UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA MECANICA

CURSO : PROCESOS DE MANUFACTURA II

DOCENTE:Dr. ALCANTAR

ALUMNOS : ARTEAGA SARAVIA, ANTONY GEROMINO AGUILAR, WAGNER MARTINEZ BACILIO, LUCIOROJAS RODRIGUEZ, WILY

CICLO:VIII

TRUJILLO- PER2014

ContenidoFUNDAMENTO TEORICO3FINALIDAD3RESISTENCIA DE MATERIALES (Hiptesis Bsicas)3COMPORTAMIENTO ELSTICO Y PLSTICO4TENSION Y DEFORMACION MEDIAS5DEFORMACION EN TRACCION DE UN METAL DUCTIL6COMPORTAMIENTO DUCTIL Y FRAGIL7CONCEPTOS ACERCA DEL FALLO DE LOS METALES8CONCEPTO DE TENSION Y TIPOS DE TENSIONES11ELEMENTOS DE LA TEORIA DE LA PLASTICIDAD15INTRODUCCION15Curvas de fluencia15DEFORMACIN REAL18CRITERIOS DE FLUENCIA EN METALES DCTILES20Teora de la tensin cizallante mxima (criterio de tensin)20TEORA DE VON MISES (CRITERIO DE ENERGA)24ENSAYOS CON TENSIONES COMBINADAS26TENSION CIZALLANTE OCTAEDRICA Y DEFORMACION DE CIZALLAMIENTO29TEORAS DE FLUENCIA30MATERIAL ELATISCO PLSTICO31TEORIAS DE LA DEFORMACION32FLUENCIA PLSTICA EN DOS DIMENSIONES33TEORA DE LOS CAMPOS DE DESLIZAMIENTO.34REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:36

FUNDAMENTO TEORICOFINALIDADLa metalurgia mecnica es la rama de la metalurgia que se ocupa principalmente de la respuesta de los metales a las fuerzas o cargas. Las fuerzas pueden resultar del empleo del material como miembro o pieza de una estructura o mquina, en cuyos casos es necesario saber algo respecto a los valores lmites que aquel puede resistir sin fallar. Por otro lado es necesario a veces transformar un lingote colado en una forma ms til, tal como una plancha plana, y entonces es preciso conocer las condiciones de temperatura y velocidad de carga para las que son mnimas las fuerzas que se necesitan para realizar tal trabajo de transformacin.La metalurgia mecnica no es una rama del conocimiento que pueda aislarse claramente y estudiarse por s misma. Es la reunin de muchas disciplinas y muchas formas de aproximacin al problema de explicar la respuesta de los materiales a las fuerzas. Una de las formas de acercarse al mismo es utilizar las teoras de la resistencia de materiales y de la elasticidad y plasticidad, en las que el metal se considera como un material homogneo cuyo comportamiento puede describirse con solo unas pocas constantes del material. Esta forma de aproximacin es la base del diseo racional de los miembros de las estructuras y de las piezas de las mquinas.Las teoras de la resistencia de materiales, de la elasticidad y de la plasticidad pierden mucha de su potencialidad cuando adquiere importancia la estructura del metal y no se puede seguir considerndolo como un medio homogneo. Encontramos ejemplos de esto en el comportamiento a elevada temperatura de los metales, donde la estructura metalrgica puede cambiar continuamente con el tiempo y en las transiciones dctiles a frgil que ocurren en los aceros al carbono.Si se interpreta el comportamiento mecnico a partir de la estructura metalrgica resulta posible mejorar las propiedades mecnicas, por lo menos controlarlas.

RESISTENCIA DE MATERIALES (Hiptesis Bsicas) La resistencia de materiales es el cuerpo de doctrina concerniente a las relaciones de fuerzas internas, deformacin y cargas externas. En el mtodo general de anlisis empleado en resistencia de materiales se parte como primera etapa, de la suposicin de que el miembro esta en equilibrio. Se aplican las ecuaciones de equilibrio esttico a las fuerzas que actan en alguna parte del cuerpo para encontrar relaciones entre las fuerzas externas ejercidas sobre el miembro y las fuerzas internas que resisten a las cargas internas. Como las ecuaciones de equilibrio deben expresarse en trminos de fuerzas externas que actan sobre el cuerpo, es necesario transformar las fuerzas internas resistentes en fuerzas externas. Esto se logra haciendo pasar un plano a travs del cuerpo por el punto que interesa. Se elimina la parte del cuerpo que queda a uno de los lados de este plano secante y se sustituye por las fuerzas que ejerca sobre la superficie del corte de la parte del cuerpo que nos resta. Puesto que las fuerzas que actan sobre un cuerpo libre lo mantienen en equilibrio, es posible aplicar al problema las ecuaciones correspondientes.Las fuerzas resistentes internas se expresan usualmente como tensiones que actan sobre cierta superficie, por lo que la fuerza interna es la integral del producto de la tensin por la diferencial del rea sobre la que acta. Para calcular esta integral es necesario conocer la distribucin de la tensin sobre el rea total del plano secante. La distribucin de tensiones se determina observando y midiendo las deformaciones distribuidas en el miembro, puesto que las tensiones no pueden medirse fsicamente. Sin embargo, como la tensin es proporcional a la deformacin para las pequeas deformaciones que intervienen en la mayor parte de los problemas, la distribucin de deformacin permite deducir la correspondiente a la tensin. La expresin encontrada para las tensiones se sustituye en las ecuaciones de equilibrio y se resuelven estas respecto a las cargas y las dimensiones del miembro.Son hiptesis importantes de la resistencia de materiales de que el cuerpo que se estudia es continuo, homogneo e istropo. Un cuerpo contino es el que no tiene huecos o espacios vacos de ninguna clase. Un cuerpo es homogneo cuando tiene propiedades idnticas en todos sus puntos. Un cuerpo se considerar istropo respecto a alguna propiedad siempre que esta no vare con la direccin u orientacin. Una propiedad que vare con la orientacin respecto a algn sistema de ejes coordenados es anisotrpica.Los materiales empleados en ingeniera, tales como el acero, la fundicin de hierro o el aluminio, parece que cumplen estas condiciones cuando se les observa en escala grande, pero si se les mira a travs de un microscopio es fcil comprobar que pueden ser cualquier cosa menos homogneos e istropos. La mayora de los metales tcnicos estn constituidos por ms de una fase cada una con diferentes propiedades mecnicas, por lo que a escala microscpica son heterogneos. Pero es que ni siquiera un metal monofsico es homogneo, porque en todos se encuentran fenmenos de segregacin qumica que dan lugar a que las propiedades no sean idnticas de punto a punto. Los metales estn constituidos como una agregacin de granos cristalinos que poseen distintas propiedades en las diferentes direcciones cristalogrficas. La razn de que las ecuaciones de la resistencia de materiales describan el comportamiento de los metales reales est en que, en general, los granos cristalinos son tan pequeos respecto a una muestra de volumen macroscpico que cabe considerar al material como si fuera estadsticamente homogneo e istropo. Sin embargo, cuando los metales se deforman severamente en una direccin particular, como ocurre en la laminacin y en la forja, las propiedades mecnicas pueden ser anisotrpicas en macro escala.

COMPORTAMIENTO ELSTICO Y PLSTICO La experiencia demuestra que todos los materiales slidos se deforman sometindolos a una carga externa. Se encuentra adems que, hasta cierta carga limite, el slido recobra sus dimensiones originales cuando se le descarga.La recuperacin de las dimensiones originales al eliminar la carga es lo que caracteriza al comportamiento elstico. La carga lmite por encima de la cual el material ya no se comporta elsticamente es el lmite elstico. Si se sobrepasa el lmite elstico, el cuerpo retiene cierta deformacin permanente cuando deja de actuar la carga. Un cuerpo que se ha deformado permanentemente se dice que ha sufrido una deformacin plstica.Para la mayor parte de los materiales, en tanto que la carga no supere al lmite elstico, la deformacin es proporcional a la carga. Esta relacin es conocida como la Ley de Hooke; es ms frecuente expresarla diciendo las tensiones son proporcionales a las deformaciones. La Ley de Hooke requiere que la relacin entre carga y deformacin sea lineal. Sin embargo, no debe pensarse que en todos los materiales que se comportan elsticamente la relacin entre carga y deformacin es necesariamente lineal. El caucho es un ejemplo de material que muestra una relacin no lineal entre carga y deformacin y que satisface a la definicin de material elstico.Las deformaciones elsticas de los metales son muy pequeas y requieren de instrumentos muy sensibles para medirlas. Los instrumentos ultrasensibles han demostrado que los lmites elsticos de los metales son mucho ms bajos que los medidos usualmente en los ensayos tcnicos en los materiales. Cuanto ms sensible es el aparato de medida, tanto ms decrece el limite elstico, por lo que para la mayora de metales solo se cumple exactamente la ley de Hooke en un intervalo de cargas muy pequeo. Este hecho, sin embargo, es ms bien de importancia especulativa, y la ley de Hooke sigue siendo una relacin vlida para los proyectos en ingeniera.

TENSION Y DEFORMACION MEDIASComo punto de partida para el anlisis de tensiones y deformaciones consideremos una barra cilndrica uniforme sujeta a una carga axial de traccin (fig. 1.1). Supongamos que se marcan dos puntos de referencia en la superficie de la barra en el estado sin deformacin y sea Lo la distancia entre puntos.

Fig. 1.1- Barra cilndrica sujeta a carga axial. Fig.1.2- Diagrama de cuerpo libre Correspondiente a la fig. 1.1

es decir, entre esas marcas. Se aplica una carga P a un extremo de la barra y la distancia entre los puntos experimenta un ligero aumento de longitud, mientras se produce una disminucin del dimetro. La distancia entre puntos ha aumentado en una cantidad , que llamamos deformacin. La deformacin lineal media e es la relacin de la variacin de longitud a la longitud inicial e = /Lo = L/Lo = (L Lo)/Lo [1-1]

La deformacin es una magnitud sin dimensiones, porque y Lo se expresan en las mismas unidades.La figura 1.2 muestra el esquema de cuerpo libre para la barra de la fig. 1.1. La carga externa P est equilibrada por la fuerza resistente interna dA, donde es la tensin normal al plano del corte de A, la seccin transversal de la barra. La ecuacin de equilibrio es P = dA = A [1-2] = P/A [1-3]La tensin no ser en general uniforme sobre toda el rea A y entonces la ecuacin [1-3] expresa una tensin media. Para que la tensin fuera absolutamente uniforme sera preciso que cualquier elemento longitudinal de la barra hubiese experimentado exactamente la misma deformacin, y la proporcionalidad entre tensin y deformacin habra de ser idntica para todos los elementos. La anisotropa inherente a los granos de un metal policristalino excluye la posibilidad de la uniformidad completa de la tensin sobre un cuerpo de tamao macroscpico. La presencia de ms de una fase da lugar a la falta de uniformidad de la tensin en escala macroscpica. Si la barra no es recta o no est centralmente cargada, sern diferentes las deformaciones de ciertos elementos longitudinales y la tensin no ser uniforme. Una prdida extrema de la uniformidad del diagrama de tensiones se presenta cuando hay cambios bruscos en la seccin transversal. En este caso se produce una concentracin de tensiones.Por debajo del lmite elstico cabe considerar vlida la ley de Hooke, por lo que la tensin media es proporcional a la deformacin media, /e = E = constante

La constante E es el mdulo de elasticidad, mdulo elstico o mdulo de Young, que de las tres maneras se llama.

DEFORMACION EN TRACCION DE UN METAL DUCTILLos datos fundamentales en cuanto a propiedades mecnicas de los metales dctiles se obtienen de un ensayo de traccin, en el que una probeta adecuada y tipificada se somete a carga axial de traccin creciente hasta producirse la rotura. La carga y el alargamiento se miden a intervalos frecuentes durante el ensayo y se expresan como tensin media y deformacin media, de acuerdo con las ecuaciones de la seccin anterior.Los datos obtenidos del ensayo se representan en un diagrama de traccin, en el que las tensiones se toman como ordenadas, y las deformaciones, como abscisas. La figura 1.3 muestra una curva tensin-deformacin en traccin tpica de un metal dctil, por ejemplo, el aluminio. La porcin rectilnea inicial OA de la curva corresponde a la regin elstica, en la que se cumple la ley de Hooke. El punto A corresponde al lmite elstico, definido como la tensin mxima que es capaz de resistir el metal sin experimentar deformacin permanente. La determinacin de un lmite elstico as definido es muy engorrosa y en modo alguno resulta una operacin de rutina; adems, los valores obtenidos dependen de la sensibilidad del aparato utilizado para medir la deformacin. Por estas razones se sustituye frecuentemente por el limite proporcional, que corresponde a la ordenada del punto A, a partir del cual la curva deja de ser rectilnea. La pendiente de la curva en la regin elstica es el mdulo elstico.

Fig. 1.3- Curva tpica de traccin (curva tensin de traccin deformacin)

Para los fines tcnicos, el lmite del comportamiento elstico utilizable se describe por el punto B. La ordenada de este punto es el lmite elstico convencional que, como su nombre indica, es la tensin que producira una pequea deformacin permanente previamente convenida. En general, en las especificaciones tcnicas se conviene en definir este lmite elstico como la tensin que produce una deformacin permanente del 0.2% de la distancia inicial entre puntos, por lo que suele llamrsele abreviadamente lmite elstico del 0.2%. En la figura la deformacin permanente convenida sera la correspondiente a la longitud OC del eje de abscisas. La deformacin plstica se inicia en cuanto se supera el lmite elstico, y al aumentar esta deformacin el metal se va haciendo ms resistente (endurecimiento por deformacin), por lo que aumenta continuamente la carga necesaria para que siga aumentando la deformacin. Esta carga llega a alcanzar finalmente un valor mximo; este valor dividido por el rea de la seccin transversal inicial de la probeta, es la resistencia a la traccin. En el caso de los metales dctiles el dimetro de la probeta disminuye rpidamente cuando se sobrepasa esta carga mxima, por lo que se hace menor la carga necesaria para que prosiga la deformacin hasta producirse la rotura. Como la tensin media se refiere al rea de la seccin transversal inicial de la probeta, disminuye tambin desde la carga mxima hasta la rotura.

COMPORTAMIENTO DUCTIL Y FRAGILEl comportamiento general de los materiales bajo carga se puede calificar como dctil o frgil segn que el material muestre o no capacidad para sufrir deformacin plstica. Un material completamente frgil romper casi en el lmite elstico (Fig. 1.4a), mientras que un material frgil real, como la fundicin blanca, mostrar una ligera plasticidad antes de la fractura (Fig. 1.4b).

Fig. 1.4a- curva tensin deformacin para un cuerpo completamente frgil (comportamiento ideal) Fig. 1.4b- curva tensin deformacin para un metal frgil con escasa ductilidad.

Es muy importante en ingeniera que un material presente una ductilidad adecuada, porque ella le permite redistribuir tensiones localizadas. Cuando no es necesario tener en cuenta tensiones localizadas en entallas u otros puntos de concentracin, se puede desarrollar un proyecto para situaciones estticas sobre la base de las tensiones medias. Pero las concentraciones de tensiones localizadas en un material frgil se incrementan continuamente al aumentar la carga si no hay flujo plstico, y el final es la iniciacin de una grieta, en uno o ms puntos de la regin de concentracin de tensiones, que se propaga rpidamente a travs de la seccin entera. Aun no existiendo concentracin de tensiones, puede romper bruscamente un material frgil, puesto que el lmite elstico y la resistencia a la traccin son prcticamente idnticos.Es muy importante sealar que la fragilidad no es una propiedad absoluta de un material. El volframio es dctil a elevada temperatura, y frgil a la temperatura ambiente. Un metal frgil en traccin puede ser dctil bajo compresin hidrosttica. Y, por ltimo, un material, que es dctil en traccin a la temperatura ambiente, puede hacerse frgil por la presencia de tensiones, temperaturas bajas, elevadas velocidades de carga o por el efecto de agentes fragilizantes tales como el hidrgeno.

CONCEPTOS ACERCA DEL FALLO DE LOS METALESLos miembros de las estructuras y las piezas de las maquinas pueden fallar en las funciones que han de realizar en el servicio, de las tres maneras siguientes:1. Por excesiva deformacin elstica.2. Por excesiva deformacin plstica.3. Por rotura.Es importante comprender bien estas tres causas de falla para lograr un buen proyecto, porque siempre es necesario relacionar las cargas y las dimensiones de un miembro con algn parmetro caracterstico del material, que limita su capacidad para soportar cargas. Para diferentes causas de falla sern importantes parmetros distintos.Se pueden presentar dos casos generales de deformacin elstica excesiva: 1) Flexiones excesivas bajo condiciones de equilibrio esttico, como en el caso de una viga bajo cargas aplicadas progresivamente.2) Flexin brusca o pandeo bajo condiciones de equilibrio inestable.

La deformacin elstica excesiva de una pieza de maquina puede inutilizar la maquina lo mismo que si la pieza se hubiera roto. Por ejemplo, un rbol demasiado flexible puede causar un desgaste rpido de los cojinetes, o la deformacin excesiva de piezas con acoplamiento muy ajustado puede deteriorarlas. El pandeo brusco es un tipo de falla que puede ocurrir en una columna esbelta cuando la carga axial excede a la carga crtica de Euler o cuando la presin externa que acta sobre una capsula de paredes delgada sobrepasa a un valor crtico. Las fallas debidas a una deformacin elstica excesiva estn controladas por el mdulo elstico no por la resistencia del material. En general es poco el control que se puede ejercer metalrgicamente sobre dicho mdulo, por lo que el modo ms eficaz de aumentar la rigidez de un miembro suele ser cambiar su forma y aumentar las dimensiones de su seccin transversal.La fluencia plstica excesiva se produce cuando se sobrepasa el lmite elstico del material. Da lugar a un cambio permanente de forma que impide a la pieza continuar desarrollando normalmente sus funciones. En un material dctil, cargado estticamente a la temperatura ambiente, es raro que la excesiva deformacin plstica conduzca a la rotura, porque el material endurece a medida que se deforma y aumenta la tensin necesaria para producir ms deformacin. En condiciones de carga axial es el lmite elstico el parmetro importante, pero cuando las condiciones de carga son ms complejas, aunque dicho lmite sigue conservando su importancia, hay que emplearlo en unin de algn criterio de falla adecuado.A temperaturas apreciablemente superiores a la ambiente dejan los metales de mostrar endurecimiento por deformacin, por lo que pueden deformarse continuamente bajo carga constante en una fluencia que depende del tiempo y que se suele llamar fluencia lenta (creep). El criterio de falla en condiciones de fluencia lenta es difcil de establecer, porque en dichas condiciones la tensin no es proporcional a la deformacin y a las propiedades mecnicas del material pueden modificarse apreciablemente durante el servicio. La formacin de una grieta concluye muchas veces en la destruccin completa de la continuidad de un miembro, que es lo que constituye la rotura. Una pieza hecha de un metal dctil y cargada estticamente rara vez rompe como una probeta de traccin, porque antes se habr inutilizado por excesiva deformacin plstica. Sin embargo, los metales fallan por roturas de las tres maneras siguientes: Fractura Frgil brusca Fatiga o fractura progresiva Fractura diferidaSe ha visto que un material frgil rompe bajo carga esttica presentando muy pocos indicios de deformacin plstica. Una fractura frgil brusca puede producirse tambin en los metales dctiles cuando se dan ciertas condiciones. Los aceros al carbono para la construccin son el ejemplo ms corriente de un material que presenta una transicin de dctil a frgil. El cambio de la fractura de los tipos dctil al frgil es favorecido por un descenso de la temperatura, un incremento en la velocidad de carga y la presencia de un estado complejo de tensiones debido a una entalla.La mayora de las roturas de piezas de mquinas se deben a la fatiga. Las fallas por fatiga se producen en piezas que estn sometidas a tensiones alternas o fluctuantes. Una grieta diminuta se inicia en un lugar localizado y, poco a poco, se propaga sobre la seccin transversal hasta que el miembro se rompe. Las roturas por fatiga se producen, sin indicios visibles de flujo plstico, a una tensin nominal o media muy inferior a la resistencia a la traccin del material. La rotura por fatiga se debe a una tensin crtica localizada que es muy difcil de evaluar, por lo que los diseos destinados a evitar este tipo de rotura se basan en relaciones empricas y se emplea la tensin nominal.Un tipo comn de fractura diferida es la rotura bajo tensin que se produce en un metal que se mantiene cargado estticamente a temperatura elevada y durante un periodo largo de tiempo. Segn los valores de la tensin y la temperatura estar o no precedida la fractura de un flujo plstico. Un tipo parecido de fractura diferida, en el que no hay flujo elstico previo que sirva de aviso, se produce a la temperatura ambiente cuando el acero se carga estticamente en presencia de hidrgeno.Todos los materiales tcnicos muestran una cierta variabilidad de las propiedades mecnicas que, a su vez, pueden ser modificadas por variaciones en el tratamiento trmico o en la fabricacin. Adems, existen usualmente incertidumbres en cuanto a la magnitud de las cargas aplicadas y suele ser necesario recurrir a aproximaciones para calcular las tensiones hasta en el caso de los miembros ms sencillos.Hay que tener en cuenta la posibilidad de sobrecargas elevadas accidentales. Por estas razones es necesario adoptar factores de seguridad para protegerse contra las fallas imprevisibles y deben tolerarse tensiones solamente tensiones ms pequeas que las que puedan producir estas fallas. El valor de la tensin para un material particular, empleado en un caso tambin particular, que puede considerarse como valor de seguridad, suele llamarse tensin de trabajo w. La tensin de trabajo para materiales dctiles, en aplicaciones estticas, suele basarse en el lmite elstico 0 y para los frgiles en la resistencia a la traccin u.

w = 0/No o bien w = u/Un [5]

donde: w = tensin de trabajo 0 = limite elstico u = resistencia a la traccin N0 = factor de seguridad para el limite elstico Nu = factor de seguridad para la resistencia a la traccin

El valor asignado al factor de seguridad depende de una estimacin de los factores discutidos anteriormente. Adems, hay que tener en cuenta las consecuencias que podra tener una falla. Cuando esta ltima pueda ocasionar prdida de vidas humanas hay que incrementar el factor de seguridad. Tambin la naturaleza del equipo influye en el factor de seguridad. En los equipos militares, en los que lo fundamental es la ligereza de peso, se pueden emplear factores de seguridad ms pequeos que en los equipos industriales. El factor de seguridad tambin depende del tipo de carga que se espera. Para cargas estticas, como en una edificacin, el factor de seguridad puede ser menor que en una maquina sujeta a vibraciones y tensiones fluctuantes.

CONCEPTO DE TENSION Y TIPOS DE TENSIONES Las tensiones se definen como la resistencia interna de un cuerpo, por unidad de rea, a las fuerzas aplicadas externamente. Se consider que las tensiones estaban uniformemente distribuidas sobre el rea de la seccin transversal de un miembro. Este no es el caso general. La figura 1.5a representa un cuerpo en equilibrio bajo la accin de las fuerzas externas P1, P2, P3, P4, P5. Hay dos clases de fuerzas externas que pueden actuar sobre un cuerpo: Fuerzas de superficie Fuerzas que actan sobre la masa

Las fuerzas de superficie son aquellas que actan sobre la superficie del cuerpo, como la presin hidrosttica o la ejercida por un cuerpo sobre otro. Las fuerzas que actan sobre la masa estn distribuidas sobre todo el volumen del cuerpo, como la gravedad, las fuerzas magnticas o las fuerzas de inercia de un cuerpo en movimiento. Los tipos de fuerzas que actan sobre la masa ms corrientes en la tcnica son las centrifugas, originadas por la rotacin a alta velocidad, y las debidas a diferencias de temperatura existentes en el cuerpo (tensiones trmicas o de origen trmico).

Fig. 1.5 a- cuerpo en equilibrio bajo la accin de fuerzas externas P1, P2, , P5 b- fuerzas que actan sobre una parteLas fuerzas no se distribuyen uniformemente, en general, sobre cualquier seccin transversal del cuerpo mostrado en la fig. 1.5a. Para obtener la tensin en algn punto O de un plano tal como mn, se separa la parte 1 del cuerpo y se la reemplaza por el sistema de fuerzas externas aplicadas al plano que mantienen a cada punto de la parte 2 del cuerpo en la misma posicin que tena antes de separar la parte 1. Esta es la situacin que se muestra en la figura 1-5b. Luego tomamos un rea A en torno al punto O y anotamos la fuerza P que acta sobre esa rea. Si se hace disminuir continuamente el rea A hasta reducirla al valor cero, el valor lmite de la relacin P/A es la tensin en el punto O del plano mn del cuerpo 2, [1-6]

La tensin tendr la direccin de la fuerza P y formara, en general, un cierto ngulo con el plano mn. La misma tensin en el punto O del plano mn se obtendra si el cuerpo libre se construyera separando la parte 2 del cuerpo slido, pero la tensin sera diferente sobre cualquier otro plano distinto del mn que pase por el punto O, por ejemplo nn.

Fig. 1.6 Resolucin de la tensin total en sus componentes.

Es un inconveniente tener que emplear una tensin que forma un ngulo cualquiera con respecto al plano sobre el cual acta. La tensin total puede resolverse en dos componentes: una tensin normal perpendicular a mn y una tensin cizallante (o cortante) que est situada en el plano mn. Consideremos la figura 1.6. La fuerza P forma un ngulo con la normal z al plano mn que contiene al rea A, por lo que el plano que contiene a P y a la normal corta al plano mn a lo largo de una lnea recta de trazos que forma un ngulo con el eje y. La tensin normal est dada por = (P/A) cos [1-7]La tensin cizallante contenida en el plano acta a lo largo de la lnea OC y tiene la magnitud = (P/A) sen [1-8]Esta tensin cizallante puede, a su vez, descomponerse en dos paralelas a los ejes x e y contenidos en el plano

Direccin x = (P/A) sen()* sen() [1-9]Direccin y = (P/A) sen()*cos() [1-10]

Por lo que, en general, sobre un plano dado pueden actuar una tensin normal y dos cizallantes.

CONCEPTO DE DEFORMACION Y TIPOS DE DEFORMACIONSe defini la deformacin lineal media como la relacin de la variacin de longitud a la longitud inicial de la misma dimensin, e = /Lo = L/Lo = (L Lo)/Lodonde e = deformacin lineal media = deformacin absolutaPor analoga con la definicin de tensin en un punto se entender por deformacin en un punto al lmite de la relacin entre la deformacin absoluta o variacin de la distancia inicial entre puntos y la distancia inicial entre puntos cuando esta ltima tiende a cero.En lugar de referirse a la distancia entre puntos inicial es frecuente definir la deformacin como la variacin en la dimensin lineal dividida por el valor instantneo de esta dimensin = = ln() [1-11]La ecuacin anterior define la deformacin real, natural o verdadera.La deformacin elstica de un cuerpo no solo consiste en variaciones de longitud de un elemento lineal del mismo, sino que tambin existen variaciones en el ngulo que formaban inicialmente dos lneas. La variacin angular de un ngulo recto se llama deformacin de cizallamiento. La figura 1.7 muestra la deformacin producida por el cizallamiento puro de una cara de un cubo. El ngulo A, que inicialmente era de 90, disminuye por la aplicacin de una tensin cizallante en una pequea cantidad . La deformacin cizallante es igual al desplazamiento a dividido por la distancia entre los planos h. La relacin a/h es tambin la tangente del ngulo que ha girado el elemento. Cuando los ngulos son pequeos, son aproximadamente iguales la tangente del ngulo y el valor en radianes de ese ngulo. Por tanto, las deformaciones de cizallamiento pueden expresarse con frecuencia como ngulos de rotacin = a/h = tg = [1-12]

Fig. 1.7- Deformacin por cizallamiento.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DE LA PLASTICIDADINTRODUCCIONLa teora de la plasticidad trata del comportamiento de los materiales en la zona de deformacin y en la que la ley de Hooke ya no es vlida. La descripcin matemtica de la deformacin plstica de los materiales no est, de ningn modo, tan bien desarrollada como la descripcin de la deformacin elstica por medio de la teora de la elasticidad. Por ejemplo, en la regin plstica de deformacin no existe ninguna relacin sencilla entre tensiones y deformaciones como ocurre en la deformacin elstica. Adems, la deformacin elstica depende solamente de los estados de tensin iniciales y finales y es independiente de los estados intermedios, pero la deformacin plstica depende no solamente de la carga final, sino tambin de los valores anteriores.

La teora de la plasticidad est relacionada con diferentes tipos de problemas. Desde el punto de vista del diseo, la plasticidad est relacionada con la prediccin de la carga Mxima que se puede aplicar al cuerpo sin causar una fluencia excesiva. El criterio 1 de fluencia ha de Expresarse en funcin de la tensin, de tal modo que sea vlido para todos los estados de tensin. El proyectista est tambin relacionado con la deformacin plstica en problemas en los que el cuerpo est intencionadamente sometido a tensiones superiores al lmite elstico, dentro de la regin plstica.Por ejemplo, la plasticidad ha de tenerse en cuenta en el diseo de diferentes procesos como en elautosunchado, el ajuste por contraccin y en la velocidad excesiva de los discos de los rotores.La consideracin de pequeas deformaciones plsticas permite economas en la construccin de edificios al utilizar la teora del diseo lmite. En el tratamiento matemtico de la conformacin plstica de los metales se requiere el anlisis de grandes deformaciones plsticas. Este aspecto de la plasticidad se tratar en la cuarta parte. Es muy difcil describir de un modo analtico muy riguroso el comportamiento de un metal en estas condiciones. Por consiguiente, para obtener unaSolucin matemtica manejable, es preciso, normalmente, establecer ciertas hiptesis que simplifiquen el problema.

Otro aspecto de la plasticidad consiste en una mejor comprensin del mecanismo da 1a deformacin plstica de los metales. El inters de este Campo se centra en las imperfecciones de los slidos cristalinos. En el comportamiento en la deformacin son de gran importancia el efecto de las variables metalrgicas, la estructura cristalina y las imperfecciones de la red.Este aspecto de la plasticidad se trata en la segunda parte.

Curvas de fluenciaLa curva tensin-deformacin obtenida por carga uniaxial, como en el ensayo corriente de traccin, es de inters fundamental en la plasticidad cuando se utilizan como variables la tensin real y la deformacin real . La tensin real est dada por la carga dividida por el rea de la seccin transversal instantnea de la probeta. La deformacin real se estudia en la seccin siguiente.

La finalidad es describir las curvas tensin-deformacin tpicas de los metales reales y compararlas con las curvas tericas de fluencia de materiales ideales.

En la figura 3-1 a se muestra la curva real tensin-deformacin para un metal dctil tpico, como el aluminio. La ley de Hooke se cumple hasta un cierto lmite elstico o. (El valor de o depender de la exactitud con que se mida la deformacin.) a partir de o el metal se deforma plsticamente. La mayora de los metales se endurecen por deformacin en esta zona plstica, de manera que los aumentos de aquella requieren valores de la tensin mayores que el lmite elstico inicial o. Sin embargo, al contrario de lo que suceda en la regin elstica, la tensin y la deformacin no estn relacionadas por ninguna sencilla constante de proporcionalidad. Si se deforma el metal hasta el punto A, cuando se retira la carga disminuye inmediatamente la deformacin total desde 1 a 2 en una cantidad E. La disminucin de deformacin 1 a 2 es la deformacin elstica recuperable. Sin embargo, no toda la deformacin residual es deformacin plstica permanente. Dependiendo del metal y de la temperatura, desaparecer del metal con el tiempo una pequea cantidad de deformacin plstica 2 3. Esto se conoce como comportamiento anelstico Generalmente se desprecia la deformacin anelstica en las teoras matemticas de la plasticidad.En general, la curva tensiones-deformaciones, al cesar la carga despus de una deformacin plstica, no ser exactamente lineal y paralela a su porcin elstica (Fig.3-1b). Adems, al volver a aplicar la carga, la lnea se curva al aproximarse la tensin al valor inicial desde el que se retir la carga. Con una pequea deformacin plstica adicional, la curva tensiones deformaciones se transforma en una continuacin de lo que habra sido si no se hubiera interrumpido la carga. Este comportamiento, histresis, resultante de aplicar y retirar la carga despus de la deformacin plstica, se desprecia, generalmente, en las teoras de la plasticidad.

La curva real tensiones-deformaciones se denomina, frecuentemente, curva de fluencia, ya que proporciona la tensin necesaria para que el metal fluya plsticamente hacia cualquier deformacin dada. Se han realizado muchos intentos para aplicar ecuaciones matemticas a esta curva. La expresin ms comn es la siguiente: = K [1]

Esta ecuacin se llama curva de flujo, y proporciona una aproximacin buena del comportamiento de los metales en la zona plstica, inclusive de su capacidad para endurecerse por deformacin. La constante K se llama coeficiente de resistencia, y es igual al valor del esfuerzo verdadero para un valor igual a 1 de la deformacin verdadera. El parmetro n se denomina exponente de endurecimiento por deformacin y es la pendiente de la recta que se observa en la figura, es la pendiente de la representacin. Logartmica doble de la Ec. [3-1].

Esta ecuacin solo es vlida desde el comienzo de la fluencia plstica hasta la carga mxima a partir de la que se inicia la estriccin local. Incluso la expresin ms sencilla, como la Ec. [3-1], puede resultar de una complejidad matemtica considerable cuando se utiliza con las ecuaciones de la teora de la plasticidad. Por consiguiente, la prctica comn en este campo es imaginar curvas de fluencia ideales que simplifiquen el clculo matemtico sin desviarse demasiado de la realidad fsica.

La figura 3-2a muestra la curva de fluencia de un material rgido perfectamente plstico. Una probeta de traccin de este material ideal es completamente rgida (deformacin elstica cero) hasta que la tensin axial es igual a o. Entonces, el material fluye plsticamente a una tensin de fluencia constante (endurecimiento por deformacin nulo).Este tipo de comportamiento se aproxima al de un metal dctil fuertemente deformado en fro. La figura 3-2b muestra la curva de fluencia de un material perfectamente plstico con una regin elstica. A este comportamiento se aproxima un material, como el acero ordinario al carbono, que posee un alargamiento grande en el lmite elstico aparente (vase Soc. 5-5). Un planteamiento ms real es el llegar a la curva de fluencia por medio de dos lneas rectas que correspondan a

Las regiones elstica y plstica (Fig. 3-2 c). Este tipo de curva exige clculos matemticos ms complicados.

Las regiones elstica y plstica (Fig. 3-2 c). Este tipo de curva exige clculos matemticos ms complicados.

DEFORMACIN REALLa variacin de longitud referida a la longitud unitaria inicial

e =

Esta definicin es satisfactoria para deformaciones elsticas en las que L es muy pequeo. Sin embargo, en la deformacin plstica las deformaciones son grandes, y, durante el alargamiento, la distancia entre puntos vara considerablemente. Ludwik expuso, por primera vez, la definicin de deformacin real o natural , que evita esta dificultad. En esta definicin de deformacin la variacin de longitud est referida a la distancia entre puntos instantnea, en vez de a la distancia entre puntos inicial:

= [2]

O bien = [3]La relacin entre la deformacin real y la deformacin lineal convencional se desprende de

e =

e + 1 =

= ln = ln(e+1) [4]

Deformacin verdadera 0.01 0.10 0.20 0.50 1.0 4.0

Deformacin convencional e 0.01 0.105 0.22 0.65 1.72 53.6

Las dos medidas de la deformacin proporcionan casi idnticos resultados hasta deformaciones de aproximadamente 0,1.La ventaja de utilizar la deformacin real se hace evidente con el consiguiente ejemplo: consideremos un cilindro uniforme que se alarga duplicando su longitud original. La deformacin lineal es, entonces, e= (2Lo-Lo)/Lo = l,0, o una deformacin del 100%. Para conseguir la misma deformacin lineal negativa en compresin, habra que comprimir el cilindro hasta un espesor igual a cero. Sin embargo, intuitivamente, se espera que la deformacin producida al comprimir un cilindro hasta un valor igual a la mitad de su longitud inicial sea la misma, aunque de signo contrario, que la deformacin producida al alargar el cilindro dos veces su longitud. Si se utiliza la deformacin real se obtiene la equivalencia para los dos casos. Al alargar dos veces la longitud inicial e=ln(2Lo/Lo) = ln2. Al comprimir un medio la longitud inicial e = ln [(Lo/2)/Lo] = ln = - ln2.Una de las caractersticas bsicas de la deformacin plstica es el hecho que un metal es esencialmente incompresible. Las variaciones de densidad, medidas en metales posteriormente sometidos a grandes deformaciones plsticas son inferiores al 0.1 por ciento.De esta manera podemos considerar, como una buena aproximacin en ingeniera, que el volumen de un slido permanece constante durante la deformacin plstica.

Generalmente, la deformacin de un slido envuelve la variacin de volumen , precisamos determinar cuando la deformacin es debido a estas contribuciones.

Una deformacin volumtrica es una dilatacin cubica o variacin de volumen por unidad de volumen. Consideremos un paraleppedo rectangular de aristas dx, dy, dz; este volumen ha sido deformado (1 + ex)(1 + ey)(1 + ez)dx dy dz, una vez que se somete a deformaciones normales estn varian. La deformacin volumtrica es:

=

= 1

El cual para pequeas deformaciones, despreciamos los productos de deformacin, la expresin se reduce a: = ex + ey + ez

Aqu en , era permitido despreciar el producto de deformaciones elstica. No obstante esto no es posible cuando las deformaciones son consideradas grandes deformaciones plsticas. Una vez que la deformacin plstica del volumen es cero, tenemos que

+ 1 = 0 + 1 = 1 = Ln(1) = ln[ ] 0 = ln(1+ex) + ln(1+ey) + ln(1+ez)

Tenemos x = ln(1+ex), etc

Por lo tanto: x + y + z = 1 + 2 + 3 = 0 [5]

La ecuacin [3.5] representa el primer invariante tensin-deformacin, cuando la deformacin se expresa en trminos de deformacin verdadera, es una relacin muy empleada en problemas de plasticidad. La ecuacin [3.5] no es vlida para deformaciones elsticas, una vez que aparece una apreciable variacin de volumen relativa a la magnitud de las deformaciones elsticas. Por tanto si sumamos las tres ecuaciones de la Ley de Hooke generalizada tenemos

= x + y + z = Veremos que =0 apenas =1/2.

Como es un volumen constante, tenemos que AoLo = AL, entonces reemplazando en la ecuacin [3.3] tenemos: = ln() = ln() [6]

CRITERIOS DE FLUENCIA EN METALES DCTILESEl problema que se presenta al deducir las relaciones matemticas, para la prediccin de las condiciones en las que comienza la deformacin plstica cuando un material est sometido a un estado complejo de tensin, es un aspecto importante en el campo de la plasticidad. En carga uniaxial, la fluencia plstica comienza en el lmite elstico y es de esperar que, en una situacin de esfuerzos combinados, la fluencia est relacionada con cierta combinacin de las tensiones principales. Se puede expresar un criterio de fluencia en la forma general F(1, 2, 3, K1, ) = 0; pero, en la actualidad, no existe ningn mtodo terico para calcular la relacin entre las componentes de las tensiones que correlacionan la fluencia en un estado de tensin en tres dimensiones y la fluencia en un ensayo de traccin uniaxial. Los criterios de fluencia son, por consiguiente, relaciones esencialmente empricas. Actualmente, existen dos teoras generalmente aceptadas para predecir el comienzo de la fluencia en los metales dctiles. Teora de la tensin cizallante mxima (criterio de tensin)La teora de la mxima tensin cizallante, llamada a veces criterio de fluencia de Tresca, Coulomb o Guest, establece que la fluencia aparecer cuando la mxima tensin cizallante alcance un valor crtico igual a la tensin cizallante de fluencia en un ensayo de traccin uniaxial.

Consideramos el plano JKL como plano principal que corta a un cubo unitario. La tensin principal que acta sobre el plano principal JKL es . Sea l,m,n los cosenos directores. Para que el cuerpo este en equilibrio, las fuerzas que actan en sus caras la deben equilibrar. Estas componentes de , las componentes de a lo largo de los ejes son Sx, Sy, Sz.

Sx = l Sy = m Sz = n

Area KOL = Al JOK = Am JOL = An

Sumando todas las fuerzas en la direccin x tenemos: A xAl yxAm zxAn = 0reduciendo: ( x)l - yxAm zxAn = 0

Sumando las fuerzas a lo largo de las otras dos direcciones y, z tenemos - xyl + ( y)m zyn = 0 - xzl yzm + ( z)n = 0Estas ecuaciones son lineales homogneas en trminos de l, m, n. Por lo tanto calculamos mediante la determinante:

La solucin del determinante resulta una ecuacin cbica: (x + y + z) + (xy + xz + yz - ) (xyz + 2xyyzxz - x) = 0

Como l, m, n son cosenos directores entonces

Ahora tenemos los invariantes: I1 = (x + y + z) I2 = (xy + xz + yz - ) I3 = (xyz + 2xyyzxz - x)

la suma de las tensiones normales para cualquier direccin en el sistema de coordenadas es igual a la suma de las tensiones normales para cualquier otra orientacin

x + y + z = x + y + z = 1 + 2 + 3

La tensin total en el plano oblicuo ser igual a

Descomponiendo la fuerza total en sus componenetes

S =

Sumando las fuerzas en las direcciones x, y, z, llegamos a expresiones para las componentes ortogonales de la tensin total Sx = xl + yxm + zxn Sy = xyl + ym + zyn Sz = zxl + zym + zn

Para encontrar la tensin principal en el plano en el plano oblicuo es necesario determinar las componentes Sx, Sy, Sz = Sxl + Sym + Szn sustituyendo y simplificando con xy = yx, etc

= x + y + z + 2xylm + 2yzmn + 2xzln

A partir de , obtenemos

= + +

Las tensiones cizallantes principales ocurren para las siguientes combinaciones de cosenos directores

Por convencin se ha tomado que 1 es el esfuerzo mayor y que 3 es el esfuerzo menor, para obtener un mayor valor de tensin cizallante, siendo denominada TENSION CIZALLANTE MAXIMA: max =

La tensin de cizallamiento mxima estaba dada por: max =

Donde 1 es ,1a tensin principal algebraicamente mayor y 3 la algebraicamente menor.

En traccin uniaxial 1=o, 2=3=0, donde o es el lmite elstico en traccin simple. Por consiguiente, el lmite elstico cizallante en traccin simple o es igual a un medio del lmite elstico en traccin: o =

Sustituyendo estos valores en la ecuacin para la tensin de cizallamiento mxima, tenemos max = = o =

1 3 = 0

Para un estado de cizallamiento puro 1 = -3 = k, 2 = 0, el criterio de la tensin cizallante mxima predice que el flujo se producir cuando: 1 3 = 2k = 0 k = 0/2Asimismo el criterio de tensin cizallante mxima puede ser escrito como 1 3 = 1 3 = 2k

TEORA DE VON MISES (CRITERIO DE ENERGA)

La teora de la energa de distorsin se origin debido a que se comprob que los materiales dctiles sometidos a esfuerzos hidrostticos presentan resistencias a la fluencia que exceden en gran medida los valores que resultan del ensayo de tensin simple. Por lo tanto, se postul que la fluencia no era un fenmeno de tensin o compresin simples, sino ms bien, que estaba relacionada de alguna manera con la distorsin angular del elemento esforzado. Para desarrollar la teora, observe en la figura, el volumen unitario sometido a cualquier estado de esfuerzos tridimensional, designado por los esfuerzos 1, 2 y 3 El estado de esfuerzos que se muestra en la figura b es de tensin hidrosttica debida a los esfuerzos perm que actan en cada una de las mismas direcciones principales, como en la figura 5-8a. La frmula de prom es

perm = [1]

De esta manera, el elemento de la figura 5-8b experimenta un cambio de volumen puro, es decir, sin distorsin angular. Si se considera prom como un componente de 1, 2, 3 entonces este componente puede restarse de ellos, lo que da como resultado el estado de esfuerzos quese muestra en la figura. Este elemento est sometido a distorsin angular pura, es decirno hay cambio de volumen.

La energa de deformacin por unidad de volumen de la tensin simple es u =. Para la figura, la energa de deformacin por volumen unitario ser U =11+ 22 +33 [2] Para el elemento de la figura en esfuerzo 1, 2, 3 simultneamente las deformaciones normales estn dadas por: 1 = [1 (2 + 3)] [2a]

2= [2 (1 + 3)] [2b]

3 = [3 (1 + 2)] [2c]

Sustituyendo la ecuacion para las deformaciones principales tenemos: u = [ - 2(12 + 23 + 31) [3]

La energa de deformacin para producir solo un cambio de volumen uv puede obtenerse sustituyendo prom para 1, 2, 3, entonces obtenemos:

Uv = (1 - 2) [4]

Si ahora se sustituye el cuadrado de la ecuacin (a) en la ecuacin (c) y se simplifica la expresin, se obtiene Uv = [ + 212 + 223 + 231] [5]

Entonces la energa de distorsin se obtiene al restar u uv. De aqu se obtiene:

Ud = u uv = [] [6]

Se observa que la energa de distorsin es cero si 1 = 2 = 3.

Para un ensayo a tensin simple, 1 = Sy, 2 = 3 = 0;

Ud = [7]

Se predice la fluencia si la ecuacin [4-6] es igual o mayor que la ecuacin [4-7]. Esto da

[ Sy [8]

Si se tuviera un caso simple de tensin , entonces la fluencia podra ocurrir cuando Sy. Por lo tanto el lado izquierdo de la ecuacin puede considerarse como un esfuerzo sencillo, equivalente o efectivo del estado general total del esfuerzo dado por 1, 2, 3. As la ecuacin de la fluencia, puede escribirse como

Sy [9]

Donde el esfuerzo de von mises es: = [ [10]En un estado de cizallamiento puro, tal como se presenta en torsin = :

1 = 0 2 = 0 3 = -0

Poe tanto, la energa de distorsin para este estado de tensin est dada por:

Ud = = [11]

Si en cualquier tipo de sistema de tensiones comienza la fluencia cuando la energa de distorsin alcanza un valor crtico, se puede obtener la relacin entre este valor critico, en tensin uniaxial, y en cizallamiento puro, igualando las ecuaciones: = [12]

o = o = 0.577o [13]

De este modo, si la teora de la energa de distorsin es un criterio de fluencia valido, el limite elstico en cizallamiento, determinado en un ensayo de torsin, debera ser 0,577 veces el lmite elstico en traccin. Los datos reales muestran que el lmite elstico de cizallamiento se encuentra entre 0,5 y 0,6 del lmite elstico en traccin, con una media prxima al valor pronosticado. Obsrvese que la teora de la tensin de cizallamiento mxima predice queo = 0,50fr0. Una de las razones para preferir el criterio de fluencia de la teora de la energa de distorsin es que muestra una mejor concordancia para estos dos tipos de ensayos.

ENSAYOS CON TENSIONES COMBINADAS

Primero precisamos las ecuaciones ya antes demostradas, para tensiones principales mxima y mnima en un estado de tensiones bidimensional

max = 1 = +/- [ + ]1/2 min = 2

Las condiciones de fluencia en estados de tensin distintos de los de cargas uniaxiales y de torsin, se pueden estudiar convenientemente utilizando tubos de paredes delgadas. Combinando la traccin axial con la torsin se obtienen diversas combinaciones, desde tensin cizallante hasta normal, intermedias entre los valores obtenidos separadamente en traccin y torsin. En traccin axial y torsin combinadas las tensiones principales son: 1 = +

2 = 0

3 = -

Por consiguiente, el criterio de fluencia para la teora de tensin cizallante mxima est dada por:

+ 4 = 1

y la teora de fluencia por la energa de distorsin se expresa por

+ 3 = 1

Ambas ecuaciones definen una elipse. La fig. 3-4 muestra que los resultados experimentales concuerdan mejor con la teora de la energa de distorsin.

Comparacin entre la Teora de la mxima tensin cizallante y de la energa de distorsin.

En un estado de tensin plana, la teora de la fluencia por energa de distorsin se puede expresar matemticamente por

que representa la ecuacin de una elipse cuyo semieje mayor es o y el menor o.La representacin que se ofrece en la figura 3-5 constituye un procedimiento adecuado para comparar los criterios de fluencia en un estado de tensin en dos dimensiones. Obsrvese que la teora de la tensin cizallante mxima y la de la energa de distorsin predicen el mismo lmite elstico en condiciones de tensin uniaxial y en tensin biaxial equilibrada (1 = 2). La mayor divergencia entre las dos teoras se presenta en estados de cizallamiento puro (1 = -2). Ya se ha demostrado que en este estado de tensin la ley de la tensin cizallante predice un lmite elstico que es un 15% ms bajo que el valor dado por el criterio de la energa de distorsin. Un mtodo muy sensible para diferenciar los dos criterios de fluencia es el adoptado por Lode, en el que se determina el efecto de la tensin principal intermedia de la fluencia. De acuerdo con la ley de tensin cizallante mxima, no debera tener ningn efecto el valor de la tensin intermedia 2. Por tanto (1 3)/o = 1. En la teora de la energa de distorsin, para explicar la influencia de la tensin principal intermedia, Lode introdujoel parmetro , denominado parmetro de tensiones de Lode:

u =

Resolviendo esta ecuacin respecto a 2 eliminando 2 en la ecuacin [4-10], tenemos:

=

Fig. 5- Comparacion de los criterios de fluencia plstica para tensin plana.

Los datos experimentales se ajustan mucho mejor a la ec. [3-27] que a la ecuacin de la tensin cizallante mxima, indicando que la tensin principal intermedia afecta a la fluencia.Otra contribucin de Lode ha sido la introduccin del parmetro de deformacin , = [28]

Donde es un incremento finito de la deformacin. La representacin grafica de frente a deber ser una lnea recta a 45 de los ejes, si el metal se comporta de acuerdo con las ecuaciones de plasticidad de Levy Von Mises. La mayor parte de los metales muestran cierta ligera pero sistematica desviacin de la relacin de Lode = .

TENSION CIZALLANTE OCTAEDRICA Y DEFORMACION DE CIZALLAMIENTOLas tensiones octadricas son un conjunto particular de funciones de tensin de importancia en la teora de la plasticidad. Se trata de tensiones que actan sobre las caras de un octaedro tridimensional que posee la propiedad geomtrica de que las caras de los planos forman angulas iguales con cada una de las tres direcciones principales de tensin. En un cuerpo geomtrico de esta naturaleza, el ngulo formado por la normal a una de sus caras y el eje principal ms prximo es de 54 44 y el coseno de este ngulo es 1/.La tensin que acta en cada cara del octaedro se puede resolver en una tensin octadrica normal, y una tensin cizallante octadrica, , que se encuentra en el plano octadrico. La tensin octadrica normal es igual al componente hidrosttico de la tensin total: = [29]La tensin cizallante octadrica oct est dada por = 1/3[( + ]^(1/2) [30]

Puesto que la tensin octadrica normal es una tensin hidrosttica, no puede producir fluencia en materiales slidos. Por consiguiente, la tensin cizallante octadrica es el componente responsable de la deformacin plstica. A este proceso es similar al desviador de tensiones. Si se supone que una tensin cizallante octadrica critica termina la fluencia, se puede escribir el criterio de flujo plstico en la forma = = (o)/3) O bien o = [31]Puesto que la Ec. [3-31] es idntica a la ecuacin ya deducida para la teora de la energa de distorsion, las dos teoras de fluencia dan los mismos resultados. En cierto sentido, se puede considerar la teora octadrica como una teora de tensiones que es equivalente a la teora de la energa de distorsion. De acuerdo con esta teora, la tensin cizallante octadrica correspondiente a la fluencia en tensin uniaxial est dada por = [32]

Al igual que las tensiones, las deformaciones octaedricas estn referidas al mismo octedro tridimensional. La deformacin lineal octadrica est dada por = [33]La deformacin cizallante octadrica viene dada por = [34]

Dos, la constante de proporcionalidad es una verdadera constante del material: el coeficiente de viscosidad. En el caso de un cuerpo plstico, el valor de depende de los valores de la tensin y de la deformacin. se puede valorar cuando se establece el criterio de fluencia.TEORAS DE FLUENCIAmaterial plstico ideal rgido.Trabajos realizados por St. Venant, Levy y Von Mises han dado como resultado una teora de fluencia para un material plstico idealmente rgido, basada en la proporcionalidad entre el desviador de tensiones y la velocidad de deformacin. Ms adelante se dan las ecuaciones de Levy-Von Mises para un sistema general de coordenadas . A es una constante de proporcionalidad y , es la componente hidrosttica de la tensin. Obsrvese que un punto sobre el smbolo que representa la deformacin indica derivada de la deformacin respecto al tiempo, esto es, la velocidad de deformacin

El criterio de Von Mises est dado por J2 = O bien 2J2 = = [44]Sustituyendo las ecuaciones [3-43] en la [3-44], tenemos [45]La cantidad es una invariante de la velocidad de deformacin. Sustituyendo en la ecuacin [45] en las ecuaciones [3-43], tenemos [46]Para 2 y 3 se obtienen ecuaciones anlogas Las ecuaciones [3-43] se pueden escribir: 21 2 3 = 22 1 3 = [47] 23 1 2 = Y eliminando 6/dt en estas ecuaciones resulta: [48]

Las dos ecuaciones anteriores, mas la relacin de invariabilidad de volumen 1 + 2 + 3 = 0, constituye un sistema de ecuaciones diferenciales que deben ser integradas a lo largo del recorrido particular de tensin o deformacin para resolucin de problemas correcto.MATERIAL ELATISCO PLSTICO Los trabajos de Prandtl y Reuss se han encaminado principalmente a extender las ecuaciones de Levy Von Mises para tener en cuenta tanto las deformaciones elsticas como las plsticas. Al discutir esta teora es necesario diferenciar entre la deformacin elstica y la deformacin plstica . Suponiendo que la velocidad de variacin de la deformacin plstica es proporcional al desviador de tensiones, tenemos 2G = 1 2G = 2 2G = 3 [49] 741 La derivada respecto al tiempode la ley de Hooke, expresada en trminos de los desviadores de tensiones y deformaciones, proporciona las correspondientes ecuaciones para la teformacion elstica: 2G = 1 2G = 2 2G = 3 [50]Combinando las ecuaciones [3-49] y [3-50] tenemos las expresiones para la derivada respecto al tiempo de la deformacin total: 2G1 = 1 + 1 2G2 = 2 + 2 2G3 = 3 + 3 [51]Si suponemos que se aplica el criterio de fluencia de Von Mises y que no hay ningn endurecimiento por deformacin, J2 = J2 = 0De la ecuaciones [3-44] J2 = 1 = 0 [52]Esta expresin se puede utilizar para eliminar la constante de proporcionalidad en la ecuacin [51]. Sim embargo, para simplificar, se introduce la cantidad Uo. Esta cantidad es la velocidad de variacin de la energa de deformacin correspondiente a la distorsion, en oposicin a la energa de deformacin requerida para variar el volumen: Uo = [53]Utilizando las ecuaciones [52] y [53] y el criterio de fluencia J2 = , es posible obtener la relacin 2GUo = 2 [54]Las relaciones tensin-deformacion de las ecuaciones de Reuss se obtienen sustituyendo en la ecuacin [54] en la [52] y resolviendolas para la velocidad de carga: 1 = 2G(1 - 1) 2 = 2G(2 - 2) [55] 3 = 2G(3 - 3)Estas ecuaciones proporcionan la velocidad de variacin del desviador de tensiones, siempre que J2= y Uo>0. Para obtener la velocidad de variacin de la tensin es preciso recordar que 1 = 1 + 1. De la ecuacin [2-51] = 3k [56]Cuando la tensin se encuentra en la regin elstica, o en la descarga plstica, no son aplicables las ecuaciones [55]

TEORIAS DE LA DEFORMACION Hencky propuso que para pequeas deformaciones el desviador de tensiones puede considerarse proporcional al desviador de deformaciones: = 2G [57]En la ecuacin [57] se desprecian las deformaciones elsticas Gp es un modulo de cizallamiento plstico que varia en funcin de los valores de tensin y deformacin. A causa de la hiptesis de la invariabilidad de volumen = 0 y = . Por tanto, la ecuaciones [3-57] se puede desarrollar en trminos de las tensiones y deformaciones principales para dar1 = 1 = [58]1 = Es evidente la analoga entre el segundo miembro de las ecuaciones [3-58] y las ecuaciones de la elasticidad que expresan la deformacin en trminos de las tensiones principales. En el caso plstico, la relacin de Poisson se ha tomado igual a . Ep se puede considerar como un modulo plstico que es realmente una variable dependiente de la tensin y de la deformacin. En la figura 6 se muestra la determinacin del valor de Ep a partir de una curva invariante tensin-deformacion: [59]Nadai ha desarrollado relaciones similares a las ecuaciones [58] basadas en la igualdad de los parmetros de tensiones y deformaciones de Lode. El hecho de que = conduce a la conclusin de que las relaciones entre las tensiones y deformaciones cizallantes principales son iguales, y a partir de estas tres relaciones se pueden deducir las correspondientes ecuaciones. Por esta razn, las relaciones como las ecuaciones [58] se denominan frecuentemente ecuaciones Nadai.

Fig.6- Definicin de En una teora de deformacin, como la propuesta por las ecuaciones de Hencky y Nadai, la deformacin plstica total es proporcional al desviador de tensiones, mientras en una teora de flujo, como la que proponr las ecuaciones de Reuss, los incrementos de la deformacin plstica son proporcionales al desviador de tensiones. La teora de Hencky proporciona resultados que estn de acuerdo con la teora de flujo, siempre que los ejes principales de la tensin y deformacin se conserven en coincidencia durante el proceso de deformacin, y con tal de que se mantenga una carga proporcional. La teora de Hencky no es satisfactoria para grandes deformaciones, pero se utiliza frecuentemente para pequeas deformaciones plsticas debido a que ofrece cierta comodidad matemtica.

FLUENCIA PLSTICA EN DOS DIMENSIONESDeformacin plana: En muchos problemas prcticos, como la laminacin y la embuticin, se puede considerar que todos los desplazamientos estn limitados al plano xy, de forma que, en el anlisis, se pueden despreciar las deformaciones en la direccin z. Esto se conoce como un estado de deformacin plana. Cuando en un problema es difcil obtener una solucin tridimensional exacta, se puede conseguir una buena indicacin de la deformacin y de las fuerzas requeridas, considerando el problema anlogo de deformacin plana.Puesto que un material plstico tiende a deformarse en todas las direcciones, para crear un estado de deformacin plana es preciso impedir el flujo en una direccin. Esto se puede conseguir por medio de una Barrera lubricada exteriormente p. ej., la pared de una matriz (Fig. 7 a). Tambin puede conseguirse a partir de situaciones en las que solo parte del material est deformado y el material rgido situado fuera de la zona plstica impide la extensin de la deformacin (figura 7 b).Aun cuando la deformacin en una de las direcciones principales

Fig. 7.- mtodo para producir impedimento plsticoEs igual a cero para la deformacin plana, de esto no se desprende que que exista una tensin cero en esta direccin. Se puede demostrar que para la deformacin plana . Si se sustituye este valor en la expresin para el criterio de fluencia de Von Mises, el criterio de fluencia para la deformacin plana se transforma en (60)El criterio de fluencia de la tensin cizallante mxima se puede expresar por . Sin embargo, con el estado de deformacin plana que define el valor de a tensin principal mnima ser y el criterio de tensin cizallante se debera escribir (61)En la Ec. [61] k es el lmite elstico en cizallamiento puro. Sin embargo, basndonos en el criterio de fluencia de Von Mises, la relacin entre el lmite elstico en traccin y el lmite elstico en cizallamientoTEORA DE LOS CAMPOS DE DESLIZAMIENTO.Consideremos un elemento de volumen en deformacin plana dentro de una zona plstica de un cuerpo. La figura 8 a representa el estado de tensin

Bidimensional con respecto a coordenadas cartesianas arbitrarias. Es posible determinar los planos principales de forma tal que las tensiones cizallantes desaparezcan (Fig. 8 b). Las tensiones principales son simplemente funciones de 1a componente esfrica de la tensin " y de la tensin cizallante k. Esta ltima es constante a lo largo de toda la zona plstica si se desprecia el endurecimiento por deformacin, pero " vara de un punto a otro. La tensin cizallante mxima se representar en planos a 45 con respecto a la direccin de las tensiones principales. De este modo, la tensin cizallante crtica, k, se alcanzar primeramente sobre estos planos. Este estado se muestra en la figura 8 c, en la que se puede apreciar que la tensin cizallante mxima se presenta en dos direcciones ortogonales designadas por . Estas lneas de tensin cizallante mxima se denominan lneas de deslizamiento. Las lneas de deslizamiento tienen la propiedad de que la deformacin cizallante es mxima y la deformacin lineal tangente a su direccin es cero. Sin embargo, se debe prestar cuidadosa atencin al hecho de que las lneas de deslizamiento a que nos acabamos de referir no son las lneas o bandas de deslizamiento observadas con el microscopio sobre la superficie de los metales deformados plsticamente. Este ltimo tipo de lneas de deslizamiento

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:Fundamentos de manufactura moderna-tercera edicin-groover-mc Graw hill-parte III -pap.195- origenes de la fundicin.http://www.arqueologiadelperu.com.ar/oro.htmhttp://conformadomecanicodepiezasdtc.weebly.com/forjado-en-caliente.htmlhttp://www.unalmed.edu.co/~fundicio/documentacion/historia_fundicion.pdf