U4: COORDENADAS POLARES,

CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

U4: COORDENADAS POLARES,

CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

Elaboración:

JEANETT LÓPEZ GARCÍA

03-06-2021

1

COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 2

2

❖ Coordenadas polares➢ Transformación entre coordenadas cartesianas y polares➢ Cónicas en coordenadas polares➢ Descripción de curvas en coordenadas polares

❖ Coordenadas Cilíndricas➢ Transformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas➢ Descripción de superficies en coordenadas cilíndricas

❖ Coordenadas Esféricas➢ Transformación entre coordenadas cartesianas y esféricas➢ Descripción de superficies en coordenadas esféricas

¡No pretendo enseñar fórmulas! Por ejemplo: cómotransformar unas coordenadas esféricas a cartesianas yviceversa:

Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas

1,1,1( ) 3, tg-1 2( ),p

4

æ

èç

ö

ø÷

En Cálculo:

En Geometría o Álgebra:

Coordenadas cartesianas Cooordenadas cilíndricas

Integrales en otros sistemas coordenados

De coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas (cilindro y dos planos)

De coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas (plano, cono y esfera)

d

r

dθd

z

d

z

d

yd

x

d

φ

d

ρ

d

θ

Elementos diferenciales en sistemas coordenados

1. En este caso el objetivo es enseñar qué hacen lasmatrices de rotación sobre tríadas en el proceso detransformaciones de coordenadas.

2. ¿Cuáles son las componentes de la base si estamostrabajando en otro tipo de coordenadas, por ejemplo,coordenadas esféricas o cilíndricas?

3. ¿Cuáles son las propiedades geométricas de unsistema de coordenadas cartesianas?

¿Cómo podemos describir el nuevo sistema primado?

Dada la base ... quiero otra base

¡rotación!

Podemos verificar que los tres vectores de la base de un sistema de coordenadas están relacionados con otra base, a través de la transformación lineal:

Matriz de transformación

Los coeficientes de transformación son iguales a los cosenos directores de los ejes definidos por el sistema primado en relación con el sistema no primado.

Casos particulares: coordenadas esféricas

coordenadas cilíndricas

¿Qué piensan los estudiantes después de la explicación?

ˆ ˆ ˆ, ,i j kVectores unitarios del Sistema coordenado cartesiano

Pero, ¿de dónde vienen?

¿Qué sucede cuando cambiamos de coordenadas cartesianas a cualquier

otro tipo de coordenadas?

Coordenadas curvilíneas(coordenadasgeneralizadas

–Física–)

Superficie q3Superficie q3

Superficie q1

Superficie q2

Coordenadas cartesianasCoordenadas cartesianas

El vector de posición Ԧ𝑟 tiene la misma dirección que elcambio en el vector de posición producido por un aumentoinfinitesimal en la coordenada generalizada

Definimos los vectores unitarios de la base de coordenadasgeneralizadas como:

e1 =

¶r

¶q1

¶r

¶q1

, e2 =

¶r

¶q2

¶r

¶q2

, e3 =

¶r

¶q3

¶r

¶q3

¿Qué sucede con la tríada cuando elegimos un punto que es diferente de (0,0,0)?

ˆ ˆ ˆ, ,i j k

x=constantey=constante

z=constante

x + Δx=constantey + Δy =constantez + Δz=constante

En coordenadas esféricas tenemos dos superficies

curvadas y la tercera es un plano.

Coordenadas esféricas

Mathematica animation

Superficies curvas y su vector normal

¿Qué pasa con el vector normal en el cono?

Vectores normales para esferas

¿Qué sucede con los vectores base en coordenadas esféricas? ˆ ˆˆ, ,r

2-Geogebra program

Superficies curvadas y sus planos tangentes

Plane tangentea la esfera r

Plano tangenteal plano

Plano tangenteal cono

1-Geogebra program

Pudimos ver la gráfica de los nuevos vectores base. Ahorapodemos entenderlos matemáticamente. Tomamos el punto (x=1,y=1,z=1) y si usamos como entrada de la matriz

luego obtenemos los componentes de cada vector base como una combinación lineal de

r = 3,q = tg-1 2( ),f =p

4

æ

èç

ö

ø÷

Con Maple

ˆ

ˆ

ˆ

r

=

Usando la propiedad de que T es una matriz ortogonal, la relación inversa es

O equivalentemente,

TT =T-1

TTT =TTT =1

i

j

k

æ

è

çççç

ö

ø

÷÷÷÷

=

senq cosf cosq cosf -senf

senqsenf cosqsenf cosf

cosq -senq 0

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷

er

eq

ef

æ

è

çççç

ö

ø

÷÷÷÷

Transformación entre coordenadas cartesianas y esféricasTransformación entre coordenadas cartesianas y esféricas

vs. otras expresiones (¡tenga cuidado!)vs. otras expresiones (¡tenga cuidado!)

𝝆 = constante𝝆 = constante 𝜽 = constante𝜽 = constante

𝝓 = constante𝝓 = constante

o Vector posiciónr = rcosq( ) i + rsenq( ) j + zk

3-Geogebra program

Transformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricasTransformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas

ො𝒆𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒔𝒆𝒏𝜽

ො𝒆𝜽 = −𝒔𝒆𝒏𝜽, 𝒄𝒐𝒔𝜽

Base canónica (COORD. POLARES):C.RECTANGULARES →C.POLARESC.RECTANGULARES →C.POLARES

C.POLARES →C.RECTANGULARESC.POLARES →C.RECTANGULARES

𝒓 = constante𝒓 = constante 𝒛 = constante𝒛 = constante

𝜽 = constante𝜽 = constante

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REFERENCIAS

• López-García, J., Jimenez-Zamudio, J.J., and Canut-Díaz Velarde, M. E. (2017). Visualization ofOrthonormal Triads in Cylindrical and Spherical Coordinates. Springer Proceedings inMathematics & Statistics (Conference: Special Sessions in Applications of Computer Algebra).Springer Vol. 198 pp. 257-266. DOI: 10.1007/978-3-319-56932-1_17

• Larson R. y Edwards, B. H. (2010). Cálculo 2 De varias variables. México: McGraw Hill.