Captulo

33 IInnfflluueenncciiaa ddee llaa ppllaassttiicciiddaadd ((22DD))

En los modelos analizados por Barroso [14] se considera

deformacin plana y deformacin plana generalizada. En dicho trabajo

una de las contribuciones de la parte numrica fue la obtencin de los

Factores de Intensificacin de Tensiones Generalizados (FITG) para

esquinas con distintas configuraciones de material y distintas

orientaciones (en el caso de los laminados de composites).

Con los exponentes caractersticos de la esquina obtenidos de la

parte analtica de su investigacin, Barroso busc un procedimiento

para el clculo de los FITG basado en un procedimiento de ajuste por

mnimos cuadrados. De esa manera fue posible encontrar el peso de

cada uno de los trminos del desarrollo en serie y representar las

tensiones y desplazamientos por una suma de estos, permitiendo

visualizar el peso de cada uno de ellos en el estado tensional.

Aunque estos resultados hayan sido de considerable importancia

en el tema de singularidades en esquinas multimateriales, este estudio

(desde un punto de vista de la MFEL) estara limitado en caso de que en

la esquina y ms especficamente en el adhesivo apareciera

plastificacin.

En la Mecnica de la Fractura Elasto-Plstica (MFEP), se puede

estimar el tamao de la zona plstica en el fondo de la grieta. Esta

estimacin puede ser obtenida mediante la sustitucin de las

ecuaciones del campo tensional en el fondo de la grieta en un criterio de

plastificacin, es decir, determinar los puntos donde las tensiones

satisfacen el criterio de plastificacin. En [30] y [31], entre otros, es

presentada la obtencin de la zona plstica para tensin y deformacin

plana mediante el criterio de von Mises.

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

26

Siguiendo la analoga de la MFEP, la evaluacin de la plasticidad

en la esquina (localmente) puede conllevar que el estado tensional

calculado sea o no representativo. De entre las aportaciones que este

anlisis podra conllevar, el principal seria la propuesta (en etapa

futura) de ensayos especficos en la unin para determinar los valores

admisibles de los FITG.

En la actualidad existen numerosos criterios para predecir la

resistencia de la unin adhesiva. Al considerarse la plasticidad en el

adhesivo, la bibliografa es ampliamente diversificada.

En 1972, usando una versin modificada del criterio de von Mises,

Bowden et l. [32] llevaron a cabo ensayos con polmeros sugiriendo que

un criterio del tipo von Mises modificado de tal modo que incluya la

influencia de la tensin (o presin) hidrosttica es ms apropiado para

representar el comportamiento de resinas epoxy.

Ms recientemente, Broughton et l. [33] presentan un estudio

paramtrico de la resistencia de uniones de solape simples con acero

como adherentes, aprovechando la facilidad de los programas

comerciales de MEF para investigar el efecto de parmetros como por

ejemplo espesor de adhesivo, longitud del pegamiento, geometra del

rebose, entre otros. Utilizaron los criterios de von Mises y Drucker-

Prager para simular la plasticidad acoplado a criterios de fallo.

Entre los criterios de plastificacin que consideran la influencia del

tensor hidrosttico, probablemente los ms difundidos y ampliamente

utilizados para la simulacin de adhesivos sean el de Drucker-Prager

[34], [35], [36], variaciones de este [37], [38] y el de Raghava et l. [39],

[40], [41], [23].

Guild et l. [34] hicieron un estudio completo de la propagacin de

una grieta, considerada o no en un modelo MEF usando el criterio de

Drucker-Prager para uniones de doble solape (con geometra distinta de

la considerada en este trabajo), obteniendo buena correlacin con la

observacin experimental, presentando el desarrollo completo del

proceso de fallo en este tipo de unin.

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

27

Dean et l. [37] usaron los criterios de Drucker-Prager y una

modificacin cuadrtica de este, siendo este ltimo el que mejor se

ajusta a los resultados experimentales. Durban et l. [42] tambin

utilizan expresiones del tipo Drucker-Prager en forma cuadrtica,

aunque su intencin fuera estudiar la singularidad de grietas con

materiales de comportamiento plstico y su efecto.

Est razonablemente consensuado en la literatura que los criterios

de plastificacin que no dependen de la presin hidrosttica son menos

adecuados para representar el comportamiento de adhesivos en

plasticidad. Por lo tanto, criterios como el de von Mises por ejemplo, no

seran adecuados, pues asumen que la deformacin plstica aparece

con independencia del cambio del volumen [34]. En [36] se usan los

criterios de Drucker-Prager y von Mises en cortadura, con una grieta

entre el adhesivo y el adherente (aluminio), considerando la diferencia

entre un criterio y otro despreciable.

En 1973 Raghava et l. [39] proponen un criterio de plastificacin

para polmeros basado en el de von Mises, pero teniendo en cuenta la

dependencia del componente hidrosttico con la inclusin del

correspondiente trmino en la funcin de plastificacin. Validaron su

propuesta de criterio con los ensayos experimentales realizados en

tubos. Desde entonces este criterio conquist bastante aceptacin en el

medio cientfico y viene siendo empleado para modelar plasticidad en

todo tipo de polmeros (aunque [23] lo considera como criterio de fallo).

Inicialmente pensado para materiales casi-frgiles ([43], [44], [45],

[46]), los modelos cohesivo [35], [47] y de dao [40], vienen siendo

usados para simular el comportamiento de adhesivos.

Crocombe [48] estudi un criterio basado en el colapso plstico de

la unin aplicado a uniones de simple y doble solape. Ms tarde

Crocombe et l. [40] estudiaron de que manera la energa de fractura y

los campos de tensin y deformacin en el adhesivo se veran afectados

al incluir comportamiento elasto-plstico. Para ello usaron una especie

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

28

de modelo de dao (pero basado en Dugdale) con muelles en el plano de

fallo, considerando o no una grieta.

Usando el mismo tipo de adhesivo de este trabajo (y sirviendo como

apoyo para obtencin de algunas de las propiedades), se encuentran en

la literatura trabajos recientes como [38], [23], [42]. El primer de ellos

realiz ensayos diversos con probetas similares a la Iosipescu para

evaluar la plastificacin del adhesivo. Adems de notar una fuerte y

compleja dependencia de la tensin hidrosttica en la plastificacin,

pone de manifiesto que algunos de los criterios ms comnmente

utilizados para simular plasticidad, tales como el von Mises modificado

[32] y el Drucker-Prager no son adecuados para caracterizar la

plastificacin local. Propone entonces la utilizacin de una transicin

suave en la extremidad mayor de la superficie cnica de Drucker-

Prager. Tambin acaba optando por un estudio 2D en deformacin

plana. Aydin, utilizando uniones a solape simples presenta un anlisis

3D, pero sin considerar el rebose.

A continuacin se presenta una breve descripcin de algunos

modelos de plasticidad. Esta ser de vital importancia para entender los

parmetros de entrada de los modelos ms complejos, ya que stos son

meros desarrollos de los ms simples. Tras esta descripcin se realiza la

simulacin utilizando tres modelos: von Mises, Drucker-Prager y el de

Raghava et l [39].

3.1. Modelo elastoplstico

La teora de la Plasticidad establece relaciones matemticas que

caracterizan la respuesta elastoplstica de los materiales [42]. En ese

contexto, hay tres ingredientes fundamentales: el criterio de

plastificacin, la regla de flujo y la regla de endurecimiento del material.

Para los modelos analizados en este trabajo, se ha considerado el

comportamiento representado en la Fig. 3.1:

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

29

Fig. 3.1 Comportamiento tensin-deformacin bilineal istropo.

3.1.1. Criterio de plastificacin

El criterio de plastificacin determina el nivel de tensiones para el

que se produce la plastificacin. Para estados de tensin

multidimensionales, el criterio se representa mediante una funcin de

las componentes individuales, { }( )f , que puede ser interpretada como una tensin equivalente eq :

{ }( )eq f = (3.1) donde { } es el tensor de tensiones.

Cuando la tensin equivalente es igual al lmite elstico del

material:

{ }( ) ( )yf = (3.2) el punto comenzar a desarrollar deformacin plstica. En la ec. (3.2),

es el trabajo plstico (parmetro de endurecimiento). Si eq es menor

que y , el punto es elstico y las tensiones se desarrollarn de acuerdo

a relaciones elsticas de tensin-deformacin. La tensin equivalente no

podr nunca exceder el lmite del material, ya que en este caso se

produciran deformaciones plsticas, reducindose por lo tanto las

tensiones a este lmite. La ecuacin (3.2) puede ser representada en el

espacio de tensiones como muestra la Fig. 3.2 para varios tipos de

plastificacin.

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

30

Fig. 3.2 Superficie de plastificacin.

Las superficies representadas en la Fig. 3.2 son conocidas como

superficies de plastificacin y cualquier estado de tensin dentro de las

superficies es elstico, es decir, no causa deformaciones plsticas,

producindose stas cuando el estado tensional toca a la superficie de

plastificacin.

3.1.2. Regla de flujo

La regla de flujo determina la direccin de la deformacin plstica y

viene dada por:

{ }p p dd d

=

(3.3)

donde p es una constante llamada multiplicador plstico o factor de

proporcionalidad (que determina la cantidad de deformacin plstica) y

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

31

es una funcin de las tensiones, denominada potencial plstico, y

cuyo gradiente determina la direccin de la deformacin plstica).

Si es la propia funcin de plastificacin (como es asumido

normalmente), la regla del flujo se denomina asociada y las

deformaciones plsticas ocurrirn en una direccin normal a la

superficie de plastificacin.

3.1.3. Regla de endurecimiento

La regla de endurecimiento describe el cambio de la superficie de

plastificacin con las deformaciones plsticas, de tal manera que las

condiciones (estados de tensiones) para plastificacin subsecuente

puedan ser establecidas. En la Fig. 3.3 se presenta la regla de

endurecimiento istropo.

Fig. 3.3 Endurecimiento istropo.

En endurecimiento istropo, la superficie de plastificacin resulta

centrada con respecto a su lnea central y se expande en tamao

conforme se desarrolla la deformacin plstica.

En los siguientes apartados sern presentados algunos criterios de

plastificacin. Los dos primeros son el de Tresca y von Mises, que son

criterios independientes del tensor esfrico o presin hidrosttica. En

seguida sern presentados los criterios de Mohr-Coulomb, Drucker-

Prager y Raghava et l., que son dependientes del tensor esfrico.

Superficie inicial de plastificacin

Superficie de plastificacin subsecuente

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

32

3.2. Criterio de Tresca

El criterio de Tresca-Guest (1872) para materiales metlicos,

propone que la plastificacin ocurre cuando la tensin tangencial en un

punto alcance un valor crtico k , correspondiente con la tensin

tangencial mxima que aparece en el ensayo de traccin en el instante

de la plastificacin:

1 2 2 3 3 11 1 1

, ,

2 2 2Max k =

(3.4)

En el ensayo de traccin uniaxial, en el instante de la

plastificacin, 1Te = , 2 3 0 = = y la tensin tangencial mxima es

dada por:

1max 2 2

Tek = = = (3.5)

donde Te es el lmite elstico del material en traccin.

Representando el criterio en el espacio de tensiones principales,

resulta en un prisma hexagonal paralelo a la diagonal principal, siendo

pues independiente de la tensin hidrosttica. Se puede representar la

superficie de plastificacin en el espacio de tensiones principales como

muestra la Fig. 3.4.

3.3. Criterio de von Mises

Desde 1913 el criterio von Mises (1913), Hencky (1924) y Nadai

(1934) [50], actualmente conocido como von Mises que mayormente es

aplicado a materiales metlicos, propone una superficie de

plastificacin [31] representada por la funcin:

2 0f J k= = (3.6) siendo k la tensin de plastificacin a cortadura pura, que puede ser

escrita en funcin del lmite elstico del material en traccin: 3Tek = .

As, la ec. (3.6) puede escrita de la forma:

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

33

23 0Tef J = = 0Tef q = = (3.7)

donde 2J es el segundo invariante del desviador, que ya fue definido en

el anterior captulo, ec. (2.3). 23VMeqq J = = fue denominada como la

tensin equivalente de von Mises, ec. (2.1).

De la ec. (3.7), se concluye que la plastificacin ocurrir cuando:

VM Teq e = (3.8)

El criterio de von Mises se puede representar grficamente en el

espacio de tensiones principales. As, para el criterio de von Mises, la

superficie de plastificacin es un cilindro de radio 23

Te y el eje del

cilindro es definido en la direccin de la tensin hidrosttica m

, donde:

13mI

= (3.9)

La superficie circunscribe el hexgono de Tresca, tocando sus

vrtices (Fig. 3.4).

Fig. 3.4 Superficie de Tresca y von Mises.

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

34

3.4. Criterio de Mohr-Coulomb

Este criterio, concebido en 1900 [31], es una extensin del criterio

de Tresca, incluyendo una dependencia con la tensin hidrosttica. De

acuerdo a este criterio, la plastificacin ocurrir cuando la tensin

tangencial mxima alcance un valor crtico admisible que depende del

valor de la tensin normal ( )adm f = :

Fig. 3.5 Representacin grfica del criterio de Mohr.

La dependencia ms sencilla es una lnea recta y entonces se

pueden extraer las relaciones ms simplificativas que caracterizan este

criterio, como se muestra en la Fig. 3.6:

Fig. 3.6 Criterio de Mohr-Coulomb.

La envolvente ( )f queda definida por lo tanto por la relacin:

( )f =

( )f =

Superficie de fallo

tanc =

3 1

1 3

2 +

1 3

2 +

c

cosc

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

35

tanc = (3.10) Representando la funcin de plastificacin en el espacio de

tensiones principales, sta queda como una pirmide hexagonal, Fig.

3.7.

3.5. Criterio de Drucker-Prager

Este criterio, basado en el trabajo de Drucker-Prager [51] de 1952,

para suelos, es una extensin del criterio de von Mises. ec. (3.6),

introduciendo una dependencia con la tensin hidrosttica, resultando

[31]:

2 1 0f J I k= + = (3.11) La representacin de la superficie de plastificacin en el espacio de

tensiones principales es un cono cuya generatriz es la trisectriz

( 1 2 3 = = ). Si, anlogamente al caso de von Mises con Tresca,

hacemos que la superficie del cono circunscriba a los vrtices de la

pirmide hexagonal de Mohr-Coulomb obtenemos: 6 cos3(3 sin )

ck

=

y

2 sin3(3 sin )

=

(Fig. 3.8). c y son constantes del material (cohesin y

ngulo de friccin interna respectivamente).

Reescribiendo la ec. (3.11) en funcin del lmite elstico en

traccin, se obtiene:

2 13 3 0Tef J I = + = (3.12)

donde k fue sustituido por 3Te . Dicha ecuacin puede ser reescrita

como:

23 3 3 0T

m ef J = + = (3.13) O, de manera ms compacta como:

0Tm ef q = + = (3.14) donde:

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

36

6 sin3 3 (3 sin )

= =

(3.15)

es el parmetro de sensibilidad a presin [23], [35], [49], como ya fue

definido anteriormente.

Fig. 3.7 superficies de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager.

La ec. (3.11) representa grficamente el cono de la Fig. 3.7. Si 0 = la funcin de plastificacin se transforma en el criterio de von Mises. La

presin hidrosttica p es definida como mp = . Cuando la tensin

hidrosttica es pequea los resultados de ambos modelos son pues

similares. Para niveles elevados de tensin hidrosttica (positiva), el

criterio de Drucker-Prager da resultados significativamente diferentes al

de von Mises [29], siendo el admisible del mdulo del tensor desviador

ms pequeo. En compresin la tensin hidrosttica es negativa y el

admisible del mdulo del desviador es mayor que en von Mises.

3

2

1

1 2 3 = =

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

37

Fig. 3.8 Superficies de von Mises y Drucker-Prager.

3.6. Criterio de Raghava et l.

El criterio que Raghava et l. [39] propusieron para la plastificacin

en polmeros es:

2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 3( ) ( ) ( ) 2( )( ) 2C T C Te e e e + + + + + = (3.16)

donde 1 , 2 y 3 son las tensiones principales, Ce y

Te representan el

lmite elstico en compresin y traccin (en valores absolutos),

respectivamente. En el caso que C Te e = , este criterio se reduce al

criterio de von Mises [50]:

2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 e + + = (3.17)

3.7. Criterio de Drucker-Prager Extendido

Los programas de MEF comerciales [49], [52] disponibles en el

mercado generalmente admiten una forma extendida, pensada para

cubrir algunas deficiencias del modelo de Drucker-Prager bsico, tales

como permitir el endurecimiento del material y suavizacin de la

extremidad de la superficie de plastificacin cnica.

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

38

El criterio de Drucker-Prager Extendido (EDP, en sus siglas en

ingls) es una generalizacin del criterio de Drucker-Prager, ec. (3.14),

en una forma polinomial del tipo:

0b bm yf q = + = (3.18) La ec. (3.18) fue denominada aqu como funcin polinomial del

modelo EDP y dependiendo del exponente b que lleve, esta funcin

puede ser considerada lineal ( 1b = ) o cuadrtica ( 2b = ) por ejemplo

(aunque ANSYS permita otras formas, como hiperblica o cbica, en

este trabajo solamente se consideraron las formas lineal y cuadrtica).

3.7.1. EDP Lineal

En el modelo EDP Lineal de ANSYS, el parmetro 1b = y la ec.

(3.18) queda de la siguiente forma:

0Tm ef q = + = (3.19) Esta ecuacin, que coincide con el criterio de Drucker-Prager en su

estructura, predice que la plastificacin ocurrir cuando:

EDPLineal Teq e = (3.20)

donde:

EDPLinealeq mq = + . (3.21)

y , como ya fue definido anteriormente por la ec. (3.15), es igual a

3 3 .

3.7.2. EDP Cuadrtico

Para evitar dificultades numricas en la punta del cono (con

infinitas normales en un punto) de la Fig. 3.8, ANSYS permite usar un

modelo EDP Cuadrtico, en el cual el exponente 2b = y la ec. (3.18)

queda de la siguiente forma:

2 2 0m yf q = + = (3.22) que predice la plastificacin cuando se cumple 0f = .

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

39

Para obtener una expresin compatible con la forma cuadrtica, ec.

(3.22), de ANSYS, se procedi a las manipulaciones que se presentan a

continuacin, que relacionan el EDP cuadrtico con el criterio de

Raghava et l..

La influencia de la parte hidrosttica del estado tensional en un

criterio aparece en el trmino que tiene el primer invariante del tensor

1I . As, la ec. (3.16) puede ser rescrita como:

2 2 21 2 2 3 3 1 1( ) ( ) ( ) 2( ) 2C T C Te e e eI + + + = (3.23) Con el parmetro q definido anteriormente por la ec. (2.1), al

cuadrado se obtiene:

2 2 2 21 2 2 3 3 1 21 ( ) ( ) ( ) 32

q J = + + = (3.24)

donde q es la tensin equivalente de von Mises.

Dado que la tensin hidrosttica es:

13mI

= , (3.25)

dividiendo la ec. (3.23) entre 2 e introduciendo la ec. (3.24), se obtiene:

2 ( )3C T C Te e m e eq + = (3.26) Representando el trmino del lado derecho de la ecuacin como un

trmino de correlacin o media geomtrica entre los lmites de traccin

y compresin, se puede escribir:

2 2( )3C Te e m admq + = (3.27)

donde C Tadm e e = es la tensin admisible.

Definiendo un parmetro de sensibilidad [23] como:

Ce

Te

= (3.28)

que relaciona el lmite elstico a compresin ( Ce ) y traccin (Te ).

Multiplicando el segn trmino del lado izquierdo de la ec. (3.26)

por T Te e , se obtiene:

2 2m admq + = (3.29)

Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico Anlisis 3D elstico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plstico de plstico de plstico de plstico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

40

donde:

3 ( 1)Te = (3.30) tiene unidad de tensin y

Tadm e = (3.31)

tambin tiene unidad de tensin.

En la Fig. 3.9 se muestra una representacin de las funciones

(3.22) y (3.19), EDP cuadrtica y lineal respectivamente.

Fig. 3.9 EDP cuadrtica y lineal.

Combinando las relaciones (3.30) y (3.15), se llega a:

3 ( 1)

arcsin2 ( 1)

Te

Te

= + (3.32)

Teniendo en cuenta que Te y son definidos positivos, la funcin

sin estar definida entre [ ]0,1 . En EDP Cuadrtico la relacin (3.15) deja de tener validez y

pierde significado fsico (en ANSYS [49] no se advierte la diferencia en el

Lineal adimensional y Cuad en unidades de tensin).