222 Cálculo diferencial

222 Cálculo diferencial

función f de valores reales tiene un máximo absoluto en un conjunto S si existepor lo menos un punto e en S tal que

f(x) ~f(c) para todo x en S.

El concepto de máximo relativo se define así:

DEFINICIÓN DE MÁXIMO RELATIVO. Una función i. definida en un coniun-to S, tiene un máximo relativo en un punto e de S si existe un cierto intervaloabierto 1 que contiene e tal que

f(x) ~ f(c) para todo x situado en 1 í'I S.

El concepto de mínimo relativo se define del mismo modo con la desigualdadinvertida.

Es decir, un máximo relativo en e es un máximo absoluto en un cierto en-torno de e, si bien no es necesariamente un máximo absoluto en todo el conjuntoS. En la figura 4.7 se muestran unos ejemplos. Naturalmente, cualquier máximoabsoluto es, en particular, un máximo relativo.

MáximoaIJsoluto-

x

MáximorelativoI

Máximo/ab~oluto

Mínimoaboluto

11"

2 Mínimoabsoluto

2x

f(x) = sen x, O s x S 11" f(x) = x(l - X)2, - ~ S x s 2

FIGURA 4.7 Extremos de funciones.

DEFINICIÓN DE EXTREMO. Un número que es o un máximo relativo o unmínimo relativo de una función f se denomina valor extremo o extremo de f.

El teorema que sigue, representado en la figura 4.7, relaciona los extremosde una función con las tangentes horizontales o su gráfica.

TEOREMA 4.3. ANULACIÓN DE LA DERIVADA EN UN EXTREMO INTERIOR. Seaf definida en un intervalo abierto 1, y supongamos que f tiene un máximo relativo

Aplicaciones de la derivación a la determinación de extremos de funciones 223

o un mínimo relativo en un punto e interior a l. Si la derivada l'(c) existe, esl'(c) = O.

Demostración. Definamos en 1 una función Q como sigue:

Q(x) =f(x) - f(e)x-e

si x o¡t. e, Q(e) = f'(e) .

Puesto que l'(e) existe, Q(x) ~ Q(e) cuando x ~ e, con lo que Q es continua ene. Queremos demostrar que Q(e) = O. Esto lo conseguiremos demostrando quecada una de las desigualdades Q(c) > O y Q(e) < O nos lleva a una contradicción.

Supongamos Q(c) > O. Según la propiedad de conservación del signo de lasfunciones continuas, existe un intervalo que contiene a e en el que Q(x) es posi-tiva. Por tanto el numerador del cociente Q(x) tiene el mismo signo que el deno-minador para todo x =i= e en ese intervalo. Dicho de otro modo. f(x) > f(c) cuandox > c, y f(x) < e cuando x < c. Esto contradice la hipótesis de que f tiene unextremo en c. Luego, la desigualdad Q(c) > O es imposible. En forma parecida sedemuestra que no puede ser Q(e) < O. Por consiguiente Q(c) = O. como se afirmó.Puesto que Q(c) = l'(c), esto demuestra el teorema.

Es importante notar que el hecho de ser derivada nula en e no implica extre-mo en c. Por ejemplo, sea f(e) = x", La gráfica de f es la de la figura 4.8. Puesto

y

y

o

FIGURA 4.8 Aquí!'(O) = Opero no existe extremo en O.

FIGURA 4.9 Hay extremo enO, pero /'(0) no existe.

que (x) = 3x2, /,(0) = O. Sin embargo, esta función es creciente en todo inter-valo que contenga el origen por lo cual no existe extremo en c.

Otro ejemplo, f(x) = Ixl, demuestra que un cero de la derivada no siemprese presenta en un extremo. Aquí hay un mínimo relativo en O, como se ve en lafigura 4.9, pero en el mismo punto O la gráfica tiene un punto anguloso y no existederivada. El teorema 4.3 supone que la derivada l'(c) existe en el extremo. Es de-cir, el teorema 4.3 nos dice que, en ausencia de puntos angulosos, la derivada


necesariamente debe anularse en un extremo, si éste se presenta en el interiorde un intervalo.

En una Sección posterior expondremos un criterio para los extremos que esbastante amplio para incluir los dos ejemplos de la figura 4.7 y también el de lafigura 4.9. Este criterio que se expone en el teorema 4.8, nos dice que un extremosiempre se presenta en un punto en el que la derivada cambia de signo. Aunqueeste hecho parece geométricamente evidente, no es fácil demostrarlo con lo vistohasta aquí. Deduciremos este resultado como una consecuencia del teorema delvalor medio para derivadas, que vamos a discutir.

4.14 Teorema del valor medio para derivadas

El teorema del valor medio para derivadas es importante en Cálculo porquemuchas de las propiedades de las funciones pueden deducirse fácilmente a partirde él. Antes de establecer el teorema del valor medio, examinaremos uno de suscasos particulares a partir del cual puede deducirse el teorema general. Este casoparticular lo descubrió en 1690 Michel Rolle (1652-1719), matemático francés.

TEOREMA 4.4. TEOREMA DE ROLLE. Sea f una función continua en todoslos puntos de un intervalo cerrado [a, b] Y derivable en cada punto del intervaloabierto (a, b). Supongamos también que

f(a) = f(b)

Existe entonces por lo menos un punto e en el intervalo abierto (a, b) tal quef(c) = o.

El significado geométrico del teorema de Rolle está representado en la figu-ra 4.10. En este teorema se afirma tan sólo que la curva debe tener una tangentehorizontal en algún punto entre a y b.

Demostración. Supongamos que f(x) #- O para todo x en el intervalo abier-to (a, b), y llegamos a una contradicción como se vea continuación: Según el teo-rema de los valores extremos para funciones continuas, f debe alcanzar su máximoabsoluto M y su mínimo aboluto m en algún punto del intervalo cerrado [a, b].El teorema 4.3 nos dice que ningún extremo puede ser alcanzado en puntos inte-riores (de otro modo sería nula la derivada allí). Luego, ambos valores extremosson alcanzados en los extremos a y b. Pero como f(a) = f(b), esto significa quem = M, Y por tanto f es constante en [a, b]. Esto contradice el hecho de quef'(x)#- O para todo x en (a, b). Resulta pues que !'(c) = O por lo menos en un eque satisfaga a < e < b, lo Que demuestra el teorema.

Teorema del valor medio para derivadas

A

(a)

FIGURA 4.10 Interpretacióngeómetrica del teorema de

Rolle.

225

A

B

A

a e b a C1

(a) (b)

FIGURA 4.11 Significación geométrica del teorema delvalor medio.

Podemos utilizar el teorema de Rolle para demostrar el teorema del valormedio. Antes de establecerlo, puede ser útil examinar su significado geométrico.Cada una de las curvas dibujadas en la figura 4.11 es la gráfica de una funcióncontinua I con tangente en cada punto del intervalo abierto (a, b). En el punto(e,/(e) indicado en la figura 4.11(a), la tangente es paralela a la cuerda AB. En lafigura 4.11 (b), existen dos puntos en los que la tangente es paralela a la cuerdaAB. El teorema del valor medio asegura que existirá por lo menos un punto conesta propiedad.

Para traducir al lenguaje analítico esta propiedad geométrica, tan sólo neocesitamos observar que el paralelismo de dos rectas significa la igualdad de suspendientes. Puesto que la pendiente de la cuerda AB es el cociente [f(b)-- I(a)]/(b - a) y ya que la pendiente de la tangente en e es la derivada f'(e),la afirmación anterior puede expresarse así:

(4.24) f(b) - f(a) = j'(c)b-a

para algún e del intervalo abierto (a, b).Para hacer más intuitiva la validez de (4.24), podemos imaginar fU) como

el camino recorrido por una partícula móvil en el tiempo t. Entonces el cocientedel primer miembro de (4.24) representa la velocidad media en el intervalo detiempo [a, b], y la derivada f'U) representa la velocidad instantánea en eltiempo t. La igualdad afirma que debe existir un momento en que la velocidadinstantánea es igual a la velocidad media. Por ejemplo, si la velocidad media deun automóvil en un viaje corto es de 75 Km. por hora, el cuentavelocidades deberegistrar 75 Km. por hora por lo menos una vez durante el viaje.

Formalmente ese teorema puede establecerse como sigue.


TEOREMA 4.5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS. Si f es unafunción continua en todo un intervalo cerrado [a, b] que tiene derivada en cadapunto del intervalo abierto (a, b), existe por lo menos un punto e interior a (a, b)para el que

(4.25) f(b) - fea) = f'(c)(b - a) .

Demostración. Para aplicar el teorema de Rolle necesitamos una funciónque tenga valores iguales en los extremos a y b. A fin de construirla, modificamosf en la forma siguiente:

h(x) = f(x)(b - a) - x[f(b) - fea)] .

Entonces h(a) = h(b) = bf{a) - af(b). También, h es continua en [a, b] y tienederivada en el intervalo abierto (a, b). Aplicando el teorema de Rolle a h, enconotramos que h'(c) = O para un cierto e de (a, b). Pero

h'(x) = f'(x)(b - a) - [f(b) - fea)] .

Cuando x = e, se obtiene la igualdad (4.25).

Obsérvese que el teorema no concreta nada acerca de la posicion exactadel «valor o valores medios» e, y sólo indica que todos pertenecen al intervalo(a, b). Para algunas funciones se puede especificar con exactitud la posición delos valores medios, pero en la mayoría de los casos es muy difícil hacer una deter-minación precisa de estos puntos. Sin embargo, la utilidad real del teorema estáen el hecho que se pueden sacar muchas conclusiones del mero conocimiento de laexistencia de un valor medio por lo menos.

Nota: Es importante comprobar que el teorema del valor medio puede dejar decumplirse si hay algún punto entre a y b en el que la derivada no existe. Por ejemplo,la función !definida por la ecuación !(x) = [x] es continua en todo el eje real y tienederivada en todos los puntos del mismo excepto en el O. En la figura 7.2 se ha dibujadosu gráfica en el intervalo [ - 1, 2]. La pendiente de la cuerda que une A y Bes:

f(2)-f(-I) 2-112-(-1) =-3-=3

pero la derivada no es igual a t en ningún punto.

Con frecuencia es útil la siguiente extensión del teorema del valor medio.

Ejercicios 227

TEOREMA 4.6. FORMULA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY. Sean t y g dosfunciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] Y que admitan derivadas entodo el intervalo abierto (a, b). Entonces, para un cierto e de (a, b), tenemos

f'(e)[g(b) - g(a)] = g'(e)[f(b) - lea)] .

Demostración. La demostración es parecida a la del teorema 4.5. Pongamos

h(x) = f(x) [g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - fea)] .

Entonces h(a) = h(b) = t(a)g(b) - g(a)t(b). Aplicando el teorema de Rolle a h,encontramos que h'(e) a partir de la fórmula que define h, obtenemos la fórmuladel valor medio de Cauchy. El teorema 4.5 es un caso particular del 4.6 obtenidotomando g(x) = x.

4.15 Ejercicios

1. Probar que en la parábola y = Ax2 + Bx + e, la cuerda que une los puntos para loscuales x = a y x = b es paralela a la tangente en el punto para el cual x = (a + b)/2.

2. Aplicando el teorema de Rolle, demostrar que la ecuación cúbica x3 - 3x + b = O nopuede tener más de una raíz en el intervalo - 1 ::; x ::; 1, cualquiera que sea el valorde b.

3. Se define la función f como sigue:

3 - x2¡(x) =--

2si x ~ 1,

1¡(x) =-

xsi x:;:: 1 .

(a) Dibujar la gráfica de f(x) para x en el intervalo O ::; x ::; 2.(b) Probar que f satisface las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo[0,2] y determinar todos los valores medios dados por el teorema.

4. Sea f(x) = 1 - X2/3• Probar que fO) = f( - 1) =0, pero que f'(x) no es nunca cero enel intervalo [-1, + 1]. Explicar por qué este resultado contradice aparentemente elteorema de Rolle.

5. Probar que x2 = x sen x + cos x se verifica exactamente para dos valores de x,6. Probar que la fórmula del valor medio se puede expresar en la forma:

¡(x + h) = ¡(x) + hf'(x + eh) donde O < e < 1 .

Determinar () en función de x y h cuando (a) f(x) = x2, (b) f(x) = x3• Dejar x fijo,x rf ° Y determinar en cada caso el límite de () cuando h -7 O.

7. Sea f un polinomio. Se dice que un número real IX es un cero de f de multiplicidad msi f(x) = (x - lX)mg(X), donde g(lX) rf O.(a) Si f tiene r ceros en el intervalo [a, b]. probar que t' tiene por lo menos r - 1 ceros,y que en general la derivada k-ésima j<k) tiene por lo menos r - k ceros en [a, b]. (Losceros se cuentan tantas veces como indica su multiplicidad.)


(b) Si la derivada k-ésima f(k) tiene exactamente r ceros en [a, b] ¿qué se puede deciracerca del número de ceros de I eh [a, b]?

8. Utilizar el teorema del valor medio para deducir las desigualdades siguientes:a) [sen,e - senj-] .:::;Ix - yl.b) nyn-l(x - y) .:::;xn - yn .:::;nxn-1(x - y) si O < y .:::;x, n = 1,2,3, ....

9. Una función " continua en [a, b], tiene derivada segunda r en todo punto del inter-valo abierto (a, b). El segmento de recta que une (a, f(a» y (b, f(b» corta la gráfica def en un tercer punto (e, I(e», siendo a < c < b, Demostrar que r(t) = O por lo menosen un punto t de (a, b).

10. Este Ejercicio es un esbozo de demostración del teorema del valor intermedio para deri-vadas. Supongamos que f posee derivada en todo punto de un intervalo abierto l. Elija-mos a < b en l. La derivada f' toma cualquier valor comprendido entre f'(a) y f'(b) enalgún punto de (a, b).a) Definir una nueva función g en [a, b] del modo siguiente:

g(x) = f_(_x)_-_f_(a_)x - a

si x se a, g(a) = ['(a) .Demostrar que g toma cualquier valor comprendido entre f'(a) y g(b) en el intervaloabierto (a, b). Utilizar el teorema del valor medio para derivadas, para demostrar que f'toma cualquier valor comprendido entre f'(a) y g(b) en el intervalo abierto (a, b).b) Definir una nueva función h en [a, b] del modo siguiente:

f(x) - f(b)h(x) = bx-

si x ~ b, h(b) = ['(b) .

Razonando en forma parecida a la que se ha seguido en la parte a), demostrar que f'toma cualquier valor comprendido entre f'(b) y h(a) en (a, b). Puesto que h(a) = g(b),queda demostrado el teorema del valor intermedio para derivadas.

4.16 Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geométricas delas funciones

Con el teorema del valor medio pueden deducirse propiedades de las funcio-nes partiendo del conocimiento del signo algebraico de su derivada. Esto se con-firma en el teorema siguiente.

TEOREMA 4.7. Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] yque admite derivada en cada punto de un intervalo abierto (a, b). Tenemos en-tonces:

a) Si I'(x) > O para todo x de (a, b), f es estrictamente creciente en [a, b].b) Si I'(x) < O para todo x de (a, b), f es estrictamente decreciente en [a, b].e) Si I'(x) = O para todo x de (a, b), f es constante en Ea, b].

Aplicaciones del teorema del valor medio 229

Demostración. Para probar a) tenemos que demostrar que f(x) < f(y)siempre que a ~ x < y ~ b . Por consiguiente, supongamos x < y y apliquemosel teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, y]. Obtenemos

(4.26) f(y) - f(x) = j'(c)(y - x), donde x < e < y .

Puesto que f'(c) e y - x son positivos, lo mismo le ocurre a f(y) - f(x), y estosignifica f(x) < f(y), como se afirmó. Esto demuestra a), y la demostración de b)es parecida. Para demostrar e), utilizamos la igualdad (4.26) haciendo x = a.Ya que f'(c) = 0, tenemos f(y) = f(a) para todo y en [a, b], con lo que f esconstante en [a, b].

El teorema 4.7 podemos emplearlo para demostrar que se presenta un extre-mo siempre que la derivada cambia de signo.

TEOREMA 4.8. Supongamos f continua en un intervalo cerrado [a, b] Y queexiste la derivada l' en todo punto del intervalo abierto (a, b), excepto acaso enun punto c.

a) Si l'(x) es positiva para todo x < e y negativa para todo x > e, f tieneun máximo relativo en c.

b) Si, por otra parte, f'(x) es negativa para todo x < e y positiva para todox > e, f tiene un mínimo relativo en c.

Demostración. En el caso a), el teorema 4.7 a) nos dice que f es estricta-mente creciente en [a, e] y estrictamente decreciente en [e, b]. Luego f(x) < f(c)para todo x =1= e en (a, b), con lo que f tiene un máximo relativo en c.

«a e b e b

a) Máximo relativo en e b) Mínimo relativo en c.

FIGURA 4.12 Los extremos se presentan cuando la derivada cambia de signo.


Esto demuestra a) y la demostración de b) es completamente análoga. Los doscasos se han representado en la figura 4.12.

4.17 Criterio de la derivada segunda para los extremos

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], el teorema delos valores extremos nos dice que tiene un máximo absoluto y un mínimo abso-luto en algún punto de [a, b]. Si f tiene derivada en cada punto interior, enton-ces los únicos puntos en los que pueden presentarse los extremos son:

1) en los extremos del intervalo a y b;2) en aquellos puntos interiores x en los que f'(x) = O.

Los puntos del tipo 2) se llaman con frecuencia puntos críticos de f. Para decidirsi en un punto crítico e existe un máximo o un mínimo (o ni uno ni otro), necesi-tamos más información acerca de la función f. Ordinariamente el comportamientode f en un punto crítico puede determinarse a partir del signo algebraico de laderivada en las proximidades de c. El teorema que sigue hace ver que un estudiodel signo de la derivada segunda en las cercanías de e puede también sernos deutilidad.

TEOREMA 4.9. CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS EN UN

PUNTO CRÍTICO. Sea e un punto crítico de f en un intervalo abierto (a, b); estoes, supongamos a < e < b y que f'(c) = O. Supongamos también que exista laderivada segunda f" en (a, b). Tenemos entonces:

a) Si f" es negativa en (a, b), f tiene un máximo relativo en c.b) Si t" es positiva en (a, b) f tiene un mínimo relativo en c.

Los dos casos están representados en la figura 4.12.

Demostración. Consideremos el caso a), f" < O en (a, b). Según el teore-ma 4.7 (aplicado a f'), la función f' es estrictamente decreciente en (a, b). Perof'(c) = O, con lo que f' cambia su signo de positivo a negativo en e, como muestrala figura 4.12 a). Luego, según el teorema 4.8, f tiene un máximo relativo en c.La demostración en el caso b) es completamente análoga.

Si f" es continua en e, y si f"(c) =1= O, existirá un entorno de e en el cualf" tendrá el mismo signo que f"(c). Por consiguiente, si f'(c) = O, la función ftiene un máximo relativo en e si !"(c) es negativa, y un mínimo relativo si f"(c)es positiva. Este criterio basta para muchos ejemplos que se presentan en lapráctica.

El signo de la derivada segunda también está relacionado con la concavidado la convexidad de f. El siguiente teorema demuestra que la función es convexaen los intervalos en los que f" es positiva, como se ve en la figura 4.12 b), En la

Trazado de curvas 231

figura 4.12 a), I es cóncava ya que f" es negativa. Basta discutir tan sólo el casode la convexidad, ya que si I es convexa, - I es cóncava.

TEOREMA 4.10. CRITERIO DE LA DERIVADA PARA LA CONVEXIDAD. Supon-gamos I continua en [a, b] y que tenga derivada en el intervalo abierto (a, b).Si f' es creciente en (a, b) entonces I es convexa en [a, b]. En particular, I es con-vexa si f" existe y es no negativa en (a, b).

Demostración. Consideremos x < y en [a, b] y pongamos z = IXY ++ (l - IX)X, donde O< IX < 1. Queremos demostrar que fez) S IXf(y) + (1 - IX)

f(x). Puesto que fez) = IXf(z) + (l - IX)f(z), esto es lo mismo que demostrar que

(1 - IX)[f(z) - f(x)] S IX[f(y) - fez)] .

Según el teorema del valor medio (aplicado dos veces), existen puntos e y d quesatisfacen x < c < z y z < d < y tales que

fez) - f(x) = f'(c)(z - x), y f(y) - fez) = f'(d)(y - z) .

Puesto que f' es creciente, tenemos f'(c) sf'(d). Asimismo, tenemos (1 - IX)(Z -- x) = IX(y - z), de modo que podemos escribir

(l - IX)[f(z) - f(x)] = (1 - IX)f'(C)(z - x) S IXf'(d)(y - z) = IX[f(y) - fez)] ,

lo que demuestra la desigualdad exigida por la convexidad.

4.18 Trazado de curvas

La información reunida en los teoremas de las últimas secciones es con fre-cuencia útil en el trazado de curvas. Al dibujar la gráfica de una función 1, debedeterminarse primeramente el dominio de I [el conjunto de valores de x paralos cuales está definida I(x)] y, si es fácil hacerlo, debería encontrarse el recorridode I (el conjunto de valores alcanzados por f). Un conocimiento del dominio ydel recorrido nos da una idea de la amplitud de la curva y = I(x), ya que precisauna porción del plano xy en la que está situada la curva. Seguidamente es aconse-jable situar los puntos (si existen) en los que la curva corta a los ejes coordenados.La intersección con el eje y es el punto (O, f(O» suponiendo que O pertenece aldominio de 1, y las intersecciones con el eje de las x son los puntos (x, O) paralos que f(x) = O. La determinación de las intersecciones con el eje x puede ser,en la práctica, muy difícil, y podemos contentarnos con valores aproximados.

Deberíamos también determinar los intervalos en los que f es monótona exa-minando el signo de /" y determinar los intervalos de convexidad y concavidad


estudiando el signo de f". Especial cuidado deberá ponerse en los puntos en losque la gráfica tiene tangentes horizontales.

EJEMPLO 1. La gráfica de y = f(x), siendo f(x) = x + l/x para x ~ O.En este caso, no existen intersecciones con los ejes. Las dos primeras deriva-

das están dadas por las fórmulas

f'(x) = l - l/x2, f"(x) = 2/x3•

y

x y

I-v']

Iv']

2

FIGURA 4.13 Gráfica de¡(x) = x + l/x. FIGURA 4.14 Gráfica de¡(x) = 1/(x2 + 1).

La primera derivada es positiva si x2 > 1, negativa si x2 < 1, Y cero si x2 = 1.Luego existe un mínimo relativo en x = 1 Yun máximo relativo en x = - 1. Parax > 0, la derivada segunda es positiva de manera que la primera derivada es es-trictamente creciente. Para x < O, la derivada segunda es negativa, y por tantola derivada primera será estrictamente decreciente. Para x próximo a 0, el términox es pequeño comparado a l/x, y la curva se comporta como la gráfica de y = l/x.(Ver figura 4.13.) Por otra parte, para valores grandes de x (positivos o negati-vos), el término l/x es pequeño comparado con x, y la curva es muy parecida ala recta y = x. En este ejemplo, la función es impar, f( -x) = -f(x), con locual la gráfica es simétrica respecto al origen.

En el ejemplo anterior, la recta y = x es una asíntota de la curva. En gene-ral, una recta no vertical de ecuación y = mx + b se llama asíntota de la gráficade y = f(x) si la diferencia f(x) - (mx + b) tiende a ° cuando x toma valorestan grandes como se quiera positivos o negativos. Una recta vertical, x = a, se

Ejercicios 233

llama asíntota vertical si If(x)i llega a ser tan grande como se quiera cuandox ~ a por la derecha o por la izquierda. En el ejemplo anterior, el eje y es unaasíntota vertical.

EJEMPLO 2. Gráfica de y = ¡(x), donde ¡(x) = 1{(x2 + 1).Esta es una función par, positiva para todo x, y el eje x es un asíntota hori-

zontal. La derivada primera viene dada por

-2xf'(x) = (x2 + 1)2'

de modo que f'(x) < O si x > O, f'(x) > O si x < O, y f'(x) = O cuando x = O.Por consiguiente la función crece por encima del eje x negativo, decrece en laparte positiva del eje x, y tiene un máximo relativo en x = O. Derivando otravez, encontramos que

f"(x) = (x2 + 1)\-2) - (-2x)2(x2 + 1)(2x) = 2(3x2 - 1).(x2 + 1)4 (x2 + 1)3

Así que f"(x) > O si 3x2 > 1, Y f"(x) < O si 3x2 < 1. Luego, la derivada primeracrece cuando x2 > i y decrece cuando x' < i. Esta información basta para dibu-jar la curva de la figura 4.14. Los dos puntos de la gráfica correspondientes ax2 = i, en los que la derivada segunda cambia su signo, se llaman puntos deinflexión.

4.19 Ejercicios

En los siguientes Ejercicios, a) hallar todos los puntos x tales que !'(x) = O; b) examinarel signo de !' y determinar aquellos intervalos en los que ¡ es monótona; e) examinar elsigno de r y determinar aquellos intervalos en los que!' es monótona; d) construir un bocetode la gráfica de ¡. En cada caso, la función' está definida para todos los x para los cualestiene sentido ¡(x).

l. ¡(x) = x2 - 3x + 2.2. ¡(x) = x3 - 4x.3. f(x) = (x - l)2(X + 2).4. f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 5.5. ¡(x) = 2 + (x - 1)4.6. ¡(x) = 1/x2.7. ¡(x) = x + 1/x2•

18. ¡(x) = (x _ l)(x - 3) .

9. ¡(x) = x/O + x2).10. ¡(x) = (x2 - 4)/(x2 - 9).11. ¡(x) =sen2 x.12. ¡(x) = x - sen x.13. ¡(x) = x + cos x.14. {(x) = ix2 + l2 cos 2x.


4.20 Ejemplos resueltos de problemas de extremos

Muchos problemas de extremos en Matemáticas puras y aplicadas pueden re-solverse sistemáticamente mediante el uso del Cálculo diferencial. En realidad, losrudimentos del Cálculo diferencial fueron en principio desarrollados cuandoFermat intentó encontrar métodos generales para determinar máximos y mínimos.En esta Sección resolveremos algunos ejemplos y daremos al lector la oportunidadde resolver otros en la Sección 4.21.

Formulamos primero dos principios sencillos que pueden usarse para resolvergran número de problemas de extremos.

EJEMPLO 1. Principio del producto máximo con suma constante. Dado unnúmero positivo S. Demostrar que entre todos los pares de números positivos xe y tales que x + y = S, el producto xy es el mayor cuando x = y =~S.

Demostración. Si x + y = S, Y = S - x y el producto xy es igual ax(S - x) = xS - x2. Pongamos f(x) = xS - x2. Este polinomio cuadrático tienecomo derivada primera f'(x) = S - 2x que es positiva para x <~S Y negativapara x>~S. Por tanto el máximo de xy se presenta cuando x=!S, y=S-x=!5Esto también se puede demostrar sin utilizar el Cálculo. Pongamos simplementef(x)=iS2_(X-~ S)2 y observemos que f(x) es máximo cuando x=!S.

EJEMPLO 2. Principio de la suma mínima, con producto constante. Dado unnúmero positivo P. Demostrar que entre todos los pares de números positivosx e y tales que xy = P, el que hace la suma x + y mínima es x = y = ti.

Demostración. Tenemos que determinar el mínimo de la función f(x) == x + P] x para x > O. La primera derivada es f'(x) = 1 - P/x2. Esta es negativa para x2 < P y positiva para x2 > P, de manera que f(x) tiene su mínimoen x = ti. Luego, la suma x + y es mínima cuando x = y = VP.

EJEMPLO 3. Entre todos los rectángulos de perímetro dado, el cuadrado esel de mayor área.

Demostracián. Utilizamos el resultado del ejemplo 1. Sean x e y los ladosde un rectángulo cualquiera. Si el perímetro está fijado, entonces x + y es cons-tante, con lo que el área xy tiene mayor valor cuando x = y. Luego, el rectángulomáximo es el cuadrado.

EJEMPLO 4. La media geométrica de dos números positivos no excede a sumedia aritmética. Esto es, vab ~ ~(a + b).

Ejemplos resueltos de problemas de extremos 235

Demostración. Dados a > O, b > O, sea P = abo Entre todos los po-sitivos x e y siendo xy = P, la suma x + y es la menor cuando x = y = vP.Es decir, si xy = P, entonces x + y ¿ vP + vP = 2 vP. En particular,a + b ¿ 2 vP = 2 v;;b, con lo que v;;b ~ 1(a + b). La igualdad se presenta siy sólo si a = b.

EJEMPLO 5. Un bloque de peso W es movido a lo largo de un plano poruna fuerza que forma un ángulo (j con la recta de la dirección del movimiento,siendo O~ e ~ !1T, como se ve en la figura 4.15. Supongamos que la resistenciapor fricción es proporcional a la fuerza normal con la que el bloque presionaperpendicularmente contra el plano. Hallar el ángulo (j para el que la fuerza depropulsión necesaria para vencer la fricción sea lo más pequeña posible.

Solución. Sea F(O) la fuerza de propulsión. Ésta tiene un componente ver-tical hacia arriba que es F(O) sen O, de modo que la fuerza normal de presióncontra el plano es N = W - F(O) sen e. La fuerza de fricción es pN, donde pes una constante llamada coeficiente de fricción. El componente horizontal de lafuerza de propulsión es F(e) cos O. Cuando ésta se iguala a la fuerza de fricción,llegamos a F(e) cos e = p[ W - F(O) sen e] de la que encontramos

F(e) = pWcos e + p sen e

Para hacer mínima F(e), haremos máximo el denominador g(e) = cos 0+ psenOen el intervalo O ~ e ~ l1T. En los extremos, tenemos g(O) = 1 Y g(!1T) = p. En elinterior del intervalo, tenemos

g'(e) = -sene + p cos e,

de manera que g tiene un punto crítico en e = ex, siendo sen oc = p cos ex. Estoda g(ex) = cos ex + p2 cos ex = (l + p2) cos ex. Podemos expresar cos ex en funciónde p. Puesto que p2 cos?« = sen2 ex = 1 - cos" ex, encontramos (1 + p2) cos" IX = 1,con 10 que cos IX = l/VI + p2. Así pues g(a) = ~. Ya que g(ex) excedea g(O) y a g(i1T), el máximo de g se presenta en el punto crítico. Luego la fuerzamínima pedida es

F(IX) = pW = pW .g(lX) vT+;2

EJEMPLO 6. Hallar la menor distancia de un punto dado (O, b) del eje ya la parábola x2 = 4y. (El número b puede tener cualquier valor real.)


yF«()

Fuerza de frici6nF«() cos ()

(O, b)

Fuerza normal N = W- F«() sen()x

FIGURA 4.15 Ejemplo 5. FIGURA 4.16 Ejemplo 6.

Solución. La parábola está dibujada en la figura 4.16. La cantidad que hayque hacer mínima es la distancia d, siendo

con la restricción x2 = 4y. Ante la figura resulta evidente que cuando b es nega-tivo la distancia mínima es Ibl. Cuando el punto (O, b) se desplaza hacia arribasiguiendo el eje y, el mínimo es b hasta que el punto alcanza una cierta posiciónespecial, por encima de la cual el mínimo es < b. Vamos ahora a determinaresa posición especial.

Ante todo, observemos que el punto (x, y) que minimiza d también minimi-za d", (Esta observación nos permite evitar la derivación de las raíces cuadradas.)Seguidamente, podemos expresar d2 en función únicamente de x o también enfunción de y y dejamos como ejercicio· para el lector desarrollar los cálculoscuando ~ se expresa 'en función de x.

Por tanto la función f que hay que hacer mínima viene dada por la fórmula

Si bien f(y) está definida para todo valor real y, la naturaleza del problema exigeque busquemos el mínimo tan sólo entre aquellos valores de y tales que y ~ O.La derivada es f'(y) = 4 +2(y - b) que es cero sólo cuando y = b - 2. Cuandob < 2, esto nos lleva a un punto crítico y negativo que debe excluirse por larestricción y ~ O. Es decir, si b < 2, el mínimo no se presenta en un punto crí-tico. En efecto, cuando b < 2, vemos que f'(y) > O cuando y ~ O, Y por tanto fes estrictamente creciente para y ~ O. Por consiguiente el mínimo absoluto sepresenta en el extremo y = O. El correspondiente mínimo d es Vb2 = Ibl.

Ejercicios 237

Si b ¿ 2, existe un punto crítico legítimo en y=b - 2. Puesto que !"(y)=2para todo y, la derivada f' es creciente, y por tanto el mínimo absoluto de f sepresenta en este punto crítico. El mínimo d es vi4(b - 2) + 4 = 2Yb=1.Con esto hemos demostrado que la distancia mínima es Ibl si b < 2 y es2 Yb=1 si b ¿ 2. (El valor b = 2 es el valor particular antes citado.)

4.21 Ejercicios

1. Demostrar que entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetromínimo.

2. Un granjero tiene L metros de alambre para cercar un terreno de pasto rectangular adya-cente a un muro de piedra. ¿Qué dimensiones darán el área máxima al terreno cercado?

3. Un granjero quiere cercar un terreno de pasto rectangular de área A adyacente a unmuro de piedra. ¿Qué dimensiones exigen la mínima cantidad de alambre de cerca?

4. Dado S > O. Probar que entre todos los números positivos x e y tales que x + y = S,la suma x2 + y2 es mínima cuando x = y.

5. Dado R > O. Probar que entre todos los números positivos x e y tales que x2 + y2 = R,la suma x + y es máxima cuando x = y.

6. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Demostrar que entre todos los cuadra-dos inscritos en el cuadrado dado, el de área mínima tiene lados de longitud lLv'2.

7. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Hallar el tamaño del cuadrado demáxima área que puede circunscribirse al cuadrado dado.

8. Demostrar que entre todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo dado,el cuadrado tiene el área máxima.

9. Demostrar que entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado tiene el círculocircunscrito mínimo.

10. Dada una esfera de radio R. Hallar el radio r y la altura h del cilindro circular recto demayor superficie lateral 2'lTrh que puede inscribirse en la esfera

11. Entre todos los cilindros circulares rectos de área lateral dada, demostrar que la menoresfera circunscrita tiene el radio igual al radio del cilindro multiplicado porv'2 ..

12. Dado Un cono circular recto de radio R y altura H. Hallar el radio y la altura del ci-lindro circular recto de mayor área lateral que puede inscribirse en el cono.

13. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ins-cribirse en un cono circular recto de radio R y altura H.

14. Dada una esfera de radio R. Calcular, en función de R, el radio r y la altura h delcono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en esa esfera.

15. Hallar el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo, teniendola base inferior en el diámetro.

16. Hallar el trapecio de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo, teniendo labase inferior en el diámetro.

17. Una caja abierta está construida con un rectángulo de cartón quitando cuadrados igua-les en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Hallar las dimensiones de lacaja de mayor volumen que puede construirse de tal modo si el rectángulo tiene comolados a) 10 y 10; b) 12 Y 18.

18. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1, hallar el mayorvalor de 2a + b.

19. Un camión ha de recorrer 300 km en una carretera llana a velocidad constante de x kmpor hora. Las leyes de circulación prescriben 35 :-s; x :-s; 55. Se supone que el carburante

222 Cálculo diferencial

Documents

Transcript of 222 Cálculo diferencial