Teoría de redes: redes aleatorias

Network Science

Redes aleatorias

Angel Vázquez-Patiñoangel.vazquezp@ucuenca.edu.ec

Departamento de Ciencias de la ComputaciónUniversidad de Cuenca

8 de noviembre de 2017

Redes aleatorias Angel Vázquez-Patiño 2/58

Objetivos

1. Entender el modelo de redes aleatorias

2. Revisar si los sistemas complejos se pueden modelar con redes aleatorias

3. Entender las principales características de una red que sigue el modelo de red aleatoria

4. Entender la característica de las redes de mundo pequeño

Contenido

Modelo de red aleatoria

Número de enlaces

Distribución de grado

Las redes reales no son Poisson

La evolución de una red aleatoria

Las redes reales son supercríticas

Mundos pequeños

Coeficiente de agrupación

Redes aleatorias

Objetivo de Network Science● Construir modelos que reproducen las

propiedades de redes reales● La mayoría de redes no son regulares

Modelo de red aleatoria● La mayoría, a primera vista, parecen tener

conexiones aleatorias

Modelo de red aleatoria● La teoría de redes aleatorias abraza esta

aparente aleatoriedad construyendo y caracterizando redes que son realmente aleatorias

● Desde una perspectiva de modelización, una red es simple: nodos y enlaces

● El reto es decidir dónde poner los enlaces entre los nodos para reproducir la complejidad de un sistema real

Red aleatoria (Erdős-Rényi)● Una red aleatoria consiste de � nodos donde

cada par de nodos están conectados con probabilidad �

Construcción

1) Comenzar con � nodos aislados

2) Seleccionar un par de nodos y generar un número aleatorio entre 0 y 1

3) Si el número excede �, conectar el par de nodos seleccionado con un enlace, caso contrario dejarlos desconectados

4) Repetir pasos 2) y 3) para cada uno de los pares de nodos �(�-1)/2

Modelo de red aleatoria�=0.1 �=0.3 �=0.5

�=0.7 �=0.9 �=1

Número de enlaces

Número de enlaces● Cada red aleatoria generada con los mismos

parámetros � y � se ven algo diferentes● No sólo el diagrama detallado de las

conexiones cambian entre cada realización, sino también el número de enlaces �

● Importante determinar cuántos enlaces se esperan para cada realización particular con parámetros fijos � y �

Las redes aleatorias son realmente aleatorias

Número de enlaces

La probabilidad de que una red aleatoria tenga exactamente � enlaces es el producto de tres términos.

1) Probabilidad de que L de los intentos por conectar los �(�-1)/2 pares de nodos hayan resultado en enlaces, ��

2) Probabilidad de que los restantes �(�-1)/2-� intentos no hayan resultado en un enlace, (1-�)�(�-1)/2-�

3) Un factor combinatorio

Número de enlaces● Probabilidad de que una realización particular

tenga exactamente � enlaces

● Número esperado de enlaces

Número de enlaces● Grado promedio de una red aleatoria

● � aleatorio, i.e. varia entre cada realización● Valor esperado de � depende de � y p● Si p se incrementa, la red es más densa

– <�> se incrementa linealmente, 0 a �máx– Grado promedio de un nodo se incrementa, 0 a �-1

Distribución de grado● Grado medio = 5.24● p(�-1) = 4.9● L=131● pLmáx = 122.5

Distribución de grado● Grado medio =

49.948● p(�-1) = 50● L=12487● Plmax = 12475

Distribución de grado● Luego de una realización, algunos nodos tienen

un grado alto y otros incluso están aislados● La distribución de grado captura esas

diferencias● pk es la probabilidad de que un nodo tomado al

azar tenga grado k

Distribución binomial● En una red aleatoria la probabilidad de que un

nodo i tenga exactamente k enlaces es el producto de tres términos

1) Probabilidad de que k de sus enlaces estén presentes, pk

2) Probabilidad de que los demás (N-1-k) enlaces no están presentes, (1-p)N-1-k

3) Número de maneras en que se pueden seleccionar k enlaces de los N-1 potenciales

Distribución binomial● Distribución de grado de una red aleatoria

Distribución binomial

Distribución de Poisson

La distribución de grado es independiente del tamaño de la red

Propiedad● En una red aleatoria grande el grado de la

mayoría de los nodos está en una estrecha vecindad de ⟨��⟩

Distribución de grado, redes reales

La evolución de una red aleatoria

La evolución de una red aleatoria● Ejemplo inicial de la fiesta● N nodos aislados● Enlaces añadidos gradualmente mediante

encuentros aleatorios entre los invitados● Esto corresponde a un aumento gradual de p,

con consecuencias sorprendentes en la topología de red

● Para cuantificar el proceso, se inspecciona cómo el tamaño del clúster conectado más grande en la red, NG, varía con <k>

La evolución de una red aleatoria● Dos casos extremos son fáciles de entender:

1) Para p=0 se tiene ‹k› = 0, así todos los nodos están aislados. Por lo tanto el componente más grande tiene el tamaño NG=1 y NG/N→0 para un N grande

2) Para p=1 se tiene ‹k›= N-1, así la red es un grafo completo y todos los nodos pertenecen a un solo componente. Por lo tanto NG=N y NG/N=1

La evolución de una red aleatoriaNo grupo grande Rápida emergencia de un grupo

grande (componente gigante)⟨k =1 (suficiente)⟩

Régimen subcrítico0 ‹ ‹k› ‹ 1 (p ‹ 1/N)

Punto crítico‹k› = 1 (p = 1/N)

Régimen supercrítico‹k› › 1 (p › 1/N)

Régimen conectado‹k› › lnN (p › lnN/N)

Predicciones importantes en redes reales

1) Una vez se excede ⟨��⟩=1, un componente gigante debería emerger. Así, sólo para ⟨��⟩>1 los nodos se organizan así mismos en una red reconocible

2) Para ⟨��⟩>ln(�) todos los componentes son absorbidos por el componente gigante, resultando en una sola red conectada

Las redes reales son supercríticas● ¿Las redes reales satisfacen el criterio para la

existencia de un componente gigante (⟨��⟩>1)?● ¿El componente gigante contiene a todos los

nodos para ⟨��⟩>ln(�), o hay también algunos nodos desconectados y componentes?

● Comparación de la estructura de una red real para un ⟨��⟩ dado con las predicciones anteriores

Mundos pequeños

Mundos pequeños● Fenómeno de mundo pequeño o seis grados

de separación● Implica que la distancia entre dos nodos

escogidos al azar de una red es corta

Preguntas

1) ¿Qué significa corta? (comparado con qué)

2) ¿Cómo explicar la existencia de estas distancias cortas?

Mundos pequeños

En una red aleatoria con grado promedio ⟨��⟩, un nodo tiene en promedio:● ⟨��⟩ nodos a una distancia de uno (d=1)● ⟨��⟩2 nodos a una distancia de dos (d=2)● ⟨��⟩3 nodos a una distancia de tres (d =3)● ...● ⟨��⟩d nodos a una distancia de d

Mundos pequeños● E.g. con ⟨��⟩ ≈ 1000, (número de conocidos), se

esperan 106 personas a una distancia de dos y cerca de mil millones a una distancia de tres

Mundos pequeños

Con más precisión● El número esperado de nodos a una distancia d

de un nodo es

● �(�) no debe superar a �

Mundos pequeños● Asumiendo ⟨��⟩ >> 1Diámetro de una red aleatoria

Interpretación

● predice la escala del diámetro de la red (�máx) en relación con su tamaño (�)

● Para la mayoría de redes, buena aproximación a <�> antes que a �máx

● Porque �máx es a menudo dominada por unos pocos caminos extremos, y <�> es una media (suprime las fluctuaciones)

● Propiedad de mundo pequeño

Interpretación● En general ln(�) << �, así la dependencia de <�> en ln(�) implica que las distancias en una

red aleatoria son de órdenes de magnitud más pequeñas que el tamaño de la red

● Consecuentemente, pequeño en “fenómeno de mundo pequeño” significa que la longitud de camino promedio o el diámetro depende logarítmicamente del tamaño de la red

● “Pequeño” significa que <�> es proporcional a ln(�) o alguna potencia de �

Interpretación● El término 1/ln ⟨��⟩ implica que una red más

densa tiene una distancia más pequeña entre los nodos

● En redes reales hay correcciones sistemáticas a

● porque el número de nodos a una distancia � > <�> disminuye rápidamente

Conceptos y términos importantes

Conceptos y términos importantes● Distribución de grado● Conectividad● Longitud de camino promedio● Coeficiente de agrupamiento● Distribución de probabilidad binomial● Mundos pequeños

Referencias● Estas diapositivas están basadas en el libro

Network Science de Barabási (2016).

Barabási, A.-L., 2016. Network Science. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom.

Preguntas

Teoría de redes: redes aleatorias

Science

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