
Transformación estacionaria: ∑
=− −−=
s
1j
jj1ttt tSbxxw
Calcule b= 1/s ∑bj
Defina bj*= bj -b y escriba ( )
1
1s
t j j t
j
x b b S t L aθ∗
=
∆ = + + −∑
+++= ∑=
∗−
s
1j
jj1tt tSbbxx Senda de evolución
1taθ −− + Oscilaciones alrededor de la senda de evolución
ta Innovaciones
1j =∑
Si b es significativamente distinta de cero en el modelo 3, se tiene un crecimiento
sistemático con una crecimiento medio determinista (b) y factores estacionales
deterministas (bj*). En otro caso el modelo 3 sólo muestra oscilaciones locales de nivel
con estacionalidad determinista.
En el modelo 3 la transformación estacionaria son los residuos Wt de la regresión:
∑=
++=∆s
j
tjtjt WSbbX1
*
En la que se cumple la restricción:
∑=
=s
j
jb1
* 0
En el modelo 3:
Xt: I(1,1) con estacionalidad determinada
∆Xt: tampoco es estacionaria, pues aunque notiene tendencia tiene estacionalidad determinista.
La transformación estacionaria de una serie I(d,ms)se obtiene:
(a)Tomando de diferencias
(b) Realizando una regresión de ∆dXt con las variables
(b) Realizando una regresión de ∆dXt con las variablesartificiales correspondientes a los componentesdeterministas y
(c) Tomando como transformación estacionaria losresiduos de dicha represión.
Los Parámetros Estacionarios (I)
• La dependencia temporal en los datos temporales se refleja en:– Los parámetros de las autocorrelaciones (ρ1 ,
ρ2 ,......) de la distribución conjunta
ρ2 ,......) de la distribución conjunta f(w1,w2,...,wt) o
– Los parámetros de la media condicional en la distribución condicionada f(wt/wt-1,wt-2,....)
que es la misma para cualquier wt por la propiedad de estacionariedad.
Los Parámetros Estacionarios (II)
qϑϑϑφφφ ν ,.....,,,,....,, 2121
t
s
st aLwL −=− ϑφ 1 )1()1(
Estos parámetros son:
EJEMPLO
tststt
tst
aaww
aLwL
+−=−=−
−− ϑφϑφ
11
1 )1()1(
stst aw −− − ϑφ 11
La media condicional es
Usuarios de los modelos y especificación de los modelos ARIMA
• Es importante que se comprenda bien la especificación de los parámetros de la evolutividad y es aconsejable que adquieran experiencia en la realización de estas especificaciones, dado que estos parámetros determinan las predicciones a medio plazo.
plazo.
• Para los parámetros estacionarios, es suficiente que el usuario pueda entender el tipo de dependencia temporal en el modelo proporcionado por programas de ordenador fiables.
– Dependencia de medio o corto plazo
– Dependencia estacional
La impredictibilidad en un modelo ARIMA
� Parámetros reflejando la incertidumbre en la predicción un período por delante
• El único factor con incertidumbre en la predicción a un período por delante es a .
período por delante es at.
• at � Normal (0,σ)
• σ = refleja su incertidumbre
MODELOS INTEGRADOS I(1,0)
• Modelo IMA(1,1) sin constante
,11 −− ++= tttt aaxx β
• la raíz unitaria integra el pasado
∑−
=− ++++=
1
1
00 ][)1(t
j
jttt axaax ββ
MODELOS INTEGRADOS(1,1)
• modelo IMA(1,1) con constante
• la raíz unitaria integra el pasado
.111 −− +++= tttt czz εβε
• la raíz unitaria integra el pasado
][)1( 010
1
1
1 εβεβε ++⋅+++= ∑−
=− zctz
t
j
jttt
3.2. La especificación inicial.Determinación de las estructuras de
persistencia yde dependencia estacionaria
en una serie temporal.
-Análisis de los correlogramas y
-Análisis de los correlogramas ycorrelogramas parciales de la serie original y sustransformaciones.-Contrastes de raices unitarias.-Los criterios de información para determinar ladependencia temporal.
CLASE GENERAL DE MODELOS EN LA METODOLOGÍA B-J
• Es la clase de los modelos ARIMA con factores deterministas.
• En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros que capturan distintos rasgos de los datos.
� Primero se determina si el modelo se formula en los datos
originales o en la transformación logarítmica si la serie
temporal muestra evolutividad en varianza.
CONJUNTOS DE PARÁMETROS EN UN MODELO ARIMA
� Un conjunto de parámetros diseñados para capturar la evolutividad en la media de los datos.
EVOLUTIVIDAD EN LA TENDENCIA
EVOLUTIVIDAD ESTACIONAL
Estos parámetros corresponden al número deDiferencias regulares
Diferencias estacionales
Constante
Dummies estacionales
Otros factores deterministas
� Parámetros para capturar la dependencia temporal• Habiendo fijado los parámetros , los datos originales se
pueden transformar en estacionarios.
• Para la transformación estacioanria, los parámetros que especifican el modelo ARMA capturan la dependencia temporal.
temporal.
• Mirando a la dependencia temporal presente en el correlograma se pueden formular los principales aspectos de la dependencia temporal.
� Parámetro que refleja la incertidumbre en la predicción con un período de antelación
• El único factor con incertidumbre en la predicción con un período de antelación es at.
• at � Normal (0,σ)
• σ = refleja su incertidumbre.• Este parámetro es una medida de la incertidumbre en un
modelo ARIMA.
PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR EL MEJOR MODELO PARA UNA SERIE TEMPORAL CONCRETA
• TRES ETAPAS:
– ESPECIFICACIÓN INICIAL:
• Mirando a los gráficos de la serie original y sus diferencias y,
• Mirando a los correlogramas simples y parcial de la serie originaly sus diferencias.
• Aplicando contrastes de raices unitarias y criterios de información
• Haga una especificación inicial de los valores d, D, p, q, P y Q.
– ESTIMACIÓN:
• A partir de la especificación realizada, estime el correspondiente modelo.
– DIAGNÓSTICO:
• Aplique una batería de contrastes a los resultados de estimación.
• Si estos contrastes no rechazan el modelo inicial, se toma como válido y se utiliza para predecir.
• Si estos contrastes rechazan el modelo inicial, se especifica uno nuevo con las indicaciones observadas. Se vuelve a la fase (1)
El proceso termina cuando en la etapa (3) no se rechaza el modelo que se considera.
Determinación de los parámetros que recogen la
evolutividad o no estacionariedad
• Mirando a los gráficos de Xt o ∆Xt y log Xt o ∆log Xt
determine en qué caso la magnitud de las oscilaciones es más homogénea. – Si no hay una indicación clara, considere si el fenómeno económico
puede evolucionar de acuerdo a una ley de proporcionalidad o no.
puede evolucionar de acuerdo a una ley de proporcionalidad o no.
– En caso positivo tome la transformación logarítmica.
– En caso de duda tome también la transformación logarítmica
• De ahora en adelante Xt representará los datos según se decida en esta fase.
Determinación de los parámetros para la evolutividad en media (I)
• PRINCIPALMENTE– Número de diferencias regulares
– Número de diferencias estacionales
– Término constante
– (otros parámetros deterministas)
– (otros parámetros deterministas)
• CONSIDERE A PARTIR DE LA TEORÍA O DE LA EXPERIENCIA EL TIPO DE EVOLUTIVIDAD EN EL FENÓMENO ECONÓMICO QUE SE ESTUDIA.
Determinación de los parámetros para la evolutividad en media (II)
• EXAMINE los gráficos y cuadros de Xt , ∆Xt , ∆sXt , ∆²Xt, y ∆∆sXt y decida cuál se puede tomar como estacionario:– Media constante
– Varianza constante
– Dependencia similar a lo largo del tiempo
– Aplique el contraste de Dickey-Fuller sobre raices unitarias
En caso de duda tome la transformación con un menor número de
• En caso de duda tome la transformación con un menor número de diferencias.
• Como instrumento auxiliar utilice los correlogramas de las correspondientes transformaciones. Los correlogramas de las transformaciones estacionarias deben tender pronto a valores no significativos.
• Otro instrumento lo constituyen los estadísticos para contrastar la presencia de raíces unitarias (estadístico de Dickey y Fuller)
CONTRATES DE RAICES UNITARIAS.El ESTADÍSTICO DE DICKEY Y FULLER
• Exposición tomada del libro de Charemza y Deadman (1993) 5.3.
• Xt ∼ I(1)• Xt = Xt-1 + ηt.• Procedimiento habitual• X = ρ X + η . (1)
• Xt = ρ Xt-1 + ηt. (1)• estimar por MCO, suponiendo que ηt es un ruido blanco• aplicar estadístico t.• Problemas:• MCO es sesgado en muestras pequeñas.• hay que determinar la distribución del estadístico t cuando X
es I(1).
• Procedimiento alternativo.
– Definir δ = ρ - 1.
– Ahora de (1) se tiene
– (2)
• ESTADÍSTICO DE DICKEY-FULLER:
η
∆X t t= +δ η X t -1
– ηt: es ruido blanco.
– H0: X ∼ I (1)
– contrastar si δ = 0 en (2)
– H1: X ∼ I(0), δ<0.
• Problema
• El estadístico t en (2) no sigue la distribución t-Student si X ∼ I(1)
• Si H0 es cierta en (2)
• regresando I(0) | estadístico t no tiene
• regresando I(0) | estadístico t no tiene
• regresor I(1) | distribución asintótica
• normal.
• Solución
• Al desconocer la distribución se simula.Aplicación:
(1) Contrastar δ = 0 en (2)Si se rechaza X es I(0)Si no se rechaza
(1) Contrastar δ = 0 en (3)
∆∆ ∆X t t= +δ η X t -1 (3)Si se rechaza es I(1)Si no se rechaza contrastar con una diferencia más y así
hasta que se rechace.
• AMPLIACIONES.
• EL MODELO PUEDE TENER COMPONENTES DETERMINÍSTICOS.
• Tablas específicas
• PROBLEMA: Si la parte determinística no está bien especificada el contraste es erróneo. Los contrastes
especificada el contraste es erróneo. Los contrastes de raíces unitarias sólo valen para casos en que se conoce la parte determinística. En la práctica hay que realizarlos con distintas especificaciones deterministas y los resultados obtenidos pueden no ser concluyentes.
ESTADÍSTICO DE DICKEY Y FULLER AUMENTADO
En general, además de raíces unitarias habrádependencia estacionaria con el pasado, quese puede aproximar mediante un esquemaAR(p).
AR(p).
En tal caso el modelo sobre el que realizar elcontraste es:
∑=
−− +∆+=∆k
j
tjtjtt aXXX1
1 δδdonde k = p -1.
(5)
DICKEY Y FULLER CON AIC
La ecuación (5) anterior requiere determinar previamente el valor de p.
Para ello se estiman modelos con distintos
Para ello se estiman modelos con distintos valores de p y se escoge uno mediante un criterio de ajuste que penalice por el número de parámetros.
CRITERIOS DE AJUSTE QUE PENALIZAN POR EL NÚMERO DE PÁRAMETROS (CRITERIOS DE
INFORMACIÓN)
Parámetro de penalización: v = k / T,
donde k es el número de parámetros de modelo y T el número deobservaciones.
CRITERIOS
(a) suma de cuadrados residual corregida por grados de libertad:
(a) suma de cuadrados residual corregida por grados de libertad:
∑ ∑= =−
=−
=T
t
T
t
ttc Tav
TakT
TS
1 1
222 /1
1/
CRITERIOS DE AJUSTE QUE PENALIZAN POR EL NÚMERO DE PÁRAMETROS (CRITERIOS DE
INFORMACIÓN)
(b) AIC (criterio de información de Akaike)
∑=
=T
t
tA Tav1
2 /)2exp(λ
./1
2)(
∑=
=T
t
t
v
s TaTλ
(c) SIC (criterio de información de Schwarz)
Con frecuencia el AIC puede ser un criterio aconsejable.
CONTRASTE DE RAICES UNITARIAS ESTACIONALES
El operador ∆s tiene s raices.En el contrate de Dickey y Fuller para raíces
estacionales, se contrasta que todas las s raíces son unitarias.
Se trata de contrastar si en
Se trata de contrastar si enXt = αs Xt-1 + at ,
αs es la unidad.Para ello se formula:
∆sXt = δs Xt-s + at,donde δ = α-1 y se contrasta si α es 0.
• Para determinar el orden de integración de una determinada serie, , uso el test de Osborn et al (1988). La regresión del test tiene la forma:
• donde es una variable estacional que toma valor uno en el mes k y cero en el resto de los meses y es un término de error.
)1(1
12
12
1
122112112 ∑∑=
−=
−− +∆∆++∆+∆=∆∆p
i
titi
k
ktkttt xDxxx εφδββ
• Bajo la hipótesis nula la variable contiene una diferencia estacional y una regular, y esta hipótesis se puede contrastar mediante un estadístico F tal y como sugieren Osborn et al (1988). Una alternativa a esta hipótesis es que sólo haya una diferencia regular, esta hipótesis está representada
021 == ββ
diferencia regular, esta hipótesis está representada en la ecuación (1) por y . Una segunda alternativa es que el proceso requiera tan solo una diferencia anual, que está capturado en la ecuación (1) por y . Osborn et al (1988) sugieren el uso de estadísticos t para y para contrastar estas dos posibilidades.
01 =β 02 <β
01 <β 02 =β
02 =β01 =β
• Series utilizadas:– Serie 1 � Consumo de Cemento en España
– Serie 2 � Gasto en Construcción Residencial en España
– Serie 3 � Construcción no Residencial en España
– Serie 4 � Obra Civil en España
– Serie 4 � Obra Civil en España
– Serie 5 � Consumo Mensual de Cemento en España
– Serie 6 � Consumo de Cemento en Japón
• A continuación se ven sus gráficos y sus correlogramas.
Gráficos del Consumo de Cemento en España (Serie 1)
300000
400000
500000 CEM
-.1
0
.1
D1LCEM
1990 1995 2000 1990 1995 2000
1990 1995 2000
-.1
0
.1
.2D4LCEM
1990 1995 2000
-.2
-.1
0
DD4LCEM
Correlogramas del Consumo de Cemento en España (Serie1)
Correlogram
.5
.75
1LCEM
Correlogram
0
.5
1D1LCEM
0 5 10
.25
0 5 10
-.5
Correlogram
0 5 10
-.5
0
.5
1D4LCEM
Correlogram
0 5 10
-.5
0
.5
1DD4LCEM
Gráficos del Consumo Mensual de Cemento en España (Serie
5)
2000
3000
CEMENT
-.2
0
.2DLCEMENT
1980 1985 1990 1995 2000 1980 1985 1990 1995 2000
1980 1985 1990 1995 2000
-.25
0
.25
.5D12DLCEMENT
1980 1985 1990 1995 2000
-.5
0
.5
DD12DLCEMEN
Correlogramas del Consumo Mensual de Cemento en España
(Serie 5)
Correlogram
.25
.5
.75
1LCEMENT
Correlogram
-.5
0
.5
1DLCEMENT
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25Correlogram
0 5 10 15 20 25
-.5
0
.5
1D12DLCEMENT
Correlogram
0 5 10 15 20 25
-.5
0
.5
1DD12DLCEMEN
CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS SOBRE SERIES
EUROPEAS
• FORECASTING INFLATION IN THE EURO AREA USING MONTHLY TIME SERIES MODELS AND
USING MONTHLY TIME SERIES MODELS AND QUARTERLY ECONOMETRIC MODELS
• Rebeca Albacete and Antoni Espasa *
Graphs of these variables in logarithms and their quarter-on-quarter rates of
growth can be found in figures 2 and 3.
Figure 2: HICP, DM, ULC and M3 in logarithms and the quarterly rates of growth.
TOTAL HICP IN THE EMU IN LOGS
4.52
4.62
4.72
Q1-1
993
Q1-1
994
Q1-1
995
Q1-1
996
Q1-1
997
Q1-1
998
Q1-1
999
Q1-2
000
Q1-2
001
Q1-2
002
Q1-2
003
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF TOTAL HICP IN THE EMU
-0.001
0.004
0.009
0.014
Q2-19
93
Q2-19
94
Q2-19
95
Q2-19
96
Q2-19
97
Q2-19
98
Q2-19
99
Q2-20
00
Q2-20
01
Q2-20
02
Q2-20
03
IMPORT DEFLACTOR OF THE EMU IN LOGS
4.56
4.60
4.64
4.68
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF IMPORT DEFLACTOR IN THE EMU
-0.026
-0.006
0.014
4.56 Q1-1993
Q1-1994
Q1-1995
Q1-1996
Q1-1997
Q1-1998
Q1-1999
Q1-2000
Q1-2001
Q1-2002
Q1-2003
-0.026 Q2-1993
Q2-1994
Q2-1995
Q2-1996
Q2-1997
Q2-1998
Q2-1999
Q2-2000
Q2-2001
Q2-2002
Q2-2003
UNIT LABOUR COSTS IN THE EMU IN LOGS(seasonally adjusted)
4.53
4.58
4.63
4.68
Q1-1993
Q1-1994
Q1-1995
Q1-1996
Q1-1997
Q1-1998
Q1-1999
Q1-2000
Q1-2001
Q1-2002
Q1-2003
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF UNIT LABOUR COSTS IN THE EMU(seasonally adjusted)
-0.012
-0.002
0.008
Q2-19
93
Q2-19
94
Q2-19
95
Q2-19
96
Q2-19
97
Q2-19
98
Q2-19
99
Q2-20
00
Q2-20
01
Q2-20
02
Q2-20
03 MONETARY AGGREGATE M3 IN THE EMU IN LOGS(seasonal and working days adjusted)
8.16
8.36
8.56
Q1-19
93
Q1-19
94
Q1-19
95
Q1-19
96
Q1-19
97
Q1-19
98
Q1-19
99
Q1-20
00
Q1-20
01
Q1-20
02
Q1-20
03 QUARTERLY RATE OF GROWTH OF M3 IN THE EMU
(seasonally and working days adjusted)
-0.006
0.004
0.014
0.024
0.034
Q2-1
993
Q2-1
994
Q2-1
995
Q2-1
996
Q2-1
997
Q2-1
998
Q2-1
999
Q2-2
000
Q2-2
001
Q2-2
002
Q2-2
003
Figure 3: GDP, GFCF, L and UR in logarithms and the quarterly rates of growth.
GDP IN THE EMU IN LOGS (constant prices 1995)
14.03
14.13
14.23
Q1-1993
Q1-1994
Q1-1995
Q1-1996
Q1-1997
Q1-1998
Q1-1999
Q1-2000
Q1-2001
Q1-2002
Q1-2003
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF GDP IN THE EMU(constant prices 1995)
-0.044
-0.024
-0.004
0.016
0.036
Q2-1
993
Q2-1
994
Q2-1
995
Q2-1
996
Q2-1
997
Q2-1
998
Q2-1
999
Q2-2
000
Q2-2
001
Q2-2
002
Q2-2
003
GROSS FIXED CAPTIAL FORMATION IN THE EMU IN LOGS (constant prices 1995; sesonally adjusted)
12.47
12.57
12.67
Q1-1
993
Q1-1
994
Q1-1
995
Q1-1
996
Q1-1
997
Q1-1
998
Q1-1
999
Q1-2
000
Q1-2
001
Q1-2
002
Q1-2
003
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF GFCF IN THE EMU (constant prices1995; seasonally adjusted)
-0.028
-0.008
0.012
0.032
Q2-1
993
Q2-1
994
Q2-1
995
Q2-1
996
Q2-1
997
Q2-1
998
Q2-1
999
Q2-2
000
Q2-2
001
Q2-2
002
Q2-2
003
Q1-1
993
Q1-1
994
Q1-1
995
Q1-1
996
Q1-1
997
Q1-1
998
Q1-1
999
Q1-2
000
Q1-2
001
Q1-2
002
Q1-2
003
Q2-1
993
Q2-1
994
Q2-1
995
Q2-1
996
Q2-1
997
Q2-1
998
Q2-1
999
Q2-2
000
Q2-2
001
Q2-2
002
Q2-2
003
EMPLOYMENT IN THE EMU IN LOGS(seasonally adjusted)
4.80
4.85
4.90
Q1-19
93
Q1-19
94
Q1-19
95
Q1-19
96
Q1-19
97
Q1-19
98
Q1-19
99
Q1-20
00
Q1-20
01
Q1-20
02
Q1-20
03
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF EMPLOYMENT IN THE EMU (seasonally adjusted)
-0.005
0.000
0.005
Q2-1993
Q2-1994
Q2-1995
Q2-1996
Q2-1997
Q2-1998
Q2-1999
Q2-2000
Q2-2001
Q2-2002
Q2-2003
UNEMPLOYMENT RATE IN THE EMU IN LOGS(seasonally adjusted)
2.08
2.18
2.28
2.38
Q1-1993
Q1-1994
Q1-1995
Q1-1996
Q1-1997
Q1-1998
Q1-1999
Q1-2000
Q1-2001
Q1-2002
Q1-2003
QUARTERLY RATE OF GROWTH OF UNEMPLOYMENT RATE IN THE EMU
(seasonally adjusted)
-0.034
-0.014
0.006
0.026
0.046
Q2-1
993
Q2-1
994
Q2-1
995
Q2-1
996
Q2-1
997
Q2-1
998
Q2-1
999
Q2-2
000
Q2-2
001
Q2-2
002
Q2-2
003
Table 2 lists the augmented Dickey-Fuller (1981) statistics for the variables in
logs and for their first differences.
Table 2: ADF statistics for testing for a unit root in the HICP and the explicative
variables in the congruent model.
Null
Hypothesis HICP ULC UR M3 DM ED
1.50 -1.28 2.95 -1.22 -2.39 I(1)
0.03
(0.00) (0.03) (-0.01) (0.03) (-0.06) (-0.39)
-5.36** -2.88 -4.99** -3.55* -6.55** -6.26**
-5.36** -2.88 -4.99** -3.55* -6.55** I(2)
-6.26**
(-1.12) (-0.90) (-0.48) (-0.84) (-0.62) (-1.12)
Notes:
(1) Here and elsewhere in this paper, asterisks * and ** denote rejection at the 5% and 1%
critical values. The critical values for this table are calculated from MacKinnon (1991)
and are -2.94 at the 5% and -3.62 at the 1%.
(2) The alternative used includes a constant and centered seasonal dummies for HICP and
DM. Like the remaining variables are seasonally adjusted only a constant is included in
the regression.
(3) Series are taken in logs.
(4) Values reported in parentheses are the estimated coefficient on the lagged variable xt-1.
• A TIME SERIES DISAGGREGATED MODEL TO FORECAST GDP IN THE EURO-ZONE.
• October de 2003.
• Román Mínguez
• Román Mínguez
• Univ. San Pablo-CEU (Madrid, Spain), [email protected]
• Antoni Espasa
• Univ. Carlos III (Madrid, Spain), [email protected]
GDP IS AN AGGREGATE WHICH CAN BE ANALYZEDFROM SEVERAL USEFUL POINTS OF VIEW ACCORDINGTO ECONOMIC THEORY
FROM AN EXPENDITURE POINT OF VIEW GDPCAN BE DISAGGREGATED AS:
I. DOMESTIC DEMAND1. PRIVATE CONSUMPTION
2. GOVERMENT CONSUMPTION
2. GOVERMENT CONSUMPTION
3. GROSS FIXED CAPITAL FORMATION
4. CHANGE IN INVENTORIES
II. NET EXPORTS (EXTERNAL BALANCE)5. EXPORTS
6. IMPORTS (-)
GDP.
1990 1995 2000 2005
14.1
14.2
14.3LGDP
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.050
-0.025
0.000
0.025
0.050DLGDP
Private Consumption.
13.5
13.6
13.7LPRIV_CONS
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.075
-0.050
-0.025
0.000
0.025
0.050DLPRIV_CONS
Public Consumption.
12.5
12.6
12.7LPUB_CONS
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.025
0.000
0.025
0.050DLPUB _CONS
Gross Formation of Fixed Capital.
1990 1995 2000 2005
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8LGFFC
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.1
0.0
0.1
DLGFFC
Change of Inventories.
1990 1995 2000 2005
-2
0
2
CHANG_INV
2 3 4
-2.5
0.0
2.5
5.0 DCHANG_INV
Exports.
1990 1995 2000 2005
12.8
13.0
13.2
13.4 LEXPORTS
0.10
2 3 4
-0.05
0.00
0.05
0.10 DLEXPORTS
Imports.
1990 1995 2000 2005
12.8
13.0
13.2
LIMPORTS
2 3 4
-0.05
0.00
0.05
DLIMPORTS
FROM AN ECONOMIC ACTIVITY POINT OF VIEW GDP CAN BE DISAGGREGATED AS
A. GROSS VALUE ADDED
a. FROM AGRICULTURE, FORESTRY, etc.
b. FROM CONSTRUCTION
c. FROM OTHER INDUSTRIAL SECTORS
c. FROM OTHER INDUSTRIAL SECTORS
d. FROM SERVICES
B. TAXES LESS SUBSIDIES ON PRODUCTS
e. TAXES LESS SUBSIDIES ON PRODUCTS
Gross Value Added of Agriculture.
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7LGVA_AGR
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2DLGVA_AGR
Gross Value Added of Industry.
1990 1995 2000 2005
12.5
12.6
12.7
LGVA_INDUS
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.05
0.00
0.05
0.10 DLGVA_INDUS
Gross Value Added of Construction.
1990 1995 2000 2005
11.10
11.15
11.20
11.25
11.30LGVA_CONST
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.1
0.0
0.1
DLGVA_CONST
Gross Value Added of Private Services.
13.2
13.3
13.4
13.5 LGVA_PRIV_SER
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.050
-0.025
0.000
0.025
0.050DLGVA_PRIV_SER
Gross Value Added of Public Services.
1990 1995 2000 2005
12.45
12.50
12.55
12.60
12.65LGVA_PUB_SER
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.01
0.00
0.01
0.02 DLGVA_PUB_SER
Net Taxes.
11.30
11.35
11.40
11.45LTAXES
1990 1995 2000 2005
2 3 4
-0.05
0.00
0.05
0.10DLTAXES
SUMMARY OF THE UNIT ROOT TEST
TERMINOLOGY
Priv. Cons. I(1)-DS-SCh
Priv. Cons. I(1)-DS-SCh
GFKF I(1)-DS-SCh
Ch.in Inv. I(0)-DS
NON-STATIONARY :I(d)DETERMINISTIC SEASONALITY : DSCHANGE IN SEASONALITY :SCh
Exp. I(1)-DS
Imp. I(1)-DS
AGRI I(1)-DS-SCh
Ind. I(1)-DS
Const. I(1)-DS-SCh
Pr. Ser. I(1)-DS-SCh
Pu. Ser. I(1)-DS-SCh
Taxes I(1)-DS
Los Parámetros Estacionarios (I)
• La dependencia temporal en los datos temporales se refleja en:– Los parámetros de las autocorrelaciones (ρ1 ,
ρ2 ,......) de la distribución conjunta
ρ2 ,......) de la distribución conjunta f(w1,w2,...,wt) o
– Los parámetros de la media condicional en la distribución condicionada f(wt/wt-1,wt-2,....)
que es la misma para cualquier wt por la propiedad de estacionariedad.
Los Parámetros Estacionarios (II)
qϑϑϑφφφ ν ,.....,,,,....,, 2121
t
s
st aLwL −=− ϑφ 1 )1()1(
Estos parámetros son:
EJEMPLO
tststt
tst
aaww
aLwL
+−=−=−
−− ϑφϑφ
11
1 )1()1(
stst aw −− − ϑφ 11
La media condicional es
Determinación de los parámetros estacionarios
• Cuando el objetivo es la predicción, lo que importa es la media condicional.
• Procedimiento:– Mire la dependencia temporal en los datos estimando los correlogramas
simple y parcial.
– A partir de estas estimaciones especifique un modelo ARMA.
– A partir de estas estimaciones especifique un modelo ARMA.
• Método para realizar la especificación inicial de un modeloARMA.– Sea cuidadoso examinando el correlograma simple y el parcial. Un experto
puede proponer un modelo ARMA para la serie temporal en cuestión.
– También hay procedimientos automáticos bastante fiables como TRAMO oSCA.
Usuarios de los modelos y especificación de los modelos ARIMA
• Es importante que se comprenda bien la especificación de los parámetros de la evolutividad y es aconsejable que adquieran experiencia en la realización de estas especificaciones, dado que estos parámetros determinan las predicciones a medio plazo.
• Para los parámetros estacionarios, es suficiente que el usuario
• Para los parámetros estacionarios, es suficiente que el usuario pueda entender el tipo de dependencia temporal en el modelo proporcionado por programas de ordenador fiables.– Dependencia de medio o corto plazo
– Dependencia estacional
LAS REGLAS SOBRE MODELOS ARIMA MULTIPLICATIVOS SE EXPONDRAN SOLAMENTE PARA MODELOS ARIMA GENERALES.GENERALES.
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (I)
�Divida el correlograma simple y el parcial en tres partes:
– EL CORRELOGRAMA REGULAR: formado por los primeros valores del correlograma.
primeros valores del correlograma.
– EL CORRELOGRAMA ESTACIONAL: formado por los valores en los retardos estacionales.
– EL CORRELOGRAMA INTERMEDIO: formado por el resto de valores
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (II)
� Recuerde las propiedades de la función de autocorrelación en MA(q), AR(p) y ARMA(p,q):
PROCESO ACF PACF OBS.
MA(q) Punto de corte en k=q
Sin punto de corte
Útil para capturar la dependencia de corto plazo
en k=q corte dependencia de corto plazo
AR(p) Sin punto de corte
Punto de corte en k=p
Útil para capturar dependencia de medio plazo decreciente de
forma regular.
ARMA(p,q) Sin punto de corte
Sin punto de corte
Útil para capturar con mayor flexibilidad dependencia de medio plazo decreciente de forma regular. Para evitar
problemas de factores comunes inicialmente no utilizar más de
(1,1)
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (III)
Tome el correlograma regular
– Hay algún punto de corte?
• SÍ: Mire en qué retardo se produce el corte.
Suponga que ocurre en el retardo q.
Entonces, especifique un MA(q).
• NO: Mire al correlograma parcial
Hay un punto de corte?» SÍ: Mire en qué retardo se produce el corte.
Suponga que ocurre en el retardo p.
Entonces especifique un AR(p).
» NO: Especifique un ARMA (1,1)
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (IV)
Considere el correlograma estacional
– Aplique las mismas reglas que en el punto 3 y especifique según:
– MA(Q) si hay algún punto de corte en el retardo Q·S
– MA(Q) si hay algún punto de corte en el retardo Q·S del correlograma.
– AR(P) si no hay ningún punto de corte en el correlograma y si hay punto de corte en el correlograma parcial en el retardo P·S.
– Para series con ciclos largos se puede especificar un AR(2, 1)
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (V)
� Tome el correlograma intermedio para confirmar las decisiones previas
– Para modelos ARMA multiplicativos, la función de autocorrelación intermedia toma valores de la forma:
autocorrelación intermedia toma valores de la forma:
Donde los superíndices significan:
(I): FAC intermedia
(R): FAC regular
(S): FAC estacional
)()()(
·
)(
· · S
hS
R
K
I
KSh
I
KSh ρρρρ == −+
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (VI)
• LOS VALORES DE LA FAC INTERMEDIA SON EL PRODUCTO DE LA FAC REGULAR Y LA ESTACIONAL.
• POR TANTO,UN VALOR SIGNIFICATIVO EN EL CORRELOGRAMA INTERMEDIO SEÑALA QUE HAN DE
SER SIGNIFICATIVOS LOS CORRESPONDIENTES VALORES DEL CORRELOGRAMA REGULAR Y ESTACIONAL.
Reglas prácticas para determinar los órdenes de un modelo ARMA multiplicativo (VI)
� Al aplicar las reglas anteriores se pueden plantear dudas razonables:
– Tome una decisión sobre los valores más
– Tome una decisión sobre los valores más razonables para p, q, P y Q, y
– Guarde todas las otras posibilidades alternativas. Se considerarán en la fase de validación posterior.
Ejemplos
Correlograma simple y parcial de la transformación
estacionaria de la Construcción no Residencial Española
Ejemplos
Correlograma simple y parcial de la transformación
estacionaria de la serie de Construcción Civil Española
PRINCIPALES RESULTADOS DE LOS PROGRAMAS DE ESTIMACIÓN
• Estimación de los parámetros φj , Φh , θj y Θh con sucorrespondientes matrices de varianzas y correlaciones.
• Estimación de las
innovaciones
a
3 .4. Validación de modelos ARIMA:a) Contrastación de hipótesis
sobre los coeficientes.b) Análisis de residuos.c) Contrastación respecto a
c) Contrastación respecto amodelos alternativos.
CONTRASTES SOBRE LAS ESTIMACIONES DE LOS PARÁMETROS Y POSIBLES MODELOS ALTERNATIVOS
� Aplique contrastes t a cada uno de los parámetros (τj) para contrastarH0: τj = 0
Si el estadístico t-test es menor que 2, no rechace H0 y simplifique el modelo eliminando este parámetro
� Mire a las raíces del polinomio MA(q)
∏=
−=θq
1j
jq )LH1()L(
Si alguna Hj está cercana a la unidad se puede cancelar con
un operador diferencia obteniendo un modelo simplificado.
∏=
−=φp
1j
jp )LG1()L(
� Mire a las raíces del polinomio AR(p)
Si alguna Gj está próxima a la unidad, se podría fijar en
uno, reduciendo el orden de φ(L) a (p-1) e incrementando
el número de diferencias a (d+1).
el número de diferencias a (d+1).
� Mire a las correlaciones entre los parámetros φj , Φh, θj y
Θh
Si encuentra correlaciones mayores que 0.9 en valor
absoluto, elimine uno de los dos parámetros entre los que
se presente esa correlación.
CONTRASTES SOBRE LA ESPECIFICACIÓN BASADOS EN LAS INNOVACIONES ESTIMADAS
• Si el modelo es correcto las innovaciones deberían ser ruido blanco.
• Se pueden aplicar diferentes contrastes a las innovaciones para asegurar que son ruido blanco.
para asegurar que son ruido blanco.
• Si de estos contrastes resulta que las innovaciones no son ruido blanco, se debe modificar el modelo original en el sentido indicado por los resultados de los contrastes
CONTRASTE DE MEDIA CERO DE LAS INNOVACIONESSi el modelo no incluye una constante, la media de las innovaciones
estimadas puede ser significativamente distinta de cero, indicando que es preciso modificar la especificación I(d,m).
σσ =ˆ
Contraste Ho: µ = 0
Mediante un
contraste t
como
media la de típicadesviación
estimadas esinnovacion las de media)ˆ( =µt
Tσσ =ˆcomo
2)ˆ( >µtRechace Ho
si
en valor absoluto.
•Si se rechaza Ho la especificación inicial I(d,m) es incorrecta. Considere:
a) aplicar algún tipo de segmentación
b) incrementar d en uno
c) incrementar m en uno
CONTRASTE DE AUSENCIA DE AUTOCORRELACIÓN ENTRE LAS INNOVACIONES ESTIMADAS
mediante un test t.
Si las innovaciones estimadas son ruido blanco,
entonces sus autocorrelaciones no deben ser
significativamente distintas de cero.
Contraste Ho: ρa(k) = 0 , ∀ K
mediante un test t.
Si se rechaza Ho para K=1,2,3…s, o 2s el modelo inicial es incorrecto y se necesita modificarlo.
o a
Modificación de un modelo tras los resultados de un contraste
• Si un contraste rechaza la especificación inicial,ello implica que ésta es incorrecta y debe modificarse.
• (A) Una buena práctica para formular una especificación alternativa consiste en escoger una de las dudas razonables que quedaron anotadas en la
las dudas razonables que quedaron anotadas en la fase de especificación inicial.
• (B) Otra alternativa consiste en formular un modelo para los resíduos y a partir de él obtener un nuevo modelo para la serie temporal en cuestión.
Contraste Ho: { ρa(1) , ρa(2) ,.., ρa(s+2) } = 0
Mediante el test Ljung-Box (Qs+2)
> χ
Rechace Ho y aplique (A) o (B) de la diapositiva anterior.
2
22 ++ > ssQSi χ
Incluso cuando el modelo inicial ha pasado los contrastes sobre
los resultados de la estimación y sobre los residuos, el modelo
todavía puede ser insatisfactorio porque ese modelo se basa sólo
en una alternativa realizada en la fase de especificación.
• Estime todos los modelos alternativos razonables incluyendo el
FORMULACIÓN DE MODELOS ALTERNATIVOS
• Estime todos los modelos alternativos razonables incluyendo el
modelo original. Elija el modelo con menor AIC.
• Si no se tienen dudas sobre el modelo inicial, intente alternativas
sustituyendo p por (p+1) ,o q por (q+1) o P por (P+1), o Q por
(Q+1). Estime todas estas alternativas incluyendo el modelo
original y elija aquélla con menor valor AIC.
Aplicación de lametodología Box-Jenkins aseries reales.
SECCIÓN PREPARADA POR EL PROF. J.HEVIA
14000
16000
18000Ocupados (miles de personas)
10000
12000
84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
SERIE CON UNA DIFERENCIA REGULAR
0
200
400
-400
-200
0
84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
DOCU
Serie con una diferencia estacional
400
800
1200
-800
-400
0
84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
DSOCU
Serie con dos diferencias,regular y estacional
100
200
300
-300
-200
-100
0
84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
DDSOCU
MODELO AR(1)
• . AR(1)0.49 0.097 VALOR t=5.1
• R-squared 0.24
• Mean dependent var10.02564
• Adjusted R-squared 0.243694
• Adjusted R-squared 0.243694
• S.D. dependent var85.32413
• S.E. of regression74.20285
• Akaike info criterion11.46422
• Schwarz criterion11.49
RESIDUOS DEL MODELO AR(1)
0
100
200
-300
-200
-100
86 88 90 92 94 96 98 00 02
D(OCU,1,4) Residuals
MODELO AR(1)MA(4)
• Dependent Variable:
• AR(1)0.75 valor t= 10.72
• MA(4)-0.939 valor t= -48.98
• R-squared0.495666 Mean dependent var10.02564
• Adjusted R-squared0.489030
• S.D. dependent var85.32413
• Akaike info criterion11.08465
• Schwarz criterion11.1450
•98i -.98
MODELO ARMA(2,4)
• Dependent Variable: AR(1)0.54 VALOR t =4.8 AR(2)0.29 VALOR t=2.64
• MA(4)-0.94 valor t=-56.27• R-squared0.538044 • Mean dependent var10.84416
• Mean dependent var10.84416• Adjusted R-squared0.525558 • S.D. dependent var85.57485• S.E. of regression58.94373 • Akaike info criterion11.02923 • Schwarz criterion11.12054
RESIDUOS DEL MODELO ARMA(2,4)
50
100
150
-150
-100
-50
0
86 88 90 92 94 96 98 00 02
D(OCU,1,4) Residuals
Análisis Box-Jenkins.
• La metodología propone una clase de modelospara explicar datos de series temporales y un procedimiento para construir un modelo adecuado para una serie temporal específica.
adecuado para una serie temporal específica.
• Con los modelos ARIMA, Box-Jenkins (1970) sintetizan los resultados de la teoría estacionaria y los procedimientos aplicados de series temporales conocidos en el momento
• La teoría había sido desarrollada previamente durante 50 por Cramer, Kinchin, Kolmogorov, Slutski, Yule, Walker, Wold, etc.
• Los procedimientos prácticos se habían elaborado en los campos de:
• Prediccion mediante técnicas de alisado exponencial por Brown,
• Prediccion mediante técnicas de alisado exponencial por Brown, Harrison, Holt, Muth, Winter, etc. y
• Ajuste estacional en el Bureau del Censo de E.E.U.U.
• En estos dos campos la tendencia y la estacionalidad no se consideraban determinísticas sino estocásticas,
• Y quedaba claro en la mayor
• Y quedaba claro en la mayor parte de los casos que la estructura subyacente era autorregresiva con raíces unitarias.
• Extensiones del modelo ARIMA
• Permitiendo que el parámetro dsea un número real mediante los procesos fraccionales integrados de memoria larga.
de memoria larga.
• Este proceso (véase Granger, 2001) presenta una “teoría interesante, pero no es útil en ejemplos prácticos en economía”
• Zellner and Palm (1974), y posteriormente otros autores como Wallis,
• Conectan los modelos ARIMA con losmodelos econométricos mostrando que, bajo ciertas hipótesis, el modelo ARIMA es la forma final derivada para cada variable endógena en un modelo de ecuaciones
endógena en un modelo de ecuaciones simultáneas.
• Por tanto, la utilización de un modelo ARIMA para una cierta variable Xt es compatible con el hecho de que Xt sea explicada mediante un modeloeconométrico mayor.
• Esta conexión muestra la debilidad y utilidad potencial de los modelos ARIMA en Economía.
• Las limitaciones provienen principalmente del hecho de que los modelos univariantes no consideran relaciones entre variables.
• Así, Granger (2001) dice
• “los modelos univariantes no están pensados
• “los modelos univariantes no están pensados como modelos relevantes para los propósitos prácticos más importantes en economía,
• Aunque son muy utilizados como vehículos experimentales para estudiar nuevos modelos y técnicas”.
• Los modelos ARIMA resultan muy exitosos en:
• predicción y
• métodos de ajuste estacional.
• El éxito en predicción es -véase Clements and Hendry (1999)-, especialmente debido
and Hendry (1999)-, especialmente debido a la presencia de raíces unitarias.
• En la práctica, los agentes no sólo quieren predicciones fiables, sino que además necesitan una explicación de los factores económicos que las sustentan.
• Por naturaleza, los modelos ARIMA no son capaces de proporcionar esta explicación.
• Requiere modelos econométricoscongruentes propugnados por Clements y Hendry, actualizándolos cada vez queocurre un cambio estructural.
• En la actualidad, la construcción de estos
• En la actualidad, la construcción de estosmodelos para la práctica general en la predicción periódica podría ser en ocasiones relativamente compleja y costosa.
