1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? · 2 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo...

1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

“Lo que observamos no es la naturaleza en si misma sino la naturalezaexpuesta a nuestros métodos de indagación.”

Werner Heisenberg (1901 - 1976)

1.1 Introducción.¿Qué es el cálculo diferencial e integral? ¿Por qué es útil conocer sus ideas? ¿Qué tipo

de problemas permite resolver? ¿Es imprescindible aprenderlo?

El cálculo infinitesimal, o simplemente cálculo como también suele llamarse, se desarrollóa lo largo de la historia de una manera no muy diferente ni especial al desarrollo de otras ramasde las matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyóen forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos,ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo.

Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquí-medes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueronlos árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hastaque en el Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica comometodología para conocer e intentar explicar los fenónemos de la naturaleza. En esta etapa, lahistoria del cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, eldesarrollo y la formalización (ver Figura 1.1).

Figura 1.1: Línea de tiempo correspondiente a los tres períodos que comprenden el desarrollo del cálculo.

Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitospara encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa dedesarrollo, Issac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todasestas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del sigloXIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos entérminos de límite de funciones numéricas y sucesiones. El reduccionismo es un término de

la sociología que se utiliza para de-nominar el proceso mediante el cualse quieren explicar los fenómenos deuna ciencia con los términos y pro-cedimientos de otra. Se dice que unaciencia es reducida a otra cienciamás general.

Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útilespara explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía.Sus desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica,el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc.

En las ciencias químicas o las ciencias biológicas la relación con el cálculo diferenciale integral se establace quizás de manera indirecta, o en términos reduccionistas, a travésde la física y los conocimientos generados en los estudios del movimiento de partículas, lacomposición de la materia, la termodinámica, la cinética de gases, transporte de energía, etc.Por ejemplo, es común que en los procesos biológicos aparezcan términos como: circulación

2 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

de la sangre, bombas, presión, conexiones nerviosas, redes neuronales, dinámica poblacional,etc. O en el caso de sistemas químicos, se considere la intervención de una gran cantidad demoléculas que, desde el punto de vista mecánico, se mueven y colisionan en forma aleatoria.

Otras áreas de la matemática apare-cen en las ciencias naturales apor-tando sus estructuras en otro tipode modelos, tales como los mode-los geométricos en la estructura delADN o en la conformación de na-notubos, la teoría de grafos en lasredes neuronales, la teoría de sime-trías en la estructura de los cristales,la estadística, etc.

Pero la relación más profunda entre la matemática y las ciencias naturales se establecea través de la noción de modelo. En particular, los modelos matemáticos basados en elcálculo diferencial e integral porque involucran el estudio de cómo cambian o cómo varíanlos sistemas. Se trata del estudio de funciones, sus cambios y cómo son esos cambios. Laposición de un automóvil cambia en función del tiempo transcurrido, la cantidad de glucosaen la sangre cambia según aumenta la cantidad de insulina, la velocidad a la que se realiza unareacción química varía según la temperatura.

Presentaremos una versión resumida de la noción de modelo en la construcción delconocimiento científico. Los interesados en profundizar sobre el tema pueden consultar:

La noción de modelo en Ciencias. Olimpia Lombardi. Educación en Ciencias. Vol. II. Nro. 4.https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw

1.2 Modelos matemáticos.La relación entre la matemática y las ciencias naturales no se realiza de forma azarosa

o descontrolada; se enmarca en lo que se denomina modelos. Construimos modelos pararepresentar de alguna manera, alguna parte de la naturaleza, algún fenómeno o sistema realque es de nuestro interés.

C La palabra modelo tiene múltiples interpretaciones que van desde la moda, cosméticay belleza (las modelos de pasarela), la política (profundización del modelo, modelode desarrollo) hasta la connotación normativa como sinómimo de ejemplaridad (elniño modelo). También existe en las matemáticas una concepción formalista de modeloasociado a los sistemas axiomáticos. Por eso es necesario determinar con alguna precisióna qué llamaremos modelo matemático y de esa manera evitar confusiones.

Sistema Real

Modelo 1

Modelo 2

...

Modelo n

No existe el modelo del sistema.

Figura 1.2: Esquema orientativo so-bre diferentes modelos que puedenrepresentar a un mismo sistema.

Comenzamos diciendo que no existe el modelo de un sistema real dado, sino una multi-plicidad de modelos según los factores que se eligen, los postulados, las estructuras, etc. Laelección del modelo a utilizar depende del interés de cada caso particular (ver Figura 1.2).

Un sistema real es un sistema complejo, que involucra una gran cantidad de factores, porlo que se vuelve complicado – y a veces imposible - tener en cuenta todas y cada una de lasmúltiples características de sus elementos. Por este motivo se prefiere trabajar con sistemassimplificados e idealizados, abstrayendo y reduciendo el problema bajo estudio sólo a lasvariables que se consideran relevantes. Esta reducción es lo que en ciencias experimentales(biología, química, física, etc.) se denomina modelo.

Todos los modelos tienen un conjunto de definiciones y enunciados que le dan forma.Son las hipótesis teóricas que se hacen sobre el sistema. En muchas ocasiones (vale aclararque no siempre ocurre, ni necesariamente tiene que ser así), estos enunciados se escriben entérminos matemáticos. Cuando nos referimos amodelo matemático nos referimos entonces ala utilización de las herramientas matemáticas (funciones, geometría, etc.) y su propio lenguajematemático para modelar una situación correspondiente a un sistema real. Las herramientasmatemáticas podrían variar según las necesidades abarcando uno o varias disciplinas internas dela matemática como el cálculo infinitesimal, la matemática discreta, la teoría de probabilidades,la teoría de grafos, etc.

C En particular, en el marco del cálculo infinitesimal el planteo del modelo se realiza entérminos de las interacciones o las fuerzas que actuan en él y que producen cambios.El cálculo es, en esencia, el estudio del cambio, ¿cómo cambian las cosas? Y elconcepto matemático fundamental son las funciones como forma de relacionar dos omás cantidades numéricas.

https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 3

A partir de las hipótesis y enunciados de partida es posible deducir consecuencias sobre elmodelo y el supuesto comportamiento del sistema. La utilidad y la validez del modelo propuestose testea mediante las consecuencias que sean observables en el sistema real, de maneraaproximada, dentro de un margen de error considerado aceptable. Los datos experimentales(datos empíricos) y las predicciones teóricas deben contrastarse para determinar el grado devalidez delmodelo construido y funcionar como sistema de retroalimentación. En algunos casosse requiere hacer algunos ajustes; pero en otros casos corresponde abandonar completamenteel modelo.

En la Figura 1.3 se representa en forma esquemática la situación descripta anteriormente.

Sistema real(físico, químico, biológico, etc.)

Modelo matemático.Ecuaciones, definiciones, fórmulas.Generalizaciones, simplificaciones.

Teoría, hipótesis, marco teórico.

Resultadosexperimentales

Prediccionesteóricas

Comparación.Confrontación.

Se construye.

Se aplica sobre el modelo.

Figura 1.3: Relación esquemática entre el modelo, el sistema real y la teoría.

Debemos distinguir los dos grandes niveles en la construcción de un modelo en las cienciasexperimentales:

el sistema real, yel modelo construido.

Entre ambos, sistema real y modelo, se establece una relación compleja. En general sucedeque hay elementos del sistema que se descartan y por lo tanto no aparecen en el modelo que seestá considerando. También puede darse el caso inverso, pueden existir elementos del modeloconstruido que no tienen su correspondiente en el sistema real.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas.Lo detallado en la Sección 1.2 corresponde formalmente a lo que se denomina modelo

determinista y se refiere al que construye un sistema de causas y consecuencias entre losacontecimientos. De tal manera que conociendo los valores de ciertas magnitudes sería posibledeterminar el sistema en su todo completo. Se establecen leyes o fórmulas que permiteninterrelacionar las magnitudes del sistema en forma exacta. Claro está que, al ser los modelosuna simplificación, la relación causa-efecto está supeditada a las simplificaciones que serealizaron previamente. También se debe considerar que los datos observables nunca sonaccesibles con 100% de precisión por lo que las comparaciones y deducciones se analizan entérminos probabilísticos.

Existen otros modelos matemáticos, denominados modelos empíricos o modelos esta-dísticos, que se construyen sólo a través de los datos experimentales observados sin que se


pretenda que los datos recolectados sigan una relación de causa-efecto asociada a alguna leypropia del sistema. En estosmodelos estadísticos las predicciones se realizan al ajustar algúnmodelo determinista a los datos experimentales que sea lo más sencillo posible sin dejar de serrepresentativo de la situación. Las descripciones se realizan en términos estadísticos.

C La palabra ajustar tiene varios significados en el lenguaje castellano usado coloquial-mente. Por eso es necesario remarcar que en el contexto de los modelos estadísticos serefiere como sinónimo de adecuar. O sea, se propone un modelo determinista que seaadecuado a los datos experimentales recolectados. No hay que confundirse con otrossignificados de la palabra ajuste, como por ejemplo: un ajuste económico (recorte en laeconomía), un ajuste de cuentas (saldando alguna deuda como en la mafia), entre otrasopciones.

A continuación presentamos tres ejemplos de conjuntos de datos recolectados en distintassituaciones. En cada caso, el conjunto de datos se presenta acompañado (en azul) por unacurva que pretende ser un ajuste posible.

383634 3935 40 4237 41

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

Semanas de gestación

Peso

alnacer(en

kg)

(a) Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanasde gestación de 32 bebés.

1,800 1,850 1,900 1,950 2,000

0

50

100

150

200

250

Año

Población(enmillones)

(b) Población de EEUU (en millones de personas)extraído de los censos realizados en cada década(cada 10 años).

6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

Cantidad de semanas

Riesgo

hospitalario

(c) Riesgo hospitalario en 112 pacientes vs. la canti-dad de semanas de hospitalización.

1.4 Modelos lineales 5

Enfatizamos ahora lo anteriormente dicho. Losmodelos estadísticos no pretenden estableceruna relación de causa-efecto entre las magnitudes involucradas.

Los modelos estadísticos no pretenden establecer leyes ni explicar el por qué de la situación.No está dentro de sus posibilidades metodológicas.

En ambos casos demodeladomatemático es común que incluso luego de ya haber logradoformular el sistema en estudio, la etapa de comparación experimental permite avanzar en elgrado de comprensión del sistema manipulando algunos parámetros numéricos del modelo ycontrastando con sistemas similares pero distintos.

1.4 Modelos linealesComo primer acercamiento a los modelos matemáticos, desarrollaremos algunos modelos

lineales, en ambas versiones: deterministas y estadísticos.

1.4.1 Modelos lineales deterministasTodas las conversiones de mediciones (pesos, temperaturas, longitudes, etc.) se consideran

relaciones lineales. En particular, la fórmula que relaciona la temperatura en grados Celsius[◦C] con la temperatura en grados Fahrenheit [◦F] es

[◦F] =95[◦C] + 32

Actividad 1.1 Respondan las siguientes consignas, referidas a la conversión de gradosCelsius y grados Fahrenheit.

a) Se dice que el punto de congelación del agua pura (H2O) es de 0◦C. ¿A cuántosgrados Fahrenheit equivalen? ¿Y respecto al punto de ebullición del agua pura?

b) ¿Es cierto que 5◦C es equivalente a 41◦F? ¿Es cierto que 0◦F equivalen a −18◦C?

c) En el siguiente sistema de ejes cartesianos, representen la relación lineal de laconversión entre grados Celsius y grados Fahrenheit.

0 10 20 30 40 50

40

60

80

100

120

grados Celsius

grados

Fahrenheit

Figura 1.5: Relación lineal de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit.

�


Actividad 1.2 La presión del aire suministrada por el regulador a un buzo varía linealmentecon la profundidad del agua. Cuando el buzo está a 10 metros, el regulador entrega 2.02atmósferas, mientras que a 20 metros, el regulador entrega 3.04 atmósferas. Encuentren lapresión de aire entregada en la superficie (0 metros de profundidad), a los 15 metros deprofundad, y a los 40 metros de profundidad (la profundidad máxima permitida para elbuceo recreativo). �

Otros ejemplos de relaciones deterministas que quizás conozcan previamente son:• Determinación del perímetro de una circunferencia:

Perímetro = π × diámetro

• Ley de Hooke, relación entre el alargamiento de un resorte sometido a una fuerza:

Y = a + bX , donde Y = tamaño del estiramiento del resorte, y X = fuerza aplicada

1.4.2 Modelos lineales estadísticosComo primer ejemplo de modelo lineal estadístico trabajaremos con un estudio realizado

con 32 bebés en el que se consignaron los datos de la cantidad de semanas de gestación almomento de nacer y el peso (en kilogramos) del bebé al momento del nacimiento. Los datosse presentan en la Tabla 1.1 y en la Figura 1.6.

Semanas degestación Peso al nacer

36 2.42038 2.94038 3.13034 2.45039 2.76035 2.44040 3.22642 3.30137 2.72940 3.41036 2.71539 3.09539 3.13039 3.24435 2.52039 2.92841 3.52342 3.44638 2.92039 2.95742 3.53038 2.58037 3.04042 3.50041 3.20039 3.32240 3.45942 3.34635 2.61941 3.17538 2.74036 2.841

Tabla 1.1: Peso al nacer (en kg) de32 bebés y la cantidad de semanasde gestación al nacer.

383634 3935 40 4237 41

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

Figura 1.6: Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanas de gestación de 32 bebés.

Actividad 1.3 Discutan en el grupo y escriban un párrafo que describa los datos tal como seobservan en la Figura 1.6. Por ejemplo, es interesante intentar responder las preguntas ¿losdatos están alineados? ¿tienen una forma específica? ¿alguna característica que se puedadestacar? �

Los datos recopilados se encuentran dispersos de manera tal que la elección de algúnmodelo determinista simple representa un problema no sencillo de resolver. Sin embargo, porla disposición de los puntos en el sistema de ejes cartesianos y también por un criterio desimplicidad, se propone comenzar con modelos lineales.

El problema consiste en elegir una recta que represente al conjunto de datos de la mejormanera posible. Para lo cual tendremos que decidir previamente, qué entendemos por “lamejor manera posible”.


Considerando que las rectas están determinadas por la pendiente y la ordenada al origenbuscamos una manera de elegir m (la pendiente) y b (la ordenada al origen) para que la recta

p = ms + b

se aproxime lo mejor posible a los datos recopilados.En este caso, hemos decidido tomar a

• s como la variable en el eje horizontal asociada a la cantidad de semanas de gestación,

• p como la variable en el eje vertical asociada el peso del bebé al nacer (en kilogramos).

Hay infinitas rectas posibles para elegir. A continuación presentamos 4 opciones de rectaspara ajustar a los datos recolectados.

383634 3935 40 4237 41

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

(a)Modelo lineal 1: p = 0.15s − 2.76.

383634 3935 40 4237 412.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

(b) Modelo lineal 2: p = 0.21s − 5.1.

383634 3935 40 4237 412.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

(c)Modelo lineal 3: p = 0.15s − 2.8.

383634 3935 40 4237 412.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

(d) Modelo lineal 4: p = 0.1s − 0.73.

Figura 1.7: Cuatro modelos lineales propuestos para ajustar los datos observados de peso y semanas de gestación de la Tabla 1.1.

Actividad 1.4 Discutan en grupo, estableciendo algún criterio consensuado, ¿cuál de los 4modelos lineales propuestos es el mejor.

�


1.4.3 Error cuadrático medio (ECM)Tomaremos el primer ejemplo de los 4 presentados anteriormente para definir una idea de

error en el ajuste.

34 36 38 40 42

2.5

3

3.5


Peso

alnacer(en

kg)

Figura 1.8:Modelo lineal p = 0.15s − 2.76.

La recta no pasa por todos los puntos. Se observa, ver Figura 1.8, que hay puntos alejadosde la recta; algunos de ellos se encuentran por debajo de la recta y otros se encuentran porarriba de ella.

Las diferencias verticales entre losvalores observados y los valores co-rrespondientes a la recta se denomi-nan residuos.

Hay diferencia entre los valores observados (valores experimentales de la Tabla 1.1) y losvalores correspondientes a la recta. Esquematizamos esas diferencias en la siguiente figura.

Figura 1.9: Representación de la diferencia vertical existente entre los valoresexperimentales y los valores de la recta.

El enfoque tradicional para determinar el error y resolver esta situación es elevar alcuadrado los residuos (las diferencias entre el valor experimental y el valor del modelo) yluego calcular el promedio de todos los residuos. El valor que se obtiene se llama errorcuadrático medio (ECM) y es el que tradicionalmente se utiliza para analizar qué tan buenaes la recta elegida. El criterio que utilizaremos para decidir si una recta es mejor que otra seráestudiando los errores cuadráticos medios asociados a cada una.


A continuación calcularemos el ECM para el modelo p = 0.15s− 2.76 asociado a los datosdel peso y las semanas de gestiación de los 32 bebés.

Semanas de gestación Peso al nacer Modelo p = 0.15s − 2.76 Residuos al cuadrado

36 2.420 0.15(36) − 2.76 = 2.64 (2.42 − 2.64)2 = 0.048438 2.940 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.94 − 2.94)2 = 038 3.130 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.92 − 3.13)2 = 0.044134 2.45 2.34 0.01239 2.76 3.09 0.10935 2.44 2.49 0.00340 3.23 3.24 0.00042 3.30 3.54 0.05737 2.73 2.79 0.00440 3.41 3.24 0.02936 2.71 2.64 0.00639 3.10 3.09 0.00039 3.13 3.09 0.00239 3.24 3.09 0.02435 2.52 2.49 0.00139 2.93 3.09 0.02641 3.52 3.39 0.01842 3.45 3.54 0.00938 2.92 2.94 0.00039 2.96 3.09 0.01842 3.53 3.54 0.00038 2.58 2.94 0.13037 3.04 2.79 0.06342 3.50 3.54 0.00241 3.20 3.39 0.03639 3.32 3.09 0.05440 3.46 3.24 0.04842 3.35 3.54 0.03835 2.62 2.49 0.01741 3.18 3.39 0.04638 2.74 2.94 0.04036 2.84 2.64 0.040

ECM (Promedio): 0.0285

Tabla 1.2: Determinación del EMC para el modelo p = 0.15s − 2.76 asociado a los datos de la Tabla 1.1.

Se ha calculado que el ECM del modelo p = 0.15s − 2.76 es: 0.0285.

De la misma manera, calculamos los ECM para los otros 3 modelos propuestos en la 1.7

Semanas de gestación Ecuación ECM

Modelo 1 p = 0.15s − 2.76 0.0285Modelo 2 p = 0.21s − 5.1 0.0594Modelo 3 p = 0.15s − 2.8 0.0287Modleo 4 p = 0.1s − 0.73 0.0447

Tabla 1.3: Determinación de los EMCs para cuatro modelos de la Figura 1.7.

Se observa que el menor ECM encontrado corresponde, precisamente, al modelo 1.


El error cuadrático medio nos da una medida del error que se comete con la recta elegida:a) El ECM siempre es un número mayor o igual a 0.b) La única opción para que el ECM sea igual a 0 es cuando la recta elegida pasa exactamente

por todos los puntos experimentales.c) Si el ECM es un valor cercano a 0 quiere decir que la recta elegida está muy próxima

de los puntos experimentales.

Actividad 1.5 Hemos calculado el ECM de cuatro modelos elegidos como ejemplo. No estámuy claro por qué elegimos esos cuatro y no otros.

a) ¿Hay otros modelos lineales que se puedan utilizar? Propongan dos distintos a losutilizados previamente.

b) ¿Es posible que los modelos propuestos en el inciso anterior tengan un ECM menoral encontrado 0.0285?

C Para poder calcular el ECM de los nuevos modelos tendríamos que utilizar algunaplanilla de cálculo o software de manera de agilizar los cálculos. No lo haremos enesta oportunidad.

Los interesados pueden obtener una copia de los datos para cargar en la planilla decálculo en el siguiente link:https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing

�

En la siguiente sección estudiaremos un método que permite determinar el modelo linealque posee elmenor ECM posible de manera que, desde este punto de vista, determinaremosel modelo lineal que mejor se ajusta a los datos experimentales.

1.4.4 Método de mínimos cuadrados.El método de mínimos cuadrados es,desde su creación por el astrónomoy matemático francés Lagrange en elsiglo XVII, el más usado de los mé-todos estadísticos. El motivo de supopularidad es principalmente su fá-cil aplicación y que siempre permiteuna respuesta explícita.

¿Cómo encontrar la recta o modelo lineal con el ECM más cercano a cero posible paragarantizar que hemos encontrado la mejor recta según este criterio? La respuesta a estapregunta está en el método de mínimos cuadrados. Es el método que permite encontrar lapendiente y la ordenada al origen de la recta que estamos buscando. Este método se desarrollaen el curso de Análisis de datos y ahora lo utilizaremos con el software Desmos disponible enforma gratuita y libre para smartphones, iphones, tablets, notebook, netbook y computadorasde escritorio.

Hemos decidido no utilizar en estaoportunidad el software Geogebraporque su versión para celular no esamigable con los entornos de tablasy determinación de ajustes de datosexperimentales.

Online: https://www.desmos.com/calculator

Para smartphones, tablets o iphones:https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419

https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8

Tutorial de Desmos: https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing

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https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419

https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8

https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do


El símbolo∼ delPaso 3 se encuentraen la última fila del teclado.

Determinaremos la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados utili-zando Desmos en un smartphone.

Paso 1: Al iniciar Desmos aparece la pantalla principal.

Paso 2: Cargar los datos experimentales mediante la opción de Tabla. Cambiar losencabezados de las columnas por s (para la columna de las semanas) y p parala columna de los pesos.

Paso 3: Una vez cargados todos los datos. En la siguiente casilla de instrucción escribirla forma del modelo propuesto de la siguiente manera.


Paso 4: Inmediatamente luego de escribir la fórmula, elDesmos responde con el ajustelineal correspondiente al método de mínimos cuadrados.

Se obtuvo m = 0.131093 y b = −2.04726. Analizando las unidades de lascantidades involucradas tenemos que:• El peso p de los datos tiene unidad de medida kg por lo tanto, tanto m.s

como b deben estar en kg.• Dado que s está dada en cantidad de semanas, entonces la pendiente m

tendrá como unidad kg/[cantidad de semanas].

Por lo tanto,• Pendiente m = 0.131093 kg/[cantidad de semanas]• Ordenada al origen b = −2.04726 semanas.

El modelo lineal correspondiente al método de mínimos cuadrados es

p = 0.131093s − 2.04726

Paso 5: Los residuos están representados en el Desmos por la variable e1. Si queremosconocer el ECM del modelo lineal podemos escribir el comando:

Se obtuvo: ECM = 0.0260436795937.

Paso 6: Desmos también realiza la gráfica de los valores cargados y del modelo linealencontrado. Moviendo la pantalla y ajustando el zoom. Ver Figura 1.10.

Recordar que el ECM se calcula ha-ciendo el promedio (mean, en inglés)de los residuos al cuadrado.

Figura 1.10: Captura de pantalla dedatos y ajuste lineal elaborada en elPaso 6.

34 36 38 40 42

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

Figura 1.11:Modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726.

El modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726 es elmejor modelo lineal que se ajusta a losdatos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacer según el criterio deerror cuadrático medio.


Actividad 1.6 Los datos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacerde la Tabla 1.1 fueron clasificados según se tratase de madre fumadoras o madre nofumadora como se presenta a continuación.

Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora

38 3.130 No 38 2.940 Sí34 2.450 No 36 2.420 Sí40 3.226 No 39 2.760 Sí37 2.729 No 35 2.440 Sí40 3.410 No 42 3.301 Sí39 3.095 No 36 2.715 Sí39 3.244 No 39 3.130 Sí35 2.520 No 39 2.928 Sí41 3.523 No 42 3.446 Sí38 2.920 No 39 2.957 Sí42 3.530 No 38 2.580 Sí37 3.040 No 42 3.500 Sí39 3.322 No 41 3.200 Sí40 3.459 No 42 3.346 Sí35 2.619 No 41 3.175 Sí36 2.841 No 38 2.740 Sí

Tabla 1.4: Clasificación de los datos observados según si la madre es fumadora o no.

Los datos se presentan a continuación

34 36 38 40 42

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6


Peso

alnacer(en

kg)

Madres fumadorasMadres no fumadoras

a) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos correspondientes a madres fuma-doras con menor ECM posible. Para realizarlo tendrán que hacer una secuenciasimilar a la realizada anteriormente pero sólo considerando los datos de las madresfumadoras.

b) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos correspondientes a madres nofumadoras con menor ECM posible. Para realizarlo tendrán que hacer una secuenciasimilar a la realizada anteriormente pero sólo considerando los datos de las madresno fumadoras.

c) Grafiquen los modelos lineales encontrados y, discutiendo en el grupo, expliquen lasdiferencias y coincidencias entre los modelos encontrados.

�


1.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano?En verano, durante las tardes o las noches, el canto de los grillos no pasa desapercibido;

es difícil evitar escuchar ese “cri-cri” que emiten los grillos machos (los únicos que cantan)cuando intentan atraer a las hembras. ¿Cómo influye la temperatura ambiente en el “chirrido”de los grillos?

Chirridos porminuto

Temperatura(°C)

176 26.944185.6 25.833174.4 25.556140 23.056130.4 20.000115.6 18.889110.8 18.333102 16.38981.5 13.88950 12.778144.8 22.500140 22.222132.4 21.667126 20.556115.2 19.16785.2 15.556151.2 23.889148 22.91794.64 16.11174 11.111110.8 18.333104 17.22286.8 15.000

Tabla 1.5: Chirridos por minuto ytemperatura de una especie de grillosen Nebraska.

Actividad 1.7 Un método casero bastante popular en las provincias del norte dice que sepuede conocer la temperatura ambiente escuchando el cantar de los grillos. Hay que contarla cantidad de chirridos por minuto que se escuchan, dividiendo por 7 y luego sumando 4.Se considera en este caso que la temperatura está medida en grados Celsius. Determinenuna expresión algebraica que relacione la temperatura ambiente y la cantidad de chirridosdescripta por el método casero. Detallen las variables utilizadas y sus unidades. �

La Tabla 1.5, construida en base a los datos experimentales de un estudio realizado enColorado (Estados Unidos) en el año 2007, relaciona el promedio de la cantidad de chirridosde una especie de grillos emitidos durante un minuto con la temperatura ambiente en gradosCelsius.

Actividad 1.8 Utilicen Desmos para realizar las actividades:a) Representen gráficamente los datos de la tabla mediante un gráfico de puntos. En

el eje horizontal ubicar la cantidad de chirridos y en el eje vertical la temperatura.Incorpore al gráfico la recta asociada al método casero.

b) Realicen un ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados. Incorporen algráfico anterior la recta obtenida.

c) Describan la diferencia entre las rectas encontradas. ¿Cuál considera que aproximamejor los datos?

d) ¿Qué limitaciones aparecen desde el punto de vista biológico para utilizar estosmodelos?

e) ¿En qué rango de temperaturas son válidos?f ) ¿Cómo puedemejorarse la precisión delmodelo determinado pormínimos cuadrados?g) ¿Por qué cantan más los grillos en verano?

�

Las respuestas que pudieron desarrollar dan cuenta de la complejidad de la relación entre elproblema biológico y el modelo matemático. Es muy probable que las respuestas no hayan sidocompletas pero seguramente permiten apreciar cómo se aproximan el modelo matemático y elproblema biológico. Con el debido cuidado, nos permite apreciar cómo se usan las matemáticasy alguna de sus limitaciones.

La pregunta d) es de naturaleza biológica, y la matemática juega un papel pobre allí.Podríamos preguntarnos sobre las cuestiones biológicas que se estudian. Desde un punto devista práctico, este termómetro biológico tiene usos limitados. Los grillos generalmente cantansólo algunos meses en el año y durante la noche cuando la temperatura es superior a los 10° C.

Las preguntas e) y f ) resultan importantes por el vínculo entre el proceso de modeladomatemático y el problema biológico que se estudia. El rango de validez en cuanto a lastemperaturas determinan el dominio en el cual corresponderá usar el modelo. Generalmente,los límites para usar el modelo matemático están dados por los puntos entre los cuales se hanrecolectado los datos (o posiblemente ligeramente un poco más allá de los datos recolectados).En nuestro caso, los datos disponibles se encuentran entre los 11°C y los 27°C. Que esapropiada para las noches en Colorado durante agosto y septiembre. El método casero, aunquealejado un poco de los datos recopilados, es mucho más sencillo de utilizar en una noche deverano con amigos.

La última pregunta g) puede ponerse también en términos de limitaciones del modelo. Elmodelo no puede responder a la pregunta de causalidad entre las dos variables. No hay unaexplicación del fenómeno que permita deducir cómo influye la temperatura ambiente en lafrecuencia con la que los grillos frotan sus patas traseras para generar el chirrido; sólo unacorrelación estadística de las observaciones. Será necesario conocer más sobre el metabolismoy la morfología del insecto para plantear alguna hipótesis de respuesta a la pregunta. Luego

1.6 Ejercitación 15

vendrán otras tantas como: ¿Por qué es tan difícil ubicar al grillo que canta cuando estamos enuna habitación? ¿Por qué cantan al unísono todos los grillos del campo?

Actividad 1.9 En las actividades previas ubicamos en el eje horizontal los valores corres-pondientes a los chirridos por minuto de los grillos y en el eje vertical a la temperaturaambiente. Sin embargo, es más natural que la variable independiente sea la temperaturadado que por algún mecanismo que desconocemos afecta al grillo haciendo que produzcamás chirridos por minuto. Encuentren, a partir de la ecuación obtenida en la Actividad1.8 item b) la ecuación lineal que represente la cantidad de chirridos en función de latemperatura. Estime la cantidad de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 21◦C.�

1.6 EjercitaciónEjercicio 1.1 En cada caso, hallen la ecuación de la recta que satisface las condicionesmencionadas:a) pasa por el punto (2,−3) y tiene pendiente −

13

b) pasa por el punto (7, 5) y tiene pendiente 0c) pasa por los puntos (3,−1) y (2,−1)d) pasa por los puntos (−1, 3) y (5,−3)e) corta al eje y en 2 y pasa por el punto (−2, 3)f) paralela a la recta 3x − 6y = 1 y pasa por el punto (1, 0)g) perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 y pasa por el putno (3, 2).

�

Ejercicio 1.2 Escriban la ecuación de una recta para cada una de las siguientes gráficas �

Ejercicio 1.3 Encuentren las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen que sonperpendiculares y paralelas a la recta y = 3 − 2x. �

Ejercicio 1.4 Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 0).¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen para esta recta? Grafiquen la recta. �

Temperatura (◦C) Potencia

0 380 430 3410 3210 2610 3320 1920 2720 2330 1430 1930 21

Tabla 1.6: Potencia de los antibióticos.

Ejercicio 1.5 En un experimento para observar el efecto de la temperatura de almacenamientoen la potencia de un antibiótico se almacenaron tres porciones de 1 gramo del antibiótico sealmacenaron durante tiempos iguales a cada una de las siguientes temperaturas: 0◦C, 10◦C,20◦C y 30◦C. Las lecturas de potencia observadas al final del período experimental son lasque se muestran en la Tabla 1.6.La potencia o actividad de los antibióticos se calcula comparando la inhibición de microor-


ganismos sensibles y específicos determinada por concentraciones conocidas del antibióticoanalizado y una sustancia de referencia.

a) Determinen, a partir de los datos presentados, el ajuste lineal correspondiente.b) ¿Qué unidades corresponden para la pendiente y la ordenada al origen del modelo

encontrado?c) Según el modelo lineal encontrado, ¿cuál es la potencia esperada de un gramo de

antibiótico almacenado a una temperatura de 25◦ C?d) Se observa la potencia de un gramo de antibiótico y resulta 18. ¿Cuál es la temperatura

de almacenamiento que se estima según el modelo lineal encontrado?�

Figura 1.12: Amplitud entre párpados.

ASO (cm2) Amplitud (cm)

0.4 1.020.48 0.880.57 1.520.7 1.50.75 1.80.78 1.630.84 20.99 2.481.12 3.051.15 3.181.25 3.681.25 3.821.3 4.271.34 3.121.4 3.751.43 4.11.49 3.771.58 4.211.6 4.92

Tabla 1.7: ASO vs. amplitud de lospárpados.

Ejercicio 1.6 Los problemas visuales y muscoesqueléticos relacionados con el uso demonitores se han vuelto bastantes recientes. Se estudia la relación entre el área de superficiedel ojo (ASO, en cm2) y la amplitud entre los párpados (en cm) de 19 individuos y sepresentan los resultados en la Tabla 1.7.

a) Determinen el ajuste lineal de mínimos cuadrados correspondiente.b) ¿Qué unidades corresponden a la pendiente y a la ordenada al origen del modelo

encontrado?c) Según el modelo lineal encontrado, ¿qué amplitud entre párpados se espera para un

individuo cuya superficie ocular es de 1 cm2?�

Ejercicio 1.7 Para un gas que se mantiene a volumen constante, la presión P dependelinealmente de la tempertura T . Luego, podemos escribir la ecuación

P = kT + b,

para algunas constantes k y b.a) Supongamos que se corre un experimento y se encuentra que cuando T = 0◦C,la

presión P = 760 mm de Hg. Y que cuando T = 100◦C, la presión P = 1040 mmde Hg. Encuentren las constantes k y b para la ecuación anterior (indicando susunidades).

b) El cero absoluto puede aproximarse encontrando dónde la presión es P = 0. Encuentrenla temperatura en ◦C para el cero absoluto a partir del item anterior.

�

2. Funciones numéricas.

“Los músculos de las matemáticas se conectan con el esqueleto de las cienciasexperimentales mediante los tendones de la modelación matemática.”

Glenn Ledder

Este módulo pretende desarrollar la capacidad de interpretar y usar información presentadaen una variedad de formas familiares, matemáticas y no matemáticas. Como hemos mencionadoanteriormente, el cálculo diferencial e integral estudia los procesos en los que hay cantidadesnuméricas que cambian a medida que otras cantidades también lo hacen. La herramientafundamental para ello serán las funciones numéricas.

El aprendizaje de las funciones numéricas requiere:Conocer las distintas formas de representación de las funciones numéricas.Leer e interpretar la información que tiene cada una de ellas.Traducir la información de una forma de representación en otra.Identificar las fortalezas y las debilidades de cada forma de representación.

Funciones numéricas

Representaciónverbal

Representacióngráfica

Representaciónen tabla.

Representaciónalgebraica

Figura 2.1: Las 4 formas usadasusualmente para representar a lasfunciones numéricas.

En este módulo formalizaremos la definición de función numérica en la matemáticadetallando sus elementos más fundamentales: variable independiente, variable dependiente,regla de asignación, dominio, codominio e imagen. También algunas de sus propiedadesprincipales como crecimiento, decrecimiento, valores máximos y valores mínimos.

2.1 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas.Hemos visto ya algunos ejemplos en donde construimos modelos matemáticos definiendo

funciones que relacionen dos cantidades mensurables.La fórmula que relaciona la temperatura en grados ◦F en función de la temperatura engrados ◦C.El perímetro de una circunferencia como función de su diámetro.Los modelos lineales construidos según el método de mínimos cuadrados.

Definición 2.1.1 — Definición de función.Una función es una ley de asignación que a cada elemento x de un conjunto A le hace

corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.

Se escribe: f : A→ B

A B

x y

f

f

y = f (x)

x

f

f (x)

Materiaprima

Aquí se realizala operación

Resultado

Figura 2.2: Representación de unafunción como una máquina que re-cibe materia prima, opera y luegodevuelve un resultado.

En este caso, f es el nombre de la función.El conjunto A se denomina dominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable independiente.

A = Dominio de f = Dom( f )

El conjunto B se denomina codominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable dependiente.Así, x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente.En nuestro curso, los conjuntos A y B siempre se referirán a conjuntos numéricos.

2 Capítulo 2. Funciones numéricas.

C Cuando escribimos y = f (x) decimos que y es el valor de la función f cuando laevaluamos en x.

y = f (x)

y es f evaluada en x

y es f de x

y es la imagen de x mediante la función f

Que f sea una función significa que no puede existir un elemento de A sin su correspondienteelemento en B, y que a cada elemento de A no le puede corresponder más de un elemento deB como resultado.

C Una de las dificultades en la simbolización matemática es que muchas veces se usanlos mismos símbolos pero para cosas distintas. El uso de los paréntesis es un ejemplo.

Uso de paréntesisEl uso de paréntesis en la notación de función es muy especial para las funciones. Hay que

tener especial cuidado y no confundirlo con una multiplicación. Cuando escribimos

f (x)

no debe entenderse como si fuera

f .(x) ni f × (x)

.El símbolo dentro de los paréntesis es siempre la variable independiente, un miembro del

dominio, y f (x) es un valor de la variable dependiente, un miembro del codominio.

Algunos ejemplos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 2.1: Repaso de algunos ejem-plos de notación de intervalos paralos conjuntos numéricos.

� Ejemplo 2.1 La Figura 2.3 muestra el gráfico de un electrocardiograma (EGG). El EGGmide el potencial eléctrico V (medido en milivolts) en una cierta dirección (hacia elelectrodo positivo de un cable) correspondiente a una parte particular del corazóncomo una función del tiempo (en segundos). Para un valor del tiempo t dado, el gráficonos proporciona un valor correspondiente de V .

Figura 2.3: Electrocardiograma

�

2.1 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 3

2.1.1 Dominio natural de una función numérica.El dominio de una función está determinado por motivos de 3 categorías:

Motivos relacionados con el contexto.El sistema real en estudio impone restricciones sobre las variables.Si l representa una longitud, el área o el volumen de un objeto entonces no puede sercero ni tomar valores negativos.Si P representa la población de la Argentina entonces debe ser un número natural; laparte decimal no puede ser distinta de cero.Hay una temperatura teórica que es la más baja posible. Dependiendo del sistemade medición utilizado corresponde a 0 grados Kelvin, −273.15 grados centígrados o−459.67 grados Farenheit. De modo que, si T es la temperatura de un sistema en gradoscentígrados entonces debe cumplirse que

−273.15 < T

Motivos relacionados con limitaciones matemáticas.Momentáneamente tomaremos como restricciones matemáticas dos operaciones que no

se pueden realizar en los números reales.No está permitida la división por cero. Expresiones como

10

x0

00

no están definidas ni se aceptan como válidas.No está permitido calcular raíces cuadradas o raíces de orden par a números negativos.Por ejemplo, las siguientes expresiones no son válidas

√−1 4√

−33 +√−2

8

Motivos arbitrarios que decide cada persona.Cada persona puede imponer una restricción sobre el dominio de una función por algún

motivo que considere importante o por puro antojo. La decisión de estudiar la altura de niños yniñas para edades entre 4 y 16 años es una decisión del investigador. O sin motivo alguno, sepuede decidir estudiar la función

S(r) = π r2 en el intervalo (2, 5].

Dominio natural de una función numérica.Definición 2.1.2 — Dominio natural de una función numérica.

Dada una función f representada por medio de una expresión matemática, llamamosdominio natural de f al mayor conjunto de números reales tales que la fórmula permitacalcular un resultado real. Si el codominio no está indicado, asumimos que es R.

� Ejemplo 2.2 El dominio natural de f (x) = x3 son todos los reales ya que no hay dificultadesen calcular x3. Algunos de sus valores son:

f (0) = 0 f (−2) = (−2)3 = −8 f(12

)=

(12

)3=

18

�


� Ejemplo 2.3 El dominio natural de g(x) =√

x es el intervalo [0,+∞). Algunos de susvalores son:

g(0) = 0 g(9) =√

9 = 3

�

2.2 Imagen de una función numérica.

La variable dependiente de una función no siempre toma todos los valores del codominiodeclarado. Por ejemplo, la función f : [0,+∞) → R dada por f (x) =

√x no toma nunca

valores negativos.

Definición 2.2.1 — Imagen de una función numérica. Se llama imagen de una función alconjunto de todos los valores efectivamente alcanzados por la función. Dada una funciónf : A→ B, se llama imagen de f al conjunto de elementos de B que son el resultado def (x) para algún elemento x de A. Se suele notar Im( f ) o f (A). En notación de conjuntos,se define

Im( f ) = { f (x) : x ∈ A}

C Calcular la imagen de una función no es una tarea trivial. Por ejemplo, para f (x) = x2

tenemos que Im( f ) = [0,+∞) porque los resultados de x2 pueden ser arbitrariamentegrandes pero no pueden ser negativos. Sin embargo, calcular la imagen de la funcióng(x) = x4 − 3x2 + x ya no es una tarea tan sencilla (más adelante, aprenderemosherramientas que nos permitirán hallarla).

2.3 Gráfica de una función numérica.

Si f es una función con Dom( f ) = A entonces la gráfica de f está compuesta por puntosdel plano coordenado de la forma

(x, f (x)) .

Los pares ordenados son pares de entrada-salida. En otras palabras, la gráfica de f estáformada por todos los puntos (x, y) del plano coordenado tales que y = f (x) para x ∈ Dom( f ).

Por ejemplo, si consideramos la función f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1 entonces elpunto (3, 5) pertenece a la gráfica porque x = 3 pertenece al dominio de la función y f (3) = 5.Sin embargo, el punto (2, 5) no lo está porque f (2) , 5.

La gráfica de una función también nos permite tener información del dominio (sobre el ejehorizontal) y la imagen (sobre el eje vertical) como indica la Figura 2.4.

2.4 Prueba de la recta vertical. 5

(a) El punto (x, f (x)) ubicado en la gráfica de lafunción.

(b) Dominio e imagen de una función representadosen los ejes cartesianos.

Figura 2.4: Gráfica de la función, dominio e imagen

Actividad 2.1 En la Figura 2.5 se muestra la gráfica de una función g.1. Determinen los valores de g(1) y g(5).2. Determinen el dominio y la imagen de g.

�

Figura 2.5: Gráfica de la función g.

Ya vieron anteriormente como hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntospor donde pasa, un punto y la pendiente ó la pendiente y la ordenada al origen, llegando arepresentar sus gráficas o reconocerlas por su aspecto. En base a lo que saben sobre gráficas derectas, realicen las siguientes actividades.

Actividad 2.2 Tracen una gráfica y encuentren el dominio e imagen de cada función

a) f (x) = 5x + 1 b) g(x) = x − 1 con x ≥ 2�

Actividad 2.3 Determinen el dominio natural de las siguientes funciones. Escríbanlo enpalabras y con la notación de intervalos.

a) f (x) =√

2x − 1 b) g(x) =1

x2 + x

c) h(x) =x2 + 1x3 + 1

d) r(x) =3√

x2 − 2

e) m(x) =3 + 1

x

x + 1f ) R(x) =

√4 − 3x

g) q(x) =1x+√

4 − 3x h) w(x) =1x+

x3x − 4 + x2

�

2.4 Prueba de la recta vertical.Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical

se interseca con las curva más de una vez.

En la Figura 2.6 se puede ver que si cada recta vertical x = a interseca a la curva sólo unavez, en el punto (a, b), entonces se tiene que f (a) = b. Pero si una recta x = a se interseca conla curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar la gráfica de unafunción, porque no puede asignar dos valores diferentes a a.


Figura 2.6: Dos ejemplos que representan la regla de la recta vertical.

� Ejemplo 2.4 La curva de ecuación x = y2 − 2 que aparece en la Figura 2.7, no es la gráficade una función de x porque como podemos ver, existen muchas rectas verticales queintersecan dos veces a esa curva. Sin embargo, sí contiene las gráficas de dos funcionesde x, f (x) = +

√x + 2 y g(x) = −

√x + 2 (parte superior e inferior de la curva) como

se representa en las Figuras ?? y ??. �

(a) x = y2 − 2 (b) y =√

x + 2 (c) y = −√

x + 2

Figura 2.7: Gráficas de la curva x = y2 − 2 y las dos funciones f (x) = +√

x + 2 y g(x) = −√

x + 2

2.5 Funciones definidas por partes.

Hay funciones que se definen empleando distintas fórmulas en diferentes partes de susdominios.

Actividad 2.4 Calculen f (0), f (1) y f (3) y realicen la gráfica de f para

f (x) =

2 − x si x ≤ 1

x + 3 si x > 1

�

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.8: Gráfica de la función f .

Actividad 2.5 Encuentren una fórmula para la función f cuya gráfica se da en la Figura 2.8.Indiquen su dominio e imagen. �

2.6 Funciones crecientes y decrecientes. 7

Actividad 2.6 Decididan cual de las siguientes ecuaciones define a y como función de x

a) x + y = 1 b) x2 + y2 = 4 c) y4 + x = 2�

Figura 2.9: Cuatro gráficas para de-cidir si son funciones.

Actividad 2.7 Determinen, en cada caso de la Figura 2.9, si la curva es la gráfica de unafunción de la variable x. Si lo es, establezcan su dominio e imagen.

�

2.6 Funciones crecientes y decrecientes.En la Figura 2.10 se muestra el gráfico de una función f que se eleva y luego comienza a

descender. Expresaremos en forma algebraica el comportamiento creciente o decreciente dela función considerando el sentido u orientación que tienen los ejes cartesianos.

El eje x tiene una orientación de izquierda a derecha. La relación x1 < x2 equivale a quex1 está ubicado a la izquierda de x2 sobre el eje x.El eje y tiene una orientación de abajo hacia arriba. La relación y1 < y2 equivale a quey1 está ubicado debajo de y2.

Definición 2.6.1 — Funciones crecientes y decrecientes.Una función f es creciente en un intervalo I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2)

Y se dice que es decreciente en I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2)

Figura 2.10: Gráfica de una función con sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Figura 2.11: Gráfica de la funciónf (x) = x2.

� Ejemplo 2.5 La gráfica de la función f (x) = x2 que se encuentra en la Figura 2.11. Podemosver que es decreciente en el intervalo (−∞, 0] y creciente en intervalo [0,+∞). �


Actividad 2.8 Observen las gráficas de las funciones f y g que se encuentran en la Figura2.12.

a) Indiquen el dominio y la imagen para f y para g.b) Calculen f (−4) y g(3).c) ¿Para qué valores de x resulta f (x) = g(x)?d) Estimen el/los valores de x tales que f (x) = 1.e) Indiquen el intervalo donde la función f es creciente.

�

Figura 2.12: Gráficas de las funcio-nes f y g.

2.7 Valores máximos y valores mínimos.Los valoresmáximos ymínimos de una función son de interés porque marcan situaciones

extremas en el evento que se estudia. Por ejemplo, en la Figura 2.13 se tomó una porción delritmo cardíaco según un EGG y se observa que el potencial eléctrico aumenta y disminuyereiteradas veces, en el punto R se encuentra el punto más alto de la gráfica y en el punto S elpunto más bajo.

El punto R tiene coordenadas (0.22, 1) y el punto S tiene coordenadas (0.25,−0.11). Demodo que

P(0.22 s) = 1 milivolts y P(0.25 s) = −0.26 milivolts

El valor más grande que se registra es 1 milivolts a los 0.22 segundos. El valor más bajoque se registra es −0.26 milivolts a los 0.25 segundos.

Figura 2.13: Porción del ritmo cardíaco determinado por un EGG.

Definición 2.7.1 — Valores máximos y mínimos absolutos.Sean c y d dos números en el dominio de la función f .Entonces f (c) es elvalor máximo absoluto de f si f (c) ≥ f (x) para todo x en el dominio de f .

Y f (d) es elvalor mínimo absoluto de f si f (d) ≤ f (x) para todo x en el dominio de f .

El valor máximo o mínimo absoluto es llamado también valor máximo o mínimoglobal; o, en forma genérica, valores extremos globales.

En la misma porción del ritmo cardíaco se observa que hay otros picos y valles en lagráfica que no son tan altos como R ni tan bajos como S pero que el cardiólogo toma como

2.8 Ejercitación. 9

interés. En la Figura 2.14 quedan marcados los puntos R, P y T como ejemplos de picos y lospuntos S y Q como ejemplos de valles. Hay otros más pero por simplicidad no los marcamos.

Figura 2.14: Valles y picos en la gráfica correspondiente al EEG.

Definición 2.7.2 El número f (c) es unvalor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cercano a c.valor mínimo local de f si f (c) ≤ f (x) cuando x está cercano a c.

Los valores máximos y mínimos locales también suelen llamarse valores máximoso mínimos relativos; o, en forma genérica, valores extremos locales.

Figura 2.15: Gráfica de f (x) = x2.

Actividad 2.9 Consideren que la separación de la grilla de la Figura 2.14 correspondehorizontalmente a 0.05 segundos y verticalmente a 0.24 milivolts.

Determinen los valores extremos locales. Indiquen también el tiempo (en segundos)para los cuales se alcanzan esos valores extremos locales.

�

� Ejemplo 2.6 En las Figuras 2.15 y 2.16 se encuentran las gráficas de las funciones f (x) = x2

y g(x) = x3, respectivamente. Observen que f (0) = 0 es el mínimo absoluto (y local)de f porque f (x) ≥ f (0) para todo x en el dominio de f . Sin embargo, no existeningún punto que sea el más alto de la parábola, por lo que f no tiene máximo absoluto.En el caso de la función cúbica g vemos que no tiene ni máximo ni mínimo absoluto.Y tampoco tiene valores extremos locales. � Figura 2.16: Gráfica de g(x) = x3.

2.8 Ejercitación.

Figura 2.17: Temperatura promedio globalen función del tiempo

Ejercicio 2.1 En la Figura 2.17 se muestra el gráfico de la temperatura global promedio Tdurante el siglo XX.

a) ¿Cuál fue la temperatura global promedio en el año 1950?b) ¿En qué año la temperatura promedio fue de 14, 2◦C?c) ¿En qué año se produjo la temperatura más baja? ¿Y la más alta?


d) Estimen la imagen de T .�

Ejercicio 2.2 Un esófago saludable tiene un pH aproximado de 7.0. Cuando ocurre un reflujoácido, el ácido del estómago (que tiene un pH que va desde 1.0 a 3.0) fluye hacia atrásdesde el estómago hacia el esófago. Cuando el pH del esófago es menor que 4.0, el episodiorecibe el nombre de reflujo ácido clínico y puede causar úlceras y dañar el revestimientodel esófago. El gráfico de la Figura 2.18 muestra el pH del esófago para un paciente conreflujo ácido que se encuentra dormido. ¿Durante qué intervalo de tiempo se considera queel paciente tiene un episodio de reflujo ácido clínico? �

Figura 2.18: pH del esófago para un pa-ciente con reflujo ácido.

Ejercicio 2.3 La Figura 2.19 muestra los pesos corporales promedios de renacuajos criadosen diferentes densidades. La función f muestra el peso corporal cuando la densidad es de10 renacuajos/L. Para las funciones g y h, las densidades son de 80 y 160 renacuajos/L,respectivamente. ¿Qué información le brindan estos gráfico sobre el efecto de hacinamiento?�

Figura 2.19: Peso corporal promedio derenacuajos en diferentes densidades.

Ejercicio 2.4 Las regiones tropicales se caracterizan por tener muchas precipitaciones eintensa luz solar y tienen temporadas de crecimiento más largas que las regiones másalejadas del ecuador. Como resultado de esto, las regiones tropicales poseen una mayorriqueza de especies, es decir, un mayor número de especies. El gráfico 2.20 muestra cómovaría el número de hormigas con respecto a la latitud.

a) ¿Cuántas especies esperarían encontrar a los 30◦S? ¿Y a los 20◦N?b) Si en un lugar determinado encuentran unas 100 especies de hormigas, ¿en qué latitud

aproximada estarían?�

Figura 2.20: Número de especies de hor-migas según la latitud.

Ejercicio 2.5 Den tres ejemplos de funciones que aparezcan en la vida diaria que puedan serdescriptos verbalmente. Los ejemplos deben contemplar la descripción del dominio y de laimagen de las funciones. Acompañar las descripciones con un gráfico para cada función. �

Ejercicio 2.6 Determinen el dominio natural de cada función:

a) f (x) =2x + 1

x2 − x + 1b) g(x) =

3√xx2 + 1

c) h(x) =√

4 − x�

Ejercicio 2.7 Consideren la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x.a) ¿Cuál es su dominio natural?b) Calculen f (0), f (1), f (−1).c) ¿Para qué valores de x se cumple que f (x) = 0?

�

Ejercicio 2.8 Hallen, en forma analítica, la intersección entre las gráficas de los siguientespares de funciones. �

f (x) = 2x2

g(x) = 3x + 9

f (x) =

32

x2 − x

g(x) =32

x2 − x + 2

f (x) = x2 + 6x + 9

g(x) = −12

x2 − 1

3. Funciones numéricas. Segunda parte.

“La ciencia no tiene patria. Pero el hombre que hace ciencia sí la tiene”.Bernardo Houssay (1887 - 1971)

En el Módulo 1 trabajamos principalmente con modelos lineales y en cómo encontrar elmejor modelo lineal para un conjunto de datos experimentales. En el Módulo 2 desarrollamosla definición de función con sus elementos principales y sus propiedades de crecimiento,decrecimiento, máximos y mínimos. Los problemas biológicos o químicos raramente sonlineales y es por eso que en este Módulo comenzaremos con el estudio de otras funciones.

3.1 Funciones cuadráticas.3.1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.

La bacteria Escherichia coli, que abreviaremos E. coli, es capaz de reproducirse muyrápidamente. Bajo condiciones ideales de crecimiento, puede dividirse cada 20 minutos.Esta capacidad de duplicación está acompañada por la velocidad en la que las células logransintetizar el mRNA durante la transcripción. Estudiaremos la relación que existe entre lavelocidad con la que se producen los diferentes componentes interiores de cada célula y eltiempo que tardan en duplicarse.

La bacteria E. coli es uno de los or-ganismos patógenos más relevantesen el humano, tanto en la produc-ción de infecciones gastrointestina-les como de otros sistemas (urinario,sanguíneo, nervioso). Fue descritapor primera vez en 1885 por Theodo-re von Escherich, bacteriólogo ale-mán, quien la denominó Bacteriumcoli commune. Posteriormente la ta-xonomía le adjudicó el nombre deEscherichia coli, en honor a su des-cubridor.

El ADN brinda el código genético para todas las proteínas que se usan directa o indirecta-mente en todos los aspectos del crecimiento, mantenimiento y reproducción de las células. Lasíntesis de proteínas se organiza en dos procesos: transcripción y traducción. Ver Figura 3.1.

Figura 3.1: Procesos de transcripción y traducción en la síntesis del ADN.

Transcripción:La transcripción de un gen bacterial está controlada por una secuencia de pasos donde

la proteína RNA polimerasa lee el código genético y produce un mensaje complementariomRNA a modo de plantilla o molde. Este mRNA es un boceto con una corta vida útil y sirvepara producir una proteína específica de la célula bacteriana.

Traducción:La traducción del mRNA en una bacteria comienza rápidamente luego de la transcripción.

Los ribosomas leen el mRNA y ensamblan secuencialmente una serie de aminoácidos (basadosen los elementos específicos leídos) para formar un polipéptido. Se cree que ciertas propiedades

2 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

físicas en los átomos hacen que estos polipéptidos se pliegen formando estructuras terciariasque crean proteínas activas; y frecuentemente estas estructuras terciarias se combinan conotros elementos para producir otras proteínas o enzimas.

µ r

0.6 4.31 9.11.5 132 192.5 23

Tabla 3.1: Datos para la cantidad µ de dupli-caciones por hora y la velocidad de síntesis delmRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.

Diferentes tiempos de duplicación celular hacen variar la velocidad de producción delos componentes internos de la célula. En la Tabla 3.1 se muestran datos que relacionan lacantidad de duplicaciones que realiza una bacteria en una hora (medido en duplicaciones/hs)que denominaremos µ, y la velocidad de síntesis de mRNA se determina por r × 105

nucleótidos/minuto/célula. En la Figura 3.2 se muestran los datos correspondientes de la tabla.

0.5 1 1.5 2 2.5

5

10

15

20

µ (duplicaciones/hora)

r(nucleóticos/m

inuto/célula×

105 )

Figura 3.2: Gráfico para la cantidad µ de duplicaciones por hora y la velocidad de síntesis delmRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.

Nos proponemos determinar un modelo lineal que ajuste los datos de la Tabla 3.1mediantemínimos cuadrados.

r = mµ + b (3.1)

Actividad 3.1a) ¿Están los datos alineados? En caso afirmativo, determinen la ecuación de la recta

correspodiente. En caso negativo, justifiquen analíticamente.b) De manera similar a la que trabajaron en el Módulo 1, utilicen el Desmos para

realizar el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados.c) ¿Qué valor de r corresponde a µ = 0 duplicaciones por hora? ¿Cuál debería ser el

valor razonable esperable para r en este caso?�

Según el modelo de ajuste lineal por mínimos cuadrados la ordenada al origen encontradaresulta ser b ≈ −1.28 × 105 nucleótidos por minuto por célula. Que no es acorde al sistemareal dado que la síntesis del mRNA se produce en el proceso de división celular.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

10

20

30

Figura 3.3: Modelos r = mµ paraajustar los datos de la Tabla 3.1.

Realizaremos entonces un ajuste lineal con mínimos cuadrados pero imponiendo lacondición de b = 0 en la ecuación 3.1 quedando

r = mµ (3.2)

lo que haría que sólo necesitemos encontrar el valor de la pendiente m.

3.1 Funciones cuadráticas. 3

Actividad 3.2a) Escriban la expresión que permite calcular el error cuadráticomedioECMasociado

al modelo 3.2 y los datos de la Tabla 3.1. La expresión del ECM deberá quedarexpresada en términos de la variable m: ECM(m).

b) Calculen el ECM para valores de m = 8, m = 9, m = 10.c) ¿Es posible calcular m para conseguir el valor mínimo absoluto del ECM?

�

En forma resumida y simplificada, la expresión del error cuadrático medio en funciónde la pendiente m debería haberles quedado como

E MC(m) = 15

(13.86m2 − 253.36m + 1160.3

)(3.3)

La función 3.3 es una función cuadrática; tiene la forma de polinomio de segundo grado.Estudiaremos ahora las funciones cuadráticas cuya representación gráfica es una parábola.

3.1.2 Funciones cuadráticas.

El dominio de las funciones cuadráticas son todos los números reales. Su forma general es

f : R→ R f (x) = ax2 + bx + c (3.4)

donde los valores a, b y c se denominan coeficientes. El coeficiente a, denominado coeficienteprincipal debe ser distinto de cero (puede ser negativo o positivo).

La gráfica de una función cuadrática es una parábola con forma de ∪ o con forma de ∩según sea el signo del coeficiente principal a.

a = 1a = 1

2a = 1.5

(a) Con coeficiente a > 0.

a = −1

a = − 12

a = −1.5

(b) Con coeficiente a < 0.

Figura 3.4: Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas f (x) = ax2 + bx + c según el signo del coeficiente principal.

Un elemento principal en las parábolas es su vértice que se corresponde con el máximoabsoluto (en el caso que a < 0) o mínimo absoluto (en el caso que a > 0). Las coordenadasdel vértice pueden encontrarse completando cuadrados en la expresión 3.4


f (x) = ax2 + bx + c = a(x2 +

ba

x +ca

)=

= a

[x2 +

ba

x +(

b2a

)2−

(b

2a

)2+

ca

]= a

[(x +

b2a

)2−

b2

4a2 +ca

]= a

(x +

b2a

)2+

4ac − b2

4a

Las coordenadas del vértice serán V =(−

b2a,

4ac − b2

4a

).

También son importantes las intersecciones con los ejes coordenados:

Con el eje x:Calculamos las intersecciones con el eje x resolviendo la ecuación

f (x) = 0

ax2 + bx + c = 0

Esta ecuación tendrá 0, 1 o 2 soluciones reales según el signo del discriminante b2 − 4ac.Si b2 − 4ac < 0: no hay soluciones reales. Por lo tanto la gráfica de la función f nointersecta al eje x.Si b2 − 4ac = 0: hay una única solución real dada por

x1 =−b2a

La intersección es el punto (x1, 0).

Si b2 − 4ac > 0: hay dos soluciones reales distintas dadas por

x1 =−b +

√b2 − 4ac2a

x2 =−b −

√b2 − 4ac2a

.

Las intersecciones son los puntos (x1, 0) y (x2, 0).Los valores x1 y x2 se denominanraíces de la función f .

Con el eje y:Lo que usualmente se denomina ordenada al origen. La calculamos evaluando

f (0) = a02 + b0 + c = c.

La intersección con el eje y está dada por el punto (0, c).

� Ejemplo 3.1 La función cuadrátrica f (x) = x2 + 2x − 3 tiene una gráfica parabólica cuyovértice se encuentra en el punto

V =(−

b2a,

4ac − b2

4a

)=

(−

22,4(−3) − 4

4

)= (−1,−4)

Corresponde a un mínimo absoluto porque a = 1 es positivo.Dado que el discriminante b2 − 4ac = 4 − 4(−3) = 16 es positivo se tienen dos

intersecciones con el eje x. Las raíces son

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac2a

=−2 ±

√16

2⇒ x1 = 1 x2 = −3

3.2 Funciones polinomiales. 5

Las intersecciones con el eje x son (−3, 0) y (1, 0). Por otro lado, la interseccióncon el eje y es (0,−3). La gráfica de la función se presenta en la Figura 3.5.

�

−4 −3 −2 −1 1 2

−4

−2

2

4

6

0

Vértice

Figura 3.5: Gráfica de f (x) = x2 + 2x − 3y sus elementos principales.

Actividad 3.3 Determinen los elementos de las siguientes funciones cuadráticas y realicensus gráficas.

a) f (x) = −x2 + x + 2 b) g(x) = x2 + 23 c) h(x) = 2x2 − 12x + 18

�

Actividad 3.4 Determinen el valor de m para el valor mínimo absoluto del ECM(m) en elestudio de síntesis de mRNA. ¿Cuál es el modelo lineal resultante en este caso que ajustalos datos de la Tabla 3.1 mediante mínimos cuadrados?

�

3.2 Funciones polinomiales.En el desarrollo del estudio de la velocidad en la síntesis de mRNA hemos recurrido a las

funciones cuadráticas porque buscamos encontrar el mínimo absoluto de la función ECM(m)al intentar hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados de la forma r = mµ.

Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son casos particulares de las funcionespolinomiales: aquellas que tiene su forma algebraica como un polinomio respecto a la variableindependiente.

Definición 3.2.1 — Funciones polinomiales. Para n un entero positivo o cero, una funciónpolinomial de grado n es una función definida por una ecuación de la forma

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,

donde los números ai son números constantes llamados coeficientes de P. El coeficienteprincipal an debe ser distinto de 0.

Se dice que el polinomio nulo P(x) = 0 no tiene grado.

El dominio de una función polinomial es todo R.

Las funciones polinomiales permitirán construir modelos para situaciones reales donde losmodelos lineales no sean adecuados.

a0

Figura 3.6: Gráfica de P(x) = a0 (funciónconstante).

� Ejemplo 3.2 Las funciones polinomiales de grado 0 tienen la forma general

P(x) = a0 donde a0 es un número constante

Por lo tanto su gráfica, ver Figura 3.6, es una recta con pendiente 0 (recta horizontal)y ordenada al origen a0.

Ejemplos

f (x) = 3 g(x) = −1 h(x) = π

�

� Ejemplo 3.3 Las funciones lineales se corresponden con funciones polinómicas de grado 1.Las funciones cuadráticas se corresponden con funciones polinómicas de grado 2. �


� Ejemplo 3.4 Para estudiar en forma general las funciones polinómicas de cualquier grado setoma como punto de partida el estudio de funciones polinomiales con un único término(el asociado al coeficiente principal). Son las funciones de la forma

P(x) = xn

que se clasificarán en 2 grupos: las que corresponde a grado n par y las que correspondena grado n impar.

En las Figuras 3.7 y 3.8 se presentan varios ejemplos.�

1−1

1

(a) Con grado n = 2.

1−1

1

(b) Con grado n = 4.

1−1

1

(c) Con grado n = 6.

1−1

1

(d) Con grado n = 8.

Figura 3.7: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número par.

1

1

(a) Con grado n = 1.

1

1

(b) Con grado n = 3.

1

1

(c) Con grado n = 5.

1

1

(d) Con grado n = 7.

Figura 3.8: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número impar.

Actividad 3.5 Determinen la imagen de las funciones f (x) = xn según sea grado n par oimpar. �

Las funciones polinómicas se usan frecuentemente en modelado como un medio paraajustar datos complicados. Las curvas polinómicas ajustan bastante bien a los datos y producenmodelos sencillos y simples que permiten interpretar los datos y construir predicciones sobrecómo se comportarán los experimentos. Existen muy buenas rutinas o algoritmos que permitenajustar por medio de mínimos cuadrados usando modelos polinomiales.

Sin embargo, pese a sus buenas propiedades de comportamiento, aparecen dificultades entérminos algebraicos. Por ejemplo, determinar las raíces de una función polinómica puede serdifícil de realizar para grados de n > 2; y sólo en casos muy especiales para grados n > 4.En general, conocemos la fórmula de Baskara para ecuaciones cuadráticas; pero muy pocos

3.3 Funciones racionales. 7

conocen la fórmula para trabajar con ecuaciones de grado tres o cuatro (a pesar que existen).

Actividad 3.6 Determinen las raíces de las siguientes funciones polinomiales:a) f (x) = x3 − 3x2 − 10x b) g(x) = x6 − 64 c) h(x) = x4 − 5x2 + 4

�

3.3 Funciones racionales.El siguiente paso para ampliar el conjunto de funciones con las que trabajaremos es definir

las funciones racionales:

Definición 3.3.1 — Función racional. Una función racional f es el cociente entre dos polino-mios. La forma general es

f (x) =P(x)Q(x)

donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.

El dominio de f está determinado por aquellos números reales para los cuales Q(x) , 0

Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) , 0} .

3.3.1 Funciones f (x) = x−n (tomando n un número entero positivo)Como casos particulares sencillos se tienen las funciones racionales de la forma

f (x) =1xn

siendo n algún número natural. Por ejemplo, las funciones

f (x) =1x

g(x) =1x2 h(x) =

1x3 r(x) =

1x4

La gráfica de la función f (x) =1x

forma una curva en el plano denomi-nada hipérbola.

En todos los casos, el dominio natural de estas funciones es (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupocorrespondiente a n impar. Ver las Figuras 3.9a y 3.9b donde se presentan los ejemplos

f (x) =1xy g(x) =

1x2 .

y =1x

(a) Con n = 1.

y =1x2

(b) Con n = 2.

Figura 3.9: Funciones f (x) = x−1 y g(x) = x−2.


Como se observa en las gráficas, estas funciones tienen dos comportamientos asintóticos.Cuando desarrollemos las ideas delímite de una función volveremos so-bre estos asuntos de comportamien-to asintótico. Por ahora presentamoslas funciones con sus gráficas parapoder identificarlas.

Asíntota vertical:La gráfica de la función es asintótica a la recta vertical x = 0. Tanto del lado de los valores

de x cercanos a cero y positivos, como los valores de x cercanos a cero y negativos.

Asíntota horizontal:La gráfica de la función es asintótica a la recta horizontal y = 0. Tanto para valores

grandes de x y positivos como para valores grandes de x y negativos.

3.3.2 Función homográfica.Otros ejemplos particulares e importantes de funciones racionales son las funciones

denominadas funciones homográficas.

Definición 3.3.2 Una función homográfica f es el cociente de dos funciones lineales. Laforma general es

f (x) =ax + bcx + d

donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.Si c = 0 entonces su dominio natural es todo R.Si c , 0 entonces su dominio natural es el conjunto

{x ∈ R : x , − d

c

}.

Si fuera el caso que ad − bc = 0la función se reduce a una funciónconstante.

Para c = 0, se trata de una función lineal por lo que su gráfica será una recta.

Para c , 0 la gráfica será una hipérbola similar a la gráfica de la función g(x) = 1x

Tendrá a la recta vertical x = −dccomo asíntota vertical.

Tendrá a la recta horizontal en y =accomo asíntota horizontal.

Una vez determinados los elementos anteriores falta averiguar cómo será la orientaciónde las ramas de la hipérbola. Ver Figuras 3.10. Una manera de averiguar cuál de las dosopciones corresponde puede ser evaluando la función en algún valor cualquiera x deldominio.

Figura 3.10: Las dos opciones posibles de orientación de las ramas de la hipérbola.

x = 12

y = 1

−1

Figura 3.11: Función f (x) =2x + 12x − 1

.

� Ejemplo 3.5 La función f (x) =2x + 12x − 1

es una función homográfica.

Su dominio natural es R −{ 1

2}.

La recta y = 1 es la asíntota horizontal y la recta x = 12 es la asíntota vertical. Por

último, evaluamos f (0) = −1�

3.4 Funciones radicales. 9

Actividad 3.7 Realicen las gráficas de las siguientes funciones identificando sus elementosprincipales (asíntotas y orientación de las ramas de la hipérbola).

a) f (x) =−x + 2x − 3

b) g(x) =10x

2 + x�

Actividad 3.8 Determinen una función homográfica que tenga asíntota vertical en la rectax = 0 y asíntota horizontal en la recta y = 2. �

3.4 Funciones radicales.Por último, consideraremos las funciones radicales que son aquellas de la forma

f (x) =√

x g(x) = 3√x h(x) = 8√x

f (x) =√

x

Figura 3.12: Gráfica de f (x) =√

x.

f (x) = 3√x

Figura 3.13: Gráfica de g(x) = 3√x.

Definición 3.4.1 — Funciones radicales. La forma general de las funciones radicales es

f (x) = n√

x = x1/n Para n un número entero positivo.

El dominio natural correspondiente depende del valor de n.Si n es par entonces el dominio natural es [0,+∞).Si n es impar entonces el dominio natural es todo R.

Considerando que y = x1/n es equivalente a yn = x (para valores de x ≥ 0) podemosutilizar los desarrollos del Ejemplo 3.4 para proponer las gráficas de estas nuevas funciones.Ver los Ejemplos f (x) =

√x y g(x) = 3√x en las Figuras 3.12 y 3.13.

3.5 Composición de funciones.Consideraremos ahora una forma muy importante de combinar funciones para obtener

una nueva función. Por ejemplo, si consideramos las funciones f (x) =√

x y g(x) = x2 + 1, sepuede definir una nueva función h como,

h(x) = f (g(x)) = f(x2 + 1

)=

√x2 + 1

La función h está compuesta por las funciones f y g de una manera interesante:

Se forma una cadena que agarra primero el valor x para calcular el valor g(x); y luego, eseresultado, se usa para calcular el valor f (g(x))

x g(x) f (g(x))g f

La función h(x) es una función compuesta por las funciones g y f en forma de cadena.

x g(x) f (g(x))g f

h


Definición 3.5.1—Composición de funciones. Si f y g son dos funciones numéricas entoncesse puede realizar la composición de g con f formando una nueva función h de la forma

h(x) = f (g(x))

El dominio natural de la función h está determinado por los números x que están en eldominio de g y tales que g(x) pertenece al dominio de f . Simbólicamente queda

Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}

La composición h se escribe f ◦ g.

C Cuando escribimos f ◦ g estamos pensando que primero usamos la función g y luegousamos la función f .

( f ◦ g)(x) = f ( g(x) ).

Se lee f ◦ g = “g compuesta con f " (se lee al revés de cómo se escribe).Reiteramos, comenzamos con un x en el dominio de g y calculamos g(x). Si este númerog(x) está en el dominio de f , entonces calculamos el valor f (g(x)). Por eso decimosque el dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x)está en el dominio de f .

xEntrada

g

g(x)

f

f (g(x))Salida

f ◦ g

Figura 3.14: Composión f ◦ g.

� Ejemplo 3.6 La función h(x) =√

x4 + 2 resulta ser la composición de las funcionesf (x) =

√x y g(x) = x4 + 2.

Sabiendo que Dom( f ) = [0,+∞) y Dom(g) = R podemos calcular el dominio de hplanteando

Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}

={

x ∈ R : x4 + 2 ≥ 0}= R

El dominio de h son todos los números reales. �

La actividad de la derecha permiteconcluir que la composición de fun-ciones no cumple la ley conmutati-va. En general se tendrá que f ◦g yg ◦ f serán dos funciones distintas.

Actividad 3.9 Consideren las mismas funciones que en el Ejemplo 3.6a) Calculen la composición g ◦ f .b) Determinen su dominio natural.c) ¿Obtuvieron los mismos resultados que en el Ejemplo 3.6?

�

� Ejemplo 3.7 Si consideramos f (x) = x2 y g(x) = x − 4 y calculamos las funcionescompuestas f ◦ g y g ◦ f se obtienen

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (x − 4)2

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = x2 − 4

Dado que los dominios naturales de f y g son todos los reales entonces los dominiosnaturales de f ◦ g y g ◦ f también serán todos los reales. �

3.6 Ejercitación 11

� Ejemplo 3.8 Si consideramos T(r) =√−r + 2 y M(s) =

√s calcularemos M ◦ T y

determinaremos su dominio natural.

(M ◦ T)(r) = M(T(r)) = M(√−r + 2

)=

√√−r + 2 = 4√

−r + 2

Y en cuanto al dominio se tiene Dom(M) = [0,+∞) y Dom(T) = (−∞, 2]; por lotanto,

Dom(M ◦ T) = {r ∈ Dom(T) : T(r) ∈ Dom(M)}

={r ∈ (−∞, 2] :

√−r + 2 ∈ [0,+∞)

}= (−∞, 2]

�

Actividad 3.10 Considerando las funciones M y T del Ejemplo 3.8, calculen

a) T ◦ M b) T ◦ T c) M ◦ M�

C La composición de funciones puede hacerse con más funciones si fuera necesario.Pueden tomar tres o más funciones y componerlas. Por ejemplo, la función compuestaf ◦ g ◦ h está definida como

( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).

3.6 EjercitaciónEjercicio 3.1 Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad de 11 m/s desde el niveldel suelo (altura = 0). La altura h medida en metros de la pelota en cada instante t medidoen segundos está determinada por la función h(t) = 11t − 10t2.

a) Realicen la gráfica de la función h.b) Encuentren la altura máxima que alcanza la pelota.c) ¿En qué instante la pelota vuelve a caer al piso?

�

Ejercicio 3.2 Realicen las gráficas y marquen las intersecciones encontradas en el Ejercicio2.8 del Módulo 2. �

A c

0.12 0.050.32 0.140.5 0.210.66 0.3

Tabla 3.2: Concentración c en mi-liMolares y absorbancia A de unamuestra.

Ejercicio 3.3 Un espectrofotómetro usa la ley de Lambert-Beer para determinar la concen-tración de una muestra c basado en su absorbancia A. La ley establece que se satisface unarelación lineal

c = mA

donde m es la pendiente de la recta.La Tabla 3.2 recolecta datos para la concentración c (en miliMolar) y la absorbancia A

de una muestra.a) Determinen una expresión para ECM(m), error cuadrático medio dependiente del

valor de la pendiente m en el modelo lineal propuesto.b) Realicen el gráfico de ECM(m). Determinen la recta correspondiente al mejor ajuste

lineal.


c) Con el ajuste encontrado determinen la concentración de dos muestras desconocidascuyas absorbancias son A = 0.45 y A = 0.62.

�

Para resolver desigualdades de laforma

(x − 4)2 − 3 > 0

o de la forma

(x + 1)2 < 7

puede ser útil recordar las siguien-tes equivalencias (para valores de apositivos):

u2 > a

u ∈ (−∞,−√

a) ∪ (√

a,+∞)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

u2 < a

u ∈ (−√

a,√

a).

Ejercicio 3.4 Un rectángulo tiene largo l, ancho a y un perímetro de 40 cm.a) Determinen una expresión del ancho a como función del largo l.b) Determinen una expresión para el área del rectángulo en función del largo l (únicamente

con esa variable independiente).c) Realicen el gráfico de la función anterior y determinen qué valor de l produce que el

rectángulo tenga la mayor área posible.�

Ejercicio 3.5 Determinen el dominio de las siguientes funciones:a) f (x) =

√8 − 2x b) h(x) =

√1 − x2 c) g(x) =

√8 − 2x − x2

�

Ejercicio 3.6 Encuentren, para cada caso, funciones f (z) y g(x) tales que las siguientesfunciones h(x) puedan escribirse como f (g(x)).

a) h(x) = (1 + x2)3 b) h(x) =√

x3 + 3 c) h(x) =1

x2 − 2x + 1�

Ejercicio 3.7 Calculen las composiciones, f (g(x)), de los siguientes pares de funciones. Encada caso especifiquen el dominio de la función compuesta. Propongan una gráfica de lafunción compuesta (pueden utilizar el Geogebra).

a) f (z) = z − 1 g(x) = 2x + 1 b) f (z) =1

1 + zg(x) = x2

c) f (z) =z

1 + zg(x) =

x1 − x

d) f (z) =1z

g(x) = 1 + x2

e) f (z) =z

1 − zg(x) =

x1 + x

f ) f (z) =√

z g(x) = x2 − 1�

x 1 2 3 4 5 6

f (x) 3 1 4 2 2 5g(x) 6 3 2 1 2 3

Tabla 3.3: Tabla de valores de f y g.Ejercicio 3.8 Usen la información de la Tabla 3.3 para calcular cada expresión

a) f (g(1)) b) g( f (1)) c) f ( f (1)) d) g(g(1))

e) (g ◦ f )(3) f ) ( f ◦ g)(6)�

Ejercicio 3.9 Usen las gráficas de f y g, Figura 3.15, para evaluar cada expresión en loscasos que sea posible (en los casos que no sea posible expliquen por qué).

a) f (g(2)) b) g( f (0)) c) ( f ◦ g)(0)

d) (g ◦ f )(6) e) (g ◦ g)(−2) f ) ( f ◦ f )(4)�

Figura 3.15: Gráficas de las funciones f yg.

4. Derivadas.

“En la medida que las teorías matemáticas se refieran a la realidad perderán certeza;y en la medida que adquieran certeza se alejarán de la realidad.”

Albert Einstein (1879 - 1955)

En el presente módulo nos dedicaremos a estudiar la velocidad: la velocidad a la que semueve un objeto, la velocidad de las reacciones químicas, la velocidad de crecimiento de uncultivo bacteriano, la velocidad de propagación de una enfermedad, etc.

Los ejemplos anteriores son todos ejemplos que hacen referencia a situaciones donde lavariable independiente es el tiempo.

El movimiento de un objeto está representado por su posición que varía en función deltiempo; la velocidad del objeto nos permite saber si el objeto se mueve rápido, despacio,si avanza o retrocede.En las reacciones químicas, se estudia la cantidad de sustancia que reacciona en funcióndel tiempo. Hay reacciones lentas que pueden durar años y otras muy rápidas quesuceden en una fracción de segundo.La concentración de un medicamento en el cuerpo es variable en función del tiempo.Los estudios farmacológicos y fisiológicos permiten estudiar cómo controlar la velocidadcon que el cuerpo “absorbe” el medicamento.En cuanto al crecimiento de un cultivo, de manera similar, se estudia el tamaño deun cultivo como función del tiempo. El crecimiento de cultivo generalmente se midesegún la densidad óptica o el área ocupada. Se estudian generalmente los factores queinfluyen en la velocidad de crecimiento de las poblaciones; que pueden ser la temperaturaambiente, el tipo de nutriente, la presencia de luz, etc.Las velocidad de propagación de las enfermedades también se refiere al modo en queuna infección se expande en un territorio en función de tiempo medido en días, meses,años, siglos, etc. En este contexto, las velocidades negativas representan procesos dondela cantidad de infectados disminuye.

Sin embargo, las relaciones funcionales en los sistemas reales no siempre refieren exclusi-vamente al tiempo como variable independiente. También se estudia la relación que existeentre variables diversas y nos interesará comprender qué representa la velocidad en esoscontextos. Por ejemplo,

Figura 4.1: Temperatura en función de laaltura.

Figura 4.2: Erlenmeyer y vasos de precipi-tado.

La temperatura ambiente cambia de forma diferente según la altura respecto al nivel delmar en la que nos encontremos. Figura 4.1.La actividad de una enzima en una reacción mejora cuando se varía la temperatura hastauna cierta temperatura crítica a partir de la cual la variación de la temperatura empeorala actividad de la enzima.Al volcar un líquido en un recipiente, la altura del líquido varía según el volumen dellíquido que volcamos. En el caso de un vaso de precipitado la variación de la alturase produce de manera constante; mientras que en un Erlenmeyer la altura del líquidoaumenta más rápido cuanto más lleno está. Ver Figura 4.2. La forma de los recipientes y elmodo

en que varía (su sensibilidad) la altu-ra del líquido respecto a su volumenjuega un papel importante en la pro-pagación de errores experimentalesen los trabajos de laboratorio.

4.1 Estudio de la velocidad.4.1.1 Velocidad promedio.

Comenzaremos estudiando la velocidad con la que se mueve un objeto. Lo que nos interesaes estudiar el cambio de su posición con respecto al tiempo. Por simplicidad y para usar unejemplo muy conocido que sirva de base para las futuras definiciones consideraremos unautomóvil que se mueve por una ruta. Esto quiere decir que nos enfocaremos en el movimientodel auto en una única dirección: la dirección de la ruta. El auto no se mueve hacia los costadosni hacia arriba ni hacia abajo; sólo nos interesa como avanza o retrocede.

2 Capítulo 4. Derivadas.

La descripción del movimiento unidimensinal se realizará de la siguiente manera:

Se elige un punto de referencia sobre la ruta que represente el valor de la posición 0.Usualmente se decide ubicar el 0 en el lugar donde el auto inicia el recorrido.Se elige un sentido de la ruta para que represente los valores positivos de la posición.Se eligen unidades adecuadas para medir la distancia y el tiempo.

Con estas premisas se establece que la posición p del auto en el instante de tiempo t estádada por la función

p(t) = ±la distancia (en unidades) a la ubicación del 0 en el instante t (en unidades)

C La presencia de ± en la expresión anterior se refiere a que la posición del auto seconsidera positiva si el auto se encuentra del lado positivo elegido para la ruta y seconsidera negativa si el auto se encuentra del lado contrario.

t (min) p (km)

0 01 0.352 1,23 94 9,25 9.356 137 188 169 13

Tabla 4.1: Posición del auto (en km) enfunción del tiempo (en minutos).

Por ejemplo, en la Tabla 4.1 se representa la posición p del auto, en kilómetros, desde elpunto de partida y el tiempo t en minutos.

Actividad 4.1 Discutan con sus compañeros/as y con los docentes las siguientes proposicio-nes. Decidan si son verdaderas o falsas. En todos los casos, expliquen sus respuestas.

a) La primera fila de la tabla representa la distancia cero y el tiempo cero.b) Después de un minuto llegó a estar 0,35 km del punto de partida.c) Luego, a los dos minutos ya se encontraba a 1,2 km del punto de partida.d) Entre los minutos 3 y 5 el auto no avanzó.e) Luego acelera para lograr a los 6 minutos estar a 13 km del punto de partida.f ) Un minuto más tarde avanzó 5 km más.g) A los 8 minutos, el auto retrocedió porque la distancia al punto de partida fue de 16

km.h) El último dato que se tiene es que a los 9 minutos el auto se encuentra en la misma

posición que se encontraba a los 6 minutos de haber partido.�

En la Figura 4.3 se representan los datos de la posición (en km) del auto sobre la ruta enfunción del tiempo (en minutos).

0 2 4 6 8

0

5

10

15

t (minutos)

p(km)

Figura 4.3: La posición (en km) del auto sobre la ruta en función del tiempo (en minutos).

4.1 Estudio de la velocidad. 3

Calcularemos la velocidad promedio del auto entre cada par de instantes de la siguientemanera:

Definición 4.1.1 — Velocidad promedio - Recta secante.La velocidad promedio del auto entre dos instantes t1 y t2 (debemos considerar que

t1 y t2 son dos números distintos) es el cociente entre la variación de la posición y lavariación del tiempo

Vprom[t1, t2] =p(t2) − p(t1)

t2 − t1=

∆p∆t︸︷︷︸

forma abreviada

(4.1)

El símbolo ∆ (letra griega Delta) simboliza la variación de la variable a la que acompaña.

La velocidad promedio es un valor numérico que coincide con la pendiente de larecta que pasa por los puntos (t1, p(t1)) y (t2, p(t2)). Esa recta se denomina recta secante ala gráfica de la función p en esos puntos.

Figura 4.4: La velocidad prome-dio como la pendiente de la rectaque pasa por los puntos (t1, p(t1)) y(t2, p(t2)).

t (min)

p(t) (km)

pendiente=∆p∆t

p(t1)

t1

p(t2)

t2

∆p = p(t2) − p(t1)

∆t = t2 − t1

∆t

C La variación promedio entre dos instantes tiene la unidad de medida correspondiente alas que se eligieron para la posición y el tiempo. En nuestro caso corresponde.

Vprom[t1, t2] =kmmin

Actividad 4.2 Discutan las siguientes proposiciones (respecto a la Tabla 4.1). Decidan sison verdaderas o falsas. En todos los casos, expliquen sus respuesta.

a) La velocidad promedio del auto fue menor entre los instantes 0 y 2 que entre losinstantes 3 y 5.

b) La mayor velocidad promedio entre los datos registrados es la Vprom[6, 7].c) Todas las velocidades promedio registradas son positivas.d) Entre los instantes 0 y 1 y entre los instantes 3 y 5 el auto recorrió la misma cantidad

de km. Por lo tanto, laVprom[0, 1] = Vprom[3, 5]

e) La Vprom[0, 9] se puede calcular como el promedio de las velocidades promedioentre 0 y 1, entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc. hasta 8 y 9.

�


4.1.2 Velocidad instantánea.La velocidad promedio determina cómo varía la posición de un objeto entre dos instantes

de tiempo. En los movimientos unifomes, la velocidad promedio del objeto es la mismapara cualquier par de instantes que elijamos. En los movimientos no uniformes, la velocidadpromedio puede variar según el intervalo que tomemos.

Cuando decimos que la velocidad promedio entre los 6 y los 7 minutos es de 3,65 km/minno tenemos información precisa sobre la velocidad del auto en los instantes intermedios.Tenemos que recurrir al velocímetro interno del auto que nos indica con la aguja la velocidaden cada instante variando la inclinación de la aguja cuando aceleramos o frenamos.

Consideremos ahora otro auto en las condiciones mencionadas previamente para ladescripción del movimiento unidimensional. También en este caso consideraremos quep(0) = 0.

Pero en esta oportunidad, la posición p (en metros) del auto en cada instante t (en segundos)está dada por la fórmula

p(t) = 3t2 para t ≥ 0

La gráfica de la función p se presenta en la Figura 4.5.

t (seg)1 2 3

p (en metros)

10

20

30

0

Figura 4.5: Gráfica de la función posiciónp(t) = 3t2.

Intervalo Vprom

[1, 3]

[1, 2]

[1, 1.5]

[1, 1.2]

Tabla 4.2: Varios valores para la variaciónpromedio de la función posición p(t).

Actividad 4.3a) Calculen la Vprom[1, 3].b) Para un valor t > 1, redondeen la expresion correcta de Vprom[1, t]

3t2 − 33t2 − 3t − 1

3t2

tc) Usen la fórmula señalada anteriormente para confirmar el valor de Vprom[1, 3].

d) Completen la Tabla 4.2 y grafiquen las rectas secantes correspondientes en laFigura 4.5.

e) ¿Cuál de los valores: 12 m/s o 6.6 m/s es una mejor aproximación de la velocidadque marca el velocímetro del auto en t = 1 segundo? Explicar la respuesta.

f ) ¿Se obtiene un resultado mejor si se calcula Vprom[1, 1.1]?

g) Elijan un valor de t que mejor la precisión.

h) ¿La respuesta del item g) es la mejor de todas las aproximaciones? ¿Se puedemejorar? Si la respuesta es sí, expliquen cómo correspondería realizar esa mejora. Sila respuesta es no, explicar el razonamiento.

i) ¿Cuál es el valor de Vprom[1, t] en el caso que t = 1 segundo?

j) ¿Cuál es el valor que consideran que representa la velocidad instantánea del autoen el instante t = 1 segundo?

�

4.2 Rectas secantes y recta tangente. 5

4.2 Rectas secantes y recta tangente.

Como mencionamos previamente el valor

Vprom[1, t] =∆p∆t

representa la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función p que pasa por los puntos

(1, p(1)) (t, p(t))

En la Figura 4.6 se representan las rectas secantes asociadas a los puntos de la Tabla 4.2.

t (seg)11.11.2 1.5 2 3

p (m)

10

20

30

0

(2, p(2))

(1.5, p(1.5))

(3, p(3))

(1, p(1))

Valores de t que se aproximan a 1.

Figura 4.6: Gráfica de la función posición p(t) = 3t2 y varias rectas secantes asociadas a lospuntos de la Tabla 4.2.

Intervalo Vprom

[1, 3] 12

[1, 2] 9

[1, 1.5] 7.5

[1, 1.2] 6.6

[1, 1.1] 6.3

[1, 1.01] 6.03

[1, 1.001] 6.003

[1, 1.0001] 6.0003

Tabla 4.3: Varios valores para la variaciónpromedio de la función posición p(t).

Definición 4.2.1 — Recta tangente - velocidad en un instante. Se denomina recta tangenteen el punto (1, p(1)) a la gráfica de una función p a la recta que pasa precisamente por elpunto (1, p(1)) y cuya pendiente coincide con el valor de la velocidad en el instante t = 1.

Vprom[1, t]︸︷︷︸Pendiente de la recta secante paralos puntos (1, p(1)) y (t, p(t)).

6︸︷︷︸Pendiente de la recta tangente en el

punto (1, p(1)).

La definición requiere determinar el valor de la pendiente de la recta tangente medianteun proceso de aproximación usando las pendientes de las rectas secantes.


t (seg)1 3

p (en metros)

10

20

30

0

∆p

∆t t (seg)1 2

p (en metros)

10

20

30

0

∆p

∆t t (seg)1 1.5

p (en metros)

10

20

30

0

∆p

∆t

t (seg)11.2

p (en metros)

10

20

30

0

∆p∆t t (seg)

11.1

p (en metros)

10

20

30

0

∆p∆t t (seg)

11.01

p (en metros)

10

20

30

0

∆p∆t

Figura 4.7: Recurso Geogebra.

En el siguiente link pueden trabajar con un recurso simple que visualiza cómodeterminar la velocidad instantánea del auto en el instante t = 1 aproximando elvalor por las correspondientes velocidades promedio.https://ggbm.at/R7maabHt

Al mover el punto magenta podemos dinamizar el proceso de aproximación al punto(1, p(1)) que nos permite ir calculando los valores de las pendientes de las rectassecantes

∆p∆t[1, t]

para poder determinar el valor de la pendiente de la recta tangente.

En la Figura 4.8 se presenta otras tres gráficas de funciones con situación similar de rectatangente en un punto de su gráfica. En el caso del gráfico C la recta graficada no es la rectatangente.

Figura 4.8: Tres casos que aceptan recta tangente en el punto (2, 4) perteciente a la gráfica.

https://ggbm.at/R7maabHt


En la Figura 4.9 vemos tres situaciones en donde no hay recta tangente en el punto (3, 2)(perteneciente a la gráfica de la función). Las situaciones A y B seguramente no presentendudas a los lectores pero la última (situación C) suele llevar a muchas discusiones.

Figura 4.9: En ninguna de estas situaciones la curva posee recta tangente en el punto (3, 2).

Actividad 4.4 ¿Qué argumento pueden dar para explicar por qué no hay recta tangente en elpunto (3, 2) en ninguno de los casos de la Figura 4.9?

�

4.2.1 Recta tangente.

En esta sección generalizaremos las nociones anteriores para el caso de funciones numéricasde la forma y = f (x).

Definición 4.2.2 — Recta tangente al gráfico de una función. Supongamos que el dominio dela función f contiene un intervalo abierto que contiene al número a.

Supongamos además que existe un número ma tal que para puntos b , a en el intervalo,

cuando b se aproxima a a entoncesf (b) − f (a)

b − ase aproxima a ma .

Entonces ma es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a, f (a)).

El gráfico de y = ma (x − a) + f (a) es la recta tangente a la gráfica de f en (a, f (a)).

Usaremos la notación de lı́m de la siguiente forma

cuando b −→ a entoncesf (b) − f (a)

b − a−→ ma .

Se escribe de manera compacta

lı́mb→a

f (b) − f (a)b − a

= ma


Figura 4.10: Recta tangente en elpunto (a, f (a)) a la gráfica de la fun-ción f .

x

f Recta tangentey = ma(x − a) + f (a)

a

f (a)(a, f (a))

C La frase



permite conectar la geometría y el cálculo asociado al problema de determinar lavelocidad instantánea de un móvil. Por ahora la usaremos como idea intuitiva; enocasiones diremos “está cerca de” en vez de “se aproxima a” pero estaremos refiriendoa lo mismo.

� Ejemplo 4.1 Consideremos la función f (x) = x2 y el punto (1, f (1)) perteneciente a sugráfica. Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1, 1)debemos encontrar el valor de ma (la pendiente) para escribir la ecuación

y = ma (x − 1) + f (1).

Comenzamos calculando la pendiente de una recta secante que pase por el punto(1, f (1)) y por un punto de la forma (x, f (x)) con x , 1

Vprom[1, x] =∆ f∆x[1, x] =

f (x) − f (1)x − 1

=x2 − 1x − 1

=(x − 1)(x + 1)

x − 1=

= x + 1 ¿Se aproxima a algún valor cuandox se aproxima a 1?

Por lo tanto,ma = lı́m

x→1

f (x) − f (1)x − 1

= lı́mx→1= x + 1 = 2

La pendiente de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1) es 2, por loque la ecuación de la recta tangente es y = 2(x − 1) + 1.

�

Actividad 4.5 Realicen la gráfica de la parábola y = x2 y la recta tangente en el punto (1, 1).�


Actividad 4.6 Para dar un poco de sentido a la expresión “aproximar” respondan lassiguientes preguntas usando la intuición sobre los valores que se piden.

a) Cuando b se aproxima a 4, ¿a qué número se aproxima 3b?b) Cuando b está cerca de 5, ¿de qué número está cerca b3?c) Cuando b está cerca de 5, ¿de qué número está cerca 3b + b3?

d) Cuando b se acerca a 0, ¿a qué número se acercab2

b?

e) Cuando b está cerca de 3, ¿a qué número se aproxima2b

Nota: La respuesta no es 0.66 ni 0.67.�

¿Cómo respondieron a la pregunta del inciso c)? Una opción habrá sido quizás tomarvalores de b aproximados a 5 y cada vez más cercanos, para luego calcular 3b+b3. Por ejemplo:si consideramos 4.99 entonces 3 4.99 + 4.993 = 139.22. Si tomamos 4.99999 (más cercanoa 5 que el anterior) entonces 3 4.99999 + 4.999993 = 139.99922. Es razonable pensar que3b+ b3 se acerca a 140 si b se acerca a 5. En esta caso también es posible evaluar directamentela expresión 3b + b3 por b = 5 y obtener 3 5 + 53 = 140.

2

.25

0

(2, 14 )

(x, 1x2 )

Figura 4.11: Gráfica de la función f (x) =1x2 y la recta secante que pasa por los puntos(2, 1

4

)y

(x, 1

x2

).

� Ejemplo 4.2 Determinaremos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f (x) =1x2

(2, 1

4

).

La Figura 4.11 presenta una parte (la correspondiente al cuadrante I) de la gráficade la función y la recta secante que pasa por los puntos

(2, 1

4

)y

(x, 1

x2

)para un x , 2.

Para determinar la pendiente de la recta secante escribimos

∆ f∆x[2, x] =

f (x) − f (2)x − 2

=

1x2 −

14

x − 2=

4−x2

4x2

x − 2=

4 − x2

4x2(x − 2)

=(2 − x)(2 + x)

4x2(x − 2)=

−1︷︸︸︷��(2 − x)(2 + x)

4x2��(x − 2)︸︷︷︸1

=−(2 + x)

4x2

Entonces lı́m∆ f∆x[2, x] =

−(2 + 2)4 22 = −

14.

La ecuación de la recta que estamos buscando es y = − 14 (x − 2) + 1

4 . �

Actividad 4.7 En los siguientes casos, determinen la ecuación de la recta tangente a lagráfica de la función f en el punto indicado. Realicen las gráficas de las funciones y lasrectas tangentes.

a) f (x) =1x

en el punto (1, 1). b) f (x) =1x

para x = −1.

c) f (x) =2x − 4x − 1

para x = 2. d) f (x) =√

x en el punto (4, 2)�


4.3 Límites.Nos proponemos trabajar con la frase que utilizamos en la sección anterior para definir la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (a, f (a)) como ún límite.Recordemos que tomamos un valor de b , a y escribimos:



Que de manera compacta resulta

lı́mb→a

f (b) − f (a)b − a

= ma

Actividad 4.8 Discutan en el grupo con sus compañeros/as y con los docentes las siguientespreguntas relacionadas con la expresión b→ a.

a) ¿Quién se aproxima a quién? ¿Quién se mueve y quién se queda quieto?b) ¿Por que se debe considerar que b , a?c) ¿Es importante que b > a? ¿Puede ser b < a?

�

La expresión b→ a expresa un proceso dinámico, de movimiento. No es estático. No esevaluar en f (2.1) y listo. Es considerar a la variable b como un número que se mueve hacia a,aproximándose.

2b −→ ←− b

Sin embargo, vamos a tener que diferenciar lo siguiente:

Definición 4.3.1 — Límite b→ a b→ a+ b→ a−.Decimos que la variable b tiende a a cuando podemos asegurar que la distancia entre b ya puede hacerse tan pequeña como uno quiera. No hacemos diferencia aquí si b es másgrande o más chico que a.

Escribiremos b −→ a. También se dice que a es el límite de b.

Diremos que la variable b tiende por derecha a a cuando sabemos que b −→ a peroademás b es siempre mayor a a.

Escribiremos b −→ a+. También se dice que a es el límite por derecha de b.

Diremos que la variable b tiende por izquierda a a cuando sabemos que b −→ a peroademás b es siempre menor a a.

Escribiremos b −→ a−. También se dice que a es el límite por izquierda de b.

a

b<a︷︸︸︷b −→ a−

b>a︷︸︸︷a+ ←− b

C En las notaciones en las que usamos la flecha −→ hay que destacar/remarcar que

b︸︷︷︸Se mueve

−→ a︸︷︷︸Está quieto

4.3 Límites. 11

C La palabra límite tiene muchos significados en nuestro idioma castellano. En generalasociamos la palabra límite con las ideas de: frontera, límite geográfico, poner límites,poner un tope, velocidad límite como velocidad máxima. Sin embargo, cuando decimos“a es el límite de b” no estamos haciendo referencia a ninguno de los casos anteriores: ano es la frontera de b, a no es el tope de b, etc.En sentido matemático, el significado de la palabra límite está asociado más a la idea deobjetivo o a dónde queremos llegar.“Queremos que b llegue a a". “Nuestro objetivoes que b alcance a a”.Tendremos que acostumbranos a este nuevo significado de la palabra; que a menudo, sino estamos atentos o atentas, causará confusión.

Definimos entonces el límite de una función numérica f para x → a.

xc da

y

L

y = f (x)

x → a a← x

f(x)→

L

f(x)→

L

Figura 4.12: Esquema para representar quef (x) → L cuando x → a.

Definición 4.3.2 — Límite de f (x) cuando x −→ a.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, d) − {a} decimos

lı́mx→a

f (x) = L

si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de xestán suficientemente cerca de a.

Ver Figura 4.12.

En forma similar se definen los límites laterales:

x

da

y

L

y = f (x)

a+ ← x

Figura 4.13: Esquema para representar quef (x) → L cuando x → a+ (por derecha).

xc a

y

Ly = f (x)

x → a−

Figura 4.14: Esquema para representar quef (x) → L cuando x → a− (por izquierda).

Definición 4.3.3 — Límite lateral por derecha de f (x) cuando x −→ a.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (a, d) decimos

lı́mx→a+

f (x) = lı́mx→ax>a

f (x) = L

si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de xestán suficientemente cerca de a con la condición que x > a (los x están a la derecha de a).

Ver Figura 4.13.

Definición 4.3.4 — Límite lateral por izquierda de f (x) cuando x −→ a.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, a) decimos

lı́mx→a−

f (x) = lı́mx→ax<a

f (x) = L

si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de xestán suficientemente cerca de a con la condición que x < a (los x están a la izquierdade a).

Ver Figura 4.14.

El límite de una función f puede NO existir cuando x → a por varios motivos. El Teorema4.3.1 establece un primer resultado teórico para determinar la existencia o no del límite de unafunción.

Teorema 4.3.1 Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, d) − {a} entoncesson equivalentes las siguientes afirmaciones

Existe el límite lı́mx→a

f (x) y es igual al valor L.Existen ambos límites laterales lı́m

x→a+f (x) y lı́m

x→a−f (x) y son iguales al valor L.


Nos parecemás importante que incorporen las nociones de límites, antes que las definiciones.Es necesario que construyan su propia intuición acerca del manejo de límites, y luego logrenasociar esa intuición con las definiciones formales.

4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones.En ocasiones es útil reconocer que una función está formada de varias partes o componentes.

Identificar, por ejemplo, a una función como la suma, diferencia, producto o cociente dedos funciones puede ser relativamente simple y en ocasiones, el tratamiento de cada una deestas partes por separado contribuye a la simplificación del análisis de interés. Por ejemplo,investigadores que monitorean la producción anual de granos en cierta región del país,descomponen la producción en el producto entre la cantidad de hectáreas plantadas y elrendimiento por hectárea.

Producción total de maíz = Hectáreas plantadas con maíz × Rendimiento por hectárea

Los factores que influyen en la cantidad de hectáreas plantadas (programas gubernamentales,precio proyectado del maíz, entre otros) son cualitativamente diferentes de los factores queinfluyen en el rendimiento por hectárea (genética del maíz, prácticas de labranza y clima).

4.4.1 Combinaciones aritméticas de funciones o álgebra de funciones.Dos funciones f y g pueden combinarse para construir nuevas funciones,

f + g f − g f gfg,

de manera similar a la que sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números reales.

Definición 4.4.1 — Álgebra de funciones.Dadas dos funciones f (x) y g(x), con Dom( f ) = A y Dom(g) = B, se define

( f + g)(x) = f (x) + g(x) ( f − g)(x) = f (x) − g(x).

Para que estas funciones estén bien definidas, x debe estar tanto en el dominio de fcomo en el dominio de g, es decir, Dom( f + g) = Dom( f − g) = A ∩ B.

Análogamente se define,

( f g)(x) = f (x)g(x)(

fg

)(x) =

f (x)g(x)

.

En el primer caso se tiene que Dom( f g) = A ∩ B, pero como no podemos dividir por

0, Dom(

fg

)= {x ∈ A ∩ B : g(x) , 0}.

� Ejemplo 4.3 Si f (x) =√

x − 2 y g(x) = x2 + 1 entonces

( f + g)(x) =√

x − 2 + x2 + 1

Con Dom( f + g) =

Dom( f )︷︸︸︷[2,+∞)∩ (−∞,+∞)︸︷︷︸

Dom(g)

= [2,+∞).

�

4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. 13

� Ejemplo 4.4 Si f (x) = x3 y g(x) = x − 3 entonces

( f g)(x) = x3(x − 3) y(

fg

)(x) =

x3

x − 3.

Con Dom( f g) = R ∩ R = R.

Y Dom(

fg

)= R − {3} Porque g se anula en x = 3.

�

Actividad 4.9 Calculen, en cada caso, las funciones f + g, f − g, f g y f /g. Establezcansus dominios.

a) f (x) = x3 + 2x2 y g(x) = 3x2 − 1 b) f (x) =√

3 − x y g(x) =√

x2 − 1�

4.4.2 Propiedades algebraicas de los límites.

A continuación presentaremos algunas propiedades de límites que usaremos en numerosasocasiones a lo largo del curso.

Las propiedades algebraicas se dicenverbalmente como sigue:

El límite de la suma es la su-ma de los límites.El límite de la diferencia esla diferencia de los límites.El límite de una constante poruna función es la constantepor el límite de la función.El límite de un producto es elproducto de los límites.El límite de un cociente es elcociente de los límites (siem-pre que el límite del denomi-nador no sea cero).

Propiedad 4.4.1 — Propiedades algebraicas de los límites.Sean f y g dos funciones. Supongamos que c es una constante y que existen los límites

lı́mx→a

f (x) lı́mx→a

g(x)

Entoncesa) lı́m

x→a[ f (x) + g(x)] = lı́m

x→af (x) + lı́m

x→ag(x)

b) lı́mx→a[ f (x) − g(x)] = lı́m

x→af (x) − lı́m

x→ag(x)

c) lı́mx→a[c f (x)] = c lı́m

x→af (x)

d) lı́mx→a[ f (x)g(x)] = lı́m

x→af (x) . lı́m

x→ag(x)

e) Si lı́mx→a

g(x) , 0 entonces lı́mx→a

f (x)g(x)

=lı́mx→a f (x)lı́mx→a g(x)

.

� Ejemplo 4.5 Si lı́mx→3

f (x) = 2 y lı́mx→3

g(x) = −3, se tiene que

lı́mx→3[ f (x) + g(x)] = lı́m

x→3f (x) + lı́m

x→3g(x) = 2 + (−3) = −1

lı́mx→3[ f (x)g(x)] = lı́m

x→3f (x). lı́m

x→3g(x) = 2.(−3) = −6

lı́mx→3

f (x)g(x)

=lı́mx→3 f (x)lı́mx→3 g(x)

=2−3

porque lı́mx→3

g(x) , 0.�

Figura 4.15: Gráfica de las funcionesf y g.

Actividad 4.10 Usando las propiedades de límites y los gráficos de las funciones f y g quese encuentran en la Figura 4.15, calculen los siguientes límites (si es que existen).

a) lı́mx→−2[ f (x) + 5g(x)] b) lı́m

x→1[ f (x)g(x)] c) lı́m

x→2

f (x)g(x) + 1

�


Si usamos la propiedad del producto repetidas veces se tiene la siguiente propiedad.

Propiedad 4.4.2 Para n un número entero positivo. Si existe lı́mx→a

f (x) entonces

lı́mx→a[ f (x)]n =

[lı́mx→a

f (x)]n

Otra propiedad, similar a la anterior, pero relacionada con las raíces es

Propiedad 4.4.3 Para n un número entero positivo. Si existe lı́mx→a

f (x) entonces

lı́mx→a

n√

f (x) = n

√lı́mx→a

f (x)

En el caso que n sea par se necesita agregar las condidiones adicionales para que lasoperaciones estén definidas. Debe ser f (x) ≥ 0 y lı́m

x→af (x) ≥ 0.

Por último, dos límites especiales

Propiedad 4.4.4lı́mx→a

c = c lı́mx→a

x = a

Los límites de la proposición anterior resultan muy sencillos de analizar desde el punto devista intuitivo y usando el desarrollo del inicio de la sección. Pueden decirse en palabras orealizar las gráficas de las funciones y = c e y = x.

� Ejemplo 4.6 Calculemos el lı́mx→5(2x2 − 3x + 4).

Desarrollamos aplicando las propiedades de la suma, resta potencias y multiplicaciónpor una constante dado que todos los límites involucrados existen según la Propiedad4.4.4.

lı́mx→5(2x2 − 3x + 4) = lı́m

x→52x2 − lı́m

x→53x + lı́m

x→54

= 2 lı́mx→5

x2 + 3 lı́mx→5

x + lı́mx→5

4 = 2 (5)2 + 3 (5) + 4 = 39.

�

� Ejemplo 4.7 Calculamos el lı́mx→−2

x3 + 2x2 − 15 − 3x

.Dado que se trata de un cociente, y viendo que lı́m

x→−25 − 3x = 11 es distinto de 0

podemos usar la propiedad del cociente; y posteriormente las propiedades de suma,resta, muliplicación por una constante y las potencias.

lı́mx→−2

x3 + 2x2 − 15 − 3x

=lı́mx→−2(x3 + 2x2 − 1)

11

=lı́mx→−2 x3 + lı́mx→−2 2x2 − lı́mx→−2 1

11

=(−2)3 + 2 lı́mx→−2 x2 − lı́mx→−2 1)

11

=−8 + 2(−2)2 − 1

11= −

111

�

4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. 15

� Ejemplo 4.8 Calculemos el lı́mx→0

4√

x2 + 4.En este caso usaremos primero la Propiedad 4.4.3 correspondiente a las raíces dado

que x2 + 4 ≥ 0 y lı́mx→0

x2 + 4 = lı́mx→0

x2 + lı́mx→0

4 = 4 ≥ 0.

lı́mx→0

4√

x2 + 4 = 4√

lı́mx→0(x2 + 4) = 4√4

�

Actividad 4.11 Calculen los valores indicados según la información de la gráfica. Den unaexplicación en los casos que no existan.

a) f (−1) b) lı́mx→−1+

f (x) c) lı́mx→−1−

f (x) d) lı́mx→−1

f (x)

e) f (2) f ) lı́mx→2

f (x) g) f (4) h) lı́mx→4

f (x)

i) f (6) j) lı́mx→6

f (x) k) f (7) l) lı́mx→7+

f (x)

m) lı́mx→7−

f (x) n) lı́mx→7

f (x)

�

Actividad 4.12 A partir de la información suministrada en cada inciso calculen los límitessolicitados indicando las propiedades utilizadas.

a) Si lı́mx→4

f (x) = −1 y lı́mx→4

g(x) = 5, calculen lı́mx→4

(f (x) −

25g(x)

).

b) Si lı́mx→a

f (x) = 5 y lı́mx→a

g(x) = −2, calculen lı́mx→a

f (x)g(x) − 2f (x) − g(x)

.�

Propiedad 4.4.5 — Funciones polinomiales y funciones racionales. Si f es una función poli-nomial o una función racional y a pertenece al dominio de f , entonces

lı́mx→a

f (x) = f (a) (4.2)


� Ejemplo 4.9 Podemos calcularlı́mx→1(x3 − 3x + 2) = 13 − 3.1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0

lı́mx→8

x − 3x=

8 − 38=

58

dado que 8 pertenece al dominio dex − 3

x�

Por último, como ya hemos ejercitado en el Ejemplo 4.1 en el que trabajamos con la

función f (x) =x2 − 1x − 1

vemos que

lı́mx→1

x2 − 1x − 1

= lı́mx→1

(x − 1)(x + 1)x − 1

= lı́mx→1(x + 1) = 1 + 1 = 2.

Es decir, pudimos calcular el valor del límite usando una función más simple, g(x) = x + 1.Esto es válido porque f (x) = g(x) para todo x , 1. Y para calcular el límite x −→ 1 no sedebe considerar x = 1. En general, tenemos el siguiente resultado:

Propiedad 4.4.6 Si f (x) = g(x) para x , a, entonces

lı́mx→a

f (x) = lı́mx→a

g(x), siempre que alguno de los dos límites exista.


g(x) para g(x) =

x + 1 si x , 1

π si x = 1.

Aquí vemos que g está definida en x = 1 y g(1) = π, pero el valor del límite cuandox tiende a 1 se deben calcular como g(x) = x + 1 porque se considerar x , 1,

lı́mx→1

g(x) = lı́mx→1(x + 1) = 2.

�

� Ejemplo 4.11 Calculemos ahora lı́mh→0

(3 + h)2 − 9h

.

Si definimos f (h) =(3 + h)2 − 9

hno podemos calcular el lı́m

h→0f (h) evaluando f (0)

porque la función no está definida en h = 0. Pero si trabajamos algebraicamente lafunción, llegamos a que

f (h) =(3 + h)2 − 9

h=

9 + 6h + h2 − 9h

=6h + h2

h=

h(6 + h)h

= 6 + h,

si h , 0. (Recordemos que sólo consideramos h , 0 cuando h tiende a 0). Luego

lı́mh→0

(3 + h)2 − 9h

= lı́mh→0(6 + h) = 6.

�

Actividad 4.13 Trabajando algebraicamente, calculen los siguientes límites aplicando laPropiedad 4.4.6.

a) lı́mx→2(x + 1)

x2 + x − 6x2 − 4

b) lı́mx→3

x3 − 27x − 3

c) lı́mx→1+

x − 1√

x − 1d) lı́m

y→−1

√y2 + 8 − 3y + 1

�

4.5 La derivada como un límite. 17

4.5 La derivada como un límite.Usando la definición de límite podemos recordar la definición de pendiente de la recta

tangente a la gráfica de una función y de velocidad instantánea de una función de la siguientemanera:

Definición 4.5.1 — Cociente incremental. Dada una función f definida en un intervaloabierto (c, d). Dados a y x en (c, d), dos números reales dentro del intervalo, se denominacociente incremental de f en el intervalo [a, x] al cociente

f (x) − f (a)x − a

=∆ f∆x= Vprom[a, x] (4.3)

El cociente incremental de f en el intervalo [a, x] representa la velocidad promediode f en el intervalo [a, x] o la pendiente de la recta secante entre los puntos de abscisa ay x. También se denomina variación promedio de f en el intervalo [a, x].

Definición 4.5.2 — Pendiente de la recta tangente - Velocidad instántea. Dada una función fdefinida en un intervalo abierto (c, d). Dado a ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo,se define la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) como elnúmero real ma (en el caso que exista) determinado por el valor del siguiente límite

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

∆ f∆x= lı́m

x→aVprom[a, x] = ma (4.4)

El número ma determina también la variación instantánea de la función f en x = a.

Para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2en el punto (a, f (a)) = (a, a2 + 2) calculamos

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

(x2 + 2) − (a2 + 2)x − a

= lı́mx→a

x2 − a2

x − a= lı́m

x→a

(x − a)(x + a)x − a

= lı́mx→a(x + a) = a + a = 2a (4.5)

a ma = 2a

1 20 0-1 -22 4...

...

Tabla 4.4: Valores de ma.

Por lo tanto ma = 2a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) es

y = ma(x − a) + f (a)

y = 2a(x − a) + a2 + 2

En particular, si consideramos a = 1, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f enel punto (1, 3) es

y = 2(x − 1) + 3⇐⇒ y = 2x + 1

.Podemos calcular distintos valores de ma como se muestra en la Tabla 4.4 y obtener las

ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos correspondientes como sigue:

a = 1 −→ m1 = 2 −→ y = 2(x − 1) + 3⇔ y = 2x + 1

a = 0 −→ m0 = 0 −→ y = 0(x − 0) + 2⇔ y = 2

a = −1 −→ m−1 = −2 −→ y = −2(x + 1) + 3⇔ y = −2x + 1

a = 2 −→ m2 = 4 −→ y = 4(x − 2) + 6⇔ y = 4x + 2

Ecuaciones de las rectas tangente a lagráfica de f en los puntos (a, f (a)).


En la Figura 4.16 se representan las cuatro rectas tangentes calculadas previamente.

x

yf (x) = x2 + 2

y = 2x + 1

y = 2

y = −2x + 1

y = 4x + 2

Figura 4.16: Recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 en el punto (a, a2) paraa = 1, 0, 1 y 2.

Tengan presente que siempre secumple que

Dom( f ′) ⊆ Dom( f )

O sea, en cualquier caso, el dominiode la función derivada es unsubconjunto del dominio de la

función. No puede ser más grande.

Definición 4.5.3 — Función derivada. Dada f una función cuyo dominio es algún intervaloabierto (c, d). Se define como derivada de f a la función definida por la regla

a 7−→ ma

Existen varias formas de escribir a la función derivada. En este curso usaremos lassiguientes notaciones

f ′ =dfdx

f ′(a) =dfdx(a) = ma

Si la variable independiente se denota por la letra x entonces se dice que es la derivadade f respecto a x.

En este caso dominio de la función f ′ está formado por todos los valores en el dominiode f para los cuales existe el límite del cociente incremental.

Si la función f admite derivada en x0 se dice que f es una función derivable en x0.

En el caso de f (x) = x2 + 2 hemos calculado previamente en 4.5 que ma = 2a por lo tanto

f ′(a) = 2a.

El Dom( f ) y el Dom( f ′) son ambos iguales a R (el límite del cociente incremental existepara cualquier valor de a).

C Hacemos algunos comentarios respecto a la notación que se usa y usaremos con lasderivadas.

Por un lado, en la notacióndfdx

la variable que figura en el denominador hace referenciaa la variable independiente de la función cuyo nombre está en el numerador.

dfdx=

variable dependientevariable independiente

4.5 La derivada como un límite. 19

Actividad 4.14 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionanmediante la ecuación

P =1 × 0.082 × 26

Vdonde P se mide en atmósferas y V en litros.

a) Encuentren la derivada de P respecto a V .b) ¿Cuánto vale P′(1)?

�

4.5.1 Sobre las unidades de f ′.En general se tiene que si

lı́mx→a

f (x) = L

entonces las unidades de L son las mismas que las de f (x).

Por lo tanto, las unidades de f ′ serán las mismas que tiene el cociente incremental alcociente incremental

∆ f∆x=

unidades de funidades de x

.

Si f (t) es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos entonces las unidades def ′(t) (la velocidad) serán metros/segundo.

Si f (x) es la presión en atmósferas (atm) y x es la altitud en km entonces las unidadesde f ′(x) (usualmente llamado gradiente de presión) serán atm/km.

Si f (t) es el tamaño de una población en individuos y t es el tiempo en años entonceslas unidades de f ′(t) (tasa de crecimiento) serán individuos/año.

4.5.2 Definición equivalente para f ′(a).La noción de derivada está asociada al valor del límite de las velocidades promedio

calculadas en el intervalo [a, x]. Usando la notación de ∆ f y ∆x los siguientes cocientesincrementales son equivalentes considerando que ∆x = x − a.

eje x

a x←−

∆x = x − a

eje x

ax−→

∆x = x − a

f (x) − f (a)x − a

=f (a + ∆x) − f (a)

∆x. (4.6)

De modo que la derivada, en el caso de que exista, queda determinada por

dfdx(a) = lı́m

x→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́m∆x→0

f (a + ∆x) − f (a)∆x

La equivalencia x → a ⇐⇒ ∆x → 0 esesencial en este desarrollo. Decir que x tiendea a es equivalente a decir que la diferenciax − a tiende a 0.

Donde hemos considerado la equivalencia: x → a⇐⇒ ∆x → 0.


Actividad 4.15 Usando la expresión

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).

a) f (x) = 4x3 b) f (x) = 7x − 3 c) f (x) = 5 d) f (x) =1x2

�

Para resolver las Actividades 4.15 y4.16 pueden ser útiles las siguientesigualdades algebraicas

b2 − a2 = (b − a)(b + a)

b3 − a3 = (b − a)(b2 + ab + a2

)b4−a4 = (b−a)

(b3 + b2a + ba2 + a3

)¿Cómo es la expresión equivalentepara (bn − an)?

Actividad 4.16 Usando la expresión

lı́m∆x→0

f (a + ∆x) − f (a)∆x

calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).

a) f (x) = 1 − 5x b) f (x) =1x

c) f (x) = πx4 d) f (x) = π2

�

4.6 La función derivada.El estudio de las funciones que intervienen en los modelos matemáticos se apoya muchas

veces, y en primera instancia, en construcciones gráficas. Ingenuamente, en ocasiones,realizamos construcciones con tablas de valores con 5 o 6 datos (10 datos quizás) conectandolos puntos con una curva suave. Otra veces, mediante softwares graficadores podemos realizarconstrucciones gráficas extremádamente sofisticadas. Sin embargo, estas dos metodologíaspueden ser insatisfactorias en algunas situaciones; por varias razones.

• Primero, ¿cómo sabemos que la unión de algunos puntos en un gráfico nos producirá laforma real de la curva?• En segundo lugar, ¿cómo podemos saber dónde están las características relevantes delgráfico?• Y tercero, ¿cómo podemos estar seguros de que no nos hemos perdido nada?

Actividad 4.17 Las gráficas de la Figura 4.17 fueron construidas en forma computacional.Determinen, para cada caso: los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Además, losvalores de x en los que se alcanzan los máximos y los mínimos relativos.

�

−1 −.5 .5 1 1.5 2 2.5

−4

−2

2

4

6

−.4 −.2 .2 .4

.25

.3

.35

.4

.45

.5

Figura 4.17: Gráficas realizadas en forma computacional para la Actividad 4.17.

4.6 La función derivada. 21

Actividad 4.18 Si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x

(no hemos estudiado aún las funciones exponenciales pero los graficadores pueden hacersu gráfica sin dificultad) y g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamosen la Figura 4.18.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? �

x

y

1

2

−1 1

y = 2x

y = x10

Figura 4.18: Gráficas de las funcio-nes f (x) = 2x y g(x) = x10.

Algunos comentarios respecto a las actividades anteriores.

• Las gráficas de la Actividad 4.17 corresponden a la misma función

f (x) = (x − 13 )

5 − 2x3 + 15

pero con distintas escalas gráficas.

• La ecuación 2x = x10 tiene 3 soluciones reales (y varias soluciones más que soncomplejas) pero la tercer solución, que no se detecta en los gráficos usuales, se escapa alas escalas tradicionales:

x ≈ 58.77 con el correspondiente y ≈ 258.77 ≈ 4.9 × 1017.

Lo que nos interesa entonces es poder obtener mejores respuestas a este tipo de activi-dades usando análisis matemático. Específicamente, utilizando la función derivada comoherramienta esencial para encontrar todas las características que nos interesen de una función.

eje x

eje y

a

eje x

eje y

a

eje x

eje y

a

Figura 4.19: Ejes cartesianos para laActividad 4.19.

Actividad 4.19a) Discutan con sus compañeros/as y docentes la validez de las siguientes proposiciones:

• Una recta tangente a la gráfica de una función corta la gráfica sólo en un punto.• Si una recta corta la gráfica de una función en un único punto entonces se tratade la recta tangente.

b) Utilicen los 3 sistemas de ejes coordenados de la Figura 4.19 para realizar las gráficasque se piden a continuación:• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que sólo se cortan unavez.• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que se cortan dos omás veces.• La gráfica de una función y una recta que NO sea tangente en x = a y que secorten una única vez en x = a.

�

x mx

-2047.5111620

Tabla 4.5: Valores de mx .

Actividad 4.20 Considerando la Figura 4.20,a) Dibujen las rectas tangentes a la gráfica de la función g en los puntos de abscisa

x = −2, 0, 4, 7.5, 11, 16, 20.b) Completen la Tabla 4.5 con las pendientes de las rectas tangentes.c) Dibujen en la gráfica de la Figura 4.21 los puntos correspondientes a la Tabla 4.5.d) Realicen un bosquejo para la gráfica de g′ como una curva suave que conecte los

puntos. Incorporen una escala adecuada a los ejes cartesianos.e) ¿Cuántas veces corta al eje x la gráfica realizada en la Figura 4.21?f ) Según la gráfica realizada en la Figura 4.21, cuál es el valor de g′(2)? ¿Cuál es el

valor de g′(10)?g) Comparen los valores propuestos de g′(2) y g′(10) con las pendientes de las rectas

tangentes a la gráfica de g en la Figura 4.20. Usen la información para ajustar lapropuesta de gráfica de g′(x).

�


eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678


eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678

Figura 4.21: Puntos correspondientes a la Tabla 4.4 y propuesta de gráfica de la función g′.

x f ′(x)

-2-1012

Tabla 4.6: Valores de f ′(x).

Actividad 4.21 En la Figura 4.22a se presenta la gráfica de una función f .a) Determinen, de manera aproximada, los valores f ′(−2), f ′(−1), f ′(0), f ′(1) y f ′(2).

Completen la Tabla 4.6.b) En la Figura 4.22b se presenta un sistema de ejes coordenados para representar los

valores de f ′ en función de x. Representen los valores encontrados en el inciso a).El gráfico no tiene escalas en el eje vertical para que se puedan ubicar los datosencontrados de manera adecuada.

c) En la Figura 4.22b, utilicen los puntos marcados para realizar un bosquejo de lafunción f ′.

�

4.7 Máximos y mínimos locales en una función. 23

−2 −1 0 1 2−10

−5

0

5

10

x (variable independiente)

f(variabledependiente)

(a) Gráfica de la función f .

−2 −1 0 1 2

0

x (variable independiente)

f′(derivada)

(b) Propuesta de gráfica de la función f ′.

Figura 4.22: Gráficas de una función f y propuesta de gráfica de su función derivada f ′.

Actividad 4.22 En el sistema de ejes de la Figura 4.23 bosquejen una porción de la gráficade una función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:• k ′(a) = 0• k ′(x) es negativa para los valores de x < a.• k ′(x) es positiva para los valores de x > a.

�

eje x

eje y

a

Figura 4.23: Ejes cartesianos.Actividad 4.23 En el sistema de ejes de la Figura 4.24 bosquejen una porción de la gráficade una función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:• k ′(a) = 0• k ′(x) es negativa en ambos lados de x = a.

�

eje x

eje y

a

Figura 4.24: Ejes cartesianos.4.7 Máximos y mínimos locales en una función.

Lo primero que nos proponemos es determinar qué características tienen aquellos puntosde la gráfica de una función derivable en la que se alcanzan los valores máximos locales ylos valores mínimos locales.

Figura 4.25: Gráfica de una fun-ción f con intervalos de crecimiento,intervalos de decrecimiento, valoresmáximos locales y valores mínimoslocales.

c dx1

x0

x2

Mínimo local

¿?

Mínimo local

Máximo local


Teorema 4.7.1 — Condición necesaria para la existencia de un máximo o mínimo local.Dada una función f definida en un intervalo abierto (c, d) que es derivable en x0 ∈ (c, d)

y alcanza allí un máximo o un mínimo local, entonces (necesariamente) debe ser

f ′(x0) = 0.

Dicho de otra manera: La recta tangente en el punto de abscisa x0 debe ser horizontal.

Si comenzáramos nuestro análisis en un x0 perteneciente al intervalo (c, d) en el cual sealcanza un valor mínimo local veremos cómo se comportan los cocientes incrementales.

c dx1

x0

x2

Mínimo local

Máximo local

∆x > 0

∆ f ≥ 0

∆x < 0

∆ f ≥ 0

Recordemos que:∆x = x − x0∆ f = f (x) − f (x0)

Dado que f (x0) es un valor mínimo local podemos afirmar que f (x0) ≤ f (x) para todoslos valores de x cercanos a x0. O sea, f (x) − f (x0) ≥ 0.

En cambio, x − x0 puede ser positivo o negativo según se tome x → x+0 o x → x−0 .

Por lo tanto, los cocientes incrementales quedan

f (x) − f (x0)

x − x0=∆ f∆x=

Si x → x+0 entonces

∆ f ≥ 0∆x > 0

≥ 0 (1)

Si x → x−0 entonces∆ f ≥ 0∆x < 0

≤ 0 (2)

Como sabemos que f es derivable en x0 entonces las afirmaciones (1) y (2) implican cada unalo siguiente

lı́mx→x+0

f (x) − f (x0)

x − x0≥ 0︸︷︷︸

Por (1)

lı́mx→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0≤ 0︸︷︷︸

Por (2)

.

Para satisfacer ambas condiciones a la vez será f ′(x0) = 0 necesariamente.

C Un comentario importante respecto al razonamiento anterior. Utilizamos una propiedadde los límites que no mencionamos previamente: si para todos los valores x cercanos ax0 se cumple que G(x) ≤ M y además se sabe que existe el límite de G(x) para x → x0entonces necesariamente

lı́mx→x0

G(x) ≤ M .

4.7 Máximos y mínimos locales en una función. 25

Actividad 4.24 ¿Cómo debe modificarse el razonamiento anterior para el caso que x0 sea laabscisa de un punto (x0, f (x0)) donde se alcance un valor máximo local?

�

El Teorema 4.7.1 nos brinda una condición necesaria que deben cumplir todos aquellospuntos de la gráfica de una función f derivable en un intervalo abierto alcance un valormáximo local o un valor mínimo local.

Corresponde ahora analizar las siguientes 3 situaciones: ¿por qué decimos condiciónnecesaria, ¿qué pasa si la función no es derivable? y ¿qué pasa si el intervalo no es unintervalo abierto?

4.7.1 Valores estacionarios.

La condición f ′(x0) = 0 es una condición necesaria pero no es suficiente. Es posible queexistan puntos para los cuales se cumpla f ′(x0) = 0 pero que, sin embargo, no se alcancen allívalores máximos locales ni valores mínimos locales.

En la Figura 4.22a, la Actividad 4.23 y en la Figura ?? aparecen ejemplos en los que larecta tangente en un punto es horizontal pero sin embargo no se trata de un valor máximo nimínimo local.

Definición 4.7.1 — Valores estacionarios. Los valores de x para los cuales f ′(x) = 0 sedenominan valores estacionarios de f .

Por lo tanto, los valores máximos locales y los valores mínimos locales de funcionesderivables en un intervalo abierto siempre se alcanzan en valores estacionarios. Aunque noen todos los puntos estacionarios se alcanzarán siempre valores máximos locales o valoresmínimos locales.

4.7.2 Valores críticos.

La condición f ′(x0) = 0 conlleva la hipótesis de saber que la f ′(x0) existe; o sea, de saberque la función es derivable en x0. Aquellos valores de x0 para los cuales no exista la derivadano están incluidos entonces en el teorema de condición necesaria para los máximos o mínimoslocales. Como ejemplos presentamos las siguientes opciones.

Figura 4.26: En ninguna de estassituaciones la curva posee recta tan-gente en el punto (3, 2).

En ambos casos, para x = 3 se alcanzan máximos (Gráfica B) o mínimos (Gráfica C)locales de la función; sin embargo, en ninguno de los casos existe f ′(3). De modo que losvalores máximos o mínimos locales de una función también pueden enocntrarse en aquellosvalores de x en los que la función no es derivable.

Definición 4.7.2 — Valores críticos. Aquellos valores de x en el dominio (pero no en elborde) de una función f en los que la derivada no existe ,o aquellos en los que la derivadaexiste y vale f ′(x) = 0, se denominan valores críticos de f .

Remarcamos que los valores críticos de una función deben ser siempre valores en sudominio.


� Ejemplo 4.12 Mostraremos, analíticamente, que f (x) =1xno tiene valores críticos.

Corresponde encontrar los valores del dominio (que no están en el borde) en los que laderivada no existe, y los valores estacionarios.Considerando que el Dom( f ) = R − {0} tenemos que el dominio no tiene bordes.

Según lo que realizaron ustedes en la Actividad 4.16b) se tiene que f ′(x) = −1x2 para

todos los valores de x , 0. O sea que la función es derivable en todo su dominio.Por otro lado, los valores estacionarios de f deben cumplir la ecuación

f ′(x) = 0⇐⇒ −1x2 = 0⇐⇒ −1 = 0

que es absurdo porque −1 es distinto de 0. Por lo tanto la ecuación no tiene solución.No hay valores críticos.

�

Conjuntos Intervalos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto [a, b){x ∈ R : a ≤ x < b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b){x ∈ R : x < b }

Conjunto [a,+∞){x ∈ R : a ≤ x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 4.7: Los intervalos que formanla base de otros conjuntos más com-plejos que usaremos de dominio.

Actividad 4.25 ¿Cuántos y cuáles son los valores críticos de las siguientes funciones?

a) f (x) = πx4 b) f (x) = x3 − x�

Actividad 4.26 Realicen la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones:tenga 2 máximos relativos, 4 valores estacionarios, 1 mínimo relativo y 5 valores críticos.

�

4.7.3 Bordes del intervalo.Por último, ¿qué pasa si la función está definida en un conjunto que no es un intervalo

abierto? Los conjuntos que no son intervalos abiertos pueden tener diversas formas: pueden serintervalos cerrados sencillos como el intervalo [1, 5] pero también pueden ser conjuntos máscomplejos como por ejemplo el conjunto de los números racionales Q. Nos concentraremos enlos conjuntos de la forma, que ya conocemos, de la Tabla 4.7, o que se pueden formar uniendouna cantidad finita de ellos. Por ejemplo,• La función f (x) =

√x2 − 1 tiene como dominio natural Dom( f ) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

• La función g(x) =1

x − 3tiene como dominio natural Dom(g) = (−∞, 3) ∪ (3,+∞).

En general, podrá pasar que los valores de x para los cuales las funciones tomen susvalores máximos locales o valores mínimos locales también se encuentren en los bordesde los conjuntos que estemos estudiando. Por ejemplo, una función creciente en el intervalo[−1, 1] toma sus valores máximos y mínimos en los bordes del intervalo. Ver Figura 4.27.

x

y

−1 1

Mínimo local

Máximo local

Figura 4.27: Gráfica de una funciónen un intervalo cerrado con valoresmáximos y mínimos que se alcanzanen los bordes del dominio.

Primeras conclusiones y reflexiones.La exploración de los valores críticos (que incluye los valores estacionarios de una

función y su comportamiento en los bordes del intervalo) permiten tener una la listacompleta de valores en los la función con la que estemos trabajando tome sus valores máximoso mínimos locales. Ninguno de estos valores máximos/mínimos se nos “escapará” siempre ycuando seamos capaces de:• Averiguar en qué valores de x una función es derivable y en qué puntos no. Requiere

mayor destreza en el cálculo de límites de los cocientes incrementales. Nos ocuparemosde esto en la siguiente sección.• Resolver la ecuación f ′(x) = 0. Requiere destreza algebraica para “despejar” la variable

x. Aunque puede suceder que la ecuación no sea resoluble en forma exacta por métodosalgebraicos y tengamos que recurrir a métodos de aproximación.• Identificar correctamente el dominio de la función junto con sus bordes. Aquí se conjuganvarias cosas. Principalmente conocer las características de las funciones básicas.

4.8 Existencia de la derivada. 27

4.8 Existencia de la derivada.Como mencionamos anteriormente, nos interesa saber cuándo existe y cuándo no existe el

límite correspondiente al cálculo de una derivada

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

(4.7)

Ya hemos mencionado en el Teorema 4.3.1 que la existencia de los łímites laterales y suigualdad es suficiente para poder afirmar que el límite 4.7 existe.

Definición 4.8.1 — Derivadas laterales. Consideramos dos casos por separado.

• Si f es una función definida en un intervalo de la forma [a, d), entonces se denominaderivada lateral por derecha de f en x = a al número, si es que existe,

f ′+(a) = lı́mx→a+

f (x) − f (a)x − a

• Si f es una función definida en un intervalo de la forma (c, a], entonces se denominaderivada lateral por izquierda al número, si es que existe,

f ′−(a) = lı́mx→a−

f (x) − f (a)x − a

Actividad 4.27 Discutan entre compañeros/as y docentes, ¿qué representan geométricamentelas derivadas laterales de una función? Redacten la explicación que consideren adecuada yrealicen un gráfico que sirva como ayuda. �

Actividad 4.28 La Figura 4.28 presenta la gráfica del volumen ventricular del corazóndurante un latido normal de 0.8 segundos. Durante la sístole, el ventrículo se contrae yexpulsa la sangre hacia la aorta. La diástole, es el período en el que el ventrículo se relaja yrecibe sangre que proviene de la vena cava.¿Cómo describirían el comportamiento ventricular a los 0.3 segundos? ¿El ventrículo secontrae a la misma velocidad con la que se relaja? ¿Cuál es la velocidad del flujo de sangre(en ml/segundos) que entra al ventrículo al comenzar la diástole?

�

Figura 4.28: Volumen ventricular (en ml) en función del tiempo (en segundos).


Teorema 4.8.1 Considerando f una función definida en un intervalo abierto (c, d) quecontiene a x = a.

f es derivable en x = a ⇐⇒ f ′−(a) y f ′+(a) existen y son iguales.

En este caso se cumple: f ′(a) = f ′−(a) = f ′+(a).

Notar: si las derivadas laterales en un punto x = a de una función no existen, o existenpero son distintas, entonces la función no es derivable en x = a. Ver Figura 4.29.

Figura 4.29: Porción de la gráficade una función cuyas derivadas la-terales existen en x = 3 pero sondistintas.

Actividad 4.29 Estudien las derivadas laterales de las siguientes funciones en el valor dex = a indicado y decidan si la función es derivable allí. En cada caso, realicen la gráfica dela función.

a) f (x) =

x2 para x ≥ 0

x3 para x < 0para a = 0.

b) g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1

r + 3 para r > 1para a = 1.

�

Figura 4.30: Porción de la gráfica deuna función en la que no existe ellímite de f (x) para x → 3.

Teorema 4.8.2 Considerando f es una función definida en un intervalo abierto (c, d) quecontiene a x = a.

Si f es derivable en x = a =⇒ lı́mx→a

f (x) = f (a).

La existencia de la derivada en el valor x = a garantiza que el límite lı́mx→a

f (x) tambiénexiste y puede calcularse por simple evaluación.Notar: si el lı́m

x→af (x) no existe o, existe pero es distinto a f (a), entonces la función no es

derivable en x = a. Ver Figura 4.30.

Las funciones que cumple quelı́mx→a

f (x) = f (a) (o sea, aquellaspara las cuales el límite se puede cal-cular simplemente por evaluación)se denominan continuas en x = a.En el próximo módulo las estudiare-mos con más detalles.

Trabajaremos a continuación una última situación en este módulo en relación a nuestro

problema de determinar la existencia del límite lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.

x y Vprom[0, x]

1.51.5.1.01

−.01−.1−.5−1−1.5

Tabla 4.8: Actividad 4.30.

Actividad 4.30 La Figura 4.32 presenta la gráfica de la función f (x) = 3√x (recordar lasfunciones radicales del Módulo 3 en página 9).

Nos proponemos estudiar la existencia de la recta tangente a la gráfica en el punto (0, 0).

a) Completen la segunda columna de la Tabla 4.8 con los valores de y correspondientesa los puntos de abscisa x. Grafiquen en la figura las rectas secantes entre los puntos(0, 0) y (x, y).

b) Completen la Tabla 4.8 con los valores correspondientes de las pendientes de lasrectas secantes graficadas en el item a).

c) Se observa que para valores de x que se aproximan a 0 las rectas secantes se“aproximan” a una recta de ecuación . . . ¿qué ecuación tiene la recta tangente a lagráfica en el punto (0, 0)?

d) ¿Qué ocurre con los valores de Vprom[0, x] si agregamos más filas a la tabla tomandovalores de x cada vez más cercanos a 0?

�

4.8 Existencia de la derivada. 29

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

y = 3√x

x

y

Figura 4.31: Gráfica de la función radical f (x) = 3√x.

Para determinar si la función f (x) = 3√x es derivable en x = 0 debemos estudiar laexistencia del límite

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

3√xx= lı́m

x→0

1x2/3︸︷︷︸(∗)

El límite (∗) no puede calcularse evaluando porque el denominador se anula (no sonválidas las propiedades de cálculo de límites). La exploración numérica de la Actividad 4.30b)y la exploración geométrica de la Actividad 4.30c) muestran que tomando x → 0 (tanto parax → 0+ como x → 0−) los valores de Vprom[0, x] son cada vez más grandes y positivos a lavez que la rectas secantes se “ponen” cada vez más verticales. Escribimos

cuando x se aproxima a 0 entoncesf (x) − f (0)

x − 0aumentan ilimitadamente

Los númerosf (x) − f (0)

x − 0se comportan de tal manera que aumentan y crecen indefini-

damente tomando valores tan grandes como se quiera; no tienen ningún techo.

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

Figura 4.32: Gráfica de la funciónradical f (x) = 3√x.

Por lo tanto, el límite

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

3√xx= lı́m

x→0

1x2/3 = +∞

no existe (no es ningún número real finito) y la función f (x) = 3√x no es derivable enx = 0. Es necesario marcar aquí la diferencia con los casos anteriores porque la gráfica tienerecta tangente en el punto (0, 0) pero es vertical por lo que no tiene pendiente o como a vecesse dice, tienen pendiente infinita.

5. Derivada.

“Los países ricos lo son porque dedican dinero al desarrollo científico tecnológico. Y lospaíses pobres lo siguen siendo si no lo hacen. La ciencia no es cara, cara es la ignorancia.”

Bernardo Houssay (1887 - 1971)

5.1 Cálculo directo de derivadasEn esta sección aprenderemos algunas reglas y técnicas que nos permitirán encontrar

las derivadas de manera general. El cálculo de derivadas sería muy engorroso si siempredebiéramos escribir el cociente incremental y calcular el límite. Calcularemos derivadasde funciones básicas por medio de la definición y luego usaremos las llamadas reglas dederivación para encontrar las derivadas de funciones más complicadas.

Recordemos, del módulo anterior, que usando la noción de límite y de límites lateraleshemos definido la derivada, la derivada por derecha y la derivada por izquierda de unafunción usando el cociente incremental.

Definición 5.1.1 — Función derivada. Dada una función f definida en un intervalo abierto(c, d). Dado x ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo, se define la función derivadaa la función definida por la regla

x 7−→ f ′(x) = lı́m∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)∆x

en los casos en que el límite exista. Para funciones definidas en intervalos cerrados [c, d]o semicerrados, [c, d) o (c, d], se considera en el borde del intervalo la derivada lateralcorrespondiente: f ′+(c) o f ′−(d) si los límites existen.

Usamos varias formas de escribir a la función derivada.

f ′ =dfdx

f ′(x) =dfdx(x)

Con varios ejemplos analizamos casos en donde la derivada no existe por lo que el dominiode la función derivada puede ser más pequeño que el dominio de la función original.

� Ejemplo 5.1 En la Actividad 4.15 del Módulo 4 se calcularon las derivadas de las siguientesfunciones:

• Para f (x) = 4x3 se obtuvo f ′(x) = 12x2.

• Para f (x) =1x2 se obtuvo f ′(x) = −

2x3 .

En todos estos casos, el dominio de la función y el dominio de la derivada coinciden.Dom( f ) = Dom( f ′).

Sin embargo, para la función g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1

r + 1 para r > 1de la Actividad 4.29

del Módulo 4 obtuvieron que las derivadas laterales g′−(1) y g′+(1) son distintas, por loque la función g no es derivable en x = 1. O sea 1 < Dom(g′).

�

En las siguientes actividades desarrollaremos algunas técnicas que permitirán sistematizarel cálculo de derivadas para funciones sencillas.

2 Capítulo 5. Derivada.

5.1.1 Derivada de las funciones constantes: f (x) = kComenzamos con un caso sencillo, que se da cuando la función es constante, es decir,

f (x) = k con k una constante. Por ejemplo,

f (x) = 5 g(r) = π2 h(t) =35

Actividad 5.1 Consideren que p(t) indica la posición (en kilómetros respecto al km 0ubicado en el Obelisco) de un automóvil como función del tiempo t (en horas contandodesde las 0 horas del día de hoy), siendo p(t) = 3 km para todo t ≥ 0.

a) Realice la gráfica de p respecto a t.b) Describan en palabras la gráfica de la función p respecto a t y el comportamiento

del automóvil.c) ¿Qué velocidad tiene el automóvil en cada instante t?

�

En forma general, dada f (x) = k, una función constante, sabemos que su dominio naturales Dom( f ) = R. Usando la Definición 5.1.1 determinamos que

lı́m∆x→0

f≡k︷︸︸︷f (x + ∆x) −

f≡k︷︸︸︷f (x)

∆x= lı́m∆x→0

k − k∆x

= lı́m∆x→0

0∆x= lı́m∆x→0

0 = 0.

Luego, f ′(x) = 0 para cualquier x. Por lo tanto, también es Dom( f ′) = R.

Usando la notación de Leibniz decimos queddx[k] = 0.

5.1.2 Derivada de las funciones lineales: f (x) = mx + bEn el Módulo anterior también calcularon, a partir de la definición, las derivadas de las

funcionesf (x) = 7x − 3 y f (x) = 1 − 5x.

En ambos casos, para cualquier valor de x, llegaron a que f ′(x) es la pendiente de la rectaque resulta ser la gráfica de la función f .

En forma general, podemos decir que

• Para f (x) = mx + b es una función lineal cualquiera, f ′(x) = m para todo x ∈ R.

Actividad 5.2 Expresando el cociente incremental y la definición de derivada, realicen lademostración del resultado anterior: si f (x) = mx + b entonces f ′(x) = m.

�

5.1.3 Derivada de las funciones xn para n = 1, 2, 3, ...Se trata de determinar la derivada de funciones como f (x) = x4 o g(x) = x17. Para ello

necesitamos calcular

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

xn − an

x − a.

Para avanzar en el cálculo del límite, necesitamos simplificar la fracciónxn − an

x − a. En

actividades previas ya han trabajado con expresiones similares en los casos de n = 2, 3 y 4. Enparticular, n = 2, tenemos que

x2 − a2

x − a=(x − a)(x + a)

x − a= x + a, para x , a.

5.1 Cálculo directo de derivadas 3

Para el caso general de n = 1 ,2 ,3, ... necesitamos usar la fórmula, a veces denominadafórmula de suma geométrica,

xn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1 =xn − an

x − a.

Si no vieron esta fórmula con anterioridad o no la recuerdan, pueden verificarla cuidadosa-mente multiplicando ambos lados de la igualdad por x − a. Con esa fórmula podemos avanzaren el cálculo de la derivada de xn:

f ′(a) = lı́mx→a

xn − an

x − a= lı́m

x→axn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1

podemos calcular el límite evaluando en x = a porque se trata de una expresión polinómica

= an−1 + an−2a + an−3a2 + · · · + a an−2 + an−1

= an−1 + an−1 + · · · + an−1︸︷︷︸son n términos, todos iguales a an−1

= n an−1.

Obtenemos que la derivada de una función potencia f (x) = xn, con n = 1, 2, 3, . . . es

f ′(x) = n xn−1 o, con la notación de Leibniz,ddx[xn] = n xn−1.

� Ejemplo 5.2 Las derivadas de g(x) = x7 y h(x) = x121 son

g′(x) = 7x6 y h′(x) = 121x120,

respectivamente. �

Actividad 5.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones:

a) f (x) = −4x − 8 b) g(u) = 9 c) h(y) = y44

d) r(u) = 1 − 35 x e) t(x) = 0.44 f ) r(x) = x8

�

5.1.4 Derivada de la función√

xCuando se desarrolla el cociente incremental de la función f (x) =

√x en un valor de a ≥ 0

obtenemos, con x , a y x ≥ 0

∆ f∆x=

√x −√

ax − a

=

√x −√

ax − a

.

√x +√

a√

x +√

a=

x − a(x − a).

(√x +√

a) = 1√

x +√

a

f (x) =√

x

Para a = 0 se debe tomar x → 0+ y obtenemos que la derivada no existe porque

lı́mx→0+

∆ f∆x= lı́m

x→0+1√

x= +∞

Para a > 0 podemos calcular el límite por simple evaluación

lı́mx→a

1√

x +√

a=

12√

a

En resumen, para la función raíz cuadrada f (x) =√

x cuyo dominio es [0,+∞) se tiene

que su derivada existe en el intervalo abierto (0,+∞) y f ′(x) =1

2√

x.


5.2 Regla de la suma, producto y cocienteComo mencionamos al inicio, afortunadamente no es necesario calcular todas las derivadas

que necesitemos usar por definición, sino que bastará, en general, que conozcamos algunas

derivadas básicas (entre ellas queddx

xn = nxn−1) para así poder calcular derivadas de funcionesmás complicadas separándolas en partes más pequeñas. Veremos a continuación las reglaspara derivar una suma, resta, producto y cociente de otras dos funciones.

5.2.1 Derivada de una suma o una resta de funciones derivables

En palabras: la derivada de unasuma es la suma de las derivadas.

Para f y g funciones derivables en x se tiene[f (x) ± g(x)

] ′= f ′(x) ± g′(x)

ddx[ f (x) ± g(x)] =

dfdx(x) ±

dgdx(x)

Supongamos que h(x) = f (x) + g(x), ¿cómo se escribe el cociente incremental de h?

∆h∆x=

h(x) − h(a)x − a

=

[f (x) + g(x)

]−

[f (a) + g(a)

]x − a

=f (x) − f (a)

x − a+g(x) − g(a)

x − a

=∆ f∆x+∆g

∆x

Por lo tanto, con la hipótesis de que f y g son derivables en x se tiene que

lı́m∆x→0

∆h∆x= lı́m∆x→0

∆ f∆x+ lı́m∆x→0

∆g

∆x= f ′(a) + g′(a).

� Ejemplo 5.3 Considerando la regla para derivar funciones potencias y suma de funcionestenemos que para la función f (x) = x4 + x9 se calcula f ′(x) = 4x3 + 9x8 según elsiguiente desarrollo

f ′(x) =(x4 + x9

) ′=

(x4

) ′+

(x9

) ′= 4x3 + 9x8

�

Actividad 5.4 Calculen derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = x4 + 2 b) g(r) = 12 + r12 + r4 c) h(t) = t3 − 4 + t

�

5.2.2 Derivada de un producto de funciones derivablesPara f y g funciones derivables en x se tiene[

f (x).g(x)] ′= g(x). f ′(x) + f (x).g′(x)

ddx[ f (x).g(x)] = g(x).

dfdx(x) + f (x).

dgdx(x)

En palabras: la derivada de unaproducto es: la derivada del primerfactor multiplicada por el segundofactor (sin derivar), más la derivadadel segundo factor multiplicada por

el primer factor (sin derivar).En esta situación, al tomar h(x) = f (x).g(x) e intentar escribir el cociente incremental

obtenemos

5.2 Regla de la suma, producto y cociente 5

∆h∆x=

h(x) − h(a)x − a

=f (x).g(x) − f (a).g(a)

x − a

=f (x).g(x) +

sumamos y restamos el mismo término︷︸︸︷[− f (a).g(x) + f (a).g(x)] − f (a).g(a)

x − a

=f (x).g(x) − f (a).g(x) + f (a).g(x) − f (a).g(a)

x − a

=g(x). [ f (x) − f (a)] + f (a) [g(x) − g(a)]

x − a

=g(x) [ f (x) − f (a)]

x − a+[g(x) − g(a)] . f (a)

x − a

= g(x).f (x) − f (a)

x − a+ f (a).

g(x) − g(a)x − a

= g(x).∆ f∆x+ f (a).

∆g

∆x

Sabiendo que f y g son derivables en a podemos calcular

lı́mx→a

∆h∆x= lı́m

x→ag(x). lı́m

x→a

∆ f∆x+ f (a). lı́m

x→a

∆g

∆x= g(a). f ′(a) + f (a).g′(a)

Recordar que, dado que g es deri-vable en a entonces se cumple quelı́mx→a

g(x) = g(a).Teorema 4.8.2 del Módulo 4.

� Ejemplo 5.4 Calculemos la derivada de la función h(x) = (7x − 3)(x8 − x4).

Tomando f (x) = 7x − 3 y g(x) = x8 − x4 tenemos que f ′(x) = 7 y g′(x) = 8x7 − 4x3.Luego, a partir de la regla del producto, llegamos a que

h′(x) = (7x − 3)′(x8 − x4)+ (7x − 3)(x8 − x4

) ′= 7.(x8 − x4)+ (7x − 3).(8x7 − 4x3)

�

Actividad 5.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.

a) f (x) = (1 − x).x5 b) T(V) = (V2 − V10).(V9 + V2 − 5 − V)�

5.2.3 Derivada de un múltiplo constante de una función derivable

En palabras: la derivada de unaconstante por una función es la

misma constante multiplicada porla derivada de la función.

Si f es una función derivable en x y c es un número real, obtenemos

[c f (x)]′ = c. f ′(x)

ddx(c f )(x) = c

dfdx(x)

� Ejemplo 5.5 La derivada de f (x) = 4x3 puede calcularse de la siguiente manera

f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4.(3x2) = 12x2

�


� Ejemplo 5.6 La derivada de g(x) =x8

5puede calcular de la siguiente manera

f ′(x) =(

x8

5

) ′=

(15 x8

) ′= 1

5 8x7 = 85 x7

�

Actividad 5.6 ¿Cómo se escribe el cociente incremental de la función c. f (x)? Desarrollenpaso a paso cómo se escribe el cociente incremental y la demostración de la regla anterior.

�

5.2.4 Derivada del cociente de dos funciones derivables

Para f y g funciones derivables en x tal que g′(x) , 0 se tiene[f (x)g(x)

] ′=

f ′(x).g(x) − f (x).g′(x)g2(x)

Notación: Usamos la notación

g2(x)

para abreviar la operación

g(x).g(x) = [g(x)]2Actividad 5.7 Escriban la regla anterior usando la notación de Leibniz. ¿Cómo se dice“en palabras” la regla del cociente?

�

Tomando h(x) =f (x)g(x)

, y con algunas cuentas algebraicas similares a las realizadas en la

regla del producto, es posible escribir el cociente incremental de la siguiente forma

∆h∆x=

f (x)g(x) −

f (a)g(a)

x − a=

g(a). f (x)− f (a)x−a − f (a). g(x)−g(a)x−a

g(x)g(a)

de la cual se deduce la regla del cociente mencionada

lı́mx→a

∆h∆x=

g(a). f ′(a) − f (a).g′(a)g2(a)

� Ejemplo 5.7 Usamos la regla del cociente para determinar la derivada de las funciones

homográficas h(x) =ax + bcx + d

.

h′(x) =(

ax + bcx + d

) ′=(ax + b)′(cx + d) − (ax + b)(cx + d)′

(cx + d)2

=a.(cx + d) − c.(ax + b)

(cx + d)2

�

Actividad 5.8 Calculen la derivada de las siguientes funciones

a) f (x) =x2

4x + 1b) g(r) =

3r2 − 5r − r2

3�

5.2 Regla de la suma, producto y cociente 7

5.2.5 Derivada de las funciones xr para r cualquier número racionalLa regla descripta en la Sección 5.1.3 para funciones potencia con exponente n (entero

positivo) puede extenderse para funciones potencia con exponente r ∈ Q. En primer lugar,para un número entero n cualquiera (tanto positivo, negativo o 0) porque, siendo n < 0 puedeescribirse para x , 0

xn =1

x−n

por lo tanto

(xn)′ =(

1x−n

) ′=(1)′x−n − 1. (x−n)′

(x−n)2=−(−n)x−n−1

x−2n = nx−n−1+2n = n.xn−1.

Para el caso particular n = 0 se de-be hacer mención a una cuestión denotación porque asumimos la equi-valencia entre las expresiones

x0 ≡ 1

de modo que se trata de la derivadade una función constante.

� Ejemplo 5.8 Para calcular la derivada de f (x) = x5 +1x9 operamos

f ′(x) =(x5 +

1x9

) ′=

(x5

) ′+

(x−9

) ′= 5x4 + (−9)x−9−1 = 5x4 − 9x−10 = 5x4 −

9x10

�

En el caso que n ∈ Q (número racional cualquiera n =pqcon p, q ∈ Z, q , 0) la regla es

igualmente válida pero para una demostración hacen falta algunas técnicas que no tenemos eneste momento.

C En estos casos hay que tener especial cuidado con los dominios de las funciones y desus derivadas. Por un lado, en los casos que q sea par, se debe considerar x ∈ [0,∞)porque hay que considerar el dominio de las funciones con raíces de orden par. Porotro lado, si n < 0 también debe considerarse x , 0 (para que el cociente quede biendefinido). Como última situación, si n < 1, la derivada no está definida en x = 0 por loque habrá que reducir el dominio de la derivada.Recuerden el caso n = 1

2 de la Sección 5.1.4 para la función f (x) =√

x = x1/2.

� Ejemplo 5.9 En los siguientes casos se desarrollan las derivadas y los dominios

Para f (x) = x4/3 con Dom( f ) = R se tiene f ′(x) = 43 x1/3 con Dom( f ′) = R.

Para g(x) = x1/3 con Dom(g) = R se tiene g′(x) = 13 x−2/3 con Dom(g′) = R − {0}.

Para h(x) = x5/2 con Dom(h) = [0,∞) se tiene h′(x) = 52 x3/2 con Dom(h′) = [0,∞).

Para t(x) = x1/2 con Dom(t) = [0,∞) se tiene t ′(x) = 12 x−1/2 con Dom(t ′) = (0,∞).

�

Actividad 5.9 Calculen las derivadas de las siguientes funciones y determinen el dominiode las funciones y de sus derivadas.

a) J(w) = w−3 + w3 b) f (x) =1x

c) g(r) =9r3

d) r(x) = 3√x e) h(x) =x + x3√

xf ) E(q) = (q2 − 3q)(q2/3 + 4)

�


5.3 Regla de la cadenaEnunciaremos a continuación, sin demostrar, la regla correspondiente a la derivada de una

composición de funciones.Recordemos que cuando consideramos la composición de dos funciones es porque armamos

una nueva función compuesta.

x g(x) f (g(x))g f

f ◦ g

En palabras: la derivada de unacomposición de funciones es laderivada de la función exterior(evaluada en la función interior)multiplicada por la derivada de la

función interior.

Teorema 5.3.1 — Regla de la cadena. Si g es una función derivable en x y f es una funciónderivable en g(x) entonces la composición f ◦ g es derivable en x y se puede calcular laderivada de la siguiente manera:

( f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x)

C Para escribir la regla de la cadena en la notación de Leibniz se suele usar las variablesauxiliares y = g(x) y z = f (y) para que el diagrama sea

x y z

Abusando de la notación se escribe:dzdx=

dzdy.dydx

.

En la misma expresión estamos considerando a la variable z como variable dependiente

de la variable x (dzdx

) pero también como variable dependiente de la variable y (dzdy

).

� Ejemplo 5.10 Para calcular la derivada de la función h(x) = (x4 + 1)78 utilizando la reglade la cadena considerando las funciones f (y) = y78 junto a g(x) = x4 + 1 porque lacomposición queda establecida h(x) = f (g(x)). Por lo tanto

h′(x) = f ′(g(x)).g′(x) = 78(x4 + 1)77.(4x3)

�

� Ejemplo 5.11 Para calcular la derivada de la función h(x) =√

x3 − 1 usando la notación deLeibniz tomamos y = x3 − 1 de modo que z =

√y

dydx= 3x2 dz

dy=

12√y

dzdx=

dzdy.dydx=

12√y

.3x2 =1

2√

x3 − 1.3x2

�

5.4 Ejercitación. 9

Actividad 5.10 Calculen las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = (3x + 1)7 b) h(x) = (3x + 1)−4 c) g(x) = (x2 − 3x)−4

d) F(x) = 3√

12 − 2x9 e) G(x) =

(x + 1

2x − 1

)5f ) H(x) = (2x + 1)5x3

�

5.4 Ejercitación.Ejercicio 5.1 Calculen la derivada de cada función

a) y = (2x − 7)3 b) y = (3x2 + 1)4

c) y =x3(x4 − 2x2) d) y =

1x − 5

8

e) g(x) = 3(4 − 9x)4 f ) f (x) = 2(1 − x2)3

g) f (t) =√

1 − t h) g(x) =√

3 − 2x

i) y =3√

9x2 + 4 j) g(x) =√

x2 − 2x + 1

k) y = 2√

4 − x2 l) f (x) = 3 4√2 − 9x

m) y =1

x − 2n) s(t) =

1t2 + 3t − 1

ñ) f (t) =(

1t − 3

)2o) y = −

4(t + 2)2

p) y =1

√x + 2

q) g(t) =

√1

t2 − 2

r) f (x) = x2(x − 2)6 s) f (x) = x(3x − 9)3

t) y = x√

1 − x2 u) y = x2√

9 − x2�

6. Funciones continuas

En el Módulo 4 mencionamos la siguiente propiedad:

Teorema 6.1.1 Dada f una función definida en un intervalo abierto (c, d), tal que a ∈ (c, d).

Si f es derivable en x = a =⇒ lı́mx→a

f (x) = f (a).

x

y

a

f (x)


x

y

a

g(x)


Actividad 6.1 Las funciones graficadas en las Figuras 6.1 y 6.2 tienen las características de:

a) f (x) no está definida en x = a. b) f (x) = g(x) siempre que x , a.

c) lı́mx→a

g(x) = g(a).Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas explicando su razonamiento.

a) lı́mx→a

f (x) = f (a) b) lı́mx→a

f (x) = g(a) c) lı́mx→a

f (x) no existe�

Actividad 6.2 Acorde a las gráficas de la Figura 6.3.a) ¿Cuál es el valor correcto para f (a) en la Gráfica IV: ¿z1 o z2?b) Las Gráficas I, II y III, ¿tienen un trazo continuo sin cortes ni agujeros?c) Las Gráficas IV, V, VI, VII, VIII y IX son discontinuas en uno o más valores del

intervalo. Marquen cada valor de discontinuidad agregando una marca y una letra aen el eje x como se muestra en el gráfico IV.

�

x

y

x

y

x

y

Gráfica I Gráfica II Gráfica III

x

y

z1

z2

a

x

y

x

y

Gráfica IV Gráfica V Gráfica VI

2 Capítulo 6. Funciones continuas

x

y

x

y

x

y

Gráfica VII Gráfica VIII Gráfica IX

Figura 6.3: Gráficas de la Actividad 6.2.

Recordemos que∞ no es un númeroreal, luego si lı́m

x→af (x) = ∞ enton-

ces ese límite no existe.

Actividad 6.3 Usando nuevamente las gráficas de la Figura 6.3.

a) Indiquen en cada gráfico todos los valores de a sobre el eje x en donde

lı́mx→a+

f (x) , lı́mx→a−

f (x).

b) Verdadero o Falso: Si lı́mx→a+

f (x) , lı́mx→a−

f (x) entonces f es discontinua en a.

c) ¿Qué gráfico de la Figura 6.3 tiene un valor a donde lı́mx→a+

f (x) = lı́mx→a−

f (x) = ∞?

d) Verdadero o Falso: Si lı́mx→a+

f (x) = lı́mx→a−

f (x) = [un número real] entonces f escontinua en x = a.Si es Falso, den un ejemplo de la Figura 6.3 que muestre que esta afirmación es falsa,y expliquen su razonamiento.

e) Hay dos gráficos en la Figura 6.3 en los que la afirmación del punto anterior es falsa.¿Cuáles son?

f ) Para cada uno de esos dos gráficos, escriban lo que conocen del valor de f (a).

g) Cada uno de estos dos gráficos tiene un “problema” en x = a que hace que la funciónsea discontinua en a. Describan en que difieren esos dos problemas.

�

Definición 6.1.1 — Continuidad en un valor de x y en un intervalo.

Una función f es continua en x = a si lı́mx→a

f (x) = f (a).

(el límite de la función se puede calcular evaluando la función)

Una función f es continua en un intervalo (c, d), si es continua en todo punto de eseintervalo.

Si ese intervalo es cerrado [c, d], entonces también debe cumplirse que:

• en c, el borde de la izquierda, lı́mx→c+

f (x) = f (c), es decir, f (x) es continua aderecha en x = c.

• en d, el borde de la derecha, lı́mx→d−

f (x) = f (d), es decir, f (x) es continua aizquierda en x = d.

3

Actividad 6.4 En grupo, piensen en un ejemplo de la vida cotidiana de un proceso quepueda ser descripto mediante una función continua, y uno que puede describirse por unafunción que contiene una o más discontinuidades. Propongan un gráfico para cada una deestas funciones.

�

Cada uno de los gráficos VII y VIII tiene un punto de discontinuidad que se dice removible oevitable. En cierta forma, cada una de esas funciones es discontinua en a porque f (a) no es elvalor que esperamos basados en los valores de la función cerca de a. En estos casos tenemosque

lı́mx→a

f (x) = [ existe, es un número real ]

pero f (a) no existe o es distinto al valor del límite.Para lograr que el gráfico sea continuo en a se necesita que f (a) y lı́m

x→af (x) existan ambos y

sean iguales.Cuando estamos en presencia de la gráfica de una función continua en un intervalo es

porque podemos imaginar una hormiga (muy pequeña) caminando a lo largo de la gráfica deuna función sin interrupción (por ejemplo, sin caer en ningún agujero como el del gráfico VII).

6.1.1 Identificando discontinuidades a partir de una ecuaciónConsideren las siguientes funciones con sus correspondientes dominios naturales.

I) f (x) = 12 x II) f (x) =

x para x ≤ 1

−x + 2 para 1 < x ≤ 32x − 7 para x > 3

III) f (x) = 12 x3 − x − 1

IV) f (x) =1x

V) f (x) ={ 1

2 x2 − 2 para x ≤ 6−x2 + 12x − 33 para x > 6 VI) f (x) =

1(x − 2)2

VII) f (x) =x2 − 4x − 2

VIII) f (x) =−3 para x < 12 para 1 ≤ x < 23 para x ≥ 2

IX) f (x) ={ 1

2 x2 − 4x + 8 para x , 64 para x = 6

Todas estas funciones son lasmis-mas funciones que aparecierongraficadas en la Figura 6.3. Estainformación puede ser útil paracontrolar las respuestas a las pre-guntas en esta Sección.

Actividad 6.5 Considerando las funciones anteriores,

a) ¿Para qué valores de x la función IV tiene una discontinuidad? ¿Por qué?

b) ¿Para qué valores de x la función VII tiene una discontinuidad? ¿Por qué?

c) Para la función VIII definida por partes se tiene


• f (1) = • lı́mx→1+

f (x) = • lı́mx→1−

f (x) =

• f (2) = • lı́mx→2+

f (x) = • lı́mx→2−

f (x) =

¿Es f continua en su dominio? Usen los incisos previos para justificar su respuesta.

d) En la pregunta previa, analizamos la continuidad de la función VIII en x = 1 y x = 2.A) ¿En qué dos valores de x debería chequearse la continuidad la función II?B) ¿Es la función dada en II continua? ¿Por qué?C) ¿En qué valor o valores de x debería chequearse la continuidad la función V?D) ¿Es la función dada en V continua? ¿Por qué?

e) Usen lo realizado previamente para clasificar a las funciones de los gráficos I, III,IX, y VI como continuas o discontinuas (y anoten los valores de x en los que f tieneuna discontinuidad)

�

Actividad 6.6 Clasifiquen las funciones desde la IV a la IX en las categorias de la Tabla 6.1.

Descripción de la gráfica: Deben describir la característica que presenta la gráfica de lafunción según la discontinuidad. Hacer un bosquejo de ejemplo.Descripción analítica: Deben describir analíticamente el comportamiento en el punto dediscontinuidad.

�

Tipo de Número de la función. Descripción Descripcióndiscontinuidad Ejemplo: IV, V, etc. de la gráfica analítica

Salto

Infinito

Agujero

Tabla 6.1: Clasificación de las discontinuidades.

6.2 Algunas propiedades de las funciones continuas 5

Las funciones VII y IX deben estar ubicadas en la fila donde se señala que el tipo dediscontinuidad es un agujero. Si rellenamos el agujero de la manera deseada o esperablesegún el valor del límite de la función obtendremos una nueva función que es continua. Porejemplo, la función IX puede debe ser redefinida en x = 6 de tal manera que el valor de lafunción coincida con el valor del límite.

f (x) =

12

x2 − 4x + 8 para x , 6

4 para x = 6=⇒ f̃ (x) =

12

x2 − 4x + 8 para x , 6

2 para x = 6

Actividad 6.7 ¿Cómo se redefine la función VII para que resulte continua en x = 2? �

6.2 Algunas propiedades de las funciones continuasSi dos funciones f y g son continuas en x = a, entonces las siguientes funciones también

son continuas en x = a:

f ± g c. f (c una constante) f .gfg(si g(a) , 0)

O sea, la suma, resta y el producto de dos funciones continuas (con el caso particular delas funciones constantes) en x = a es también una función continua en x = a. El cocientetambién será continuo en x = a siempre y cuando el denominador no se anule en x = a. Lasdemostraciones de estas afirmaciones son consecuencia de las propiedades algebraicas queposeen los límites según lo que se detalló en la Sección 4.4.2 del Módulo 4.

Teorema 6.2.1 — Composición de funciones continuas. Si g es una función continua en a yf es una función continua en g(a) entonces f ◦ g es una función continua en a.

C Según la Propiedad 4.4.5 del Módulo 4 toda función polinómica o racional es continuaen los valores de a que estén en su dominio. O sea, siempre sucederá que

lı́mx→a

f (x) = f (a)

para todos los valores de a que pertenezcan al Dom( f ).También son continuas, en todos los valores del dominio, las funciones racionalescompuestas con funciones raíces de cualquier índice según lo enunciado en el Módulo 4en la Propiedad 4.4.3.

� Ejemplo 6.1 Podemos calcular el límite

lı́mx→4

x3 − 8 +√

x − 2x2 − 4

simplemente por evaluación porque x = 4 pertence al dominio de la funciónx3 − 8 +

√x − 2

x2 − 4(la raíz y el cociente están bien definidos) y esa misma función

es continua en todo su dominio según lo enunciado en el comentario anterior.

lı́mx→4

x3 − 8 +√

x − 2x2 − 4

=43 − 8 +

√4 − 2

42 − 4=

56 −√

212

.


Pero no podemos calcular de igual manera el límite

lı́mx→2

x3 − 8 +√

x − 2x2 − 4

porque la funciónx3 − 8 +

√x − 2

x2 − 4no está definida en x = 2 (se anula el denominador).

Para calcular este límite deberemos hacer otra cosa.�

� Ejemplo 6.2 El valor x = 6 pertence al dominio de la función IX con la que trabajamospreviamente.

f (x) =

12

x2 − 4x + 8 para x , 6

4 para x = 6

Sin embargo, sabemos que la función IX no es continua en x = 6 por lo tanto el límitepara x → 6 no puede calcularse por evaluación. De hecho,

f (6) = 4 es diferente a lı́mx→6

f (x) = 2

�

Actividad 6.8 ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones?

a) f (x) =x2 + 6x + 9

x + 3b) g(x) =

√2x + 3 c) h(x) =

√2 − x2

�

Teorema 6.2.2 — Relación entre la derivada en x = a y la continuidad en x = a de una función.Dada f una función definida en un intervalo abierto (c, d), tal que a ∈ (c, d).

Si f es derivable en x = a =⇒ f es continua en x = a.

Actividad 6.9 Indiquen cuales dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Las tresrestantes son falsas, propongan el gráfico de una función que muestre que son falsas.

a) Si lı́mx→a

f (x) = f (a) entonces f es continua en x = a.b) Si f no es continua en x = a entonces f (a) , lı́m

x→af (x).

c) Si f no es continua en x = a entonces f (a) no está definida.d) Si f no es continua en x = a entonces lı́m

x→af (x) no existe.

e) Si f no es continua en x = a entonces f (a) no está definida o lı́mx→a

f (x) no existe.�

Actividad 6.10 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuálesson falsas. Para cada afirmación falsa, propongan el gráfico de una función que muestreque son falsas.

a) Si f es continua en un intervalo entonces f es derivable en ese intervalo.b) Si f es derivable en un intervalo entonces f es continua en ese intervalo.c) Si f es discontinua en x = a entonces f ′(a) no existe.

�


Cuando decimos que una función es continua en un intervalo y lo ejemplificamos conla frase “es que se puede dibujar la gráfica de la función desde el comienzo hasta el finalsin levantar la punta del lápiz” estamos utilizando una versión verbal del Teorema del ValorIntermedio que enunciamos a continuación:

Teorema 6.2.3 — Teorema del Valor Intermedio. Dada una función f continua en un intervalocerrado de la forma [c, d]. Dado A un valor cualquiera entre f (c) y f (d). Entonces existe almenos un valor de x ∈ [c, d] tal que A = f (x).

Cuando decimos “A entre f (c) y f (d)” estamos contemplando las dos situaciones posibles

f (c) ≤ A≤ f (d) o f (c) ≥ A ≥ f (d) x

y

c d

f (c)

f (d)

A

x

x

y

c d

f (c)

f (d)

A

x1 x2 x3

Figura 6.4: Esquema para el Teorema delValor Intermedio.

La demostración de este teorema requiere un trabajo cuidadoso con la definición de númerosreales y está íntimamente ligada con la propiedad de los números reales de completar la rectareal sin que queden huecos. No haremos la demostración y aceptaremos su validez.

En la Figura 6.4 se presentan dos representaciones posibles de una función continua en elintervalo [c, d]. Su gráfica “debe atravesar” la recta horizontal y = A. El Teorema del ValorIntermedio se comprueba “visualmente” de una manera muy sencilla. Pero su demostraciónformal, desde el punto de vista de la disciplina matemática, es más sofisticada.

Una aplicación del Teorema del Valor Intermedio es la determinación de ceros defunciones continuas.

Los ceros de una función sonaquellos valores de x (en el do-minio) para los cuales f (x) = 0.

Teorema 6.2.4 Dada una función f continua en un intervalo cerrado de la forma [c, d] tal quef (c) y f (d) tienen signo distinto. Entonces f tiene al menos un cero en el intervalo [c, d].

� Ejemplo 6.3 Podemos afirmar que la función f (x) = x4 + x − 3 tiene un cero en el intervalo[0, 2] porque es una función continua (es una función polinómica), f (0) = −3 yf (2) = 15 (tienen signo distinto).

Debe existir x ∈ [0, 2] tal que x4 + x − 3 = 0. No sabemos exactamente cuál es esevalor; pero sí sabemos que existe el cero.

�

Actividad 6.11 ¿Conocen algún procedimiento o se les ocurre algún procedimiento quepermita determinar, de manera aproximada, cuál es el valor del cero de f (x) = x4 + x − 3en el intervalo [0, 2]? Estudien la situación del Ejemplo 6.3 y discutan en el grupo cómocorrespondería hacer para calcular, de manera aproximada, el valor del cero que se estábuscando.

�

Otra consecuencia delTeorema del Valor Intermedio es la determinación de los intervalosde positividad y negatividad de una función continua.

Teorema 6.2.5 Dada una función f continua en un intervalo I de cualquier forma (puedeser abierto, cerrado, semi cerrado, que llegue hasta +∞, etc.) tal que f no tiene ceros en elintervalo, entonces f (x) tendrá siempre el mismo signo en el intervalo: f (x) > 0 en todo I;o f (x) < 0 en todo I.

Si elegimos un valor de prueba a ∈ I, evaluamos f (a) y con ese dato podemos determinarel signo de f (x) para todo el resto de los valores de x ∈ I.


� Ejemplo 6.4 Si consideramos la función f (x) = (x − 3)(x − 1)2(2x + 1)3 podemos afirmarque los únicos ceros de f son x1 = −

12 , x2 = 1 y x3 = 3. Además, f es una función

continua en todo R.

Concluímos, en primer lugar que f no tiene ceros en los intervalos (−∞,− 12 ), (−

12, 1),

(1, 3) y (3,+∞). O sea, los ceros de f subdividen a la recta real en intervalos donde,por el Teorema 6.2.5, la función debe mantener su signo.

�

Actividad 6.12 Siguiendo el desarrollo del Ejemplo 6.4 completen la Tabla 6.2.

Intervalo Valor de prueba a Signo de f (a) Signo de f (x) en todo x el intervalo

Tabla 6.2: Intervalos de positividad y negatividad de la función f (x) = (x − 1)(x − 3)2(2x + 1)3.

�

Si todo salió bien en la Actividad 6.12 los intervalos de positividad y negatividad de lafunción f (x) = (x − 1)(x − 3)2(2x + 1)3 deberían haber quedado de la siguiente manera:

−1/2 1 3

+ + + + + + − − − − − + + + + + + + + +

Actividad 6.13 Justifiquen por qué puede afirmarse que las siguientes funciones tienen almenos un cero en el intervalo indicado.

a) f (x) = 2x3 + x2 + 2 en el intervalo [−2,−1]

b) g(x) =5x − 5 − 5x3 + x4√

40 − x2en el intervalo [−4, 2].

�

Actividad 6.14 Determinen los intervalos de positividad y negatividad de la función

f (x) = x(x + 4)3(x − 1)2(x2 − 4x)(x2 + 2)

Presenten la respuesta dibujando la recta real y los intervalos de positividad y negatividadencontrados.

�


El último resultado teórico referido a funciones continuas es el Teorema de Weierstrass.En general, dependerá de cada función, sus características y del dominio en el que esté definida,para poder afirmar que la función alcanza o no alcanza un valor máximo y un valor mínimo.Sin embargo, este resultado teórico nos permite anticipar que las funciones continuas definidasen intervalos cerrados de la forma [c, d] siempre alcanzarán un valor máximo y un valormínimo absoluto.

También aceptaremos la validezde este Teorema sin demostrarlo.

Teorema 6.2.6 — Teorema de máximos y mínimos absolutos. Teorema de Weierstrass. Unafunción f continua en un intervalo cerrado [c, d] alcanzará un valor máximo absolutoen algún valor xM ∈ [c, d] y también alcanzará un valor mínimo absoluto en algúnvalor xm ∈ [c, d].

Por definición de máximos y mínimos absolutos en [c, d] se tiene que

f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM ) para todo x ∈ [c, d]

� Ejemplo 6.5 La función f (x) =

x para x ∈ [0, 1)

0 para x = 1no es continua en el intervalo [0, 1].

Ver la Figura 6.5. Podemos afirmar que alcanza el valor mínimo absoluto 0 en xm1 = 0y también en xm2 = 1; pero no alcanza un valor máximo absoluto en el intervalo. �

x

y

0 1

1y = f (x)


x

y

0 1

1 y = g(x)


� Ejemplo 6.6 La función g(x) =1xdefinida para x ≥ 1 es continua en todo el intervalo

[1,∞) pero el intervalo no tiene borde derecho.Podemos afirmar que alcanza el valor máximo absoluto 1 en xM = 1 pero no alcanzaun valor mínimo absoluto en el intervalo. Ver Figura 6.6.

�

� Ejemplo 6.7 La función f (x) = x7 − 3x4 + x3 − 9 es una función continua porque es unafunción polinómica. Por lo tanto, sobre la base del Teorema 6.2.6, podemos afirmarque alcanzará un valor máximo y un valor mínimo en cualquier intervalo de la forma[c, d]. Aunque no sabemos exáctamente cuáles serán esos valores

�

El Teorema 6.2.6 garantiza la existencia de valores máximos y mínimos en una funcióncontinua definida en un intervalo cerrado de la forma [c, d]. Sin embargo, no nos dice cuálesson esos valores máximos y mínimos, y ni siquiera dónde se alcanzan.Pero, en el Módulo 4, detallamos las características que deben cumplirse en x para que lafunción alcance valores máximos o mínimos relativos. ¿Se acuerdan?Los valores máximos o mínimos absolutos (que también son relativos) de funciones continuasen intervalos cerrados de la forma [c, d] se alcanzarán en los x tales que:• x sea uno de los bordes del intervalo: x = c o x = d.• x sea un valor crítico de la función dentro del intervalo:

I x sea un valor estacionario dentro del intervalo: existe f ′(x) y además f ′(x) = 0.I f ′(x) no existe (la función no es derivable en x).

La lista completa de valores x que cumplan alguna de las condiciones anteriores nos determinala lista de candidatos para que la función tome allí sus valores máximos y mínimos absolutos.Nuestra capacidad de encontrar los valores máximos o mínimos abolutos estará determinadapor la capacidad que tengamos de confeccionar esta lista de candidatos.


6.3 Teorema de Rolle y Teorema del Valor MedioActividad 6.15 En el viaje desde La Plata a Buenos Aires por la autopista se pasa por dospeajes que están a una distancia de 24 km. En un viaje habitual durante la mañana, un autopasa por el Peaje Hudson a las 9:00 am, y 16 minutos más tarde llega al Peaje Dock Sud.Discutan en el grupo y respondan las siguientes preguntas:

a) ¿La velocidad del auto fue de 90 km/h durante todo el trayecto?b) El conductor del auto recuerda que en algún momento del viaje, el velocímetro marcó

la velocidad de 100 km/h. ¿Es cierto que hubo un momento del viaje en el que lavelocidad del auto fue menor a los 90 km/h?

c) En algún momento del viaje el velocímetro marcó una velocidad de 90 km/h. ¿Escierto?

d) ¿Cualquier auto que haga el trayecto entre los peajes tendrá una velocidad promediode 90 km/h?

e) Para cualquier auto que haga el trayecto, ¿siempre habrá un instante del viaje en elque la velocidad promedio sea exactamente igual a la velocidad instantánea?

�

Actividad 6.16 Respecto a la gráfica de la función f (x) que se presenta en la Figura 6.7.

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

Figura 6.7: Gráfica de una función f en el intervalo [a, b].

a) Dibujen la recta secante que pasa por los puntos A y B.b) Marquen un punto C con coordenadas (c, f (c)) y la recta tangente a la gráfica de la

función f en el punto C que tenga la misma pendiente que la recta secante que pasapor los puntos A y B.

c) ¿Cuáles de las siguientes fórmulas describen la pendiente de las rectas dibujadas?Hay más de una respuesta.

f (c) f ′(a) f ′(b) f ′(c) f (b) − f (a)f (b) − f (a)

b − af (b) − f (a)

f (c)

d) Para cada gráfica de la Figura 6.9, marquen uno o más puntos C, con coordenadas

6.3 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio 11

(c, f (c)) en el intervalo (a, b) donde

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a

e) En el sistema de ejes coordenados de la Figura 6.8, dibujen la gráfica de una funciónque comience en el punto A, termine en el punto B y no exista ningún valor c ∈ (a, b)tal

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a

x

yy = f (x)

a b

B

A

Figura 6.8: Gráfica de una función f en el intervalo [a, b].

�

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

Figura 6.9: Gráficas de 3 funcionesen el intervalo [a, b].

Las Actividades 6.15 y 6.16 se refieren a la interpretación dinámica y geométrica delTeorema del Valor Medio que enunciamos a continuación y que tendrá varias consecuenciaspara nuestro interés de estudio de funciones numéricas.

Teorema 6.3.1 — Teorema del Valor Medio. Dada f una función continua en un intervalo dela forma [a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) entonces...

a) ... existe un número c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a, o en forma equivalente,

b) ... existe un punto C de la forma (c, f (c)), con c ∈ (a, b) tal que la pendiente de larecta tangente a la gráfica de f en C es igual a la pendiente de la recta secante quepasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).

Actividad 6.17 Considerando las gráficas de la Figura 6.10.a) Traten de encontrar un punto C con coordenadas (c, f (c)), con c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a


x

y

B

A

x

y

BA

Figura 6.10: Gráficas de dos funciones f y g en el intervalo [a, b] para la Actividad 6.17.

b) Expliquen por qué no es aplicable el Teorema del Valor Medio en los casos de laActividad 6.17.

�

Actividad 6.18 En los siguientes casos, realicen el gráfico de cada función en el intervalo[a, b] indicado, la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) y todas lasrectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta secante mencionada.

a) f (x) = x2 − 2x + 4 en el intervalo [0, 4].b) f (x) =

1xen el intervalo [ 12, 2].

�

x

y

BA

Figura 6.11: Ejes coordenados parala Actividad 6.20.

Actividad 6.19 Decidan si existe o no un valor de c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f (b) − f (a)

b − apara cada uno de los siguientes casos:

a) f (x) = x5 − 3x3 + 3x + 8 en el intervalo [1, 2]b) f (x) = x2/3 en el intervalo [−1, 1].

�

Actividad 6.20 Para una función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo(a, b). Si f (b) = f (a), ¿es posible asegurar que existe un valor estacionario c de f en elintervalo (a, b)?Usando el sistema de ejes cartesianos de la Figura 6.11,

• Si la respuesta anterior fue no, dibujen una función que no tenga ningún valorestacionario c en el intervalo (a, b).

• Si la respuesta anterior fue si, dibujen una función con algún valor estacionario c enel intervalor (a, b).

�

6.4 Intervalos de crecimiento y decremiento 13

La Actividad anterior se refiere al Teorema de Rolle que se enuncia de una manera similaral Teorema del Valor Medio.

Teorema 6.3.2 — Teorema de Rolle. Dada f una función continua en un intervalo de la forma[a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) tal que f (b) = f (a). Entonces f tiene almenos un valor estacionario c ∈ (a, b).

O sea, existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Decimos que el Teorema de Rolle (TR) y el Teorema del Valor Medio (TVM) sonequivalentes entre sí porque pueden deducirse uno respecto del otro. Se dice que el TR es uncaso particular del TVM porque sólo contempla los casos en los que f (b) = f (a). Y se diceque el TVM es una extensión del TR porque contempla casos más generales.

Demostración Demostraremos elTeoremadeRolle. Consideremos una función f continuaen un intervalo [a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) tal que f (b) = f (a). Por lahipótesis de que f continua en el intervalo cerrado [a, b] podemos afirmar, Teorema deWeierstrass (Teorema 6.2.6) mediante, que la función alcanza un valor máximo y un valormínimo absoluto en el intervalo [a, b]. Si alguno de estos valores (el valor máximo absolutoo el valor mínimo absoluto) se alcanzaran en algún valor c ∈ (a, b) entonces c deberá serun valor estacionario de f . O sea, podemos afirmar que existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Por el contrario, si ambos valores (el máximo absoluto y el mínimo absoluto) sealcanzaran en los bordes del intervalo entonces se cumplirá que

f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) o f (a) ≥ f (x) ≥ f (b) para todo x ∈ [a, b].

Pero la hipótesis f (a) = f (b) implica entonces que f (x) se trata de una funciónconstante en el intervalo [a, b] por lo tanto cualquier valor c ∈ (a, b) cumple que f ′(c) = 0.

Usando como referencia la función definida en el intervalo [a, b] por

g(x) = f (x) −f (b) − f (a)

b − a(x − a) − f (a) (6.1)

es posible deducir ahora el Teorema del Valor Medio.

Actividad 6.21 Dada una función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo(a, b). Muestren que la función g(x) definida en [a, b] por la ecuación 6.1 cumple todaslas hipótesis del Teorema de Rolle. Muestren que si g′(c) = 0 para algún valor c ∈ (a, b)

entonces f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a.

�

6.4 Intervalos de crecimiento y decremientoConsideremos una función f derivable en algún intervalo abierto (de cualquier forma).

Sean x1 y x2 dos valores cualesquiera en el intervalo tales que x1 < x2. De acuerdo al Teoremadel Valor Medio, considerando el intervalo [x1, x2] podemos afirmar que existe un valorc ∈ (x1, x2) tal que

f (x2) − f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

Nos referimos a intervalosabiertos como aquellos en losque no se incluyen sus bordes.Pueden ser de la forma (a, b),(−∞, b), (a,+∞) o (−∞,+∞).

Sabiendo que x2 − x1 es un número positivo, usando la regla de los signos para lamultiplicación podemos considerar varias opciones. Dos de ellas son

f (x2) − f (x1)︸︷︷︸>0

= f ′(c)︸︷︷︸>0

. (x2 − x1)︸︷︷︸>0

o f (x2) − f (x1)︸︷︷︸<0

= f ′(c)︸︷︷︸<0

. (x2 − x1)︸︷︷︸>0

(6.2)

Las ecuaciones 6.2 junto con la definición de derivada como límite del cociente incrementalpermiten demostrar el siguiente criterio para determinar los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de una función conociendo el signo de su derivada.


Teorema 6.4.1 — Criterio para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de unafunción derivable en un intervalo.

Considerando una función derivable en un intervalo abierto (de cualquier forma) entonces

• f es una función creciente en el intervalo =⇒ f ′(x) ≥ 0 en el intervalo.• f ′(x)> 0 en el intervalo =⇒ f (x) es una función creciente en el intervalo.

• f es una función decreciente en el intervalo =⇒ f ′(x) ≤ 0 en el intervalo.• f ′(x)< 0 en el intervalo =⇒ f (x) es una función decreciente en el intervalo.

C El criterio anterior puede extenderse a cualquier tipo de intervalos, que incluyan a unode sus bordes o a ambos bordes, sin necesidad que la función sea derivable en los bordes.En esos casos se necesita que la función sea continua (por derecha o por izquierda)según de qué borde se trate.

x

y

1

6

2

5

Figura 6.12:Gráfica de f (x) = 2x3−9x2+12x + 1.

� Ejemplo 6.8 Dado que la función f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1 es derivable en todo Rdeterminaremos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento usando el Teorema 6.4.1.Para ello calculamos

f ′(x) = 6x2 − 18x + 12 =︸︷︷︸(∗)

6(x − 1)(x − 2) (6.3)

En (∗) hemos calculado las soluciones de la ecuación 6x2 − 18x + 12 = 0.Podemos afirmar que f ′(x) < 0 para x ∈ (1, 2). Por lo tanto, f es decreciente en

ese intervalo. Y f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 1) y para x ∈ (2,+∞). Por lo tanto, f escreciente en cada uno de esos intervalos.

Evaluamos f (1) = 2 − 9 + 12 + 1 = 6 y f (2) = 2 8 − 9 4 + 24 + 1 = 5 para marcar lospuntos (1, 6) y (2, 5) en la Figura 6.12 y esbozar la gráfica de la función f contemplandola información obtenida sobre el crecimiento y decrecimiento de la función.

�

� Ejemplo 6.9 Estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

g(x) = 4x2 +1x.

Considerando que el dominio natural de g es el conjunto (−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que enese dominio la función es derivable, calculamos su derivada

g′(x) = 8x −1x2 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Para estudiar los intervalos de positividad y negatividad de g′(x) procederemos demanera similar a como lo hicimos en el Ejemplo 6.4.

Buscaremos aquellos intervalos en los que la función g′(x) = 8x −1x2 es continua y

no se anula; para luego determinar el signo de g′(x) usando valores de prueba.

En este caso, g′(x) es continua en los dos intervalos que conforman su dominio: elintervalo (−∞, 0) y el intervalo (0,+∞).

6.4 Intervalos de crecimiento y decremiento 15

Los ceros de g′(x) son aquellos x que cumplen

g′(x) = 0⇐⇒ 8x −1x2 = 0⇐⇒ 8x =

1x2

Considerandoque x , 0︷︸︸︷⇐⇒ x3 =

18⇐⇒ x = 1

2

0No pertenece

al dominio de g′.

12

g′ = 0

En los intervalos (−∞, 0), (0, 12 ) y (

12,+∞) la función g′(x) es continua y no se

anula por lo que podemos determinar su signo en cada intervalo tomando algún valorde prueba.

Intervalo Valor de prueba a Signo de g′(a) Signo de g′(x) en todo x el intervalo Comportamiento de g(x)

(−∞, 0) −1 g′(−1) = −8 − 1 = −9 Negativo Decreciente

(0, 12 )

14 g′( 14 ) = 2 − 16 = −14 Negativo Decreciente

( 12,+∞) 1 g′(1) = 8 − 1 = 7 Positivo Creciente

�

� Ejemplo 6.10 La función f (x) = x2/3 tiene Dom( f ) = R. Como el exponente es menorque 1, es derivable en el conjunto R − {0} quedando

f ′(x) = 23 x−1/3 =

23

13√x

para x , 0.

La derivada es continua y no se anula (el numerador es distinto de 0 para cualquierx , 0) en los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞).

Para x < 0 se tiene 3√x < 0 y para x > 0 se tiene 3√x > 0. Por lo tanto, f (x) esdecreciente en el intervalo (−∞, 0) y creciente en el intervalo (0,+∞).

�

Actividad 6.22 Estudien los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientesfunciones en sus correspondientes dominios naturales. Escriban en forma explícita losdominios naturales de las funciones y sus intervalos de crecimiento/decrecimiento.

a) f (x) = x3 + 5x b) g(x) = −x3 + 3x2 − 24x c) h(x) = x4/5

d) G(x) =x5+

37

e) F(x) = 9 f ) r(x) =x2

x2 − 1�


6.5 Derivada segunda6.5.1 La aceleración de un objeto en movimiento

Actividad 6.23 En una carrera de 400m llanos, dos corredoras que llamaremos A y Bplantearon estrategias distintas para intentar ganar. La posición de cada atleta se representaen la Figura 6.13 con las gráficas de las funciones pA(t) y pB(t) (posición en metrosrespecto al tiempo de la carrera medido en segundos).

a) ¿Qué representa pA(0) = pB(0)?b) ¿Qué representa pA(47.6) = pB(47.6)? ¿Quién ganó la carrera?c) ¿Cómo se describe la estrategia de la cada corredora? ¿Quién tomó ventaja en el

primer tramo de la carrera? ¿Qué sucedió durante el último tramo de la carrera?

t (en segundo)

p (en metros)

pA(t)

pB(t)

47.6

400

Figura 6.13: Gráficas de las funciones pA y pB.

�

La velocidad instantánea de cada atleta fue cambiando mientras duró la carrera. La atletaA comenzó la carrera despacio y fue incrementando su velocidad hacia el final. En cambio, laatleta B comenzó con un buen ritmo pero en el último tramo fue frenando (quizás debido alcansancio). Decimos que B fue acelerando (acelerando positivamente) porque la velocidad fueen aumento. En cambio, A fue frenando (acelerando negativamente) porque la velocidad fuedisminuyendo.

La aceleración instantánea de un objeto que semueve sobre una ruta o camino (recordemosque nos interesa estudiar objetos que se mueven en una única dirección) representa la maneraen que cambia la velocidad del objeto. La aceleración en cada instante t es la derivada de lafunción velocidad

a(t) = v′(t) =dvdt(t)

Pero sabemos que la velocidad en cada instante t es la derivada de la función posición

v(t) = p′(t) =dpdt(t)

Por lo tanto decimos que la aceleración en cada instante t es la derivada de la derivadade la posición: “la segunda derivada” de la posición

a(t) = v′(t) = p′′(t)

y lo escribimos con doble comilla: ” o usando la notación de Leibniz de la forma:

a(t) =dvdt(t) =

ddt

dpdt(t) =

d2pdt2 (t)

6.5 Derivada segunda 17

Dado que las unidades de la velocidad v(t) son

∆p∆t=

unidades de punidades de t

se tiene que las unidades de la aceleración a(t) son

∆v

∆t=

unidades de vunidades de t

=unidades de p(unidades de t)2

� Ejemplo 6.11 Si p(t) es la posición en metros (m) y t es el tiempo en segundos (seg)entonces las unidades de p′′(t) (la aceleración) serán m/seg2.

�

Actividad 6.24 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionanmediante la ecuación

P =1 × 0.082 × 26

Vdonde P se mide en atmósferas y V en litros.

a) Encuentren la aceleración de P respecto a V .b) ¿Cuánto vale P′′(1)?

�

6.5.2 Concavidad en la gráfica de una función

La derivada segunda representa la razón de cambio de la derivada primera.

x

y

Gráfica I

x

y

Gráfica II

x

y

Gráfica III

x

y

Gráfica IV

Figura 6.14: Gráficas para la Activi-dad 6.25.

Actividad 6.25 Consideren f una función que tiene derivada segunda en un intervalo Iabierto (de cualquier forma).

a) Completen los casilleros:• Si f ′′(x) es positiva en I entonces f ′(x) es .

• Si f ′′(x) es negativa en I entonces f ′(x) es .

b) Marquen en la Figura 6.14, las gráficas que representan una a f tal que:

f ′′ > 0 f ′′ < 0

(hay dos gráficas para cada condición)�

Definición 6.5.1— Intervalos de concavidad. Dada una función f que tiene derivada segundaen todo un intervalo I abierto (de cualquier forma). Diremos que

• f es cóncava hacia arriba en I si f ′′(x)>0 en el intervalo I.

• f es cóncava hacia abajo en I si f ′′(x)<0 en el intervalo I.

C La definición anterior se extiende al caso de funciones que estén definidas en cualquiertipo de intervalos, que incluyan a uno de sus bordes o a ambos bordes, sin necesidadque la función tenga derivada segunda en los bordes. Se necesita en esos casos que lafunción sea continua (por derecha o por izquierda) según sea el caso.

Por ejemplo, la función f (x) =√

x es cóncava hacia abajo en el intervalo [0,+∞).


Actividad 6.26 En la Figura 6.15 dibujen las gráficas de dos funciones definidas en elintervalo [a, b] que pasen por los puntos A y B. Una de ellas que sea cóncava hacia arribaen el intervalo, y otra de ellas que sea cóncava hacia abajo en el intervalo.

�

x

y

a b

B

A

Figura 6.15: Para las gráficas de laActividad 6.26.

� Ejemplo 6.12 La función f (x) = x2/3 es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0) y en elintervalo (0,+∞) porque, recordando el Ejemplo 6.10 podemos calcular

f ′′(x) = 23 .

(− 1

3

)x−4/3 = − 2

91

3√x4para x , 0.

Por lo tanto, f ′′(x) < 0 para todo x > 0 y para todo x < 0.�

Actividad 6.27 Estudien los intervalos de concavidad de las funciones f (x) y g(x) de losEjemplos 6.8 y 6.9.

�

Actividad 6.28 En la Figura 6.16 se presenta la gráfica de una función g.

a) ¿Están de acuerdo con afirmar que en el punto (1.3, 6) la gráfica de la funciónpresenta un cambio en su concavidad?

b) Indiquen los intervalos en los que la función graficada es cóncava hacia abajo y losintervalos en los que es cóncava hacia arriba.

c) ¿En qué otros puntos (x, g(x)) la función presenta un cambio en su concavidad?�

eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678


6.6 Estudio de valores máximos y mínimos locales 19

En (1.3, 6) y (12, 2.9) la función g de la Actividad 6.28 presenta un cambio en la concavidad.Por el contrario, en (16,−3.9) la función presenta la misma concavidad a su alrededor.

Definición 6.5.2 — Puntos de inflexión. Un punto P = (c, f (c)) en la gráfica de una funciónf se dice punto de inflexión si la función f es continua en c y la función presenta allí uncambio en la concavidad.

Diremos que los segmentos rectos de la gráfica de una función no tienen concavidad.

� Ejemplo 6.13 Habiendo estudiado los intervalos de concavidad de las funciones f (x) =

2x3 − 9x2 + 12x + 1 y g(x) = 4x2 +1xen la Actividad 6.27 podemos afirmar que el

punto(

32,

112

)es el único punto de inflexión de la función f y que

(−2−2/3, 0

)es el

único punto de inflexión de g.La función f (x) = x2/3 del Ejemplo 6.12 no tiene puntos de inflexión. �

Actividad 6.29 Determinen los puntos de inflexión de todas las funciones de la Activi-dad 6.22.

�

6.6 Estudio de valores máximos y mínimos localesEl conocimiento que se obtenga del estudio del crecimiento y decrecimiento de una función,

o sobre su concavidad, nos permitirá en la mayoría de los casos determinar la presencia devalores máximos o valores mínimos relativos.

Teorema 6.6.1 — Criterio de la derivada primera para valores máximos o mínimos relativos.

Dado c un valor crítico de una función f continua en c entonces:

• Si f ′ cambia de positva a negativa en c =⇒ f tiene un valor máximo relativo en c.

• Si f ′ cambia de negativa a positiva en c =⇒ f tiene un valor mínimo relativo en c.

• Si f ′ no cambia de signo en c =⇒ f no tiene un valor máximo relativo ni un mínimorelativo en c.

x

y

c

Máximo relativo

x

y

c

Mínimo relativo

x

y

c

Ni máximoni mínimo

x

y

c

Ni máximoni mínimo

Teorema 6.6.2 — Crieterio de la derivada segunda para valores máximos o mínimos relativos.

Dado c un valor crítico de una función f con derivada segunda continua en c

• Si f ′′(c) < 0 =⇒ f tiene un valor máximo relativo en c.

• Si f ′′(c) > 0 =⇒ f tiene un valor mínimo relativo en c.

C El Teorema 6.6.2 no dice nada en el caso que f ′′(c) = 0. En estos casos, para determinarla presencia de algún valor máximo o algún valor mínimo en c se debe recurrir alTeorema 6.6.1.

Actividad 6.30 Determinen los valores máximos y mínimos relativos de las funciones de laActividad 6.22.


�

7. Comportamientos asintóticos

“Ella era la tía Re, una especie de hada que llegaba cada dos años llena de regalos, desde los EstadosUnidos, hasta que regresó a Buenos Aires, para desempeñarse como profesora en la Facultad de Farmacia yBioquímica. . . Era una mujer con un carácter muy,pero muy fuerte. Ella solía contar con tono risueño que

una vez el Dr. Houssay le dijo, para elogiarla, que era ’una mujer de pelo en pecho’.”

Dra. Lidia Costa , en referencia a la Dra. Rebeca Gerschman (1903 - 1986)

7.1 Asíntotas verticales

En varias oportunidades hemos mencionado y trabajado con funciones con comportamientoasintótico verticales. Los ejemplos fueron las funciones potencias

f (x) =1xn

para n ≥ 1,

y las funciones homográficas

f (x) =ax + bcx + d

donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.

x

y

a

Gráfica I

x

y

a

Gráfica II

x

y

a

Gráfica III

x

y

a

Gráfica IV

Figura 7.1: Comportamientos asin-tóticos verticales.

Actividad 7.1 En las gráficas de la Figura 7.1 se presentan varias opciones de compor-tamientos asintóticos verticales. Marquen con las opciones a), b), c) y/o d) según losiguiente:

a) lı́mx→a+

f (x) = +∞ b) lı́mx→a+

f (x) = −∞

c) lı́mx→a−

f (x) = +∞ d) lı́mx→a−

f (x) = −∞�

Actividad 7.2 Unan cada gráfica de la Figura 7.1 con su correspondiente fórmula:

Gráfica I f (x) =1

(x − a)2

Gráfica II g(x) = −1

x − a

Gráfica III h(x) =1

(x − a)3

Gráfica IV r(x) = −1

(x − a)4

�

El comportamiento asintótico vertical hace referencia a un comportamiento de la funciónpara valores de x que se acercan un número fijo a. En el Módulo 4 presentamos la noción delímite para una función numérica

lı́mx→a

g(x) lı́mx→a+

g(x) lı́mx→a−

g(x)

para calcular, por ejemplo, el valor de la derivada mediante el cálculo del límite del cocienteincremental. Pero en algunas situaciones esos límites de la forma x → a o x → a+ o x → a−

no existen: los valores de f (x) no tienden o no se aproximan tanto como se quiere a ningúnnúmero.

2 Capítulo 7. Comportamientos asintóticos

En el caso de los comportamientos asintóticos lo que sucede es que los valores de f (x)se hacen cada vez más grandes y positivos creciendo cada vez más sin tener ningún “techo”. Otambién se hacen cada vez más grandes y negativos disminuyendo cada vez más sin tener un“piso”.

Para comportamientos asintóticos verticales utilizamos la misma notación compactaincorporando los símbolos +∞ y −∞ para describir el comportamiento de los valores de f (x).

x

y

a d

x → a+ y f (x) → −∞

x

y

c a

x → a− y f (x) → +∞

x

y

c a

x → a− y f (x) → −∞

Figura 7.2: Ejes coordenados para laActividad 7.3

f (x) → +∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y positivos indefinidamente.

f (x) → −∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y negativos indefinidamente.

x

a d

y

+∞xf (x)

a+ ←− x

Figura 7.3: Representación gráfica de una función tal que lı́mx→a+

f (x) = +∞.

Actividad 7.3 Analicen las gráficas de la Figura 7.3 y realicen en los ejes cartesianos de laFigura 7.2 las representaciones correspondientes a los diferentes casos planteados.

�

Resumimos a continuación las definiciones que usaremos para comportamientos asin-tóticos verticales. Son cuatro definiciones, una para cada una de las situaciones descriptaspreviamente.

Definición 7.1.1 — lı́mx→a+

f (x) = +∞.

Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos

lı́mx→a+

f (x) = +∞

si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).

Definición 7.1.2 — lı́mx→a−

f (x) = +∞.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (c, a), decimos

lı́mx→a−

f (x) = +∞

si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).

7.1 Asíntotas verticales 3

Definición 7.1.3 — lı́mx→a+

f (x) = −∞.

Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos

lı́mx→a+

f (x) = −∞

si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).

En ninguna de estas definicioneses necesario que la función es-té definida en x = a. Al igualque sucede con los límites conlos que ya hemos trabajado, elcomportamiento asintótico verti-cal depende exclusivamente delos valores cercanos a x = a (cer-canos por la derecha o por laizquierda).

Definición 7.1.4 — lı́mx→a−

f (x) = −∞.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (c, a), decimos

lı́mx→a−

f (x) = −∞

si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).

Definición 7.1.5 — Asíntota vertical.En cualquiera de los casos anteriores se dice que la recta vertical x = a es una asíntota

vertical de la gráfica de la función.

También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico vertical en x = a.

C Remarcamos la siguiente observación para afianzar el trabajo algebraico que viene acontinuación.En todos los casos anteriores, los límites no existen. O sea, no dan como resultado unnúmero real. Los símbolos +∞ y −∞ son sólo símbolos que abrevian el comportamientoasintótico vertical encontrado y no se puede operar con ellos. No pueden aplicarse lasPropiedades 4.4.1 de suma, resta, multiplicación o división tal cual las conocemos delMódulo 4. En la siguiente sección presentaremos algunas nuevas propiedades que nospermitirán determinar límites que involucren operaciones algebraicas.

7.1.1 Propiedades algebraicas de los límites infinitosEn los casos con los que hemos trabajado anteriormente la presencia de asíntotas verticales

proviene de funciones racionales en las que el numerador es una constante distinta de 0 y eldenominador se acerca a 0.

� Ejemplo 7.1 Considerando la función f (x) =1xy el estudio de x → 0+ y x → 0−.

Cuando consideramos x → 0+ es porque pensamos que x toma valores muy pequeños,cercanos a cero y positivos. Por otro lado, si x → 0− es porque pensamos que x toma

valores muy pequeños, cercanos a cero y negativos. La fracción1xes un número grande

y su signo depende de la regla de los signos entre el numerador y el denominador.

Si x → 0+ entonces

>0︷︸︸︷1x︸︷︷︸

x>0

→ +∞ Si x → 0− entonces

>0︷︸︸︷1x︸︷︷︸

x<0

→ −∞

lı́mx→0+

1x= +∞ lı́m

x→0−1x= −∞

�


� Ejemplo 7.2 Analizaremos lı́mx→2

−3xx2 − 4x + 4

.

Dado que el denominador tiende a 0 cuando x → 2, no podemos aplicar la propiedaddel cociente para límites. Para x cerca de 2 se tiene que −3x está cerca de −6 mientrasque el denominador es un número pequeño cercano a 0.Por lo tanto, el límite no existe y la función

f (x) =−3x

x2 − 4x + 4

presenta en x = 2 un comportamiento asintótico vertical.Para avanzar en el desarrollo necesitamos conocer qué signo tiene el denominador; queen este caso se trata de un binomio cuadrado perfecto

−3xx2 − 4x + 4

=

→−6 (para x → 2)︷︸︸︷−3x

(x − 2)2︸︷︷︸>0 (para x , 2)

Concluimos entonces que, tanto para x → 2+ o para x → 2−, se tiene

lı́mx→2−

−3xx2 − 4x + 4

= −∞ y lı́mx→2+

−3xx2 − 4x + 4

= −∞

�

x

y

2

Figura 7.4: Comportamiento asin-tótico vertical de la funciónf (x) =

−3xx2 − 4x + 4

.

x

y

−1

Figura 7.5: Comportamiento asin-tótico vertical de la funcióng(x) =

3 − xx2 − x − 2

.

� Ejemplo 7.3 Analizaremos lı́mx→−1

3 − xx2 − x − 2

.

Para x cercano a −1 el numerador 3 − x está cerca de 4 (son valores positivos). Encambio, el denominador x2 − x − 2 tiende a 0 para x → −1. Por lo tanto el límite no

existe y la función g(x) =3 − x

x2 − x − 2presenta un comportamiento asintótico vertical

en x = −1.Estudiaremos qué sucede cuando x → −1+ y x → −1−.Factorizando el denominador usando las raíces x1 = −1 y x2 = 2 se tiene que

x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2).

Podemos analizar sus intervalos de positividad y negatividad como hicimos en elMódulo 6 con el Teorema del Valor Intermedio usando algún valor de prueba.

−1 2

+ + + + − − − − −

Para x → −1+ se tiene que x2 − x − 2 < 0 por lo tanto

lı́mx→−1+

3 − xx2 − x − 2

= −∞

7.1 Asíntotas verticales 5

Para x → −1− se tiene que x2 − x − 2 > 0 por lo tanto

lı́mx→−1−

3 − xx2 − x − 2

= +∞

�

� Ejemplo 7.4 Analizaremos lı́mx→3

x2 − 4x + 3x − 3

En este caso, para x → 3 tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Porlo tanto no podemos asegurar que exista un comportamiento asintótico vertical. Dehecho, factorizando el numerador usando las raíces x1 = 3 y x2 = 1 se tiene

x2 − 4x + 3x − 3

=(x − 3)(x − 1)

x − 3

para x , 3︷︸︸︷= x − 1

Por lo tanto,

lı́mx→3

x2 − 4x + 3x − 3

= lı́mx→3

x − 1 = 2

La funciónh(x) =

x2 − 4x + 3x − 3

no tiene un comportamiento asintótico vertical en x = 3. Tiene una discontinuidadevitable.

�

x

y

3

Figura 7.6: Discontinuidad evitable

de h(x) =x2 − 4x + 3

x − 3.

Actividad 7.4 Estudien los siguientes límites y determinen los comportamientos asintóticosverticales

a) lı́mx→0

x2 + 5x2 b) lı́m

x→−1

√x2 + 1x + 1

c) lı́mx→2

x + 2x2 − 4

d) lı́mx→1

x3 − 1x2 − 5x + 4

�

Como ya mencionamos, los límites que no existen no tienen reglas algebraicas clarastal como las aplicamos con los límites que sí existen. Sin embargo existen las siguientespropiedades. Las propiedades mencionadas en

el teorema también son válidasen el caso x → a− para funcio-nes definidas, al menos, en unintervalo de la forma (c, a).

Teorema 7.1.1 Para dos funciones f y g definidas, al menos, en un intervalo de la forma(a, d); y L un número real

Respecto a la suma

a) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = +∞ entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = −∞ entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = −∞.

c) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = L entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = +∞.

d) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = L entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = −∞.


Respecto al producto

a) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = +∞ entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+


f (x).g(x) = +∞.

c) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+


f (x).g(x) = −∞.

d) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = +∞.

e) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = −∞.

C Los ítems c), d) y e) respecto al producto pueden adaptarse intercambiando o cambiando

+∞ −∞

o

L > 0 L < 0.

En estos casos cambiarán las conclusiones a +∞ o −∞ según la regla de los signos parala multiplicación.

C En el Teorema 7.1.1 no se detallan propiedades referidas a la resta o la división defunciones porque en esos casos se utilizan las igualdades

f (x) − g(x) = f (x) +(− g(x)

)f (x)g(x)

= f (x).1

g(x)

C Respecto de la suma no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos donde lostérminos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, los casos

lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = −∞

deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna reglao propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según lasparticularidades de las funciones intervinientes.

C Respecto al producto no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos dondealguno de los factores tiende a 0. O sea, los casos

lı́mx→a

f (x) = ∞ y lı́mx→a

g(x) = 0

deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna reglao propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según lasparticularidades de las funciones intervinientes.

7.2 Asíntotas horizontales 7

� Ejemplo 7.5 Consideremos los siguientes límites:

a) lı́mx→0+

1x+

1x2 b) lı́m

x→0−1x+

1x2

Dado que lı́mx→0+

1x= +∞ y también lı́m

x→0+1x2 = +∞ podemos concluir que

lı́mx→0+

1x+

1x2 = +∞

Sin embargo, lı́mx→0−

1x= −∞ y lı́m

x→0−1x2 = +∞, que son dos comportamientos asintóticos

verticales diferentes por lo que no es posible usar ninguna de las propiedades delTeorema 7.1.1 respecto a la suma.Para calcular el límite debemos operar con la expresión hasta que podamos sacar algunaconclusión. En este caso, podemos sumar las fracciones

1x+

1x2 =

x + 1x2

e identificar que se trata de un cociente donde el numerador tiende a 1 (que es positivo)y el denominador tiende a 0 con valores también positivos. Por lo tanto,

lı́mx→0−

1x+

1x2 = +∞

�

x

y

Figura 7.7: Comportamiento asin-tótico vertical de la funciónf (x) =

1x+

1x2

Actividad 7.5 Decidan cuales de los siguientes límites pueden calcularse utilizando laspropiedades del Teorema 7.1.1 y cuáles no.

• En los casos que se pueda usar alguna de las propiedades, indiquen explícitamentecuál/es se utiliza/n y calculen el límite.

• En los casos que no se pueda usar ninguna de las propiedades, operen adecuadamentepara poder luego calcular el límite.

a) lı́mx→1(x − 1).

1x − 1

b) lı́mx→4

2(x − 4) +3

x − 4c) lı́m

x→0+1x+

1x3

d) lı́mx→2+

2x − 2

−x

x − 2e) lı́m

x→0x.

1x3 f ) lı́m

x→0x3.

1x

�

7.2 Asíntotas horizontalesOtro límite que involucran los símbolos +∞ y −∞ son los de la forma

lı́mx→+∞

f (x) lı́mx→−∞

f (x).

En estos casos se considera que la variable independiente x irá tomando valores cada vezmás grandes y positivos (x → +∞); o podrá tomar valores cada vez más grandes y negativos(x → −∞). De modo que nos interesa conocer cómo se comportan los valores de f (x).


Por ejemplo, en la Figura 7.8 presentamos dos ejemplos particulares en los que:

• Gráfica I: f (x) → L, siendo L un número real.

• Gráfica II: f (x) → +∞; o sea, los valores de f (x) se hacen grandes y positivos.

x

y

c

f (x)yL

x −→ +∞

Gráfica I

x

y

c

+∞xf (x)

x −→ +∞

Gráfica II

Figura 7.8: Dos ejemplos para comportamientos de lı́mx→+∞

f (x).

Estudiaremos estos, y otros comportamientos, para x → +∞ o para x → −∞

Definición 7.2.1 — lı́mx→+∞

f (x) = L.Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que

lı́mx→+∞

f (x) = L

siempre que los valores f (x) estén aproximándose al número L, tan cerca como querramos,tomando a x con valores grandes y positivos.


Definición 7.2.2 — lı́mx→+∞

f (x) = +∞.Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que

lı́mx→+∞

f (x) = +∞

siempre que los valores f (x) se hagan grandes y positivos a medida que los valores de x vatomando valores grandes y positivos.

Actividad 7.6 ¿Cómo correspondería definir los siguientes casos?

lı́mx→+∞

f (x) = −∞

lı́mx→−∞

f (x) = +∞ lı́mx→−∞

f (x) = −∞ lı́mx→−∞

f (x) = L

Enuncien las definiciones de los 4 casos anteriores y realicen las representaciones gráficascorrespondientes.

�

Definición 7.2.3 — Asíntota horizontal.En los casos que lı́m

x→+∞f (x) = L o lı́m

x→−∞f (x) = L, se dice que la recta horizontal

y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función.

También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico horizontal parax → +∞ (o para x → −∞).

Existen situaciones en los que loscomportamientos para x → +∞o x → −∞ no se correspondecon ninguno de los casos presen-tados en esta sección. Por ejem-plo, casos oscilatorios que desa-rrollaremos más adelante con lasfunciones trigonométricas.

� Ejemplo 7.6 La función f (x) =1xcumple que

lı́mx→+∞

1x= 0 y lı́m

x→−∞

1x= 0

La única asíntota horizontal de la gráfica de la función es la recta y = 0.�

� Ejemplo 7.7 La función g(x) = x2 cumple que

lı́mx→+∞

x2 = +∞ y lı́mx→−∞

x2 = +∞

Los valores de x2 se hacen grandes y positivos, tanto para valores de x grandes ypositivos como para x grandes y negativos. La gráfica no presenta comportamientoasintótico horizontal.

�

7.2.1 Propiedades algebraicas de los límites para x → +∞ o x → −∞

Los límites para x → +∞ o x → −∞ tienen las mismas propiedades algebraicas que loslímites para x → a en en los casos de f (x) → L. O sea, en los casos que los límites existen:se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir (salvo que el denominador tienda a 0). Cuandoalguno, o ambos, de los límites da como resultado +∞ o −∞ el comportamiento es similar aldescripto en el Teorema 7.1.1.


Teorema 7.2.1 Dadas f y g definidas en un intervalo de la forma (c,+∞) se tiene

Respecto a la suma

a) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = +∞ entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = −∞ entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = −∞.

c) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = +∞.

d) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = −∞.

Respecto al producto

a) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = +∞ entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞


f (x).g(x) = +∞.

c) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞


f (x).g(x) = −∞.

d) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = +∞.

e) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = −∞.

Las propiedades mencionadas enel teorema también son válidasen los casos x → −∞.

C Los ítems c), d) y e) respecto al producto pueden adaptarse intercambiando o cambiando

+∞ −∞

o

L > 0 L < 0.

En estos casos cambiarán las conclusiones a +∞ o −∞ según la regla de los signos parala multiplicación.

C En el Teorema no se detallan propiedades referidas a la resta o la división de funcionesporque en esos casos se utilizan las igualdades

f (x) − g(x) = f (x) +(− g(x)

)f (x)g(x)

= f (x).1

g(x)

C Y hacemos la misma observación que para el Teorema 7.1.1 para las propiedadesrespecto de la suma dado que no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casosdonde los términos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, loscasos

lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = −∞

o, respecto del producto, los casos alguno de los factores tiende a 0

lı́mx→+∞

f (x) = ∞ y lı́mx→+∞

g(x) = 0.

Estos casos deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ningunaregla o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según lasparticularidades de las funciones intervinientes.


� Ejemplo 7.8 Comportamiento en el infinito de una función polinomial.

Para una función polinómica de la forma

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

haremos lo siguiente: sacar factor común el factor anxn (sabiendo que an , 0):

f (x) = anxn(1 +

an−1an

1x+ · · · +

a1an

1xn−1 +

a0an

1xn

).

El factor entre paréntesis se comporta de la siguiente manera

1 +an−1an

1x︸︷︷︸

tiende a 0 cuan-do x → ±∞

+ · · · +a1an

1xn−1︸︷︷︸

tiende a 0 cuan-do x → ±∞

+a0an

1xn︸︷︷︸

tiende a 0 cuan-do x → ±∞︸︷︷︸

tiene a 1 cuando x → ±∞

Por lo tanto, para la función polinómica tenemos

lı́mx→±∞

f (x) = lı́mx→±∞

anxn.

El comportamiento asintótico para x → +∞ o para x → −∞ de las funcionespolinómicas está determinado exclusivamente por el comportamiento del término demayor grado anxn.

�

Actividad 7.7a) Repitan el procedimiento del Ejemplo 7.8 para la función f (x) = −5x5+2x4− x3+1.

b) El comportamiento de una función polinómica para x → ±∞ depende de dos cosas:el signo del coeficiente an y si el exponente n es par o impar. Completen la siguientetabla:

lı́mx→+∞

anxn lı́mx→−∞

anxn

n par an < 0

n par an > 0

n impar an < 0

n impar an > 0

c) Calculen los siguientes límites

a) lı́mx→+∞

−7x4 + 2x − 1 b) lı́mx→−∞

−x3 − x2 + 3

c) lı́mx→−∞

√2 x6 + x7 d) lı́m

x→+∞x2 + x

�


� Ejemplo 7.9 Comportamiento en el infinito de una función racional.

Para funciones racionales f (x) =p(x)q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas

realizaremos el procedimiento del Ejemplo 7.8 en el numerador y en el denominadorlo que nos permitirá calcular por ejemplo

lı́mx→±∞

−2x2 + x − 1x3 + 3

de la siguiente manera

Para el numerador: −2x2 + x − 1 = −2x2(1 +

1−2x−

1−2x2

).

Para el denominador: x3 + 3 = x3(1 +

3x3

).

Por lo tanto, considerando que x → ±∞

−2x2 + x − 1x3 + 3

=−2x2

(1 + 1

−2x −1−2x2

)x3

(1 + 3

x3

) =−2x︸︷︷︸

tiende a 0

.

tiende a 1︷︸︸︷(1 +

1−2x−

1−2x2

)(1 +

3x3

)︸︷︷︸tiende a 1

O sea, lı́mx→±∞

−2x2 + x − 1x3 + 3

= 0. La gráfica de la función f (x) =−2x2 + x − 1

x3 + 3presenta

una asíntota horizontal en la recta y = 0.�

Actividad 7.8 Calculen los límites para x → +∞ y para x → −∞ de las funciones:

a) f (x) =2x + 35x + 7

b) g(x) =x + 1x2 + 3

c) r(x) =1 − 12x3

4x2 + 12

d) m(x) =7x3

x3 − 3x2 + 6xe) w(x) =

2x5 + 3−x2 + x

f ) p(x) =x4

x3 + 1�

Actividad 7.9 Con un procedimiento similar al realizado para funciones racionales esposible calcular límites donde la potencia de x no sea entera o sea negativa. Siemprecorresponde “sacar factor común” la potencia más grande de x.

a) lı́mx→+∞

2√

x + x−1

3x − 7b) lı́m

x→−∞

3√x − 5√x3√x + 5√x

c) lı́mx→+∞

2x5/3 − x1/3 + 7x8/5 + 3x +

√x

�

7.3 Forma estándar de funciones racionalesLas funciones racionales escritas en su forma general pueden, en algunos casos, re-escribirse

en una forma estándar como se describe a continuación:

Considerando f (x) =p(x)q(x)

entonces:

7.3 Forma estándar de funciones racionales 13

• Si el grado de p(x) es menor estricto al grado de q(x) entonces ya queda así su formaestándar.

• Si el grado de p(x) es mayor o igual al grado de q(x) entonces hay que realizar ladivisión entre los polinomios p(x) y q(x) obteniendo el cociente c(x) y el resto r(x).

p(x) = c(x).q(x) + r(x)

¿Se acuerdan cómo se hace? Veremos algunos ejemplos a continuación.Luego de realizar esta división sustituimos en la expresión original de f (x),

f (x) =p(x)q(x)

=c(x).q(x) + r(x)

q(x)

=c(x).q(x)

q(x)+

r(x)q(x)

= c(x)︸︷︷︸Parte polinómica

+r(x)q(x)︸︷︷︸

Parte fraccionaria︸︷︷︸Forma racional

(7.1)

• La parte fraccionaria ya no se reduce más porque el resto sólo tiene la opción de ser elpolinomio nulo o tener grado menor estricto al grado del denominador.

La división entre polinomios secompara con la división entrenúmeros enteros. Por ejemplo,para realizar la división de 23entre 7 escribimos

23 = 7.3 + 2

� Ejemplo 7.10 Escribiremos la función f (x) =x3 − x2 − 1

x − 1en su forma estándar.

Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador realizamosla división entre los polinomios x3 − x2 − 1 y x − 1 obteniendo

x3 − x2 − 1 = (x − 1). x2︸︷︷︸Cociente

+ (−1)︸︷︷︸Resto

.

Por lo quex3 − x2 − 1

x − 1= x2︸︷︷︸

Parte poinómica

+−1

x − 1︸︷︷︸Parte fraccionaria

�

La forma estándar tiene dos ventajas. La primera es que en muchos casos simplifica loscálculos al bajar el grado del numerador en la parte fraccionaria. La segunda ventaja es queexpone los comportamientos asintóticos de la función.• Para x → ±∞, el comportamiento de la función f (x) está determinado exclusivamentepor la parte polinómica porque la parte fraccionaria tiende a 0. Se concluye que

f (x) ≈ c(x) para x grande positivo o negativo

En el Ejemplo 7.10 es

x3 − x2 − 1x − 1

≈ x2︸︷︷︸Parte polinómica

para x grande positivo o negativo

• Cerca de las discontinuidades de la función, el comportamiento asintótico de la funciónracional es igual al de la parte fraccionaria porque la parte polinómica es continua entodo R.

f (x) ≈r(x)q(x)

para x cercano a las discontinuidades


En el Ejemplo 7.10 es

x3 − x2 − 1x − 1

≈−1

x − 1︸︷︷︸Parte fraccionaria

para x cercanos a 1

Si graficamos la parte polinóimica x2 y la parte fraccionaria−1

x − 1, tendremos una idea de

cómo es la gráfica de la función para los valores x → +∞, x → −∞, x → 1+ y x → 1−.

Podemos completar la gráfica dela función a partir del estudio delos intervalos de crecimiento, de-crecimiento, concavidad, valoresmáximos y mínimos, y puntos deinflexión.

x

yy = x2

y =−1

x − 11

Figura 7.9: Comportamientos asintóticos de f (x) mediante su parte polinómica x2 y su parte

fraccionaria−1

x − 1.

Actividad 7.10 Para las siguientes funciones racionales, determinen la forma estándar,estudien los términos polinomiales y fraccionarios para determinar los comportamientosasintóticos. Usen la información para proponer un posible gráfico de la función.

a) f (x) =x + 3x + 2

b) g(x) =x2 − 1

xc) h(x) =

x4 + 1x2

d) r(x) =x2

x − 1e) w(x) =

2x2 + x − 1x2 − 1

f ) t(x) =1

2x + 4�

8. Función inversa

“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”

Wang Zhenyi (1768-1797)

8.1 IntroducciónPensamos en una función numérica f como proceso que a cada elemento x de un conjunto

A le hace corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.

x g(x) f (x)

f

Pensaremos a la función inversa como el proceso que permita volver para atrás a la f .

x g(x) f (x)

g

Utilizando la composición de funciones, ambos procesos quedan coordinados como sigue

x f (x) x

f g

g ◦ f

¿Siempre podremos encontrar un proceso inverso? Es decir, ¿existirá un proceso g quedeshaga lo que hizo f ? En tal caso, debería cumplirse que

g( f (x)) = x.

� Ejemplo 8.1 En el caso de la función lineal f (x) = a x + b podemos razonar de la siguientemanera:“El proceso f consiste en tomar a x, multiplicarlo por a y luego, a ese número sumarleb. Por lo tanto, el proceso inverso g deberá ser tomar al número, restarle b y al resultadodividirlo por a”.

En símbolos,

g(x) =x − b

a.

Comprobamos que g es el proceso inverso de f .

g( f (x)) = g(ax + b) =(ax + b) − b

a=

axa= x.

�

2 Capítulo 8. Función inversa

� Ejemplo 8.2 Con la función f (x) = x2, podemos decir que f es el proceso de tomar unnúmero y elevarlo al cuadrado. Entonces el proceso inverso g debería ser tomar esenúmero y extraerle la raíz cuadrada. Pero en este caso nada nos impide (o nos obliga) atomar la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa.

Por ejemplo, si tomamos x = 3 calculamos f (3) = 9. Lo mismo si tomamos x = −3y calculamos f (−3) = 9. El proceso inverso debería arrancar con 9 y devolver algunode los valores iniciales: 3 o −3. No puede devolver los dos valores a la vez porque enese caso no cumpliría la definición de función.

No es posible encontrar un proceso inverso de f que sirva para todos los x.�

Si una función f tiene un proceso inverso (o como se dice propiamente, una funcióninversa) g, entonces para todos los x deberá cumplirse que

g( f (x)) = x.

Y considerando dos números a y b tales que f (a) = f (b), y aplicando g a ambos miembrostendremos

g( f (a)) = g( f (b))

y, por lo tanto, a = b. Esto nos dice que si f tiene una función inversa, entonces f no puedetomar el mismo valor en números distintos.

Definición 8.1.1 Las funciones que a cada par de números distintos en su dominio lesasignan valores distintos se denominan inyectivas o uno a uno.

O sea, una función f es inyectiva o uno a uno si dados x1 , x2 en su dominio entoncesf (x1) , f (x2).

Gráficamente, una función es inyectiva, si cada recta horizontal corta a la gráfica de f en alo sumo un punto.

x

y f (x) = x3

x

y

g(x)) = x2

Figura 8.1: La función f (x) = x3 es uno a uno pero la función g(x) = x2 no lo es.

C Entonces, si una función tiene una función inversa, es inyectiva. Recíprocamente, si unafunción f es inyectiva, tiene una función inversa g, cuyo dominio es exactamente laimagen de f . Dado un y en la imagen de f , la función inversa g le asigna el único x deldominio de f tal que f (x) = y.

Recordemos que la imagen de f está formada por

Im( f ) = {y : y = f (x) para algún x en el dominio de f }.

8.1 Introducción 3

Todo va bien si f es uno a uno en su dominio. ¿Pero qué pasa si no lo es? Por lo que vimos,no tendrá una función inversa que sirva para todos los valores x de su dominio. Sin embargo,si podemos restringir el dominio de f a un conjunto más pequeño, donde f sí sea uno a uno,entonces podremos obtener allí una inversa para f .

� Ejemplo 8.3 Volviendo a la función f (x) = x2, vemos que f tiene inversa en el intervalo[0,+∞). Concretamente, g(x) =

√x es su función inversa. También tiene una inversa

en el intervalo (−∞, 0] cuya expresión es h(x) = −√

x. �

La última cuestión que mencionaremos es la siguiente: si una función tiene una inversa encierto subconjunto A de su dominio, entonces esa inversa es única (¿por qué?). De manera quees legal ponerle un nombre asociado a f . Se acostumbra designar a la función inversa de fcomo f −1.

Vamos a resumir lo que hemos dicho acerca de las funciones inversas:

Lamentablemente se utiliza unasimbolización ambigua que pue-de llevar a confusión. Tendremosque tener en cuenta que

f −1 ,1f.

Definición 8.1.2 Sea f una función numérica. Sea A un subconjunto del dominio de f .Diremos que f tiene una inversa en A (o que f es invertible en A) si existe una funciónf −1 tal que

f −1( f (x)) = x para todo x perteneciente a A.

Teorema 8.1.1 — Condición para la existencia de inversa. La función f es invertible en A síy sólo sí es uno a uno en A.

Hacemos las siguientes observaciones:En la práctica, si la función tiene una expresión y = f (x), encontrar la inversa implicadespejar la variable x en función de la variable y. En el Ejemplo 8.1 de la función linealtenemos que

y = ax + b

y − b = axy − b

a= x.

Que determina la expresión de la función inversa:

f −1(y) =y − b

a.

Muy pocas veces podremos hacer este procedimiento tan sencillo cuando estén involu-cradas funciones más complejas. Por lo tanto, nos dedicaremos a estudiar existencia dela función inversa y conocer sus propiedades de continuidad, derivabilidad, gráfica, etc.a partir de las propiedades de la función f .De la misma forma, es bastante complicado mostrar que una función f es uno a unoen cierto conjunto. Puesto que eso es lo mismo que mostrar que cada valor de x estádeterminado unívocamente por f (x), lo cual tendría que hacerlo otra vez expresando xen función de y. Daremos entonces otras condiciones más sencillas de comprobar, quenos permitan asegurar que nuestra función es uno a uno en cierto conjunto A.

Actividad 8.1 En cada uno de los casos siguientes, las funciones f y g están dadas por unatabla de valores. Determinen si alguna de ellas es una función uno a uno.

�

x 1 2 3 4 5 6f (x) 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0

x 1 2 3 4 5 6g(x) 1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9


Actividad 8.2 Analicen cada una de las funciones f cuyas gráficas se encuentran en laFigura 8.2 y determinen, en cada caso, si se trata o no de funciones uno a uno. �

x

y

Gráfica I

x

y

Gráfica II

x

y

Gráfica III

x

y

Gráfica IV


Actividad 8.3 Indiquen cuáles de las siguientes funciones son uno a uno en sus dominios.Justifiquen en cada caso (la justificación puede ser gráfica o analítica). En caso que no seauno a uno en su dominio, determinen al menos dos subconjuntos del dominio donde lafunción sí lo sea. En todos los casos, den una expresión para la función inversa.

a) f (x) = 7x + 1 b) f (x) =1x

c) f (x) = x2 − x + 1 d) f (x) =1x2

e) f (x) = x2 f ) f (x) =x − 1x + 1

�

Como habrán sospechado a partir de las actividades anteriores, puede concluirse que unafunción es uno a uno en in intervalo si comprobamos que es creciente o decreciente en eseintervalo. Y esa comprobación puede hacerse estudiando el signo de la derivada. Podemosenunciar entonces el siguiente resultado:

Teorema 8.1.2 Sea f una función derivable en un intervalo I (de cualquier forma). Entonces

a) si f ′(x) > 0 en I, entonces f es invertible en Ib) si f ′(x) < 0 en I, entonces f es invertible en I.

Actividad 8.4 Analicen los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones de laActividad 8.3 y comparen con las respuestas que dieron en cada caso. �

8.2 Propiedades de la función inversa8.2.1 Gráficas

Supongamos que tenemos una función f que es invertible en un intervalo I. Sea f −1 sufunción inversa.

La gráfica de f −1 es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son de la forma(x, f −1(x)). Pero si y = f −1(x), entonces x = f (y). Por lo tanto los puntos de la gráfica de f −1

son de la forma ( f (y), y). Esto es, cada punto de la gráfica de f −1 proviene de un punto de lagráfica de f con las coordenadas permutadas. En forma gráfica:

x

y Recta y = x

x

x

y

y

Figura 8.3: El punto (x, y) es simétrico del punto (y, x) respecto de la recta y = x.

8.2 Propiedades de la función inversa 5

Por lo tanto, la gráfica de f −1 es la simétrica de la gráfica de f respecto de la recta y = x.

� Ejemplo 8.4 A continuación presentamos tres funciones con sus respectivas inversas en losdominios correspondientes.

x

y Recta y = xf (x) =

1x2

f −1(x) =1√

x

.5 1 1.5 2 2.5

.5

1

1.5

2

2.5

x

y Recta y = xf (x) = x2

f −1(x) =√

x

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

La función f (x) =1x2 y su inversa f −1(x) =

1√

xen (0, 3). La función f (x) = x2 y su inversa f −1(x) =

√x en [0, 6].

x

y

Recta y = xf (x) =

x − 1x + 1

f −1(x) = −x + 1x − 1

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−9−8

−1

123456789

La función f (x) =x − 1x + 1

en [−10,−1) y su inversa f −1(x) = −x + 1x − 1

.

�


Actividad 8.5 Utilicen el gráfico de f para hacer el gráfico de f −1 en la Figura 8.4�

x

y

x

y


8.2.2 ContinuidadA continuación enunciaremos un resultado que nos da información, bajo ciertas condiciones,

sobre la continuidad de f −1.

Teorema 8.2.1 Sea f una función uno a uno y continua en un intervalo cerrado I, y sea J elintervalo imagen de I por f . Entonces su función inversa f −1 es continua en J.

8.2.3 DerivabilidadSupongamos que f es una función derivable en un intervalo abierto I, y supongamos que

f ′ > 0 en I. Sea f −1 su función inversa y sea a un número cualquiera de I. Queremos calcularla derivada de f −1 en el valor f (a).

La pendiente de la recta secante a la gráfica de f −1 que pasa por los puntos ( f (a), a) y( f (x), x) es:

f −1 ( f (x)) − f −1 ( f (a))f (x) − f (a)

=x − a

f (x) − f (a)=

1f (x)− f (a)

x−a

.

Sobre esta base consideramos que

Teorema 8.2.2 — Teorema de la Función Inversa. Si f es una función derivable en un intervaloabierto I tal que f ′(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces f −1 es derivable en todo btal que b = f (a), con a ∈ I. Además se cumple(

f −1) ′(b) =

1f ′(a)

El teorema es válido también enel caso que f ′(x) < 0 en el inter-valo. La fórmula para calcular laderivada de la función inversa esigual.

Demostración Para determinar si la función inversa f −1 es derivable en algún valor b dela forma b = f (a) estudiamos el límite del cociente incremental

lı́my→b

f −1(y) − f −1(b)y − b

=

Considerando que f es continua en el intervalo podemos considerar y = f (x) y tomarx → a sustituyendo

= lı́mx→a

x − af (x) − f (a)

= lı́mx→a

1f (x)− f (a)

x−a

=1

f ′(a).

Por lo tanto (f −1

) ′(b) =

1f ′(a)

C Usando la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir, bajo las hipótesisdel teorema

df −1

dy=

1d fdx

,

o, con la convención de y = f (x) versus x = f −1(y) entonces

dxdy=

1dydx

Notemos que ahora podemos calcular la derivada de la inversa de una función en un valordado cualquiera, sin la necesidad de conocer explícitamente a esa inversa.

8.2 Propiedades de la función inversa 7

� Ejemplo 8.5 Consideremos la función f (x) = −x3 − x2 + 1. Cuando derivamos obtenemosf ′(x) = −3x2−2x = −x(3x+2). Estudiando los intervalos de positividad y negatividadde la función f ′(x) podemos afirmar que f ′(x) es negativa en el intervalo (0,+∞).La función f es invertible en ese intervalo.

Dado que f (0) = 1, su inversa estará definida en el intervalo (−∞, 1). Además,f ( 12 ) =

58 y f ′( 12 ) = −

74 . Podemos calcular entonces, sin conocer la fórmula de la

función inversa( f −1)′( 58 ) =

1f ′( 12 )

=1− 7

4= −

47.

x

yf (x) = −x3 − x2 + 1

12

58

m = − 74

y

x

f −1(y)

58

12

m = − 47

�

9. Modelos exponenciales. Primera parte

“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”

Wang Zhenyi (1768-1797)

9.1 Modelos exponencialesEn este módulo introduciremos algunos modelos relacionados con las denominadas

funciones exponenciales y logarítmicas en contextos de las ciencias biológicas o de lasciencias químicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas permitirán modelar lossiguientes procesos (físicos - químicos - biológicos):

Crecimiento y decrecimiento continuo de una poblaciónEl primer modelo que consideraremos, por ser el más sencillo y simple, se refiere a la

reproducción bacteriana. Este proceso se denomina fisión binaria y en él, cada bacteria sedivide en dos. En condiciones ambientales y de alimentación adecuadas, las bacterias puedenreproducirse muy rápidamente, requiriendo pocos minutos. Sin embargo, en un cultivo debacterias, es frecuente que la fisión binaria no se realice en forma sincronizada entre todas lasbacterias presentes, de modo que sólo una parte (una fracción) del total de bacterias presentesen el cultivo realiza la división en cada instante de tiempo t (medido en alguna unidad demedición).

Figura 9.1: Cultivo de bacterias.

Métodos de conteo para medir el tamañode una población bacteriana:

Conteo directo por microscopio usandoportaobjetos especiales (cámaras de con-teo o cámaras de conteo electrónicas). Nopermite distinguir entre células vivas ymuertas.

Conteo indirecto (recuento de placas):se diluye la muestra en un diluyente notóxico. Si se coloca en un medio adecua-do, cada unidad viable crece y forma unacolonia que se puede contar (UFC) y elnúmero de UFC se relaciona con la can-tidad de bacterias viables en la muestra.

http://textbookofbacteriology.net/kt_toc.html

El modelo más sencillo para estudiar el crecimiento de una población de bacterias consideracomo hipótesis central que en cada instante de tiempo t, la porción de bacterias que se duplicaes siempre la misma. Si consideramos como N(t) la función que determina el tamaño (enalguna unidad de medida) de la población en función del tiempo t (en alguna unidad de medida)se tendrá

N ′(t)︸︷︷︸Velocidad de crecimiento

= k .N(t)︸︷︷︸La constante k representala proporción de población

que se divide.

La constante k se denomina tasa de reproducción relativa de la población. Podemoscontemplar situaciones más abarcativas al considerar poblaciones en las que puede aumentarla cantidad de individuos por nacimientos o por inmigración de nuevos individuos; o puededisminuir por muertes o por emigración.

N ′(t) = a.N(t)︸︷︷︸Nacimientos

+ b.N(t)︸︷︷︸Inmigración

− c.N(t)︸︷︷︸Muertes

− d.N(t)︸︷︷︸Emigración

N ′(t) = (a + b − c − d)N(t)

N ′(t) = k .N(t) (9.1)

La tasa de reproducción relativa k es la suma/resta de los distintos aportes que hacen variarla cantidad de población.

Concentración de una sustancia en un proceso químico. Cinética química.La concentración de una sustancia que reacciona en un proceso químico de primer orden

varía según pasa el tiempo. En estos casos se considera que la velocidad con la cuál se produceesta variación es proporcional a la concentración de la sustancia. O sea,

d[A]dt= −k[A] (9.2)

donde consideramos [A] como la concentración de la sustancia A y siendo k la tasa dereacción (constante) del reactivo A. La concentración [A] se toma en alguna unidad de medidacorrespondiente; como por ejemplo: concentración molar, normalidad, %P/P , %P/V .



2 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte

Decaimiento de una sustancia radiactivaEn forma similar, en un proceso de decaimiento radiactivo se considera que la cantidad

de una sustancia radiactiva disminuye a una velocidad que es proporcional a la cantidad desustancia

dNdt= −kN(t) (9.3)

donde N(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo; y k es la tasade decaimiento de la sustancia.

Las tres ecuaciones anteriores (9.1), (9.2) y (9.3) tienen la misma forma al considerar unaconstante k y una función derivable f (x) que cumple

f ′(x) = k . f (x) (9.4)

La existencia de una función que cumpla la ecuación (9.4) la aceptaremos según el siguienteteorema.

Teorema 9.1.1—Funciones exponenciales. Dado a > 0 (un número real fijo y positivo), existeuna función continua y derivable cuyo dominio es todo R llamada función exponencial debase a, que denotaremos por

f (x) = ax

y que tiene las siguientes propiedades: a y b son números positivos; x e y son númeroscualquiera:

ax+y = ax .ay ax.y = (ax)y

(a.b)x = ax .bx

Esta función cumple la ecuación (9.4); o sea, para alguna constante k se tiene

f ′(x) = k . f (x)

9.2 Funciones exponenciales

Actividad 9.1 Considerando la función exponencial f (x) = ax , respondan.

a) Suponiendo que n ∈ N y m ∈ Z, con m , 0. Completen:

an = a.a . . . a︸︷︷︸n-veces

a−1 =

a−n = a1/n =

am/n =

b) Considerando a = 2; o sea f (x) = 2x , completen la siguiente tabla:

x 3/4 0 3 0.1 1.25 −2.3 1 10

2x por definición 23/4

2x según el exponente 4√

23

2x aproximando ≈ 1.68

�

9.2 Funciones exponenciales 3

Los valores de la función f (x) = 2x pueden calcularse para cualquier número x fraccionariode manera similar a cómo se resuelve la Actividad 9.1. Para completar todos los números realesfaltaría evaluar en los valores de x irracionales. Por ejemplo, si consideramos x = π haremos,

3 < π < 4 =⇒ 23 < 2π < 24

3.1 < π < 3.2 =⇒ 23.1 < 2π < 23.2

3.14 < π < 3.15 =⇒ 23.14 < 2π < 23.15

3.141 < π < 3.142 =⇒ 23.141 < 2π < 23.142

pudiendo seguir este procedimiento indefinidamente. Aceptaremos (sin demostralo) que elnúmero 2π está bien definido como aquel que se encuentra comprendido en todos los intervalos

2p/q < 2π < 2P/Q

siempre que p/q y P/Q sean números fraccionarios conpq< π <

PQ. En particular, usando la

última fila de los cálculos anteriores tenemos

8.8213 < 2π < 8.8274.

Un procedimiento similar se usará para calcular ax para cualquier base a > 0 y cualquierotro exponente x irracional.

La Figura 9.2muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales y = ax con diferentesvalores de la base a.

x

y

10x

1x

4x 2x

(12

)x (14

)x(1.5)x

Figura 9.2: Gráficas de las funciones y = ax para valores de a = 14,

12, 1, 1.5, 2, 4 y 10.

• Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1) porque a0 = 1 para a , 0.

• Para a , 1 la imagen de ax es el intervalo (0,+∞).

• Si 0 < a < 1, f (x) = ax es una función decreciente de x.

Si x1 < x2 entonces ax1> ax2

• Si a = 1, f (x) = 1 es una función constante de x.

• Si a > 1, f (x) = ax es una función creciente de x.

Si x1 < x2 entonces ax1< ax2

x

y

(0, 1)

a) f (x) = ax con 1 < a

x

y

(0, 1)

b) f (x) = 1x

x

y

(0, 1)

c) f (x) = ax con 0 < a < 1


9.3 Funciones logarítmicasSi a > 0 y a , 1, la función exponencial f (x) = ax es una función creciente o decreciente

en todo R, y por lo tanto es uno a uno (recordar la prueba de la recta horizontal).

Definición 9.3.1 — Función logaritmo. Se denomina logaritmo con base a (a > 0 y a , 1)a la función inversa de la función exponencial f (x) = ax . Se escribe loga(x). Por lo tanto

loga(x) = y ⇔ ay = x.

El dominio de la función loga(x) es el intervalo (0,+∞).

Se dice y es el logaritmo de x en base a.

En otras palabras, y = loga(x) es la respuesta a la pregunta

¿Qué número y cumple que x = ay?

� Ejemplo 9.1 Como 23 = 8, 21/2 =√

2, 2−1 =12tenemos que

log2(8) = 3, log2(√

2) =12, log2

(12

)= −1.

Además, log2(−3) no existe porque no existe ningún número y para el cual 2y = −3(2y es siempre positivo).Tampoco existe log−3(2) porque y = log−3(2) tendría que ser algún número real quesatisfaga (−3)y = 2, y no se encuentra definida la exponencial para bases negativas.

�

Como se vio en el Módulo 8, la gráfica de la función loga(x) es la reflexión de la gráficade la función f (x) = ax con respecto a la recta y = x. La Figura 9.3 muestra el caso a > 1.

x

y Recta y = xax

loga(x)(0, 1)

(1, 0)

Figura 9.3: Gráficas de las funciones f (x) = ax y f −1(x) = loga(x) en espejo respecto a larecta y = x. Caso con a > 1.

9.3 Funciones logarítmicas 5

Propiedad 9.3.1 Si x e y son números positivos, r un número real cualquiera entonces

• loga(x.y) = loga(x) + loga(y) • loga

(xy

)= loga(x) − loga(y)

• logb(x) =logc(x)logc(b)

• loga(xr ) = r loga(x)

La Figura 9.4 muestra las gráficas de y = loga(x) para varios valores de la base a. Comologb(1) = 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).

x

y

log10(x)

log2(x)

log1/2(x)

log1/3(x)

log3(x)

Figura 9.4: Gráficas de las funciones y = loga(x) para valores de a = 2, 3, 12 ,

13 y 10.

Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones con exponenciales y logaritmospara practicar las propiedades.

� Ejemplo 9.2 Resolvemos la ecuación 2x2+x−4 = 4 usando que la logaritmo en base 2 es lafunción inversa de la función exponencial de base 2. También tenemos en cuenta queambos términos de la ecuación son positivos.

2x2+x−4 = 4⇐⇒ x2 + x − 4 = log2(4) ⇐⇒ x2 + x − 4 = 2⇐⇒ x2 + x − 6 = 0

Hay dos soluciones x1 = 2 y x2 = −3 (resolver la ecuación cuadrática del final). �

� Ejemplo 9.3 De manera similar resolvemos la ecuación log3(2x − 7) = 2. En este casotenemos que considerar desde el comienzo que no se aceptan soluciones tales que2x − 7 ≤ 0. Con esto en el tintero resolvemos

log3(2x − 7) = 2⇐⇒ 2x − 7 = 32 ⇐⇒ 2x = 16⇐⇒ x = 8

El valor x1 = 8 es válido como solución porque cumple 2x1 − 7 = 9 > 0. �


Desigualdades (con exponen-ciales y logaritmos)

Para resolver desigualdades sepuede operar de manera similarpero teniendo en cuenta que lasfunciones exponenciales y loga-rítmicas son crecientes o decre-cientes según sea la base mayoro menor que 1.

Si la base es mayor que 1, la de-sigualdad se mantiene; si la basees menor que 1, la desigualdadse invierte.

� Ejemplo 9.4 Resolvemos la desigualdad log4(x − 1) < 1. Debemos considerar que elconjunto de validez de la desigualdad está determinado por los x tales que x − 1 > 0.

log4(x − 1) < 1

La base es 4 > 1︷︸︸︷⇐⇒ x − 1 < 41 ⇐⇒ x < 5

Debemos considerar ahora que los valores x buscados deben cumplir x > 1 y x < 5.Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad son los x tales que 1 < x < 5.

�

Actividad 9.2 Determinen los dominios naturales de las siguientes funciones.

a) f (x) =1

4x − 1b) g(x) =

1log2(x)

c) h(x) =√

5x − 3�

9.4 Derivada de ax y definición de eDe acuerdo al Teorema 9.1.1, las funciones exponenciales f (x) = ax son derivables en

todo R y cumplen la ecuación fundamental

(ax)′ = k .ax (9.5)

para alguna constante k. Será una constante distinta según la base de la función exponencialf (x) = ax . La constante k está asociada a la base de la función exponencial

En la Sección 9.1 se presentó ala constante k en diferentes si-tuaciones de modelos exponen-ciales asociándola, por ejemplo,como la tasa de reproducciónrelativa de una población o latasa de decaimiento de una sus-tancia radiactiva.

Teorema 9.4.1 — Número e y derivada de ax . Existe un número positivo, denominado e, talque la función exponencial f (x) = ex cumple que k = 1. O sea,

(ex)′ = ex

Para cualquier otro número a > 0 se tiene (ax)′ = loge(a).a

x .

El número e es irracional: nopuede escribirse como fracciónentre dos números enteros. Suvalor aproximado es

e ≈ 2.718281828459045

Demostración Asumiremos como válida la existencia del número e (no haremos lademostración).Reescribimos ax usando la igualdad a = eloge (a) y elevando a la x ambos lados

a = eloge (a)

ax =(eloge (a)

)x= eloge (a)x

y usando la regla de la cadena en el miembro de la derecha obtenemos

(ax)′ =

(eloge (a)x

) ′= loge(a)e

loge (a)x = loge(a)ax

Definición 9.4.1 — Función logaritmo natural ln(x). El logaritmo con base e se llama loga-ritmo natural y se escribe

ln(x) = loge(x)

.

C Luego se tiene que

eln(x) = x para x > 0 ln(ex) = x para todo x

9.5 Derivada del logaritmo 7

� Ejemplo 9.5 Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.

ddx(2x) = loge(2) 2

x = ln(2) 2x ddx(4x) = loge(4) 4

x = ln(4) 4x

ddx(3x) = loge(3) 3

x = ln(3) 3x ddx(πx) = loge(π) π

x = ln(π) πx

�

Las siguientes expresiones sondistintas entre sí

ex2, (ex)2

Por convención se considera

ex2= e(x

2).

Actividad 9.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.

a) f (x) = e3x b) g(x) = ex2

c) h(x) =ex + 1ex − 1

d) m(x) = x2ex e) p(x) = ex 2x f ) q(x) = x3 + 3x

�

Actividad 9.4 Determinen los valores estacionarios de las funciones de la Actividad 9.3. �

9.5 Derivada del logaritmoCalcularemos la derivada de la función logarítmica f (x) = loga(x). En primer lugar, según

lo visto en el Módulo 8, podemos afirmar que la función es derivable en todo su dominioporque es la función inversa de g(x) = ax (que ya vimos es derivable y además su derivada essiempre positiva o siempre negativa). Partiendo entonces de la igualdad

a f (x) = x,

podemos derivar (todas las funciones involucradas son derivables) ambos miembros de laigualdad

ddx[a f (x)] =

ddx[x] =⇒ ln(a) a f (x) f ′(x) = 1.

Podemos despejar f ′(x)

f ′(x) =1

ln(a) a f (x)=︸︷︷︸

a f (x)=x

1x ln(a)

Teorema 9.5.1 — Derivada de funciones logarítmicas.Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son derivables en todo x ∈ (0,+∞) y además

f ′(x) =1

x ln(a)

En particularddx[ln(x)] =

1x

para todo x > 0


Actividad 9.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = ln(3x) b) g(x) = ln(x5) c) h(x) = ln(x) + x

d) m(x) =x

ln(x)e) t(x) =

ln(x)x

f ) q(x) = x3 ln(x)

g) p(x) = ln(x4 + 2x3 − 1) h) x(y) = ln(3 − y2) i) f (w) = ln(

3w − 11 + 4w

)�

Actividad 9.6 Den los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f (x) = x ln(x). �

Actividad 9.7 [Derivación logarítmica] En varias ocasiones puede ser complicado ytrabajoso calcular la derivada de funciones que involucran productos, cocientes o potencias.Esta tarea puede ser simplificada mediante los logaritmos. Por ejemplo, para calcular laderivada de la función

f (x) = xx

aplicamos ln(x) a ambos lados de la igualdad y aplicamos las propiedades de los logaritmosde la siguiente manera:

f (x) = xx

ln ( f (x)) = ln (xx)

= ↓ (aplicando propiedad del logaritmo)

ln ( f (x)) = x ln(x)

Y a continuación derivamos con respecto a x a ambos lados de la igualdad

(ln ( f (x)))′ = (x ln(x))′

(regla de la cadena) ↓ = ↓ (regla del producto)

1f (x)

f ′(x) = ln(x) + x.1x= ln(x) + 1

y luego despejamos f ′(x)

1f (x)

f ′(x) = ln(x) + 1

f ′(x) = f (x) (ln(x) + 1)f ′(x) = xx (ln(x) + 1)

Calculen las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = xsen(x) b) (x2 + 3)3x+1 c) h(x) = x−x

�

9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte 9

9.6 Modelos exponenciales. Segunda parteSabemos entonces que las funciones exponenciales f (x) = ax cumplen con la ecuación

(ax)′ = k .ax

Otras funciones, similares, que también cumplen la ecuación y que permiten trabajar conmodelos exponenciales tales como los presentados en la Sección 9.1 son de la forma

f (x) = C.ekx = C.ax

donde hemos considerado que ek = a, o en forma equivalente k = ln(a).De esta manera, los modelos exponenciales quedan determinados por dos parámetros: C y k.

• La constante k se denomina tasa de reproducción relativa porque es el cociente entrela velocidad con la que se desarrolla el proceso (por ejemplo: el crecimiento poblacional)y la cantidad neta que se estudia (por ejemplo: la cantidad de individuos).

k =velocidad del proceso

cantidad neta=

f ′(x)f (x)

• La constante C se denomina cantidad inicial dado que si consideramos a x = 0 comoel instante inicial del proceso entonces

f (0) = C.ek.0 = C.1 = C

� Ejemplo 9.6 La población mundial fue de 2560 millones en el año 1950 y de 3040 millonesen el año 1960. Asumimos que el crecimiento de la población puede estudiarse con unmodelo exponencial, ¿cuál fue la tasa de reproducción relativa?Proponemos que P(t) = C.ekt determina la cantidad de individuos (en millones dehabitantes) contando t en años a partir de 1950; o sea, t = 0 es el instante inicial:

C = P(0) = 2560

Por otro lado, para determina la población mundial en el año 1960 corresponde evaluarP(10) debiéndose cumplir

3040 = 2560ek10

que representa una ecuación para la determinar la tasa de reproducción relativa dela población mundial. La resolvemos

3040 = 2560e10k

30402560 = e10k

ln(

1916

)= 10k

110 ln

(1916

)= k

k ≈ 0.017185

Evaluando en t = 68 podemos estimar la población en el año 2018,

P(68) = 2560e0.017175×68 ≈ 8236.6

Estimamos que en la actualidad hay 8236.6 millones de habitantes en el planeta.¿Pueden corroborar esta predicción en internet?

�


� Ejemplo 9.7 En un proceso de decaimiento radiactivo se denomina vida media de unasustancia al tiempo requerido para que la sustancia decaiga, desde una cantidad inicialde materia, hasta la mitad. Por ejemplo, la vida media del radio-226 es de 1560 años.¿Cuál es la tasa de decaimiento de la sustancia?

Si consideramos una cantidad inicial de 100 mg de Radio-226, entonces sabemos que1590 años después tendremos, por decaimiento radiactivo, 50 mg de sustancias.Proponemos el modelom(t) = 100.ekt considerando a t el tiempo (en años) transcurridoy m(t) la cantidad de sustancia (en mg). Podemos plantear, según la información de lavida media, que

m(1560) = 50

y usar la ecuación para determinar k, la tasa de decaimiento de la sustancia

m(1560) = 50

100e1560k = 50

e1560k =12

1560k = ln(

12

)k =

11560

ln(

12

)k =− ln(2)1560

La tasa de decaimiento del Radio-226 es k =− ln(2)1560

≈ −4.44325 × 10−4.�

Actividad 9.8 Una población de protozoos se desarrolla con una tasa de reproducciónrelativa de 0.7944 de individuos por día. En el día inicial, la población contaba con 2miembros. Determinen el tamaño de la población al sexto día. �

Actividad 9.9 En los intestinos humanos habita de manera habitual la bacteria escherichiacoli. Una célula de esta bacteria se divide en 2 células cada 20 minutos. Considerando quela población inicial de un cultivo es de 60 células.

a) Encuentren la tasa de crecimiento relativa de la población.b) Encuentren una expresión para la función que determina el tamaño de la población

al minuto t.c) Encuentren el número de bacterias en la población luego de 8 horas.d) ¿En qué momento la población alcanza un tamaño de 20000 bacterias?

�

Actividad 9.10 La vida media del cesio-137 es de 30 años. Comenzando con una muestrade 100 mg.

a) Encuentren la masa que queda luego de t años.b) ¿Qué cantidad de sustancia queda luego de 100 años?c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede 1 mg?

�

Actividad 9.11 Es posible estimar la edad de un objeto antiguo (como huesos, muebles,tablas) mediante el método de datación radiométrica. En algunas circunstancias se utiliza

9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 11

la sustancia Carbono-14 porque se encuentra presente en los organismos vivos. Mientras unorganismo está vivo, intercambia constantemente sus átomos de carbono con el ambiente,y la proporción entre Carbono-14 y Carbono-12 (isótopo estable del elemento Carbono) esla misma que en la atmósfera. Cuando el organismo muere el decaimiento radiactivo delCarbono-14 hace que la relación relativa respecto al Carbono-12 vaya disminuyendo.

Se ha encontrado un fragmento de un pergamino que tiene el 74% de Carbono-14respecto al Carbono-12. Considerando que la vida media del Carbono-14 es de 5730 añosaproximadamente, estimen la edad del fragmento de pergamino hallado.

�

9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos9.7.1 Comportamientos asintóticos

Para estudiar los comportamientos asintóticos de las funciones exponenciales y logarítmicastrabajaremos con las funciones f (x) = ex y g(x) = ln(x).

x

yf (x) = ex

Figura 9.5: Gráfica de la funciónf (x) = ex .

x

y

g(x) = ln(x)

Figura 9.6: Gráfica de la funcióng(x) = ln(x).

Actividad 9.12 Completen con valores correspondientes utilizando la información de lasFiguras 9.5 y 9.6.

a) lı́mx→+∞

ex = b) lı́mx→−∞

ex =

c) lı́mx→+∞

ln(x) = d) lı́mx→0+

ln(x) =�

Actividad 9.13 Tachen lo que no corresponda en cada caso.

a) La función f (x) = ex tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical parax → −∞. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.

b) La función g(x) = ln(x) tiene un comportamiento asintótico horizontal / verticalpara x → 0+. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.

�

En el Módulo 7 desarrollamos técnicas para el cálculo de límites de la forma

lı́mx→+∞

√x + 3x2 − 1

x + 3x9 + 9lı́m

x→−∞

x1/3 + x2/5

x + 3x1/5

para de determinar los comportamientos asintóticos de funciones racionales y algebraicas.En esta sección trabajaremos con situaciones similares pero en las que intervienen funcionesexponenciales y logarítmicas.

En el caso de cocientes de polinomios, o de funciones potencias, pudimos resolver lasituación comparando los grados de los polinomios o los índices de las potencias. En elcaso de funciones exponenciales o logarítmicas utilizaremos los siguientes resultados (sindemostrarlos).

Teorema 9.7.1 — Comparación de crecimientos. Sea r > 0. Entonces,

a) lı́mx→+∞

xr

ex= 0 b) lı́m

x→+∞

xr

ln(x)= +∞

O sus equivalentes

a) lı́mx→+∞

ex

xr= +∞ b) lı́m

x→+∞

ln(x)xr= 0


C El Teorema 9.7.1 establece que, para x → +∞, los valores de ex crecen mucho más

rápidamente que los valores de xr de modo que el cocientexr

extiende a 0. En los libros,

esta situación se suele escribir comoxr � ex para x → +∞

Por el contrario, los valores de ln(x) crecen de manera muy lenta respecto a xr de modo

que el cocientexr

ln(x)tiende a +∞. Se escribe

ln(x) � xr para x → +∞

C Los comportamientos para las funciones exponenciales o logarítmicas de la formageneral ax o loga(x) se estudian mediante las igualdades

ax = eln(a)x loga(x) =ln(x)ln(a)

Definición 9.7.1 — Órdenes de magnitud. Si f y g son dos funciones que cumplen

lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = +∞

se dice que f (x) tienen mayor orden de magnitud que g(x) para x → +∞ en el caso que

lı́mx→+∞

f (x)g(x)

= +∞

Se escribre g(x) � f (x) para x → +∞.

9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementalesOtros dos límites básicos que involucran a las funciones ex y ln(x) son los siguientes

Teorema 9.7.2 — Cocientes incrementales. Se tiene que

a) lı́mx→0

ex − 1x= 1 b) lı́m

x→1

ln(x)x − 1

= 1

Demostración Si consideramos la función f (x) = ex y calculamos su derivada en x = 0usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos

f ′(0) = lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

ex − e0

x= lı́m

x→0

ex − 1x

Pero sabemos que f ′(x) = ex . Por lo que f ′(0) = e0 = 1.

Actividad 9.14 Realicen la demostración del segundo límite del Teorema 9.7.2. �

Los seis límites resumidos en los Teoremas 9.7.1 y 9.7.2 se consideran básicos desdeel punto de vista de que con ellos es posible calcular otros con funciones exponencialeso logarítmicas de base diferente a e; o que se presentan con operaciones algebraicas entreellas, junto con funciones polinómicas, funciones con raíces, racionales, etc. Existen una granvariedad de técnicas de cálculo de límite desarrolladas para estudiar los comportamientosasintóticos de las funciones o para estudiar los comportamientos cerca de sus discontinuidades.No lo hemos dicho explícitamente hasta ahora, pero dado que ax y loga(x) son funcionesderivables en todo su dominio podemos afirmar también que son continuas y por lo tanto, loslímites que se refieran a x → x0, con x0 un elemento del dominio, se calculan por simpleevaluación.

9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 13

� Ejemplo 9.8 Podemos calcular lı́mx→2

ln(x) − ex

x2 por evaluación.

lı́mx→2

ln(x) − ex

x2 =ln(2) − e2

4

Ya que la función f (x) =ln(x) − ex

x2 es continua en x = 2. Consideramos aquí quees un cociente de funciones continuas en x = 2 donde el denominador no se anula.Además, ln(x) − ex es continua para todo x > 0. �

� Ejemplo 9.9 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? Como ya mencionamos en elMódulo 5, si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x yg(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamos en la Figura 9.7. Allí seobserva que hay dos intersecciones entre las gráficas, lo que equivale a 2 soluciones dela ecuación 2x = x10. Sin embargo, dado que

lı́mx→+∞

2x

x10 =︸︷︷︸2x=ex ln(2)

lı́mx→+∞

ex ln(2)

x10 =︸︷︷︸u = x ln(2)x =

u

ln(2)

lı́mu→+∞

(ln(2))10 eu

u10 =︸︷︷︸(∗)

+∞

(∗): Usando que u10 � eu para u→ +∞ y que (ln(2))10 es positivo.También debemos mencionar que la sustitución que realizamos u = x ln(2) tiene

en cuenta quex → +∞⇐⇒ u→ +∞

Concluimos que x10 � 2x para x → +∞ y por lo tanto, la gráfica de 2x debevolver a cruzarse con la gráfica de x10 para algún valor de x suficientemente grande ypositivo.

�

x

y

1

2

−1 1

y = 2x

y = x10

Figura 9.7: Gráficas de las funcionesf (x) = 2x y g(x) = x10.

x

y

f (x) = x ln(x)

Figura 9.8: Gráfica de la funciónf (x) = x ln(x).

� Ejemplo 9.10 Estudiaremos el lı́mx→0+

x ln(x).En primer lugar notamos que para x → 0+ se tiene x︸︷︷︸

→0

. ln(x)︸︷︷︸→−∞

y por lo tanto no es

posible utilizar las propiedades de los límites enunciadas en el Módulo 7.Realizamos la sustitución u = 1

x de modo que x → 0+ ⇐⇒ u→ +∞ y

x ln(x) =1u

ln(

1u

)=︸︷︷︸

ln(u−1)=− ln(u)

−ln(u)

u

Por lo tanto lı́mx→0+

x ln(x) = lı́mu→+∞

−ln(u)

u= 0 porque ln(u) � u para u→ +∞.

La función f (x) = x ln(x) no tiene una asíntota vertical en x = 0. �


� Ejemplo 9.11 Estudiaremos el lı́mx→−∞

x2 − ex .

En primer lugar notamos que para x → −∞ se tiene x2︸︷︷︸→+∞

− ex︸︷︷︸→0

y por lo tanto si es

posible aplicar las propiedades de límites enunciadas en el Módulo 7. Obtenemos

lı́mx→−∞

x2 − ex = +∞.

La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal parax → −∞.

�

Actividad 9.15 Estudien, calculen y determien la presencia de comportamientos asintóticosseñalados a continuación.

a) lı́mx→+∞

x2 − ex b) lı́mx→−∞

ex − x3 c) lı́mx→−∞

xex

d) lı́mx→+∞

x3 + ex

ex −√

xe) lı́m

x→0+x3 ln(x) f ) lı́m

x→0+xe1/x

g) lı́mx→0−

xe1/x h) lı́mx→+∞

x(e1/x − 1

)i) lı́m

x→1+x

ln(x)

j) lı́mx→1−

xln(x)

k) lı́mx→0+

ln(x)x

�

9.8 Modelos SemilogUna técnica muy utilizada para trabajar con modelos exponenciales f (x) = ax es la

utilización de una escala logarítmica en el eje vertical. Si consideramos un modelo exponencialde la forma f (x) = Cekx , conC > 0 y definimos una nueva función g(x) = ln ( f (x)) obtenemosque:

g(x) = ln ( f (x)) = ln(Cexk

)= ln(C) + ln

(ekx

)= ln(C) + k x ln(e) = ln(C) + k x

La función g(x) resulta lineal y su gráfica tiene pendiente k y ordenada al origen ln(C).

Recíprocamente, si g(x) = b + k x es una función lineal, al definir f (x) = eg(x) obtenemosun modelo exponencial

f (x) = eg(x) = eb+kx = ebekx

que representa un modelo exponencial con cantidad inicial eb y tasa de crecimiento k.Utilizaremos esta equivalencia para explorar los modelos exponenciales en contextos de

las ciencias biológicas o químicas.

9.8 Modelos Semilog 15

t V(t)

1 76.04 53.08 18.011 9.415 5.222 3.6

Tabla 9.1: Datos V(t) (carga viral enplasma) respeto a t (en días) luego decomenzar el tratamiento con ABT-538.

t V(t) ln (V(t))

1 76.0 4.334 53.0 3.978 18.0 2.8911 9.4 2.2415 5.2 1.6522 3.6 1.28

Tabla 9.2: Datos V(t) y ln (V(t)) se-gún la Tabla 9.1.

� Ejemplo 9.12 En 1995, un artículo científico describió los efectos de una proteína (ABT-538)sobre el virus de inmunodeficiencia humana HIV-1. En Tabla 9.1 y en la Figura 9.9 sepresentan los valores de la carga viral V(t) en el plasma (medido en copias de ARN pormL) en un paciente luego de t días de haber comenzado el tratamiento con ABT-538.

1 4 8 11 15 22

76

53

189.45.23.6

t - Días de tratamiento

V-C

arga

viralenplasm

a

Figura 9.9: Datos correspondientes a la Tabla 9.1.

La distribución de los puntos en la Figura 9.9 sugiere que es adecuado un modeloexponencial V(t) = Cekt considerando que k debe ser negativo porque debe ser unafunción decreciente.

Definimos g(t) = ln (V(t)) = ln(C)+ k x de modo que obtenemos los nuevos valoresen la Tabla 9.2 y en la Figura 9.10.

1 4 8 11 15 22

4.333.97

2.89

2.24

1.651.28

t - Días de tratamiento

ln(V)

Figura 9.10: Datos correspondientes a la Tabla 9.2.

Mediante el software Desmos obtenemos el modelo lineal que mejor ajusta losdatos de la Figura 9.10 según el criterio del Error cuadrático medio.


Figura 9.11: Ajuste de los datos de la Figura 9.10 con el software Desmos.

Obtenemos que k ≈ −0.15 y b ≈ 4.31. Por lo tanto el modelo exponencial

f (t) = ebekt = e4.31e−0.15x = 74.44e−0.15t

�

Actividad 9.16 La Tabla 9.3 presenta los resultados de un experimento que involucra elparásito de la malaria. El tiempo t está medido en días y N es el número de parásitos pormicrolitros en sangre.

t N ln(N)

1 2282 23573 127504 266615 3723316 22174417 6748400

Tabla 9.3: Datos de N (cantidad de parásitos por microlitro en sangre) respeto a t (en días).

a) Completen la Tabla 9.3 con los datos de ln(N).b) Usando el software Desmos o algún otro, determinen el modelo semi-log asociado

según el criterio el ECM y el modelo exponencial para los datos de la cantidad deparásitos por microlitro en sangre del experimento.

c) ¿Cuánto se estima, según el modelo propuesto, que será la cantidad de parásitos dela malaria por microlitros en sangre al día 10?

�

9.8 Modelos Semilog 17

Actividad 9.17 En un estudio médico, los investigadores midieron la concentración ensangre de alcohol (BAC) de 8 adultos masculinos (en mg/mL) luego de consumir 30 mL deetanol (correspondiente a 2 bebidas alcohólicas estándar). Se presentan los datos obtenidosen la Tabla 9.4.

t (horas) BAC (mg/mL) ln(BAC)

1 0.331.25 0.291.5 0.241.75 0.222 0.182.25 0.152.5 0.12

Tabla 9.4: Valores de BAC (concentración de alcohol en sangre - en mg/mL)) respeto a t(en horas).

a) Completen la Tabla 9.4 con los datos de ln(BAC).b) Determinen el modelo semi-log asociado según el criterio el ECM y el modelo

exponencial para los datos de la concentración de alcohol en sangre del experimento.c) ¿En qué momento, según el modelo propuesto, la concentración de alcohol en sangre

estará por debajo los 0.1 mg/mL?�

1. Funciones trigonométricas

“asdfasdfasdfasdfasdf.”

Wang Zhenyi (1768-1797)1.1 Funciones seno y cosenoEn este módulo nos ocuparemos, en primer lugar, de las funciones trigonométricas.

θ sen(θ) θ cos(θ)

Son funciones donde la variable independiente θ se refiere a la medida de un ángulo θ(medido en radianes); y donde los valores de las funciones, sen(θ) y cos(θ) se calculen con lasrelaciones trigonométricas usuales.

La primera observación que hacemos en el estudio de las funciones trigonométricas serefiere a que son funciones cuyos valores se repiten cada cierto intervalo de la variableindependiente. En el caso particular de las funciones sen(θ) y cos(θ) los valores se repitencada 2π.

sen(θ + 2π) = sen(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ)

Durante todo el curso usaremosprincipalmente la medición deángulos en radianes.

Recuerden que π radiantes equi-vale a 180◦ sexagesimales. Laconversión del resto de los ángu-los, de un sistema al otro, se hacepor proporción directa.

π rad ≡ 180◦

1 rad ≡(

180π

)◦π

180 rad ≡ 1◦

Los valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) están determinados por las coordenadas delpunto sobre la circunferencia unidad (la circunferencia de radio 1 centrada en el origen)como se muestra en la Figura 1.1.

x

y

x2 + y2 = 1

x

y

r =1 θ radianes

(x, y) = (cos(θ), sen(θ))

Figura 1.1: Circunferencia unidad.

Las coordenadas del punto determinan los valores de las funciones trigonométricas.

Actividad 1.1 Completen la Tabla 1.1 con los valores de las funciones trigonométricassen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π. �

θ 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 7π

65π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6 2π

sen(θ)

cos(θ)

Tabla 1.1: Valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π.

2 Capítulo 1. Funciones trigonométricas

Las gráficas de las funciones sen(θ) y cos(θ) se presentan en las Figuras 1.2 y 1.3.

Actividad 1.2 Utilicen las gráficas de las Figuras 1.2 y 1.3 para corroborar los valorescalculados de la Tabla 1.1. �

x

y

π6

π3

π4

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6 2π

1

−1

12

− 12

√2

2

−√

22

−√

32

√3

2

Figura 1.2: Gráfica de la función sen(x) en el intervalo [0, 2π].

x

y

π6

π3

π4

π2

2π3

3π4

5π6 π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

1

−1

12

− 12

√2

2

−√

22

−√

32

√3

2

Figura 1.3: Gráfica de la función cos(x) en el intervalo [0, 2π].

Actividad 1.3 Las funciones sen(θ) y cos(θ) pueden tomar valores positivos o negativossegún el cuadrante al que pertenezca el ángulo θ. Completen la Tabla 1.2.

Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

sen(θ) positiva

cos(θ) positiva

Tabla 1.2: Positividad y negatividad de las funciones sen(θ) y cos(θ).

�

1.1 Funciones seno y coseno 3

Al considerar la periodicidad de las funciones trigonométricas, la gráfica que tenemosen el intervalo [0, 2π] se copia en los intervalos (de longitud 2π) siguientes y anteriores paraocupar todo el eje horizontal como se ve en las Figuras 1.4 y 1.5.

θ

sen(θ)

−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π

Período 2π

1

Figura 1.4: Gráfica de la función sen(x) en todo R.

θ

cos(θ)

−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π

Período 2π

Figura 1.5: Gráfica de la función cos(x) en todo R.

Las funciones trigonométricas cumplen las siguientes identidades básicas.Por convención se escribe

cos2(θ) = (cos(θ))2

= cos(θ). cos(θ)

que es diferente a

cos(θ2) = cos(θ.θ)

1

sen(θ)

cos(θ)x

y

Figura 1.6: Identidad principal.

Propiedad 1.1.1 — Propiedades de las funciones sen(θ) y cos(θ).

Continuidad: Las funciones son continuas en todo R.

Identidad principal: sen2(θ) + cos2(θ) = 1

Los valores están acotados: −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 − 1 ≤ cos(θ) ≤ 1

Simetrías: sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ)

Suma y resta:

sen(θ1 ± θ2) = sen(θ1) cos(θ2) ± cos(θ1) sen(θ2)

cos(θ1 ± θ2) = cos(θ1) cos(θ2) ∓ sen(θ1) sen(θ2)

Desplazamiento: sen(θ + π2 ) = cos(θ)

No desarrollaremos las demostraciones de estas propiedades pero haremos algunoscomentarios y comparaciones como guías.

En primer lugar, para ángulos en el primer cuadrante, la identidad principal se deduce delteorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la Figura 1.6 dado que la hipotenusamide 1 unidad de longitud.

Respecto a las simetrías, en la Figura 1.7 se presenta la relación entre los valores de lafunción cos(θ) en ángulos opuestos.


x

y

θ

−θ

θ

cos(θ)

θ−θ

Figura 1.7: Relación entre los valores de la función cos(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.

Actividad 1.4 ¿Cómo realizarían un diagrama similar a la Figura 1.7 para analizar la simetríade la función sen(θ)? Utilicen la Figura 1.8.

x

y

θ

sen(θ)

Figura 1.8: Relación entre los valores de la función sen(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.

�

Por último, en la Figura 1.9 se presenta la relación de desplazamiento que relaciona losvalores sen(θ + π

2 ) y cos(θ).

x

y

θ

θ + π2

cos(θ)

sen(θ+

π 2)

θ

cos(θ)

sen(θ)

θ θ + π2

Figura 1.9: Relación entre los valores de la función sen(θ + π2 ) y cos(θ).

1.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x) 5

1.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x)Definición 1.2.1 — Forma general de las funciones trigonométricas. La forma general delas funciones trigonométricas es

f (x) = A sen(ω(x − φ)) + c g(x) = A cos(ω(x − φ)) + c (1.1)

en donde utilizamos a x como variable independiente.

En todos los desarrollos anterio-res utilizamos como variable in-dependiente a θ porque conside-ramos necesario diferenciar losdiagramas con ejes coordenadosx-y donde θ se representa comoel ángulo, y los diagramas conejes coordenados θ- f (θ) dondese representaron las relacionesfuncionales.

Describiremos las constantes A, ω, φ y c presentes en la definición 1.1.

Amplitud:Representa un cambio en los valores máximos y mínimos de las funciones. Para los casos

A sen(x) A cos(x)

los valores máximos y mínimos son A y −A.Si A es positivo, la amplitud es A y se cumple que

−A ≤ A sen(ω(x − φ)) ≤ A − A ≤ A cos(ω(x − φ)) ≤ A

Si A es negativo, la amplitud es −A. La gráfica debe reflejarse también respecto al eje x.Ver Figura 1.11.

x

y

y = sen(x)

y = 2 sen(x)

y = 12 sen(x)

−π π 2π

12

1

2

Figura 1.10: Gráficas de las funciones sen(x), 2 sen(x) y 12 sen(x).

x

y

y = sen(x)

y = −2 sen(x)

Figura 1.11: Reflejo respecto al eje xen el caso de A < 0.

Valor promedio c:

x

y y = cos(x) + 2

π 2ππ2

1

2

3

Figura 1.12: Gráfica de la funcióncos(x) + 2 en [0, 2π].

Representa el promedio entre los valores máximos y mínimos que toma la función. Enel caso más sencillo, las funciones f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen valores máximos ymínimos iguales a 1 y −1 (respectivamente). Por lo tanto el valor promedio es 0. Gráficamente,el valor de c representa una traslación en sentido vertical en c unidades de la gráfica. Porejemplo,

h(x) = cos(x) + 2

tiene un valor promedio c = 2; la gráfica de h(x) debe trasladarse en 2 unidades hacia arriba ysus valores máximos y mínimos de la función son 3 y 1 respectivamente. Ver Figura 1.12.

Período2πω

:

El cociente2πω

(para ω > 0) determina el tamaño del intervalo de periodicidad de lasfunciones f (x) y g(x).

Para ω > 0, las funciones f (x) y g(x) tienen período 2πω

de modo que

f (x) = f(x +

2πω

)g(x) = g

(x +

2πω

)


x

y

y = sen(x)y = sen(2x)y = sen( 12 x)

π 2π 3π 4π

1

Figura 1.13: Gráficas de las funciones sen(2x), sen( 12 x) y sen(x).

Desplazamiento de la fase φ:El valor de φ produce un desplazamiento de la gráfica. Si φ es positivo el desplazamiento

se produce hacia la derecha. Si φ es negativo el desplazamiento se produce hacia la izquierda.

x

y

y = sen(x − π3 )

y = sen(x)

π 2ππ3

1

Figura 1.14: Gráfica de la función sen(x − π3 ) en [

π3 ,

7π3 ].

x

y

3π4

π2− π4

1

34

Figura 1.15: Gráfica de la función34 cos(2x + π

2 ).En la siguiente gráfica se representan los cuatro elementos mencionados: A, c, ω, φ.

x

y

c Valor promedio c

c + A

c − A

φDesplazamiento φ

φ + 2πω

Período 2πω

Amplitud A

Figura 1.16: Gráfica de la función f (x) = sen (ω(x − φ)) + c. Caso A > 0.

1.3 Función trigonométrica tan(x) 7

� Ejemplo 1.1 Determinaremos la amplitud, el período y el desplazamiento de la función

f (x) = 34 cos(2x + π

2 )

y realizaremos su gráfica.Para ello, re-escribimos la función en la forma general sacando factor común 2 en laexpresión 2x + π

2 = 2(x + π4 ) para tener

f (x) = 34 cos

(2(x + π

4 ))= 3

4 cos(2(x − (− π4 ))

).

Por lo tanto, obtenemos que la amplitud es 34 , elperíodo es

2π2 = π y eldesplazamiento

de la fase es de π4 hacia la izquierda. La gráfica de la función se presenta en la Figura 1.15.�

Actividad 1.5 Realicen la gráfica de las siguientes funciones determinando sus elementos.

a) f (x) = sen(3x) b) g(x) = − cos(2x)

c) h(x) = cos(x − π4 ) d) m(x) = 2 sen(3x + π)

�

Actividad 1.6 Determinen la forma general de las siguientes funciones que se presentan enforma gráfica.

a) b) c)

d) e) f )�

1.3 Función trigonométrica tan(x)

Otra función trigonométrica utilizada es la función tangente tan(x) =sen(x)cos(x)

que, en

la circunferencia unidad, representa la ±longitud (+ o − según el cuadrante) del segmentovertical como se muestra en la Figura 1.17. x

y

θ

tan(θ)

Figura 1.17: Circunferencia unidad.

Se diferencia principalmente de las funciones sen(x) y cos(x) porque su período es máscorto y porque su dominio ya no es todo el conjunto de números reales.

El dominio de la función tan(x) está determinado por todos los números reales que no


anulan el denominador. Por lo tanto debemos excluir a todos los x tales que

cos(x) = 0.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones de la forma π2 + kπ siendo k ∈ Z.

Por lo tanto elDom(tan(x)) = R −

{π2 + kπ : k ∈ Z

}.

En cuanto al período, se tiene que

tan(x + π) =sen(x + π)cos(x + π)

=− sen(x)− cos(x)

=sen(x)cos(x)

= tan(x).

El intervalo principal donde se grafica la función tangente es (− π2 ,π2 ). Dado que

lı́mx→

π2

sen(x) = 1 y lı́mx→

π2

cos(x) = 0

ylı́m

x→−π2

sen(x) = −1 y lı́mx→−

π2

cos(x) = 0

se concluye que tan(x) tiene asíntotas verticales en las rectas x = π2 y x = − π2 . Y recordando

la Tabla 1.2 tenemos

lı́mx→

π2−

tan(x) = +∞ y lı́mx→−

π2+

tan(x) = −∞

La gráfica de la función tan(x) en todo su dominio se presenta en la Figura 1.18.

x

tan(x)

3π2

π π 2π− π2π2

5π2

3π

Período π

Figura 1.18: Gráfica de la función tan(x) en todo su dominio.

1.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 9

1.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x)Para estudiar la existencia de la derivada de la función sen(x) utilizamos la definición y las

Propiedades 1.1.1 (la propiedad de la suma y resta)

d sen(x)dx

= lı́m∆x→0

sen(x + ∆x) − sen(x)∆x

= lı́m∆x→0

sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x) − sen(x)∆x

= lı́m∆x→0

[sen(x) cos(∆x) − sen(x)

∆x+

cos(x) sen(∆x)∆x

]= lı́m

∆x→0sen(x)

[cos(∆x) − 1∆x

+ cos(x)sen(∆x)∆x

]= lı́m

∆x→0sen(x) lı́m

∆x→0

cos(∆x) − 1∆x

+ lı́m∆x→0

cos(x) lı́m∆x→0

sen(∆x)∆x

Para que el último paso sea válido necesitamos saber que los cuatro límites involucradosexisten (porque propusimos aplicar las propiedades algebraicas del límite). Dos de estos límitesson sencillos de calcular:

lı́m∆x→0

sen(x) = sen(x) y lı́m∆x→0

cos(x) = cos(x)

porque tanto el sen(x) como el cos(x) son constantes con respecto a ∆x.

D

θ

O A

B

x

y

1

C

Figura 1.19: Comparación entre lastres áreas mencionadas en el desa-rrollo.

Ellı́m∆x→0

sen(∆x)∆x

no puede calcularse por evaluación. Encontraremos su valor utilizando un argumento geométrico.Supongamos, en primer lugar, que θ se encuentra entre 0 y π/2. La Figura 1.19 muestra unsector de un círculo con centro O, ángulo θ y radio 1 y dos triángulos (el tríangulo OBA y elOAD). El valor del área de ese sector circular es mayor al valor del área del triángulo OBA ymenor que el área del triángulo OAD.

Área del triángulo OBA ≤ Área del sector circular AOB ≤ Área del triángulo OAD

Respecto al inciso b), se calcu-la el área de un sector circularde ángulo θ tomando proporcióndirecta:

Círculo completo de radio r:

2π → π × r2

Sector de ángulo θ:

θ →θ × π × r2

2π=θr2

2

Calculamos las áreas mencionadas:

a) El triángulo más pequeño tiene una base que mide |OA| = 1 y una altura que mide

|CB| = sen(θ). Luego su área es1 × sen(θ)

2.

b) El área de un sector circular de ángulo θ se calcula por proporción directa:θ

2.

c) La base del triángulo más grande también mide |OA| = 1 pero su altura mide |AD| =

tan(θ) =sen(θ)cos(θ)

. Luego su área es12

sen(θ)cos(θ)

.

Obtenemos

sen(θ)2

<θ

2<

12

sen(θ)cos(θ)

.

Como sen(θ) > 0 para 0 < θ < π/2, si multiplicamos por2

sen(θ)a cada miembro de la

desigualdad tenemos que

1 <θ

sen(θ)<

1cos(θ)

,

o, en forma equivalente (dado que son todos términos positivos),

cos(θ) <sen(θ)θ

< 1.


Sabemos que lı́mθ→0

1 = 1 y que lı́mθ→0

cos(θ) = 1. Ambos límites existen y son iguales.Concluimos (usando el Teorema 1.4.1 del Sandwich que enunciamos a continuación) que

lı́mθ→0+

sen θθ= 1.

x

yf (x)

h(x)

a

Lg(x)

Figura 1.20: Teorema del Sandwich.

Teorema 1.4.1 — Teorema del Sandwich. Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) cuando x es cercana a a(excepto posiblemente en x = a) y

lı́mx→a

f (x) = lı́mx→a

h(x) = L

entonces lı́mx→a

g(x) = L.

El Teorema del Sandwich, que a veces recibe el nombre de Teorema de Contracción ode Compresión, se ilustra en la Figura 1.20. No lo demostraremos. Nos dice que si g(x) estáatrapada entre f (x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g esforzada a tener el mismo límite L en a.

Con un razonamiento muy similar para valores θ → 0− se obtiene que

lı́mθ→0+

sen θθ= lı́mθ→0−

sen(θ)θ

.

Luego,

lı́mθ→0

sen(θ)θ= 1.

El límitelı́mθ→0

cos(θ) − 1θ

tampoco puede calcularse por evaluación. Lo haremos de la siguiente manera:

lı́mθ→0

cos(θ) − 1θ

= lı́mθ→0

(cos(θ) − 1

θ

).

(cos(θ) + 1cos(θ) + 1

)= lı́mθ→0

cos2(θ) − 1θ (cos(θ) + 1)

= lı́mθ→0

− sen2(θ)

θ (cos(θ) + 1)= − lı́m

θ→0

sen(θ)θ︸︷︷︸→ 1

(ya lo calculamos)

.sen(θ)

cos(θ) + 1︸︷︷︸→ 0

(se calcula porevaluación)

= (−1).(

01 + 1

)= 0.

Retomando el cálculo de la derivada que estábamos realizando,

f ′(x) = lı́m∆x→0

sen(x) lı́m∆x→0

cos(∆x) − 1∆x

+ lı́m∆x→0

cos(x) lı́m∆x→0

sen(∆x)∆x

= (sen(x)).0 + (cos(x)).1 = cos(x).

Hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno:

Teorema 1.4.2 — Derivada de la función sen(x). La función sen(x) es derivable en todo R y

ddx

sen(x) = cos(x)

1.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 11

� Ejemplo 1.2 Calculamos la derivada de la función f (x) = x2 sen(x) utilizando el Teorema1.4.2 y la regla del producto.

ddx[x2 sen(x)] =

ddx(x2). sen(x) + x2 d

dx(sen(x)) = 2x sen(x) + x2 cos(x)

�

Siguiendo el mismo camino que usamos en la demostración del Teorema 1.4.2 se puededemostrar

Teorema 1.4.3 — Derivada de la función cos(x). La función cos(x) es derivable en todo R y

ddx

cos(x) = − sen(x)

Actividad 1.7 Realicen la demostración del Teorema 1.4.3. �

La función g(x) = tan(x) también se puede derivar para x en su dominio usando ladefinición de derivada, pero es más sencillo en este caso usar la regla del cociente para derivarlaaprovechando que ya conocemos la derivada de las funciones sen(x) y cos(x):

ddx(tan(x)) =

ddx

(sen(x)cos(x)

)=

ddx (sen(x)) cos(x) − sen(x) d

dx (cos(x))(cos(x))2

=cos(x) cos(x) − sen(x) (− sen(x))

(cos(x))2

=cos2(x) + sen2(x)(cos(x))2

=1

cos2(x)= sec2(x)

Tomando como base las funcio-nes sen(x), cos(x) y tan(x) se de-finen tres nuevas funciones

Secante: sec(x) =1

cos(x)

Cosecante: cosec(x) =1

sen(x)

Cotangente: cot(x) =1

tan(x)Teorema 1.4.4 — Derivada de la función tan(x). La función tan(x) es derivable en todo sudominio y

ddx(tan(x)) = sec2(x)

Actividad 1.8 Determinen el dominio de las funciones sec(x), cosec(x) y cot(x). �

Actividad 1.9 Hallen, usando las reglas de derivación, la derivada de las siguientes funciones:

a) g1(x) = sec(x) b) g2(x) = ex cos(x)

c) g3(x) = x + cos(x) d) g4(x) = sen(a + x3), a ∈ R constante�

Actividad 1.10 Indiquen para que valores de x la gráfica de las siguientes funciones tienenuna recta tangente horizontal.

a) f (x) = x + sen(x) b) g(x) = ex cos(x)�


Actividad 1.11a) ¿En qué intervalos es creciente f (x) = x − 2 sen(x)? Con 0 ≤ x ≤ 2πb) ¿En qué intervalos es cóncava hacia abajo g(x) = 2x−2 tan(x)? Con−π/2 < x < π/2.

�

1.5 Límites que involucran funciones trigonométricasYa hemos estudiado y calculado los siguientes límites

lı́mθ→0

sen(θ)θ= 1 (1.2) lı́m

θ→0

cos(θ) − 1θ

= 0 (1.3)

En esta sección calcularemos algunos límites que involucran algunas de las funciones tri-gonométricas e identificaremos algunos comportamientos asintóticos horizontales y verticales.

Para estar atentos y atentas

sen(3x) , 3 sen(x)


sen(3x)x

.

lı́mx→0

sen(3x)x

= lı́mx→0

sen(3x)x

33= lı́m

x→03

sen(3x)3x

= lı́mu→0

3sen(u)

u= 3 lı́m

u→0

sen(u)u= 3.1 = 3

Realizamos la sustitución u = 3x observando que x → 0⇐⇒ u→ 0 para re-escribirel límite original como un límite de la forma 1.2 que ya sabemos cuanto vale. �

x

y

Figura 1.21: Gráfica de la funciónsen

( πx

)en el intervalo (0,+∞).

� Ejemplo 1.4 Investiguemos el lı́mx→0

sen( π

x

).

Dado que no podemos calcular el límite evaluando en x = 0 analizaremos elcomportamiento de la función f (x) = sen

( πx

)cerca de x = 0 (en x = 0 no está

definida). Si evaluamos la función en algunos valores pequeños de x, obtenemos

f (1) = sen(π) = 0 f (1/2) = sen(2 π) = 0

f (1/3) = sen(3 π) = 0 f (1/4) = sen(4 π) = 0

f (0.1) = sen(10 π) = 0 f (0.01) = sen(100 π) = 0

Por otro lado, si calculamos f (0.001) = f (0.00001) = 0. En base a eso alguienpodría estar tentado a pensar que el lı́m

x→0sen

( πx

)= 0 pero esa respuesta no es correcta.

Observemos que aunque f (1/n) = sen(n π) = 0 para todo n entero, también es ciertoque f (x) = 1 para infinitos valores de x cercanos a 0. En la Figura 1.21 podemos ver lagráfica de la función.

La línea entrecortada cerca del eje-y indica que los valores del sen(π/x) oscilaninfinitamente tomando valores entre −1 y 1 cuando x se acerca a 0. Como los valoresde f (x) no se aproximan a un número fijo cuando x se aproxima a 0 decimos que

lı́mx→0

sen( π

x

)no existe.

�

1.5 Límites que involucran funciones trigonométricas 13

� Ejemplo 1.5 Calculemos ahora el lı́mx→0

x sen(

1x

).

Este límite tampoco puede calcularse por evaluación. Pero, a diferencia del Ejemplo 1.4la función tiene un factor x delante

x︸︷︷︸→0

. sen(

1x

)︸︷︷︸

Varía entre -1 y 1

.

De modo que los valores de x. sen(

1x

)se irán acercando a 0 si x → 0. Lo desarrolla-

remos usando el Teorema del Sandwich, multiplicando por x (positivo o negativo) atodos los miembros de la desigualdad

−1 ≤ sen(

1x

)≤ 1

obteniendo

−x ≤ x sen(

1x

)≤ x si x > 0

−x ≥ x sen(

1x

)≥ x si x < 0.

Tanto en el caso en que x > 0 y x < 0, los valores de la función x sen(

1x

)se

encuentran acotados por arriba y por abajo por funciones que tienden a cero cuando xse acerca a cero, es decir

f1(x) ≤ x sen(

1x

)≤ f2(x)

con lı́mx→0

f1(x) = 0 y lı́mx→0

f2(x) = 0, y entonces por el Teorema del Sandwichpodemos asegurar que

lı́mx→0

x sen(

1x

)= 0.

En la Figura 1.22 podemos ver la gráfica de la función f (x) = x sen(

1x

). Tiene

una discontinuidad evitable en x = 0. Podemos definirla como f (0) = 0 para queresulte una función continua en todo R.

f̃ (x) =

x sen

(1x

)si x , 0

0 si x = 0.�

x

y

Figura 1.22: Gráfica de la funciónx sen

( πx

)en el intervalo (0,+∞).

Definición 1.5.1 — Límites oscilantes. Los casos similares al presentado en el Ejemplo 1.4se denominan límites oscilatorios y corresponden a discontinuidades inevitables de lasfunciones.


Actividad 1.12 Calculen los siguientes límites.

a) lı́mx→0

cos(x) + 3tan(x) + 3

b) lı́mx→0

sen(7x)4x

c) lı́mx→0

tan(x)2x

d) lı́mx→π

x − πsen(x − π)

e) lı́mt→0

sen2(3t)t2

�

Actividad 1.13 Prueben que el lı́mt→0

t4 cos(

2t

)= 0. ¿Cómo corresponde re-definir la función

g(t) = t4 cos(

2t

)para que resulte continua en todo R? �

1.6 Funciones trigonométricas inversasDado que ninguna de las 3 funciones sen(x), cos(x) y tan(x) es una función 1-1 en

sus respectivos dominios se definen las funciones trigonométricas inversas tomando sub-intervalos como se detalla a continuación.

Las fórmulas presentadas paralas derivadas de las funciones tri-gonométricas inversas se dedu-cen de lo aprendido en elMódulo8.

Definición 1.6.1 — Funciones trigonométricas inversas. Se definen las siguientes funcionescomo las inversas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x).

Función Función inversasen(x) : [− π2 ,

π2 ] −→ [−1, 1] arc sen(x) : [−1, 1] −→ [− π2 ,

π2 ]

cos(x) : [0, π] −→ [−1, 1] arc cos(x) : [−1, 1] −→ [0, π]

tan(x) : (− π2 ,π2 ) −→ R arctan(x) : R −→ (− π2 ,

π2 )

La función arctan(x) es derivable en todo su dominio

ddx

arctan(x) =1

1 + x2 para x ∈ R

Las funciones arc sen(x) y arc cos(x) no son derivables en todo su dominio. Se tiene que

ddx

arc sen(x) =1

√1 − x2

para x ∈ (−1, 1)

ddx

arc cos(x) =−1

√1 − x2

para x ∈ (−1, 1)

Actividad 1.14 Realicen las gráficas de las funciones arc sen(x), arc cos(x) y arctan(x)(considerando que son funciones inversas). �

11. Integrales


Wang Zhenyi (1768-1797)11.1 Área debajo de la gráfica de una función positivaComenzaremos poniendo atención al problema de calcular el área debajo de la gráfica de

una función f positiva y sobre el eje x desde x = a hasta x = b.

x

y

y = f (x)

x = a x = b

Área S

Figura 11.1: Área debajo de la gráfica y = f (x) sobre el eje x en el intervalo [a, b].

La región que nos interesa se escribe en forma de conjunto como

S ={(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)

}Según sea la función, podremos resolver el problema utilizando las fórmulas para calcular

áreas de figuras geométricas conocidas.

Actividad 11.1 Determinen el área de la región S correspondiente a las siguientes funcionesen los intervalos indicados.

a) f (x) = 3 en el intervalo [0, 2] b) g(x) = 12 en el intervalo [2, 7

3 ]

c) h(x) = x en el intervalo [0, 2] d) m(x) = x + 1 en intervalo [1, 3]�

En el caso general, donde la forma de la región S tiene tramos curvos o irregulares, serequiere utilizar estrategias de aproximación que garanticen un resultado cada vez más precisodel valor del área buscada.

Por ejemplo, para determinar el área de la hoja de roble de la Figura 11.2 utilizaremos lasgrillas pintadas sobre ella. La cuadrícula de la Grilla 1 se separa cada 1 cm. En la Grilla 2, laseparación es de medio centímetro.

Grilla 1 Grilla 2

Figura 11.2: Grilla sobre la hoja de roble para estimar su área.

2 Capítulo 11. Integrales

Actividad 11.2a) Completen la Tabla 11.1 determinando:

• E : cantidad de cuadrados que se encuentran completamente dentro de la hoja.• M: cantidad de cuadrados que intersecan parcialmente la hoja.

E M M + E

Grilla 1Grilla 2

Tabla 11.1: Estimación del área de la hoja de roble usando las grillas de la Figura 11.2.

b) El área de los cuadrados de la Grilla 1 es de 1 cm2 y el área de los cuadrados dela Grilla 2 es de 0.25 cm2. Calculen el área ocupada por los cuadrados E y el áreaocupada por la suma de los cuadrados E + M y completen.

Grilla 1: ≤ Área de la hoja ≤

Grilla 2: ≤ Área de la hoja ≤�

Para estimar mejor el área de la hoja correspondería reducir el tamaño de la grilla y re-contabilizar los cuadrados completamente contenidos en la hoja y los cuadrados parcialmentecontenidos en la hoja. En una hipotética Grilla 3 con una separación de 0.25 cm en la cuadrículaobtendríamos una nueva estimación

Grilla 3: (0.25)2 × E cm2 ≤ Área de la hoja ≤ (0.25)2 × (E + M) cm2

Figura 11.3: Grilla 3 con una separación de 0.25 cm en la cuadrícula.

11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 3

Usaremos un procedimiento similar al anterior para estimar el área S debajo de la gráficade una función positiva como nos propusimos al comienzo del Módulo.

10x

y y = x2

S

Figura 11.4: Área debajo de y = x2

en el intervalo [0, 1].

0x

y y = x2

12

34

1

(34

)2

(12

)2(14

)2

Figura 11.5: Rectángulos más peque-ños.

En este caso, usaremos rectángulos para estimar el área debajo de la parábola y = x2 desdex = 0 a x = 1. Ver Figura 11.4.

Dividiremos el área S en 4 franjas verticales S1, S2, S3 y S4 de igual ancho como en la Figura11.6 y aproximaremos cada franja con un rectángulo con la misma base y la misma alturaque cada franja.

0x

y y = x2

14

S1

12

S2

34

S3

1

S4

0x

y y = x2

14

12

34

1

1

(34

)2

(12

)2(14

)2

Figura 11.6: Subdivisión en cuatro franjas para estimar el área S.

Cada rectángulo tiene una base que mide 14 y sus alturas son

(14

)2,(

12

)2,(

34

)2y 1. Si

tomamos R4 como la suma de las áreas de estos rectángulos obtenemos

R4 =14·

(14

)2+

14·

(12

)2+

14·

(34

)2+

14· (1)2 =

1532= 0.46875

Por lo tanto, el área de la región S cumple

S < 0.46875

Si utilizáramos rectángulos más pequeños como los de la Figura 11.5 que tienen la mismabase pero cuyas alturas están determinadas por los valores de la función en el borde izquierdode cada sub-intervalo (el primero de los rectángulos queda “chato” de altura cero). La suma delas áreas en este caso queda

L4 =14· (0)2 +

14·

(14

)2+

14·

(12

)2+

14·

(34

)2=

732= 0.21875

con lo que

0.21875 < A < 0.46875

Podemos repetir el proceso con un mayor número de rectángulos verticales como en laFigura 11.7 que tiene 8 franjas.


0x

y y = x2

0x

y y = x2

Figura 11.7: Subdivisión en ocho franjas para estimar el área S.

Calculando la suma de las áreas de los rectángulos de la izquierda (L8) y la suma de lasáreas de los rectángulos de la derecha (R8) obtenemos

0.2734375 < A < 0.3984375

En la Tabla 11.2 se presentan los resultados (hechos con una computadora) de la suma delos rectángulos izquierdos y derechos para sub-divisiones de n rectángulos.

n Ln Rn

10 0.285 0.385

20 0.30875 0.35875

30 0.3168519 0.3501852

50 0.3234 0.3434

100 0.32835 0.33835

1000 0.3328335 0.3338335

Tabla 11.2: Estimación del área de Susando gran cantidad de rectángulos.

0x

y n = 10 L10 = 0.285

0x

y n = 30 L30 ≈ 0.3169

0x

y n = 50 L50 = 0.3234

0x

y n = 10 R10 = 0.385

0x

y n = 30 R30 ≈ 0.3502

0x

y n = 50 R50 = 0.3434

Figura 11.8: El área S estimada con una gran cantidad de rectángulos izquierdos y derechos.

De la Figura 11.8 y la Tabla 11.2 parece que a medida que n crece (haciendo más sub-divisiones) obtenemos mejores aproximaciones del área de S de tal forma que podemosproponer

Área de S = lı́mn→+∞

Ln = lı́mn→+∞

Rn

Mostraremos que Área de S = lı́mn→+∞

Ln = lı́mn→+∞

Rn =13

Comenzamos con los rectángulos que usan el borde de la derecha que nos permite obtener(sumando las áreas de todos ellos) Rn. Cada rectángulo tiene base de longitud 1

n y la altura se

11.1 Área debajo de la gráfica de una función positiva 5

obtiene evaluando la función en cada uno de los valores 1n ,

2n , . . .,

nn por lo que

Rn =1n·

(1n

)2+

1n·

(2n

)2+ · · · +

1n·

(n − 1

n

)2+

1n·

(nn

)2

=1n3

(12 + 22 + 32 + · · · + n2

)Para continuar necesitamos una fórmula que permita calcular la suma que está entre

paréntesis y que presentamos a continuación (puede demostrarse usando el Principio deInducción) (

12 + 22 + 32 + · · · + n2)=

n(n + 1)(2n + 1)6

por lo que

Rn =1n3 ·

n(n + 1)(2n + 1)6

=(n + 1)(2n + 1)

6n2 =2n2 + 3n + 1

6n2

Ahora debemos tomar el límite (recordar el Módulo 9)

lı́mn→+∞

Rn = lı́mn→+∞

2n2 + 3n + 16n2 = lı́m

n→+∞

2n2(1 + 3

2n +1

2n2

)6n2 = lı́m

n→+∞

13

(1 + 3

2n +1

2n2

)=

13

Un procedimiento similar permite ver también que lı́mn→+∞

Ln =13.

Aplicaremos el mismo procedimiento a una función cualquiera (positiva) subdividiendo laregión S en n franjas verticales S1, S2, . . ., Sn del mismo ancho

x

y

y = f (x)

a x1 x2 x3 · · · xi xi+1 · · · xn−1 b

La longitud del intervalo [a, b] es b − a y el ancho de cada franja es

∆x =b − a

n

Quedan determinados n sub-intervalos

[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn]

donde x0 = a y xn = b. Los bordes de la derecha de cada intervalo están dados por

x1 = a + ∆x

x2 = a + 2∆x

x3 = a + 3∆x...

xxi−1 xi

Figura 11.9: La altura de los rectán-gulos está determinada por el valorde la función en el borde derecho decada intervalo.

Aproximamos el área de cada franja por rectángulos verticales de ancho ∆x y altura f (xi)(la altura de cada rectángulo es el valor de la función en el borde de la derecha de cadaintervalo) y sumamos las áreas para obtener

Rn = f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · · + f (xn)∆x


En la Figura 11.10 se presenta una secuencia de n = 2, n = 4, n = 8 y n = 12 intervalos detal manera que se considera que Rn se aproxima cada vez más al valor del área de S a medidaque n→ +∞.

x

yy = f (x)

a x1 b x

yy = f (x)

a x1 x2 x3 b x

yy = f (x)

a b x

yy = f (x)

a b

Figura 11.10: Divisiones con n = 2, n = 4, n = 8 y n = 12 subintervalos para determinar el área de la región S.

Definición 11.1.1 El área de la región S formada por los puntos debajo de la gráfica de unafunción continua y positiva para valores de x ∈ [a, b] está determinada por

lı́mn→+∞

Rn = lı́mn→+∞

f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · · + f (xn)∆x

donde se considera a xi como el borde derecho del subintervalo [xi−1, xi]. Y donde∆x = xi − xi−1 es la longitud de cada subintervalo (todos miden lo mismo).

El mismo valor del área se obtiene considerando Ln usando los bordes izquierdo de cadasubintervalo

lı́mn→+∞

Ln = lı́mn→+∞

f (x0)∆x + f (x1)∆x + · · · + f (xn−1)∆x

Y en general, el mismo valor se obtiene usando un valor cualquier x∗i (denominado valorde prueba) dentro de cada subintervalo


f (x∗1)∆x + f (x∗2)∆x + · · · + f (x∗n)∆x

Usando la notación de Σ se escribe


n∑i=1

f (x∗i )∆x

x

y

0 2

Figura 11.11: Gráfica de la funciónf (x) = e−x en el intervalo [0, 2].

Actividad 11.3 Considerar la función f (x) = e−x en el intervalo [0, 2].

a) Usando los bordes de la derecha, escriban la expresión del área debajo de la gráficade la función f y sobre el eje x en el intervalo [0, 2] usando la notación de límite y Σtomando n subintervalos.

b) Estimen un valor para el área usando 4 subintervalos de igual longitud. Luego con10 subintervalos.

�

11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil 7

11.2 Distancia recorrida y posición de un móvil

Actividad 11.4 Consideren las siguientes situaciones y respondan las consignas

a) Lucas realiza un viaje en bicicleta por una ruta a una velocidad constante de 20km/h durante 5 horas. ¿Qué distancia recorrió Lucas?

b) Alicia realiza un viaje en bicicleta. El gráfico de la Figura 11.13 representa lavelocidad vs. el tiempo de Alicia durante su trayecto que duró 5 horas. En realidad,la función velocidad de Alicia durante el trayecto es continua (sin saltos) perosimplificamos la situación en t = 2 debido a que Alicia aceleró de 15 km/h a 20km/h en un momento muy breve. ¿Qué distancia recorrió Alicia en total?

c) Nicolás realizó un viaje en bicicleta hacia el norte en una ruta a una velocidadconstante de 12 km/h durante 2 horas, luego dió la vuelta y viajó hacia el sur auna velocidad constante de 20 km/h durante 1 hora. Consideramos que la velocidadviajando hacia el norte es positiva y la velocidad viajando hacia el sur es negativa.Asumiendo que el cambio de la velocidad de Nicolás al dar la vuelta se hace en unmomento muy breve, ¿cuál de las gráficas de la Figura 11.12 representa mejor lavelocidad de Nicolás durante sus 3 horas de viaje?

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

−20

Figura 11.12: Para elegir la función velocidad de Nicolás.

d) En la Figura 11.14 se representa la función velocidad durante el viaje que Andrearealizó primero hacia el norte, luego hacia el sur y luego de nuevo hacia el nortepor una ruta. Los valores entre paréntesis de la figura son los valores de las áreassombreadas.

A las 3 horas, Andrea se encuentra a km al norte del punto dondecomenzó su trayecto. Expliquen cómo lo calcularon.

�

t - (h)

v(t) - (km/h)

2 5

15

20

Figura 11.13: Gráfica de la funciónvelocidad de Alicia.

t - (h)

v(t) - (km/h)

1 2 3

10

20

−10

(10)

(14)

(19)

Figura 11.14: Gráfica de la velocidadde Andrea.

En general, considerando los cálculos realizados en la Actividad 11.4 para estudiar unobjeto que se mueve en una dirección (como un ciclista que se mueve a lo largo de una ruta)consideramos intervalos de tiempo en los que la velocidad es constante (aproximadamenteconstante), subdividiendo el tiempo que dura el trayecto en intervalos pequeños y estimando ladistancia recorrida como el área de los rectángulos verticales.• Si velocidad es positiva, la distancia recorrida se recorre en dirección al sentido positivodel sistema de referencia elegido.• Si la velocidad es negativa, la distancia se recorre en dirección contraria al sentidopositivo del sistema de referencia.

Por ejemplo, consideremos un objeto enganchado a un resorte que cuelga del techo de talmanera que se produce un movimiento exclusivamente vertical. Podemos considerar que elsentido positivo del movimiento se produce hacia arriba y el sentido negativo del movimientose produce hacia abajo. Ver Figura 11.15.

0

Figura 11.15: Objeto sostenido porun resorte.


En la Figura 11.16 se representa la velocidad v(t) de un objeto sostenido por un resortedesde el techo que se mueve durante un lapso de tiempo de t = 0 hasta t = 2π. Subdividiendoel intervalo [0, 2π] en donde se considera que la velocidad es constante se puede estimar ladistancia recorrida por el objeto mediante el área de los rectángulos pero considerando que lasvelocidades negativas corresponden a un movimiento hacia abajo.

t

v(t)

Figura 11.16: Velocidad de un objeto que se mueve sostenido por un resorte desde el techo.

Actividad 11.5 En la Figura 11.17 se representa la velocidad de un objeto enganchado aun resorte que cuelga del techo y que se mueve durante un lapo de tiempo de t = 0 hastat = 5.5 segundos. Las cantidades entre paréntesis representan el valor del área de la regióncorrespondiente. ¿En qué posición, respecto del inicio del movimiento, se encuentra elobjeto a los t = 5.5 segundos?

t - (seg)

v(t) - (m/seg)

t = 5.5

(10)

(20)

(6)

Figura 11.17: Velocidad (m/seg) vs. tiempo (seg).

�

El caso general, en el que p(t) representa la posición de un objeto que se mueve en sentidouni-dimensional, habiendo fijado un sentido positivo para el movimiento y considerando quese toma un intervalo de tiempo desde t = a (instante inicial) hasta t = b (instante final), sedetermina la posición del objeto al final del recorrido por

p(b) = p(a) + lı́mn→+∞

v(t∗1)∆t + v(t∗2)∆t + · · · + v(t∗n)∆t

∆p = p(b) − p(a) = lı́mn→+∞

v(t∗1)∆t + v(t∗2)∆t + · · · + v(t∗n)∆t

siendo v(t) la función velocidad y t∗i valores intermedios en los subintervalos en los que sedivide el período de tiempo.

11.3 La integral definida 9

11.3 La integral definidaTomamos como base los siguientes problemas:

• Cálculo del área debajo de la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo[a, b].• Determinación de la posición de un objeto que se mueve uni-dimensionalmente cono-ciendo que su velocidad es continua y conociendo la posición inicial.

Definición 11.3.1 Si f es una función definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b]en n subintervalos de igual longitud ∆x = (b − a)/n. Sean a = x0, x1, x2, ..., xn = b losbordes de esos intervalos y sean x∗1, x∗2, ..., x∗n valores cualesquiera en esos subintervalos,con x∗i en el intervalo [xi−1, xi]. Entonces la integral definida de f desde a hasta b es∫ b

a

f (x) dx = lı́mn→+∞

n∑i=1

f (x∗i )∆x

siempre que ese límite exista. Si el límite existe, se dice que f es integrable en [a, b].

La suman∑i=1

f (x∗i )∆x que apa-

rece en la Definición 11.3.1 sellama suma de Riemann por elmatemático Bernhard Riemann(1826–1866).

C El símbolo∫

se llama signo de integral. Es una especie de S alargada. En la notación∫ b

af (x) dx, f (x) se llama integrando, y a y b son los límites de integración: a es

el límite inferior y b es el límite superior. A partir de ahora, el símbolo dx no tiene

significado por si sólo; la∫ b

af (x) dx está todo en un sólo símbolo. El dx simplemente

indica que la variable independiente es x. El procedimiento de calcular una integral sellama integración.

C La integral definida∫ b

af (x) dx es un número; no depende de x. Es más, uno podría

usar cualquier letra como variable y el valor de la integral es el mismo∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (r) dr =

∫ b

af (t) dt .

Si la función f es positiva y continua entonces∫ b

a

f (x) dx = Área debajo de la gráfica de f y sobre el eje x en el intervalo [a, b]

como en la Figura 11.18 tal como se desarrolló en la Sección 11.1.

x

y

y = f (x)

x = a x = b

∫ b

a

f (x)dx

Figura 11.18: La integral definidacomo área debajo de la gráfica de fsobre el eje x en el intervalo [a, b].

x

y

A1

A2

A3

Figura 11.19: La integral definidacomo área neta entre la gráfica de fy el eje x en el intervalo [a, b].

Si los valores de la función f son tanto positivos como negativos, como en la Figura 11.19,entonces se consideran las regiones debajo del eje x con un aporte negativo de sus áreas ylas regiones sobre el eje x con aportes positivos de sus áreas, de modo que la suma de ellasrepresenta el área neta entre la gráfica de la función f y el eje x.∫ b

a

f (x) dx = Área neta entre la gráfica de la función f y el eje x.

Por ejemplo, en la Figura 11.19 corresponde calcular∫ b

a

f (x)dx = A1 − A2 + A3

Cuando se estudia el movimiento de un objeto mediante las funciones posición, p(t), yvelocidad, v(t), se tiene que

∆p = p(b) − p(a) =∫ b

a

v(t)dt


Aunque hemos definido la∫ b

a

f (x)dx dividiendo el intervalo [a, b] en subintervalos de

igual longitud, hay situaciones en las que conviene trabajar con intervalos de distinta longitud.Por ejemplo, hay experimientos biológicos en donde los datos son recolectados en tiemposque no son igualmente espaciados. También se define en este caso la integral definida si lalongitud de los intervalos tiende a 0 en el proceso del límite.

Teorema 11.3.1 — Existencia de la integral definida.Si f es continua en [a, b], o si f tiene solo un número finito de discontinuidades tipo salto,entonces f es integrable en [a, b].

Es decir, la integral definida∫ b

a

f (x)dx existe.

En las condiciones del Teorema 11.3.1, se puede asegurar que la función f alcanza unvalor máximo y un valor mínimo en cada sub-intervalo correspondiente a la Suma de Riemann.En algunos libros se utilizan los valores xmin

i y xmaxi para indicar donde la función alcanza sus

valores mínimos y máximos (respectivamente) en los sub-intervalos. Las sumas de Riemannasociadas a dichos valores se denominan usualmente Sumas inferiores y Sumas superiores.

Si f es integrable en [a, b], entonces el límite de la Definición 11.3.1 existe y da el mismovalor sin importar la elección de los puntos xi . Para simplificar el cálculo de la integralgeneralmente se toman los valores xi como el borde derecho de los intervalos. Entonces,x∗i = xi y la definición de la integral se simplifica como sigue.

Teorema 11.3.2 Si f es integrable en [a, b], entonces∫ b

a

f (x) dx = lı́mn→+∞

n∑i=1

f (xi)∆x

donde ∆x =b − a

n, y xi = a + i ∆x.

Los problemas del área debajo de la gráfica de una función o del desplazamiento de unobjetivo móvil son dos ejemplos de una clase más amplia de problemas similares que estudianel cálculo de una cantidad total mediante la suma sobre pequeños subintervalos en los queintervienen funciones que se suponen constantes allí.• El área total debajo de la gráfica de una función positiva se considera como la suma delas áreas de pequeños rectángulos dado que se estima que la función es constante encada pequeño intervalo.• La distancia total recorrida por un objeto se calcula como la suma de pequeñas distanciascalculadas en pequeños intervalos de tiempo bajo el supuesto de que la velocidad esconstante en cada uno de ellos.

Más adelante retomaremos otros problemas similares en los que intervienen funciones quese puede suponer localmente constantes: la densidad, la concentración, la magnitud de unafuerza, etc.


� Ejemplo 11.1 Evaluemos las siguientes integrales interpretando cada una de ellas entérminos de áreas.

a)∫ 1

0

√1 − x2 dx b)

∫ 3

0(x − 1) dx

a) Como f (x) =√

1 − x2 ≥ 0, podemos interpretar a esta integral como el áreabajo la curva y =

√1 − x2 de 0 a 1. Pero como y2 = 1 − x2, obtenemos que

x2 + y2 = 1, que muestra que la gráfica de f es el cuarto de circunferencia conradio 1 de la Figura 11.20. Por lo tanto,∫ 1

0

√1 − x2 dx =

14π 12 =

π

4.

b) La gráfica de y = x − 1 es la recta con pendiente 1 que se muestra en laFigura 11.21. Calculamos la integral como la diferencia de las áreas de lostriángulos:∫ 3

0(x − 1) dx = A1 − A2 =

12(2.2) −

12(1.1) = 1.5

�

x

y x2 + y2 = 1

1

1

Figura 11.20: Gráfica de la fun-ción f (x) =

√1 − x2 en el intervalo

[0, 1].

x

y y = x − 1

1 3A2

A1

Figura 11.21: Gráfica de la funcióng(x) = x − 1 en el intervalo [0, 3].

Figura 11.22: Gráfica de la fun-ción g.

Actividad 11.6 Estimen la integral definida de la función g cuya gráfica se presenta en laFigura 11.22 usando 6 subintervalos: tomando los bordes derechos de cada intervalo, luegotomando los bordes izquierdos de cada intervalo y luego tomando los valores medios decada intervalo.

�

Actividad 11.7 Durante el test de una nueva droga, los investigadores miden la concentraciónde la droga en el plasma sanguíneo cada 10 minutos. Los valores promedio se presentanen la Tabla 11.3 donde t se mide en minutos y C se mide en µg/mL. Estimen, usando los

bordes izquierdos y derechos, la integral∫ 100

0C(t)dt.

t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

C(t) 0 1.3 1.8 2.2 2.4 2.5 2.4 2.3 2.0 1.6 1.1

Tabla 11.3: Concentración C de la nueva droga medida en intervalos de 10 minutos.

�

Actividad 11.8 En un estudio sobre el metabolismo del ácido salicílico (SA) se modela laconcentración de SA mediante la función C(t) = 11.4te−t donde t se mide en horas y C semide en µg/mL. Usando valores de la derecha del intervalo con 8 subintervalos estimar∫ 4

0C(t)dt.

�


11.3.1 Propiedades de la integral definidaCuando se define la integral definida se toma a < b para que tenga sentido el intervalo

[a, b]; sin embargo aceptaremos a partir de ahora las siguientes propiedades que se consideranválidas para cualesquiera valores de a y b

Propiedad 11.3.3 — Propiedades de la integral definida.Considerando f y g funciones continuas se tiene que

a)∫ b

a

f (x)dx = −∫ a

b

f (x)dx

b)∫ a

a

f (x)dx = 0

c)∫ b

a

c dx = c(b − a), para cualquier constante c

d)∫ b

a

[ f (x) + g(x)] dx =∫ b

a

f (x) dx +∫ b

a

g(x) dx

e)∫ b

a

c f (x) dx = c∫ b

a

f (x) dx, para cualquier constante c

f )∫ b

a

[ f (x) − g(x)] dx =∫ b

a

f (x) dx −∫ b

a

g(x) dx

g)∫ c

a

f (x) dx +∫ b

c

f (x) dx =∫ b

a

f (x) dx, para cualquier constante c

La Propiedad b) se refiere a que el área de un segmento se toma como 0 dado que labase es un intervalo de la forma [a, a]. La Propiedad c) dice que la integral de una funciónconstante f (x) = c es la constante por la longitud del intervalo. Si c > 0 y a < b, se interpretagráficamente dado que c(b − a) es el área del rectángulo sombreado de la Figura 11.23.

x

y

f (x) = cc

a b

Figura 11.23: Área del rectángulodebajo de la funcion f (x) = c.

x

y

y = f (x)

a bc

∫ c

af (x)dx

∫ b

cf (x)dx

Figura 11.24: El intervalo se sub-divide en [a, c] y [c, b].

Las Propiedad d), e) y f ) se refieren a cómo se comporta la integral definida con lasoperaciones algebraicas entre funciones de suma, resta y multiplicación por una constante.Coloquialmente, en el caso de la suma: “la integral definida de una suma de funciones es lasuma de las integrales definidas”. En forma similar para la resta y para la multiplicación poruna constante. Se deducen de operar correctamente con los límites para n→ +∞ sabiendoque existen. Por ejemplo,

∫ b

a

[ f (x) + g(x)] dx = lı́mn→∞

n∑i=1[ f (xi) + g(xi)]∆x

= lı́mn→∞[

n∑i=1

f (xi)∆x +n∑i=1

g(xi)∆x]

= lı́mn→∞

n∑i=1

f (xi)∆x + lı́mn→∞

n∑i=1

g(xi)∆x

=

∫ b

a

f (x) dx +∫ b

a

g(x) dx.

La Propiedad e) se puede demostrar en forma análoga y dice que la integral de una constantepor una función es la constante por la integral de la función. En otras palabras, una constante(pero sólo una constante) se puede pasar al frente de un signo de integral. La Propiedad f ) sedemuestra al escribir f − g = f + (−g) y usar las Propiedades d) y e) con c = −1. En cuanto ala Propiedad g), tomando el caso particular en que a ≤ c ≤ b, se propone interpretarla segúnla Figura 11.24.


Propiedad 11.3.4 — Propiedades de monotonía de la integral definida.

a) Si f (x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces∫ b

a

f (x) dx ≥ 0.

b) Si f (x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, entonces∫ b

a

f (x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.

c) Si m ≤ f (x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, entonces

m(b − a) ≤∫ b

a

f (x) dx ≤ M(b − a).

La Propiedad a) nos dice simplemente que las áreas son positivas. La Propiedad b) dicela integral definida respeta el orden entre funciones (ver Figura 11.25). Por último, en laFigura 11.26 se ilustra la Propiedad c) para el caso donde f (x) ≥ 0. Si f es continua podríamostomar m y M como los valores mínimo y máximo absolutos de f en el intervalo [a, b]. En estecaso la Propiedad c) dice que el área bajo la gráfica de f es mayor que el área del rectángulocon altura m y menor que el área del rectángulo con altura M .

x

yy = f (x)

y = g(x)

a b

Figura 11.25: Comparación entre lasintegrales de f y g en el intervalo[a, b] siendo f ≥ g ≥ 0.

x

y

∫ b

a

f (x)dx

a b

m

M

Figura 11.26: Función acotada en elintervalo [a, b] con m ≤ f (x) ≤ M .

� Ejemplo 11.2 Usaremos las propiedades d) y e) para calcular∫ 1

0(2 + 3x2) dx.

∫ 1

0(2 + 3x2) dx =

∫ 1

02 dx +

∫ 1

03x2 dx =

∫ 1

02 dx + 3

∫ 1

0x2 dx

Sabemos también por la propiedad c) que∫ 1

02 dx = 2(1−0) = 2 y que

∫ 1

0x2 dx =

13

(recordar página 5). Por lo tanto∫ 1

0(2 + 3x2) dx = 2 + 3

13= 2 + 1 = 3.

�

� Ejemplo 11.3 Sabiendo que∫ 10

0f (x) dx = 17 y

∫ 8

0f (x) dx = 12 podemos operar usando

la Propiedad g) para obtener∫ 10

8f (x) dx.

∫ 8

0f (x) dx +

∫ 10

8f (x) dx =

∫ 10

0f (x) dx

y entonces∫ 10

8f (x) dx =

∫ 10

0f (x) dx −

∫ 8

0f (x) dx = 17 − 12 = 5.

�


� Ejemplo 11.4 Usemos la Propiedad c) para estimar∫ 1

0e−x

2dx.

Como f (x) = e−x2es una función decreciente en [0, 1] (chequear usando la

derivada), su valor máximo absoluto es M = f (0) = 1 y su valor mínimo absoluto esm = f (1) = e−1. Entonces, por la Propiedad c),

e−1(1 − 0) ≤∫ 1

0e−x

2dx ≤ 1(1 − 0)

e−1 ≤

∫ 1

0e−x

2dx ≤ 1.

Como e−1 ≈ 0.3679, podemos afirmar que 0.3679 ≤∫ 1

0e−x

2dx ≤ 1.

�x

y

0 1

1

e−1

Figura 11.27: Gráfica de la funciónf (x) = e−x

2en el intervalo [0, 1]. Actividad 11.9 Escriban la siguiente expresión para que quede de la forma

∫ b

a

f (x)dx (con

un único símbolo de integral).∫ 2

−2f (x)dx +

∫ 5

2f (x)dx −

∫ −1

−2f (x)dx

�

Actividad 11.10 Si∫ 5

1f (x)dx = 12 y

∫ 5

4f (x)dx = 3, encuentren

∫ 4

1f (x)dx.

�

Actividad 11.11 Encuentren∫ 5

0f (x)dx siendo f (x) =

{3 si x < 3x si x ≥ 3

�

Figura 11.28: Gráfica de la fun-ción f .

Actividad 11.12 Consideren f la función cuya gráfica se presenta en al Figura 11.28.Ordenen las siguientes cantidades de menor a mayor.

a)∫ 8

0f (x)dx b)

∫ 3

0f (x)dx c)

∫ 8

3f (x)dx d)

∫ 8

4f (x)dx e) f ′(1)

�

Actividad 11.13 Usando las propiedades de monotonía verifiquen que

2 ≤∫ 1

−1

√1 + x2dx ≤ 2

√2

�

Actividad 11.14 Estimen el valor de la siguiente integral usando la Propiedad c)∫ 2

0

11 + x2 dx

�

12. Teorema Fundamental del Cálculo


Wang Zhenyi (1768-1797)12.1 AntiderivadasA continuación recopilamos las derivadas de las funciones que desarrollamos anteriormente.

F(x) F ′(x) F(x) F ′(x)

xa

(para cualquier a ∈ R) axa−1

ex ex

ax

(para a > 0)ax ln(a)

ln(x) 1x

loga(x)(para a > 0)

1x ln(a)

sen(x) cos(x)

cos(x) − sen(x)

tan(x)1

cos2(x)

arc cos(x) −1

√1 − x2

arc sen(x)1

√1 − x2

arctan(x) 11 + x2

Derivando Derivando

En todos los casos debe considerarse eldominio de las funciones y sus deriva-das tal como se detalló en los módulosanteriores. Por ejemplo, recordar que lasfunciones exponenciales están definidasy son derivables en todo R. En cambio,la función xa con a = 1

2 está definidaen el intervalo [0, +∞) y es derivable enel intervalo (0, +∞).

Decimos, por ejemplo que

f (x) = 3x2 es la derivada de F(x) = x3

El proceso inverso se denomina antiderivada.Decimos que

F(x) = x3 es una antiderivada de f (x) = 3x2

Y aquí debemos remarcar que este proceso inverso no es único (nunca). Porque existenuna cantidad infinita de funciones que son antiderivadas de f (x) = 3x2.

F1(x) = x3

F2(x) = x3 + 1

F3(x) = x3 + π

F4(x) = x3 − 3

...

FC(x) = x3 + C

f (x) = 3x2

2 Capítulo 12. Teorema Fundamental del Cálculo

Podemos decir que cualquier función de la forma

Fc(x) = x3 + C

(donde C puede ser cualquier número real) es una antiderivada de la función f (x) = 3x2 entodo R.

Definición 12.1.1 Una función F(x) de dice antiderivada o primitiva de la función f (x)en un intervalo (un intervalo que puede ser de cualquier forma) si F ′(x) = f (x).

C No todas las funciones tienen una antiderivada en cualquier intervalo. La existencia ono de las antiderivadas estará condicionada a las propiedades de la función (incluyendoel dominio que se esté considerando).Sin embargo, si una función f tiene alguna primitiva en algún intervalo, entoncesnecesariamente tendrá una cantidad infinita de primitivas (por lo detallado más arriba)que se pueden construir sumando cualquier constante C.El siguiente teorema dice un poco más. Dice que todas las antiderivadas de una función(en el caso que exista alguna) son exclusivamente de la forma en que se construyensumando alguna constante C.

Teorema 12.1.1 Si F es una antiderivada de f en un intervalo (de cualquier forma), entoncestodas las antiderivadas de f en el mismo intervalo son de la forma

FC(x) = F(x) + C

para cualquier constante C.

x

y

Figura 12.1: Varias antiderivadas dela función f (x) = 3x2.

SiH(x) es una función tal queH′(x) = 0para todo x ∈ (a, b) entonces tomandox2 y x1 ∈ (a, b) se tiene, usando elTeorema del Valor Medio, que existe x̃en el intervalo (a, b) tal que

H(x2) − H(x1) = H′(x̃)︸︷︷︸=0

(x2 − x1)

Por lo tanto

H(x2) − H(x1) = 0

O sea, H(x2) = H(x1). Y por lo tantoH es una función constante.

Si F(x) y G(x) son dos antiderivadas de la función f (x) en el mismo intervalo (a, b)entonces

H(x) = F(x) − G(x)

es una función derivable en el intervalo (a, b) y

H ′(x) = F ′(x) − G′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b)

por lo tanto H(x) debe ser una función constante (ver el recuadro del margen)

H(x) = C =⇒ F(x) = G(x) + C

� Ejemplo 12.1 Si consideramos f (x) = sen(x) entonces F(x) = − cos(x) es una antiderivadade f (x) en todo R. De modo que el conjunto completo de funciones antiderivadas def (x) en todo R será de la forma

F(x) = − cos(x) + C

�

� Ejemplo 12.2 La función f (x) =1xestá definida en el conjunto (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Deter-

minaremos las antiderivadas de f (x) en cada uno de los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞)(lo haremos en cada intervalo por separado).En el intervalo (0,+∞) sabemos que la función F(x) = ln(x) es una antiderivada def (x) por lo tanto las antiderivadas en el intervalo (0,+∞) son de la forma

FC(x) = ln(x) + C

12.1 Antiderivadas 3

En el intervalo (−∞, 0) no podemos usar la misma función ln(x) porque las funcioneslogarítmicas no están definidas para valores negativos de x. Sin embargo, podemostomar G(x) = ln(−x) que sí está definida para x < 0 y además cumple

G′(x) =ddx(ln(−x)) =︸︷︷︸

Regla dela cadena

1−x

.(−1) =1x

Por lo tanto G(x) es una antiderivada de f (x) definida en el intervalo (−∞, 0).Todas las demás antiderivadas de f (x) en ese intervalo serán de la forma

GC(x) = ln(−x) + D

�

Conociendo una antiderivada particular de una función en un cierto intervalo, podemosdeterminar todas sus posibles antiderivadas. Según las reglas de derivación y las derivadas delas funciones desarrolladas en módulos previos tenemos que

f (x) F(x) f (x) F(x)

k . f (x) k .F(x)

f (x) + g(x) F(x) + G(x)

xa

(para a , −1)1

a + 1xa+1

ex ex

ax

(para a > 0)1

ln(a)ax

1x

ln(|x |)

cos(x) sen(x)

sen(x) − cos(x)

1cos2(x)

tan(x)

1√

1 − x2arc sen(x)

11 + x2

arctan(x)

Una antiderivadaparticular

Una antiderivadaparticular

(*)

(**)

Encontrar antiderivadas en casos más complejos requiere técnicas o procedimientos quedesarrollaremos en las próximas secciones. Las reglas marcadas con (*) permiten usar laspropiedades de la derivada con la suma y con el producto por un número para determinarlas antiderivadas en el caso de combinaciones lineales entre funciones. Por ejemplo,

F(x) = x3 + 2 arctan(x) − 4 cos(x) es una antiderivada de f (x) = 3x2 +2

1 + x2 + 4 sen(x)

En cuanto a (**) usamos la notación |x | para escribir de forma compacta la función

Valor absoluto de x = |x | =

x si x ≥ 0

−x si x < 0


según lo desarrollado en el Ejemplo 12.2. De modo que se resumen cómo queda determinadauna antiderivada particular en cada caso

1x

ln(x)

ln(−x)

en el intervalo(0,+∞)

en el intervalo(−∞, 0)

� Ejemplo 12.3 Las funciones F(x) = arc sen(x) y G(x) = − arc cos(x) son dos antiderivadas

de f (x) =1

√1 − x2

en el intervalo (−1, 1). Se puede verificar la afirmación anterior

simplemente calculando F ′(x) y G′(x).De acuerdo al Teorema 12.1.1 debe existir una constante C tal que

F(x) = G(x) + C para todo x ∈ (−1, 1).arc sen(x) = − arc cos(x) + C

arc sen(x) + arc cos(x) = C para todo x ∈ (−1, 1)

Evaluando en x = 0 queda

arc sen(0) + arc cos(0) = C

0 +π

2= C

por lo que se tiene la siguiente identidad trigonométrica entre estas funciones inversas

arc sen(x) + arc cos(x) =π

2�

� Ejemplo 12.4 Existe una cantidad infinita de funciones que son antiderivadas de f (x) =ex + 3 cos(x) − 4x8 en todo R. Sin embargo, hay una sola F(x), antiderivada de f (x)en todo R, que cumple F(0) = 4.Sabemos que todas las antiderivadas de f (x) tienen la forma

FC(x) = ex + 3 sen(x) −49

x9 + C

que cumplen

FC(0) = e0 + 3 sen(0) −49

09 + C = 1 + 0 + 0 + C = 1 + C

Por lo tanto, si resolvemos 1 + C = 4 debe ser C = 3; y obtenemos que la única

antiderivada en todo R que en x = 0 vale 4, resulta ser F3(x) = ex + 3 sen(x) −49

x9 + 3.�

12.2 Cálculo de integrales definidas 5

Actividad 12.1 Determinen, en cada caso, la única antiderivada de la función que cumplacon la condición que se solicita. Indiquen el dominio de validez correspondiente.

a) F ′(x) = 1 − 6x con F(0) = 8 b) F ′(x) = 8x3 + 12x + 3 con F(1) = 6

c) F ′(x) = 6√

x + 5x3/2 con F(1) = 10 d) F ′(x) = 2x −3x4 con F(1) = 3

e) F ′(x) = sen(x) + cos(x) con F(0) = 4 f ) F ′(x) = 2ex−3 cos(x) con F(π) = 0�

12.2 Cálculo de integrales definidasEn el Módulo 11 calculamos integrales definidas como un límite de sumas de Riemann

para determinar el valor del área comprendida entre la gráfica de una función positiva y eleje x y también para estudiar el movimiento de un objetivo según su velocidad. El siguienteteorema relaciona el cálculo de las integrales definidas con el cálculo de antiderivadas.

Teorema 12.2.1 — Regla de Barrow. Si f es una función continua en [a, b] entonces∫ b

a

f (x)dx = F(b) − F(a)

donde F(x) es cualquier antiderivada de f (x) en el intervalo [a, b].

Se utiliza regularmente la notación

F(b) − F(a) = ∆F = F(x)��ba

Por ejemplo, en el Módulo 11 vimos, usando sumas de Riemann, que∫ 1

0x2 dx = 1

3

Tomando F(x) = 13 x3 como una antiderivada de f (x) = x2 en el intervalo [0, 1] tendremos,

según el Teorema 12.2.1, el mismo resultado∫ 1

0x2 dx = F(x)

��10 = F(1) − F(0) = 1

3 13 − 13 03 = 1

3

El Teorema 12.2.1 es consistente con lo desarrollado en el Módulo 11 cuando expresamos

∆p = p(b) − p(a) =∫ b

a

v(t) dt

considerando que p′(t) = v(t). O sea, la función posición de un objeto en movimiento es unaantiderivada de la función velocidad del objeto.

Demostración Dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos de tamaño ∆x =b − a

ntomando los puntos x0(= a), x1, . . ., xn(= b). Tomando F(x) una antiderivada cualquierade la función f (x) en el intervalo [a, b] escribimos

F(b) − F(a) = F(xn) − F(x0)

= F(xn) −F(xn−1) + F(xn−1) + · · · F(x3) − F(x2) + F(x2) − F(x1) + F(x1)︸︷︷︸Sumamos y restamos varios términos de la forma F(xi ) con 1 ≤ i ≤ n − 1

−F(x0)

=

n∑i=1

F(xi) − F(xi−1)


Considerando que F(x) es continua y derivable en cada intervalo [xi, xi−1] podemos afirmarque (Teorema del Valor Medio) en cada subintervalo existe un valor x∗i tal que

F(xi) − F(xi−1) = F ′(x∗i )(xi − xi−1) = f (x∗i )∆x

por lo tanto

F(b) − F(a) =n∑i=1

f (x∗i )∆x

Tomamos límite para n → +∞ en ambos lados de la igualdad. El miembro de laizquierda es constante respecto de n y el miembro de la derecha corresponde a las sumasde Riemann de la función f (x) por lo que

F(b) − F(a) = lı́mn→+∞

n∑i=1

f (x∗i )∆x =∫ b

a

f (x)dx

� Ejemplo 12.5 Calcularemos∫ 3

0exdx.

Dado que F(x) = ex es una antiderivada de ex en el intervalo [1, 3] podemos calcular∫ 3

0exdx = F(3) − F(0) = e3 − e0 = e3 − 1 ≈ 19.085

�

x

y

A0 π

2

Figura 12.2: Área comprendida entrela gráfica de la función cos(x) en elintervalo [0, π2 ].

x

y

A1

A2

0 2 3

Figura 12.3: Área comprendida entrela gráfica de la función f (x) = x2 −2x en el intervalo [0, 3].

� Ejemplo 12.6 Determinaremos el valor del área comprendida entre la gráfica de la funcióncos(x) y el eje x en el intervalo [0, π2 ].Dado que la función f (x) = cos(x) es positiva en el intervalo [0, π2 ] y que F(x) = sen(x)es una antiderivada de f (x) en el intervalo se puede calcular

Área =∫ π

2

0cos(x)dx = F( π2 ) − F(0) = sen( π2 ) − sen(0) = 1

�

� Ejemplo 12.7 Determinaremos el valor del área comprendida entre la gráfica de la funciónf (x) = x2 − 2x y el eje x en el intervalo [0, 3].El área que queremos determinar se puede obtener sumando las áreas A1 y A2 (verFigura 12.3). En el caso de A1, como la función es negativa en el intervalo (0, 2), yusando F(x) = 1

3 x3 − x2 como antiderivada de f (x) en el intervalo [0, 3] sabemos que

A1 = −

∫ 2

0(x2 − 2x)dx = − [F(2) − F(0)] = −

(13 23 − 22

)+

(13 03 − 02

)=

43

Y en el caso de A2, como la función es positiva en el intervalo (2, 3)

A2 =

∫ 3

2(x2 − 2x)dx = F(3) − F(2) =

(13

33 − 32)−

(13

23 − 22)= −

83+ 4 =

43

El área de la región será 43 +

43 =

83 .

�

12.3 Integral indefinida 7

Actividad 12.2 Calculen las siguientes integrales definidas

a)∫ 2

−1(x3 − 2x)dx b)

∫ 5

−26dx c)

∫ 4

1(5 − 2t + 3t2)dt

d)∫ 1

0x4/5dx e)

∫ 8

1

3√xdx f )∫ 2

1

3t4 dt

g)∫ 2π

0cos(θ)dθ h)

∫ π/4

0sec2(t)dt i)

∫ 9

1

2x

dx

j)∫ −1

−3

2x

dx k)∫ 1

010xdx l)

∫ √3/2

1/2

61 + t2 dt

�

12.3 Integral indefinidaPara continuar introduciremos una notación propia y específica para las antiderivadas que

facilitará el trabajo. La notación usada tradicionalmente es∫f (x)dx

para indicar la determinación de antiderivadas de la función f (x) de manera general. O sea,

F(x) =∫

f (x)dx ⇐⇒ F ′(x) = f (x)

Remarcamos la diferencia entre el doble uso del símbolo∫

tanto para lo que denominamosintegral definida como con lo que denominamos integral indefinida.

Integral definida Integral indefinida∫ b

a

f (x)dx∫

f (x)dx

Un número real que se obtiene comolímite de las sumas de Riemann para lafunción f (x) en el intervalo [a, b].

El conjunto de funciones antiderivadasde f (x). O sea, las que al derivarlas danf (x).

Por ejemplo,∫ 1

0x2dx =

13

Por ejemplo,∫x2dx = 1

3 x3 + C

Con esta notación escribimos la Tabla 12.1 con las primitivas de las funciones usuales.

∫xn dx =

1n + 1

xn+1 + C

para n , −1∫ex dx = ex + C∫ax dx =

1ln(a)

ax + C∫1x

dx = ln(|x |) + C∫cos(x)dx = sen(x) + C∫sen(x)dx = − cos(x) + C∫

1cos2(x)

dx = tan(x) + C∫1

√1 − x2

dx = arc sen(x) + C∫1

1 + x2 dx = arctan(x) + C

Tabla 12.1: Tabla de primitivas ointegrales indefinidas.

La relación ∫ b

a

f (x)dx = F(b) − F(a)

siendo F(x) cualquier primitiva de f (x) en el intervalo [a, b] generaliza lo que mencionamospara el caso de la posición de un móvil y su relación con la velocidad∫ b

a

v(t)dt = p(b) − p(a)


Más generalmente, consideraremos a cualquier magnitud física, química o biológica que secorresponda con una función de F(x) de R (o algún subconjunto de R) en R donde la variableindependiente es el tiempo “t” de tal manera que

∆F = F(b) − F(a) = variación de F en el intervalo de tiempo [a, b]

F ′(t) = velocidad instantánea de F en el instante t

∫ b

a

F ′(t)dt = Límite de las sumas de Riemman de F ′(t) en el intervalo [a, b]

F(b) − F(a) =∫ b

a

F ′(t)dt

Actividad 12.3 Si V ′(t) es la velocidad instantánea a la que fluye un líquido dentro de un

recipiente en cada instante t. ¿Qué representa la integral∫ t2

t1

V ′(t)dt?�

Actividad 12.4 Si w′(t) es la velocidad de crecimiento en cada instante t de un niño en

kilos/año. ¿Qué representa∫ 10

5w′(t)dt?

�

Actividad 12.5 En una reacción química, la velocidad de reacción es la derivada de la

concentración [C](t) del producto que está reaccionando. ¿Qué representa∫ t2

t1

ddt[C](t)dt?

�

Actividad 12.6 Se comienza con 100 abejas las cuales aumentan a una velocidad de n′(t)

abejas por semana. ¿Qué representa la expresión 100 +∫ 120

0n′(t)dt?

�

Actividad 12.7 Una colonia de bacterias incrementa su tamaño a una velocidad de 4.05× 6tbacterias por hora. Considerando que inicialmente la población tuvo 46 bacterias, encuentrenel tamaño de la población 4 horas más tarde.

�

12.4 Teorema Fundamental del Cálculo 9

12.4 Teorema Fundamental del CálculoEl Teorema 12.2.1 permite calcular la integral definida de una función continua a través

de alguna antiderivada. Pero, ¿existen siempre antiderivadas? El Teorema Fundamental delCálculo que se presenta a continuación define una función de manera explícita que cumpleser una antiderivada de la función original bajo la condición de que se trate de una funcióncontinua.

Teorema 12.4.1 — Teorema Fundamental del Cálculo. Si f es una función continua en unintervalo [a, b] entonces la función F(x) definida por

F(x) =∫a

xf (t) dt para a ≤ x ≤ b (12.1)

es una antiderivada de la función f (x) en el intervalo [a, b]. O sea, F ′(x) = f (x) paracualquier x ∈ [a, b]

La función F(x) se define como la integral definida de la función f (t) en el intervalo[a, x]. De modo que la variable x (variable independiente de F) representa el borde derecho enel que se calcula la integral definida. Para cada valor de x fijo,∫

a

xf (t) dt

es un número real; de modo que haciendo variar x en el intervalo [a, b] se obtienen los distintosvalores de F(x). x

y

y = f (x)

a bx

Área

Figura 12.4: Área debajo de la gráfi-ca de la función f (x) sobre el eje xen el intervalo [a, x].

x

y

y = f (x)

a bx x + ∆x

Figura 12.5: Área debajo de la gráfi-ca de la función f (x) sobre el eje xen el intervalo [a, x].

En términos de la Actividad 12.1, la función F(x) definida por la ecuación 12.1 es la únicaantiderivada de f (t) que cumple F(a) = 0.

Si f (t) es positiva en el intervalo [a, b] entonces F(x) =∫ x

a

f (t) dt representa el valor del

área debajo de la gráfica de la función f en el intervalo [a, x] como se ve en la Figura 12.4.En este caso, si quisiéramos calcular la derivada de F(x) en algún x deberíamos evaluar

lı́m∆x→0

F(x + ∆x) − F(x)∆x

Si ∆x > 0, entonces F(x + ∆x) − F(x) representa el área sombreada en la Figura 12.5: elárea debajo de la gráfica de la función f en el intervalo [x, x + ∆x]. Para valores pequeños de∆x, se puede aproximar con el área del rectángulo de base ∆x y altura f (x)

F(x + ∆x) − F(x) ≈ f (x)∆x

o sea,F(x + ∆x) − F(x)

∆x≈ f (x)

y tomando límite para ∆x → 0+ se obtiene

F ′(x) = lı́m∆x→0+

F(x + ∆x) − F(x)∆x

= f (x)

Un razonamiento similar sirve para el caso que ∆x < 0 y en el caso general que f (x) nosea positiva.

El Teorema Fundamental del Cálculo se escribe, en la notación de Leibniz como

ddx

∫ x

a

f (t)dt = f (x)

en el caso que f (t) sea continua.


� Ejemplo 12.8 Consideremos f (x) = ex2. Esta función es continua en todo R por lo tanto,

por el Teorema 12.4.1 la función

F(x) =∫ x

0et

2dt

es derivable en todo R y además F ′(x) = ex2.

Para complejizar la situación podemos tomar otra función g(x) = x3 + 5 de tal manerade componerlas en las dos opciones posibles

(F ◦ g)(x) o (g ◦ F)(x)

En el primer caso es

(F ◦ g)(x) = F (g(x)) =∫ x3+5

0et

2dt

y por lo tanto(F ◦ g)′(x) = F ′(g(x)).g′(x) = e(x

3+5)2.3x2

En el segundo caso es

(g ◦ F)(x) = g (F(x)) =(∫ x

0et

2dt

)3+ 5

y por lo tanto

(g ◦ F)′(x) = g′(F(x)).F ′(x) = 3(∫ x

0et

2dt

)2.ex

2

�

Actividad 12.8 Usen el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular las derivadas de lassiguientes funciones.

a) g(x) =∫ x

1

1t3 + 1

dt b) g(x) =∫ x

3et

2−tdt

c) g(y) =

∫ y

2t2 sen(t)dt d) g(r) =

∫ r

0

√x2 + 4dx

e) g(x) =∫ 0

x

cos(t2)dt ⇐ Usar la propiedad∫ b

a

f (x)dx = −∫ a

b

f (x)dx

f ) g(x) =∫ 1/x

2arctan(t)dt ⇐ Revisar el Ejemplo 12.8

g) g(u) =∫ tan(u)

0

√t +√

tdt h) g(x) =∫ 0

exsen3(t)dt

�

12.5 Métodos de integración 11

12.5 Métodos de integraciónYa vimos que una integral definida es un número real que surge al tomar el límite de

ciertas sumas de Riemann. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que una integraldefinida de una función continua puede calcularse fácilmente si somos capaces de encontraruna antiderivada de la función. En general, encontrar antiderivadas resulta más difícil queencontrar derivadas. Sin embargo, es importante poder hallar antiderivadas y es por eso queaprenderemos algunas técnicas para calcularlas.

Hasta ahora hemos podido encontrar antiderivadas de funciones que reconocemos clara-mente como derivadas. Pero no hemos visto todavía fórmulas que nos permitan hallar integralesindefinidas como la siguiente∫

2x√

1 + x2 dx. (12.2)

12.5.1 Regla de sustituciónEn esta sección comenzaremos a desarrollar técnicas más generales para encontrar

antiderivadas. La primera técnica de integración que desarrollaremos se obtiene al invertir elproceso que llamamos regla de la cadena.

Para hallar la integral 12.2 usamos una estrategia de resolución de problemas que consisteen cambiar o sustituir la variable:

Cambiamos de la variable x a una nueva variable u

En este caso, tomaremos como u al radicando que se encuentra dentro de la raíz en 12.2:

u = 1 + x2.

Entoncesdudx= 2x. Utilizamos la notación de Leibniz porque nos permite “manipular” las

expresiones du y dx como si fueran expresiones algebraicas separadas de modo que queda

dudx= 2x ⇐⇒ du = 2x dx

Los símbolos dx y du se denomi-nan generalmente diferenciales.La forma general de los diferen-ciales proviene de escribir

dfdx= f ′(x)

equivalente a

df = f ′(x)dx

Reacomodando la integral 12.2 tenemos∫2x

√1 + x2 dx =

∫ √1 + x2 2x dx =

∫√

u du =∫

u1/2 du

=23

u3/2 + C =23(1 + x2)3/2 + C.

Comprobamos el resultado obtenido calculando la derivada usando la Regla de la cadena:

ddx

[23(1 + x2)3/2 + C

]=

32.23(1 + x2)3/2−1 2x = 2x (1 + x2)1/2 = 2x

√1 + x2.

En general, este método funciona para integrales que podamos escribir en la forma∫f (g(x)) g′(x) dx.

Observemos que si F ′(x) = f (x), entonces∫F ′(g(x)) g′(x) dx = F(g(x)) + C ⇐⇒

ddx[F(g(x))] = F ′(g(x)) g′(x).

Con el “cambio de variable” o “sustitución” u = g(x), obtenemos∫f (g(x)) g′(x) dx =

∫f (u) du.


Teorema 12.5.1 — Regla de sustitución. Sea g : I → J, donde I y J son dos intervalos. Sig′(x) es continua en I y f es continua en J, entonces∫

f (g(x)) g′(x) dx =∫

f (u) du ⇐ Para integrales indefinidas

Y para cualesquiera a, b pertenecientes a I∫ b

a

f (g(x))g′(x)dx =∫ g(b)

g(a)

f (u)du ⇐ Para integrales definidas

Hemos demostrado la regla desustitución para integración usan-do la regla de la cadena para de-rivación. Observemos que si u =g(x), entonces du = g′(x) dx.

En los siguientes ejemplos veremos varias maneras de calcular integrales indefinidas eintegrales definidas utilizando la regla de sustitución. Principalmente, en el caso de integralesdefinidas, los ejemplos se desarrollan de manera diferente en cada instancia:

• Aplicar la regla de sustitución para integrales definidas calculando g(a) y g(b).

• Calculando en primer lugar una primitiva de la función involucrada, con la Regla deSustitución para integrales indefinidas, y luego con ella, aplicar la Regla de Barrow.

� Ejemplo 12.9 Encontremos, usando la regla de sustitución,∫

x3 cos(x4 + 7) dx.

Sustituimos u = x4 + 7, como du = 4x3 dx, que, salvo por el factor constante 4que aparece multiplicando, el resto se encuentra presente en la integral. Así, usando

x3 dx =14

du y la regla se sustitución, tenemos que∫x3 cos(x4 + 7) dx =

∫cos(u)

14

du =14

∫cos(u) du

=14

sen(u) + C

=14

sen(x4 + 7) + C.

Observar que en el último paso hemos regresado a la variable original x. �

Cuando se usa una sustitución enuna integral definida, debemosponer todo en términos de la nue-va variable u, no sólo x y dx sinotambién los límites de integra-ción. Los nuevos límites son losvalores de u que corresponden ax = a y x = b.

� Ejemplo 12.10 Calculemos la integral∫ 4

0

√2x + 1dx usando la regla de sustitución para

integrales definidas.

Usando la sustitución u = 2x + 1,12

du = dx. Para hallar los nuevos límites deintegración vemos que:

cuando x = 0, u = 2.0 + 1 = 1 y cuando x = 4, u = 2.4 + 1 = 9.Por lo tanto,∫ 4

0

√2x + 1dx =

∫ 9

1

12√

u du

=12

23

u3/2��91

=13(93/2 − 13/2) =

263.

�


La regla de la sustitución logra transformar una integral relativamente complicada en una

integral más sencilla. En el Ejemplo 12.9, transformamos la integral∫

x3 cos(x4 + 7) dx por

la integral más sencilla14

∫cos(u) du.

La principal dificultad con la regla de la sustitución es la de encontrar una sustituciónapropiada. En ocasiones, llegaremos a la sustitución correcta después de varios intentos, no esun asunto trivial, es por eso que si la sustitución no funciona tenemos que intentar otra.

� Ejemplo 12.11 Encontraremos, usando una sustitución conveniente,∫

x√

1 − 4x2dx.

Al tomar u = 1 − 4x2, du = −8xdx, se tiene − 18 du = xdx, y luego se tiene que

∫x

√1 − 4x2

dx = − 18

∫1√

udu = −

18

∫u−1/2du

= − 18 2 u1/2 + C = − 1

4

√1 − 4x2 + C

�

En este ejemplo, primero calcula-mos la integral indefinida y luegousamos la Regla de Barrow.

� Ejemplo 12.12 Calculemos∫ 1

−2e6xdx.

En primer lugar determinaremos una primitiva de e6x en el intervalo [−2, 1]desarrollando la integral indefinida

∫e6xdx =

16

∫eudu = 1

6 eu + C = 16 e6x + C.

Hemos usado la sustitución u = 6x, con lo que du = 6dx, y 16 du = dx.

Para calcular la integral definida usamos una de las primitivas encontradas: 16 e6x de

modo que ∫ 1

−2e6xdx = 1

6 e6x ��1−2 =

16 e6 − 1

6 e−12

�

� Ejemplo 12.13 Calculemos∫

tan(x)dx. Si reescribimos a la tan(x) comosen(x)cos(x)

,∫tan(x)dx =

∫sen(x)cos(x)

dx.

Si hacemos la sustitución u = cos(x), tenemos que −du = sen(x)dx. Luego,∫tan(x)dx =

∫sen(x)cos(x)

dx = −∫

1u

du

= − ln(|u|) + C = − ln(| cos(x)|) + C.

�


� Ejemplo 12.14 Para calcular la∫ e

1

ln(x)x

dx usaremos la sustitución u = ln(x) porque

du =1x

dx.Cuando x = 1, u = ln(1) = 0 y cuando x = e, u = ln(e) = 1. Por lo tanto,

∫ e

1

ln(x)x

dx =

∫ e

1ln(x)

1x

dx =∫ 1

0udu =

u2

2

��10=

12.

�

Actividad 12.9 Calculen las siguientes integrales usando la sustitución que se indica

a)∫

e−xdx tomando u = −x.

b)∫

x3(2 + x4)5dx tomando u = 2 + x4.

c)∫

x2√

x3 + 1dx tomando u = x3 + 1.

d)∫

cos3(θ) sen(θ)dθ tomando u = cos(θ).�

Actividad 12.10 Calculen las siguientes integrales indefinidas. Deben analizar qué sustitu-ción es conveniente realizar en cada caso. Utilicen los ejemplos anteriores para analizar lasopciones posibles.

a)∫

x sen(x2

)dx b)

∫x2(x3 + 5)9dx

c)∫(ln(x))2

xdx d)

∫ex cos(ex)dx

e)∫

sen(√

x)√

xdx f )

∫x2

x3 + 1dx

g)∫

sen(θ)cos2(θ)

dθ h)∫

arctan(x)1 + x2 dx

�

Actividad 12.11 Calculen las siguientes integrales definidas utilizando alguna sustituciónadecuada.

a)∫ 1

0cos(πt/2)dt b)

∫ 1

0(3t − 1)50dt

c)∫ 4

1

e√x

√x

dx d)∫ 4

2

x1 − x2 dx

�


12.5.2 Integración por partesElmétodo de integración por partes se basa en la regla de derivación de un producto de

funciones. Si f y g son funciones derivables, entonces

ddx[ f (x)g(x)] = f (x)g′(x) + g(x) f ′(x)

Usando la notación para integrales indefinidas esta ecuación se convierte en∫[ f (x)g′(x) + g(x) f ′(x)] dx = f (x)g(x)

o bien, ∫f (x)g′(x) dx +

∫g(x) f ′(x) dx = f (x)g(x).

Reacomodando la ecuación llegamos a que∫f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −

∫g(x) f ′(x) dx

Teorema 12.5.2 — Regla de integración por partes. Si f y g son funciones cuyas derivadasson continuas en un intervalo I entonces

∫f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −

∫g(x) f ′(x) dx ⇐ Para integrales indefinidas

Y para cualesquiera a, b pertenecientes al intervalo I

∫ b

a

f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)��ba−

∫ b

a

g(x) f ′(x) dx ⇐ Para integrales definidas

Usando la notación de diferenciales se escribe la fórmula de integración por partes de lasiguiente manera: sea u = f (x) y v = g(x), entonces du = f ′(x)dx y dv = g′(x)dx, y

∫f (x)︸︷︷︸u

g′(x)dx︸︷︷︸dv

= f (x)︸︷︷︸u

g(x)︸︷︷︸v

−

∫g(x)︸︷︷︸v

f ′(x) dx︸︷︷︸du∫

u dv = uv −∫

v du

El método de integración por partes requiere la presencia de un producto de dosexpresiones, una de las cuales es f (x) y la otra es g′(x). Nos corresponde a nosotros (los queestemos tratando de calcular la integral) decidir cuál de las dos expresiones es f (x) (que luegodeberemos derivar) y cuál es g′(x) (a la que debemos calcular una antiderivada).

f (x) f ′(x) g′(x)∫

g(x)

DerivandoCalculandouna primitiva


� Ejemplo 12.15 Encontremos∫

x sen(x) dx usando el método de integración por partes.

Tomamos como f (x) = x y como g′(x) = sen(x).Luego, como f ′(x) = 1 y g(x) = − cos(x),∫

x sen(x)dx = f (x) g(x) −∫

g(x) f ′(x) dx

= x(− cos(x)) −∫(− cos(x))1dx

= −x cos(x) +∫

cos(x)dx

= −x cos(x) + sen(x) + C

Verificamos que hallamos bien la primitiva derivando (usamos la regla del producto):

(−x cos(x) + sen(x) + C)′ = − cos(x) + x sen(x) + cos(x) + 0 = x sen(x)

�

C Al usar la fórmula de integración por partes transformamos la integral original en unaparte que ya está “integrada” y otra integral nueva con la esperanza que sea más sencillaque la anterior.

En el Ejemplo 12.15, empezamos con∫

x sen(x)dx y lo expresamos en términos de

una integral∫

cos(x)dx que se calcula usando la tabla de primitivas 12.1.

Si nuestra elección inicial hubiese sido f (x) = sen(x) y g′(x) = x, entonces tendríamosf ′(x) = cos(x) y g(x) = 1

2 x2, de modo que la integración por partes queda∫x sen(x)dx = sen(x)

x2

2−

12

∫x2 cos(x)dx

Si bien la fórmula está bien utilizada, la nueva∫

x2 cos(x)dx es una integral más difícil

de calcular que la original. Cuando se decide sobre una opción para f (x) y g′(x), por logeneral tratamos de escoger que f (x) sea una función que se haga más sencilla cuandose derive (o al menos no más complicada) mientras g′(x) se pueda integrar fácilmentepara obtener g(x).

� Ejemplo 12.16 Calculemos ahora∫ e

1ln(x)dx usando la fórmula de integración por partes

para integrales definidas con la notación u y v. En este caso no tenemos muchas

opciones, llamamos: u = ln(x) y dv = dx. Así, du =1x

dx y v = x.Al integrar por partes,∫ e

1ln(x)dx = x ln(x)

��e1 −

∫ e

1x

1x

dx = e ln(e) − 1 ln(1) −∫ e

11 dx

= e − x��e1 = e − (e − 1) = 1

En este ejemplo, la integración por partes es efectiva porque la derivada de lafunción f (x) = ln(x) es más sencilla que f (x). �


� Ejemplo 12.17 — Doble integración por partes. Encontremos∫

t2etdt. Observemos en este

caso que t2 se hace más sencilla cuando la derivamos y que et no cambia cuando laderivamos o integramos, por lo que tomaremos

u = t2 dv = etdt =⇒ du = 2tdt v = et

y la integral queda

∫t2etdt = t2et − 2

∫tetdt (12.3)

En 12.3 nos sigue apareciendo una integral para resolver,∫

tetdt, que si bien noes una integral que podamos resolver usando la tabla de primitivas, podemos calcularlausando nuevamente integración por partes. En este caso, tomaremos u = t y dv = etdt.Luego tenemos que du = dt, v = et , y∫

tetdt = tet −∫

etdt = tet − et + C.

Si reemplazamos eso en la ecuación 12.3∫t2etdt = t2et − 2

∫tetdt

= t2et − 2(tet − et + C)

= t2et − 2tet + 2et + C1 donde C1 = −2C.

�

� Ejemplo 12.18 — Integrales cíclicas. Calculemos ahora∫

ex sen(x)dx.

En este caso, si bien ni ex ni sen(x) se vuelven más sencillas cuando las derivamos,escogeremos u = ex y dv = sen(x)dx de todas formas. Entonces du = exdx yv = − cos(x), de modo que la integración por partes nos da∫

ex sen(x)dx = −ex cos(x) +∫

ex cos(x)dx. (12.4)

En 12.4 nos aparece ex cos(x)dx que no resulta más sencilla que la original pero almenos no es más difícil. Lo que haremos será integrar nuevamente por partes pero estavez usamos u = ex y dv = cos(x)dx. Entonces du = exdx, v = sen(x), y

∫excos(x)dx = ex sen(x) −

∫ex sen(x)dx (12.5)

A primera vista, parece como si no hubiéramos logrado nada porque hemos llegado

a∫

ex sen(x)dx, que es donde empezamos. Sin embargo, si ponemos la ecuación 12.5

en la ecuación 12.4 tendremos


∫ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x) −

∫ex sen(x)dx.

Reagrupando∫

ex sen(x)dx, nos queda

2∫

ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x),

por lo tanto,

∫ex sen(x)dx =

12

ex[− cos(x) + sen(x)] + C.

�

� Ejemplo 12.19 — Farmacocinética de la aspirina. La función

C(t) = 32t2e−4.2 t

modela la concentración promedio de aspirina en bajas dosis en el torrente sanguíneosegún datos extraídos de 10 voluntarios en una investigación. La variable t está medidaen horas y C está medida en µg/mL. Utilizaremos integración por partes para calcular∫ 2

0C(t)dt que representa la droga disponible en el cuerpo al trancurrir 2 horas.

Observemos que cuando derivamos t2 se vuelve más simple. No sucede lo mismo cone−4.2 t . Por lo tanto, proponemos llamar

u = 32t2 dv = e−4.2 tdt =⇒ du = 64t v = −1

4.2e−4.2 t

Luego∫ 2

032t2e−4.2 tdt = −

324.2

t2e−4.2 t��20−

∫ 2

0−

644.2

te−4.2 tdt

= −324.2

4e−8.4 +644.2

∫ 2

0te−4.2 tdt

La integral que obtuvimos,∫ 2

0te−4.2 tdt, debe ser resuelta nuevamente con inte-

gración por partes con u = t y dv = e−4.2 tdt, tenemos que du = dt y v = −1

4.2e−4.2 t

y por lo tanto,∫ 2

0te−4.2 tdt = −

t4.2

e−4.2 t��20+

14.2

∫ 2

0e−4.2 tdt

= −2

4.2e−8.4 +

14.2

[e−4.2 t

−4.2

] ��20= −

24.2

e−8.4 −e−8.4 − 1(4.2)2

.

Si reemplazamos este valor obtenemos que∫ 2

0C(t)dt = −

324.2

4e−8.4 +644.2

(−

24.2

e−8.4 −e−8.4 − 1(4.2)2

)≈ 0.855159

�


Actividad 12.12 Calculen usando el método de integración por partes. En los casos deintegrales indefinidas, verificar siempre las primitivas obtenidas derivando la respuesta.

a)∫

x cos(5x)dx b)∫

x2 ln(x)dx

c)∫ π

0x sen(3x)dx d)

∫arctan(x)dx

e)∫ 9

4

ln(x)√

xdx f )

∫2x cos(x)dx

g)∫ 1

2

ln(x)x2 dx h)

∫(ln(x))2dx

�

12.5.3 Integración por fracciones simplesEl método de integración por fracciones simples se utiliza para calcular las integrales

definidas o integrales indefinidas de funciones racionales

f (x) =polinomiopolinomio

considerando siempre intervalos en los que la función sea continua.

En estos casos, se toma como base tres funciones racionales, las más simples, cuyasprimitivas se determinan usando la tabla de primitivas 12.1. Considerando n > 1

∫1x

dx = ln(|x |)+C∫

1xn

dx =1

1 − n1

xn−1+C∫

1x2 + 1

dx = arctan(x)+C

O más generalmente, a cualquier número real, y b > 0

(I)∫

1x + a

dx = ln(|x + a|) + C (II)∫

1(x + a)n

dx =1

1 − n1

(x + a)n−1 +C

(III)∫

1x2 + b

dx = 1√b

arctan(

x√

b

)+ C (IV)

∫x

x2 + adx = 1

2 ln(|x2 + a|) + C

Estas últimas integrales indefinidas se calculan por sustitución. En (I) y (II) correspondetomar u = x + a; en (III) corresponde tomar u = x√

b; y en (IV) se toma u = x2 + a.

El método consiste en “descomponer” funciones racionales más complejas como com-binaciones lineales de estas fracciones simples. El método es netamente algebraico, en elsentido que se busca manipular algebraicamente las expresiones para encontrar expresionesequivalentes que puedan integrarse fácilmente con estas fracciones simples.

No desarrollaremos el método en su completitud que contempla todas las maneras en quese puede factorizar un polinomio según las multiplicidades de sus raíces.


� Ejemplo 12.20 Para encontrar∫

x3 + xx − 1

dx debemos, en primer lugar, determinar la forma

estándar de la función racional f (x) =x3 + xx − 1

dado que el grado del polinomio delnumerador es mayor que el grado del polinomio del denominador.Realizando la división entre los polinomios x3 + x con x − 1 obtenemos

x3 + xx − 1

= x2 + x + 2 +2

x − 1

Por lo tanto,∫x3 + xx − 1

dx =∫ (

x2 + x + 2 +2

x − 1

)dx

= 13 x3 + 1

2 x2 + 2x + 2 ln(|x − 1|) + C

�

� Ejemplo 12.21 Para calcular∫

x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

dx ya tenemos la función en su forma estándarporque el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio deldenominador. Factorizaremos el denominador,

x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x + 2)

Como quedaron 3 factores distintos proponemos descomponer en 3 fracciones:

x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

=Ax+

Bx − 1

+C

x + 2

en las que faltaría determinar los valores de las constantes A, B y C. Existen variosmétodos para determinar estos valores. En nuestro caso multiplicaremos la ecuación porel denominador completo x(x − 1)(x + 2) (es más sencillo si se encuentra factorizado)

x2 + 2x − 1 = A(x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 1)

y expandiendo todo lo posible el miembro derecho (son varias cuentas usando laspropiedades distributivas y agrupando los x2, x y los términos independientes)

x2 + 2x − 1 = (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x − 2A

Esta última ecuación representa una igualdad entre el polinomio: los coeficientescorrespondientes a los distintos monomios deben coincidir. O sea, corresponde resolverel siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

1 = A + B + C2 = A + 2B − C−1 = −2A

Resolvemos este sistema (no hacemos las cuentas) y obtenemos

A = 12, B = 2

3 y C = − 16


que nos permite plantear la igualdad

x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

dx =1/2

x+

2/3x − 1

+−1/6x + 2

Por lo tanto∫x2 + 2x − 1x3 + x2 − 2x

dx =∫ (

1/2x+

2/3x − 1

+−1/6x + 2

)dx

= 12 ln(|x |) + 2

3 ln(|x − 1|) − 16 ln(|x + 2|) + C

�

�Ejemplo 12.22 Para calcular∫ 4

2

2(x − 1)(x2 + 1)

notamos primero que la función2

(x − 1)(x2 + 1)es continua en el intervalo [2, 4]. Utilizaremos 3 fracciones de la siguiente forma

2(x − 1)(x2 + 1)

=A

x − 1+

Bxx2 + 1

+C

x2 + 1

donde quedan para determinar el valor de las constantes A, B y C.La presencia del factor x2 + 1 (cuadrático sin raíces reales) nos indica la necesidad deusar dos fracciones distintas para él. Multiplicando ambos miembros por (x−1)(x2+1)queda

2 = A(x2 + 1) + Bx(x − 1) + C(x − 1)

por lo que se debe cumplir que 2 = (A + B)x2 + (C − B)x + A − CO sea,

0 = A + B0 = C − B2 = A − C

Las soluciones de este sistema son A = 1, B = −1 y C = −1; por lo que

2(x − 1)(x2 + 1)

=1

x − 1+−x

x2 + 1+−1

x2 + 1

La integral se calcula entonces como∫ 4

2

2(x − 1)(x2 + 1)

dx =∫ 4

2

(1

x − 1−

xx2 + 1

−1

x2 + 1

)dx

= ln(|x − 1|) − 12 ln(|x2 + 1|) − arctan(x)

��42 ≈ 0.268056

�

Actividad 12.13 Calculen las siguientes integrales estudiando en primer lugar la formaestándar y luego descomponiendo en fracciones simples.

a)∫

xx − 1

dx b)∫

2x2 + x

dx c)∫

xx2 + x − 2

dx

d)∫

x2

x + 4dx e)

∫x3 + x + 1

x2 + 1dx

�

1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? · 2 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo...

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