Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

M. en C. René Benítez LópezM. en C. René Benítez LópezDepartamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

(Versión preliminar)

C

A

B

El del triángulo ABC adjunto es un ángulo recto. Por tener un ángulo recto, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo.

C

Un triángulo es triángulo rectángulo si tiene un ángulo recto.

AB es la hipotenusa

yAC BC son los catetos

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa

Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos

Triángulo rectángulo

Cuando se construye un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo, se puede demostrar que:

Esta relación entre los cuadrados de los catetos y el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se conoce como teorema de Pitágoras (582-497 A. C.)

a

cb

2 2 2c a b El área del cuadrado situado en la hipotenusa es 2c

El área del cuadrado sobre la hipotenusa,es igual a la suma de las áreas de los cuadrados situados en los catetos.

La suma de las áreas de los cuadrados situados en los catetos es

2 2a b

En símbolos:

Enseguida se tiene una demostración del teorema de Pitágoras mediante la descomposición y equivalencia de áreas. Observe:

c

ba

Caso 1:

Cuando las medidas de los catetos son iguales. (a = b)

2 2 2c a b

c = +

Demostración 1:

a

b

2c 2a 2b

a

c

b

a

c

b

c

ba

2 2 2c a b

Caso 2:

Cuando las medidas de los catetos son desiguales. (a < b)

= +2c 2a 2b

x

D

C

AB

c x

ba

c

Demostración 2:

La altura CD sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC, determina los triángulos ACD y CBD, los cuales son semejantes con el triángulo ABC. Observe:

ACD ABC Tienen dos ángulos congruentes.

De donde:

2a xa cx

c a

De donde:

2 2b c xb c cx

c b

Por lo que:

2 2 2 2a b cx c cx c

Tienen dos ángulos congruentes.

BCD ABC

c

ab

c

(b – a)2

c

c

c

A partir de la siguientes figuras, demuestre algebraicamente que

2 2 2c a b

Demostración 3:

aa

A B

C

A

C

DD

x5 5

x

6

3

Si los lados iguales de un triángulo isósceles miden 5 cm cada uno, y si la base mide 6 cm, ¿cuánto mide la altura sobre la base?

Aplicaciones

aa

8

6

15y

x

Para estabilizar una torre de radio trasmisión, se van a fijar tirantes de retención a 6 m y 15 m sobre la torre. Si el amarre en el piso está a 8 m de la base de la torre, encontrar la longitud de los tirantes.

aaa

1

3

0 1 2 3 4

2

4

5 6 7 8 x

y

5

A

B

Obtener la distancia desde el punto A de coordenadas hasta el punto B de coordenadas en el plano cartesiano.

1,2

5,5

a

A

B C

D

O

El cuadrilátero adjunto ABCD es un rombo. En él, es perpendicular a . Si y , ¿cuál es su perímetro?

AC BD cm12AO cm16BO

aa

3E

D CB

A

2 2

Carlos mide 1.5 m y se aleja de una pared en la que hay un foco a 3 m de altura. Él se detiene en el preciso momento en que su distancia a la pared y la longitud de su sombra son iguales a 2 m. Si Carlos trajera un piojo en el “coco”, ¿qué tan lejos estaría el piojo del foco?

aa

Muelle

1.2

3.7

x

Dos lanchas parten desde un mismo punto de un muelle en dirección perpendicular una de la otra. Al poco rato, la distancia entre ambas es de 3.7 km. Si en ese momento una de ellas está a 1.2 km del punto de partida, ¿cuántos km recorrió la otra?

QS

P

A

La longitud de la tangente trazada desde un satélite S a la superficie terrestre es igual a 12x103 km. Si el radio medio de la Tierra es aproximadamente igual a 6.4x103 km; ¿Cuánto mide el radio de la órbita del satélite y a qué altura está el satélite?

B

x 3x

C

AO

2x 2

¿Cuál es el valor de X ?

RompecabezasCopie el siguiente diagrama y recorte las regiones numeradas del 1 al 5 para formar con ellas un cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectánglo de color naranja

a

1

2 3

4 5

Fin