08-Programa de Produccion

Programa de Producción

Tutor: Enrique Rubio [email protected]

Auxiliares: Fernando Peirano [email protected],

Marcelo Vargas [email protected]

mailto:[email protected]



La Secuencia de Extracción

• Define donde comienza la mina y como progresa en el tiempo.

• Generalmente se diseña pensando en la distribución de ley, no la geomecánica ni la geotécnica.

123

8

7

65

4

3

2

1

$0

$500

$1,000

$1,500

$2,000

$2,500

$3,000

0 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000

Pit Tonnes

Pit

Va

lue

Definición de Secuencia

Plan Minero

• Define el ¿qué?, ¿cuándo? y ¿cómo? se extraerán los recursos en cada uno de los períodos del negocio minero, Programa de Producción

• Se cuantifican los recursos humanos y materiales a utilizar

• Representa el plan de negocios de la compañía

Discretización de la Envolvente Económica

• Gruesa– Caserones, Cruzado de producción en Hundimiento

por Paneles, Fases de rajo

• Fina– Anillos de perforación, Puntos de extracción,

Intersección fase banco (o banco)

• A mayor discretización mayor será el tiempo en resolver la secuencia operativa a utilizar

• Debe ser elegida en función de la selectividad del método de explotación

Plan Minero

• Programa de preparación

• Programa de producción

• Flujo de Recursos– Equipos.– Servicios.– Personal.


• Objetivo:– Max. VAN.– Max. vida mina.– Max. fino.– Min Costo– Min Desviación– ….

Programa de Producción Rajo

• Maximizar el VAN enviando a planta las leyes altas primero, política de leyes de corte

• Proveer un balance en el tiempo de los productos, cobre, fierro, etc.• Proveer un balance en el movimiento de estéril y mineral en el

tiempo y que sea acorde a las flotas de equipo• Definir las fases de modo de utilizar al máximo la infraestructura

minera definida• Definir el ancho de explotación lo suficientemente amplio para

cumplir con la meta de producción y los equipos que la sostienen• Identificar las aperturas de banco en el plan de producción de modo

de cuantificar confiablemente la meta de producción• Manejo de pilas y rajos múltiples de modo de maximizar la

utilización de la envolvente económica.

Programas de Producción Utilizando Programación Matemática

• Función objetivo– Parámetros económicos– Parámetros no deseados– Variables reales, como tonelaje– Variables enteras, acciones, cuando abrir el caserón,

cuando cerrarlo

• Restricciones– Método de explotación, secuencia – Producción por unidades mineras– Contaminantes – otros

Restricciones de extracción

– Vel. Desarrollo.– Variables productivas del método de

explotación.– Secuencia.– Tonelaje procesamiento.– Contaminantes.– Costos.– …

Diagrama conceptual de la programación de la

producción

UBM 1

UBM 2

UBM n

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

1.1

1.2

1.3

1.4

Lc

To

nel

aje

(mt)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

Ley

Med

ia

Au (ppm)

%Cu

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

1.1

1.2

1.3

1.4

Lc

To

nel

aje

(mt)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

Ley

Med

ia

Au (ppm)

%Cu

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

1.1

1.2

1.3

1.4

Lc

To

nel

aje

(mt)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

Ley

Med

ia

Au (ppm)

%Cu

Recursos

T1, l1

T2, l2

Tn, ln

Recursos Económicos

Secuencia

1

2

n

Método de Expl.

Rajo

BC

CyR

Diagrama conceptual de la programación de la

producción

UBM 1

UBM 2

UBM n

A1 A2 AT

Porcentajes de extracción deCada UBM en diferentes períodos de tiempo

Programa de Producción de un Inventario de Recursos

clv Valorización del inventario de recursos

N

tcc

t

tlutlulvqMAX

c 1),(

),(Función Objetivo

tlu c , Proporción del inventario de recursos que es extraído en periodo t

q Factor de actualización anual

1),(0 tlu c

NtTtlulv tl

ccT

c

..1 ,

Restricciones

1),(1

N

tc tlu

Proporción

Conservación de masa

Tonelaje meta

NttLmtlulvcl

cclm ..1 )(, Restricción de Leyes

Ejemplo de Programación de Inventario de Recursos

C 12CM 3.5CP 4.5Rev Factor 18a 0.1

Lc T (Mt) Ti Cu_i v (M$)

0.1 3320 23 0.135 (127.0) 0.2 3297 265 0.290 (739.3) 0.3 3032 1216 0.346 (2,152.6) 0.4 1816 645 0.445 1.5 0.5 1171 382 0.546 696.4 0.6 789 262 0.647 957.3 0.7 527 171 0.746 926.0 0.8 356 109 0.846 790.8 0.9 247 74 0.945 667.4

1 173 50 1.047 544.5 1.1 122 35 1.146 447.9 1.2 87 26 1.247 374.6 1.3 61 19 1.349 307.2 1.4 42 42 1.664 924.2

Lc v (M$) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

0.1 (127.0) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.2 (739.3) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.3 (2,152.6) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.10.4 1.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.5 696.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.6 957.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.7 926.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.8 790.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.9 667.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

1 544.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.01.1 447.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.01.2 374.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.1 0.0 0.71.3 307.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 0.3 0.4 0.01.4 924.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0

Valoración del InventarioMatriz de Decisiones

v (M$) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

T 100.0 100.0 150.0 150.0 170.0 170.0 170.0 170.0 170.0 170.0lm 1.22 1.20 1.11 1.09 1.07 1.05 1.08 1.07 1.06 1.08C 100 100 150 150 170 170 170 170 170 170vi 1401 1367 1799 1735 1923 1854 1952 1926 1875 1950

VAN $10,628

Restricciones Productivas y Resultado

Programa de Producción de Múltiples UBMs

iv Valorización de UBM i

N

ti

t

tibtiutibtiuvqMAX

1,),,(

,,Función Objetivo

tiu , Proporción de la UBM i que es extraído en periodo t

qFactor de actualización anual

1),(0 tiu

NtTtiuv ti

iT ..1 ,

Restricciones

1..Mi 1,,1

tibtiuN

t

Proporción

Conservación de masa

Tonelaje meta

NttLmtiuv ilm

i

..1 )(, Restricción de Leyes

tib , Variable o parámetros binarios que permiten asignar o definir secuencia

1),(0 tib

..N..M, titibtib 11 ,1,1 Secuencia Minera

Ejemplo Secuencia 5 Rajos

Programar 5 Rajos

• 62 Mt/a de cobre fino

• 42 Mt/a de cobre de sulfuros

• 20 Mt/a de cobre en óxidos

• Chancado 14.2 Mt/a

• Mov mina max 36 Mt/a

Componentes

UBM Pushback Mov Total Ore Total Waste Total Fino Total

M1 1 26,402,763 10,978,474 15,424,288 68,867M1 2 15,514,912 7,752,800 7,762,112 53,138M2 1 17,324,876 10,895,447 6,429,429 50,288M2 2 28,542,238 16,208,035 12,334,202 54,937M3 1 18,581,157 4,180,503 14,400,653 28,990M4 1 24,420,593 18,290,551 6,130,041 88,091M4 2 25,709,988 8,856,439 16,853,549 43,940M4 3 83,735,907 14,168,759 69,567,146 78,690M4 5 32,582,447 5,315,842 27,266,604 50,887M4 6 12,533,236 5,336,910 7,196,326 47,542M4 7 21,750,275 7,465,511 14,284,764 49,478M4 8 33,395,272 5,905,978 27,489,293 42,288M4 9 64,285,838 12,942,225 51,343,612 95,420M4 10 17,195,931 11,880,632 5,315,298 44,001M4 11 34,940,115 9,220,957 25,719,156 48,581M5 1 34,051,660 11,284,073 22,767,586 50,643

Cubicación de diferentes unidades básicas mineras, de acuerdo a algún nivel de discretización ad-hoc para aplicar el método de explotación

Restricciones de Secuencia

UBM Pushback Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12

M1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1M1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1M2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1M2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1M3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1M4 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1M4 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1M4 3 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1M4 5 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1M4 6 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1M4 7 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1M4 8 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1M4 9 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1M4 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1M4 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1M5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Matriz de Decisiones

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12 sum pondM1 0.33 0.50 0.17 - - - - - - - - - 1.00 M1 0.41 - 0.59 - - - - - - - - - 1.00 M2 0.05 - - - 0.26 0.35 0.33 - 0.01 - - - 1.00 M2 - 0.50 0.35 - 0.00 - - 0.04 - - 0.11 - 1.00 M3 - - - - - - - - - 0.60 - 0.32 0.92 M4 - - - 0.45 - - - 0.27 0.27 - 0.01 - 1.00 M4 - - - 0.52 0.48 - - - - - - - 1.00 M4 0.14 - - - 0.04 0.20 0.29 0.13 0.20 - - - 1.00 M4 - - - - 0.47 0.05 - - 0.31 0.17 - - 1.00 M4 - - - - - - 0.47 - - 0.07 0.23 0.23 1.00 M4 - - - - - 0.53 0.01 - - - - - 0.54 M4 - - - - - - - - - - - - - M4 0.19 - - - - - - 0.26 - 0.21 0.16 0.18 1.00 M4 - - - - - - - - 0.13 0.28 - 0.07 0.48 M4 - - - - - - - - - - - - - M5 - - - - - - - - - - 0.57 0.43 1.00

Matriz de Restricciones Productivas

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11Prod Fino 47,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,001 Meta Fino 47,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,000 62,001 Prod Fino Ox 5,000 31,255 20,374 32,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 Meta Fino Ox 62,000 62,000 62,000 32,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,001 Prod Fino Sulf 42,000 30,745 41,626 30,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,001 Meta Fino Sulf 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,000 42,001 Ore Sulf Prod 6,200,000 4,620,303 6,095,057 5,230,387 5,396,053 6,200,000 5,501,554 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,001 Ore Sulf Meta + 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,000 6,200,001 Ore Sulf Meta -Ore Ox Prod 1,138,662 9,000,000 5,939,281 7,505,113 4,915,715 4,660,954 4,748,902 4,767,535 4,960,246 3,684,898 5,490,105 Ore Ox Meta + 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,000 9,000,001 Ore Ox Meta -Mine Prod 15,929,663 27,521,545 23,490,648 24,167,333 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,001 Mine Prod + 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,000 36,000,001 Mine Prod -


-

5

10

15

20

25

30

35

40

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12

Mil

lio

ns

Mo

vim

ien

to M

ina

(to

ns)

M1 M2 M3 M4 M5

Programa de Producción de Sulfuros

-

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12

Mil

lio

ns

Pro

d.

Su

lf.

(to

ns)

M1 M2 M3 M4 M5


-

5

10

15

20

25

30

35

40

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12

Mil

lio

ns

Mo

vim

ien

to M

ina

(to

ns)

M1 M2 M3 M4 M5 Year


Reservas mineras

Categorización de Reservas

• De acuerdo a su nivel de confiabilidad en la extracción de la reserva– Ley.– Factores económico financieros.– Sistema minero.– Proceso metalúrgico.– Sistema sustentable.

• Se dividen en – Probadas.– Probables.

Inventario de Recursos Y Reservas

-

200

400

600

800

1,000

1,200

1,4000

.28

0.5

4

0.8

0

1.0

7

1.3

3

1.6

0

1.8

6

2.1

2

2.3

9

Mil

lio

ns

Ley De Corte (%Cu)

To

nel

aje

(t)

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Ley

Med

ia (

%C

u)

0.28 COG

1200 Mt0.5 Cu

5.27 Mt Cu

600 Mt0.55 Cu

2.88 Mt Cu

420 Mt0.77 Cu

2.75 Mt Cu

Recursos <> Reservas

Programación Matemática

Alexandra Newman, PhD, Profesor Asistente Departamento de Negocios Colorado School of Mines

Contenidos

• Programación lineal

• Programación lineal entera

• Programación lineal entera mixta

• Modelos de red

• Programación no lineal

Programación lineal

Considere el siguiente problema:

x es el vector de variables de decisión, A, c y b son parámetros conocidos de dimensiones mxn, 1xn y mx1 respectivamente

Programación lineal en minería

• Mezcla de materiales con determinadas características.

• Bajo una secuencia determinada, calcular el programa de producción.

• Asignación de equipos a actividades determinadas dado el tiempo total disponible.

• Decisiones tácticas de envío de producción a planta de procesamiento.

Problema genérico de PL

0

93

92

7

6:subject to

32 Maximize

A,B

BA

B

B A

A

BAZ

Solución gráfica

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

B

A

A=6

A+B=7

2B=9-A+3B=9

optimo

region factible

Ejemplo 1: programación lineal

• La compañía Metalco requiere producir una nueva aleación de 40% estaño, 35% zinc y 25% de plomo a partir de las aleaciones disponibles presentadas en la tabla 1. Formule el problema de programación lineal que permita encontrar las proporciones de materiales disponibles a mezclar para generar esta nueva aleación a un costo mínimo.

Ejemplo 1: programación lineal

Tabla 1: propiedades de las aleaciones disponibles

Soluación 1a: programación lineal

Sea Xi la proporción utilizada de la aleación i {i=1,2,3,4,5}

Soluciones al problema de optimización lineal

Si Ax=b es:– Un sistema determinado, entonces x es

único.– Un sistema sobredeterminado, entonces x no

existe– Un sistema subdeterminado, entonces

pueden existir un set de valores factibles para x.

Programación lineal en 2 dimensiones

• La intersección de las restricciones Ax=b de una región factible.

• Pueden moverse evaluaciones paralelas de la función objetivo (hacia arriba para un problema de maximización, hacia abajo para un problema de minimización) hasta que alguna de las realizaciones toque el último punto de la región factible.

• Este “punto extremo” es la solución óptima.

Problema con solución óptima única

Problema con múltiples soluciones óptimas

Problema “desbordado”

Problema infactible

Dos algoritmos de optimización lineal

• Método Simplex: teóricamente tiene performance exponencial, pero en la práctica es “bueno” (sólo revisa los puntos extremos, y usualemtne no todos).

• Método del punto interior: teóricamente tiene performance polinomial, en la práctica es adecuado para problemas grandes.

Método Simplex

Método del punto interior

Solucion 1b: programación lineal

• Costo mínimo: $23.46

– Aleación 1: 0.043– Aleación 2: 0.283– Aleación 3: 0.674

Programación lineal entera

Considere el siguiente sistema:

y es el vector de variables de decisión, A, c y b son parámetros conocidos de dimensiones mxn, 1xn y mx1 respectivamente

Programación lineal entera en minería

• Delinear un depósito mineral, determinar la envolvente económica.

• Programación de la producción de largo plazo.

• Toma lógica de decisiones: precedencias, restricciones: secuenciamiento de rajos.

Ejemplo 2: programación entera

• W.R. Grace extrae fosfatos desde estratos numerados de i=1 en la superficie hasta i=n en el nivel más profundo. Cada estrato debe extraerse antes que el siguiente estrato pueda ser extraído, pero sólo algunas capas contienen suficiente mineral para justificar su procesamiento para la generación de 3 productos (j=1,2,3).


• La compañía puede estimar a partir de sondajes las cantidades de aij de producto j disponible en cada estrato, la fracción bij de BPL (medida del contenido de fosfato) y la fracción pij de contaminante. La compañía desea maximizar la generación de productos manteniendo un BPL promedio para cada producto con a lo menos bj y la concentración de contaminante promedio máxima de pj. Formule un problema de programación lineal entera que modele esta situación.


Tabla 2: cantidad disponible, BPL y proporción de contaminante de cada estrato.

Solución 2a: programación entera

Sea xi=1 si se extrae el estrato i, 0 en caso contrario

Sea yi=1 se se procesa el estrato i, 0 en caso contrario

Programación lineal entera

Algoritmo de optimización entera

• Ahora existe un número finito de soluciones factibles.• Se podrían enumerar dichas soluciones, evaluarlas en la

función objetivo y escoger la mejor de todas.• Lo anterior podría tomar un tiempo considerable.• De hecho, aunque los algoritmos convencionales usan

técnicas más “inteligentes” para reducir esta enumeración, los algoritmos aún tienen un performance teórico exponencial.

• En la práctica, los problemas de programación entera requieren muchísimo mayor tiempo para encontrar una solución óptima que los problemas de programación lineal.

Solución 2b: programación entera

• Producción máxima: 12

– Extraer estratos 1, 2, 3 y 4– Procesar estratos 3 y 4

Programación entera mixta• Considere el siguiente sistema:

x es un vector de variables de decisión (nx1), y es un vector de variables de decisión (n’x1) y A, E, c, d y b son parámetros conocidos de dimensiones mxn, 1xn, 1xn’ y mx1 respectivamente,

Programación entera mixta en minería

• Programación de producción con decisiones de secuencia y tonelaje.

• apoyar decisiones en desarrollos con restricciones de tonelaje.

• Resolución de modelos combinados de programación.

Ejemplo 3: programación entera mixta

• Una planta de acero a recibido la orden de producir 25 toneladas de acero. El acero debe contener 5% de carbón y 5% de molibdeno (en peso). El acero se produce combinando 3 tipos de metal: lingotes, chatarra y aleaciones. Existen 4 tipos de lingotes disponibles para comprar. El peso (t), costo por tonelada, contenido de carbón y molibdeno de cada lingote se muestran en la tabla 3. pueden comprarse 3 tipos de aleaciones. Las propiedades de las aleaciones están en la tabla 4. la chatarra puede comprarse a un costo de 100$/t.


• La chatarra contiene 3% de carbon y 9% de molibdeno. Formule el modelo de programación entera mixta cuya solución permita producir el pedido con las características establecidas.

Tabla 3: propiedades de los lingotes


Tabla 4: propiedades de las aleaciones

Solucion 3a: Programación entera mixta

• S= cantidad de chatarra comprada (t)

• Ai= cantidad comprada de la aleación i (i=1…3)(t)

• yi=1 si el lingote i es comrpado(i=1…4), 0 en caso contrario.

• xi=cantidad utilizada del lingote i (i=1…4)(t)

Solucion 3a: programación entera mixta

Algoritmo de optmización lineal entera mixta

• Se resuelven de la misma manera que los problemas de programación lineal.

Solución 3b: programación entera mixta

• Costo mínimo: $3,894

– Chatarra: 4.28t– Aleación 1: 5.8t– Cantidad de lingotes 1, 2, 3 y 4: 5, 3, 2, 2.92

respectivamente (t).– Todas las variables yi son 1.

Modelos de redConsidere el siguiente sistema:

A es el set de arcos, xij es el flujo en el arco (i,j), cij es el costo por unidad en el arco (i,j), sj es la oferta del nodo j, dj es la demanda del nodo j, lij es el mínimo flujo en el arco (i,j) y uij es el flujo máximo en el arco (i,j).

Modelos de red en minería

• Asignar recursos a tareas.

• Decisiones de reemplazo de equipos.

• Secuenciamiento de bloques con estructuras especiales.

• Determinación de pit final.

Beneficios de los modelos de red

• Rápida resolución.

• Pueden mostrarse gráficamente.

Una red

A = {(1,3),(2,3),(3,4),(4,5)}

Xij= flujo en el arco (i,j)

Formulación del problema de red

Ejemplo 4: modelos de red

• El gerente del distrito de Whiskey Coal Mining Company desea maximizar el beneficio de las operaciones del distrito. La producción de la mina #1 son embarcadas a las plantas #1 y/o #2; sin embargo, la mina #2 sólo puede enviar carbón hacia la planta #2. Las producciones, esquemas de transportes, capacidades y costos están en las tablas 5-7. La planta #1 genera $4 de beneficio por tonelada y la planta #2 genera $5 de beneficio por tonelada. Dibuje el diagrama de flujo de costo mínimo cuya solución maximice el beneficio.

Modelos de red

Tabla 5: capacidad (t) y costos de cada mina

Tabla 6: capacidad (t) y costos de transporte mina-planta

Modelos de red

Tabla 7: capacidad de cada planta

Solución 4a: modelos de red

Solución 4a: modelos de red

• Los costos de extracción de cada mina y el costo de transporte de mineral de las minas a las plantas están dados por los arcos desde la fuente (S) hacia las minas y los arcos desde las minas hacia las plantas respectivamente. Los beneficios generados por cada planta están dados por costos negativos en los arcos que conectan el sumidero (T). Los límites mínimos y máximos en las capacidades de las minas y en los arcos de conexión entre minas y plantas están dados en los arcos desde la fuente a las minas y desde las minas a las plantas, respectivamente. Las capacidades de las plantas están dadas en los arcos que conectan con el sumidero.

Resolviendo el problema de red

• Existen algoritmos muy rápidos (polinomiales) para resolver problemas de red.

• Los incrementos en performance (comparados con herramientas para resolver problemas de programación lineal) son significativos para modelos grandes.

• Si el modelo es pequeño, o las soluciones rápidas no son necesarias, pueden utilizarse los mismos algoritmos que en los problemas de programación lineal.

Solucion 4b: modelos de red

• Costo mínimo: $4– Mina 1: extraer 6t, enviar 2t a la planta 1 y 4t

a la planta 2.– Mina 2: extraer 2 toneladas y enviarlas a la

planta 2.– Planta 1: procesar y vender 2 toneladas de

carbon– Planta 2:procesar y vender 6 toneladas.

Introducción a AMPL/Cplex• Modelo

– Sets, definen el espacio en que se mueven las variables. Típicamente:• bloques I• Tiempo T

– Parámetros que son coeficientes en la función objetivo y restricciones• Aij, Bij,Cij,Rt

– Variables que son las proporciones o enteros a buscar en el modelo de optimización

• Xij, Dijt– Formulación de la función objetivo con las variables y parámetros

anteriores– Formulación de las restricciones con las variables y parámetros

anteriores• Datos

– Matrices con datos para alimentar los parámetros del modelo y algunos sets que permitan adherir heurística en la optimización

Programación Matemática AMPL

Ejemplo de Aplicación de Modelo Geo Metalúrgico en la

Programación de la Producción

Descripción del problema

N/S

SAG

No Where

B11 B12 B13 B14 B1n

B21 B22 B23 B24 B2n

B31 B32 B33 B34 B3n

B41 B42 B43 B44 B4n

Bm1 Bm2 Bm3 Bm4 Bmn

• Para un período dado varios bloques están disponibles para ser extraídos de acuerdo a la secuencial LTP.•En la planificación de mediano plazo aquellos bloques deben ser ubicados en alguna etapa de procesamiento.

Descripción del problema

B11 B12 B13 B14 B1n

B21 B22 B23 B24 B2n

B31 B32 B33 B34 B3n

B41 B42 B43 B44 B4n

Bm1 Bm2 Bm3 Bm4 Bmn

N/S

SAG

No Where

$

Aproximación Heurística

• Bloques con el más alto valor al SAG y el resto a cubrir el tonelaje en el N/S.

Rev. Factor 14Met. Recov. 0.87tons/block 7800SAG Cap 3N/S 2

% Cu

0.35% 33.3 -0.39% 37.1 -0.34% 32.3 -1.40% 133.0 SAG2.20% 209.0 SAG1.88% 178.6 SAG0.46% 43.7 N/S0.51% 48.5 N/S0.45% 42.8 -

Total Revenue 612.78

% CuTotal Block

Revenue (k$)Alloc COG

0.35% 33.3 -0.39% 37.1 -0.34% 32.3 -1.40% 133.0 SAG2.20% 209.0 SAG1.88% 178.6 SAG0.46% 43.7 N/S0.51% 48.5 N/S0.45% 42.8 -

Total Revenue 612.8

Total Block Revenue = %Cu*Rev. factor*

Met. Recov

Descripción del Problema

• Maximizar el beneficio del molino a través de ubicar varios bloques en dos líneas de procesamiento; SAG and N/S, sin exceder sus capacidades.– El número de bloques corresponde con un

mes de producción de la mina. – Cada bloque tiene una renta diferente

dependiendo de su destino (SAG, N/S).– La capacidad del molino está dada por su

disponibilidad en el tiempo.

Tamaño del producto afecta la recuperación metalúrgica

Kelebek S., 2000, Analysis of Andina data on the effect of primary grind size on the recovery of Cu with implications on processing tonnage, An internal Queen’s University report for Metalica, Santiago Chile.

Tamaño de alimentación típico y flujo de salida

S.Morrell1 & W.Valery, 2000. INFLUENCE OF FEED SIZE ON AG/SAG MILL PERFORMANCE. SAG 2001, CIM.

Modelo de diferentes características de molienda.

1

23

Modelamiento del material de salida de la mina (MOTC) y el tipo de roca (RT)

El Modelo

Valorando los bloques de mineral

• Rec. Metalúrgica de bloques como una función del MOTC y RT

• Tiempo para procesar un bloque como función de el MOTC.

• Renta del bloque

iikk

i RTMOTCfR ,

ikk

i MOTCfT

For all k=1..K processes and i=1..I blocks

For all k=1..K processes and i=1..I blocks

,...),,(Re iki

ki gPRFv For all k=1..K processes and i=1..I

blocks

Construyendo el modelo

• Dimensiones– Número de bloques N

• Parametetros– Rentas por características del proceso:– Tiempo por bloque para diferentes características de

procesamiento:– Tiempo máximo disponible en los molino:

• Variables– Bloque enviado a el SAG o no.– Bloque enviado a la N/S o no.

iSAGR iNSR

iNST iSAGT

TSAG TNS

iv

iw

Construyendo el modelo

• Función objetivo– Maximizar la renta en el

período en estudio

• Restricciones– Tiempo de procesamiento

disponible.

– Límites.

(optional) iablesbinary var ,

..1 11

1

ii

ii

N

iii

N

iii

wv

Niwv

TNSvNST

TSAGvSAGT

N

iiiii

wvwNSRvSAGRMax

ii 1,

Prototipo (algunos Bloques)

• Usando la misma aproximación heurística de extracción, pero valorando la extracción de mineral usando la aproximación MOTC y RT.

• También agregando una restricción en la disponibilidad temporal del molino.

% Cu Alloc COG

SAG N/S SAG N/S SAG N/S

0.35% 45.0 17.1 26.6 25.7 0.7 1.8 -0.39% 49.5 18.8 28.2 27.2 0.7 1.8 -0.34% 45.0 17.1 24.7 23.8 0.7 1.8 -1.40% 125.2 53.5 151.4 141.3 1.2 2.5 SAG2.20% 177.2 75.6 237.8 221.9 1.2 2.5 SAG1.88% 157.9 68.1 227.3 214.2 1.2 2.5 SAG0.46% 46.1 23.3 55.4 49.8 1.5 2.7 N/S0.51% 50.6 25.6 61.5 55.3 1.5 2.7 N/S0.54% 52.8 26.7 64.0 57.6 1.5 2.7 -

Real Prod. Cap.

Total SAG 3.5 <= 3.0 86%Total N/S 5.4 <= 4.3 79%

Total Revenue 615.9

Recovered Cu Metal Rates (klb/hr)

Total Block Revenue (k$)

Process Time (min)

La restricción de tiempo es rota, luego la aproximación eurística no es confiable.

Solución usando la IP

• No intuitiva• Toma en consideración la renta de la productividad como

$/tiempo

% CuAlloc

SAG N/S SAG N/S SAG N/S

0.35% 45.0 17.1 26.6 25.7 0.7 1.8 SAG0.39% 49.5 18.8 28.2 27.2 0.7 1.8 N/S0.34% 45.0 17.1 24.7 23.8 0.7 1.8 -1.40% 125.2 53.5 151.4 141.3 1.2 2.5 N/S2.20% 177.2 75.6 237.8 221.9 1.2 2.5 SAG1.88% 157.9 68.1 227.3 214.2 1.2 2.5 SAG0.46% 46.1 23.3 55.4 49.8 1.5 2.7 -0.51% 50.6 25.6 61.5 55.3 1.5 2.7 -0.54% 52.8 26.7 64.0 57.6 1.5 2.7 -

Total SAG 3.0 <= 3.0Total N/S 4.3 <= 4.3

Total Revenue 660.2

Recovered Cu Metal Rates (klb/hr)

Total Block Revenue (k$)

Process Time (min)

Aplicación en Grasberg PT Freeport Indonesia

Grasberg Open Pit PT Freeport Indonesia

• Ubicado West Papua• El depósito porfírico de

Grasber se ubica en el Nor-Weste de el distrito minero de Erstsberg, contiene la más grandes reservas de oro.

• Una de las tres más grandes reservas de rajo abierto en el mundo.

Modelando el ambiente.

• 1x2 km pit• 800 m profundidad• Producción

– Mineral 260 Ktpd– Esteril 340 Ktpd

• Leyes– 2.5%Cueq

• 15 Palas, 10 cargadores

• 105 camiones

Tamaño del problema

• 2 opciones de procesamiento SAG y una línea de molienda convencional N/S.

• 72,000 parámetros.

• 18,000 bloques necesitan ser planificados en un período de un año en una base mensual.

• 36,000 variables.

• 54,000 restricciones.

Supuestos

• La Heurística fue usada para reducir el tamaño del problema en alrededor un 30% en donde las restricciones temporales dejaron fuera los bloques de alto tiempo de procesamiento y baja ley.

• El modelo trabaja con una secuencia pre-definida.

• El problema fue resuelto usando la plataforma Front Line Premium Solver Platform con el método Interval Branch and Bound

• El modelo corrió alrededor de 35 hrs.

DatabaseBLOCKS

x y z MOTC TYPE TONNES CU AU CuEq1 1 1 3 3 7725 0.14% 0.06 0.19%1 1 1 3 3 7665 0.42% 0.06 0.47%1 1 1 3 3 9217 0.43% 0.1 0.50%1 1 1 3 3 9160 0.35% 0.077 0.41%1 1 1 3 3 8883 0.26% 0.117 0.34%1 1 1 3 3 8984 0.24% 0.092 0.30%1 1 1 3 3 10179 0.26% 0.08 0.32%1 1 1 3 3 10493 0.28% 0.077 0.33%1 1 1 3 3 10162 0.27% 0.073 0.32%1 1 1 3 3 10962 0.29% 0.075 0.34%

Modelos Geo-Minero-Metalurgicos

• Modelos MOTC

• Modelo de Rec. Met.

MOTC SAG tph Size

1 8931 23.182 7671 16.383 6241 8.66

MOTC N/S tph Size1 3510 30.252 3510 30.253 3510 30.25

Metallurgical Recoveries for SAG Processing line MOTC/TYPE 1 2 3 4

1 96.5% 86.4% 76.2% 86.4%2 97.5% 88.9% 78.8% 88.9%3 98.7% 91.8% 81.7% 91.8%

Metallurgical Recoveries for N/S Processing line MOTC/TYPE 1 2 3 4

1 95.5% 83.8% 73.5% 83.8%2 95.5% 83.8% 73.5% 83.8%3 95.5% 83.8% 73.5% 83.8%

Disponibilidad de molinos

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Jan Feb Mar Aprl May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

Month

Pro

ce

ss

ing

Tim

e A

va

ilab

le (

hrs

)

TSAG "TN/S"

Resultados

• Optimización Heurística sin restricciones 2,300 M$

• Restricción Heurística de disponibilidad de tiempo para el procesamiento.

2,175 M$

• Modelo de optimización IP2,296 M$

Leyes de corte por MOTC y Procesamiento

SAG t1 SAG t2 SAG t3 NS

Jan 0.42% 0.91% 1.17% 0.35%Feb 0.36% 0.79% 2.05% 0.38%Mar 0.30% 0.40% 0.56% 0.39%Aprl 0.41% 0.51% 0.59% 0.29%May 0.29% 0.47% 0.49% 0.37%Jun 0.27% 0.34% 0.70% 0.33%Jul 0.36% 0.42% 0.71% 0.45%Aug 0.31% 0.53% 0.73% 0.31%Sep 0.32% 0.36% 0.73% 0.40%Oct 0.35% 0.39% 0.79% 0.43%Nov 0.34% 0.39% 0.89% 0.39%Dec 0.35% 0.66% 0.86% 0.32%

SAG Cut-Off grade by Material Type

Leyes de corte fijas para características de multi-procesamiento no funcionan.

Ley de corte real como función del tiempo de procesamiento

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Time

Gra

de

S1

S2

S3

NS1

NS2

NS3

Resultado Heurístico para la secuencia de la producción

• El gráfico es retroalimentado con el algoritmo de secuenciamiento y se repite el ciclo.

Grade

SAG

NS

NS

NW

NW

Time

NS

Ciclo de planificación minera

LTP

MTP

STP

OperationOP. DB.

OP. Performance

Re Modeling

Production Promise

Contracts

Facilities and Equipment

Comentarios

• Modelos Geo Minero Metalúrgicos pueden ser útiles para integrarse a la cadena de valor.

• Aproximación Heurística puede ser mejorada usando Investigación de Operaciones.

• Tonelaje es una mala restricción, una más realista es el tiempode procesamiento disponible.

• Una estrategia de leyes de corte fija para colocar bloques de mineral en diferentes alternativas de procesamiento no funciona.

Optimización No Lineal

• Función Objetivo– La misma pero con la relación lineal del tratamiento

• Restricciones– Restricciones relacionadas con el tonelaje y no el tiempo de

proceso

T* T+T-

R

Mill Throughput

Met

allu

rgic

al R

ecov

ery

T+: Maximum feasible mill throughput

T-: Minimum feasible mill throughput

T*: Design mill throughput

Formulación

• Función Objetivo

• Sujeto a

N

iiiii

wvNSfwNSRSAGfvSAGRMax

ii 1,

11

1 bvTaSAGfN

iii

21

2 bwTaNSfN

iii

Funciones que definen el ajuste de acuerdo al tonelaje a tratar por línea de proceso

1..Ni 1

)1(

)1(

)1(

)1(

*

1

*

1

*

1

*

1

ii

N

iii

N

iii

N

iii

N

iii

wv

tNSTwT

tSAGTvT

tNSTwT

tSAGTvT

Capacidades de procesamiento acotadas por la tolerancia máxima a tratar en cada línea de proceso y su capacidad de diseño.

Resultados

• El despacho de bloques depende del tiempo de procesamiento, la ley de mineral y la dureza del mineral (MOTC)

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Time

Gra

de

S1

S2

S3

NS1

NS2

NS3

Despacho de Bloques Programa de Producción Mensual

• Esta optimización posee un potencial de mejora de 30 M$/a si se materializa de acuerdo al modelo

• Esta aplicación fue desarrollada para una mina que explota mineral sulfurado de cobre con ley equivalente de 2.3 %Cu y un ritmo de 320 Ktpd

Grade

SAG

NS

NS

NW

NW

Time

Planificación de minas a rajo abierto con agregación

Fase-Banco-RangoPatricio Prieto V.

Sebastián Troncoso B.

Antecedentes

• Yacimiento Cu-Au con altas concentraciones de arsénico.

• Penalizaciones por arsénico en concentrado.

• Restricción en la cantidad de arsénico en el mineral de envío a planta.

Motivación

• Metodología “estándar” genera programas de producción inviables.– Lerchs y Grossmann.– Milawa balanced.

• Restricción directa (limits) no resuelve.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5

As (

ppm

)

Tone

laje

(M

t/añ

o)

Periodo (años)Mineral Waste As As Limit

VAN: 840.5 MUS$

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5

Cu (%

), A

u (p

pm)

Tone

laje

(M

t/añ

o)

Periodo (años)Mineral Waste Cu Au

VAN: 840.5 MUS$

Motivación

• Aplicación de leyes de corte al generar envolvente económica– Reducción drástica de

VAN.– Escenarios inviables.

• Relación As-VAN.

• Prueba y error no asegura optimalidad.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5

As (

ppm

)

Tone

laje

(M

t/añ

o)


VAN: 183.9 MUS$

0

50

100

150

200

250

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5

As (

ppm

)

Tone

laje

(M

t/añ

o)


VAN: 505.1 MUS$

Objetivo

• Calcular un plan de producción alineado con los objetivos estratégicos de la compañía, respetando la concentración máxima de arsénico en el mineral de envío a planta (150 ppm).

• Maximización de VAN.

Alcances

• Minería a cielo abierto.

• Programa de producción anual.

• Se analizan los 5 primeros años de explotación.

Metodología

• Selección de envolvente económica.

• Discretización envolvente económica.

• Modelo de optimización.

• Programa de producción.

• Selección de caso potencialmente factible

– Valorización de bloques con penalidad por arsénico.

– Valorización de bloques sin penalidad por arsénico.

– Aplicación de leyes de corte para As en L&G (200,300,400,500ppm).

• Selección de envolventes para sustentar 5 años de producción a:

– 25Ktpd– 50 Ktpd– 75 Ktpd– 100Ktpd

Metodología

150 Envolvente económica

Caso Capacidad planta

(Ktpd) Roca (Mt)

Mineral (Mt)

E/M CuT (%)

Au (ppm)

As (ppm)

Caso 5 100 515.9 184.9 1.79 1.05 0.43 125.0

Metodología





• Discretización en 5 fases:

• Cada fase subdividida en bancos.

• Cada banco subdividido en rangos:

FASE Roca (Mt)

Mineral (Mt)

E/M Cu (%)

Au (ppm)

As (ppm)

1 93.5 29.4 2.18 1.22 0.54 173.81

2 115.0 34.0 2.39 1.22 0.52 126.62

3 84.8 32.2 1.63 1.04 0.43 129.89

4 135.0 51.1 1.64 0.96 0.39 109.99

5 87.7 38.1 1.30 0.89 0.34 102.08

Metodología

• Cada FBR posee:

– Tonelaje.– Ley de Cu.– Ley de Au.– Ley de As.– Valor.

Metodología – Modelo de optimización (fragmento)

Variables de decisión

Metodología – Modelo de optimización (fragmento)

Metodología





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5

Cu (%

), A

u (p

pm)

Tone

laje

(M

t/añ

o)

Periodo (años)Mineral Waste Cu Au

VAN: 714.9 MUS$

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5

As (

ppm

)

Tone

laje

(M

t/añ

o)


VAN: 714.9 MUS$

Secuencia

1 2 3 4 5Fase 1 1 0 0 0 0Fase 2 1 1 0 0 0Fase 3 1 1 1 0 0Fase 4 0 0 1 1 1Fase 5 0 0 0 0 1

Periodo

Fases activas por periodo

Análisis de resultados

• Selección de material a procesamiento– 33% del tonelaje

procesado posee As sobre 150ppm.

– 6.5Mt procesadas que fueron catalogadas como estéril en L&G.

– 9.8Mt procesadas con valor económico negativo (valorización independiente)

Leyes

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 2 3 4 5

Ley

de C

U (%

), le

y de

Au

(ppm

)

Periodo (años)min Cu max Cu min Au max Au

0200400600800

10001200140016001800

1 2 3 4 5

Ley

de C

U (%

), le

y de

Au

(ppm

)

Periodo (años)min As max As

• En todos los periodos se procesa al menos una FBR sin leyes de Cu o Au.

• ¿ley de corte 0?

• En todos los periodos se procesan FBRs de alta cocentración de arsénico.

• En la globalidad igualmente se cumplen las restricciones.

Conclusiones

• El plan calculado tiene un VAN de 714.9MUS$ y captura un 85% del valor presente neto del plan de producción sin restricción de As (840.5MUS$).

• La secuencia y la selección del material a procesamiento no están ligadas a una ley de corte, sino que se determinan de acuerdo a la maximización de una función objetivo y respetando determinadas restricciones.

• En resumen, la aproximación propuesta logró incrementar el VAN (en un 288%) y las reservas del depósito (en un 30%), con respecto al caso factible que limita la concentración de arsénico en los bloques de alimentación a planta a 200ppm.

• Discretización.

Aplicación de Modelación Matemática al Cálculo de Alturas

de ColumnasTraer paper de Rubio

08-Programa de Produccion

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