Algebra Curso: 1º C, Primeros medios

Guía de Aprendizaje de algunos aspectos de Álgebra elemental.

Los árabes introdujeron la numeración y el álgebra, recogiendo la herencia científica de los griegos y asimilando el espíritu práctico de las matemáticas de la India, perfeccionando el sistema de numeración posicional.

Entre los matemáticos árabes destaca Al- Khuarizmi (siglo IX), autor de una obra dedicada a simplificar las ecuaciones. Una de estas operaciones, la de llevar un sumando del primero al segundo miembro con cambio de signo, denominada en árabe al-jabr le da el nombre al término Álgebra.

Los descubrimientos de los árabes se difundieron en Occidente resolviendo problemas que los griegos ya habían tratado con métodos fundamentalmente geométricos. Después de esto y gracias a los aportes de muchos matemáticos, el álgebra ha seguido desarrollándose hasta nuestros días.

¿Qué es el Álgebra? Es la parte de las matemáticas que trata del cálculo con símbolos literales (letras) y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales.

Una de las expresiones más útiles del álgebra elemental son las fórmulas que usamos en la resolución de distintos tipos de problemas. Algunos ejemplos:

i. Área de un triángulo

))()(( csbsassA −−−= , donde a, b, c son los lados del triángulo y s es su semiperímetro.

Calcule el área de un triángulo cuyos lados son: 6, 8 y 10.

ii. Rapidez de un móvil.

tdv =

Calcule la rapidez media de un automóvil que demora 2,8 horas en un viaje de 248 kilómetros.

iii. Suma de los primeros n números naturales.

2)1( +

=nnS

Calcule la suma de los primeros 56 números naturales

Observación. Para trabajar ventajosamente en álgebra es necesario desarrollar la habilidad para “traducir” los enunciados verbales a lenguaje algebraico. A continuación, se presentan algunos ejemplos:

Dado un número natural n, la expresión algebraica de: 1) El doble del número es 2n 2) El cuadrado del número es 2n 3) El antecesor del número es n – 1 4) El cubo del sucesor del número es 3)1( +n

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Actividad 1. Expresa algebraicamente los siguientes enunciados:

1) El sucesor de n 2) El cuadrado del sucesor de n 3) El opuesto de a 4) El recíproco de b 5) El cuadrado de la suma de a y b 6) La suma de los cuadrados de a y b 7) El cuociente entre p y q 8) El valor absoluto de x 9) La media aritmética entre m y n 10) La raíz cuadrada de la suma de a y b 11) La media geométrica entre a y b 12) M lápices cuestan 1200 pesos, expresar el valor de un lápiz. 13) Número natural par 14) Número natural impar 15) Dos números naturales impares consecutivos 16) La diferencia positiva de los cuadrados de dos números naturales consecutivos

Expresiones algebraicas

En la expresión 325 ba , llamada usualmente expresión algebraica, 5 es el coeficiente numérico y 32ba es la expresión literal.

Los coeficientes numéricos obedecen a ciertas reglas. A continuación se ilustrará reglas y propiedades de expresiones con coeficientes enteros.

A) Expresiones con coeficientes enteros

I. 5a = a + a + a + a + a + a II. 1 a = a III. 0 a = 0 IV. (-3)a = -a + -a + -a

Observaciones: En III. 0 es entero y 0 es el elemento neutro aditivo En IV. –a es el opuesto de a

B) Propiedades

I. 5a + 3a = (5 + 3)a II. 4(a + b) = 4a + 4b III. 5(3a) = (5·3)a IV. 5a – 3a = (5-3)a V. 4(a-b) = 4a – 4b

Actividad 2. Usando las propiedades de los coeficientes, desarrolle y/o reduzca cada expresión

1) 5a + 8b +11c + 7c +12b +10c 2) cbacba 863857 −+−+−+++ 3) )(5)(6)(4 cacbba +++++ 4) cbacba 51512)3(2)3(5)3(4 −++−+−−+−+ 5) )54(6)4(3)853(4 cbbacba −+++−+++ 6) )72(3)53(4 cbacba +−++++−− 7) )74(4)56(5)54(3 cbabccb −+−+−+− 8) ccabcba 34)716(423)1321(534 −−+−−− 9) ))4(3)32(43(5 bacba +−+−+ 10) bccbbaa 84)62(5)32(46 +−−+−+

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Las propiedades enunciadas se cumplen para expresiones algebraicas más complejas. A continuación se muestran algunos ejemplos:

1) Reducir a su forma más simple, la expresión: 2222 249536 yxxyyxyx +−++−

Solución:

22

22222222

762

259346249536

yxyx

yyxyxyxxyxxyyxyx

++=

+++−−=+−++−

2) Reducir a su forma más simple, la expresión siguiente: )32(4)32(3 222 yxyyxyx −++−

Solución:

22

222222

96

128396)32(4)32(3

yxyx

yxyyxyxyxyyxyx

−−=

−++−=−++−

Observación. Para reducir expresiones se han usado las propiedades algebraicas de la suma, en particular, la asociatividad y la conmutatividad, y las propiedades de los coeficientes enteros.

En los ejercicios de la siguiente actividad, usando propiedades, como en los ejemplos 1) y 2), reducir cada expresión a su forma más simple. Actividad 3. Dadas las expresiones algebraicas siguientes:

M= 22 234 yxyx +− N= 247 yxy − P= 22 35 xy +

Obtener la expresión más simple de: a) M + N – P b) 2N – 3P c) PNM 234 −+ d) PNM 352 +−

Observación. Las propiedades enunciadas en (B) también se cumplen para expresiones algebraicas con coeficientes numéricos en general (racionales, reales).

Ecuaciones Las ecuaciones son, una de las aplicaciones más interesantes de las expresiones algebraicas. Una ecuación es una igualdad de dos expresiones que contiene incógnitas. Resolver una ecuación consiste en encontrar un ”número” de un ámbito definido que, reemplazado por la incógnita, satisface la igualdad.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3(2x +5) + 2(x−3) = 7(x +2) −4 Solución:

19107810798

4147621564)2(7)3(2)52(3

=−=−+=+

−+=−++−+=−++

xxx

xxxxx

xxx

Se ha obtenido como solución de la ecuación: x=1.

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Comprobación: Para verificar que 1 es solución de la ecuación, se debe comprobar la solución obtenida en la ecuación original.

1717421421

43·72·27·34)21(7)31(2)51·2(3

=−=−+

−=−+−+=−++

Actividad 4. Resuelva en Q, las siguientes ecuaciones:

)2(9275)3(2)75)()6

1)15(2)25(32)32(

7910)5

252

2132

21

71

32)4

)2(528)1(23)342)2(5)3(2)2

728253)1

22

xaxxxabamxxxm

xxxx

xxxx

xxxxxxx

xxxx

+−+=+−−+−=+

−+=+−++

−=−+−

+−+=−++=−++

−+=+−

Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado.

Lea atentamente los enunciados de los siguientes problemas. En cada uno de ellos, determine una incógnita, exprese el o los otros números en función de esa incógnita, plantee una ecuación que relacione los números ya indicados, resuelva cuidadosamente esa ecuación y finalmente, indique claramente la solución del problema. (Si, por alguna razón, no puede resolver algebraicamente el problema, hágalo por un procedimiento alternativo indicando claramente la secuencia de su razonamiento).

1) Determine tres números impares consecutivos sabiendo que su suma es 237.

2) El largo de un rectángulo es 1 pulgada menos que 3 veces su ancho. Si se aumenta el largo en 6 pulgadas y el ancho en 5 pulgadas, el nuevo largo es el doble del nuevo ancho. Calcule las dimensiones del rectángulo original.

3) Un hombre de 42 años tiene un hijo de 16 años. Determine hace cuántos años el padre triplicaba la edad de su hijo.

4) Dos autos salen de un mismo lugar al mismo tiempo y viajan en direcciones opuestas. Uno viaja a 45 Km/h y el otro a 55 Km/h. Determine en cuánto tiempo los autos estarán alejados 350 Km.

5) A una función de cine asisten 200 personas que recaudan en total $ 335400. Si el valor de la entrada de un hombre es $ 1800 y el de la entrada de una mujer es $ 1500, determine el número de hombres y el número de mujeres que asisten a esta función.

6) Si se mezclan 200 litros de aceite de $ 600 el litro con aceite de $ 500 el litro, se obtiene un aceite que se vende a $ 540 el litro. Determine el número de litros de $ 500 el litro que se requieren para producir la mezcla deseada.

7) (Optativo) La cabeza de un lagarto mide 10 cm. La cola mide tanto como la cabeza más la

cuarta parte de la longitud total, que es doble de lo que miden la cabeza y la cola juntas. ¿Cuánto mide el lagarto?