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09 – Losas gruesasTeoría de Reissner-Mindlin

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asociado

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Tabla de Contenido

● Hipótesis fundamentales● Formulación de elementos finitos● Bloqueo por cortante● Técnicas de integración reducida● Técnicas de imposición del campo de

deformación

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Introducción

● Elementos laminares delgados– Losas o placas (son elementos planos)

– Láminas de superficie curva

● Losas:– Losas delgadas: teoría de Kirchhoff t/L < 0.1

– Losas gruesas (y delgadas): teoría de Reissner-Mindlin t/L < 0.25

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Algunas definiciones

● Placa: sólido paralelepípedo en el que una de sus dimensiones (espesor t) es mucho más pequeña que las otras dos.

● Plano medio de la placa: superficie plana equidistante de las caras mayores de la placa

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Teoría de Kirchhoff vs Teoría de Reissner-Mindlin

La teoría de Kirchhoff asume que las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas y ortogonales después de la deformación de la placa. La teoría de RM asume que se mantienen planas pero NO ortogonales después de la deformación.

Kirchhoff: Reissner-Mindlin:

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Hipótesis fundamentales de la teoría de Kirchhoff

● Los puntos del plano medio solo se desplazan verticalmente u = v = 0

● Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical

● El esfuerzo normal σz es despreciable (al compararlo con respecto a σx y σy)

● Las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas y ortogonales después de la deformación de la placa.

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Hipótesis fundamentales de la teoría de Reissner-Mindlin

● Los puntos del plano medio solo se desplazan verticalmente u = v = 0

● Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical

● El esfuerzo normal σz es despreciable (al compararlo con respecto a σx y σy)

● Las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas pero no necesariamente ortogonales a esta después de la deformación de la placa. Esta hipótesis hace posible

el cálculo de deformaciones angulares de una forma más natural que la empleada por la teoría de Kirchhoff.

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Campos vectoriales de desplazamiento y movimientos

Vector de movimientos (contiene los des-plazamientos de un punto del plano medio dela placa y los y giros “promedios” de la placa).

Convención de signos, ejes de coordenadas y desplazamientos

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Campo vectorial de movimientos

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Campo vectorial de desplazamientos

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Campo vectorial de deformaciones

Observe que el valor de estas deformaciones angulares es constante en el espesor e independiente de z

vector de deformaciones debidas a efectos de flexión

vector de deformacionesdebidas a efectos de cortantetransversal

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vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de flexión

vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de cortante transversal

Campos de deformaciones

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Campo de esfuerzos

Observe que aquí no se está teniendo en cuenta σ

z ya que

según la tercera hipótesis su valor es despreciable.

vector de esfuerzos debidos a efectos de flexión

vector de esfuerzos debidos a efectos de cortantetransversal

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Ley de Hooke(relación esfuerzos-deformaciones)

Esta es la misma matriz constitutiva utilizada en tensión plana y en la teoría de Kirchhoff

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Recuerde queson momentos y fuerzas por unidad de longitud

Vector de momentos(vector de esfuerzos generalizados)

Vector de momentos flectores y momentos torsores

Vector de fuerzas cortantes

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matriz constitutivageneralizada de flexión

matriz constitutivageneralizada de cortante

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vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de flexión

vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de cortante transversal

La relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas es entonces:

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Principio de los trabajos virtuales

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Principio de los trabajos virtuales

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Formulación de elementos finitos

● Dificultades encontradas con los EFs de Kirchhoff (requieren elementos con continuidad C1):

– Formas rectangulares: no isoparamétrico, elementos no conformes

– Formas triangulares: elementos no conformes

● Veremos que los EFs de RM, al utilizar elementos con continuidad C0 solucionan los problemas anteriores de no conformidad de los EFs de Kirchhoff; sin embargo, se debe solucionar el problema de “bloqueo por cortante” para losas muy delgadas.

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Formulación de elementos finitosConsiderando un elemento isoparamétrico de n nodos declase C

0 se tiene que el campo vectorial de movimientos se

interpola como:

matriz de funciones de forma

vector de movimientos del elemento

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Ejemplo del elemento finito rectangular bilineal de 4 nodos

Tenemos por lo tanto tres grados de libertad por nodo

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Discretización del campo de deformaciones generalizadas

Matriz de deformación generalizada del elemento

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Formulación para el elemento

Aquí se meterían los momentos concentrados

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Formulación general del elemento

PREGUNTA: como se tendrían en cuenta los momentos distribuidos de borde?RESPUESTA: usando una integral de contorno (recuerde que se expresan por unidad de longitud)

Se tiene entonces que:

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Obtención de la matriz de rigidez del elemento

Matriz de rigidez por flexión

Matriz de rigidez por cortante

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Condiciones de contorno

Bloqueo de la solución

Métodos para evitar el bloqueo de la solución

1.Métodos de integración reducida y selectiva: son métodos que subintegran la matriz Kc.

2.Métodos que utilizan campos de deformación por cortante impuestos.

3.Métodos basados en “linked extrapolations”.

Integración con cuadraturas de Gauss-Legendre y singularidad de la matriz K

Singularidad de la matriz de rigidez

Cuando K es singular se tiene que j-kp>0. Esta es una condición necesaria pero no suficiente.

Si j-kp>0, muy probablemente K es singularSi j-kp≤0, K es invertible

El criterio j-kp>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad. Es aplicable individualmente a la matriz K, a la matriz K

f o a la

matriz Kc.

Ejemplo:subintegrando K

f

Numnodos

#gld/nodo #gdlrestringidos

Puntos de integración de Gauss-Legendre

En este caso en particular se debe usar la estrategia de integración c, para subintegrar la matriz Kf

El criterio j-pk>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad.

29 nodos

j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres

k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)

p = 6 (puntos de integración)

j – kp = 55 – 3x6 = 27 > 0 (Kdd

es singular)

29 nodos

j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres

k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)

p = 24 (puntos de integración)

j – kp = 55 – 3x24 = -17 > 0 (Kdd

es invertible)

plate

Reissner-Mindlin plate elements

Kirchhoff

plate

La técnica de integración reducida

Definición de términos

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Mecanismos introducidos por la integración reducida

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Mecanismos introducidos por la integración selectiva/reducida

● Introducen modos de energía nula diferentes a los de sólido rígido

● Algunos de dichos modos mecanismos son propagables.

● El que un mecanismo sea propagable o no depende de la compatibilidad entre elementos y de las condiciones de apoyo.

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Elementos de placa de RM cuadriláteros basados en técnicas de integración selectiva/reducida

● Bilineal de 4 nodos CL4● Cuadrático serendípito de 8 nodos CS8● Cuadrático lagrangiano (bicuadrático) de 9

nodos CL9● Elemento de 9 nodos jerárquico 9J● Elemento de 9 nodos jerárquico 9JG● Elemento de 9 nodos heterosis 9H

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Elemento bilineal de 4 nodos CL4

IC -5 1 1

2x2 2x2 1x1

2x2 1x1 1x1

3 5 7

Integración Completa Selectiva Reducida

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

● Utiliza las funciones de forma del elemento 2D rectangular isoparamétrico de cuatro nodos. Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 1x1.

● Tiene cuatro mecanismos internos propagables que pueden afectar la solución (se muestran en la siguiente diapositiva):

50Elemento CL4. Mecanismos inducidos por la integración reducida (1, 2, 3 y 4) y selectiva (sólo 1 y 2).

por lo que es no propagable

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Elem. serendípito de 8 nodos CS8

IC -9 1 1

3x3 3x3 2x2

3x3 2x2 2x2

3 3 4

Integración Completa Selectiva Reducida

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

● Con integración selectiva, el elemento carece de mecanismos internos propagables, pero a pesar de la integración reducida el elemento se bloquea. Con integración reducida, el elemento tiene un mecanismo no propagable.

● Funciona bien para placas gruesas pero no para placas delgadas, ya que a pesar de la integración reducida, el elemento sigue bloqueándose.

● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.

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Elemento lagrangiano (o bicuadrático) de 9 nodos CL9

Integración Completa Selectiva ReducidaIC -6 4 4

3x3 3x3 2x2

3x3 2x2 2x2

3 4 7

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

● Se comporta bien con placas moderadamente delgadas. Sin embargo, tanto con integración selectiva/reducida se presentan mecanismos internos propagables.

● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.

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Elem. de 9 nodos jerárquico 9J Integración Completa Selectiva ReducidaIC -8 2 2

3x3 3x3 2x2

3x3 2x2 2x2

3 3 4

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.

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Elem. de 9 nodos jerárquico 9JG Integración Completa Selectiva ReducidaIC -6 4 4

3x3 3x3 2x2

3x3 2x2 2x2

3 3 4

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.

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Elem. de 9 nodos heterosis 9HIntegración Completa Selectiva ReducidaIC -7 3 3

3x3 3x3 2x2

3x3 2x2 2x2

3 3 6

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

● En genética se conoce como heterosis el proceso por el cual se obtienen "mejores" individuos por la combinación de las virtudes de sus padres.

● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.

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Elem. de 9 nodos heterosis 9HIntegración Completa Selectiva ReducidaIC -7 3 3

3x3 3x3 2x2

3x3 2x2 2x2

3 3 6

Cuadratura Kf

Cuadratura Kc

Modos deenergía nula

Con integración selectiva no se tienen mecanismos internos, y funciona muy bien para el análisis de placas gruesas y delgadas.

Sin embargo, solo satisface el criterio de parcela en formas rectangulares y paralelográmicas.

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Técnicas de deformación de cortante impuesta