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definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
Teoremas de la divergencia y del rotor en elplano
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
5 de abril de 2011
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
divergencia
definición (divergencia)
~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)divergencia de ~X
div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
divergencia
definición (divergencia)~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)
divergencia de ~X
div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
divergencia
definición (divergencia)~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)divergencia de ~X
div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
divergencia
definición (divergencia)~X : Ω→ R3 campo ~X = (A,B,C)divergencia de ~X
div ~X = ∇.~X = Ax + By + Cz
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
interpretación física
div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluido
div ~X < 0 el gas se comprimediv ~X > 0 el gas se expandediv ~X = 0 el gas mantiene su volumen
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
interpretación física
div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluidodiv ~X < 0 el gas se comprime
div ~X > 0 el gas se expandediv ~X = 0 el gas mantiene su volumen
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
interpretación física
div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluidodiv ~X < 0 el gas se comprimediv ~X > 0 el gas se expande
div ~X = 0 el gas mantiene su volumen
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
interpretación física
div ~X = tasa de expansión del volumen según el flujo deun gas o fluidodiv ~X < 0 el gas se comprimediv ~X > 0 el gas se expandediv ~X = 0 el gas mantiene su volumen
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
ejemplo
campo gravitatorio
X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio
Ax = −mMG( x
r3)
x
= r2−3x2
r5
div ~X = Ax + By + Cz
= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
ejemplo
campo gravitatorio
X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio
Ax = −mMG( x
r3)
x
= r2−3x2
r5
div ~X = Ax + By + Cz
= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
ejemplo
campo gravitatorio
X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio
Ax = −mMG( x
r3)
x= r
2−3x2r5
div ~X = Ax + By + Cz
= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
ejemplo
campo gravitatorio
X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio
Ax = −mMG( x
r3)
x= r
2−3x2r5
div ~X = Ax + By + Cz
= −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
ejemplo
campo gravitatorio
X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio
Ax = −mMG( x
r3)
x= r
2−3x2r5
div ~X = Ax + By + Cz = −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2)
= 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
divergencia
ejemplo
campo gravitatorio
X (x , y , z) = −mMGr3 (x , y , z) campo gravitatorio
Ax = −mMG( x
r3)
x= r
2−3x2r5
div ~X = Ax + By + Cz = −mMGr5 (3r2 − 3x2 − 3y2 − 3z2) = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
integral curvilínea de una función
integral curvilínea de una función
definición (integral curvilínea de una función)
f : Ω→ R con Ω ⊂ R3
C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫
Cf ds =
∫ ba
f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
integral curvilínea de una función
integral curvilínea de una función
definición (integral curvilínea de una función)
f : Ω→ R con Ω ⊂ R3
C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫
Cf ds =
∫ ba
f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
integral curvilínea de una función
integral curvilínea de una función
definición (integral curvilínea de una función)
f : Ω→ R con Ω ⊂ R3
C ⊂ Ω curva orientada
P(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫
Cf ds =
∫ ba
f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
integral curvilínea de una función
integral curvilínea de una función
definición (integral curvilínea de una función)
f : Ω→ R con Ω ⊂ R3
C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]
integral curvilínea de f a lo largo de C:∫C
f ds =∫ b
af (P(t))‖Ṗ(t)‖dt
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
integral curvilínea de una función
integral curvilínea de una función
definición (integral curvilínea de una función)
f : Ω→ R con Ω ⊂ R3
C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:
∫C
f ds =∫ b
af (P(t))‖Ṗ(t)‖dt
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
integral curvilínea de una función
integral curvilínea de una función
definición (integral curvilínea de una función)
f : Ω→ R con Ω ⊂ R3
C ⊂ Ω curva orientadaP(t) parametrización de C, t ∈ [a,b]integral curvilínea de f a lo largo de C:∫
Cf ds =
∫ ba
f (P(t))‖Ṗ(t)‖dt
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano
~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√
ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campo
Ω ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√
ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihoraria
Ω = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√
ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω
~n = (ẏ ,−ẋ)√ẋ2+ẏ2
normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√
ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
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teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√
ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de Gauss
teorema de la divergencia en el plano~X : Ω∗ → R2 campoΩ ⊂ Ω∗ tal que ∂Ω simple cerrada antihorariaΩ = int∂Ω~n = (ẏ ,−ẋ)√
ẋ2+ẏ2normal exterior a ∂Ω
⇒ ∫∂Ω
~X .~n ds =∫ ∫
Ωdiv ~X dx dy
∫∂Ω−Bdx + Ady =
∫ ∫Ω
(Ax + By ) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
dominio teorema Gauss
el teorema también seaplica a dominios de laforma:
observar las orientacionesde las curvas bordeunión finita de dominioscon borde simple cerradoantihorario
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
dominio teorema Gauss
el teorema también seaplica a dominios de laforma:observar las orientacionesde las curvas borde
unión finita de dominioscon borde simple cerradoantihorario
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
dominio teorema Gauss
el teorema también seaplica a dominios de laforma:observar las orientacionesde las curvas bordeunión finita de dominioscon borde simple cerradoantihorario
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
flujo saliente de un campo a través de una curva
definición (flujo saliente de un campo)
~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫
∂Ω
~X~nds
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
flujo saliente de un campo a través de una curva
definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campo
C = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫
∂Ω
~X~nds
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
flujo saliente de un campo a través de una curva
definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién
~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫
∂Ω
~X~nds
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
flujo saliente de un campo a través de una curva
definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ω
flujo saliente de ~X a través de C:∫∂Ω
~X~nds
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
flujo saliente de un campo a través de una curva
definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:
∫∂Ω
~X~nds
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
flujo saliente de un campo a través de una curva
definición (flujo saliente de un campo)~X : Ω∗ → R2 campoC = ∂Ω conjunto de curvas orientadas como recién~n normal exterior a Ωflujo saliente de ~X a través de C:∫
∂Ω
~X~nds
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
ejemplo
ejemplo~X = (y3, x5)
calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�
~X~nds
=∫∫
� div X dx dy = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
ejemplo
ejemplo~X = (y3, x5)
calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario
∫∂�
~X~nds
=∫∫
� div X dx dy = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
ejemplo
ejemplo~X = (y3, x5)
calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�
~X~nds
=∫∫
� div X dx dy = 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
ejemplo
ejemplo~X = (y3, x5)
calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�
~X~nds =∫∫
� div X dx dy
= 0
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
ejemplo
ejemplo~X = (y3, x5)
calcular el flujo saliente de ~X a través del borde delcuadrado unitario antihorario∫∂�
~X~nds =∫∫
� div X dx dy = 0
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teorema
teorema de green
teorema del rotor en el plano (Green)
~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫
∂Ω
~X−→ds =
∫ ∫Ω
rot ~X .~k dx dy
∫∂Ω
Adx + Bdy =∫ ∫
(Bx − Ay) dx dy
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teorema
teorema de green
teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campo
Ω y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫
∂Ω
~X−→ds =
∫ ∫Ω
rot ~X .~k dx dy
∫∂Ω
Adx + Bdy =∫ ∫
(Bx − Ay) dx dy
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teorema
teorema de green
teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior
⇒ ∫∂Ω
~X−→ds =
∫ ∫Ω
rot ~X .~k dx dy
∫∂Ω
Adx + Bdy =∫ ∫
(Bx − Ay) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
teorema de green
teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫
∂Ω
~X−→ds =
∫ ∫Ω
rot ~X .~k dx dy
∫∂Ω
Adx + Bdy =∫ ∫
(Bx − Ay) dx dy
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teorema
teorema de green
teorema del rotor en el plano (Green)~X : Ω∗ → R2 campoΩ y ∂Ω como en el teo. anterior⇒ ∫
∂Ω
~X−→ds =
∫ ∫Ω
rot ~X .~k dx dy
∫∂Ω
Adx + Bdy =∫ ∫
(Bx − Ay) dx dy
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
observación
observaciónel teorema de la divergencia y el del rotor en el plano sonequivalentes
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
observación 2
observación 2el teorema de Green implica el teorema fundamental paracampos irrotacionales (clase pasada)
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
observación 3
obervación 3 (fórmula del área)
area(Ω) =∫ ∫
Ωdx dy
=12
∫ ∫∇.(x , y)dx dy
=12
∫∂Ω
(x , y)~nds
=12
∫∂Ω
xdy − ydx
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
observación 3
obervación 3 (fórmula del área)
area(Ω) =∫ ∫
Ωdx dy
=12
∫ ∫∇.(x , y)dx dy
=12
∫∂Ω
(x , y)~nds
=12
∫∂Ω
xdy − ydx
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
observación 3
obervación 3 (fórmula del área)
area(Ω) =∫ ∫
Ωdx dy
=12
∫ ∫∇.(x , y)dx dy
=12
∫∂Ω
(x , y)~nds
=12
∫∂Ω
xdy − ydx
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
observación 3
obervación 3 (fórmula del área)
area(Ω) =∫ ∫
Ωdx dy
=12
∫ ∫∇.(x , y)dx dy
=12
∫∂Ω
(x , y)~nds
=12
∫∂Ω
xdy − ydx
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
example - teorema Green
ejemplo
~X = (xy2, x + y)
calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =
∫∫Ω rot X .
~kdx dy
= 112
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
example - teorema Green
ejemplo
~X = (xy2, x + y)
calcular la circulación de ~Xsobre C
∫C~X−→ds =
∫∫Ω rot X .
~kdx dy
= 112
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
example - teorema Green
ejemplo
~X = (xy2, x + y)
calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =
∫∫Ω rot X .
~kdx dy
= 112
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
example - teorema Green
ejemplo
~X = (xy2, x + y)
calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =∫∫
Ω rot X .~kdx dy
= 112
definiciones previas terorema de Gauss teorema de green
teorema
example - teorema Green
ejemplo
~X = (xy2, x + y)
calcular la circulación de ~Xsobre C∫C~X−→ds =∫∫
Ω rot X .~kdx dy = 112
definiciones previasdivergenciaintegral curvilínea de una función
terorema de Gaussteorema
teorema de greenteorema